Algoritmos Randomizados

Introducao Famılias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabilıstica Classes de Complexidade Probabilısticas Un Paradigma Combinatorio Bibliografıa

Algoritmos Randomizados

Juan Grados VasquezGA-025-Ciencia da Computacao: Fundamentos

Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica.

17 de dezembro de 2013


Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica


Sumario

1 Introducao

2 Famılias de Algoritmos Randomizados

3 Maquina de Turing Probabilıstica

4 Classes de Complexidade Probabilısticas

5 Un Paradigma Combinatorio




Experimento Aleatorio




Historia

Figura 1: IncasFigura 2: Azande Figura 3: Naskapi

[Shallit, 2009]




Historia

1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π

1917 Calculo√

a mod p. [H. C. Pocklington]1976 Test de Primalidade.[Rabin]




Historia


1917 Calculo√

a mod p. [H. C. Pocklington]

1976 Test de Primalidade.[Rabin]




Historia


1917 Calculo√

a mod p. [H. C. Pocklington]1976 Test de Primalidade.[Rabin]





Algoritmo?

Randomizado?





Algoritmo?Randomizado?




Geradores Pseudo-Aleatorio e Aleatorios

Geradores Pseudo-Aleatorio: Blum Blum Shub, Fortuna, y elMersenne twister.Geradores Aleatorio: Quantum True Random Number Generatorhttp://qubit.lncc.br/trng/




Aplicacoes




Porque Utilizar?

Simples

Determinıstico:1 Transforme F (x).2 Compare os coeficientes

de F (x) e G(x)3 Se houver diferenca,

retorne NAO4 Se nao, retorne SIM

Randomico:1 Sorteie um inteiro w,

aleatoriamente, de 1 a100d

2 Avalie F (w) e G(w)

3 Se F (w) 6= G(w), retorneNAO

4 Se nao, retorne SIM




Porque Utilizarlos?

Eficientes:

exemplo: Test de Primalidade:AKS O(log6 n(log log n))

Rabin O(log2 n(log log n))Incerteza

Resultado do AlgoritmoTempo do Algoritmo




Porque Utilizarlos?

Eficientes: exemplo: Test de Primalidade:AKS O(log6 n(log log n))

Rabin O(log2 n(log log n))

IncertezaResultado do AlgoritmoTempo do Algoritmo




Porque Utilizarlos?

Eficientes: exemplo: Test de Primalidade:AKS O(log6 n(log log n))

Rabin O(log2 n(log log n))Incerteza

Resultado do AlgoritmoTempo do Algoritmo




Sumario

1 Introducao








Algoritmos de Monte Carlo

Incerteza no resultado do Algoritmo.Problemas de decisao

Erro bilateral.Erro unilateral.




Erro unilateral

Erro unilateral baseado no SIM.Erro unilateral baseado no NAO.

Exemplo:

Qual e a probabilidade do algoritmo errar a resposta quando ospolinomios nao sao identicos?




Mas probabilidades

AS o algoritmo responde SIMAN o algoritmo responde NAOCS a resposta correta para a entrada e SIMCN a resposta correta para a entrada e NAO

Probabilidades de Acerto? Pr [AS|CS], Pr [AN |CN ]

Probabilidades de Erro? Pr [AN |CS], Pr [AS|CN ]




Reduzindo a Probabilidade de Errar

Seja A um algoritmo de Monte Carlo de erro-unilateral-baseadono nao.Probabilidade de errar: ε




Algoritmos de las Vegas

Incerteza no tempo do algoritmo




Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas

1 repetir N vezesSe o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM.

2 retornar NAO

Algoritmo de Error Unilateral Baseado no SIM.




Sumario

1 Introducao








PTM

Uma maquina de Turing probabilıstica M e um tipo de maquina deTuring nao determinista onde cada passo no determinista e decididode forma aleatoria. [Sipser, pag. 336]




PTM: Computation Tree




Consequencias

A NDTM e uma PTM sim probabilidades nas transicoes.A DTM pode ser vista como PTM com nao mais de uma soalternativa para cada transicao.Para uma mesma entrada pode ter tempo de execucao diferenteou pode nao parar.Pode aceitar a entrada em uma determinada execucao, masrejeitar outra entrada.




Sumario

1 Introducao








Classes de Complexidade Probabilısticas

BQP: Relacao entre MTQ e MT. 1

1[Deutsch (1985)]Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica.



Classes de Complexidade Probabilısticas

1. P=ZPP?, RP=co-RP ?, RP=NP?, co-NP?,BPP ⊆ NP?, NP⊆BPP?, RP∪co-RP=BPP?[Talbot, pag. 83]




Sumario

1 Introducao








O modelo de bolas e latas




Paradoxo do Aniversario




Fim

Fim



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