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Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 1/44

Álgebra LinealMa1010

Conjuntos de Vectores y Matrices OrtogonalesDepartamento de Matemáticas

IntroduccionProducto internoPropiedadesNormaDistanciaOrtogonalidadConjuntoOrtogonalOrtogonalidad eindependencialinealOrtogonalidad yBasesOrtogonalidad ydescomposicionConjuntoOrtonormalMatriz Ortogonal

Introducción

En esta lectura veremos conjuntos y matricesortogonales. Primero veremos algunasdefiniciones alternativas a los productos internos.

Producto interno

Un producto interno en un espacio vectorial es unafunción • : V × V → F , donde F es el conjunto delos escalares utilizados (F = R ó F = C), y quetiene que cumplir los siguientes axiomas: Paratodos los vectores x, y y z de V y para todoescalar c de F1. (x+ y) • z = x • z+ y • z2. (c · x) • y = c (xy)

3. x • y = y • x.4. x • x > 0 para todo x 6= 0.

En el axioma 3, la línea horizontal encima de unaexpresión indica que se debe tomar el conjugadocomplejo: El conjugado comple de un número seobtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.Así■ 3 + 3 i = 3− 3 i

■ 5 = 5 + 0 i = 5− 0 i = 5, es decir: el conjugadode un real es él mismo.

■ −3 i = 0− 3 i = 0 + 3 i = 3 i

Ejemplo

Si V = Rn y x = (xi) y y = (yi) el producto puntoestándar • es:

x • y =n

xi · yi

Si n = 3, x =< 1, 2,−1 > y y =< 1,−1, 3 >,entonces

x • y = (1)(1) + (2)(−1) + (−1)(3) = −4

Figura 1: El producto interno estándar de Rn en la TI.

Ejemplo

Mientras que si V = Cn con escalares C el producto puntoestándar • es

x • y =n

xi · yi

Si n = 3, x =< 1, 2 + 2 i,−i > y y =< 1,−1 + i, 3 i >, entonces

x • y = (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 + i) + (−i)(3 i)

= (1)(1) + (2 + 2 i)(−1− i) + (−i)(−3 i)

= 1− 2− 2 i− 2 i− 2 i2 + 3 i2

= −1− 4 i+ i2

= −1− 4 i+ (−1)

= −2− 4 i

Es importante comentar que este producto internoestándar en Cn esta implementado en lacalculadora TI y coincide con el producto estándaren Rn. Esto se ilustra en la figura 2. Note ladiferencia entre el número imaginario i y elsímbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i seobtiene con la combinación 2ND i mientras queen la TI 89 con la combinación 2ND catalog . Nonotar la diferencia le puede traer verdaderosdolores de cabeza.

Figura 2: El producto interno estándar de Cn en la TI.

Ejemplo

Si V = C [a, b] es el conjunto de las funcionescontinuas de valor real el producto internoestándar es:

f • g =

f(t) · g(t) dt

Si [a, b] = [0, 1], f(x) = x+ 1 y g(x) = x2 − 1entonces

f • g =∫

0(x+ 1) · (x2 − 1) dx

0(x3 + x2 − x− 1) dx

= −11/12

Ejemplo

Si Si V = C [0, 2 π] es el conjunto de las funcionescontinuas complejas un producto interno es:

f • g =1

f(t) · g(t) dt

Ejemplo

Si Mn×m es el conjunto de las matrices reales conn renglones y m columnas el producto internoestándar es:

A •B = tr (B′ ·A)

donde B′ representa la transpuesta de la matriz B

y tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X

que es la suma de los elementos de la diagonal.

Por ejemplo, si

−1 2 −3

1 −2 3

0 2 −3

Entonces

BT ·A =

−2 2

3 −3

−1 2 −3

−4 0 −12

6 0 18

y por tanto

A •B = tr

−4 0 −12

6 0 18

= 1 + 0 + 18 = 19

Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar lafunción traza puesto que en la configuración inicial no viene talfunción. Una implementación posible para esta función vieneilustrada en la figura 3. Una vez programada la función traza,la figura 4 ilustra el cálculo del producto interno de dosmatrices.

Figura 3: Programando la función traza en la TI.

Figura 4: Producto interno estándar de Mn×m(R) en la TI.

Ejemplo

Si Mn×m es el conjunto de las matrices complejascon n renglones y m columnas el producto internoestándar es:

A •B = tr (B∗ ·A)

donde B∗ representa la adjunta de la matriz B esdecir la transpuesta conjugada o también conocidacomo transpuesta hermitiana, a veces también seutiliza la notación BH para la matriz conjugadacompleja de B. Aquí tr(X) representa la traza dela matriz cuadrada X que es la suma de loselementos de la diagonal.

Por ejemplo, si

1 + i 2− 3 i i

−1 2− i −3 i

1 + 2 i −2 3

0 2 i −3 + i

y así

A∗ =

1− i −1

2 + 3 i 2 + i

−i 3 i

y por tanto

3 + i −2 6− 4 i

−4 + 7 i −6− 2 i −1 + 8 i

2− i −6 + 2 i −3− 12 i

de donde

B •A = (3 + i) + (−6− 2 i) + (−3− 12 i) = −6− 13 i

Figura 5: Producto interno estándar de Mn×m(C) en la TI.

Propiedades del producto interno

Propiedades que satisfacen todos los productosinternos:Teorema

Sea V es espacio vectorial con productointerno •, x, y y z vectores de V y c unescalar:1. x • (y + z) = x • y + x • x2. x • (c · y) = c · (x • y)3. x • x = 0 si y sólo si x = 0.4. x • y = 0 si y sólo si y • x = 0.5. Si ∀x ∈ V se cumple x • y = x • x,

entonces y = z.

Norma de un vector

Sea V un espacio vectorial con producto interior •,para todo vector x de definimos la norma olongitud de x como

‖x‖ =√x • x

Propiedades que se deducen de la norma:Teorema

1. ‖cx‖ = |c| · ‖x‖2. ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0. En cualquier

caso, x ≥ 0.3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz:

|x • y| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.4. Desigualdad del triángulo:

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Distancia entre dos vectores

Sea V un espacio vectorial con producto interior •,para cualesquier dos vectores x y y definimos ladistancia de x a y como

d(x,y) = ‖x− y‖Propiedades que se deducen de la funcióndistancia:Teorema

1. d(x,y) = d(y,x)

2. d(x,y) = 0 si y sólo si x = y

3. Desigualdad del triángulo:d(x,y) ≤ d(x, z) + d(z,y)

Vectores ortogonales

Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales six • y = 0. Si esto pasa se expresará como x ⊥ y.Ejemplo

Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > yy =< −2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente dela definición: requerimos hacer

x • y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = −2 + 0 + 2 = 0

Por tanto, x ⊥ y.

Ejemplo

Determine el valor del parámetro a para quex =< 1, 1, 2 > y y =< −3, a, 1 > sean ortogonales.Directamente de la definición: requerimos hacer

x•y = (1)(−3)+(1)(a)+(2)(1) = −3+a+2 = a−1

Por tanto, x ⊥ y si y sólo si x • y = 0 si y sólo sia = 1.

Conjunto ortogonal de vectores

Un conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vm} se diceconjunto ortogonal o simplemente ortogonal si secumple

vi • vj = 0 para i 6= j y i, j = 1, . . . ,m

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientesvectores es ortogonal

, v2 =

, v3 =

−5/2

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientesvectores es ortogonal

, v2 =

, v3 =

−5/2

Soluci onCalculando todos los productos punto entrevectores diferentes tenemos

v1 • v2 = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = 0

v1 • v3 = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0

v2 • v3 = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0

así concluimos que es conjunto es ortogonal.

Ortogonalidad e independencia lineal

Teorema

Cualquier conjunto ortogonal S = {v1, ....,vk}de vectores distintos de cero es linealmenteindependiente.

Ortogonalidad e independencia lineal

Teorema

Cualquier conjunto ortogonal S = {v1, ....,vk}de vectores distintos de cero es linealmenteindependiente.

Demostraci on : Si suponemos que

c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0

Entonces, haciendo producto punto por vi

obtenemos que:

c1 v1 • vi + c2 v2 • vi + · · ·+ ck vk • vi = 0 • vi

Observe que siendo el conjunto ortogonal todoslos productos punto en el lado izquierdo se hacencero, excepto uno: el correponiente a vi • vi.Mientras que en el segundo miembro el productopunto al ser uno de los vetores cero queda cero.Así lo anterior se resume a:

Ortogonalidad y bases

Teorema

Cualquier conjunto generador ortogonalS = {v1, ....,vk} de vectores distintos de ceroes base para Gen(S).

Ortogonalidad y bases

Teorema

Cualquier conjunto generador ortogonalS = {v1, ....,vk} de vectores distintos de ceroes base para Gen(S).

Demostraci on : Por definición de Gen(S), S genera aGen(S); y por el teorema anterior S es linealmenteindependiente. Por tanto, S es base para Gen(S).

Ortogonalidad y descomposición de un vector

Teorema

Sea S = {v1, ...,vk} un conjunto ortogonal devectores distintos de cero. Si u está enGen(S) y

u = c1 v1 + · · ·+ ck vk

entonces

ci =u • vi

vi • vi

para i = 1, . . . , k

A las expresiones u • vi/vi • vi se les llama loscoeficientes de Fourier de u respecto a S.

Demostraci on : Si

u = c1 v1 + · · ·+ ck vk

haciendo el producto punto con vi y considerandola ortogonalidad obtenemos:

u • vi = ci vi • vi

Al ser los vectores vi 6= 0, se tiene que vi • vi 6= 0y por tanto se tiene:

ci =u • vi

vi • vi

Nota :Lo importante del teorema anterior es indica quepara bases ortonormales no es necesario resolversistemas de ecuaciones lineales para determinarlos coeficientes de cada vector es suficientescalcular los coeficientes de Fourier.

Ejemplo

Utilizando el conjunto ortogonal S del primerejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′,determine los coeficientes de Fourier u respecto aS y compruebe que se obtienen los mismosvalores resolviendo el sistema de ecuacioneslineales correspondientes.

Ejemplo

Utilizando el conjunto ortogonal S del primerejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′,determine los coeficientes de Fourier u respecto aS y compruebe que se obtienen los mismosvalores resolviendo el sistema de ecuacioneslineales correspondientes.Soluci on : Calculemos

u • v1 = (1)(1) + (2)(0) + (3)(2) = 7

u • v2 = (1)(−2) + (2)(2) + (3)(1) = 5

u • v3 = (1)(−2) + (2)(−5/2) + (3)(1) = −4

v1 • v1 = (1)(1) + (0)(0) + (2)(2) = 5

v2 • v2 = (−2)(−2) + (2)(2) + (1)(1) = 9

v3 • v3 = (−2)(−2) + (−5/2)(−5/2) + (1)(1) = 45/4

y al aplicar las fórmulas obtenermos:

c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45

y al aplicar las fórmulas obtenermos:

c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45

Si por otro lado armamos la matriz aumentada[v1,v2,v3|u] y la reducimos:

1 −2 −2 1

0 2 −5/2 2

2 1 1 3

1 0 0 7/5

0 1 0 5/9

0 0 1 −16/45

de donde observamos que los valores de lasconstantes ci coinciden con los valores dados porlos coeficientes de Fourier.

Conjunto ortonormal de vectores

Un conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vm} se diceconjunto ortonormal o simplemente ortonormal sise cumple

vi • vj = 0 para i 6= j y vi • vi = 1 para i, j = 1, . . . ,m

Note que en caso de una base ortonormal S paraun espacio las fórmulas de Fourier para un u

simplifican a ci = u • vi, por ello es que esdeseable tener una base ortonormal a un espacio.Si ya se posee una base ortogonal dividiendo cadavector entre su norma se obtiene una ortonormal:

{v1, . . . ,vm}ortogonal →{

||v1||v1, . . . ,

||vm||vm

ortonormal

Ejemplo

Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo deesta lectura:

, v2 =

, v3 =

−5/2

Ejemplo

Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo deesta lectura:

, v2 =

, v3 =

−5/2

Soluci on : Tenemos ya realizados los siguientescálculos

v1 • v1 = 5 → ||v1|| =√5

v2 • v2 = 9 → ||v1|| = 3

v3 • v3 = 45/4 → ||v1|| =√45/2

Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda

2√45

−5/2

Matriz ortogonal

Una matriz A se dice matriz ortogonal osimplemente ortogonal si es una matriz cuadrada ylas columnas de A forman un conjunto ortonormal.

Matriz ortogonal

Teorema

A n× n: A es ortogonal ssi AT ·A = I.

Matriz ortogonal

Teorema

A n× n: A es ortogonal ssi AT ·A = I.

Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en Rn,x • y = x′

= x1 · y1 + · · ·+ xn · yn =[

x1 x2 · · · xn

Con lo anterior se deduce que cuando se hace AT· v se calcula un vector donde

cada componente es el producto punto de la columna correspondiente de A con el

vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula AT·A la matriz

resultante tiene en la posición (i, j) justo ai • aj es decir, el producto punto de la

columna i de A con la columna j de A. De esta forma: AT·A = I si y sólo si se

tiene que las columnas de A son ortogonales y que tienen norma 1.

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal

, v2 =

, v3 =

−5/2

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal

, v2 =

, v3 =

−5/2

Soluci onFormamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:

A = [v1 v2 v3] =

1 −2 −2

0 2 −5/2

Y calculamos AT·A:

· A =

0 0 45/4

que sean cero los elementos que están fuera de la diagonal principal indica que elconjunto es ortogonal.

EjemploDetermina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores

, v2 =

, v3 =

sea ortogonal.

, v2 =

, v3 =

sea ortogonal.Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:

A = [v1 v2 v3] =

Y calculamos AT·A:

· A =

52 + z2 4 x + 36 + 4 z 8 + 6 y + 3 z

4 x + 36 + 4 z x2 + 52 2 x + 6 y + 12

8 + 6 y + 3 z 2 x + 6 y + 12 13 + y2

, v2 =

, v3 =

sea ortogonal.Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:

A = [v1 v2 v3] =

Y calculamos AT·A:

· A =

52 + z2 4 x + 36 + 4 z 8 + 6 y + 3 z

4 x + 36 + 4 z x2 + 52 2 x + 6 y + 12

8 + 6 y + 3 z 2 x + 6 y + 12 13 + y2

4 x + 36 + 4 z = 0

8 + 6 y + 3 z = 0

2 x + 6 y + 12 = 0

de donde, los únicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = −31/5,y = 1/15 y z = −14/5

EjemploDetermine el vector de coordenadas de v =< 2, 2,−4 > respecto a la baseortonormal

, u2 =

−2/3

, u3 =

−2/3

, u2 =

−2/3

, u3 =

−2/3

Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base sonlos coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base esortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientesde Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementosde la base.

, u2 =

−2/3

, u3 =

−2/3

Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base sonlos coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base esortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientesde Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementosde la base. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello,formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores de B:

A = [u1 u2 u3] =

1/3 2/3 2/3

2/3 −2/3 1/3

2/3 1/3 −2/3

y calculamos AT·A:

· A =

Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el

conjunto es ortonormal.

Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos alproducto:

1/3 2/3 2/3

2/3 −2/3 1/3

2/3 1/3 −2/3

−2/3

−4/3

Por tanto, c1 = v • u1 = −2/3, c2 = v • u2 = −4/3, y c3 = v • u3 = 14/3 y el vectorde coordenadas de v respecto a la base B es < −2/3,−4/3, 14/3 >.

Teorema

Sea A una matriz n× n, y u y v dos vectoresen Rn. Entonces

(Au) • v = u •(

Teorema

Sea A una matriz n× n, y u y v dos vectoresen Rn. Entonces

(Au) • v = u •(

Demostraci on

(Au) • v = (Au)Tv

= u •(

Teorema

Sea A una matriz n× n. Son equivalenteslas siguientes afirmaciones:

(1) A es ortogonal.(2) A preserva los productos punto:

(Au) • (Au) = u • v ∀u,v(3) A preserva norma:

||Av|| = ||v|| ∀v

Teorema

Sea A una matriz n× n. Son equivalenteslas siguientes afirmaciones:

(1) A es ortogonal.(2) A preserva los productos punto:

(Au) • (Au) = u • v ∀u,v(3) A preserva norma:

||Av|| = ||v|| ∀vDemostraci on(1) implica (2)

Si A es ortogonal, ATA = I. Así

(Au)•(Av) = (Au)T·Av = uTAT·Av = uT·(AT·A)v = uT·I·v = uT·v

(2) implica (3)

Se tiene

||Av||2 = (Av) • (Av)

= v • v = ||v||2

tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3).

(2) implica (3)

Se tiene

||Av||2 = (Av) • (Av)

= v • v = ||v||2

tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3).(3) implica (1)

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