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MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
12 de Abril de 2011
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1
ECUACIONES LINEALES(Clase 03)(Clase 03)
Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
1. Determinante de una matriz
2. Propiedades de los determinantes
3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2
4. Determinante de orden 3
Sea A una matriz de orden n , si n =1se tiene: A=[a], det A= a
Se llama determinante de la matriz A de orden2 al número a .a -a .a y escribimos:
Determinante de una matriz
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:
1. Determinante de una matriz
2. Propiedades de los determinantes
3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 4
4. Determinante de orden 3
1. Determinante de la traspuestaSi A es cualquier matriz cuadrada, entonces:
det(A)= det(A )t
2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A,entonces el determinante cambia de signo:
det B = - det A
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
det B = - det A(OPERACIÓN ELEMENTAL 1)
3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por elescalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c.
det B = c (det A)(OPERACIÓN ELEMENTAL 2)
4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo deotra fila de A, entonces el determinante no se altera
det B = det A(OPERACIÓN ELEMENTAL 3)
5. Determinante de una matriz triangularEl determinante de una matriz triangular está dado por
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.
11 12 13 1n
22 23 2n
33 3n
nn
a a a ... a0 a a ... a
de t 0 0 a ... a. . . ... ...0 0 0 0 a
nnaaaa ... 332211=
6. Determinante de la inversa
Si A es no singular, entonces det(A) 0, y :
=
≠
)det(
1
A)det( 1−A
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero.
Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.
a. Si un renglón o columna tiene solo ceros, el determinante escero.
b. Si se intercambian 2 renglones o columnas, el signo deldeterminante cambia
c. Si dos columnas o renglones son iguales, el determinante escero.
d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real el
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real eldeterminante se multiplica por ese número real.
e. Si se suma un múltiplo de un renglón o columna a otro renglón ocolumna, el determinante no se altera.
f. El determinante de un producto de matrices es igual al productode los determinantes de cada una.
g. El determinante de la inversa es el inverso del determinante dela matriz original.
det AT = det A
4143
75det −=
−=A 41
47
35det −=
−=TA
Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × nson idénticas, entonces det A = 0.
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
son idénticas, entonces det A = 0.
=229
224
226
A 0
229
224
226
det ==A
Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.
Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n,entonces:
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
det B = −det A
AB det
312
706
914
914
706
312
det −=−
−=−
=
Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:
det B = k det A
A
B
det)(
det 2211
kCaCaCak
CkaCkaCka ininiiii
=+++=+++=
����� ������ ��⋯
⋯
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
AA
det)(fila ésima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansión
2211 kCaCaCaki
ininiiii =+++=����� ������ ��
⋯
80)21(8012
11285
24
1185
164
815
1620
85
−=−==
==
．．
．
Si A y B son matrices n × n, entonces
det AB = det A ⋅ det B.
−−
=
−=
53
43,
11
62BA
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−
=96
2212AB
det AB = −24, det A = −8, det B = 3,
det AB = det A ⋅ det B.
Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:
det B = det A
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
det A = 45 = det B = 45.
BA =
−−−
−= ⇒
+−
2411
703
215
414
703
215313 RR
=
333231
2221
11
0
00
aaa
aa
a
A
33221132332211
3332
2211
)．0(
0det
aaaaaaa
aa
aa
=−
==A
matriz triangular inferior
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−−
=
2427
0495
0062
0003
A
144)2(．)4(．6．3
2427
0495
0062
0003
det
=−−
=
−−
=A
− 003 003−
matriz diagonal
Propiedades de los determinantes
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
−=
400
060
003
A 7246)3(
400
060
003
det −=−=−
= ．．A
1. Determinante de una matriz
2. Propiedades de los determinantes
3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 16
4. Determinante de orden 3
Se ha afirmado que para el caso especial de unamatriz triangular, el determinante es igual alproducto de los elementos sobre la diagonal.Entonces, si una matriz puede reducirse a unamatriz escalonada por filas, es evidente que eldeterminante podrá calcularse como el producto
Cálculo del determinante por operaciones elementales
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
determinante podrá calcularse como el productode los elementos diagonales, considerando en eldesarrollo las operaciones elementales por filas ysu efecto en el valor del determinante. Se usaráun ejemplo para ilustrar esta situación:
Hallar el determinante de la matriz
2 2 0 4
Cálculo del determinante por operaciones elementales
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
2 2 0 43 3 2 2
A0 1 3 22 0 2 1
=
Solución: se tiene que
(suma de filas)
(multiplicación por un escalar)
1202
2310
2233
2011
2
1202
2310
2233
4022
=
4200
2011
2−
=
1800
4200
2310
2011
2−
−=
1800
2100
2310
2011
)2(2−
−=
Cálculo del determinante por operaciones elementales
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
(multiplicación por un escalar)
(dos veces suma de filas)
(suma de filas)
(intercambio de filas) det (A)= (-2)(2)(17)=-68
3220
23102
−−
=
3220
4200
2310
2011
2
−−−
−=
1800
17000
2100
2310
2011
)2(2−
−=
Es conveniente aclarar que para elcálculo de los determinantes, lasoperaciones básicas también puedenrealizarse por columnas, dependiendodel ejemplo de que se trate.
Cálculo del determinante por operaciones elementales
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
del ejemplo de que se trate.
1. Determinante de una matriz
2. Propiedades de los determinantes
3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 21
4. Determinante de orden 3
En el caso de matrices cuadradas de orden 3,también podemos calcular el determinantede la siguiente manera:
�Copie la primera y segunda columna de lamatriz a su derecha:
Determinante de una matriz de orden 3
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
( )312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++−++=
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A =
+
-
−−−
=134
327
145
A
−−−−
=111
122
110
B
1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:
Ejercicios
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
2. Para que valor de a el determinante es cero:
a
a
a
42
012
321
−−+−
Pensamiento de hoy
“No es lo que no sabemoslo que nos inquieta, es loque sabemos que no es así”.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 24
que sabemos que no es así”.
Will Rogers