01 novembre 2013 FILTRES SALLEN-KEY 1 GPA667 CONCEPTION ET SIMULATION DE CIRCUITS ÉLECTRONIQUES...

01 novembre 2013FILTRES SALLEN-KEY1

GPA667GPA667

CONCEPTION ET SIMULATION

DE CIRCUITS ÉLECTRONIQUES

FILTRES ACTIFS SALLEN KEY

GPA667GPA667

Tiré et adapté en françaisà partir des informations contenues dans le document suivant :

Chapter 16Active Filter Design Techniques

Literature Number SLOA088Excerpted from

Op Amps for EveryoneLiterature Number: SLOD006A

Thomas Kugelstadt

Disponible sur le site du cours dans ‘Documents divers’

FILTRES ACTIFS SALLEN KEY

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FILTRE PASSE-BAS IDÉALFILTRE PASSE-BAS IDÉAL

FILTRE PASSE-BAS PRATIQUEFILTRE PASSE-BAS PRATIQUE

Bande passante

Bande de transition

Bande d’arrêt

FILTRE PASSE-BASFILTRE PASSE-BASBANDE PASSANTEBANDE PASSANTE

Bande passante (“ Pass-band ”)

Largeur de bande pour laquelle le gain H dB est toujours plus grand ou égal à Hmax dB

FILTRE PASSE-BASFILTRE PASSE-BASBANDE D’ARRÊTBANDE D’ARRÊT

Bande d’arrêt (“ Stop Band ”)

Largeur de bande pour laquelle le gain H dB est toujours plus petit ou égal à Hmin

FILTRE PASSE-BASFILTRE PASSE-BASBANDE DE TRANSISTIONBANDE DE TRANSISTION

Bande de transition (“ Transition Band ”)

Largeur de bande entre la bande d’arrêt et la bande passante pour laquelle le gain H dB est compris entre Hmax et Hmin

FILTRE PASSE-HAUT IDÉALFILTRE PASSE-HAUT IDÉAL

FILTRE PASSE-HAUT PRATIQUEFILTRE PASSE-HAUT PRATIQUE

Bande passante

Bande de transition

Bande d’arrêt

FILTRE PASSE-BANDE IDÉALFILTRE PASSE-BANDE IDÉAL

DÉLAI DE GROUPEDÉLAI DE GROUPE

Le filtre modifie l’amplitude et la phase des signaux à l’entrée. Il atténue ou amplifie le signal tout en introduisant un déphasage en fonction de la fréquence.

Lorsqu’on a un signal périodique de forme quelconque, on peut le représenter comme une somme de signaux sinusoïdaux. Prenons v1 (t), un de ces signaux,

)sin()(1 tAtv

DÉLAI DE GROUPEDÉLAI DE GROUPELorsque le signal v1 est simplement retardé et non déformé, on a :

L’expression de v2 devient donc :

L’angle de déphasage, , s’exprime selon :

)()( 12 Dtvtv

])(sin[)(2 DtAtv

]sin[)(2 DtAtv

Si on veut que tous les harmoniques qui composent le signal périodique soient retardés de D sans changement d’amplitude, on aura une sortie fidèle.

Si on exprime v1(t) et v2(t) sous forme de phaseurs V1 et V2, on a :

DAVetAV 21

RETARD DRETARD D

Délai D

La fonction de transfert du filtre, V2/V1 aura une amplitude de 1 et un déphasage -D

Même retard temporel D pour Même retard temporel D pour toutes les fréquencestoutes les fréquences

A*sin(wt) A*sin(w(t+D))

Même retard angulaire pour Même retard angulaire pour toutes les fréquencestoutes les fréquences

A*sin(wt) A*sin(wt – pi/10)

DÉLAI DE GROUPE IDEAL,DÉLAI DE GROUPE IDEAL, //

DÉLAI DE GROUPE, DÉLAI DE GROUPE, //

La valeur D correspond au délai de phase lorsqu’on utilise la forme linéaire

DÉLAI DE GROUPE, DÉLAI DE GROUPE, //

On parlera de délai de groupe lorsque D s’exprime selon :

)( groupededélaid

FILTRES : CARACTÉRISTIQUESFILTRES : CARACTÉRISTIQUES

Il y a 3 caractéristiques pour qualifier un filtre :

Gain A0 constant dans la bande passante

Variation rapide dans la bande de transition. Grande atténuation.

Phase linéaire ou délai de groupe constant en fonction de la fréquence

TYPES DE FILTRESTYPES DE FILTRES

Les filtres ne peuvent pas satisfaire toutes ces caractéristiques en même temps. Pour satisfaire ces 3 caractéristiques, nous aurons besoin de trois types de filtres, chacun adapté pour exceller dans une des caractéristiques mieux que les autres.

Ces 3 types sont :

Butterworth Tschebyscheff Bessel

Butterworth

Optimisé pour avoir une réponse constante dans la bande passante et une réponse temporelle avec un léger dépassement. Son atténuation est 20 dB/décade dans la bande de transition et la variation de phase est moyennement linéaire.

ATTÉNUATION BUTTERWORTH ATTÉNUATION BUTTERWORTH

DÉLAI DE GROUPE DÉLAI DE GROUPE BUTTERWORTHBUTTERWORTH

RÉPONSE TEMPORELLERÉPONSE TEMPORELLEBUTTERWORTHBUTTERWORTH

Tschebyscheff

Optimisé pour avoir la plus grande atténuation dans la bande de transition mais avec une réponse oscillante dans la bande passante et une réponse temporelle avec un maximum de dépassement. Sa variation de phase est aussi très non linéaire.

ONDULATIONONDULATIONDANS LA BANDE PASSANTEDANS LA BANDE PASSANTE

TchébyscheffTchébyscheff

ATTÉNUATIONATTÉNUATIONTCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 0.5 dBTCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 0.5 dB

ATTÉNUATIONATTÉNUATIONTCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 1.0 TCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 1.0

DÉLAI GROUPEDÉLAI GROUPETCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 0.5 dBTCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 0.5 dB

RÉPONSE TEMPORELLERÉPONSE TEMPORELLE TCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 0.5 dB TCHÉBYSCHEFF, ONDULATION = 0.5 dB

Bessel

Optimisé pour avoir un délai de groupe très constant jusqu’à la fréquence de coupure et une réponse temporelle avec un minimum de dépassement. Sa sortie est constante dans la bande passante. Son atténuation est toutefois la plus faible dans la bande de transition.

ATTÉNUATION BESSELATTÉNUATION BESSEL

DÉLAI GROUPE BESSELDÉLAI GROUPE BESSEL

RÉPONSE TEMPORELLE RÉPONSE TEMPORELLE BESSELBESSEL

ATTÉNUATION vs FRÉQUENCE ATTÉNUATION vs FRÉQUENCE BUTTERWORTHBUTTERWORTH

ATTÉNUATION vs FRÉQUENCE ATTÉNUATION vs FRÉQUENCE TSCHEBYSCHEFFTSCHEBYSCHEFF

PHASE vs FRÉQUENCE (n=4)PHASE vs FRÉQUENCE (n=4)BUTTERWORTH – TSCHEBYSCHEFF - BESSELBUTTERWORTH – TSCHEBYSCHEFF - BESSEL

DÉLAI GROUPE vs FRÉQ. (n=4)DÉLAI GROUPE vs FRÉQ. (n=4)BUTTERWORTH – TSCHEBYSCHEFF - BESSELBUTTERWORTH – TSCHEBYSCHEFF - BESSEL

GAIN vs FRÉQUENCE (n=4)GAIN vs FRÉQUENCE (n=4)BUTTERWORTH – TSCHEBYSCHEFF - BESSELBUTTERWORTH – TSCHEBYSCHEFF - BESSEL

FILTRES LP D’ORDRE nFILTRES LP D’ORDRE n

On réalise des filtres complexes d’ordre n en plaçant en cascade n/2 filtres d’ordre 2 lorsque n est pair et en ajoutant un filtre d’ordre 1 lorsque n est impair

FILTRES LP D’ORDRE 1FILTRES LP D’ORDRE 1On réalise un filtre d’ordre 1 avec un circuit RC et un amplificateur non inverseur auquel on peut ajouter un gain si nécessaire.

A0 : gain à basse fréquence

FILTRES LP D’ORDRE 1FILTRES LP D’ORDRE 1

On peut aussi réaliser un filtre d’ordre 1 avec un amplificateur connecté en intégrateur avec un gain à basse fréquence.

FILTRES LP D’ORDRE 1FILTRES LP D’ORDRE 1RÉALISATION

On spécifie d’abord fc et le gain c.c. A0 ensuite on pose C1 et on calcule R1 et R2

Par contre si le filtre d’ordre 1 sert dans un filtre d’ordre impair, a1 ≠ 1. Par ex. :

Pour le premier étage d’un filtre Bessel d’ordre 3 avec fc= 1 kHz et C1=47 nF, a1 = 0.756

Par ex. :

Un filtre d’ordre 1 de gain unitaire (A0 = 1)

Pour réaliser un filtre d’ordre 1 et de gain unitaire (A0 = 1)

Cette configuration est la meilleure :

FILTRES LP D’ORDRE 1FILTRES LP D’ORDRE 1RÉALISATION

Pour les filtres d’ordre 1 :

Butterworth, Tschebyscheff et Bessel,

a1 = 1

Pour le filtre d’ordre 1 qui constitue un des étage d’un filtre d’ordre n impair, :

Tschebyscheff et Bessel,

a1 ≠ 1

Si on cascade plusieurs filtres LP d’ordre 2, on obtient la FT A(s) suivante :

Dans ce cas-ci, A0 représente le gain à basse fréquence. On peut avoir A0 = 1 ou A0 ≠ 1

Il faut donc trouver un circuit qui permettra de réaliser des filtres d’ordre 2 : Topologie Sallen-Key

GÉNÉRALE GAIN UNITAIRE

FILTRES LP D’ORDRE 2FILTRES LP D’ORDRE 2TOPOLOGIE SALLEN-KEY GÉNÉRALE

FILTRES LP D’ORDRE 2FILTRES LP D’ORDRE 2TOPOLOGIE SALLEN-KEY UNITAIRE

Les tables nous fournissent les coefficients ai et bi et on a :

On pose C1 et C2, ce qui nous permet de calculer R1 et R2

Afin d’obtenir des valeurs réelles de la racine carrée, on doit poser la condition suivante :

La fréquence de coupure fc est de 3 kHz et l’ondulation d’amplitude dans la bande passante est de 3 dB.

Par ex. : Calcul d’un filtre passe-bas de type Tschebyscheff

Gain unitaire et ordre 2

À partir de la table des coefficients pour un filtre Tschebyscheff 3 dB et d’ordre 2, on obtient :

Calcul d’un filtre passe-bas de type Tschebyscheff 3 dB avec gain unitaire, ordre 2, fc = 3kHz

EXEMPLE (suite)

On pose C1 = 22 nF, ce qui donne :

Calcul d’un filtre passe-bas de type Tschebyscheff 3 dB avec gain unitaire, ordre 2, fc = 3kHz

EXEMPLE (suite & fin)

On obtient le circuit suivant :

FILTRES LP D’ORDRE 2FILTRES LP D’ORDRE 2TOPOLOGIE SALLEN-KEY GÉNÉRALE

Cette topologie se prête bien à la simplification suivante :

On obtient alors :

Si on pose C, on peut alors calculer :

ÉTAPE 1ÉTAPE 1 CHOIX DU TYPE DE FILTRECHOIX DU TYPE DE FILTRE

• Ondulation d ’amplitude en basses fréquences • Réponse transitoire ( Délai de groupe )

• On choisit parmi les 3 types :

•Butterworth ( par défaut) ou

•Tchébyscheff ou

•Bessel.

D ’après les caractéristiques générales,

ÉTAPE 2ÉTAPE 2 DÉTERMINATION DE L ’ORDREDÉTERMINATION DE L ’ORDRE

DU FILTREDU FILTRE

Pente d ’atténuation (dB/décade ou dB/octave) entre

C ( pulsation de coupure, -3 dB) et s (pulsation d ’arrêt, atténuation HS désirée en dB)

ÉTAPE 2ÉTAPE 2 DÉTERMINATION DE L ’ORDRE DÉTERMINATION DE L ’ORDRE

DU FILTREDU FILTRE

On consulte la table d’atténuation du type de filtre choisi pour déterminer l’ordre.

Selon le type de filtre, l’atténuation sera différente pour un même ordre donné. Il faut choisir le degré pour satisfaire le devis.

ÉTAPE 2ÉTAPE 2 DÉTERMINATION DE L’ORDRE DÉTERMINATION DE L’ORDRE

DU FILTREDU FILTRE

ÉTAPE 3ÉTAPE 3 DÉTERMINATION DU NOMBRE DE DÉTERMINATION DU NOMBRE DE

SECTIONSSECTIONS

La topologie Sallen Key permet de réaliser une section d ’ordre 2

Lorsque l ’ordre est impair, on ajoute une section d ’ordre 1

Pour un ordre n pair, on aura n/2 sections d’ordre 2.

ÉTAPE 3ÉTAPE 3 NOMBRE DE SECTIONS POUR UN NOMBRE DE SECTIONS POUR UN

FILTRE D’ORDRE n (pair)FILTRE D’ORDRE n (pair)

Section d’ordre 2 avec gain > 1

Section d’ordre 2 avec gain unitaire

n/2 sections d’ordre 2

FILTRE D’ORDRE n (pair)FILTRE D’ORDRE n (pair)

FILTRE D’ORDRE n (impair)FILTRE D’ORDRE n (impair)(n-1)/2 sections d’ordre 2, comme pour n pair + 1 section

d’ordre 1

comme ci-dessous

G ≥ 1

FILTRE D’ORDRE n (impair)FILTRE D’ORDRE n (impair)

Tables des coefficients aTables des coefficients aii et b et bii

LÉGENDE

Coefficients LPCoefficients LPBesBesn1 à n5n1 à n5

Coefficients LPCoefficients LPButButn1 à n5n1 à n5

Coefficients LPCoefficients LPTsc0.5Tsc0.5n1 à n5n1 à n5

Coefficients LPCoefficients LPTsc1.0Tsc1.0n1 à n5n1 à n5

CONCEPTION

Concevoir un filtre Butterworth passe-bas d’ordre 5 avec un gain basse fréquence unitaire et une

fréquence de coupure fc = 50 kHz.

EXEMPLE 1 (LPButn5G1)

EXEMPLE 1 (LPLPButn5G1)

n = 5 (impair)1 étage d’ordre 1(n-1)/2 = 2 étages d’ordre 2Les coefficients ai et bi pour

chacun des 3 étages s’obtiennent à partir des tables pour un filtre Butterworth

EXEMPLE 1 LPLPButn5G1

Coefficients : Butterworth d’ordre 5

Étage 1

Étage 2

Étage 3

Étage 1 : ordre 1

On pose C1 et on calcule ensuite R1 (précision de 1%)

Étage 2 : ordre 2

On pose C1 et on calcule ensuite C2 (précision de 5%)

La valeur la plus près sera donc 1.5 nF (5%)

Étage 2 : ordre 2

Avec C1 = 820 pF et C2 = 1.5 nF, on calcule ensuite R1 et R2 (précision de 1%)

Étage 2 : ordre 2

On obtient :

Étage 3 : ordre 2

On pose C1 et on calcule ensuite C2 (précision de 10%)

La valeur la plus près sera donc 4.7 nF (10%)

Étage 3 : ordre 2

Avec C1 = 330 pF et C2 = 4.7 nF, on calcule ensuite R1 et R2 (précision de 1%)

Réalisation du filtre Butterworth d’ordre 5

TRANSFORMATION LP vers HPTRANSFORMATION LP vers HP

On obtient un filtre passe-haut (HP) à partir du passe-bas (LP). La position des résistances R1 et R2 devient celle des condensateurs C1 et C2. La topologie Sallen-Key demeure la même.

TRANSFORMATION LP vers HPTRANSFORMATION LP vers HP

On remplace S dans la fonction de transfert du passe bas (LP) par 1/s pour obtenir la fonction de transfert A(s) du filtre passe haut (HP)

FILTRES HP D’ORDRE 1FILTRES HP D’ORDRE 1RÉALISATION

À partir des spécification de fc, G haute fréquence, on pose C1 et on résout pour R1 et R2

R2 = R3(G -1)

R2 = - R1 GSi G = 1 alors R2 = 0

Pour réaliser les filtres passe haut HP Sallen-Key d’ordre 2, il est commun d’utiliser un gain G unitaire et assumer que C1 = C2 = C.

La fontion de transfert devient :

Les coefficients du type de filtre permettent d’écrire :

À partir de C, on calcule R1 et

CONCEPTION

Concevoir un filtre Bessel passe-haut d’ordre 3 avec un gain haute fréquence unitaire et

une fréquence de coupure fc = 1 kHz.

EXEMPLE 2 (HPBesn3G1)

n = 3 (impair)1 étage d’ordre 1(n-1)/2 = 1 étage d’ordre 2Les coefficients ai et bi pour

chacun des 2 étages s’obtiennent à partir des tables pour un filtre Bessel.

Coefficients : Bessel d’ordre 3

Étage 1

Étage 2

Étage 1 : ordre 1

On pose C1 = 100 nF et on calcule ensuite R1 (précision de 1%)

R2 = 0 parce que G = 1

Étage 2 : ordre 2

On pose habituellement C1 = C2 = C pour simplifier la fonction de transfert.

Étage 2 : ordre 2

Avec C = 100 nF, on calcule ensuite R1 et R2 (précision de 1%)

Réalisation du filtre passe haut Bessel,n=3, G=1 et fc = 1kHz

Le même filtre à partir du Le même filtre à partir du logiciel FilterPro de Texas logiciel FilterPro de Texas

InstrumentsInstruments

Gain, phase et délaiGain, phase et délai

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Actifs réels et placements alternatifs

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