.

.

. ..

.

.

A lattice of virtual knots by crossing changes

Sumiko Horiuchi

Yoshiyuki Ohyama

Tokyo Woman’s Christian University

December 18, 2013

S.Horiuchi and Y.Ohyama (TWCU) A lattice of virtual knots December 18, 2013 1 / 31

Contents

Table of contents

　.

. .1 IntroductionDefinitions

A virtual linkA Gauss diagramAn n dimensional lattice graphAn n dimensional lattice of virtual knots

A preliminary resultMain theorem

An isometric embedding

.. .2 An n-writhe

.. .3 Proof

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Introduction Definitions

A virtual link

virtual link diagramとは real crossingだけでなく, virtual crossingももつような link diagramのことをいう.

real crossing virtual crossing

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Introduction Definitions

generalized Reidemeister moveが生成する同値関係による virtual linkdiagramの同値類を virtual linkという. 特に, 1成分のみのときをvirtual knotという ([3]).

AI : AII :

AIII :

BI : BII :

BIII : C :

Generalized Reidemeister moves.

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Introduction Definitions

A Gauss diagram

µ-component (virtual) link diagram L ⊂ R2 を平面への µ個の円周のはめ込み f : S1 ∪ · · · ∪ S1 → R2 の像として考える. real crossingに対応する doble pointには交点の上下の情報が与えられているものとする. Lの Gauss diagramとは, (virtual) link diagramの逆像である µ個の oriented circleで real crossingの逆像の対になる 2点を chordで結んだものとする. 各 chordに下交差に向かう矢印で real crossingの上下の情報を与える. また, 次の図で定義された real crossingの signも各 chordに与える.

+1 -1

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Introduction Definitions

Gauss diagramにおける generalized Reidemeister move

ε ε

ε ε-

ε ε-

- -

-

- -

-+

+ +

+

+ +

{virtual knot} one-to-one←→{

g. R. moveによるGauss diagramの同値類

}

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Introduction Definitions

An n dimensional lattice graph

Rn の格子点を vertexとし, Rn でのユークリッドの距離が 1の 2点を edgeで結んだ無限グラフを n次元格子グラフと呼ぶ.

R2

2 dimensional lattice graph.

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Introduction Definitions

(virtual) knot diagramにおける local move M と (generalized)Reidemeister moveの有限回の操作により, 2つの (virtual) knot K1

と K2 の diagramが互いに移りあうとき, 移りあうのに必要な localmove M の最小回数を dM(K1,K2)であらわす.

dM は距離関数の公理を満たす．

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Introduction Definitions

An n dimensional lattice of virtual knots

(virtual) knotの local move M による n次元格子とは, vertexがoriented (virtual) knotをあらわし, 任意の 2つの vertex K1,K2 のグラフ上での距離 d(K1,K2)が dM(K1,K2)に一致する n次元格子グラフのこととする.

ここで, vertexのグラフでの距離 d(K1,K2)とは, グラフにおいて 2つの vertex K1,K2 を結ぶ最短 pathの edge数を意味する.

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Introduction A preliminary result

A preliminary result

.Theorem 1 ([H-O])..

.

. ..

.

.

任意に与えた knot K に対して, K を vertexとする standardCn-move (n ≥ 4)による 2次元格子が存在する.

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Introduction A preliminary result

A standard Cn-move

Standerd Cn-moveの右から左への moveは, 左から右への moveで生成でき, 逆もできる.

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Introduction A preliminary result

C1-move (crossing change)

C2-move (Delta move)

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Introduction Main theorem

Main theorem

.Theorem 2..

.

. ..

.

.

任意に与えられた自然数 N と任意に与えれらた virtual knot K に対して, K を vertexとする crossing changeによる N 次元格子が存在する.

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Introduction Main theorem

An isometric embedding

(X , dX ), (Y , dY ): 距離空間

写像 f : X → Y が isometric embeddingであるとは, ∀x1,∀ x2 ∈ X に

対して, dY (f (x1), f (x2)) = dX (x1, x2)が成り立つときをいう.

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Introduction Main theorem

Ln : Rn の格子点全体の集合

Ln の格子点 x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn)に対して,

dn(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi |とおくと, (Ln, dn)は距離空間となる.

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Introduction Main theorem

(Ln, dn) : 距離空間

dn は n次元格子グラフの 2頂点間のグラフでの距離に一致する.

2つの virtual knotが homotopicであるとは, それらの diagramがcrossing changeと generalized Reidemeister moveの有限回の操作で移り合うこととする.

ΓG : virtual knotの homotopy classdG : virtual knotの crossing changeによる距離

(ΓG , dG ) : 距離空間

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Introduction Main theorem

.Corollary 3..

.

. ..

.

.

任意に与えられた自然数 N に対して, (LN , dN)から (ΓG , dG )へのisometric embeddingが存在する.

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An n-writhe

An n-writhe

P

Q

Gauss diagram G

γ :real crossingに対応する chord

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An n-writhe

P

Q

G

( )

( )

( )

ε(γ) :real crossingの sign

+1 -1

ε(P) = −ε(γ)ε(Q) = ε(γ)

Ind(γ) : α上の点 P, Q以外の

すべての点の符号和

Jn(G ) =∑

Ind(γ)=n

ε(γ)

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An n-writhe

例

1

2

3

4

+

+

+

+

+

Ind(γ1) = −1Ind(γ2) = 3

Ind(γ3) = −2Ind(γ4) = −2

J3(G ) = −1J−1(G ) = 1

J−2(G ) = −2Jn(G ) = 0 (n ̸= 3,−1,−2)

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An n-writhe

.Theorem 4 ([Satoh-Taniguchi])..

.

. ..

.

.

D, D ′ を virtual knot diagramとし、G (D), G (D ′)を D, D ′ の Gaussdiagramとする．nを 0以外の整数とする．D と D ′ が generalizedReidemeister moveで移りあうならば，Jn(G (D)) = Jn(G (D ′))が成立する．

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An n-writhe

crossing change

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An n-writhe

.Lemma 5 ([Satoh-Taniguchi])..

.

. ..

.

.

γ : Gauss diagram G 上の Ind(γ)が n, signが εの chordG ′ : Gauss diagram G から γ の向きと signを変えることにより

得られた Gauss diagram

(i) n ̸= 0のときJk(G

′) = Jk(G )− ε (k = ±n)Jk(G

′) = Jk(G ) (k ̸= ±n)

(ii) n = 0のときJ0(G

′) = J0(G )− 2εJk(G

′) = Jk(G ) (k ̸= 0)

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An n-writhe

.Theorem 6 ([Satoh-Taniguchi])..

.

. ..

.

.

K ,K ′ : crossing changeで移り合う virtual knot

(i) 任意の n(̸= 0)に対して,Jn(K )− Jn(K

′) = J−n(K )− J−n(K′)

(ii) dG (K ,K ′) ≥∑n>0

|Jn(K )− Jn(K′)| =

∑n<0

|Jn(K )− Jn(K′)|

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Proof

Proof.

Kn

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+n本

Ji(Kn) =

1 i = ±nn i = 00 i ̸= 0,±n

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Proof

Kn

+

+

+

+

+

n本

*

Ji(Kn∗) =

−1 i = ±n−n i = 00 i ̸= 0,±n

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Proof

K が trivial knotの場合について証明する．

N 次元格子上の任意の vertexを X とする.

X = (x1, x2, · · · , xN), i = 1, 2, · · · ,N において(i) xi > 0のときKi を xi 個 connected sumする → xiK

′i と表す

(ii) xi < 0のときKi

∗ を −xi 個 connected sumする → xiK′i と表す

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Proof

X に対応する virtual knot KX を x1K1′#x2K2

′# · · ·#xNKN′ とおく．

Ji(xiKi′) = xi (i = 1, 2, · · · ,N)かつ Jk(xiKi

′) = 0 (k ̸= i ,−i)より，

Ji(KX ) = xi (i = 1, 2, · · · ,N)が成立する．

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Proof

1回の crossing changeで connected sumの成分が 1つ消える．

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+n本

crossing change

+

+

+

+

+

+

+

+

+

C.C AII

+

+

+

+

+

+ AI

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Proof

N 次元格子上の任意の 2点 X ,Y を次のように表す.

X = (x1, x2, · · · , xN) : #Ni=1xiKi

′ = KX

Y = (y1, y2, · · · , yN) : #Ni=1yiKi

′ = KY

N∑i=1

|xi − yi |回の crossing changeで KX から KY に移る.

Theorem 6 より,

dG (KX ,KY ) ≥N∑i=1

|xi − yi |が得られているので,

dG (KX ,KY ) =N∑i=1

|xi − yi |が成立する．

�

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Proof

References

[1] S. Horiuchi and Y. Ohyama, A two dimensional lattice of knots byC2m-moves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 155(2013), 39-46.

[2] S. Horiuchi and Y. Ohyama, A two dimensional lattice of knots byCn-moves, preprint.

[3] L. H. Kauffman, Virtual knot theory, European J. Combin. 20(7)(1999), 693-691.

[4] S. Satoh and K. Taniguchi, The writhes of a virtual knot, preprint.

S.Horiuchi and Y.Ohyama (TWCU) A lattice of virtual knots December 18, 2013 31 / 31