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A lattice of virtual knots by crossing changes
Sumiko Horiuchi
Yoshiyuki Ohyama
Tokyo Woman’s Christian University
December 18, 2013
S.Horiuchi and Y.Ohyama (TWCU) A lattice of virtual knots December 18, 2013 1 / 31
Contents
Table of contents
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. .1 IntroductionDefinitions
A virtual linkA Gauss diagramAn n dimensional lattice graphAn n dimensional lattice of virtual knots
A preliminary resultMain theorem
An isometric embedding
.. .2 An n-writhe
.. .3 Proof
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Introduction Definitions
A virtual link
virtual link diagramとは real crossingだけでなく, virtual crossingももつような link diagramのことをいう.
real crossing virtual crossing
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Introduction Definitions
generalized Reidemeister moveが生成する同値関係による virtual linkdiagramの同値類を virtual linkという. 特に, 1成分のみのときをvirtual knotという ([3]).
AI : AII :
AIII :
BI : BII :
BIII : C :
Generalized Reidemeister moves.
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Introduction Definitions
A Gauss diagram
µ-component (virtual) link diagram L ⊂ R2 を平面への µ個の円周のはめ込み f : S1 ∪ · · · ∪ S1 → R2 の像として考える. real crossingに対応する doble pointには交点の上下の情報が与えられているものとする. Lの Gauss diagramとは, (virtual) link diagramの逆像である µ個の oriented circleで real crossingの逆像の対になる 2点を chordで結んだものとする. 各 chordに下交差に向かう矢印で real crossingの上下の情報を与える. また, 次の図で定義された real crossingの signも各 chordに与える.
+1 -1
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Introduction Definitions
Gauss diagramにおける generalized Reidemeister move
ε ε
ε ε-
ε ε-
- -
-
- -
-+
+ +
+
+ +
{virtual knot} one-to-one←→{
g. R. moveによるGauss diagramの同値類
}
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Introduction Definitions
An n dimensional lattice graph
Rn の格子点を vertexとし, Rn でのユークリッドの距離が 1の 2点を edgeで結んだ無限グラフを n次元格子グラフと呼ぶ.
R2
2 dimensional lattice graph.
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Introduction Definitions
(virtual) knot diagramにおける local move M と (generalized)Reidemeister moveの有限回の操作により, 2つの (virtual) knot K1
と K2 の diagramが互いに移りあうとき, 移りあうのに必要な localmove M の最小回数を dM(K1,K2)であらわす.
dM は距離関数の公理を満たす.
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Introduction Definitions
An n dimensional lattice of virtual knots
(virtual) knotの local move M による n次元格子とは, vertexがoriented (virtual) knotをあらわし, 任意の 2つの vertex K1,K2 のグラフ上での距離 d(K1,K2)が dM(K1,K2)に一致する n次元格子グラフのこととする.
ここで, vertexのグラフでの距離 d(K1,K2)とは, グラフにおいて 2つの vertex K1,K2 を結ぶ最短 pathの edge数を意味する.
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Introduction A preliminary result
A preliminary result
.Theorem 1 ([H-O])..
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. ..
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任意に与えた knot K に対して, K を vertexとする standardCn-move (n ≥ 4)による 2次元格子が存在する.
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Introduction A preliminary result
A standard Cn-move
Standerd Cn-moveの右から左への moveは, 左から右への moveで生成でき, 逆もできる.
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Introduction A preliminary result
C1-move (crossing change)
C2-move (Delta move)
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Introduction Main theorem
Main theorem
.Theorem 2..
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. ..
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任意に与えられた自然数 N と任意に与えれらた virtual knot K に対して, K を vertexとする crossing changeによる N 次元格子が存在する.
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Introduction Main theorem
An isometric embedding
(X , dX ), (Y , dY ): 距離空間
写像 f : X → Y が isometric embeddingであるとは, ∀x1,∀ x2 ∈ X に
対して, dY (f (x1), f (x2)) = dX (x1, x2)が成り立つときをいう.
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Introduction Main theorem
Ln : Rn の格子点全体の集合
Ln の格子点 x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn)に対して,
dn(x, y) =n∑
i=1
|xi − yi |とおくと, (Ln, dn)は距離空間となる.
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Introduction Main theorem
(Ln, dn) : 距離空間
dn は n次元格子グラフの 2頂点間のグラフでの距離に一致する.
2つの virtual knotが homotopicであるとは, それらの diagramがcrossing changeと generalized Reidemeister moveの有限回の操作で移り合うこととする.
ΓG : virtual knotの homotopy classdG : virtual knotの crossing changeによる距離
(ΓG , dG ) : 距離空間
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Introduction Main theorem
.Corollary 3..
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. ..
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任意に与えられた自然数 N に対して, (LN , dN)から (ΓG , dG )へのisometric embeddingが存在する.
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An n-writhe
An n-writhe
P
Q
Gauss diagram G
γ :real crossingに対応する chord
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An n-writhe
P
Q
G
( )
( )
( )
ε(γ) :real crossingの sign
+1 -1
ε(P) = −ε(γ)ε(Q) = ε(γ)
Ind(γ) : α上の点 P, Q以外の
すべての点の符号和
Jn(G ) =∑
Ind(γ)=n
ε(γ)
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An n-writhe
例
1
2
3
4
+
+
+
+
+
Ind(γ1) = −1Ind(γ2) = 3
Ind(γ3) = −2Ind(γ4) = −2
J3(G ) = −1J−1(G ) = 1
J−2(G ) = −2Jn(G ) = 0 (n ̸= 3,−1,−2)
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An n-writhe
.Theorem 4 ([Satoh-Taniguchi])..
.
. ..
.
.
D, D ′ を virtual knot diagramとし、G (D), G (D ′)を D, D ′ の Gaussdiagramとする.nを 0以外の整数とする.D と D ′ が generalizedReidemeister moveで移りあうならば,Jn(G (D)) = Jn(G (D ′))が成立する.
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An n-writhe
crossing change
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An n-writhe
.Lemma 5 ([Satoh-Taniguchi])..
.
. ..
.
.
γ : Gauss diagram G 上の Ind(γ)が n, signが εの chordG ′ : Gauss diagram G から γ の向きと signを変えることにより
得られた Gauss diagram
(i) n ̸= 0のときJk(G
′) = Jk(G )− ε (k = ±n)Jk(G
′) = Jk(G ) (k ̸= ±n)
(ii) n = 0のときJ0(G
′) = J0(G )− 2εJk(G
′) = Jk(G ) (k ̸= 0)
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An n-writhe
.Theorem 6 ([Satoh-Taniguchi])..
.
. ..
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.
K ,K ′ : crossing changeで移り合う virtual knot
(i) 任意の n(̸= 0)に対して,Jn(K )− Jn(K
′) = J−n(K )− J−n(K′)
(ii) dG (K ,K ′) ≥∑n>0
|Jn(K )− Jn(K′)| =
∑n<0
|Jn(K )− Jn(K′)|
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Proof
Proof.
Kn
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+n本
Ji(Kn) =
1 i = ±nn i = 00 i ̸= 0,±n
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Proof
Kn
+
+
+
+
+
n本
*
Ji(Kn∗) =
−1 i = ±n−n i = 00 i ̸= 0,±n
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Proof
K が trivial knotの場合について証明する.
N 次元格子上の任意の vertexを X とする.
X = (x1, x2, · · · , xN), i = 1, 2, · · · ,N において(i) xi > 0のときKi を xi 個 connected sumする → xiK
′i と表す
(ii) xi < 0のときKi
∗ を −xi 個 connected sumする → xiK′i と表す
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Proof
X に対応する virtual knot KX を x1K1′#x2K2
′# · · ·#xNKN′ とおく.
Ji(xiKi′) = xi (i = 1, 2, · · · ,N)かつ Jk(xiKi
′) = 0 (k ̸= i ,−i)より,
Ji(KX ) = xi (i = 1, 2, · · · ,N)が成立する.
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Proof
1回の crossing changeで connected sumの成分が 1つ消える.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+n本
crossing change
+
+
+
+
+
+
+
+
+
C.C AII
+
+
+
+
+
+ AI
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Proof
N 次元格子上の任意の 2点 X ,Y を次のように表す.
X = (x1, x2, · · · , xN) : #Ni=1xiKi
′ = KX
Y = (y1, y2, · · · , yN) : #Ni=1yiKi
′ = KY
N∑i=1
|xi − yi |回の crossing changeで KX から KY に移る.
Theorem 6 より,
dG (KX ,KY ) ≥N∑i=1
|xi − yi |が得られているので,
dG (KX ,KY ) =N∑i=1
|xi − yi |が成立する.
�
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Proof
References
[1] S. Horiuchi and Y. Ohyama, A two dimensional lattice of knots byC2m-moves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 155(2013), 39-46.
[2] S. Horiuchi and Y. Ohyama, A two dimensional lattice of knots byCn-moves, preprint.
[3] L. H. Kauffman, Virtual knot theory, European J. Combin. 20(7)(1999), 693-691.
[4] S. Satoh and K. Taniguchi, The writhes of a virtual knot, preprint.
S.Horiuchi and Y.Ohyama (TWCU) A lattice of virtual knots December 18, 2013 31 / 31