ФРАКТАЛЬНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СМЕЩЕНИЙ ЗЕМНОЙ СМЕЩЕНИЙ ЗЕМНОЙ

ПОВЕРХНОСТИ ПО ДАННЫМ ПОВЕРХНОСТИ ПО ДАННЫМ GPS (GPS (Global Positional System)Global Positional System)

Захаров В.С. Геологический факультет МГУ им.Ломоносова

zakharov@dynamo.geol.msu.ru

Скорости горизонтальных движений анализируемых пунктов GPS (ITRF-2000).

ANKR

BAHR

BOR1

COCO

COSOGOL2HARV

IRKT

KELY

KOUR

MCM4

METS

SHAO

STJO

USUDW EST

YAR1

YELL

ZECK

-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150

-60

-30

0

30

60

-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150

-60

-30

0

30

60

20 мм /год

Смещения по данным GPS (пункт YELL)

годы

сме

ще

ние

, мм

-10

-5

0

5

10

15

20

1992 1994 1996 1998 2000 2002

в ерти кал ь ная ко м понента

до л го тная ком по нента

широ тная ко м по нента

В рем енно й ряд с м ещений п . Y E L L (1992 - 2002 гг.)

Смещения по данным GPS (пункт ANKR) Смещения по данным GPS (пункт BOR1)

3D cмещения анализируемых пунктов GPSСмещ ения по данным GPS (пункт BAHR)

Смещ ения по данным G PS (пункт CO CO ) С м ещения по данны м G P S (пункт G O L 2)Смещения по данным GPS (пункт COSO)

Смещения по данным GPS (пункт HARV) Смещения по данным GPS (пункт KELY) С м ещ ен и я п о дан н ы м G P S (п ун к т IR K T )

Анализ корреляционной размерности и размерности вложения временного ряда вертикальных смещений по данным GPS в пункте COSO (зап. США)

Аттрактор в псевдофазовом 3D пространстве

Временной ряд для ежедневных измерений вертикальных смещенийпо данным SOPAC (Scripps Orbit and Planetary Array Center) http//:sopac.ucsd.edu

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Lg(r)

Lg

(c)

m=2

m=3

m=4

m=5

m=6

m=7

m=8

m=9

m=10

Вычисление корреляционной размерности Dc для различных m

Dc >8

m>10

Анализ модели блоковой динамики NloR

время

смещ

ени

е

Аттрактор в псевдофазовом 3D пространстве

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10m

Dc

шум

JMA

GPS

Nlo

JMA: Dc=3.03

Nlo: Dc=4.95

Смещения, рассчитанные для блоков в модели Nlo

Зависимость корреляционной размерности Dc от размерности вмещения m

Dc =4.95

m=8

Исследуемые характеристики• зависимость спектральной мощности S(f) от частоты f

S(f)=a f -, где a - константа (или logS(f)= - log f + a)., тогда - скейлинговый параметрдля спектра ряда.

• Показатель Херста (Hu) вычисляется в результате анализа соотношения R/S (R/S - анализ) [3,5]. Здесь R - "размах" временного ряда - разность наибольшего и наименьшего накопленного отклонения от текущего среднего (на данном интервале времени ); S - стандартное отклонение ряда на том же интервале.

R/S ~ Hu , где Hu - показатель Херста. При Hu > 0.5 временные персистентны, при Hu < 0.5 - антиперсистентны.

• Используются соотношения, полученные из анализа броуновских функций:<( Bh(t) - Bh (to))2> ~ (t-to)2h, где h - скейлинговый параметр ряда

2Hu - 1 при -1 < < 1; Hu 0 при < - 1; Hu 1 при > 1; (1)

2h + 1 при 1 < < 3; h 0 при < 1; h 1 при > 3; (2)

D = 2 - h или D (5- )/2 при 1< <3. (3)

В [3] приводится уточненное соотношение D = 2.28 - 0.38 (4) (при 0.5< <3)

Результаты фрактального анализа

Lat - Щиротная компонента

0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.02.12.2

AN

KR

BA

HR

BO

R1

CO

CO

CO

SO

GO

L2

HA

RV

IRK

T

KE

LY

KO

UR

MC

M4

ME

TS

SH

AO

ST

JO

US

UD

WE

ST

YA

R1

YE

LL

ZE

CK

мод

ель

NL

O

Пункты GPS

Фр

акта

ль

ны

е х

арак

тер

ист

ики

D3 - Фракт.размерн. по (3)D - Фрактальная размерность, вычисленная по рядуD4 - Фракт.размерн. по (4)Спектральный скейлинговый параметр

D=2

Результаты фрактального анализа

Lon- Долготная компонента

0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.02.12.2

AN

KR

BA

HR

BO

R1

CO

CO

CO

SO

GO

L2

HA

RV

IRK

T

KE

LY

KO

UR

MC

M4

ME

TS

SH

AO

ST

JO

US

UD

WE

ST

YA

R1

YE

LL

ZE

CK

мод

ель

NLO

Пункты GPS

Фр

акта

ль

ны

е х

арак

тер

ист

ики

D3 - Фракт.размерн. по (3)D - Фрактальная размерность, вычисленная по рядуD4 - Фракт.размерн. по (4)Спектральный скейлинговый параметр

D=2

Результаты фрактального анализа

Rad- Вертикальная компонента

0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.02.12.2

AN

KR

BA

HR

BO

R1

CO

CO

CO

SO

GO

L2

HA

RV

IRK

T

KE

LY

KO

UR

MC

M4

ME

TS

SH

AO

ST

JO

US

UD

WE

ST

YA

R1

YE

LL

ZE

CK

мо

де

ль

NLO

Пункты GPS

Фр

акта

ль

ны

е ха

рак

тер

ис

тики

D3 - Фракт.размерн. по (3)D - Фрактальная размерность, вычисленная по рядуD4 - Фракт.размерн. по (4)Спектральный скейлинговый параметр

D=2

Результаты фрактального анализа.

Показатель Херста (Hu) и скейлинговый показатель ряда (h)

Показатель Херста (Hu) и скейлинговый параметр ряда (h)(Lat - широтная компонента)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5A

NK

R

BA

HR

BO

R1

CO

CO

CO

SO

GO

L2

HA

RV

IRK

T

KE

LY

KO

UR

MC

M4

ME

TS

SH

AO

STJ

O

US

UD

WE

ST

YA

R1

YE

LL

ZEC

K

мод

ель

NLO

Пункты GPS

Фра

ктал

ьны

е ха

ракт

ерис

тики

Показатель Херста Hu

Скейлинговый показательряда h

Показатель Херста (Hu) и скейлинговый параметр ряда (h)(Lon - долготная компонента)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

AN

KR

BA

HR

BO

R1

CO

CO

CO

SO

GO

L2

HA

RV

IRK

T

KE

LY

KO

UR

MC

M4

ME

TS

SH

AO

STJ

O

US

UD

WE

ST

YA

R1

YE

LL

ZEC

K

мод

ел

NLO

Пункты GPS

Фра

ктал

ьны

е ха

ракт

ерис

тики

Показатель Херста Hu

Скейлинговый показательряда h

Показатель Херста (Hu) и скейлинговый параметр ряда (h)(Rad - вертикальная компонента)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

AN

KR

BA

HR

BO

R1

CO

CO

CO

SO

GO

L2

HA

RV

IRK

T

KE

LY

KO

UR

MC

M4

ME

TS

SH

AO

STJ

O

US

UD

WE

ST

YA

R1

YE

LL

ZEC

K

мод

ел

NLO

Пункты GPS

Фра

ктал

ьны

е ха

ракт

ерис

тики

Показатель Херста Hu

Скейлинговый показательряда h

Lat

Lon Rad

Широтное смещение Долготное смещение Вертикальное смещение

Пункт Плита D h Hu D h Hu D h Hu

METS Eurasia 0.76 1.99 0.01 0.69 1.09 1.87 0.13 0.90 1.09 1.87 0.13 0.96

ANKR Anatol. 1.25 1.80 0.20 1.13 1.05 1.88 0.12 1.14 0.97 1.91 0.09 1.23

BAHR Arab. 1.12 1.85 0.15 0.78 1.02 1.89 0.11 0.69 1.15 1.84 0.16 0.96

BOR1 Eurasia 0.82 1.97 0.03 0.95 1.06 1.88 0.12 1.16 0.93 1.93 0.07 0.93

COCO India 1.41 1.74 0.26 0.99 1.31 1.78 0.22 0.95 0.90 1.94 0.06 1.01

COSO N.Amer. 1.40 1.75 0.25 1.17 1.39 1.75 0.25 1.25 1.36 1.76 0.24 1.04

GOL2 N.Amer. 0.96 1.92 0.08 0.89 1.30 1.79 0.21 0.94 0.85 1.96 0.04 0.86

HARV Nubia 0.83 1.97 0.03 0.91 1.12 1.85 0.15 0.95 1.31 1.78 0.22 0.64

IRKT Eurasia 1.25 1.80 0.20 1.03 1.25 1.80 0.20 0.99 0.94 1.92 0.08 0.90

KELY N.Amer. 0.79 1.98 0.02 1.04 0.86 1.95 0.05 0.70 1.08 1.87 0.13 0.89

KOUR S.Amer. 1.15 1.84 0.16 1.08 0.70 2.01 -0.01 0.86 0.92 1.93 0.07 0.84

MCM4 Antarct. 0.49 2.1 -0.10 0.85 0.78 1.98 0.02 0.72 0.90 1.94 0.06 1.16

SHAO S.China 1.02 1.89 0.11 1.11 1.09 1.87 0.13 0.97 1.09 1.86 0.14 0.67

STJO N.Amer. 1.21 1.82 0.18 0.90 1.00 1.90 0.10 1.02 1.02 1.89 0.11 1.02

USUD Okhotsk 1.03 1.89 0.11 1.10 0.82 1.97 0.03 0.88 0.99 1.90 0.10 0.73

WEST N.Amer. 1.25 1.80 0.20 0.95 1.07 1.87 0.13 1.05 0.98 1.91 0.09 0.85

YAR1 Australia 1.16 1.84 0.16 1.03 1.04 1.89 0.11 0.92 1.05 1.88 0.12 0.79

YELL N.Amer. 1.03 1.89 0.11 0.68 1.09 1.87 0.13 0.64 0.74 1.99 0.01 1.15

ZECK Eurasia 1.15 1.84 0.16 0.62 1.02 1.89 0.11 0.82 1.06 1.88 0.12 0.80

Gauss гауссов "белый" шум -0.02 0 0.51

BrM0 броуновская функция (h =0) 1.06 1.88 0 1

BrM25 броуновская функция (h =0.25) 1.50 1.71 0.25 1.01

NLO модель 0.92 1.93 0.07 2.03 1.51 0.49 1.84 1.58 0.42

Результаты и выводы• Установлено, что "шумовая", "хаотическая" компонента в исследуемых

рядах GPS несёт весьма ценную информацию о характеристиках системы земной коры, генерирующей сложные блоковые движения.

• Исследуемые временные ряды GPS проявляют фрактальные свойства в диапазоне, по меньшей мере, одного порядка по частоте. Установлены количественные характеристики самоподобия рядов и их спектров (см. таблицу)

• Близость значений параметра самоподобия к 1 указывает на то, что эти ряды относятся к классу фликкер-шума (шум мерцания, или перемежаемости). Система, генерирующая такие сигналы, не является полностью случайной (стохастической), а характеризуется определенной степенью детерминизма и наличием "памяти" о предыдущих состояниях - тем большей, чем больше или Hu (или чем меньше фрактальная размерность D). С другой стороны, в системах с перемежаемостью возможны резкие непредсказуемые изменения режима.

• Поскольку значения , Hu и D рассчитаны независимо, они позволяют, в пределах ошибок, подтвердить обоснованность применения теоретических соотношений (1)-(4) при оценке фрактальных характеристик природных временных рядов.