Name:  _________________________________________________  

Geometric  Mean    There  are  many  ways  to  determine  measures  on  a  right  triangle.    Geometric  mean  is  another  method  of  doing  this.    It  works  with  something  called  an  altitude,”  which  is  a  segment  connecting  the  right  angle  to  the  hypotenuse  at  another  right  angle.    There  are  2  formulas  you  will  use  to  solve  using  the  geometric  mean.    

To  determine  the  legs  (sides  not  the  hypotenuse),  use:  

𝑙𝑒𝑔! = (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑠𝑡  𝑝𝑎𝑟𝑡  𝑜𝑓  𝑡ℎ𝑒  ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)(ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)  

To  determine  the  altitude  (segment  going  through)  use:  

𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒! = (𝑜𝑛𝑒  𝑝𝑎𝑟𝑡  𝑜𝑓  𝑡ℎ𝑒  ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)(𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟  𝑝𝑎𝑟𝑡)        or      

   

part  closest  to  x:  1                                      part  closest  to  z:    2  whole  hypotenuse:  𝟏 + 𝟐 = 𝟑  

𝑙𝑒𝑔 ! = (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑠𝑡)(𝑤ℎ𝑜𝑙𝑒)           𝑙𝑒𝑔 ! = (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑠𝑡)(𝑤ℎ𝑜𝑙𝑒)  𝑥! = 1 3                                                                    𝑧! = 2 3                                𝑥! = 3                                                                                        𝑧! = 6                                                    𝑥! = 3                                                                             𝑧! = 6                                                  𝑥 = 3                                                                                  𝑧 = 6                                    

   

one  part:  1                                      other  part:    2  𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 ! = (𝑜𝑛𝑒  𝑝𝑎𝑟𝑡)(𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟  𝑝𝑎𝑟𝑡)  

𝑦! = 1 2  𝑦! = 2  𝑦! = 2  𝑦 = 2    

   Determine  the  value  of  each  variable.  EXAMPLE  

 part  closest  to  x  =  4  part  closest  to  z  =  2  

whole  hypotenuse  =  4  +  2  =  6  The  legs:  (𝑙𝑒𝑔)! = (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑠𝑡)(ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)  

𝑥! = 4 6  𝑥! = 24  𝑥! = 24  

𝑥 = 4 6 = 2 6    

𝑧! = 2 6  𝑧! = 12  𝑧 = 12  

𝑧 = 4 3 = 2 3    

The  altitude:  (𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒)! = (𝑜𝑛𝑒  𝑝𝑎𝑟𝑡)(𝑡ℎ𝑒  𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟)  

𝑦! = 4 2  𝑦! = 8  𝑦! = 8  

𝑦 = 4 2 = 2 2    

EXAMPLE  

 part  closest  to  x  =  6  part  closest  to  y  =  3  

whole  hypotenuse  =  6  +  3  =  9  The  legs:  (𝑙𝑒𝑔)! = (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑠𝑡)(ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)  

𝑥! = 6 9  𝑥! = 54  𝑥! = 54  

𝑥 = 9 6 = 3 6    

𝑦! = 3 9  𝑦! = 27  𝑦! = 27  

𝑦 = 9 3 = 3 3    

The  altitude:  (𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒)! = (𝑜𝑛𝑒  𝑝𝑎𝑟𝑡)(𝑡ℎ𝑒  𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟)  

𝑧! = 3 6  𝑧! = 18  𝑧! = 18  

𝑧 = 9 2 = 3 2    

EXAMPLE  

 part  closest  to  x  =  5  part  closest  to  z  =  5  

whole  hypotenuse  =  5  +  5  =  10  The  legs:  (𝑙𝑒𝑔)! = (𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑠𝑡)(ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒)  

𝑥! = 5 10  𝑥! = 50  𝑥! = 50  

𝑥 = 25 2 = 5 2    

𝑧! = 5 10  𝑧! = 50  𝑧 = 50  

𝑧 = 25 2 = 5 2  The  altitude:  (𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒)! = (𝑜𝑛𝑒  𝑝𝑎𝑟𝑡)(𝑡ℎ𝑒  𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟)  

𝑦! = 5 5  𝑦! = 25  𝑦! = 25  𝑦 = 5  

 

y 21

yx z4 2

y

xz63 yx

z5

5

x 21

z2

1

1.  

 

2.  

 

3.  

 

4.  

 

5.  

 

6.  

 

7.  

 

8.  

 

9.  

 

10.  

 

11.  

 

12.  

 

   

yxz6

6 yxz

9 6 1012y

xz

yx

z128 yx

z6

4 yxz

15 9

68y

xz y

x

z41 yx

z7

5

yxz

14 2410

yxz y

x

z164