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Variable Compleja

Hans Cristian Muller Santa Cruz

2000

Indice general

Prefacio V

I. Variable Compleja 1I.1. Los Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1.1. El Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.1.2. Conjugado de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.1.3. Modulo de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1.4. Sustraccion y Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1.5. Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1.6. Topologa del Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.1.7. El plano complejo acabado C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.1. Representaciones Graficas de Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.2.2. Funciones Complejas Remarcables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.2.3. El Logaritmo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.2.4. Funciones Trigonometricas Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.3.1. Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.4. Funciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.4.1. Homografas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.4.2. Representacion Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.5. Integracion Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.6. Un Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.7. Formulas Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41I.8. Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.8.1. Calculos con Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.8.2. Teoremas de Unicidad y Prolongamiento Analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49I.8.3. Otros Resultados de las Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

I.9. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55I.9.1. Puntos Singulares Aislados de Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

I.10. Residuos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60I.10.1. Calculo de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.10.2. Calculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63I.10.3. Valor Principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

I.11. Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69I.11.1. Desarrollo en Fracciones Parciales de Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . 70I.11.2. Numero de Ceros y Polos de Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

i

ii INDICE GENERAL

Indice de figuras

I.1.1. Transformaciones de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1.2. Proyeccion Estereografica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.1. Grafica de los Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.2.2. Grafica Transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2.3. Grafica del Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2.4. Funcion Lineal no Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.2.5. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2.6. Imagen de una Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.3.1. Funcion continua, Cauchy-Rieman, pero no C-diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.4.1. Ejemplo de Funcion Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.4.2. Transformacion de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.4.3. Representacion conforme de sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.8.1. Polinomio de Taylor z z33 + z

5

5 + + z2525 en R y en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

I.8.2. Graficas de parte real e imaginaria de (z 1) (z1)22 + (z1)3

3 (z1)n

n . . . . . . . . 46I.8.3. Composicion de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.8.4. Principio del Prolongamiento Analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51I.8.5. Demostracion Teorema de la Aplicacion Abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.11.1. Mapas de cot z y csc z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72I.11.2. Indice de Cauchy para f(z) = z

24ezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

iii

iv INDICE DE FIGURAS

Prefacio

v

vi PREFACIO

Captulo I

Variable Compleja

En lo que concierne la teora del analisis complejo, tres puntos de vista predominan en la actualidad: Integracion Compleja (Cauchy 1814-1830). Aplicaciones holomorfas C R (Tesis de Riemann 1851). Series enteras (Cauchy 1831-1846, Weirstra).

Comenzaremos este captulo por el calculo diferencial y las funciones holomorfas segun Riemann. Luego,seguiremos la evolucion de Cauchy (integrales complejas, formula de Cauchy). Veremos que cada funcionholomorfa es analtica (admite un desarrollo en serie de potencias). Estas series simplifican la teora (puntode vistas de Weirstra),

I.1. Los Numeros Complejos

Si bien los numeros complejos son familiares para todos los que siguen este curso, se vio, por ejemplo, en elprimer de ano de Analisis, en esta seccion abordaremos el plano complejo con una optica geometrica, paracomprender y asimilar la riqueza y potencia que tiene esta teora.

Sabemos que el conjunto de los numeros reales R provisto de la adicion y la multiplicacion es un cuerpocompleto con un orden compatible con dichas operaciones. Geometricamente R asociamos a una recta, quela llamamos recta real. Como es de conocimiento de todos, la ecuacion

x2 + 1 = 0,

no tiene solucion en R. Nuestro objetivo sera construir un cuerpo que contenga R en el cual dicha ecuaciontenga solucion.

Como R esta asociado a una recta, vamos a construir un cuerpo que este asociado a un plano (real); yaque la extension inmediata de una recta constituye un plano. Consideremos

R2 = {(x, y)| x, y R}.Este conjunto con la adicion definida por

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

y la multiplicacion por escalar(x, y) = (x, y)

es un espacio vectorial real. En el curso de Geometra, se estudio con detalle las propiedades de los diferentesobjetos y las transformaciones que les estan asociadas.

1

2 CAPITULO I. VARIABLE COMPLEJA

Homotecia Rotacion Similitud

Figura I.1.1: Transformaciones de R2

Para tener un cuerpo conmutativo, solamente nos falta definir una multiplicacion, la cual provendra deun tipo especial de transformaciones lineales del plano R2; mas precisamente de aquellas transformacionesque conservan los angulos en tamano y orientacion.

Definicion I.1.1 Una similitud directa, en tanto que aplicacion lineal, es una aplicacion lineal s : R2R2de la forma s = h r, donde h es la homotecia de razon ( > 0) y r es una rotacion de angulo .

En la figura I.1.1, tenemos una representacion grafica de una homotecia, una rotacion y finalmente unasimilitud. Como se vio en el curso de Algebra Lineal es mas comodo trabajar con las matrices asociadas(respecto a las bases canonicas). Recordemos que toda aplicacion lineal esta enteramente determinada porlos elementos de las bases canonicas y que existe un isomorfismo natural entre el espacio vectorial de lasaplicaciones lineales L(R2,R2) y M2,2(R) el espacio vectorial real de las matrices de 22 a coeficientes reales.En lo que sigue solamente consideremos como base la canonica o otra base ortonormal directa. Denotemospor H la matriz asociada a la homotecia de razon > 0, h; R la matriz asociada a la rotacion r. Setiene:

H =( 00

), R =

(cos sin sin cos

);

por lo tanto, la matriz S, asociada a la similitud s, = h r, esta dada por

S, =( 00

)(cos sin sin cos

)( cos sin sin cos

). (I.1.1)

Una simple inspeccion dadetS, = > 0.

Ejercicio.- Verificar que una matriz de la forma(a bb a

)con (a, b) 6= (0, 0), es la matriz asociada a una similitud directa.

Teorema I.1.1 El conjunto de las similitudes (directas) de R2 forman un grupo abeliano para la composicionde aplicaciones.

Demostracion.- Ejercicio.

I.1. LOS NUMEROS COMPLEJOS 3

Denotamos por S+(R, 2) al grupo de las similitudes directas, que por cierto no solamente es un grupo abelianopara la composicion de aplicaciones, sino tambien:

Teorema I.1.2 S+(R, 2) {0} es un subespacio vectorial real de dimension 2 del espacio End(R2) de lasaplicaciones lineales en R2.

Demostracion.- Puesto que existe un isomorfismo natural (por la eleccion de las bases canonicas) entreEnd(R2) y M2,2(R) el espacio de las matrices reales de 2 2 es suficiente ver que las matrices asociadas alas similitudes mas la matriz nula forman un subespacio vectorial. El resto lo dejamos como ejercicio.

I.1.1. El Plano Complejo CHemos visto que R2 es un espacio vectorial para la adicion, para que R2 tenga la estructura de un cuerpoconmutativo, solo falta dotarle de una multiplicacion.

Consideremos la aplicacion dada por

: R2 S+(R, 2) {0}(a, b) 7

(a bb a

).

Utilizando el ejercicio y la proposicion precedentes, se demuestra (nuevamente otro ejercicio para el alumno)que es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Denotamos por pi : S+(R, 2){0} R2 la aplicacioninversa de . Se ve inmediatamente que

pi

((a bb a

))=(ab

)= (a, b). (I.1.2)

Definamos la multiplicacion en R2 de la siguiente manera. Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) elementos deR2, planteamos

z1 z2 = pi((z1) (z2)). (I.1.3)Desarrollando (I.1.3), se obtiene explcitamente:

(a1, b1) (a2, b2) = pi((

a1 b1b1 a1

)(a2 b2b2 a2

))= pi

((a1a2 b1b2 a1b2 a2b1a1b2 + a2b1 a1a2 b1b2

))= (a1a2 b1b2, a1b2 + a2b1) =

(a1a2 b1b2a1b2 + a2b1

)(I.1.4)

Remarca.- Utilizando la notacion columna para elementos de R2, la multiplicacion de z1 = (a1, b1) yz2 = (a2, b2) puede expresarse como

z1 z2 =(a1 b1b1 a1

)(a2b2

).

Teorema I.1.3 R2 con la adicion usual y la multiplicacion definida mas arriba es un cuerpo conmutativo.


Demostracion.- En efecto, R2 con la adicion es un grupo abeliano, ya visto en un cursos anteriores.Remarquemos que el elemento cero es 0R2 = (0, 0) y el opuesto de (a1, a2), (a1, a2) = (a1,a2).R2 {0R2} es un grupo abeliano para la multiplicacion, porque la multiplicacion definida mas arriba es

una ley de composicion interna, verificacion simple, y por que S+(R, 2) es un grupo para la multiplicacion.La distributividad de la multiplicacion respecto a la adicion esta asegurada por que y son aplicaciones

lineales.

Definicion I.1.2 R2 provistos de la adicion y la multiplicacion definida mas arriba se llama cuerpo de losnumeros complejos o plano complejo y se lo denota por C.Remarcas.-

1. 1C = (1, 0), 0C = (0, 0). Se define i = (0, 1). Un pequeno calculo da i2 = 1C.2. La inyeccion natural j : R C, j(a) = (a, 0) es compatible con la adicion y la multiplicacion, lo que

hace que R sea un subcuerpo de C. En el lenguaje algebraico, esto se llama extension de cuerpos.

3. En realidad j(R) C, pero para darle fluidez a la teora, se acostumbra a suponer que R C, con loque utilizamos los smbolos 1 y 0 para referirnos al uno y cero de R o C dependiendo el contexto. Esfrecuente utilizar la notacion

z = a+ ib,

con a, b R para representar z = (a, b). Este tipo de notacion facilita los calculos aritmeticos en C.4. Si z = (a, b) = a + ib,

I.1. LOS NUMEROS COMPLEJOS 5

I.1.3. Modulo de un numero complejo

Sea z = a + ib C, el modulo de z es |z| = a2 + b2. Remarca.- El modulo de z es lo mismo que lanorma euclidiana de z visto como un elemento de R2. Cuando z R, el modulo es lo mismo que el valorabsoluto de R.Proposicion I.1.2 El modulo verifica:

|z|2 = zz, (I.1.14)|


I.1.6. Topologa del Plano Complejo C

El modulo || de C es la norma euclidiana de R2, los conceptos de convergencia, lmites, conjuntos abiertos,cerrados, compactos, puntos aislados, puntos de acumulacion, etc, son los mismos, que ya han sido vistos enel curso de Analisis de Primer Ano.

Por otro lado, el modulo en C tiene el mismo comportamiento del valor absoluto de R en lo que respectala multiplicacion. Por lo tanto, se justifica recordar, complementar y aclarar algunos conceptos.

Las sucesiones {zk} con zk C pueden ser vistas: como una sucesion propiamente compleja, o bien comodos sucesiones reales, {

I.2. FUNCIONES COMPLEJAS 7

N

P

P

Figura I.1.2: Proyeccion Estereografica.

Explicitemos la proyeccion estereografica, utilizando un corte transversal, ver figura , relaciones detriangulos semejantes, se obtiene:

pi : C S2

z 7{ (

2


Figura I.2.1: Grafica de los Grafos

Sin embargo, podemos remarcar que una funcion compleja f : U C C puede ser vista como unafuncion f : U R2 R2. Es decir,

f : U C Cz 7 f(z)

f : U R2 R2(x, y) 7 (u(x, y), v(x, y))

trivialmente, se tiene


U

zz

x

yz1z1

z2z21

1

zz

H

V

ww

u

vw1w1

w2w21

1w = f(z)w = f(z)

ff()

f(H)

Figura I.2.2: Grafica Transformacion

Figura I.2.3: Grafica del Campo de Vectores


1 1

1

1 zzcc

1 1

1

1

w = czw = cz

cc

Figura I.2.4: Funcion Lineal no Nula

Funciones Polinomiales y Racionales

Al igual que en el caso real, una funcion p : C C es polinomial, si p(z) = anzn+an1zn1 + +a1z+a0,donde los ai C. Este tipo de funciones es siempre continua, porque solamente intervienen adiciones ymultiplicaciones y las reglas de calculo aseguran continuidad. Ejemplo

1. Consideremos la aplicacion polinomial f(z) = cz con c 6= 0. Esta funcion es una aplicacion C-lineal, yvista como una aplicacion lineal de R2 en R2 es una similitud. Ver seccion precedente y figura I.2.4.

En la construccion de los numeros complejos, hemos visto que la multiplicacion esta asociada a la com-posicion de similitudes del plano real. Por lo tanto, las aplicaciones lineales complejas, desde el punto devista real, son similitudes. La interrogante es como reconocer si una una transformacion lineal del plano reales una aplicacion C lineal.Proposicion I.2.1 Sea f : R2 R2 lineal. Entonces f es C lineal, si y solamente si f es una similitud ola aplicacion nula.

Demostracion.- ya visto. Si f = 0 esta demostrado, sino la matriz de f es(

a bc d

),

con a, b, c, d no todos nulos. La imagen de 1 = (1, 0) es (a, c) y la imagen de i = (0, 1) es (b, d). Como f es Clineal, se tiene

f(1) = f(i2) = if(i),por lo que (a

c)

=(

0 11 0

)(bd

)=

db

,de donde a = d y b = c. Es decir f es una similitud.


1 0 1

3

3

1 1

3

3

1/e1/e ee

w = e zw = e z

Figura I.2.5: Funcion Exponencial

Las funciones racionales son de la forma

f(z) =p(z)q(z)

,

donde p(z) y q(z) son funciones polinomiales. Son continuas sobre C, excepto en los puntos donde q(z) seanula.

La Funcion Exponencial Compleja

Definicion I.2.1 La funcion expC : C C, esta dada porexp C(x+ iy) = ex(cos y + i sin y) = e


Figura I.2.6: Imagen de una Banda


La prolongacion a C de la exponencial, conserva casi todas las propiedades de la funcion exponencial real,excepto la inyectividad. En el caso real la inyectividad asegura la existencia de una inversa continua. En elcaso complejo nos debemos arreglarnos para construir una funcion que cumpla el papel de funcion inversa,tal como se hizo con las funciones arc cos, arcsin en el Primer Curso de Analisis.

I.2.3. El Logaritmo Complejo

Como se ha visto mas arriba, la funcion exponencial no es inyectiva. Por lo tanto si queremos construiruna inversa debemos restringir C a un dominio donde exp sea inyectiva, pero al mismo tiempo la imagenexp() sea lo mas grande posible. Por el punto 3 de la proposicion I.2.1, debe ser una banda de ancho2ipi, sin los bordes, para la funcion inversa sea continua. La imagen del borde de es una curva simple queune el origen con el infinito. Ver figura I.2.6. En consecuencia, sea C una banda de ancho 2ipi sin susbordes. De donde exp : C l es biyectiva, donde l es una curva simple que une O con . Tenemos

exp(z) = e


2. La determinacion principal del argumento es aquella donde

l =], 0] R y arg(1) = 0.

3. A menos que se diga lo contrario, se toma la determinacion principal del argumento.

4. Si arg1 y arg2 y z C en el cual ambas determinaciones estan definidas, entonces una simple verificacionda arg1(z) arg2(z) = 2ipik, con k entero.

Regresemos a la construccion de la inversa de exp. Tenemos

=z = arg(w),

donde arg : C l R es una determinacion del argumento.Definicion I.2.3 Una determinacion del logaritmo es darse una determinacion del argumento arg :C l C y la funcion logC : C l C dada por

logC(z) = logR(|z|) + i arg(z), z C l.

Remarcas.-

1. La determinacion principal del logaritmo, esta dada por la determinacion principal del argumento. Amenos que se diga lo contrario, la opcion por defecto es la determinacion principal del logaritmo. Ladeterminacion principal prolonga al logaritmo real.

2. Para no recargar notacion se puede utilizar log para denotar la determinacion del logaritmo y o ellogaritmo real. Todo depende del contexto.

Proposicion I.2.3 Una determinacion del logaritmo log : C l C, verifica:1. exp(log z) = z, z C l.2. log(exp(z)) = z + i2pik, k entero.


Potencias

Recordamos:

zn = n n n n veces

, n N;

zn =1z 1z 1

z n veces

, n N.


Para C, se definez = exp( log z).

Se puede mostrar que esta definicion es compatible con otras definiciones sobre potencias. Por ejemplo cuando es entero.

Remarca.- Si bien z esta definida sobre un conjunto C l, se puede prolongar a algunos puntos de l porcontinuidad.

Ejemplo3.- Veamos el caso = 1/2. Tenemos

z1/2 = exp(1/2 log(z)) = exp(1/2 log |z|+ (1/2)i arg(z))=|z|(cos((1/2) arg(z)) + i sin((1/2) arg(z))).

Ahora bien lmz0

z1/2 = 0, de donde podemos prolongar la funcion z1/2 al punto z = 0, planteando

01/2 = 0.

Funciones Exponenciales

Siguiendo la misma linea del Primer Ano de Analisis, definimos

az = exp(z log a),

donde log es una determinacion del logaritmo, (para la cual el valor de log a existe.

Remarcas.-1. A menudo se encuentran expresiones de la forma ez. Nosotros interpretaremos como

ez = exp(z).

2. Las definiciones del argumento, logaritmo, potencia pasan por las definiciones de determinacion. Esdecir, para obtener funciones continuas, es necesario quitar del plano complejo C una curva simple queune el origen con el infinito. Sin embargo, mediante las superficies de Riemann es posible construirestas funciones, sin necesidad de hacer cortes en el plano Complejo.

I.2.4. Funciones Trigonometricas Complejas

Definicion I.2.4

sinC z = eizeiz

2i ,

cosC z = eiz+eiz

2 ,

tanC z = sinC zcosC z ,cotC z = cosC zsinC z ,

secC z = 1cosC z ,

cscC z = 1sinC z .

I.3. FUNCIONES DIFERENCIABLES 15

Proposicion I.2.4 Las funciones sinC y cosC verifican:

i) sinC(z) = sinR(z), cosC(z) = sinR(z) para todo z R.

ii) sin2C(z) + cos2C(z) = 1.


Como las funciones trigonometricas complejas son prolongaciones de las funciones trigonometricas reales,utilizaremos los smbolos usuales para identificarlas. Mas todava las funciones trigonometricas conservanpropieades de aditividad, etc.

Funciones Trigonometricas Inversas

En lugar de hablar de funciones trigonometricas inversas, es preferible hablar de determinaciones de funcionestrigonometricas inversas. Veremos mas adelante.

I.3. Funciones Diferenciables

Como para las funciones reales, se tiene para las funciones complejas varias maneras de definir la diferencia-bilidad de una funcion f : U C C. Nosotros utilizaremos:Definicion I.3.1 Una funcion f : U C, U C abierto, es diferenciable en el punto z0 U , si

lmzz0

f(z) f(z0)z z0 = f

(z0) (I.3.1)

donde f (z0) C. O bien

f(z) = f(z0) + f (z0) (z z0) + (z, z0) (z z0) (I.3.2)

con lmzz0

(z, z0) = 0.

Ambas definiciones son utiles. La primera tiene una optica calculista, mientras que la segunda tiene unaoptica geometrica.

En la definicion (I.3.2), la derivada f (z0) aparece como una aplicacion C-lineal. Por otro lado, si vemosf : U R2 R2, para que f sea R-derivable en (x0, y0), se debe tener

f(x, y) = f(x0, y0) + f (x0, y0)(x x0y y0

)+ (x x0, y y0) r((x, y), (x0, y0)) (I.3.3)

con lm(x,y)(x0,y0)

r((x, y), (x0, y0)) = (0, 0). Escribiendo f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), se tiene

f (x0, y0) =( ux

uy

vx

vy

).

Utilizando la proposicion (I.2.1), se tiene el:


xxxxyyyy

uuuu

xxxxyyyy

vvvv

Figura I.3.1: Funcion continua, Cauchy-Rieman, pero no C-diferenciable

Teorema I.3.1 (ecuaciones Cauchy-Riemann) Sea f : U C, f = u + iv, U abierto de C. Entoncesf es C derivable en z0 U , si y solamente si f es R-derivable en z0 y f (z0) es C-lineal, si y solamente fes R-derivable en z0 y

ux =

vy

uy = vx

}Ecuaciones de Cauchy-Riemann (I.3.4)

Corolario I.3.1 Sea f : U C C, f = u + iv. Si ux , uy , vx y vy existen en un vecindario de z0, soncontinuas en z0y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman, entonces f es C-derivable en C.


Las ecuaciones de Cauchy-Riemann por si solas no aseguran la C diferenciabilidad.Ejemplo

1. La funcion

f(z) =

{z5

|z|4 si z 6= 0,0 si z = 0.

es continua, tiene las derivadas parciales respecto a x e y y satisface en z = 0 las condiciones deCauchy-Riemann. Sin embargo, no es C-diferenciable. Ver figura I.3.1.

2. La funcion exponencial exp es C-diferencible en todo C. En efecto, u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin yson funciones cuyas derivadas parciales existen y son continuas. Ademas

exp(x, y) =(ex cos y ex sin yex sin y ex cos y

)

I.3. FUNCIONES DIFERENCIABLES 17

satisface Cauchy-Riemann. Por lo tanto

exp(z) = exp(z).

Se tiene las mismas reglas de calculo para la diferenciacion de funciones complejas; es decir, suma de funciones,producto de funciones, composicion de funciones, etc.

I.3.1. Funciones Holomorfas

Definicion I.3.2 Una funcion que es C-diferenciable en un abierto U se llama holomorfa en U . Un funciones holomorfa en un punto z0 si es holomorfa en un vecindario B(z0, ).

Proposicion I.3.1 Sean , C abiertos, f : C holomorfa. Supongamos que existe g : cong f = id y f g = id . Si ademas g es R-derivable, entonces g es holomorfa y

g(f(a)) =1

f (a),

en particular f (a) 6= 0, para todo a .

Demostracion.- La derivada de la composicion de funciones de R2 en R2 da

gf(a)fa = IR2 .

Por lo tanto f a y gf(a) son inversibles en tanto que aplicaciones lineales del plano real. Como f

a es C-lineal,

es un similitud. Las similitudes forman un grupo, por lo que, gf(a) es tambien una similitud y por lo tantoC-lineal. En el lenguaje complejo esto se traduce a

g(f(a)) f (a) = 1.

Ejemplo

3.- Sea log : C l C una determinacion del logaritmo. Planteando = C l y = log(), considerandola funcion exponencial exp, mostrando que log es R-diferenciable (que dejamos como ejercicio), se tieneque log es holomorfa y

log z =1

exp(w)=

1exp(w)

=1z.

4.- Consideremos z. Se tienez = exp( log z),

composicion de funciones holomorfas, luego holomorfa. Determinemos su derivada.

z = exp( log z)( log z) = exp( log z)1z

= z1.

La tabla de derivadas de las funciones complejas es muy similar a la tabla de derivadas de las funcionesreales.


Proposicion I.3.2 Sea :]a, b[ , diferenciable, donde C abierto y sea f : C holomorfa.Entonces

(f )(t) = f ((t)) (t)donde (t) = 1(t) + i

2(t).


I.4. Funciones Conformes

Suponemos conocidos los conceptos de angulo orientado, Recordemos el concepto de angulo orientado entrecurvas.

Sean , ; [0, 1] R2 continuamente derivables. Suponemos (0) 6= 0, (0) 6= 0 y (0), (0) = a,entonces por definicion

(, , a) = ((0), (0)) (I.4.1)

Definicion I.4.1 f : U R2 R2, U abierto, es conforme, si f es R-derivable y si para todo , : [0, 1]U continuamente derivable con (0) = (0) = a U y (0), (0) 6= 0, se tiene

(, , a) = (f , f , f(a)).

Remarca.- La definicion de aplicacion conforme, implica automaticamente que f a es inversible para todoa U , sino no se podra medir los angulos entre las curvas imagenes.

Como ejemplo de aplicaciones lineales que son conformes, tenemos las similitudes. La pregunta naturalque surge, es saber si hay otras aplicaciones lineales que conservan los angulos en medida y orientacion.

Proposicion I.4.1 A : R2 R2 isomorfismo lineal. A respecta los angulos en tamano y orientacion, si ysolamente si A es una similitud.

Demostracion.- ya visto.. La matriz asociada a la aplicacion lineal es

A =(a bc d

)Consideremos los vectores ortonormales (1, 0) y (0, 1), sus imagenes por A son (a, c) y (b, d) que son ortogo-nales por hipotesis, de donde

ab+ cd = 0.

I.4. FUNCIONES CONFORMES 19

zz

H

1z1

23

4z4

5z5

6

7

8

w = f(z)w = f(z)

f(H)

1w1

2

3

4

w4

5

w5

6

7

8

Figura I.4.1: Ejemplo de Funcion Conforme

Escribiendo esta ultima condicon como

det(a dc b

)= 0,

deducimos que (a, c) y (d, b) son linealmente independientes, por lo tanto

d = ab = c

La matriz es de la forma

A =(a cc a

).

Como A conserva la orientacion, se tiene detA > 0, de donde < 0. Finalmente viendo las imagenes de(1, 1) y (1, 1), se tiene que (a+ c, c a) y (a+ c,c a) son ortogonales, lo que se traduce

a2 + 2c2 c2 + 2a2 = (2 1)(a2 + c2) = 0,

de donde = 1. La aplicacion lineal A es efectivamente una similitud.

Teorema I.4.1 f : U R2 es conforme, si y solamente si f es holomorfa y f (a) 6= 0 para todo a U .

Demostracion.- f es conforme, si y solamente si f a respecta los angulos en sentido y orientacion a U ;si y solamente si f a es un isomorfismo C-lineal; si y solamente si f es holomorfa y f (a) 6= 0 a C.

En la figura I.4.1, se observa la accion de la aplicacion f(z) = (z + 0,2)2, apreciando la conservacion delos angulos en taman`o y sentido.

Como un ejemplo de familia de funciones conformes estudiaremso con mas detalle las homografas.


I.4.1. Homografas

Definicion I.4.2 Una transformacion homografica es una expresion de la forma

w(z) =az + bcz + d

con det(a bc d

)6= 0.

Remarcamos que las homografas pueden prolongarse al plano complejo acabado C as

w : C C

z 7

az+bcz+d si z 6= d/cac si z = si z = d/c.

Por otro lado, una homografa, puede ser inducida por una matriz de 2 2 inversible

A =(a bc d

) wA(z) =

az + bcz + d

.

En efecto, consideremos el siguiente diagrama

C2 {(0, 0)} C(u1, u2) 7 u1u2 = z

A

y detA 6=0y wA(z)

C2 {(0, 0)} C(v1, v2) 7 v1v2 = z

Es facil verificar quewA = wA A = A, con 6= 0. (I.4.2)

Proposicion I.4.2 Se tiene las siguientes propiedades:

1. La composicion de transformaciones homograficas es una transformacion homografica.

A induce wAA induce wA

} AA induce wA wA.

2. wA es inversible y su inversa wA1 .


Demostracion.- El punto (1), sean

A =(a bc d

), A =

(a b

c d

).

Se tiene

wA =az + bcz + d

, wA =a + b

c + d.

Por lo tanto

wA wA(z) = wA(az+bcz+d

)=

a az+bcz+d+b

c az+bcz+d+d

= (aa+bc)z+(ab+bd)

(ca+dc)z+(cb+dd) = wAA(z).

El punto (2), es consecuencia de wAA1 = wI = wA wA1 .

Como consecuencia directa de la ultima proposicion, el conjunto de las homografas es un subgrupo delas funciones biyectivas de C en C, que contiene otros subgrupos de transformaciones del plano complejo.

Proposicion I.4.3 Una homografa puede escribirse como composicion de:

Similitudes z az, a 6= 0. Traslaciones z z + c. Inversiones complejas z 1z .

Demostracion.- Consideremos una homografa

w(z) =az + bcz + d

,

esta se puede escribir como:

w(z) = A+B

cz + d,

con A,B C. Por consiguiente, w = f5 f4 f3 f2 f1, donde

f1(z) = cz similitud,f2(z) = z + b traslacion,

f3(z) =1z

inversion compleja,

f4(z) = Bz similitud,f5(z) = z +A traslacion.

Teorema I.4.2 Una homografa enva circunferencias y rectas sobre circunferencias o rectas.


Demostracion.- Por la proposicion que precede, es suficiente mostrar que la inversion compleja envacircunferencias y rectas sobre circunferencias o rectas; ya que las similitudes y traslaciones conservan lasrectas y circunferencias.

Como z z es una simetra respecto a la recta real R, es suficiente mostrar el teorema para la funcionz 1/z.

Ahora bien,

f(z) =1z

=z

|z|2 ;

distinguimos los siguientes casos:

i) Recta por el origen

zf(recta) = recta.

ii) Origen fuera de la circunferencia.

f(M)

M

M

f(T)

T

O

(OT )2 = OM OM

Of(M) =1

OM=OM

OT 2

f(M) se obtiene a partir de M por homotecia de razon 1/OT 2

iii) Circunferencia que pasa por el origen.

O

M

M

A

A 4OMA es un trangulo rectangulo, porque OM es el diametro dela circunferencia.OA OA = 1 y OM OM = 1, de donde

4OMA 4OAM.

OM A es recto, luego la imagen de la circunferencia es unarecta.

iv) Recta que no pasa por el origen.

z 1z es biyectiva, aplicar el caso iii).


v) Origen en el interior de la circunferencia.

M

M"

M

P

Q

Fijamos Q, tenemos OP OQ = , tambien OM OM = f(M) = M , OM OM = 1, de donde

OM =1OM .

De donde f(M) = M .

Proposicion I.4.4 Sean z1, z2, z3 elementos distintos de C y z1, z2, z3 otra terna de elementos distintos deC. Entonces, existe una sola transformacion homografica w tal que

w(zi) = w(zi), i = 1, 2, 3.

Demostracion.- Primero, vamos a mostrar el caso en que z1 = 1, z2 = 0 y z

3 =, se tiene tres situaciones:

i) z1 6=, z2 6= y z3 6=w(z) =

zz2zz3z1z2z1z3

.

ii) z1 =w(z) =

z z2z z3 .

iii) z2 =w(z) =

z1 z3z z3

iv) z3 =w(z) =

z z2z1 z2 .

Para la existencia en el caso general, consideramos las homografas:

w : z1, z2, z3 1, 0,w : z1, z

2, z3 1, 0,

de donde (w)1 w es la homografa pedida.Para la unicidad, mostreremos primero que si w(0) = 0, w(1) = 1 y w() = , entonces w = id. En

efecto, la homografa puede escribirse

w(z) =az + bcz + d

,

para z = 0, se tiene b/d = 0, por lo tanto b = 0, Para z =, se tiene a/c =, de donde c = 0. Por ultimo,w(1) = a/d = 1, tomando d = 1, se tiene

w(z) = z.


2 1 1 2

2

1

1

2 zz

2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

ww

Figura I.4.2: Transformacion de Cayley

Ahora veamos el caso general. Sean w,w : z1, z2, z3 z1, z2, z3 dos homografias. Consideremos las homo-grafias: w : 0, 1,: z1, z2, z3 y w : 0, 1, z1, z2, z3. Por consiguiente las homografas

w w w : 0, 1, 0, 1,.w w w : 0, 1, 0, 1,.

de donde w w w = id y w w w = id, que escrito de otra formaw = w1 w1 = w.

Ejemplo

1. Consideremos la transformacion de Cayley

w(z) =z + 1z 1

funcion ilustrada en la figura I.4.2

La accion de esta transformacion en el plano complejo es convertir el eje imaginario en la circunferenciaunitaria y vice-versa.

I.4.2. Representacion Conforme

Existen varios problemas de representacion conforme, entre los cuales tenemos:1. Dada f : C holomorfa, inyectiva y abierto, determinar f().

Para ilustrar este problema, estudiaremos un problema modelo.Consideremos = {z| | 0} y f(z) = sin z.La restriccion de sin z a esta region la convierte en una funcion inyectiva y conforme. En efecto

sin z1 = sin z2 sin z1 sin z2 = 0 cos(z1 + z22 ) sin(z1 z2

2) = 0;


dee donde cos( z1+z22 ) = 0 o sin(z1z2

2 ) = 0. Dejamos al estudiante, la verificacion de:

sin z = 0 z = kpi, k Z;cos z = 0 z = pi/2+ kpi, k Z.

Por lo tanto,

sin z1 = sin z2 z1 z2 = 2pik,o

z1 + z2 = pi(2k + 1)(I.4.3)

La equivalencia (I.4.3) nos asegura que la restriccion de sin a la semibanda superior es inyectiva. Porotro lado, en el interior de la banda sin z es conforme, por que cos z 6= 0, para todo z .Ahora bien, la funcion sin z, en particular la restriccion de sin z sobre , es la composicion de cuatrofunciones:

f1(z) = iz,f2(z) = ez,f3(z) = z 1z ,f4(z) = 12iz.

El comportamiento de sin z, sera analizado a partir del comportamiento de cada una de estas funciones.Denotamos 1 = f1(), como f1 es una rotacion de un angulo recto, deducimos inmediatamente

1 = {z C| |=z| < pi y


Figura I.4.3: Representacion conforme de sin

I.5. INTEGRACION COMPLEJA 27

Ahora, f3(w) = w 1/w = z, de donde w2 wz 1 = 0, ecuacion polinomial de segundo grado.Esta ecuacion tiene dos raices: w1 y w2 que satisfacen w1 + w2 = z y w1w2 = 1. Puesto quef3 : {z C| |z| < 1}] 1, 0] C ([0,+[2i[1, 1]) se debe elegir aquella raiz wi que satisface|wi| < 1. Un simple ejercicio con los modulos nos conduce a que existe a lo mas una raz con estapropiedad.Explicitimos f13 , aplicando la formula cuadratica, obtenemos

w =z z2 + 4

2,

eligiendo como determinacion de

: C l C

donde l = [0,+) z y |arg z| < pi. Una verificacion sobre la estadeterminacion dara |w| < 1. Por lo tanto

f13 =z z2 + 4

2,

con : C l C, l = [0,+) z y |arg z| < pi.l

z

Si bien, f13 ha sido explicitada en funcion de una determinacion de la raiz cuadrada que depende de z,el teorema de la funcion inversa, ver parte A de este curso de Analisis de segundo ano y la proposicionI.3.5, aseguran que f13 sea holomorfa. Trabajemos con f

13 f14 , tenemos

f13 f14 (z) =2iz 4z2 + 4

2

Para no recargar y confundir determinaciones de la raiz cuadrada, podemos elegir una nueva determi-nacion de la raiz cuadrada y tener una expresion simplificada

f13 f14 (z) = iz +

1 z2

donde es una determinacion en la cual 1 z2 esta definida y ademas iz+1 z2 esta en el discounitario.f12 (z) = log z con log como determinacion principal.f11 (z) = z/iPor lo tanto, podemos explicitar esta determinacion de arcsin

arcsin(z) =1i

log(iz +

1 z2).

I.5. Integracion Compleja

Definicion I.5.1 Un arco simple es una aplicacion de clase C1 : [a, b] C, con (t) 6= 0 para todot [a, b] e inyectiva.


Definicion I.5.2 f : C, C abierto, : [a, b] arco simple, se define

f(z) dz = ba

f((t)) (t) dt. (I.5.1)

Si escribimos f(z) = u(z) + iv(z) y (t) = 1(t) + i2(t), la relacion (I.5.1), se convierte en

f(z) dz = ba

(u((t))1(t) v((t))2(t)) dt+ i ba

(u((t))2(t) + v((t))1(t)) dt (I.5.2)

Remarca.- Sea : [a, b] C un arco simple. Sobre = ([a, b]), se puede definir un orden:

z1, z2 , z1 = (t1) z2 = (t2),

z1 z2 t1 t2 a

b

z

z

t

t

( )

( )

a

b

1

2

1

2

Definicion I.5.3 Sea : [a, b] C arco simple. Una particion o subdivision P de = ([a, b]) es unasucesion finita y ordenada

P = {(a) = z0 < z1 < < cn = (b)};(P ) = max

k=1,...,n{|zk zk1|}

es la norma de la subdivision P .

Proposicion I.5.1 Sea : [a, b] C arco simple, p = {a = to < t1 < < tn = b} division o particion de[a, b]. Sea

P = {(a) < (t1) < < (tn)}particion de , entonces 0, c y C reales estrictamente positivos (independientes de las particiones) tales que

i) (P ) c(p),ii) (P ) 0 (p) C(P ).

Demostracion.- Mostremos el punto (i). Consideremos las diferencias (tk+1)(tk), aplicando el teoremade los incrementos finitos a cada una de las componentes, se tiene

(tk+1) (tk) = (1(k) + i2(k))(tk+1 tk)

con k, k (tk, tk+1). Puesto que es continua por hipotesis, cada una de sus componentes alcanza suscotas. Por lo tanto

|(tk+1) (tk)| c(tk+1 tk) c(p).


dondec =

(max |1(t)|)2 + (max |2(t)|)2

Por la definicion de max y sup obtenemos(P ) c(p).

Mostremos el segundo punto. Por hipotesis (t) 6= 0 y por continuidad de , se tiene

mnt[a,b]

|(t)| = > 0.

Afirmamos que existe 0 > 0 tal que |t t| < 0, se tiene

|1(t) + 2(t)|

2.

En efecto

|1(t) + 2(t)| = |1(t) + 1(t) 1(t) + 2(t)| |1(t) + 2(t)| |1(t) 1(t)|

|1(t) 1(t)|

Por la continuidad de , en particular de 1, existe 0 > 0 tal que |t t| < 0, implica|1(t) 1(t)| < /2,de donde, para |t t| < 0, se tiene

|1(t) + 2(t)|

2.

Al igual que en (i), se muestra que si (p) 0, se tiene

(P ) 2(p).

Como es inyectiva, la restriccion de : [a, b] es biyectiva, por lo tanto, utilizando el mismo procedi-miento que (i), se muestra que 1 : [a, b] es continua, es decir que > 0, > 0 tal que |z z| < yz, z implica |t t| < . En particular para 0, existe 0.

Corolario I.5.1 Sea : [a, b] C arco simple, p = {a = to < t1 < < tn = b} division o particion de[a, b]. Sea

P = {(a) < (t1) < < (tn)}particion de , entonces

(p) 0 (P ) 0.

Teorema I.5.1 Sean : [a, b] arco simple, f : C continua, P denota particion de , entonces

lm(P )0

(nk=1

f(zk1)(zk zk1))

= ba

f(z) dz. (I.5.3)


Demostracion.- Se tiene:nk=1 f(zk1)(zk zk1) =

nk=1 f((tk1))((tk) (tk1))

=nk=1 f((tk1))

(tk1)tk +nk=1 r(tk, tk1)tk.

Por la diferenciabilidad de , se tiene r(tk, tk1)/ |tk tk1| 0, cuando (p) 0. Por lo tanto, para (p)suficientemente pequeno |r(tk, tk1)| < (tk tk1), para un > 0, dado. De donde

nk=1

r(tk, tk1)tk

< (b a).Lo que significa, de acuerdo al corolario precedente que

lm(P )0

nk=1

r(tk, tk1)tk = 0.

Por otro lado,nk=1

f((tk1))(tk1)tk

es una suma de Riemann y por las hipotesis de continuidad de f y , se tiene

lm(P )0

nk=1

f((tk1))(tk1)tk = ba

f((t))(t) dt.

Corolario I.5.2f(z) dz depende solamente de y del orden de .

Definicion I.5.4 Un recorrido C es darse arcos simples i : [ai, bi] C, i = 1, . . . , k con (bi) = (ai+1).Escribimos C = 1 + 2 + k.

Definicion I.5.5 Sea C = 1 + 2 + k un recorrido, se defineCf(z) dz =

1

f(z) dz +2

f(z) dz + +k

f(z) dz.

Ejemplo

1. Consideremos f(z) = 1/z y (t) = eit con 0 t 2pi define un recorrido, no un arco simple. El


recorrido es la circunferencia unitaria, que es la suma de los arcos simples:

1(t) = eit, t [0, pi];2(t) = eit, t [pi, 2pi].

de donde|z|=1

f(z) dz =1f(z) dz +

2f(z) dz

= pi

0f(eit)ieit dt+

2pipi

f(eit)ieit dt

= 2pi

01eit ie

it dt = 2ipi.

Proposicion I.5.2 Sea f : C continua tal que existe una funcion F : C holomorfa con F (z) =f(z) para todo z . (F se llama primitiva de f). Sea : [a, b] un arco simple. Entonces

f(z) dz = F (B) F (A),

donde A = (a) y B = (b).

Demostracion.- Por un lado tenemos, aplicando la regla de derivacion para la composicion de funciones

dF ((t))dt

= F ((t)) (t) = f((t)) (t).

Por otro lado, el Segundo Teorema del Calculo Integral da

F ((b)) F ((a)) = ba

dF ((t))dt

dt = ba

f((t)) (t) dt =

f(z) dz.

Definicion I.5.6 Sea = 1 + + k un recorrido. Se dice que es un recorrido cerrado o contorno si1(a1) = (bk)

Corolario I.5.3 Si es un contorno dentro de C abierto y f : C continua que admite primitiva,entonces

f(z) dz = 0.


Demostracion.- Utilizando la definicion de integral para recorridos y la proposicion precedente, se tiene

f(z) dz =1f(z) dz +

2f(z) dz + +

kf(z) dz

= (F (B1) F (A1)) + (F (B2) F (A2))+ + (F (Bk) F (Ak))= F (Bk) F (Ak) = 0.

1

2

3

4

Corolario I.5.4 La funcion f : C {0} C dada por f(z) = 1/z no admite primitiva.Ejemplos

2.- Consideremos la funcion f(z) = zm con m natural. F (z) = zm+1/(m+ 1) es una primitiva, de donde

zm dz =zm+10m+ 1

z 0

2.- Si bien, 1/z no admite primitiva sobre = C {0}, podemos restringir de manera que esta funcionadmita primitiva. Por ejemplo, considerando 1 = C] , 0], la determinacion principal de log esuna primitiva. Tomando 2 : C [0,+[, la determinacion log2 : 2 C con arg2(1) = pi. Por lotanto, podemos evaluar

z=1

1z dz tomando la circunferencia como el recorrido 1 + 2 donde

1(t) = eit, t [pi/2, pi/2] 2(t) = eit, t [pi/2, 3pi/2]

por lo tantoz=1

1zdz =

1

1zdz +

2

1zdz = log(i) log(i) + log2(i) log2(i) = 2ipi.


Proposicion I.5.3 (cambio de variable) Si f : C continua, g : U holomorfa y : [a, b] Uarco simple, entonces

gf(z) dz =

f(g())g() d.

Demostracion.- Se tieneg

f(z) dz = baf(g (t)) (g )(t) dt

= baf(g((t))) (g((t))) (t) dt

= ba

(f g)((t)) g((t)) (t) dt = (f g)(z) g(z) dz.

Ejemplo

4.- Consideremos nuevamente la integral|z|=1

1z dz. Planteamos g(z) = e

iz que es una funcion holomorfa y : [0, 2pi] C con (t) = t, obtenemos

|z|=1

1zdz =

1eiz

ieiz dz = i

dz = iz|2pi0 = 2ipi.

g

2pi

Proposicion I.5.4 Sea f : C continua, : [a, b] arco simple. Entonceslm(P )0 (

nk=1 |zk zk1|) =

ba|(t)| dt = L : longitud del arco. (I.5.4) f(z) dz M L M = maxt[a,b] |f((t))| (I.5.5)

donde P denota particiones o subdivisiones de ([a, b])

Demostracion.- Demostracion.- El punto I.5.4 ya ha sido visto en el curso de Geometra, dejamos comoejercicio el repaso de la demostracion.

Demostremos el punto I.5.5. Por el teorema I.5.1, se tiene

f(z) dz = lm(P )0

nk=1

f(zk)(zk zk1) .

Por otro lado nk=1

f(zk)(zk zk1)

nk=1

f(z) |zk zk1| M nk=1

|zk zk1| M L.

Pasando al lmite obtenemos la desigualdad I.5.5.


Proposicion I.5.5 Sea C abierto, = 1 + + k C un recorrido.i) Si fn : C una sucesion de funciones continuas que convergen simplemente a f : C y uniforme-

mente sobre , entonces

f(z) dz = lmn

fn(z) dz.

ii) Si F : U C funcion con U C abierto tal que para todo u U fijo la funcion z F (z, u) escontinua y si F (z, u) F (z, u0) uniformemente sobre cuando u u0 U entonces

lmuu0

F (z, u) dz =

F (z, u0) dz.

Demostracion.- Mostremos el punto (i). La convergencia uniforme, significa que > 0, N tal que n N z |fn(z) f(z)| < . De donde

fn(z) dz

f(z) dz =

(fn(z) f(z)) dz L.

El punto (ii), la convergencia uniforme, significa que > 0, > 0 tal que |u u0| < implica que z se tiene |F (z, u) F (z, u0)| < , de donde

F (z, u) dz

F (z, u0) dz L.

Definicion I.5.7 Un recorrido = 1 + + k se dice de tipo H-V (horizontal-vertical) si 0, recorrido H-V1 + + k tal que 1(a1) = (a) y k(bk) = (b) y ademas

f(z) dz H-V

f(z) dz < .

K

H-V


Demostracion.- Se requiere utilizar algunas propiedades topologicas del plano complejo, que en el momentose enunciara sin demostracion, dejando estas para el curso de topologa. Utilizando el hecho que ([a, b]) esun compacto, se muestra mediante la nocion de recubrimiento, que existe K compacto, tal que K.(Esta es la parte topologica). La demostracion asegura que existe > 0 tal que D(z, ) K para todoz .

Como K es compacto, f es uniformemente continua sobre K, por lo tanto para > dado, existe () > 0tal que

z, z K y |z z| < () |f(z) f(z)| < .Podemos suponer tambien que () < .

Ahora consideremos p = {a = t0 < t1 < < tm = b} una subdivision de [a, b] tal que (P ) (),donde

P = {z0 = (a) < z1 = (t1) < < (tm) = zm}, definimos los

zk = zk +


I.6. Un Teorema de Cauchy

Proposicion I.6.1 Sea f : C holomorfa, R = {z C|a

I.6. UN TEOREMA DE CAUCHY 37

por que f(z0) y f (z0)(z z0) tienen como primitivas f(z0)z y f (z0)(z z0)2/2 respectivamente y susintegrales sobre contornos son nulas.

Por otro lado

|Ik| =Rk r(z)(z z0) dz

pk maxzRk

|r(z)(z z0)| .

Elijamos > 0, entonces existe > 0 tal que

|z z0| < |r(z)| < ,mas todavia, existe K N tal que k K se tiene Rk D(z0, ).

Por consiguiente, para k K, se tiene |z z0| k y |r(z)| , de donde

|Ik| pkk = p4k ,

por lo que

|I| 4k p4k

= p.

Esto significa que |I| = 0 y en consecuencia I = 0.

Definicion I.6.1 Sea C = 1 + + k un recorrido. Se dira que C es un recorrido simple sii 6= j i([ai, bi]) j([aj , bj ]) = ,

excepto quizas 1(a1) = k(bk).

Definicion I.6.2 Se dira que C es un contorno simple o recorrido cerrado simple, si C = 1 + + k esun recorrido simple con 1(a1) = k(bk).

Interior de un Contorno Simple

Sea C un contorno simple. En el curso de topologa se muestra que existe R > 0 tal que C B(0, R)

Sea z0 6 B(0, R). Se dira que z esta en el interior de C, sipara todo camino : [0, 1] C ( continua) con (0) = zy (1) = z0, se tiene

([0, 1]) C 6= y z0 C.

El interior de C es el conjunto

Int C = {z C|z es un punto interior de C}.

La orientacion o sentido de C se elige de manera que elinterior de C este a la izquierda de C.

z

z 0

C


Definicion I.6.3 D C es un dominio simple si D es de la formaD = C Int C,

donde C es un contorno simple.Ejemplos

1. Un rectangulo R es un dominio simple

2. Un disco cerrado {z| |z z0| r} es un dominio simple.

3. Un corona {z|r |z z0| R} no es un dominico simple.

Teorema I.6.1 (Cauchy) Sea f : C holomorfa, D dominio simple, entoncesD

f(z) dz = 0,

D orientada dejando el interior a la izquierda.

Demostracion.- Utilizando la proposicion I.5.6, para > 0, existe un recorrido cerrado H-V tal queD

f(z) dz =

HVf(z) dz

< .Si es necesario afinar H-V, se puede suponer que es un re-corrido simple, lo que nos permite construir una cuadri-culacion del interior de H-V en que los arcos de H-V sonlados de algun o algunos rectangulos. Utilizando el mismoargumento que la proposicion precedente, se tiene

HVf(z) dz =

Ri

Rif(z) dz = 0,

por la proposicion precedente.

I.6. UN TEOREMA DE CAUCHY 39

Por consiguiente D

f(z) dz <

cualquiera que sea > 0, por lo tanto el teorema es cierto.

Corolario I.6.1 Si f : C holomorfa, D dominio simple, z1, z2 D, i[ai, bi] D arcos simples,con (ai) = z1 y (bi) = z2 con i = 1, 2. Entonces

1

f(z) dz = 2f(z) dz.


Notacion.- Como la integral solo depende de las extremidades es valida la notacion z2z1

f(z) dz =1

f(z) dz.

Corolario I.6.2 Sea f : C, D , entonces existe F : D C holomorfa tal que F (z) = f(z).

Demostracion.- Fijemos z0 D. Planteamos

F (z) = zz0

f() d.

Mostremos que F es holomorfa y que F (z) = f(z). En efecto, con-sideremos el cociente de Newton

q(z) =F (z + z) F (z)

z= 1z

( z+zz0

f() d zz0f() d

)= 1z

z+zz

f() d

Supongamos que z es lo suficientemente pequeno, para que z +tz D para t [0, 1].Por otro lado

f() = f(z) + f (z)( z) + r() con lmz

r()( z) = 0,

de donde para, > 0 dado, existe > 0 tal que si |z| < se tiene|r()| < |z |.

z

z+

0

z

z

z

z

z+

0

z


El cociente de Newton se convierte

q(z) =1

z

z+zz

f(z) d =f(z)

+1

z

z+zz

f (z)( z) d = 12 z f

(z)0

+1

z

z+zz

r() d |||z|0

,

si z 0 y tomando como arco, el segmento que une z con z + z.

Corolario I.6.3 Sean D dominio simple y D1, . . . ,Dk D dominios simples con Di Dj = si i 6= j. (D

ki=1

Di) abierto y f : C holomorfa. Entonces

DD

D

D

12

k

D

f(z) dz =D1

f(z) dz + Dk

f(z) dz.

Demostracion.- Realizamos un corte del dominio simple D en dos subdominios simples: D y D de maneraquelos bordes de ambos caminos cubran en su totalidad los bordesdel dominio D y los dominios Di, i = 1, . . . , k. Por lo tanto

0 =Df(z) dz +

Df(z) dz =

Df(z) dz +

ki=1

Di

f(z) dz

porque f es holomorfa sobre los dominios D y D y la integrales seanulan en los bordes comunes (diferentes sentidos de integracion)

DD

D

D

12

k

Ejemplo

4.- Consideremos D dominio simple con 0 D, D1 = {z| |z| r} con r lo suficientemente pequeno demanera que D1 D y por corolario que antecede deducimos que

D

1zdz =

|z|=r

1zdz = 2ipi.

I.7. FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY 41

Corolario I.6.4 Sea C un contorno simple y a 6 C, entonces:

a Int C C 1za dz = 2ipi,a 6 Int C C 1za dz = .


I.7. Formulas Integrales de Cauchy

Teorema I.7.1 Sea f : C holomorfa. D dominio simpler, z0 D. Entonces

f(z0) =1

2ipi

D

f() z0 d.

Demostracion.- Utilizando el corolario I.6.8 y con r > 0 lo suficientemente pequeno se tiene

12ipi

D

f() z0 d =

12ipi

|z0|=r

f() z0 d

La parametrizacion z0 + re2ipit de la circunferencia de centro z0 y radio r da

12ipi

|z0|=r

f() z0 d =

10

f(z0 + re2ipit) dt.

El valor de la segunda integral es independiente de r, a condicion que la circunferencia este dentro deldominio.

Puesto que f es continua, se puede pasar al lmite r 0 y la independencia de la integral respecto a rnos conduce a que

12ipi

D

f() z0 d = lmr0

10

f(z0 + re2ipit) dt = 1

0

f(z0) dt = f(z0).

Teorema I.7.2 Sea f : C holomorfa, D dominio simple y z D. Entonces f es indefinidamenteC-derivable y

f (n)(z) =n!

2ipi

D

f()( z)n+1 d.


Demostracion.- Por induccion; para n = 0 es el teorema precedente. Suponemos cierto para n 1, seaz0 D que lo dejamos fijo.

Como z0 D, existe r > 0 tal que D(z0, r) = {z| |z z0| < r} D. Consideremos el cociente de Newtony apliquemos la hipotesis de induccion

f (n1)(z) f (n1)(z0)z z0 =

(n 1)!2ipi

D

f()(

1( z)n

1( z0)n

)1

z z0 d. z D(z0, r) {z0}.

Definamos la funcion : D D(z0, r) C dada por

(, z) =

{f()

(1

(z)n 1(z0)n)

1zz0 si z 6= z0,

f() n(z0)n+1hboxsiz = z0.

La funcion es continua, lo que conduce a que

lmzz0

f (n1)(z) f (n1)(z0)z z0 = lmzz0

(n1)!2ipi

D (, z) d

= (n1)!2ipiD lmzz0 (, z) d

= (n1)!2ipiD (, z0) d

= n!2ipiD

f()(z0)n+1 d.

Teorema I.7.3 (Morera) Sea f : C continua tal que para todo recorrido simple C Cf(z) dz = 0,

entonces f es holomorfa sobre .

Demostracion.- Fijemos z0 . Planteamos

F (z) =

f(w) dw,

donde arco simple con (a) = z0 y (b) = z. Por hipotesis F (z) no depende de que une z0 con z.Si mostramos que F (z) = f(z), por el teorema I.7.2 F es indefinidamente derivable y por consiguienteF (z) = f (z) y de donde f es holomorfa.

Ahora verifiquemos que F (z) = f(z).Consideremos el cociente de Newton, para z lo suficientemente pequeno,

F (z + z) F (z)z

=1

z

z+zz

f() d,

integrado sobre el segmento z + tz, con 0 t 1.Como f es continua, para > 0 fijo, existe > 0 tal que |z| < implica que

|f(z) f(z + tz)| ;de donde f(z) 1z

z+zz

f() d

= 1z

z+zz

(f(z) f()) d .

I.8. SERIES ENTERAS 43

I.8. Series Enteras

En el primer ano de analisis se estudio a profundidad la nocion de series numericas, al igual que las series defunciones en el ambito real. Las definiciones, propiedades son validas si se remplaza R por C, exceptuandola nocion de C-derivabilidad que sera vista en esta seccion. Por consiguiente es conveniente que el estudianteno solo repase el curso de primer ano de analis, sino que lo domine. La primera novedadTeorema I.8.1 (Weistra) Sea un dominio simple, {fn : C} una sucesion de funciones holomor-fas. Si fn f uniformemente sobre cuando n , entonces f es holomorfa y f n f uniformentesobre cuando n.

Demostracion.- Consideremos contorno simple de , por la proposicion I.5.5 se tiene

f(z) dz =

lmn fn(z) dz = lmn

fn(z) dz = 0.

El teorema de Morera implica que f es holomorfa sobre . Mostremos que f n f uniformemente. Seaz , de donde podemos encontrar r > 0 tal que D(z, r) . Aplicando la formula integral de Cauchy seobtiene

f (z) f n(z) = 12ipi|z|=r

f()(z)2 d,

|f (z) f n(z)| = 12pi|z|=r f()(z)2 d 1r sup|z|=r f() fn(zeta) .

Por consiguiente la derivada converge uniformemente.

Recordemos lo que es una serie entera. Sea a0, a1, a2, . . . una sucesion de coefientes en C y z una variableindependiente, entonces

n=0

anzn = a0 + a1z + a2z2 + (I.8.1)

se llama una serie entera. Sin ocuparnos de la cuestion de convergencia, estas series forman el algebra C[[z]]de las series formales. Para la convergencia, tal como se dijo se retoma las definiciones dadas en el cursode Primer Ano de Analisis, con los respectivos criterios y condiciones de convergencia. Solo agregamos unaformula para el radio de convergencia.

Proposicion I.8.1 (Formula de Hadamard) La serie de potencias con coeficientes {an} C tiene comoradio de convergencia

R =

1

lim supnn|an|

0 si lim supnn|an| =

si lim supn n|an| = 0. (Formula de Hadamard)

donde lim supn

|an| = lmn sup{|ak| |k n}.



Teorema I.8.2 Sean=0

anzn una serie entera de radio de convergencia R > 0. Entonces:

i)n=0

anzn converge uniformemente sobre |z| r, r < R.

ii)n=0

anzn diverge sobre |z| > R.

iii) f(z) =n=0

anzn es holomorfa sobre |z| < R.

iv) f (z) =n=1

nanzn, converge uniformemente sobre |z| r, r < R.

Demostracion.- Para los dos primeros puntos revisar el curso de analisis de primer ano. Los puntos iii) yiv) son consecuencia del teorema de Weirstraenunciado ma arriba.

Definicion I.8.1 Sea f : C R, z0 , f indefinidamente C derivable en z0, la serie de Taylor def en el punto z0 es

ST fz0(z) =k=0

f (k)(z0)n!

(z z0)k.

Teorema I.8.3 ((Cauchy-Taylor)) Sea f : C holomorfa, z0 , R > 0 tal que D(z0, R) .Entonces

f(z) =n=0

f (n)(z0)n!

(z z0)n

uniformemente sobre D(z0, R).

Demostracion.- Sea D un dominio simple que contiene D(z0, R), esto es posible por es un abierto.

Las formulas integrales de Cauchy dan:

f(z) = 12ipiD

f()z ,

f (n)(z0) = n!2ipiD

f()(z0)n+1

Por otro lado1

z =1

z0 + z0 z =1

( z0)(1 zz0z0 )=

1 z0

n=0

(z z0 z0

)nporque |z z0| < | z0| y ademas la convergencia es uniforme sobre el disco centrado en z0. Por consiguientese puede integrar termino a termino garantizando la convergencia uniforme de la serie

f(z) =n=0

12ipi

(D

f()( z0)n+1 dz

)(z z0)n.


1 0 1

Figura I.8.1: Polinomio de Taylor z z33 + z5

5 + + z2525 en R y en C

Remarca.-Acabamos de ver que una funcion que puede expresarse como una serie de potencias es holomorfay lo mismo una funcion holomorfa puede expresarse como serie de potencias. Las funciones que tienen estapropiedad se llaman funciones analiticas; es decir que son indefinidamente derivables y que la serie de Taylorde la funcion coincide con la funcion en la region de convergencia.Remarca.-Si f : C es holomorfa, entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de f en elpunto z0 , esta dada por

dist(z0, ),

verificacion que dejamos como ejercicio.Ejemplo

1. La funcion y = arctanx es completamente lisa para < x. y no se comprendera porque elpolinomio de Taylor no funciona fuera de [1, 1], pero visto en C, recordando la seccion I.4 vemos queen la determinacion de arctan que no esta definida para i.

2. Consideremos la determinacion principal del logaritmo,

log z = z

1d ] z

1d

1+(1) = z

1(1 ( 1) + ( 1)2 ) d

= (z 1) (z1)22 + (z1)3

3 (z1)4

4 + En la figura I.8.2 se ve que la serie converge para |z 1| < 1, lo que no es sorprendente, porque enz = 0 log no esta definido.

I.8.1. Calculos con Series Enteras

A continuacion se enunciara algunas propiedades de las series enteras.

Proposicion I.8.2 Sean f(z) =n=0

anzn y g(z) =

n=0

bnzn dos series con radios de convergencia 1 y 2

respectivamente. Entonces

f(z) + g(z) =n=0

(an + bn)zn, (I.8.2)

f(z)g(z) =n=0

(ni=0

aibni

)zn, (I.8.3)

las dos series, la suma y la producto, tienen un radio de convergencia mn(1, 2).


xxxxyyyy

w n = 12

xxxxyyyy

w n = 24

xxxx

w n = 12

xxxx

w n = 24

Figura I.8.2: Graficas de parte real e imaginaria de (z 1) (z1)22 + (z1)3

3 (z1)n

n

Demostracion.- Ver demostraciones en el curso de Primer Ano de Analisis.

Para determinar los coeficientes de la serie cociente f(z)/g(z), es suficiente conocer la serie 1/g(z) y sepuede dividir g(z) por el b0 = g(0) 6= 0 y comenzar la serie g(z) por 1. Ademas podemos escribir los otroscoeficientes de la serie g(z) con signo . Tenemos la proposicion:Proposicion I.8.3 Sea g(z) = 1 +

n=1bnzn una serie de radio de convergencia > 0. Entonces los

coeficientes ci de la serie1g(z)

=n=0

cnzn,

satisfacen c0 = 1 y

cn =n1k=1

ckbnk + bn (I.8.4)

y el radio de convergencia es no nulo.

Demostracion.- Para las relaciones recursivas dadas por (I.8.4) los productos de Cauchy de la serie productog(z).(1/g(z) = 1 daran lo deseado. Mostremos ahora, que el radio de convergencia de la serie cociente esmayor o igual a 1/2. La formula de Hadamard para el radio de convergencia ,asegura que la sucesion

|b1| ,|b2|, 3

|b3|,

son por q > , es decir |bn| qn. Insertamos sucesivamente esta mayoracion en (II.8.4) y tenemos|c1| q,|c2| q2 + q2 = 2q2,|c3| 2q3 + q3 + q3 = 4q3,|c4| 4q4 + 2q4 + q4 + q4 = 8q4

...

De donde aplicando el criterio de la raz n-sima, se tiene que 1/g(z) converge para |z| < 1/(2q).


O O

w z ( z)

F(w)

g

Figura I.8.3: Composicion de Series

Aparte de las operaciones aritmeticas con series, se tiene la composicion de series enteras. Para ubicar elproblema, consideramos las series

f(z) =k=0

anzn, g(w) =

k=1

bnwn,

observamos que b0 = 0, para asegurar que g(0) = 0 y buscamos determinar los coeficientes cn de la serieF (w) = f(g(w)). Insertamos la segunda serie en la primera serie y se reordena la serie en potencias de w:

F (w) = a0 + a1(b1w + b2w2 + b3w3 + ) + a2(b1w + b2w2 + b3w3 + )2 + = a0 + a1b1w + (a1b2 + a2b21)w

2 + (a1b3 + 2a2b1b2 + a3b31)w3 +

= a0 + c1w + c2w2 + c3w3 + c3w4+

Observamos nuevamente que los coeficientes de la nueva serie son determinados recursivamente por expre-siones finitas, gracias a que b0 = 0, de coeficientes conocidos.

Para justificar que los reordenamientos son correctos y la prueba que la serie tiene un radio de convergenciano nulo, mediante el criterio de la serie mayorante. Nuevamente la formula de Hadamard conduce a que

|an| qn y |bn| pn.

Substituimos z = pw + p2w2 + p3w3 + = pw/(1 pw) para |w| < 1/p. Remplazamos z en la serie dobleobteniendo la mayoracion para la serie doble dada por 1 + qz + qz2 + = 1/(1 qz) siempre y cuando|z| < q. Remplazando en la mayoracion de la segunda serie, obtemos una mayoracion en funcion de w dadapor

11 q pw1pw

= (1 pw) 11 (q + 1)pw ,

mayoracion valida si |w| < 1/(p(q + 1)).Otro problema es el calculo de la serie entera de la funcion inversa de una serie entera. Sea w = f(z) con

w0 = f(z0) dada por un desarrollo

w w0 = a1(z z0) + a2(z z0)2 + a3(z z0)3 + .

Se busca el desarrollo de la funcion inversa z = g(w) bajo la forma

z z0 = b1(w w0) + b2(w w0)2 + b3(w w0)3 + .


Despuees de realizar traslaciones al origen, podemos suponer que z0 y w0 ubicados en el origen, se tienepor consiguiente w = f(g(w)) y utilizamos el reordenamiento de la serie composicion en potencias de w. Seobtiene

w = a1b1w + (a1b2 + a2b21)w2 + (a1b3 + 2a2b1b2 + a3b31)w

3 + comparando coeficientes, se tiene

1 = a1b1 b10 = a1b2 + a2b21 b20 = a1b3 + 2a2b1b2 + a3b31 b3

...0 = a1bn + valores conocidos bn.

La discusion de la convergencia utilizando el criterio de la serie mayorante es posible, ver H. Cartan I.2.9,pero muy complicada. La cuestion de la convergencia sera resuelta utilizando una ecuacion diferencial.

Sea F (w) = a0 + a1w + a2w2 + a3w3 + una funcion dada, se busca una funcion w = f(z) condw

dz= F (w), w(0) = 0,

remarcando que la traslacion del sistema de coordenadas al valor inicial ha sido ya realizada. Se plantea,como de costumbre, w = b1z + b2z2 + b3z3 + e remplazamos en la ecuacion diferencial. Se tiene

b1 + 2b2z + 3b3z2 + = a0 + a1(b1z + b2z2 + ) + a2(b1z + b2z2 + )2 + .Comparamos los coeficientes de la serie del lado izquierdo, con la del lado derecho, de donde

b1 = a0,

b2 =12a1b1,

b3 =13

(a1b2 + a2b21),...

En este caso el analisis de la convergencia es sencillo, mayoramos los bi pasando a los modulos los ai yremplazando los aj por una cota, proe ejemplo |aj | qj . Esto quiere decir que hemos resuelto la ecuaciondiferencial

dw

dz= (1 + wq + w2q2 + ) = 1

1 wq , w(0) = 0.

Esta ultima ecuacion es de tipo separable, ver curso de Primer Ano de Analisis, obteniendo como solucion,despues de integrar e despejar w, teniendo el cuidado de verificar w(0) = 0, se obtiene

w =11 2qz

q

solucion, cuya serie converge para |z| < 1/(2q).Regresemos al caso de determinar la serie de la funcion inversa de w = f(z) = a1z + a2z2 + . Se tiene

dw

dz= a1 + 2a2z + 3a3z2 + ,

por lo tanto, para la funcion inversa, se tiene

dz

dw=

1a1 + 2a2z + 3a3z2 + = b0 + b1z + b2z

2 + , (I.8.5)


donde los coeficientes bi se calculan mediante la serie cociente y esta serie como se ha visto converge. (I.8.5)es una ecuacion diferencial que la resolvemos mediante el algoritmo planteado mas arriba.

Remarca.- En muchos casos solo se requiere determinar los primeros coeficientes de una serie, por lo quees conveniente en estos casos utilizar desarrollos en serie limitados a un numero finito de terminos y utilizarla notacion o y O.

I.8.2. Teoremas de Unicidad y Prolongamiento Analitico

Definicion I.8.2 Sea f : C holomorfa, z0 . f tiene un cero de orden k en z0 si

f(z0) = f (z0) = = f (k1)(z0) = 0 y f (n)(z0) 6= 0.

Proposicion I.8.4 f : C holomorfa, f tiene un cero de orden k en z0 si y solamente si existeg : C holomorfa con g(z0) 6= 0 tal que

f(z) = (z z0)kg(z).


Teorema I.8.4 Sea C abierto conexo y f : C holomorfa. Si f 6 0, entonces todos los ceros de fson puntos aslados; es decir, si f(z0) = 0 r > 0 tal que |z z0| < r f(z) = 0 z = z0.

Demostracion.- Mostraremos la contrarecproca existe un cero no aislado de f , entonces f es identicamentenula

Si z0 el cero no aislado de f , entonces para todo disco D(z0, r) f |D(z0,r) 0. En efecto, comoD(z0, r) , f puede escribirse como serie f(z) = a0 + a1(z z0) + a2(z z0)2 + , para |z z0| < r. Setiene queak = 0 para todo k, sino sea k el entero mas pequeno tal que ak 6= 0 obteniendo

f(z) = (z z0)k(ak + ak+1(z z0) + ) = (z z0)kg(z).

g(z) es holomorfa sobre el disco D(z0, r) y g(z0) = ak. Por continuidad de g g(z) es diferente de 0 en unvecindario de z0, por lo tanto z0 sera un cero aislado, lo que contradice que z0 no sea un cero aislado. Comoak = 0 para todo k, se tiene f(z) = 0 sobre el disco D(z0, r).Ahora mostremos que f(z) = 0 para todo z . Sea z0 un cero no aislado. Puesto que es un abiertoconexo, tambien es conexo por arcos. Sea : [0, 1] R un arco tal que (0) = z0 y (1) = z.


Consideremos el subconjunto

I = {t [0, 1]|f |[0,t] 0} [0, 1].

I 6= porque 0 I. Por consiguiente al ser I no vacio y acota-do admite un supremo . > 0, en efecto en un disco D(z0, r)la restriccion de f en la porcion del arco incluida en el disco esidenticamente nula. z1 = () es un cero de f por la continuidadde y f , en efecto es suficente hacer tender t a por la izquierda. = 1, porque si < 1, se tendra que z1 6= z, en cualquier discoD(z1, r) z1 no es un cero aislado, por lo que f es identica-mente nula en este disco y en particular en la porcion del arcoincluida en ese disco y por lo tanto no sera el supremo de I.

Corolario I.8.1 Sea C un abierto conexo, f, g : C holomorfas. Si E = {z|f(z) = g(z)} 6= ycontiene un punto no aislado en Emismo, entonces f g.Corolario I.8.2 Sea C un abierto conexo, f : C holomorfa. Si existe z0 tal que f (k)(z0) = 0para todo k 0, entoces f 0.

En base al teorema precedente y el primer corolario se tiene las bases para el principio de prolonga-miento analitico. Consideremos una funcion f : C holomorfa, donde es un abierto. Sea z0 . Porconsiguiente, f puede escribirse como una serie entera alrededor de z0,

f(z) =n=0

an(z z0)n, |z z0| < ,

donde > es el radio de convergencia de la serie. Sea z1 6= z0 un punto dentro el disco |z z0| < , entoncesla substitucion z z0 = z z1 + (z1 z0) en la serie permite

f(z) =n=0

an(z z0)n =n=0

an((z1 z0) + (z z1))n

=m=0

(z z1)n( k=0

(n+ kn

)an+k(z1 z0)k

)

=n=0

bn(z z1)n.

Remarcamos que las series de la primera fila y la tercera fila son reordenamientos de la serie de la segundafila que es una serie doble. El reordenamiento esta permitido porque para z fijo con |z1 z0|+ |z z1| < la serie doble converge absolutamente; en efecto

n=0

|an| (|z z1|+ |z1 z0|)


Figura I.8.4: Principio del Prolongamiento Analitico

converge absolutamente.

La conclusion es que si |z z1| < |z1 z0|, la serienbn(z z1)n converge y representa la misma

funcion f(z). Pero es posible que el radio de convergencia sea mayor que |z1 z0| y por lo tanto convergaen una region fuera del disco inicial. Viendo la Figura I.8.4, la funcion f(z) ha sido prolongada de maneraunica. Este procedimiento puede ser repetido y permite llenar una region de mas en mas hasta llegar aun borde natural. La unicidad del prolongamiento se garantiza en tanto que los discos llenan un dominiosimplemente conexo (sin huecos).

I.8.3. Otros Resultados de las Funciones Holomorfas

Por lo que se ha visto hasta ahora, las funciones holomorfas tienen un comportamiento ejemplar y previsible,nada que ver con la palabra compleja. A continuacion presentamos una serie de teoremas que mostrarancuan poderosa es la teora de las funciones complejas.Teorema I.8.5 (Desigualdad de Cauchy) Sea f : C holomorfa, donde es un abierto, z0 ,R > 0 con D(z0, R) y M > 0 tal que f(z) M para todo z D(z0, R).

f(z) =n=0

an(z z0)n, |z z0| < R,

Entonces:

i) |an| MRn

.

ii) Si existe n0 con an0 =M

Rn0, entonces an = 0 para todo n 6= n0, es decir f(z) = an0(z z0)n0 .

Demostracion.- Sin perder generalidad podemos suponer que z0 = 0. Sea < < R y planteamos I() = 2pi0

f(ei)2 d. Tenemosf(ei) =

n=0

anneni,


I() = 2pi

0

( n=0

anneni

)( m=0

ammemi

)d

=

m,n=0

anamm+n

( 2pi0

ei(nm) d)

{

2pi si m=n

0 sino

= 2pin=0

|an|2 2n 2piM2, < R.

Haciendo R, se tienen=0

|an|2R2 M2 |an| MRn

.

Los calculos en la doble serie estan justificados porque trabajamos con una serie absolutamente convergente.

Definicion I.8.3 Una funcion entera es una funcion f(z) holomorfa sobre todo el plano complejo C.

Teorema I.8.6 (Teorema de Louiville) Toda funcion entera y acotada es constante.

Demostracion.- Sea M la cota es decir |f(z)| M para todo z C. Para todo R > 0 por la desigualdadde Cauchy se tiene, para n 1

|an| MRn an = 0,

de donde f(z) = a0.

Teorema I.8.7 (Teorema del Valor Medio) Si f es holomorfa en un disco de radio r y centro z, enton-ces

f(z) =

12pi pi

0

f(z + rei) d.


Proposicion I.8.5 Sea f holomorfa en un disco abierto D, continua en D. Si un punto c D es un puntomaximo de |f(z)|, entonces f es constante en un vecindario de c.


Demostracion.- Si f(c) = 0 el resultado es evidente. Sino planteamos M = |f(c)|. La hipotesis sobre cimplica que exista R > 0 tal que para todo 0 < r < R se tenga |f(z)| < M para z = c+ rei, 0 2pi.

Observemos la imagen de esta circunferencia ubicada en el disco D(0,M). Mediante una rotacion llevamosf(c) al eje real y despues de la sustraccion g() = f(z) f(c) = f(c+ rei) f(c) este punto se convierte elorigen, ver figura mas arriba. Por el teorema del valor medio 2pi

0

g() d = 0.

La curba g() D(M,M), por lo que


z

g

g(z)

a () p

p

Figura I.8.5: Demostracion Teorema de la Aplicacion Abierta

Por otro lado, se tiene quelmz f(z) = 0,

lo que significa que existe R > 0 tal que |z| > R |f(z)| < 1. Para el disco D(0, R) aplicamos el principiodel maximo, con lo que la funcion f(z) es acotada. El teorema de Liouville implica que f(z) es constante, loque contradice que p sea un polinomio de grado mayor o igual a 1.

Teorema I.8.10 (Teorema de la Funcion Abierta) Sea un abierto y f una funcion holomorfa noconstante, entonces para todo abierto U f(U) es un abierto.

Demostracion.- Se debe mostrar que la imagen de un disco D(z0, ) contiene un disco D(f(z0), ). En elcaso en que f (z0) 6= 0, la funcion es biyectiva en un vecindario de z0 y el resultado es trivial.

El caso f (z0) = 0, si es necesario realizar traslaciones, suponemos que z0 = 0 y f(z0) = 0 Sea an (n 2)el primer termino no nula de la serie de Taylor de f alrededor de 0. Podemos escribir

f(z) = anzn(1 + b1z + b2z2 + ).

Veamos el caso en que todos los bk = 0. f(z) actua sobre un disco de radio convirtiendolo en un disco deradio = |an| n, recorriendolo n veces. Es decir cada punto del disco D(0, ), a excepcion del origen, tieneexactamente n preimagenes.

El caso en que existen bk no nulos, para |z| lo suficientemente pequeno, utilizando la serie binomial deNewton, ver Curso Primer Ano de Analisis, se tiene

(1 + b1z + b2z2 + )1/n = 1 + c1z + c2z2 + ,

de dondef(z) = an(z(1 + c1z + c2z2 + ))n = an(g(z))n.

Sea > 0, como g(0) 6= 0, exite > 0 tal que D(0, ) g(D(0, )). Por ultimo, al elevar a la potencia nestamos en el caso en que los bk son nulos. Por consiguiente = |an| n.

I.9. SERIES DE LAURENT 55

I.9. Series de Laurent

En la seccion precedente hemos estudiado el hecho que las funciones que son holomorfas sobre un disco,admiten desarrollos en serie de potencias. En esta seccion se pretende generalizar este desarrollo en serie depotencias a regiones mas generales.

Definicion I.9.1 Sean a C, 0 r < R. La corona de centro a, radio inferior r y radio superior R es elconjunto

C(a, r, R) = {z Z|r < |z a| < R}.

Considermos una funcion f(z) holomorfa sobre una corona C(a, r, R), planteamos

ak =1

2ipi

C

f()( a)k+1 d, (I.9.1)

donde C es un recorrido cerrado dentro la corona, a IntC.

ak no depende de C, consecuencia de uno de los corolarios del teorema de Cauchy. La serie de Laurent de frespecto a la corona C(a, r, R) es

k=+k=

ak(z a)k =k=1

ak(z a)k +k=0

ak(z a)k. (I.9.2)

Teorema I.9.1 Sean 0 R1 < R2 +, a C y f holomorfa sobre la corona C(a,R1, R2). Entoncespara todo 1, 2 con R1 < 1 2 < R2, se tiene

f(z) =k=+k=

ak(z a)k

uniformemente sobre 1 |z a| 2.

Demostracion.- Sean 1, 2 con R1 < 1 2 < R2, como la corona C(a,R1, R2) es un conjunto abierto,


existen 1 y 2 tales que

R1 < 1 < 1 < 2 < 2 < R2.

Sea z {z|1 |z a| 2. Para r > 0 lo suficientementepequeno D(z, r) C(a, 1, 2). Por lo tanto, de acuerdo a otrocolorario del teorema de Cauchy sobre integrales, se tiene

2

f() z d =

1

f() z d +

|z|=r

f() z d.

Por otro lado, la formula integral de Cauchy da

f(z) =1

2ipi

|z|=r

f() z d =

12ipi

(2

f() z d

1

f() z d

).

Sobre 2, es decir la circunferencia de centro a y radio 2, se tiene

1 z =

1( a) (z a) =

1

( a)(

1 zaa) .

Como zaa 22 < 1, se tiene que

1 z =

1 a

k=0

(z a a

)kuniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre el disco D(a, 2), se tiene

12ipi

2

f() z d =

k=0

12ipi

2

f()( a)k+1 d ak, k0

(z a)k.

Sobre 1, es decir la circunferencia de centro a y radio 1, se tiene

1 z =

1( a) (z a) =

1

(z a)(

1 aza) .

Como aza 11 < 1, se tiene que

1 z =

1z a

k=0

( az a

)kuniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre {z| |z a| 1}, se tiene

12ipi

1

f() z d =

k=1

12ipi

1

f()( a)k+1 d ak, k1

(z a)k.


Proposicion I.9.1 Si f(z) =k=k=

Ak(z a)k en una corona C(a, r, R), entonces

Ak =1

2ipi

C

f()( a)k+1 d,

donde C es un contorno simple en la corona C(a, r, R), en cuyo interior se encuentra a.

Demostracion.- Dejamos al estudiante la justificacion de los calculos, se tiene

al =1

2ipi

C

f()( a)l+1 d

=1

2ipi

C

k=k=

Ak( a)k

( a)l+1 d =k=k=

Ak2ipi

C

( a)k( a)l+1 d

=

{0 k 6= l

2ipi k = l

= Al.

Al igual que las series enteras, con las series de Laurent, en lugar de utilizar la formula integral (I.9.1) paradeterminar la serie de Laurent de una funcion es preferible utilizar propiedades de series y series ya conocidas.

Ejemplos

1. Consideremos la funcion f(z) =1

1 + z2. Esta funcion no esta definida en z = i y z = i. Determinemos

la serie de Laurent en la corona C(i, 0, 2) = {z|0 < |z i| < 2}, remarcando que existen otras trescoronas donde se puede desarrollar en serie de Laurent la funcion f(z). Se tiene

11 + z2

=1

(z + i)(z i) =1

z i(

1z i+ 2i

)=

1z i

(12i

(1

1 + zi2i

)).

Como |z i| / |2i| < 1, se tiene

1(z + i)(z i) =

1z i

(12i

( k=0

(1)k(2i)k

(z i)k))

=

k=1

(1)k+1(2i)k+2

(z i)k.

2. Consideremos la funcion f(z) = 1z(z) y hallemos las series de Laurent para las coronas 0 < |z| < 1y la corona 1 < |z|.


3. Como |z| < 1, se tiene1

z(z 1) =1z

k=0

zk = 1z 1 z z2 .

en la corona 0 < |z| < 1.Para la corona |z| > 1, se tiene

1z(z 1) =

1z2(1 1z )

=1z2

(1 +

1z

+1z2

+ )

=1z2

+1z3

+1z4

+ .

I.9.1. Puntos Singulares Aislados de Funciones Holomorfas

Consideremos una funcion holomorfa sobre una corona de radio inferior 0, {0 < |z a| < R}, sea

f(z) =k=1k=

ak(z a)k parte principal

+k=0

ak(z a)k

la serie de Laurent respecto a la corona C(a, 0, R). De acuerdo al comportamiento de la parte principal dela serie de Laurent, podemos clasificar el punto a:i.- ak = 0 para k < 0 (la parte principal de la serie de Laurent es nula), en este caso f es holomorfa sobre

el disco D(a,R) y se dira que a es una singularidad suprimible. Por ejemplo

sin zz

tiene 0 como singularidad suprimible.

ii.- Existe k0 < 0 tal que ak0 6= 0 y ak = 0 para k < k0, (la parte principal contiene un numero finito determinos no nulos). En este caso, la serie de Laurent es

f(z) = ak0(z a)k0 + ak0+1(z a)k0+1 + a1(z a)1 +k=0

ak(z a)k.

Se dira que a es un polo de orden k0.

iii. Existe una infinidad de k < 0 con ak 6= 0, (la parte principal contiene una infinidad de terminos nonulos). Se dira que a es una singularidad esencial. Por ejemplo, para 0 < |z|

e1/z =k=0

1k!

(1z

)k.

Proposicion I.9.2 Sea f : {z|0 < |z a| < r} C holomorfa, entonces f posee un polo de orden n en asi y solamente si 1/f posee un cero de orden n en a.

Demostracion.- Se tiene

f(z) = an(z a)n + an+1(z a)n+1 + = h(z)(z a)n.


h(z) es holomorfa sobre todo el disco D(a, r) y h(a) = an 6= 0. Por consiguiente, f tiene un polo de ordenn, si y solamente si h(z) es holomorfa y h(a) 6= 0, si y solamente si

1f(z)

= (z a)n 1h(a)

,

si y solamente si 1/f tiene un cero de orden n.

Corolario I.9.1 f posee una singularidad esencial en a, si y solamente si 1/f posee una singularidadesencial en a.

Proposicion I.9.3 Sea f : {z|0 < |z a| < r} C holomorfa. Si f es acotada, entonces la singularidad essuprimible.

Demostracion.- Consideremos la serie de Laurent de f en la corona {z|0 < |z a| < r}

f(z) =k=k=

ak(z a)k,

ak =1

2ipi

|a|=

f()( a)k+1 d,

con O < < r. Si f es acotada, existe M > 0, tal que |f(z)| M , por consiguiente

|ak| = 12pi

|a|=

f()( a)k+1 d

1

2piM

k+12pi =

M

k.

Para k < 0, hacemos tender 0, lo que conduce |ak| = 0.

Corolario I.9.2 Si f posee una singularidad esencial en a, entonces existe una sucesion zn a tal quef(zn) 0.

Demostracion.- Por el absurdo, supongamos lo contrario; es decir que toda sucesion zn a verificaf(zn) 6 0. Esto es posible, si existe > 0 tal que > 0, se tiene

0 < |z a| < |f(z)| .Sino sera posible construir una sucesion con las caractersticas senaladas.Por lo tanto, tomemos > 0 con f holomorfa sobre 0 < |z a| < , se tiene que |1/f(z)| sobre0 < |z a| < , de donde 1/f es acotada y a es una singularidad suprimible de acuerdo a la proposicionprecedente. Lo que conduce a una contradiccion.


Corolario I.9.3 f posee una singularidad esencial en a, entonces para todo c C, existe una sucesionzn a tal que f(zn) c.

Demostracion.- Planteamos g(z) = f(z) c y aplicacmos la proposicion precedente.

I.10. Residuos y Aplicaciones

El concepto de residuo y sus aplicaciones provienen de manera natural de las Series de Laurent. Consideremosun abierto C, un conjunto D discreto y sea f : D C holomorfa. Por lo tanto, si z es unpunto singular de f , entonces existe r > 0 tal que f es holomorfa sobre la corona C(z, 0, r) y la serie deLaurent respecto a esta corona es

f(z) =k=k=

ak(z z)k,

si z 6 D, entonces la serie de Laurent se confunde con la serie de Taylor alrededor de x.Definicion I.10.1 Sea f : D C holomorfa, donde D es un conjunto discreto. El residuo de f en elpunto z es

Resz=z(f) = a1(z) =1

2ipi

|z|=

f() d,

con > 0 lo suficientemente pequeno.

Teorema I.10.1 (Teorema de los Residudos) Sea f : D C holomorfa, donde D es un conjuntodiscreto C contorno simple con C D = , entonces

C

f() d = 2ipi

zD

zintC

Resz=z(f)

(I.10.1)

Demostracion.- intC es un conjunto acotado, se tiene D intC es un conjunto a lo mas finito. Por

I.10. RESIDUOS Y APLICACIONES 61

consiguiente D intC = {z1, z2, . . . , zn}.

Por corolario del teorema de Cauchy se tieneC

f() d =nk=1

|zk|=k

f() d

= 2ipi

(nk=1

Resz=zk(f)

).

I.10.1. Calculo de Residuos

Si bien, el residuo de una funcion f en punto a esta definido mediante una integral, la utilizacion de residuosse justifica para el calculo de integrales por medio del teorema del residuo. Por consiguiente, la determinaciondel residuo en un punto singular pasa por la determinacion de la serie de Laurent alrededor del punto aislado.

Polos Simples

En este caso

f(z) = a1(z a)1 +k=0

ak(z a)k.

Ahora bien, la funcion(z a)f(z) = a1 + a0(z a) +

es holomorfa en z = a, de dondea1 = lm

za(z a)f(z).

Ejemplos1. Consideremos la funcion f(z) = 1/ sin z, esta tiene un polo simple en el origen,

Resz=0(1

sin z) = lm

z0z

sin z= 1.

2. Supongamos que la funcion f(z) es de la forma

f(z) =P (z)

Q(z)R(z),

con P (a) 6= 0, R(a) 6= 0, Q(a) = 0 y Q(a) 6= 0, en este caso, se tiene

Resz=a(f(z)) = lmza

P (z)(z a)Q(z)R(z)

= lmza

P (z)Q(z)Q(a)

za R(z)=

P (a)Q(a)R(a)

.


Como ilustracion, consideremos f(z) = cot z, esta funcion tiene polos simples en z = pik con k entero,sabiendo que cot z = cos zsin z , los residuos en los polos simples zk = pik, estan dados por

Resz=zk(cot z) =cos(pik)cos(pik)

= 1.

Polos de orden superior

Supongamos que f tiene un polo de orden n en el punto a, el desarrollo de la serie de Laurent alrededor deeste polo esta dada por

f(z) = an(z a)n + + a1(z a)1 + a0 + a1(z z0) + .

La funcion g(z) = f(z)(z a)n es holomorfa alrededor de a, por que a es una singularidad suprimible parag. El desarrollo en serie de potencias alrededor de a de la funcion g es por consiguiente

g(z) = an + + a1(z a)n1 + .

El residuo buscado de f es el coeficiente del termino de grado n 1, por consiguiente

Resz=a(f(z)) =1

(n 1)!dn1

dzn1(g(z))z=a.

Ejemplo3.- Consideremos la funcion f(z) = 1/(1+z2)n, que tiene polos de orden n en z = i. Calculemos el residuo

en z = i. Se tiene

g(z) = f(z)(z i)n = 1(z + i)n

= (z + i)n,

a1 =1

(n 1)!dn1

dzn1((z + i)n

)z=i

=1

(n 1)! (n) (n 1) (2n+ 2)(i+ i)2n+1,

= i (2n 2)!22n1((n 1)!)2 .

Ahora bien, calcular la n 1-sima derivada de una funcion, generalmente no es una tarea simple por loque tambien es util realizar desarrollos de series de Laurent limitados a un numero finito de terminos.

Ejemplo

4.- La funcion csc3 z tiene un polo de orden 3 en el origen. Realizando desarrollos en serie de potenciaslimitados a un numero finito de terminos, se tiene

csc3 z = (z z3/3! +O(z5))3 = z3(1 z2(1/3! +O(z2)))3= z3(1 (3

1)z2(1/3! +O(z2)) + )

= z3(1 + z2/2 + ) = z3 + 12z1 + .

de dondeResz=0(csc3 z) =

12.

I.10. RESIDUOS Y APLICACIONES 63

I.10.2. Calculo de Integrales

Una de las aplicaciones de los residuos esta dada por el calculo de integrales definidas y/o impropias reales. Acontinuacion veremos algunas situaciones tpicas, en las cuales la utilizacion de residuos permite facilmenteevaluar integrales.

1. Integrales del tipo: 2pi

0R(cos , sin ) d

Donde R(x, y) = P (x, y)/Q(x, y), P (x, y) y Q(x, y) polinomios.Suponemos ademas que Q(cos , sin ) 6= 0 para todo [0, 2pi].

Planteando z = ei y la circunferencia unitaria, la integral se convierte

2pi0

R(cos , sin ) d =

R(z + z1

2,z z1

2i

) dziz.

Ejemplo

5.- Consideremos la integral, con |a| > 1,

2pi0

1a+ cos

d,

que mediante la transformacion dada mas arriba, se convierte en

2pi0

1a+ cos

d = 2i

1z2 + 2az + 1

dz

Ahora bien f(z) = 1/(z2 + 2az+ 1) tiene un polo simple alinterior de la circunferencia dado por z1 = a +

a2 1,

que dicho sea de paso es real. El residuo de f(z) en z1 es

Resz=z1(f(z)) =1

2z1 + 2a