8/3/2019 Thorie des graphes - 1
1/40
Introduction la thorie des
graphes
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
2/40
Elments de cours
Algorithme decoloriage
Algorithme de Kruskal
Algorithme des CFC
Applications
Introduction
Introduction
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
3/40
Introduction
Quest ce quunGraphe ?
ntroduction
Pourquoi la thorie desgraphes ?
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
4/40
IntroductionElm
ents decours
Elments decours
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
5/40
Dfinition dunGraphes
Un graphe G est dfini par :
Un ensemble de sommets X. Un ensemble dartes U.
On utilise alors la notation : G = (X, U)
ments de cours
Exemple
a
b
d
c
X = {a, b, c, d}U = {u1, u2, u3, u4}
Avec : u1 = (a,b) u2 = (a,c)u3 = (a,d) u4 = (b,d)
u3u2
u4
u1
Elments decours
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
6/40
Elments decours
ments de cours
Graphes Orients
a d
bc
Graphes NonOrients
a
b
d
c
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
7/40
Elments decours
ments de cours
Ordre dun Graphe
Lordre du graphe G(X,U), not |G|, est le nombre desommets du graphe.
On a alors : |G| = card(X)
a
d
c
a
b
d
c
a
b
Graphedordre 4
Graphedordre 3
Graphedordre 2A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
8/40
Elments decours
ments de cours
Graphe Simple
Un graphe G est dit simple, si et seulement sil ne contientni boucle ni artes parallles.
a
b
d
c
a
d
c
a
d
c
Ce graphe nest pas
simple car il contient 2artes parallles
Graphe
simple
Ce graphe nest pas
simple car ilcontient une boucle A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
9/40
Elments decours
ments de cours
GrapheComplet
Un graphe G est dit complet si et seulement sil est simpleet si chacun de ses sommets est li tous ses autressommets.
a
b
d
c
a
d
c
a
d
c
Ce graphe nest pas
complet car les deuxsommets b et c ne sont pas
Graphe
complet
Ce graphe nest pas
complet car il nestpas simple A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
10/40
Elments decours
ments de cours
Degr dunsommet
On appelle degr dun sommet d(x), le nombre de liaisonsdu sommet x.
d : X ---> Nx ----> d(x)
Exemple
a
b
c
d
d(a) = 3
d(b) = 2
d(c) = 4
d(d) = 1 , on dit que le sommet d est pendant
d(e) = 0 , on dit que le sommet e est isol
e
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
11/40
Elments decours
ments de cours
Degr positif et degrngatif
Pour les graphes orients, on dfinit les deux notions :
- degr positif d + (x) : nombre darcs sortants dusommet x
- degr ngatif d - (x) : nombre darcs entrants ausommet xExemp
le
a
bc
d+ (a) = 0d- (a) = 2
d(a) = 2d+ (b) = 1d- (b) = 1
d(b) = 2d+ (c) = 3 d- (c) = 1
d(c) = 4
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
12/40
Elments decours
ments de cours
Graphe Rgulier
Un graphe G est dit rgulier si et seulement si tous sessommets ont le mme degr.
a
d
c
d(a) = d(b) = d(c) = 2
Graphe rgulier
Exemple
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
13/40
Elments decours
ments de cours
Source / Puit
Un sommet x est dit source si d+ (x) > 0 et d- (x) = 0
Un sommet x est dit puit si d- (x) > 0 et d+ (x) = 0
x
x
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
14/40
Elments decours
ments de cours
Notion dadjacence
On dit que deux sommets x et y sont adjacents si x et ysont lis par au moins un arc u.
On dit aussi que x et y sont deux extrmits terminales de
larc u.
ab
Pour les graphes orients on parle aussi dextrmit
initiale et extrmit finale.
ab
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
15/40
Elments decours
ments de cours
Matrice dadjacence / Graphes nonorients
A =
00011
00121
01010
12101
11010
a
b
d
e
c
a b c d e
a
bcde
Matrice symtrique
Aij = 2m N
m tant le nombre darcs du graphe (y compris
les boucles) et N le nombre de boucles
Matrice carredordre n
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
16/40
Elments decours
ments de cours
Matrice dadjacence / Graphes nonorients
Matrice symtrique
Aij = 2m N
La somme des nombres dune mme ligne (ou dune mmecolonne) donne le degr du sommet correspondant.
Si le graphe est simple la matrice sera compose que pardes 0 et 1 et la diagonale ne contiendra que des zros
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
17/40
Elments decours
ments de cours
Matrice dadjacence / Graphesorients
1 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 0 1 1
1 0 0 1 0
A =a d
bc
e Matrice non symtrique
Aij = mAvec m = card(U)
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
18/40
Elments decours
ments de cours
Pondration
Soit G = (X,U) un graphe
On dfinit dans U lapplication l :
l : U ---> Ru ----> l(u) : pondration
Selon la nature du problme, l(u) peut reprsenter unelongueur, un cot, un poids,
a
b
d
c
139
1012
2
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
19/40
Algorithme deColoration
Algorithme decoloration
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
20/40
Algorithme deColoration
Principe
Le principe est de colorier les sommets dun graphe, de tellefaon attribuer:
Pour deux sommets adjacents deux couleurs diffrentes
Un nombre de couleur minimal
Exemples
a b
c
a b
Algorithme deColoration
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
21/40
Algorithme deColoration
Nombrechromatique
Le nombre chromatique est le plus petit nombre decouleurs ncessaires pour colorier le graphe.
Si un graphe G contient un sous-graphe G completdordre
p, alors son nombre chromatique est suprieur ou gal p.(G) >= (G)
c
a b
c
a b
d(G)= 3
(G)= 4
Algorithme deColoration
A.A.A
l i h d
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
22/40
Algorithme deColoration
Algorithme deColoration
1. Classer les sommets du graphe dans une liste dans l'ordredcroissant de leur degr.
2. En parcourant la liste dans l'ordre, attribuer une couleur nonencore utilise au premier sommet non encore color, et
attribuer cette mme couleur chaque sommet non encorecolor et non adjacent un sommet de cette couleur.
Exemple
c
a b
d
e
x d(x) Couleur
a 4b 2c 2d 1e 1
C1C2
C2
C2
C3a b
d
e
c
Algorithme de
Coloration
A.A.A
l i h d
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
23/40
Algorithme deColoration
Il est noter que le nombre de couleurs minimal obtenupar lalgorithme de coloration nest pas ncessairementoptimal. Ce dernier donne une coloration parmi plusieurspossibles.
Le nombre de couleurs trouvs par lalgorithme est suprieurou gal au nombre chromatique.
Le nombre chromatique du graphe est le plus petit nombrepossible de couleurs.
Algorithme de
Coloration
Algorithme deColoration
A.A.A
l i h d
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
24/40
Algorithme deKruskal
Algorithme deKruskal
Algorithme deKruskal
A.A.A
Al i h d
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
25/40
Algorithme deKruskal
Algorithme deKruskal
Algorithme de
Kruskal
Le principe de cet algorithme est de dgager dun graphe nonorient pondr un arbre de poids minimal.
Un arbre est un graphe sans cycles.
Pour former donc notre arbre partir du graphe, on emprunteles artes dans lordre croissant de leur poids sans formeraucun cycle.
Pour un graphe dordre n (n sommets), on sarte lorsquonaura emprunt n-1 artes.
A.A.A
Al ith d
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
26/40
Algorithme deKruskal
Algorithme deKruskal
Exempl
es
c
a b
d
e
c
a b
d
e
Arbre
Ce graphe nest pasun arbre car il
contient un cycle
5 sommets 4artes
A.A.A
Al ith d
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
27/40
Algorithme deKruskal
Algorithme deKruskal
Exempl
es
On considre le graphe suivant et on essaie de chercher unarbre de poids minimal.
c
a b
d
e
1
55
323
5
Effectivement, pour 5 sommets on obtient 4 artes.Poids de larbre = 1 + 2 + 3 + 5 = 11
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
28/40
Algorithme desCFC
Algorithme descomposantes
fortement connexes
A.A.A
Algorithme des
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
29/40
Algorithme desCFC
Algorithme desComposantes
Fortement ConnexesGraphe fortement
connexe
Un graphe est dit fortement connexe si, entre tous
sommetsxetyquelconques, il existe un cheminc = {u1 ,
, um} qui commence enxet se termine eny.
a
c
ba
c
b
Ce graphe nest pasfortement connexe
Ce graphe est fortementconnexe
A.A.A
Algorithme des
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
30/40
Algorithme desCFC
Algorithme desComposantes
Fortement ConnexesComposantes fortement
connexes
a d
b
f
c e
Ce graphe nest pas fortement connexe mais on dit quilcontient deux composantes fortement connexes
A
B
A = {a, b, c} et B = {d, e, f}
A.A.A
Algorithme des
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
31/40
Algorithme desCFC
Algorithme desComposantes
Fortement ConnexesGraphe
rduit
a d
b
f
c e
AB
Le graphe rduit du graphe ci-
dessus est :
Avec : A = {a, b, c} et B = {d, e, f}
A B
A.A.A
Algorithme des
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
32/40
Algorithme desCFC
Algorithme desComposantes
Fortement Connexes
Choisir un sommet x
Marquer x par le signe +
Marquer du signe + tout successeur de x et toutsuccesseur dun sommet marqu dun +
Marquer x par le signe - Marquer du signe - tout prdcesseur de x et tout
prdcesseur dun sommet marqu dun
Lensemble des sommets marqus du signe + et - constituentla composante fortement connexe maximale issue dusommet s.
Algorithme des Composantes
fortement connexes
A.A.A
Algorithme des
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
33/40
Algorithme desCFC
Algorithme desComposantes
Fortement ConnexesExempl
e
a d
b
f
c e
+
-+
-
+ ++
++
-+
-
-
-
+
Cherchons les composantes fortement connexes dugraphe suivant, en appliquant notre algorithme :
A.A.A
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
34/40
Applications
A.A.A
pplications
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
35/40
pplications
Exercic
e 1A, B, C, D, E, F, G et H dsignent huit poissons. Dans le tableau ci-dessous, une croix signifie que les poissons ne peuvent pascohabiter dans un mme aquarium:
1. Formuler ce problme comme un problme de coloration dans ungraphe o les poissons reprsenteront les sommets du graphe.2. Utiliser lalgorithme donn au cours pour trouver une coloration.3. a) Que peut on dire du sous graphe G engendr par {A, C, D, H}.
b) En dduire le nombre chromatique.
A.A.A
pplications
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
36/40
pplications
Exercic
e 21 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17 18
1. Trouver les composantes fortement connexes.2. Tracer le graphe rduit.3. Changer lorientation dun seul arc pour que tout le graphe devienne
fortement connexe. A.A.A
pplications
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
37/40
pplications
Exercic
e 3
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17 18
1
2
5
7
45
3 10 8 27
9
7
813
9
10
124
39
2
4 8
94 11
2
7 5
109
uver dans le graphe suivant larbre de poids minimum et calculer son poids
A.A.A
pplications
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
38/40
pplications
Exercic
e 4
ste-t-il un graphe simple dordre 11 dont tous les sommets sont de degr 3 ?ui, dessinez-en un.
A.A.A
Le graphe est dordre 11 donc il contient 11 sommets
t on a chaque sommet est de degr 3
onc d(x) = 11 * 3 !!! Absurde !!
ar la somme totale des degrs dun graphe est toujours paire
pplications
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
39/40
pplications
Exercic
e 5onsidrons les deux graphes suivants :
1 32 1 32
On dsigne par A1 (resp. A2) la matrice dadjacence de G1 (resp. G2).
1. Donner A1 et A22. Calculer A1n et A2n pour tout entier naturel n non nul.
3. Retrouver les valeurs de A1n et A2n sans calcul, partir desgraphes G1 et G2 seulement.4. Considrons un graphe G orient et simple et A sa matricedadjacence. Donner une condition ncessaire et suffisante pour queAn devienne nulle partir dun certain entier n.
G
1
G
2
A.A.A
MERCI
8/3/2019 Thorie des graphes - 1
40/40
Applications
MERCI
Merci pour votreattention
Top Related