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TEORÍA DE INCERTIDUMBREPRESENTACIÓN DE RESULTAD
EXPERIMENTALES
Dr. rer. nat. Tommy Pozo Vila
2014
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ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICA
Clasificación:Errores sistemáticos defectos intrínsecos
Errores accidentales causas fortuitas,tratamiento estadístico
Valor verdadero
Valor verdadero
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3
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE ME
RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato
SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que recorre el
indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.
Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada;0.01 A en cierto amperímetro
Ejemplos.: 1 mm – 1 en la regla milimetrada.100 A – 1 en el amperímetro.
Umbral de sensibilidad:
variación mínima de la magnitud que no es apreciada por el aparato(evidentemente es menor que la resolución)
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4
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE ME
FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo resultadosiempre que se mide la misma magnitud física en las mismascondiciones experimentales y distintas condiciones ambientales delaparato (temperatura, tensión de alimentación, ...).
PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente el errordebido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.
Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento del fondo deescala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión 2% del F.E.
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5
De todas estas características, la PRECISIÓN es la que máscompletamente indica el error de la medida debido intrínsicamente alaparato, es decir, que no puede rebajarse salvo que midamos con unaparato más preciso
Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, peroque pueden corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos paraque den medidas correctas o corrigiendo sus escalas tras unaconfrontación con un patrón o un aparato más preciso. Debido a estacircunstancia, es necesario definir otra cualidad.
EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato que indica que es preciso yestá bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite medidas exactas,pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.
PRECISIÓN y EXACTITUD
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PRECISIÓN vs EXACTITUD
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MEDIDA E INCERTIDUMBREToda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas quellamamos medidas.
A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que setraducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbreasociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la
calidad del mismo .
Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades
¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nosindica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!
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FUENTES DE INCERTIDUMBRE
Errores de calibración.Condiciones experimentales no apropiadas.Lectura sesgada de los instrumentos.Resolución finita del instrumento de medida.Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en elprocedimiento de medida.Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidasEtc.
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DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
2
2
2exp
21 x x
y
68.27%
2 95.45%
3 99.73%
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0
N
x x N
ii
1
2)(
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12
DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x
= 0.5
= 1.0
68.27%
Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación delvalor verdadero es la media aritmética
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ANÁLISIS ESTADÍSTICO
1
n
i
i
x
x n
Elvalor medio como resultado de la medida:
La desviación típica del valor medio comoincertidumbre típica tipo A :
Cuando el número de medidas es pequeño(inferior a 10):
A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xNse toma:
)1(
)()( 1
2
nn
x x xu
n
ii
A
6)( mínmáx A x x xu
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RESOLUCIÓN X DEL APARATO DE MEDIDA
T=0,1 ºC
V=1 V
Aparatos digitales:se toma como resolución una unidad del último dígito delectura.
Aparatos analógicos:se toma como resolución del instrumento la menorunidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones).
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INCERTIDUMBRE RELATIVA
Es el cociente entre la incertidumbre típica y el resultado de lamedida
Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por ejemplosi x=12 cm y u(x)=4 cm, entoncesur= 4/12=0,33=33% . No tiene unidades.Da información sobre la bondad de la medida.
x xu
u r )(
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EJEMPLOS
CASO 1: Supongamos que medimos una temperatura cinco veces conun termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC
Valor medio: T =64,6ºCIncertidumbre:
uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC
uB(T)=1 ºC
u(T)=
= 1,5620499 ºC
Resultado: T = (64,6 1,6) ºC; ur=2,5%
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¡LA INCERTIDUMBRE u(x) NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESODEL INSTRUMENTO
CASO 2: Supongamos que medimos una longitud tres veces con unaregla graduada en milímetros y obtenemos:
x1 = 6.5 cm, x2 = 6.5 cm, x3 = 6.5 cm
uB(x)=0,1 cºm
Resultado: x = (6.5 0.1) cm, ur=1,5%
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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
¿Qué tienen de extraño estas frases?:
La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente65 millones de años y 3 días.
Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27segundos.
El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12
días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas.
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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS.El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene
determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar comoresultado:x=(1,2732345678534 ± 0,035) m
Y tampoco tiene sentido:
L=(2,1389639 ± 0,18653617) m
Norma:• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden
inferior a la incertidumbre
Resultados correctos: x=(1,273 ± 0,035) mL=(2,14 ± 0,19) m
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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS: REDO
La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada
es mayor que 5.− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor
que 5− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las
siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada seaumenta en una unidad.
− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son0, la última cifra conservada no cambia si es par o seaumenta en una unidad si es impar (redondeo al par).
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ALGUNAS OBSERVACIONES...
En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se puedensuprimir:
2 0,21 cm INCORRECTO2,00 0,21 cm CORRECTO
Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notacióncientífica, esto es, en potencias de 10:
(18000 3000) Pa = (18,0 3,0) 10 3 Pa
(0,00256 0,00017) N = (2,56 0,17) 10 -3 N
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EJEMPLOS
4,81343 0,04661132,2894 2,8754
5127 234
0,53781 0,00996
50353 2550
2,3487 0,345
1091,32 84,55
5130 230 ; u r = 4,5 %
132,3 2,9 ; ur = 2,2 %
50400 2600 ; ur = 5,2 %
2,35 0,34 ; ur = 0,14 %
1091 85 ; ur = 7,8 %
0.5378 0.0100 ; ur = 1.8 %
4,813 0,047 ; ur = 0,98 %
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INCERTIDUMBRE TÍPICA COMBINADMEDIDAS INDIRECTAS
Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A quese calculan a partir de los valores x y z de otras magnitudesmediante una fórmula: A=f (x y z )
En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dadapor la fórmula de propagación de la incertidumbre:
222
)()()()( z u z f
yu y f
xu x f
Auc
EJEMPLO CÁLCULO DE INCERTIDUMBR
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EJEMPLO: CÁLCULO DE INCERTIDUMBRCOMBINADA
b
a c
a = 10,00 0,10 cmb = 25,0 2,0 cmc = 15,0 1,5 cm
Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden con
unas reglas obteniéndose los siguientes valores:V = a·b·c = 3750 cm3
Resultado: V = (3750 480) cm3
Incertidumbre combinada:
uc(V)=481,6962217 cm 3
5,37)()( aucbauaV
300)()( bucabubV
375)()( cubacucV
222
)()()()( cucV bu
bV au
aV V uc
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EJEMPLO
834
234
34 333 D
m D
m Rm
36 D
m
26
D: Diámetro m : masa
El diámetroD se mide con un calibre cuyaresolución es: 0,01 cm
La masa m se mide con una balanza cuyaresolución es: 0,1 g
Dm
La expresión a utilizar será:
Medición de la densidad de una bola de acero
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EJEMPLO
Medida nº 1 2 3 4 5 6
D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43
cm 415,2
6
43,240,244,239,245,238,2 D D
n
X
X x
n
k
k i
ii 1
,
27
Cálculo de D :
Medición de la densidad de una bola de acero
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EJEMPLO
ii x xu )(
Medida nº 1 2 3 4 5 6
D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43
cm 01,0)( Du B
22 )()()( i Bi Ai xu xu xu
28
Medición de la densidad de una bola de acero
6)( min,máx, iii X X xu
Cálculo de incertidumbre típica de D :
0116666,06
38,245,2)( Du A
01536591,001,001166667,0)()()( 2222 Du Du Du B A
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EJEMPLO
29
Medición de la densidad de una bola de acero
Resultado de D:
01536591,0415,2 D cm )015,0415,2( D
Resultado truncado y redondeado
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En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de habersido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, laincertidumbre será igual a la resolución del instrumento:
EJEMPLO
g 7,57m
30
Medición de la densidad de una bola de acero
Se realiza una única medida de m, obteniéndose:
Cálculo de incertidumbre típica dem :
g 1,0)(mu
1,07,57m g )1,07,57(mResultado truncado y redondeado
Resultado de m :
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EJEMPLO
36 Dm3415,2
700,576 3g/cm 82394494,7
31
Cálculo de :
g )1,07,57(mcm )015,0415,2( D
Medición de la densidad de una bola de acero
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EJEMPLO
N
ii
i N
N c xu x
f xu
x f
xu x f
xu x f
yu1
2
222
22
2
11
)()(...)()()(
3g/cm 14641703,0)(cu
22
)()()( mum Du Duc
0212541,0015,0415,2
7,5718)(
18)(
2
4
2
4
2
Du D
m Du
D
32
Cálculo de incertidumbre típica combinada de :
0212541,010838654,1)( 4cu
Medición de la densidad de una bola de acero
3
6
D
m
42
3
2
3
2
10838654,11,0415,2
6)(
6)( mu
Dmu
m
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EJEMPLO
3g/cm 82394494,7 3g/cm 14641703,0)(cu
3g/cm 0,15) 82,7(
33
Resultado final :
Medición de la densidad de una bola de acero
Resul tado t runc ado y redond eado
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Errores
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Eje de abcisas(v. independiente)
Eje deordenadas
(v. dependiente)
Identificaciónde los ejes
Escalasencilla
I (mA)1 2 3 4 5 6 7 8
V ( 102 mV)
12
13
14
15
16
17
El origen no tieneporqué ser el (0,0)
¡Nunca!
Puntos distribuidospor toda la gráfica
Línea de
ajuste
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
M(g) y(cm)
100 0.6
200 0.9
400 2.2
600 3.0
800 4.1
1000 4.85 0
1
2
3
4
5
6
0 200 400 600 800 1000 1200
M (g)
x ( c m
)
Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para unresorte y para ello colgamos del muelle masas de distinto valor del muelle ymedimos la elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0 , luego y=g/k Mpor loque esperamos que si se representa x frente a M los datos se alineen en una recta
Los puntos no estánperfectamente
alineados como cabríaesperar debido a loserrores accidentales e
instrumentales delexperimento.
El método de Ajuste por MínimosCuadrados permite encontrar la rectaque ajusta mejor a todos los puntosexperimentales
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOSLa recta que buscamos es: y = m·x + b.
m Pendienteb Ordenada en el origen
Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x 1, y1), (x2, y2) …(x n,yn)
2
11
2
111
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
x xn
y x y xnm
n
xm yb
n
ii
n
ii
11
n
ii
n
iii
c
x xn
bmx ymu
1
2
1
2
2)(
n
iicc xmubu
1
2)()(
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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
2
11
22
11
2
111
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
y yn x xn
y x y xn
r
Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.
Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo debueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).
¡ Un ajuste por mínimos cuadrados es aceptable solo si | r | > 0,9 !
Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714 r = 0.9997
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EN NUESTRO EJEMPLO:
4.851000
4.1800
3.0600
2.2400
0.92000.6100
yixi
4.851000
4.1800
3.0600
2.2400
0.92000.6100
yixi
Resultado final:m = 0,0049 0,0005 cm/g
b = 0,09 ± 0,80 cm
r = 0,997
m = 0,0048726027 cm/g; uc (m)=0,0005401 cm/g
b = 0,0908219 cm; uc (b)=0,8029164 cm
r = 0,99728
Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud deinterés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle . En efecto, según lateoría
g y x k
Lo que implica que g/k es la pendiente y la ordenada en el origen es cero
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2
2
082,2002040049.0
981
s g
g cm s
cm
m g k k g m
k = (20,0 2,0) 104 g/s2; ur = 10 %
Por lo tanto
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ERROR DE CERO
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El error más típico que afecta a laexactitud de los aparatos es el “error decero”. Causado por un defecto de ajustedel aparato, este da una lectura distintade cero cuando lo que mide vale cero.
Es fácilmente corregible reajustando elaparato o corrigiendo numéricamentelas lecturas en la cantidad en quedifieren el cero real y el de la escala.
7 mV
ERROR DE CERO
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
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CIFRAS SIGNIFICATIVAS
El número de cifras significativas de unamedida es el número de dígitos fiables quedicha medida contiene.Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en recorrerUN MILLÓN de kilómetros...
s c x t 3333333333.3
10310
56 ?
CIFRAS SIGNIFICATIVAS (2)
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CIFRAS SIGNIFICATIVAS (2)
Los ceros a la izquierda no son significativos,indican la colocación del punto decimal; así,
0.000345 tiene TRES cifras significativas.Los ceros a la derecha y después del puntodecimal si son significativos; como ejemplo,
3.4120 tiene CINCO cifras significativas.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS (3)
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CIFRAS SIGNIFICATIVAS (3)
En números enteros terminados en ceros,éstos pueden ser significativos o no; debedistinguirse si sólo sirven para localizar elpunto decimal o son parte de la medida:
3·102 kg UNA cifra significativa3.0·102 kg DOS cifras significativas3.00·102 kg TRES cifras significativas
El resultado de un cálculo no puede ser másexacto que la cantidad menos exacta que
interviene en el mismo.
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
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45
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
N
i
i x
N
x x
N
x 1
211
...)(1
Error del aparato Serie de medidas: Errorcuadrático medio
)1(
)(1
2
N N
x x x
N
i i
N x
Resolución
Cuando sólo se presentan errores accidentales el mejorvalor representativo del valor verdadero es el valor medio
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
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ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
Error absoluto:sensibilidad Error relativo:precisión
Determinación del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidad con el errorcuadrático medio. Se toma la mayor de ambas cantidades. Seexpresa con una sola cifra significativa, salvo si esta es 1, encuyo caso se admiten dos cifras significativas.
x x x
Determinación del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.
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EJEMPLO 1: MEDIDA DE UNA LONGITUD
Sensibilidad:
Error cuadrático medio:
101.0 mm101622777.3 2L
mm107610149.4 2L
Valor aceptado: mm)05.064.635(LL
Media aritmética:
mm6400.635L
L (mm)635.7 635.9
635.8 635.5
635.5 635.4
635.6 635.7635.6 635.7
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
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48
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Magnitud x que se determina a través dela medida de otras con las que mantieneuna relación funcional
),...,( 21 N x x x x x Ley de propagación del error de Gauss
22
22
2
11
... N N
x x x
x x x
x x x
x
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49
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTA
La ley de propagación de Gauss nos da el valormedio del error absoluto de la magnitud medida
en forma indirecta
El error máximo cometido se puede determinar
sumando los valores absolutos de los erroresindividuales
EJEMPLO 2 VALOR PROMEDIO DEL ERR
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50
EJEMPLO 2. VALOR PROMEDIO DEL ERR
Determinación de la focal de unalente por el método de Bessel.
Ld L
f 4
'22
d
Imagen
Posición1
Posición2
L
Objeto
EJEMPLO 2 (CONT )
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51
EJEMPLO 2 (CONT.)
22
2
222
2441''
' d Ld
LL
d d
d f
LLf
f
L
d Lf
4'
22
L (cm) d (cm) f’ (cm) f’ (cm)100 79.0 9.40 0.1190.0 68.9 9.31 0.1180.0 58.7 9.23 0.11
70.0 47.7 9.37 0.1060.0 36.8 9.36 0.0955.0 31.1 9.35 0.0850.0 25.1 9.35 0.0845.0 18.2 9.41 0.07
VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)
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52
VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)
Si supusiéramos que cada variable xi es laúnica que influye en el error
i i
i i x x
x x x
x x
2
El error máximo en la medida indirecta será la suma de los términos deerror individual
N N
M áximo x x x
x x x
x x x
x ...22
11
CASO PARTICULAR 1: PRODUCTOS
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53
CASO PARTICULAR 1: PRODUCTOSLa función consta exclusivamente de
productos y/o cocientes n N
b a x x x x ...21Derivadas parciales
11 x x
a x x
22 x x
b x x
N N x x
n x x
Error máximo (expresado como error relativo)
N
N
x x
n x x
b x x
a x x ...
2
2
1
1
CASO PARTICULAR 1 PRODUCTOS
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54
CASO PARTICULAR 1: PRODUCTOS
Fórmula de los logaritmos neperianos
N x Ln n x Ln b x Ln a x Ln ...21
N
N
x dx
n x
dx b
x dx
a x
dx ...2
2
1
1
N
N
x x
n x x
b x x
a x x ...
2
2
1
1
EJEMPLO 3 ERROR EN AUMENTO LATE
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55
EJEMPLO 3. ERROR EN AUMENTO LATE
Formación de imagen real por lente convergente
y
y’
Objeto: y = 16±1 mmImagen: y’ = -12±1 mm
75.01612'
y y
m
15.01458.00625.00833.016
1
12
1
'
'
y
y
y
y
m
m
11.015.075.0m 11.075.0m
CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA
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56
CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA
Cálculo del error en la media empleando la leyde propagación de Gauss.Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de unamagnitud, cada una afectada de un error individual x1, x2,... xN), como medidas directas a partir de las cuales se
obtendrá la media como medida indirecta, siendo la relaciónfuncional entre ellas
N
i i x N
x 1
1
CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA
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57
CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA
Propagación de Gauss: valor medio del error22
2
2
11
...11
N x
N
x
N
x
N
x
222
21 ...
1N x x x N
N x
N x x x
N RM S N
222
21 ...1
x RMS Root Mean Square
CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA
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58
CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA
Propagación de Gauss: valor máximo del error
N N
x x x
x x x
x x x
x ...22
11
máx
N x x x N
...1
21
Error máximo: igual al promedio de los errores
EJEMPLO 4 ERROR EN MEDIDA INDIRECT
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59
EJEMPLO 4. ERROR EN MEDIDA INDIRECT
Determinación de la distanciab entre surcos consecutivos de una red de
difracción. Los diversos valores deb e b se han calculado en nm usandocomo fuente luminosa un láser He-Ne.
Media b = 3380 nmMedia b = 28.3 nm
bRMS = 29.2 nmN = 6
b=29.2/ 6=12 nm(valor medio delerror)
bmax =28.3 30 nm(error máximo)
3370 20
3370 203370 303390 303390 303390 40
b b
3380 12 nm
3380 30 nm
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
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60
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
x
y
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
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61
0mS 0
bS
N
i i
N
i i y x b aN
11
( x i ,y i )
y = b+mx y i -b-m x i
N
iii mxb yS
1
2)(
CRITERIO: Minimizar S
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS(Ajuste lineal)
N
i i i
N
i i
N
i i y x x b x a
11
2
1
MÍNIMOS CUADRADOS (AJUSTE LINEAL DEN PUNTOS)
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62
( )
22
x N x
xy N y xm
22
2
x N x
x y xy xb
N x
x N y
y222
x y m
22
2
x x N
N m 22
22
x x N
xb
DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)
Coeficiente de correlación
2222 11 y N
y x N
x
N y x
xyr
MÍNIMOS CUADRADOS (EJEMPLO)
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63
MÍNIMOS CUADRADOS (EJEMPLO)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60
x
y
x x y y
50 2 10 2
40 2 21 2
30 2 31 2
20 2 43 2
10 2 54 2
09.010.1m
365b
99967.0r
bmx y
x x y y xy x^2 y^2
150 10 159 10 3670 5500 6267
x x y y xy x^2 y^2
50 2 10 2 500 2500 100
40 2 21 2 840 1600 441
30 2 31 2 930 900 961
20 2 43 2 860 400 1849
10 2 54 2 540 100 2916
EJEMPLO 6: ÍNDICE DE REFRACCIÓN
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64
EJEMPLO 6: ÍNDICE DE REFRACCIÓN
Medida del índice de refracciónde una lámina de vidrio
i
r
n
sen i = n sen r
Índice de refracción: medidas (2)
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65
i i r r
25 1 15 1 30 1 20 1
35 1 21 1
40 1 24 1
45 1 27 1
50 1 29 1
55 1 30 1
60 1 32 1
65 1 33 1
70 1 36 1
bmx y
x x y y
sen r sen r sen i sen i
1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158
2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151
3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143
4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134
5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123
6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112 7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100
8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087
9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074
10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060
Medidas en grados sexagesimales
( )
r ni sinsin
iiii ii cossinsin
09.069.1m
04.004.0b
99301.0r
r r r r
r r cos
sinsin
Índice de refracción: gráfica (3)
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66
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
sen r
s e n
i
09.069.1m
04.004.0b
99301.0r
Índice de refracción: gráfica (3)
Índice de refracción
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67
AJUSTE DE CURVAS
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORLINEAL
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68
LINEALCASO 1. EXPONENCIALES
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
t (s)
V (volts)
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
/0
t eV V
V)004.0008.5(0V s)2.05.251(
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
t
eV V /0
Descarga de un condensador
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORLINEAL
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69
LINEALCASO 1. Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos
11a
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
t (s)
ln (V/V 0 )
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
t V V )/ln( 0
t aa y 10
)002.0015.0(0a1-
1 s)000004.0003930.0(a
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORLINEAL
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70
LINEAL
s
s’
s s
f 1
'1
'1
f ’
s f
s 1
'1
'1
Ecuación de las lentes: forma de Gauss
CASO 2. FUNCIONES INVERSASFocal de una lente
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FOR
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71
s (cm) s’ (cm) 1/s (cm -1) 1/s’ (cm -1)97.50 67.65 0.010256 0.014782
106.00 63.95 0.0094340 0.015637
113.50 61.50 0.0088106 0.016260
120.30 59.70 0.0083126 0.016750
126.80 58.20 0.0078864 0.017182
(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)
LINEALFocal de una lente: tabla de valores
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FOR
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72
1.45 10 -2
1.50 10 -2
1.55 10 -2
1.60 10 -2
1.65 10-2
1.70 10 -2
1.75 10 -2
7.50 10 -3 8.00 10 -3 8.50 10 -3 9.00 10 -3 9.50 10 -3 1.00 10 -2 1.05 10 -21/s
12 cm10003.0510.2'
1f
a
004.0004.1b
99998.0r
s b a
s 1
'1
DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN
LINEAL
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORM
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73
LINEAL
cm84.39
10510.2
11' 2
a f
cm05.010510.2
10003.01' 2
2
2
2 a a
f
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74
OTROS EJEMPLOS
AJUSTES DE FUNCIONES SENOIDA
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75/82
LEY DE MALUS (2) (º) I (lux)
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76
0 161
10 125
20 87
30 54
40 28
45 17
50 10
55 6
60 4
65 7
70 1475 22
80 33
90 63
100 94
110 130
120 158
130 190140 207
150 214
160 205
170 179
180 147
( ) I (lux)
0
50
100
150
200
250
0 40 80 120 160
I = m1 + m2 cos2( +m3)
m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux
m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924
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78/82
DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA (3)
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d (mm) dc (mm) Intensidad0 -11.75 0.31 -10.75 0.72 -9.75 2.33 -8.75 5.44 -7.75 10.15 -6.75 16.26 -5.75 23.0
7 -4.75 29.98 -3.75 36.39 -2.75 41.7
10 -1.75 45.711 -0.75 47.912 0.25 48.613 1.25 47.314 2.25 44.315 3.25 39.716 4.25 33.817 5.25 27.118 6.25 20.119 7.25 13.520 8.25 7.921 9.25 3.822 10.25 1.423 11.25 0.324 12.25 0.2
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
I n t e n s i
d a d ( u n
i d a d e s a r
b i t r a r i a s )
distancia (mm)
d
= 1 1
. 7 5 m m
0
Figura E-1: Localizacion grafica del centro de la figura de difraccionLocalización gráfica del centro de la figura dedifracción
DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA (4)
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80/82
80
( )
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
-15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0
I n
t e n s
i d a
d (
u n
i d a
d e s
a r
b i t r a r
i a s
)
distancia corregida (mm)
)(20 mx sinc I I 2.03.490I 1)0013.02545.0( mm m
DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA (5)
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81/82
81
D a m 2 mm D m a 0513.01000108.6322545.02
6
)(2
0 mx sinc I I 2.03.490I
1)0013.02545.0( mm m
nm )1.08.632( mm D )101000(
D m mD m D a maxim o 1
)2(
mm 0008.010108.6232545.0101.010002545.00013.01000108.6321 666
mm a )0008.00513.0(2
99955.0r
BIBLIOGRAFÍA
8/17/2019 Teoria de Incertidumbres
82/82
Alan R. Miller, Pascal Programs for Scientists and Engineers . Sybex 2344 Sixth St.Berkeley, California
Wilhelm H. Westphal, Pr ácticas de F ísica . Ed. Labor, Barcelona (1952)
Murray R. Spiegel, Estadística. Teoría y 875 problemas resueltos . McGraw-Hill(Schaum), México (1969)
Jerry D. Wilson, Física (2ªEd.) . Prentice-Hall, Méjico (1996)
W. H. Press y otros, Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing , CambrigdeUniversity Press, Cambrigde 1986
W. Lichten , Am. J. Phys 57 (12), 1989