Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Techniques d’intervalles pour la résolutionde systèmes d’équationsThèse du projet COPRIN, INRIA
Gilles Chabert
19 Janvier 2007
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Plan de la soutenance
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Les techniques d’intervalles
Qu’est ce que l’arithmétique d’intervalles?
Question: si x ∈ [1, 2] comment varie f (x) = x2 − x?
x ∈ [1, 2]x2 ∈ [1, 4]
x2 − x ∈ [−1, 3]
image(f , [1, 2]) = [0, 2] ⊆ [−1, 3]
Qu’est ce que les intervalles peuvent représenter?domaines des variableserreurs numériquesincertitudes liées au modèle
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthode d’évaluation/bissection
boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]
0
2
4
6
8
10
x
0
2
4
6
8
10
y
–40–20
020406080
100120140160180
f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]
[x ] = [0, 5]× [0, 10]
0
1
2
3
4
5
x
0
2
4
6
8
10
y
–20
0
20
40
60
80
100
f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]
[x ] = [5, 10]× [0, 10]
5
6
7
8
9
10
x
0
2
4
6
8
10
y
–200
20406080
100120140160180
f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]
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Conclusion
Méthode d’évaluation/bissection
boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]
0
2
4
6
8
10
x
0
2
4
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y
–40–20
020406080
100120140160180
f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]
[x ] = [0, 5]× [0, 10]
0
1
2
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x
0
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–20
0
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f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]
[x ] = [5, 10]× [0, 10]
5
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x
0
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y
–200
20406080
100120140160180
f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]
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Conclusion
Méthode d’évaluation/bissection
boîte initiale [x ] = [0, 10]× [0, 10]
0
2
4
6
8
10
x
0
2
4
6
8
10
y
–40–20
020406080
100120140160180
f([x ]) = [− 16, 184], [−36, 100]
[x ] = [0, 5]× [0, 10]
0
1
2
3
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5
x
0
2
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6
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y
–20
0
20
40
60
80
100
f([x ]) = [− 16, 109], [−36, 100]
[x ] = [5, 10]× [0, 10]
5
6
7
8
9
10
x
0
2
4
6
8
10
y
–200
20406080
100120140160180
f([x ]) = [9, 184], [− 35, 100]
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0
f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0
f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0
f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle(∃a ∈ [a]
)ax = b ?
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Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0
f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle(∃a ∈ [a]
)ax = b ?
x ∈ b/[a]
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle(∃a ∈ [a]
)ax = b ?
x ∈ b/[a]
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle(∃A ∈ [A]
)Ax = b ?
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle(∃A ∈ [A]
)Ax = b ?
Problème: inversion d’une matrice intervalle...
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Conclusion
Filtrage (analyse par intervalles)
f : R→ R f (x) = 0f : Rn → Rm f (x) = 0
Système linéaire avec paramètre intervalle(∃A ∈ [A]
)Ax = b ?
Problème: inversion d’une matrice intervalle... Méthodes numériques particulières
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
Méthodes intervallesGauss-SeidelÉlimination de GaussKrawczykHansen-Bliek
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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Système linéaire intervalle
∃A ∈ [A] Ax = b
Une approximation extérieure des solutions suffit pas de bissection/évaluationNécessité de préconditionner [A]
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∃A ∈ [A] Ax = b
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Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
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Conclusion
Filtrage
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Système linéaire à paramètres intervalles(∃A ∈ [A]
)(∃b ∈ [b]
)Ax = b
mêmes méthodes numériques
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Filtrage
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Système linéaire à paramètres intervalles(∃A ∈ [A]
)(∃b ∈ [b]
)Ax = b
mêmes méthodes numériques
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Filtrage
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Système linéaire à paramètres intervalles(∃A ∈ [A]
)(∃b ∈ [b]
)Ax = b
mêmes méthodes numériques
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
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Programmationparcontraintes
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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Conclusion
Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1
Théorème des valeurs intermédiairesf (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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Conclusion
Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x)
Test d’inclusion, négation du problèmeUne seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui
Intervalles modaux (et généralisés)Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
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∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f )
Permutation variable-paramètref polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension
Élimination de quantificateursCas général Détection de frontière
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∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général
Détection de frontière
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Détection de boîtes intérieures
∃u ∈ [u] f (x , u) = 0
Dim(f ) = 1 Théorème des valeurs intermédiaires
f (x , u) = 0 ⇐⇒ u = φ(x) Test d’inclusion, négation du problème
Une seule occurrence de ui Intervalles modaux (et généralisés)
Dim(u) = dim(f ) Permutation variable-paramètre
f polynomial de faible dimension Élimination de quantificateurs
Cas général Détection de frontière
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Conclusion
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1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Exemple de AE-système
f (l) = 0
Exemple du robot parallèle 2D
l1 2l ? ? l1
l2
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Exemple de AE-système
∃u ∈ [u] f (l , u) = 0
Exemple du robot parallèle 2D
l1 2l
u u21
l1
l2
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Exemple de AE-système
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (l , u, v) = 0
Exemple du robot parallèle 2D
2uu1
l1l2
v1
v2
l1
l2
1u2u1u
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Exemple de AE-système
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (l , u, v) = 0
Exemple du robot parallèle 2D
u1
u5
u6u3
l1 2l
u4
v1
v2
2u
1... u6u l1
l2
1u2u1u
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieures
Même chose que pour les systèmes paramétrés
Filtrage
Newton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieures
Même chose que pour les systèmes paramétrés
Filtrage
Newton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
Filtrage
Newton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
Filtrage
Newton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
FiltrageNewton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
FiltrageNewton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
FiltrageNewton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaire
Méthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
FiltrageNewton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaireMéthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
FiltrageNewton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaireMéthodes de Shary
Bissection
Problème de double boucle
IntroductionSystèmesd’équationsclassiques
Systèmesparamétrés
AE-systèmes
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Méthodes
∀u ∈ [u] ∃v ∈ [v ] f (x , u, v) = 0
Détection de boîtes intérieuresMême chose que pour les systèmes paramétrés
FiltrageNewton Généralisé
Systèmes linéaires quantifié(∃A ∈ [A]
)(Qb ∈ [b]
)Ax = b ?
Cas linéaireMéthodes de Shary
BissectionProblème de double boucle
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Plan de la soutenance
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Introduction
x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)
Oettli-Prager
(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ
Qx ≥ 0
Hansen-Bliek(I −∆)Qx ≤ Qb + δ(I + ∆)Qx ≥ Qb − δ
Qx ≥ 0
0
Q =
„1 00 1
«
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Introduction
x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)
Oettli-Prager
(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ
Qx ≥ 0
Hansen-Bliek(I −∆)Qx ≤ Qb + δ(I + ∆)Qx ≥ Qb − δ
Qx ≥ 0
0
Q =
„1 00 1
«
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Introduction
x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)
Oettli-Prager
(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ
Qx ≥ 0
Hansen-Bliek(I −∆)Qx ≤ Qb + δ(I + ∆)Qx ≥ Qb − δ
Qx ≥ 0
0
Q =
„1 00 1
«
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Introduction
x ∈ Σ(I ±∆, b ± δ)
Oettli-Prager
(I −∆Q)x ≤ b + δ(I + ∆Q)x ≥ b − δ
Qx ≥ 0
Hansen-Bliek(I −∆)Qx ≤ Qb + δ(I + ∆)Qx ≥ Qb − δ
Qx ≥ 0
0
Q =
„1 00 1
«
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas classique)
Identifier formellement un optimum local
(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)
|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)
En déduire un optimum global
xQ4
xQ3
xQ2xQ1
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas classique)
Identifier formellement un optimum local
(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)
|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)
En déduire un optimum global
xQ4
xQ3
xQ2xQ1
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas classique)
Identifier formellement un optimum local
(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)
|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)
En déduire un optimum global
xQ4
xQ3
xQ2xQ1
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas classique)
Identifier formellement un optimum local
(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)
|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)
En déduire un optimum global
xQ4
xQ3
xQ2xQ1
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas classique)
Identifier formellement un optimum local
(I −∆)|x | ≤ Qb + δ =⇒ |x | ≤ (I −∆)−1(Qb + δ)
|xQ| := (I −∆)−1(Qb + δ)
En déduire un optimum global
xQ4
xQ3
xQ2xQ1
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas classique)
Plus complexe...
(I − ∆)2
(I + ∆)1
(I + ∆)2
(I − ∆)1
xQ
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier n hyperplans −→ soit y leur intersection.Calculer formellement |yk | en fonction de (I −∆)−1
Borne? ∀x ∈ Σ ∩Q, |xk | ≥ |yk |Optimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ y ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas généralisé)
[b] quantifié −→ δ peut avoir des composantes négatives
(I −∆)−1(Qb + δ)
(I −∆)−1(Qb + δ)
bk
δ ≥ 0
δ ≤ 0
Étude localeOptimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ xQ ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas généralisé)
[b] quantifié −→ δ peut avoir des composantes négatives
(I −∆)−1(Qb + δ)
(I −∆)−1(Qb + δ)
bk
δ ≥ 0
δ ≤ 0
Étude localeOptimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ xQ ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Maximisation de |xk | (cas généralisé)
[b] quantifié −→ δ peut avoir des composantes négatives
(I −∆)−1(Qb + δ)
(I −∆)−1(Qb + δ)
bk
δ ≥ 0
δ ≤ 0
Étude localeOptimalité, localité? Σ ∩Q 6= ∅ =⇒ xQ ∈ Σ ∩Q
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1
2n + 1possibilités...
droite support(I −∆)1
...??
...(I −∆)n
(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)
...(I + ∆)n y (k ,n)
I1 z(k ,1)
...In z(k ,n)
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1
2n + 1possibilités...
droite support(I −∆)1
...??
...(I −∆)n
(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)
...(I + ∆)n y (k ,n)
I1 z(k ,1)
...In z(k ,n)
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1
2n + 1possibilités...
droite support(I −∆)1
...??
...(I −∆)n
(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)
...(I + ∆)n y (k ,n)
I1 z(k ,1)
...In z(k ,n)
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1
2n + 1possibilités...
droite support(I −∆)1
...??
...(I −∆)n
(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)
...(I + ∆)n y (k ,n)
I1 z(k ,1)
...In z(k ,n)
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1
2n + 1possibilités...
droite support(I −∆)1
...??
...(I −∆)n
(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)
...(I + ∆)n y (k ,n)
I1 z(k ,1)
...In z(k ,n)
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (pour un quadrant Q)Identifier les candidats (n hyperplans = 1 candidat)Éliminer les singularitésRésultats formellement en fonction de (I −∆)−1
2n + 1possibilités...
droite support(I −∆)1
...??
...(I −∆)n
(I −∆)k xQ(I + ∆)1 y (k ,1)
...(I + ∆)n y (k ,n)
I1 z(k ,1)
...In z(k ,n)
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?
droite supportΣ ∩ Q
y(k,3)Q
z(k,2)Q
y(k,2)Q
xQ
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?
droite supportΣ ∩ Q
y(k,3)Q
z(k,2)Q
y(k,2)Q
xQ
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?
droite supportΣ ∩ Q
y(k,3)Q
z(k,2)Q
y(k,2)Q
xQ
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?
droite supportΣ ∩ Q
y(k,3)Q
z(k,2)Q
y(k,2)Q
xQ
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?
droite supportΣ ∩ Q
y(k,3)Q
z(k,2)Q
y(k,2)Q
xQ
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Minimisation de |xk | (cas généralisé)
Étude locale (suite)Vérifier que chaque candidat est bien une borneSélectionner l’optimum parmi les candidatsOptimalité, localité?
droite supportΣ ∩ Q
y(k,3)Q
z(k,2)Q
y(k,2)Q
xQ
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Étude globale (cas généralisé)
Propriété Min-max
max
imis
atio
n
minimisation
minimisationm
aximisation
CA
ND
IDA
TS
(2n)
QUADRANTS (2n−1)
y (k,1)Q1
y (k,i)Q1
y (k,1)Q∗
y (k,i)Q∗
Sur un demi-espace (e.g., xk ≥ 0)xk −→ xQxk −→ candidat maximisant xk sur Q∗
Existence de solutions
xk ≥ xk =⇒ existe solution x telle que xk ≥ 0 ?
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Étude globale (cas généralisé)
Propriété Min-max
max
imis
atio
n
minimisation
minimisationm
aximisation
CA
ND
IDA
TS
(2n)
QUADRANTS (2n−1)
y (k,1)Q1
y (k,i)Q1
y (k,1)Q∗
y (k,i)Q∗
Sur un demi-espace (e.g., xk ≥ 0)xk −→ xQxk −→ candidat maximisant xk sur Q∗
Existence de solutions
xk ≥ xk =⇒ existe solution x telle que xk ≥ 0 ?
Introduction
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Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Étude globale (cas généralisé)
Propriété Min-max
max
imis
atio
n
minimisation
minimisationm
aximisation
CA
ND
IDA
TS
(2n)
QUADRANTS (2n−1)
y (k,1)Q1
y (k,i)Q1
y (k,1)Q∗
y (k,i)Q∗
Sur un demi-espace (e.g., xk ≥ 0)xk −→ xQxk −→ candidat maximisant xk sur Q∗
Existence de solutions
xk ≥ xk =⇒ existe solution x telle que xk ≥ 0 ?
Introduction
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Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Étude globale (cas généralisé)
Propriété Min-max
max
imis
atio
n
minimisation
minimisationm
aximisation
CA
ND
IDA
TS
(2n)
QUADRANTS (2n−1)
y (k,1)Q1
y (k,i)Q1
y (k,1)Q∗
y (k,i)Q∗
Sur un demi-espace (e.g., xk ≥ 0)xk −→ xQxk −→ candidat maximisant xk sur Q∗
Existence de solutions
xk ≥ xk =⇒ existe solution x telle que xk ≥ 0 ?
Introduction
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Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Première expérimentation
Surface initiale [l1]× [l2] 36cm2
Surface de tolérance 16cm2
Amplitude des perturbations 1cmPrécision du pavage 0.01cm
Image avec perturbations u1 et u2.
Résultats numériques
Perturbations Newton Test intérieur + Newton généralisé∅ 132.67s 1.30s 1.30s[u1] - 3.34s 2.57s[u1] . . . [u3] - 13.4s 8.32s[u1] . . . [u6] - 867.37s 55.42s
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Décomposition LU généralisée
Décomposition LU classique
A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
Propriétés de groupe pour les opérateurs
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Décomposition LU généralisée
Décomposition LU classique
A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
Propriétés de groupe pour les opérateurs
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Décomposition LU généralisée
Décomposition LU classique
A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
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A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
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Conclusion
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Décomposition LU classique
A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
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Conclusion
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A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
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Conclusion
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Décomposition LU classique
A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
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Programmationparcontraintes
Conclusion
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Décomposition LU classique
A = LU
Décomposition LU intervalle
[A] ⊆ [L][U]
Décomposition LU généralisée
[A] = [L][U]
Intervalles généralisés
Les bornes peuvent être inversées [0, 1] [1, 0]
Nouvelle inclusion [1, 5] ⊆ [4, 2] ⊆ [3, 3] ⊆ [2, 4]
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles
généralisés
permet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
Introduction
Analyse parintervallesMéthode deHansen-Bliekgénéralisé
Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles
généralisés
permet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
Introduction
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Conclusion
Intervalles modaux
Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles
généralisés
permet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
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Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles
généralisés
permet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
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Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles
généralisés
permet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
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Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles
généralisés
permet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
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Conclusion
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Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer
dans certains cas
une extension aux intervalles
modaux
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Intervalles modaux
Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer dans certains casune extension aux intervalles
modaux
Introduction
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Intervalles modaux
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Conclusion
Intervalles modaux
Théories existantesNouvelle structure algébrique (x ,∃), (x ,∀) ⊆Notion d’extension d’une fonction aux intervallesmodauxOpérations meet
∨et join
∧ extension optimale, ou fonction sémantique f ∗
Les théorèmes établissent surtout les propriétés decette extension par rapport à l’inclusion
Lien entre intervalles modaux et généralisés
L’arithmétique des intervalles généraliséspermet de calculer dans certains casune extension aux intervalles modaux
Introduction
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Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes)
notion d’image quantifiée:
Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes)
notion d’image quantifiée:
Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}
⇓ ⇓min-max [max
x∈xminy∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
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Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Décomposition LUgénéralisée
Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Intervalles modaux
Programmationparcontraintes
Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓
intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
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Intervalles modaux
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Conclusion
Intervalles modaux
Notre reformulationIdentifier les objets que l’on doit et peut calculer (pourla résolution de AE-systèmes) notion d’image quantifiée:Montrer comment calculer de tels objets:
Schéma
image quantifiée {z | ∀x ∈ [x ] ∃y ∈ [y ] z = x + y}⇓ ⇓
min-max [maxx∈x
miny∈y
f (x , y), minx∈x
maxy∈y
f (x , y)]
⇓ ⇓intervalles généralisé [x ] + (dual [y ])
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Plan de la soutenance
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
? ? ?
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? VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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1 2 3VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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7
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Les CSP
Un exemple en domaine discret
9 6 3
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7
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8 VariablesDomainesContraintesFiltrage
En domaine continu:Avantage : pas de limite aux conditions d’applicationdes algorithmesInconvénient : peu de propriétés mathématiquesexploitées
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Cohérences partielles
Un exemple en domaine discret
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A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation
Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Cohérences partielles
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A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation
Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Cohérences partielles
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A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation
Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Cohérences partielles
Un exemple en domaine discret
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A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation
Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Cohérences partielles
Un exemple en domaine discret
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A partir d’un état “bloque”Instanciation de valeursProjection de contraintePropagation
Recherche arborescente:Point de choix + filtrage jusqu’à l’obtention d’une solution oud’une incohérence
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Projection en domaine continu
y
x
Utilisation de la forme symbolique
Exemple(x + y)2 = sin(x + y)
Calcul:
[x ]← ±√
sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Projection en domaine continu
y
x
Utilisation de la forme symbolique
Exemple(x + y)2 = sin(x + y)
Calcul:
[x ]← ±√
sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Projection en domaine continu
y
x
Utilisation de la forme symbolique
Exemple(x + y)2 = sin(x + y)
Calcul:
[x ]← ±√
sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Projection en domaine continu
y
x
Utilisation de la forme symbolique
Exemple(x + y)2 = sin(x + y)
Calcul:
[x ]← ±√
sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Projection en domaine continu
y
x
Utilisation de la forme symbolique
Exemple(x + y)2 = sin(x + y)
Calcul:
[x ]← ±√
sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Projection en domaine continu
y
x
Utilisation de la forme symbolique
Exemple(x + y)2 = sin(x + y)
Calcul:
[x ]← ±√
sin([x ] + [y ])− [y ] ∩ [x ]
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de convergence
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen tempsSe résout par l’introduction d’un critère d’arrêtprématuré (gain < w)Nouvelle proposition dans le cadre la thèse (“flottantsvirtuels”)
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
0
2
4
6
8
10
y
2 4 6 8 10x
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
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y
2 4 6 8 10x
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
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Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
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Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
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Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
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Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
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y
2 4 6 8 10x
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Propriétés de l’arc-cohérence
Problème de calculabilité
0
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y
2 4 6 8 10x
Se traduit en pratique par un problème de complexitéen espaceSe résout en ne conservant que l’enveloppe desprojections (2B-cohérence)Deux nouvelles propositions dans le cadre la thèse:BoxSet, AC-IGC
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
Outline
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
BoxSet cohérence
Idée : introduire un point de choix des qu’une unionapparaît dans la propagation.Point fixe = union des boîtes arc-cohérentes
La complexité en espace ne dépend plus du nombre deflottantsLa version naïve conduit à une explosion combinatoireLa version paresseuse
exploite le point fixe de 2B-cohérenceintègre un calcul de projection sans uniondétecte les points de bissection
Étude approfondie des propriétés obtenues:boxset cohérence sans occurrence multiple de variablepas de comparaison possible entre un CSP et sadécomposition
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeur
Niveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeur
Niveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeur
Niveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeur
Niveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeur
Niveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
y
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Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
x
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z
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
x
y
z
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
y
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z
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
Idée fondamentaleLa cohérence des unions se fait à deux niveaux
Niveau valeurNiveau intervalles (notion de I-support)
xz
y
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)
L’approche EtiqAC
Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)
L’approche EtiqAC
Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)
L’approche EtiqAC
Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)
L’approche EtiqAC
Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
AC-IGC
AC–IGC = combinaison arc-cohérence (valeurs) etcohérence globale (intervalles)arc-cohérence ≺ AC–IGC ≺ BoxSetPossibilité de greffer un algorithme de graphe(I-cliques)
L’approche EtiqAC
Objectif: maintien incrémental des I-cliquesOutil : Propager des informations sur l’origine des trous
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
EtiqAC
Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:
union d’intervalles + BDD
+−
+ −
+
− +
−
[x1] [x2] [x3]
x
y
z
x
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
EtiqAC
Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:union d’intervalles + BDD
+−
+ −
+
− +
−
[x1] [x2] [x3]
x
y
z
x
Introduction
Analyse parintervalles
ProgrammationparcontraintesIntroduction
Unions d’intervalles
Conclusion
EtiqAC
Recours à une nouvelle structure de donnée hybride:union d’intervalles + BDD
+−
+ −
+
− +
−
[x1] [x2] [x3]
x
y
z
x
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Plan de la soutenance
1 IntroductionSystèmes d’équations classiquesSystèmes paramétrésAE-systèmes
2 Analyse par intervallesMéthode de Hansen-Bliek généraliséDécomposition LU généraliséeIntervalles modaux
3 Programmation par contraintesIntroductionUnions d’intervalles
4 Conclusion
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (1)
Analyse par intervallesContributions
1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé
Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (1)
Analyse par intervallesContributions
1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé
Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (1)
Analyse par intervallesContributions
1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé
Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (1)
Analyse par intervallesContributions
1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé
Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (1)
Analyse par intervallesContributions
1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé
Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (1)
Analyse par intervallesContributions
1 Hansen-Bliek généralisé2 LU généralisé
Perspectives1 Tests d’existence de solutions (cas non carré)2 Analyse convexe?3 Représentation alternative de continuums
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (2)
Intervalles modauxContributions
1 Nouvelle formulationSynthèse
mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (2)
Intervalles modauxContributions
1 Nouvelle formulationSynthèse
mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (2)
Intervalles modauxContributions
1 Nouvelle formulationSynthèse
mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (2)
Intervalles modauxContributions
1 Nouvelle formulationSynthèse
mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (2)
Intervalles modauxContributions
1 Nouvelle formulationSynthèse
mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (2)
Intervalles modauxContributions
1 Nouvelle formulationSynthèse
mal adapté pour la détection de boîtes intérieures dansle cas généralrend le filtrage de AE-système possibleparfaitement adapté au cas linéaire... mais les intervalles généralisés aussi
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (3)
Programmation par contraintesContributions
1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus
Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (3)
Programmation par contraintesContributions
1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus
Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (3)
Programmation par contraintesContributions
1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus
Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (3)
Programmation par contraintesContributions
1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus
Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (3)
Programmation par contraintesContributions
1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus
Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (3)
Programmation par contraintesContributions
1 Cohérence calculable sur les flottants2 Cohérences d’unions d’intervalles intérêt académique vouées à l’échec sur les CSP continus
Perspectives1 Nouvelles contraintes avec contracteurs spécifiques2 Bissection de paramètres3 AE-systèmes
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (4)
Autres activités de thèse1 Développement d’une librairie en C++2 Collaborations
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (4)
Autres activités de thèse1 Développement d’une librairie en C++2 Collaborations
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (4)
Autres activités de thèse1 Développement d’une librairie en C++2 Collaborations
Introduction
Analyse parintervalles
Programmationparcontraintes
Conclusion
Conclusion (4)
Merci !
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