Setembro Método dos Elementos Finitos3ªAula
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Sumário e Objectivos
Sumário: Método dos Resíduos Pesados. Princípio Variacional. Discretização Pelo Método dos Elementos Finitos (MEF). Objectivos da Aula: Apreensão do Processo de Discretização pelo MEF.
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Forma Forte das Equações Diferenciais
0+ =L cLU fTα
uin ∂ Γu = u tin⋅ ∂ Γn = tσe B(u)=0 são: Valores Prescritos na Fronteira
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Equações Diferenciais
0+ =L cLU fTα
Tx 0 0 0 z y
0 y 0 z 0 x0 0 z y x 0
L∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
fx
y
z
fff
α
Caso 3D
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
wvu
UCaso 2D
T x 0 y
0 y xL∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤
= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎧ ⎫
= ⎨ ⎬⎩ ⎭
f x
y
ffα
uv⎧ ⎫
= ⎨ ⎬⎩ ⎭
U
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Método dos Resíduos Pesados
1T
2A(u)d 0 sendo w= um conjunto arbitrário de funções
igual ao número de componentes de U envolvidas
ww w
Ω
⎧ ⎫⎪ ⎪Ω = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∫
Forma Fraca ou Integral das Equações Diferenciais A(u)=0
1
T
2d 0 sendo w=B(u)w
ww
Ω
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Ω = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
∫Na fronteira é:
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Método dos Resíduos Pesados
Forma Integral Domínio mais Fronteira
11TT
2 2A(u)d + B(u)d 0 sendo w= e w=
www ww w
Ω Γ
⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Ω Γ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
∫ ∫
As funções W são conhecidas por funções de Peso e podem ter valores distintos conforme o método utilizado.
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Método dos Resíduos Pesados
in
i i i ii 1
i
uU U =NU sendo no caso 3D N u u v
w=
⎧ ⎫⎪ ⎪≈ = = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
Admitindo que U (no caso dos Problemas de Elasticidade Tridimensional, este vector é constituído pelo deslocamentos) é aproximado da seguinte forma:
n representa o número total de incógnitas do Problema
No caso das funções de peso podem considerar-se aproximações com a seguinte forma:
n n
j j jjj 1 j 1
w w w u uw= =
= δ = δ∑ ∑
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Método dos Resíduos Pesados
TTA(u)d + B(u) d 0 w wΩ Γ
Ω Γ =∫ ∫n n
TT Tj j i i i ij
i 1 i 1A( )d + B( )d 0 para j=1 até n u w N u N uw
= =Ω Γ
⎡ ⎤δ Ω Γ =⎢ ⎥
⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫
Inserindo estas aproximações na forma integral
Obtém-se:
Tendo em conta que δuj é arbitrário obtém-se o sistema de equações seguintes:
n nTT
j i i i iji 1 i 1
A( )d + B( )d 0 para j=1 até n w N u N uw= =Ω Γ
Ω Γ =∑ ∑∫ ∫Tendo em conta que A(NU) e B(NU) representam o resíduo ou erro resultante da aproximação introduzida, os integrais nas equações anteriores representam valores pesados dos referidos erros.
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Método dos Resíduos Pesados
Teoricamente a função wj podia ser uma função qualquer os valores mais usuais são os seguintes, estando a cada um deles associada uma designação para o método.
-Se se considerar wj=δj de tal modo que δj é tal que é igual a zero para x≠xj e y ≠yj sendo ∫ΩwjdΩ=I o método designa-se por Método da Colocação Pontual. Neste método impõe-se que o resíduo seja nulo num conjunto discreto de pontos n.
- Se se considerar wj=I em Ωj e zero no resto do domínio o método designa-se por Método de Colocação por Subdomínios.
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Método dos Resíduos Pesados
-Se se considerar wj=Nj o método designa-se por Método de Galerkin. As funções de forma utilizadas na aproximação dos deslocamentos (no caso da Mecânica dos Sólidos) são utilizadas como função de peso.
-Se se considerar wj≠Nj o método designa-se por Método de Petrov-Galerkin. As funções de Peso têm forma distinta das funções de forma.
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Princípio de HamiltonMecânica dos Sólidos
No caso geral considerando a energia cinética, dinâmica
02
1=∫ dtLt
t
δ sendo L=T−Π+W
VUUT T
Vdρ∫=
21
VcVΠ T
V
T
Vdd εε
21σε
21
∫∫ ==
f
T Tb s f
V S
W dV dS= +∫ ∫U f U f
(energia cinética)
(energia potencial)
(trabalho realizado pelasforças exteriores)
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Princípio de HamiltonMecânica dos Sólidos
No caso da Estática
L 0δ = sendo L=-Π+W
VcVΠ T
V
T
Vdd εε
21σε
21
∫∫ ==
f
T Tb s f
V S
W dV dS= +∫ ∫U f U f
(energia potencial)
(trabalho realizado pelasforças exteriores)
δL=-δΠ+δW=0 Mínimo da Energia
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Método dos Elementos Finitos MEF
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um Método de obtenção de Soluções Aproximadas das Equações Diferenciais que regem determinado problema de Engenharia.
O MEF envolve um número de procedimentos que podem ser sumariados do seguinte modo:
-Discretização. Uma Região do Meio Contínuo é discretizada num número finito de formas simples os chamados Elementos.
trabalho de Pedro Moreira, e Paulo Matos usando o software Franc2D/L
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Método dos Elementos Finitos MEF
- As propriedades e as relações que regem o problema são estabelecidas ao nível do Elemento através de relações matemáticas em termos dos valores das incógnitas num conjunto discreto de pontos do elemento, os chamados Nós.
2D
3D 1D
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Método dos Elementos Finitos MEF
- Um processo de Assemblagem é considerado com vista a reconstruir o domínio global do Problema tendo em conta as condições de fronteira e o carregamento. Obtém-se em geral um sistema de equações algébricas linear ou não linear.
- Por resolução do Sistema de Equações obtêm-se o valor das incógnitas num conjunto discreto de pontos, os Nós. No caso da formulação em termos dos deslocamentos de Mecânica dos Sólidos, as referidas incógnitas são os Deslocamentos nos pontos nodais. A partir dos Deslocamentos podem obter-se por uso das funções de forma, as deformações e as tensões.
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Método dos Elementos Finitos MEF
Discretização: O Sólido é dividido em N Elementos com conectividade adequada - compatibilidade. O conjunto dos Elementos forma o domínio total do Problema sem sobreposições o que assegura a compatibilidade.
Os elementos a considerar podem ter geometrias distintas (rectangular, triangular no caso 2D) e podem ter número de nós distintos ( 3, 6, 8etc.) .
Com malhas mais refinadas obtêm-se em geral resultados mais precisos. As malhas podem ser irregulares devendo ser mais refinadas nas zonas onde existe um gradiente mais elevado das grandezas, por exemplo, em Mecânica dos Sólidos dos Deslocamentos.
Uma má discretização pode produzir erros, os chamados erros de discretização.
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Discretização-MEF
Erro de Discretizaçãosignificativo
Discretização Aceitável
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Interpolação no Elemento -MEF
e
i ii 1
nU(x, y, z) (x, y, z)N d
=
= =∑ N(x, y, z)d
No caso de um formulação em Mecânica dos Sólidos em termos dos Deslocamentos, o campo de deslocamentos, U éconstituído por u,v no caso 2D e por u,v,w no caso 3D
No caso 2D (Elemento com 4 nós):
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
u(x, y) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)N u N u N u N uv(x, y) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)N v N v N v N v
= + + += + + +
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Interpolação no Elemento –MEFExemplo: Elemento de 4 nós-2D
e
i ii 1
nU(x, y, z) (x, y, z)N d
=
= =∑ N(x,y, z)d
3 3
T
1 1 2 2 4 4, , , , , , ,u v u v u v u v=dO vector d é:
A matriz das funções de forma N é:
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0N N N N(x, y)0 0 0 0N N N N
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
N
1 2
34
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Interpolação no Elemento –MEFExemplo: Elemento de 4 nós-2D
1 (x1,y1) 2 (x2,y2)
3 ( x3,y3)4 (x4,y4)
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Interpolação no Elemento –MEFExemplo: Elemento de 4 nós-2D
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Interpolação dos deslocamentos
e−= 1α P d
Construção das Funções de Forma Função de aproximação dos deslocamentos, caso 1D
1
( ) ( ) ( )dn
hi i
i
Tu p α=
= =∑x x p x α 1 2 3= , , , ......, d
Tnα α α αα
pT(x)=1, x, x2, x3, x4,..., xp
(1D)
di = pT(xi)α i = 1, 2, 3, …,n ou de=PTαObrigue-se a terem os valores dos deslocamentos nos nós
Determinação de α:Definindo uh(x) = N( x) de
1 2
1 1 1 11 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦x x x
N x p x P p x P p x P p x Pn
T T T Tn
N N N
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Triângulo de Pascal -2D
xy x2
x3
x4
x5
y2
y3
y4
y5
x2y
x3y
x4y x3y2
xy2
xy3
xy4x2y3
x2y2
Termo constante 1
x y
1
Termos Quadráticos: 3
Termos Cúbicos: 4
Termos de 4ª Ordem: 5
Termos de 5ª Ordem: 6
Termos Lineares: 2 3 termos
6 termos
10 termos15 termos
21 termos
2 2( ) ( , ) 1, , , , , ,..., ,T T p px y x y xy x y x y= =p x p
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Pirâmide de Pascal
x
x2
x3
x4
y
y2
y3
y4
xy
z
xz yz
x2y xy2
x2z zy2
z2
xz2 yz2
xyz
z3
x3y
x3z
x2y2
x2z2 x2yz
xy3
zy3
z2y2xy2z
xyz2
xz3 z4 z3y
1 Constante: 1
Linear: 3
Quadrático: 6
Cúbico: 10
4ªordem: 15
4 termos
10 termos
20 termos
35 termo
2 2 2( ) ( , , ) 1, , , , , , , , , ,..., , ,T T p p px y z x y z xy yz zx x y z x y z= =p x p
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Interpolação no Elemento –MEFPropriedades das Funções de Forma
( ) 1 , 1,2, ,0 , , 1,2, ,
di j ij
d
i j j nN
i j i j nδ
= =⎧= = ⎨ ≠ =⎩
x
1.
1
( ) 1n
ii
N=
=∑ x2. Partição da Unidade
1
( )dn
i ii
N x x x=
=∑
3. Reprodução de um campo Linear
Propriedade δij de Kronecker
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Equações ao nível do elementoCoordenadas Locais
e
Te
v
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
κ ∫ B DBdV
e e
T Te
1 1dV D dV2 2v v
Π = =∫ ∫ε σ ε ε
e e
T Te b s fW dV dS
v S= +∫ ∫U f U f δL=-δΠ+δW=0
U=Ndε=LU ε= LN d ε = B d
B=LN Matriz de Deformação
Substituindo na energia potencial obtém-se:
e e
e
T Te
Matriz de Rigidez do Elemento
1 1 dV2 2v v
Π−
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠
κ
∫ ∫ε Dε d B DBdV d
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Equações ao nível do elementoCoordenadas Locais-Estática
V S V S
` Volume ` Superfície
W d d ( d ) ( d )
W F F
= =
= + = +
= +
∫ ∫ ∫ ∫d N f d N f d N f d N f
d d
e e e e
V s
T T T T T T T Te V s V s
Forças de Forças de
T TV se
V S V S
F F
Substituindo no Trabalho realizado pelas forcas exteriores obtém-se:
δLe=-δΠe+δWe=0
ou seja κede=fe
sendoe
Te
v=κ ∫ B cBdV fe=FV+Fse
δLe=∑(δLe/δdi)δdi=0 ou δLe/δdi=0
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Equações ao nível do elementoEstática
Te edD T= T
e eF T f=
No caso do sistema de Eixos Local (associado ao elemento) não coincidir com o sistema de Eixos Global há necessidade de proceder à mudança de eixos fazendo uso da Matriz de Transformação.
x
yx´y´
No sistema de Eixos Global
Te eTK T= κ KeDe=Fe
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Equações GlobaisEstática
Assemblagem das Equações Elementares por forma a obter as Equações Globais. Devem-se adicionar as contribuições elementares para um mesmo nó por forma a obter o sistema
de equações globais que é: KΔ=F sendo: K = (∑) Ke , D= (∑) De e F= (∑) Fe
Devem incluir-se as Condições de Fronteira, no caso dos valores fixos serem nulos, a inclusão das condições de fronteira implica a remoção das linhas e colunas correspondentes aos valores prescritos, também podem ser incluídas considerando o Método dos Multiplicadores de Lagrange.
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Equações GlobaisEstática
A matriz dos Coeficientes, K, é designada por Matriz de Rigidez Global e é uma Matriz Semi-positiva Definida. Uma vez obtido o Sistema de Equações KΔ=F, tem de resolver-se este sistema de equações que no caso correspondente a um comportamento linear elástico, corresponde à solução de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido pelo Método de Eliminação de Gauss. Existem divulgadas e disponíveis na Internet subrotinas que procedem à Assemblagem e àResolução do Sistema de Equações Final.
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Equações ao nível do elemento Estática – Tensões e Deformações
Uma vez conhecidos os deslocamentos Δpodem obter-se os deslocamentos de e obter as deformações fazendo uso das relações ε=BU sendo a Matriz de Deformação a Matriz calculada inicialmente a partir do operador L e da Matriz das funções de forma, B=LN. As tensões obtém-se recorrendo àLei de Hooke, σ=cε=cΒU.
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