(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 1
Crash Review CourseFinancial Risk Manager (FRM)
Philipps-Universität Marburg WS2007/08Part III
GARP (Global Association of Risk Professionals) organizes an examination, the Financial Risk Manager (FRM) Certificate Program. This examination is
fast becoming an essential requirement for risk managers all over the world
You can learn more about this exam at www.garp.com
InstructorDr. Helmut Siegert, FRM
www.siegert-partner.de
This Course has been designed strictly along the lines of the FRM curriculum
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 2
Crash Review Course Introduction (1)Format
1. classroom Presentations• key concepts• critical points for exam success
2. interchanging with FRM format „examinations“• learning by doing• examples from GARP
3. Reflection by Q+A sessions• discussion of the examples• concept checkers
4. Final „Stress Test“ of participants• 10 questions in• 60 minutes
ÆTo benefit from this course, participants must familiarized themselves with • financial products and their• valuations
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 4
Einführung (1)Risiko und Risikomanagement
– Risiko liegt – i.S.d. Entscheidungstheorie – dann vor, …– wenn die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen zukünftigen
Umweltzustände bekannt sind– wenn die W‘ nicht bekannt sind, liegt Unsicherheit vor
– Risiko liegt - i.S.d. des Kaufmanns – dann vor, …– wenn ein Verlustpotenzial vorhanden ist
Grundfrage des Riskmanagements: „Wieviel verliere ich, wenn die zukünftige Entwicklung gegen mich läuft“
– jeder Risikomanager/Händler sollte diese Frage jederzeit beantworten können:1. um mögliche Gewinne und eventuelle Verluste zu ermitteln2. um Absicherungsentscheidungen zu treffen
– Banken übernehmen Risiken im Rahmen ihrer Geschäftstätigkeit– Kreditvergabe -> Bonitätsrisiko– Devisenpositionen -> Wechselkursrisiko– Fristeninkongruenzen -> Zinsänderungsrisiko
– Risikomanagement dient dazu, …– Risiken bewusst und zielorientiert einzugehen und die eingegangenen– Risiken zu messen und zu steuern
„Value at Risk“
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 5
Einführung (2)Risikomanagement, Risikocontrolling, Risikokontrolle
– Risikomanagement– Steuerung und Führung von Risiken
entscheiden– Risikocontrolling
– Identifizierung von Risikeninformieren
– Risikokontrolle– Vergleich von maximalen Sollwerten (Limiten) und Istwerten
(Risikoausnutzung)kontrollieren
– Gesamtbankebene und/oder– Portfolioebene und/oder– Produktebene
- welcher Händler fährt welches Risiko in welchen Produkten?- wie sieht das Bewertungsergebnis/Realisierungsergebnis aus?
- stehen Ertragschancen und Risiko in angemessenem Verhältnis?- ist das Vertrauen in Form eines Risikolimits gerechtfertigt?
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 6
Systematisierung: Risikomanagement– Management von (Markt-)Risiken
– bekanntlich wird durch Diversifikation bereits ein erheblicher Teil des Marktrisikos vernichtet
– das verbliebene Risiko wird in der Kapitalmarkttheorie als systematisches, nicht vermeidbares und daher bewertungsrelevantes Risiko bezeichnet
– die Differenz zwischen Gesamtrisiko und dem systematischen Risiko wird als unsystematisches Risiko beschrieben
diese Abgrenzung ist in die praktische Diskussion und die Begriffsbildung der Bankenaufsicht eingeflossen
• z.B. allgemeines und besonderes Zinsänderungsrisiko
– die folgende Tabelle listet einige risikotransformierende Finanztitel auf– die systematischen Risiken können als generelle Marktpreise für Finanztitel ...
– Marktzinssätze– Preise für Devisen und Rohstoffe– Marktrisiko am Aktienmarkt
... unterschieden werden– die unsystematischen (individuelle) Risiken können als Risikoprämien
berücksichtigt werden– Änderungen der Marktpreise z.B. w/Bonitätsverschlechterungen
Einführung (3)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 7
Systematisierung: Risikotransformation
unbedingte bedingteZinsterminkontrakte Bond-Optionen
Forward Rate Agreements Optionen auf ZinsterminkontrakteZins-Swaps Caps/Floors, Collars
SwaptionsWährungsterminkontrakte WährungsoptionenDevisenterminkontrakte Optionen auf Währungsterminkontrakte
Währungs-SwapsIndexterminkontrakte Aktienindexoptionen
Indexanleihen Optionen auf IndexterminkontrakteCommodity Price Swaps
Futures/Forwards auf- Agrarprodukte
- Industrierohstoffe- Energie
Optionen auf- Agrarprodukte
- Industrierohstoffe- Energie
Aktientermingeschäfte AktienoptionenEquity Warrants
Marktwerte von Mezzanine-Kapital OptionsgenussscheineLetters of Credit Debt Warrants
Total Return Swap Credit Default Swaps
B.Rudolph: Risikomanagement in Kreditinstituten, Zeitschrift für Interne Revision 3/1993, S. 129
Risikobereiche Märkte
Syst
emat
isch
e R
isik
en
Marktwerte von Fremdkapitalanteilen
Uns
yste
mat
isch
e R
isik
en
Rohstoff- und Absatzgüterpreise
Marktwerte von Eigenkapitalanteilen
Finanzprodukte
Zinsen
Wechselkurse
Marktpreise des Risikos
Einführung (4)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 8
Decomposition of Market Risk
Market Risk
Exposure Volatility
Linear Non-linear
Change in PV = Exposure Sensitivity* * Rate Change
nominal valueor
market value
BPV (+ convexity)or
modDuration (+ modConvexity)
1) assume = 12) Scenario3) Volatility
Decomposition
Measuring (linear) Interest Rate Riskyield vola
price vola
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 9
Marktpreisrisiko (1) Definition „Marktpreisrisiko“
– Typen– Zinsrisiko– Währungsrisko– Aktienkursrisiko– Rohstoffrisiko
– möglicher Verlust aus der Unsicherheit über die zukünftige (negative) Entwicklung von Marktrisikofaktoren
Wirkung auf die Bilanz/GuV– Wert einer Aktivposition nimmt ab und/oder – Wert einer Passivposition nimmt zu
Wirkung aus ‚moderner‘ Sicht auf die KNZ „Value at Risk“– Veränderung der Verlustobergrenze eines Portfolios für einen (endlichen)
Zeitraum, die über diesen Zeitraum mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (Konfidenz) nicht überschritten wird
– Wertänderungsszenario eines Portfolios ist definiert durch ...– Angabe eines Veränderungswertes für jeden seiner Risikofaktoren
– 3-Monats-Libor– STOXX, – 3-Jahres-EUR-Swap-Rate, – BMW-Aktie, – USD/EUR
– und der Beziehung zwischen diesen Risikofaktoren
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 10
Marktpreisrisiko (2)Risikofaktoren
- Warum Risikofaktoren ?- Isolierte „atomare“ Beobachtungsgröße an den Kapitalmärkten - Unabhängig von Instrumenten, Positionen, Portfolien, …- Gemeinsame Grundlage für VaR-Berechnungen und Stress Tests
- Welche Risikofaktoren werden benötigt ?- Orientierung an Bewertungsmodell:
- Wie gehen diese Risikofaktoren in die Berechnung (Bewertungsmodell)ein?
Sensitivität– Veränderung von Risikofaktoren werden in P&L umgesetzt
– BasisPointValue (BPV oder PVBP) gibt an, wie sich der Wert einer Position verändert (P&L), falls sich die Rendite um 0,01 % erhöht
– die erwartete Höhe der Veränderung der Rendite bleibt dabei im Dunkeln– BPV eines EUR-Zinsinstruments ∫ BPV eines südafrikanischen Zinsinstruments
kein echtes Risikomaß
XFXX
PVPOSRISK ⋅=⋅∂
∂=
nn XFXFXFMV Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=Δ ...2211
F = Faktor-Sensitivität
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 11
Marktpreisrisiko (3)Risiko
– eine Aussage über das Risiko ist erst dann möglich, wenn Information über
– die Höhe der in einem bestimmten Zeitraum – zu erwartenden Veränderungen der Risikofaktoren vorliegen, – und deren Wahrscheinlichkeiten eingeschätzt werden können
Risikomessung benötigt als Input ...– das Buch, dessen Risiko zu ermitteln ist
– Buch:Teilmenge aller Positionen (->Portfolio, desk, ...)– einen Zeithorizont (Liquidationsperiode)– die Wahrscheinlichkeitsverteilung des P&L des jeweiligen Buches
– gesucht ist eine Maßzahl, die eine Aggregation der Risiken über – beliebige Assetklassen, – Finanzinstrumente und – Risikofaktoren ermöglicht
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 12
Marktpreisrisiko (4a)Standardabweichung als generelles Risikomaß...
– ...die gesamte Volatilität einer (Normal-)Verteilung stellt das Risiko dar– Portfoliotheorie (insb. CAPM): das Risiko eines Assets ist die Schwankungs-
breite der Erträge um seinen Erwartungswert m– ausgedrückt in Einheiten der Standardabweichung, z.B. 1,65 s
– die W‘, dass die Erträge aus dem Asset in einem Intervall von 1,65 s um mschwanken, liegt unter 90 %
– zu 5 % (5 Tage von 100 Tagen) liegen die Gewinne außerhalb der erwarteten Spanne
– zu 5 % liegen die Verluste außerhalb der erwarteten Spanne
Shortfall-Maße als betriebswirtschaftliche Variante ...– ... nur negative Folgen einer Entscheidung (Verlustgefahr) interessieren
− man hat eine Sicherheit von 95 %, dass der maximal vorhergesagte Verlust nicht überschritten wird (=Sicherheitsniveau; Konfidenzniveau)
– die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 100 – 95 = 5 %– Beispiel Bond
– Nominalvolumen = 100000; Kurs = 100,43 %; s ΔKurs = 0,2194 %– Kursschwankung = 1,65 * 0,2194 % = 0,36201 %
der Verlust (0,36201 % * 100,43 % * 100000 EUR = 363,57 EUR) wird mit 95 % Wahrscheinlichkeit nicht überschritten
%0,90]65,1;65,1[])65,1;65,1[( 1,0, =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−∈
−=+−∈
σμσμσμσμ
XPXP
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 13
Marktpreisrisiko (4b)Value-at-Risk (VaR)
– Berechnung eines Verlustes, den man auf eine Position – innerhalb einer bestimmten Halteperiode (z.B. 10 Tage)– mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (z.B. 95 %)
maximal erleidet1, wenn unterstellt wird, dass die Modellannahmen– Verteilung– Übertragbarkeit historischer Erfahrung in die Zukunft
zutreffen„Wie schlimm kann es kommen“?
– unberücksichtigt bleibt beim VaR, in welchem Ausmaß der maximale Verlust überschritten wird
– Conditional VaR (auch „expected shortfall“ oder „tail loss“)Wenn es schlimm kommt, wie hoch ist dann der erwartete Verlust?
1faktisch ist es genau umgekehrt• der VaR ist der minimale Verlust, der mit einer vorgegebenen W‘ nicht überschritten wird
• deshalb, weil die Bank mit möglichst wenig Risikokapital Risikomanagement betreiben möchte,aber dennoch ein vorgegebenes Sicherheitsziel erreichen will:
• die Bank möchte mit 95 % sicher sein, dass das Eigenkapital die Verluste decken kann• der hierfür notwendige (möglichst kleine) Betrag ist der VaR
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 14
Marktpreisrisiko (4c)Value at Risk
-0,050,000,050,100,150,200,250,300,350,400,45
-4 -2 0 2 4 6 8
x
f(x)
N(2;1)
N(2;2)
-VaRW‘(ΔPV ≥ -VaR)=1-a
Zielwert: az.B. 5 %
Sicherheitsniveau(Konfidenzniveau)1-a, z.B. 95 %
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 15
Marktpreisrisiko (5a)Beispiel: Messung von Zinsrisiken
Marktdaten
spot ratesMarktpreiseVolatilitäten
Zinsinstrument
cash flow
Preisfunktion
Kennzahlen• Rendite• Duration• Sensitivitäten
• Modified Duration• BPV/Dollar Duration
• Value at Risk
Δ Barwert = exposure × Sensitivität × Δ Rendite × z-Wert
Nominal oder Marktwert
modDuration (+ Konvexität)
„1“ und/oder „Szenarien“ und/oder„Volatilitäten“
Instrumentdaten
StammdatenKonditionen
Geschäfts-/Positionsdaten
TradePosition Portfolio
akt.Rendite *s
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 16
Marktpreisrisiko (5b)Ausblick: Riskomessung und aufsichtsrechtliche Vorgaben
Einzelgeschäfte
Risikomessung
MarktrisikoKreditrisikoLiquiditätsrisikoOperationales Risiko
Risiken zentral bündeln
•Sensitivität •Volatilität•downside risk oder VaR•PD,LGD,EAD
maxVerlust =f(Konfidenzlevel)
Risikofaktoren
Risikodeckung Risikokapital oderökonomisches Kapital
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 17
Marktpreisrisiko (6)Ausblick: Liquiditätsrisiko
– wird als Teil des Marktpreisrisikos gesehen– Bewertung setzt liquide Märkte voraus
– Komponenten– ‚asset liquidity risk‘ (trading liquidity risk)
– große Transaktionen können nicht zu den quotierten Preisen durchgeführt werden, da die Markttiefe fehlt (thin markets)Limitierung von Handelsaufträgen, Diversifizierung
– ‚funding liquidity risk‘ (cash flow liquidity risk)1. Zahlungsverpflichtungen können nicht geleistet werden
Verkauf anderer AktivaWertpapier-Leihe/-Repo
2. Refinanzierungen sind w/Bonitätsverschlechterung teurer geworden
− MaRisk− Erfüllung von Zahlungsverpflichtungen (funding liquidity risk) durch …
− Erstellen einer Liquiditätsübersicht (mit Szenariobetrachtungen)− Ausfall bedeutender Kreditnehmer/Kreditgeber− Ratingverschlechterung− Streichung von Kreditlinien
− Deckung eines auftretenden Liquiditätsbedarfs (Maßnahmeplanung)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 18
Liquidity Risk
– funding liquidity– the ability to realize („cash in“) value, either via
1. the sale of an asset or 2. access to external funding
– market liquidity– the degree to which transactions can take place
1. rapidly and 2. with little impact on price
– flight to quality, but poor liquidity in emerging markets
Liqudity
Funding Liquidity Market Liquidity
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 19
Market LiquidityMarket
– Tightness– refers to the difference between buy and sell prices, for exampe the bid-
ask spread in a quote-driven market
– Dept– relates to the size of the transactions that can be absorbed without
affecting prices
– Immediacy– denotes the speed with which orders can be executed
– Resiliency– the ease with which prices return to „normal“ after „stress“
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 20
Derivatives RiskForwards
– risk of underlying („delta“) – basis risk
Options– delta 1st-order sensitivity to underlying– gamma 2nd-order sensitivity to underlying– vega sensitivity volatility changes– theta sensitivity to maturity change– rho sensitivity to changes in short rate
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 21
Value at RiskWhat is „Value at Risk“?
– statistical measure of (downside) risk– recommended by G30– used in RiskMetrics etc.– basis for Internal Models Approach (BIS)
Calculation of Value at Risk– mapping of positions
– risk metrics– calculation of volatility of TOTAL portfolio
– stocks, bonds, pork bellies, copper, …– calculation of VaR at given confidence level
– assuming normal distributionVaR can be calculated directly from current market value and standard deviation
VaR measures…– the „maximum“ expected loss – on a given horizon – at a given confidence level – in a NORMAL market
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 22
Exkurs Standardabweichung und VaRValue at Risk
– (gewähltes) Quantil der Verlustverteilung (Markt- und/oder Kreditrisiko) eines Portfolios
– der Verlust, den das Portfolio mit einer W‘ von z.B. 99 % nicht überschreitet (einseitiges Konfidenzintervall der Verlustverteilung)
– Vorteiledirekt verwendbar zur Festlegung der notwendigen Eigenkapitalunterlegungjede Bank kann entsprechend ihrer eigenen Risikopräferenz das Konfidenzniveau für ihr Risikomanagement festlegendas Risikomanagement erfolgt auf Grundlage derselben Kennzahl
Standardabweichung– bei normalverteilten Wertänderungen (->Marktrisiko) ist die StdAbw ein
zum VaR äquivalentes Risikomaß– jedes Quantil lässt sich als eine Abweichung um eine feste Anzahl StdAbw
zum Erwartungswert messen:
– bei nicht-normalverteilten Wertänderungen (->Kreditrisiko) kann aus der StdAbw nicht auf den VaR geschlossen werden
im Kreditrisikomanagement gibt es keine einfache Interpretation der StdAbw als Indikator für die Entwicklung des VaR
( )σ2,33VaRxormationRücktransf2,33zQuantil1%
N(0,1)ZσμXZ:tionTransformazNX
0,99 ×=⇒+×−=→−=→−
≈→−
=−→≈
μσ
σμ
33,2:
, 2
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 23
Motivation (1)Value-at-Risk (VaR)
– Marktpreisrisiko und VaR– Marktpreisrisiko, ist der mögliche Verlust aus der Unsicherheit über die
zukünftige Entwicklung von Risikofaktoren (-> Annahmen über die Zukunft)– gesucht ist nun eine Größe, die das Marktpreisrisiko quantifiziert, mit der
Auflage, dass das Risiko sämtlicher Positionen auf einen einzigen Nenner gebracht wird
– konzeptionelle Anforderungen an ein solches globales Risikomaß– Marktwerte
– nur Marktwertveränderungen der einzelnen Positionen stellen das Risiko objektiv dar– Vergleichbarkeit
– Abbildung unterschiedlicher (Markwert-) Szenarien über unterschiedliche Finanzinstrumente und Portfolios hinweg
– Integration– Integration unterschiedlicher Risikofaktoren
– Definition– der VaR eines Portfolios (Portfoliostruktur!) von Finanzinstrumenten ist ...
– der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwartete Verlust, geschätzt für einen festzulegenden Zeithorizontdie einem VaR zugeordnete Wahrscheinlichkeit wird als Konfidenzniveau bezeichnet:
- Grundsatz I fordert für interne Modelle 99 %; Risk Metrics Daten entsprechen 95 %der Schätzhorizont sollte mindestens so groß gewählt werden, dass die im Portfolio enthaltenden Positionen liquidiert werden können (Liquidationsperiode)
- Grundsatz I fordert für interne Modelle 10 Tage; Risk Metrics Daten stellen 1 Tag und 25 Tage zur Verfügung
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 24
Motivation (2)VaR Ermittlung dient zur …
– Vereinheitlichung– VaR als einheitlicher Massstab der Risikoeinschätzung einer Vielzahl
von verschiedenen Risikopositionen und Portfolios unter einheitlichen Kriterien
– Limitierung/Steuerung– die Messung und Limitierung des VaR ist fundamental für die
PortfolioSteuerung– Kapitalunterlegung
– VaR dient zur Bestimmung des risikogebundenen Kapitals, welches erforderlich ist, um die jeweils eingegangenen Risiken zu decken
– Kapitalallokation– VaR gibt die Möglichkeit, das verfügbare Kapital optimal auf die
Geschäftsaktivitäten mit einem entsprechenden Verzinsungsanspruch zu verteilen
– betrachtet wird dabei das Verhältnis „Return on Risk“– risikoadjustierte Performancemaße unterscheiden sich danach, ob
– der Zähler, – der Nenner oder – Zähler und Nenner
risikoadjustiert werden, z.B.– RAROC [RARORAC] = risikoadjustiertes Nettoergebnis / Risikokapital– RORAC = Nettoergebnis / Risikokapital
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 25
Value at Risk (1)Struktureller Aufbau
Positionen Portfolio
1Portfolio
n
Analyse der Portfoliostrukturen
(Sensitivitäten)
Marktparameter(Aktien-/Wechselkurse, Indizes,
Zinsstrukturen)
Zeitreihenanalyse(Volatilitäten, Korrelationen)
VaR-Methodik(Portfolioanalyse
+Stochastik der Finanzmärkte)
Value-at-Risk
aktueller Marktwert * Sensitivität * ΔRisikofaktorVaR =
Konfidenz-niveau
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 26
Value at Risk (2)Anspruch
– VaR-Konzept zielt auf ein ganzheitliches Risikomanagement...– für einzelne Positionen sind die Risikofaktoren anhand der Preisfunktionen der
einzelnen Finanzinstrumente zu ermitteln– ... daraus lassen sich die entsprechenden Sensitivitäten der Markwerte berechnen,... – ... die die Grundlage für mögliche Marktwertveränderungen/Szenarien sind:
– die Veränderungen der Risikofaktoren führen zu neuen Preisen für die einzelnen Finanzinstrumente
– aus der Aggregation der Preisveränderungen ergibt sich die VaR-Maßzahl
Umsetzung?Risikofähigkeit/-limite, Risikoprämie, Risiko/Rendite-Ziele
VaR als integriertes Risikomaß:
VaR kann auf ein einzelnes Instrument, ein XYZ-Portfoliooder das Gesamtvermögen der Bank („Bank als Portfolio“) angewandt werden
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 27
Value at Risk (3)Messmethoden
Zwei grundsätzliche Vorgehensweisen– grundsätzliche Annahme
– historische Veränderungen des Risikofaktors Y liefert eine gute Schätzung für die zukünftige Wertveränderung ΔP
– full valuation: – ΔP = P(Y1) – P(Y0)– keine Annahme hinsichtlich des Zusammenhangs zwischen P und Y
Simulation (historische~, Monte Carlo~)
– delta valuation (local valuation):– ΔP = b * ΔY– linearer Zusammenhang (Sensitivität b) zwischen P und Y
Varianz Kovarianz Ansatz– Delta-Normal: (worst dP) = P * modDuration * (worst dy)– Delta-Gamma: (worst dP) = P * modDuration * (worst dy) + 0,5*Convexity*P*(worst dy)2
Delta-Normal
Delta-Gamma
'delta' Bewertung
historische Simulation
Monte Carlo Simulation
'full' Bewertung
VaR Methoden Stress Test
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 28
VaR-Konzept (1)VaR für ein Asset
VaR für ein Portfolio
Renditeentwicklung
relativeRenditeentwicklung
oder Barwertentwicklung
relativeBarwertentwicklung
Sensitivität
Konfidenzniveau
VaR
Barwertentwicklung_Asset 1
Barwertentwicklung_Asset n
relativeBarwertentwicklung_Asset 1
relativeBarwertentwicklung_Asset n
VaR
VaR1
VaRn K
orre
latio
nen
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 29
VaR-Konzept (2)Zur Erinnerung: VaR erfasst das Risiko ...
– ... im Gegensatz zum μ,σ- Ansatz von Markowitz … nichtsymmetrisch, sondern nur den potenziellen Verlust unter Berücksichtigung eines Konfidenzniveaus
– diese Asymmetrie des VaR äußert sich darin, dass nicht die ganze Verteilung betrachtet wird, sondern nur die Verlustseite:
VaR bei einer Normalverteilung
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
VaRμ
μ-1,65*σ
mit 95 %iger W‘ (Pa) schwanken die Erträge in einemIntervall von 1,65 Standardabweichungen (Sicherheitsniveau)-> mit 5 %ige W‘ liegen die Verluste außerhalb (Irrtumsw‘)
Excel = NORMINV(W‘;μ;σ)
Excel = NORMVERT(Quantil;μ;σ;wahr)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 30
VaR-Konzept (3)Value-at-Risk als Quantil
– VaR ist der potenzielle Verlust aus einer Anlage (Asset), ...– ...der nur mit einer vorgegebenen (kleinen) Wahrscheinlichkeit realisiert
oder übertroffen wirdBerechnung von Verlusten, die in Ausnahmefällen auftreten können
– formal:
– Verteilungsfunktion F(VaR) gibt grundsätzlich an, wie groß die W‘ (P) ist, dass der Verlust unterhalb eines vorgegebenen Wertes liegen wird
– bei der Berechnung von VaR wird diese W‘ (a) vorgegebenüblicherweise wird hierfür ein Wert von 1 % oder 5 % gewählt
– VaR ist dann derjenige Verlust, der im langfristigen Durchschnitt in a % aller Zeiträume unterschritten sind
– hierbei kann direkt auf die Verteilung der Risikofaktoren (Rendite) Bezug genommen werden
– i.d.R. wird von normalverteilten Renditen ausgegangen: zur Ermittlung von VaR ist dann nur noch die Bestimmung des 1%- oder 5%-Quantils der Normalverteilung notwendig
der VaR ist damit identisch mit der Grenze eines entsprechenden linksseitigen Konfidenzintervalls
)()(
)(
1 α
αα
−=⇒
=⇔=≤
FVaRVaRF
VaRLossP
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 31
VaR-Konzept (4a)VaR
– VaR als Verlustschwelle– 10-Tages 99 % VaR = EUR 3 Mill
– es besteht eine 1% W‘, dass Verluste diese 3 Mill EUR übertreffenHull: „how bad can things get?“
– VaR als Limit-Wert– Händler muss sein Portfolio an 1-Tages 99 % VaR ausrichten (10 Mill EUR)– Portfolio konstruieren:
– mit 99% W‘ ist der Verlust < 10 Mill EUR – mit 1% W‘ ist der Verlust = 500 Mill EUR
der Händler hält sein Risiko-Limit ein, aber natürlich ist das generierte Risiko nicht akzeptabel
Expected Shortfall– auch: „tail loss“ (Extremwert-Verlust) oder „Conditional VaR“
Hull: „if things do get bad, what is our expected loss?“– erwarteter Verlust während eines N-Zeithorizonts, unter der Bedingung, dass der
Verlust größer ist als das X%-Konfidenzlevel der Verlustverteilung– Beispiel: X = 99, N = 10
– expected shortfall = durchschnittlicher Verlust über eine 10-Tages-Periode– sofern der Verlust größer ist als das 99%-Quantil der Verlustverteilung
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 32
VaR-Konzept (4b)VaR
Expected shortfall
VaR
VaR
VaR ist gleich, aber das potenzielle
Risiko ist größer
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 33
Praktische Ermittlung des VaR (1)Positionen
– die einzelnen Positionen eines Portfolios sind Gegenstand der Betrachtung
– unter ‚Portfolio‘ können einzelne Instrumente, Kundenportfolios, die Gesamtbank, etc. subsumiert werden
– der Wertansatz sind aktuelle Marktwerte (mark-to-market) und/oder– die (dynamischen) Eigenschaften (Sensitivitäten) der bestimmenden
Risikofaktoren (mark-to-model)– das „adäquate“ Bewertungsmodell zielt auf das „Einfangen“ der relevanten
Risikofaktoren– Beispiel Devisenoptionen: Spot-FX-Kurs + in- und ausländischer (risikofreier) Zinssatz +
Zinsvolatilitäten – und makroökonomische Zusammenhänge (Korrelationen)
Preisfunktion und Sensitivitäten– die Bestimmung der Preisfunktionen (Bewertungsmodelle) ist ein
zentrales Element des VaR-Konzeptes– lineare und nichtlineare Modelle
– mittels der Preisfunktionen lassen sich die Sensitivitäten hinsichtlich der Risikofaktoren ableiten
– Beta für Aktien– modDuration für Zinsinstrumente– greeks für Optionen
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 34
Praktische Ermittlung des VaR (2)Festlegung der Szenarien
– Szenarien hängen im Wesentlichen von 2 Bestimmungsfaktoren ab...– dem Simulationshorizont: Zeitraum, über den eintretende Verluste getragen
werden müssen, ohne dass die Portfoliozusammensetzung geändert wird– dem Konfidenzlevel: so bedeutet bspw. ein VaR von 100000 mit 95 %
Konfidenzlevel, dass die W‘ für [Portfolioverlust < 100000] 95 % beträgt– solche Aussagen sind dann relativ einfach zu machen, wenn von einer
Normalverteilung für die Veränderungen der Risikofaktoren ausgegangen werden kannAbweichungen von der Normalverteilungsannahme stellen mithin ein Problem bei der Umsetzung des VaR-Ansatzes dar
– Korrelationen zwischen den Risikofaktoren – ob und inwieweit diese berücksichtigt werden, hängt insbesonders von der
Datenverfügbarkeit abein Verzicht auf die Berücksichtigung von Korrelationen bedeutet allerdings, die Vorteileaus der Diversifikation von Portfolios nicht zu erfassen!
VaR Berechnungsmethoden– analytische Methode
– Varianz-Kovarinz-Methode (auch: Delta-Normal-Methode)– numerische (Simulations-)Methoden
– historische Simulation– Monte-Carlo Simulation
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 35
Praktische Ermittlung des VaR (3)Konvertierungen (Konfidenzlevel, Zeithorizont)
– 1-Tag-Vola/95 % in 10-Tage-Vola/99 %:– es wird unterstellt, dass die Perioden unabhängig von einander sind (keine
Autokorrelation)Random Walk
Anmerkungen ...– je höher der Konfidenzlevel, desto größer ist VaR
– aber: die Ereignisse werden in den Rändern immer seltener aber extremer– die Wahl der Höhe des Konfidenzlevels ist eine Frage der Anwendung
von VaR:– i.d.R. ist VaR eine benchmark für das „downside risk“ (für den Handel)
95 %– für die Kapitaldeckelung von Risiken (Grundsatz I)
99 %– (VaR-)Modelle taugen nur dann etwas, wenn sie falsifiziert werden
können– backtesting: prüft, ob der IST-Verlust den PLAN-Verlust - unter
Berücksichtigung des Konfidenzlevels - systematisch überschreitet– um dies zu prüfen, sollte der Konfidenzlevel nicht zu hoch sein:
bei 99,99 % kommt es zu einem Ausreißer bei 10000 Handelstagen - oder 50Jahren! Ein solches Ereignis wäre empirisch nicht überprüfbar!
1065,133,295,0
199,0
10 ××= TagTage VaRVaR
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 36
Praktische Ermittlung des VaR (4)Halteperiode
– je länger die Liquiditätsperiode (T), umso größer wird die VaR-Zahl– die Extrapolation wird durch 2 Faktoren determiniert:
– die Veränderungen über die Zeit sind von einander unabhängig ->– diese Annahme führt direkt zum „Wurzel-Gesetz“– VaR(T Tage) =
– die Veränderungen sind über die Zeit identisch (normal-)verteiltRandom-Walk
– diese Annahme lässt keine wechselnden Varianzen zu
Länge der unterstellten Halteperiode– ist abhängig davon, was mit VaR gesteuert werden soll:
– VaR als benchmark für das Handelsrisiko: Horizont ist relativ kurz– VaR als benchmark zur Eigenkapitalunterlegung: Horizont ist relativ lang
– in beiden Fällen muss genug Zeit zum Handeln bleiben– Handels-Portfolio wieder ‚ins Lot bringen‘– Bank-Bilanz wieder ‚ausbalancieren‘
– Minimum der Halteperiode– Halteperiode kann nicht kleiner sein als die Berichtsperiode
– typischerweise werden P&L im Handel täglich gemessen– Kapitaladäquanzrichtlinie fordert 10 Tage
TTag)VaR(1 ×
Zeit2 *σ
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 37
Praktische Ermittlung des VaR (5)Beispiele
1. Bond: Nominal 100000, akt. Kurs 100,43 %, Vola_Kurs = 0,2194 %– potenzieller Verlust = 100,45 *1,65 * 0,2194 * 100000 = 363,57
mit 95 %iger W‘ wird ein Verlust 363,57 nicht überschritten
– Problem bei Zinsinstrumenten– Standardabweichungen der relativen Kursänderungen sind in der Praxis
schwierig zu beobachten– in einem Portfolio wird i.d.R. eine Vielzahl diverser Bonds gehalten– die Kursschwankungen der Vergangenheit wurden auch bei abnehmenden
Restlaufzeiten erfasst– Kursschwankungen verschiedener Bonds mit gleicher/fast gleicher Restlaufzeit
hängen von der aktuell gegebenen Rendite abfür diese Änderungen kann die Standardabweichung leicht berechnet werden
– Lösung– Schwankungen der relativen Renditeänderungen berechnen und diese auf die
aktuelle Rendite anwenden, d.h. – mit Hilfe der Sensitivität des Barwertes auf Renditeänderungen werden die
Barwertänderungen berechnen, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit nicht überschritten werden
2. Bond: σ der 5-jährigen Rendite (aktuell 4,9 %) sei 0,9829 %– mit 95 %iger W‘ schwankt die Rendite maximal um 1,65 * 0,9829 % =
1,62179 % – bei einer modDuration von 4,3347 % schwankt der Barwert (100.430) um
nicht mehr als 1,62179 % * 4,90 * 4,3347 % * 100430 = 345,95
bei einer Irrtumsw‘ von 5% beträgt der z-Wert
-1,65
die Renditeschwankung wird mittel modDuration in eine
Barwertschwankung umgerechnet
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 38
Praktische Ermittlung des VaR (6)VaR-Verfahren …
– variieren in der Art und Weise, wie die Parameter derBarwertänderungen berechnet werden
1. historische Daten– die Parameter werden direkt aus historischen Kursen (Preisen) geschätzt
2. Monte-Carlo-Simulation– statt den Parametern der Preise werden die Parameter der Risikofaktoren
geschätzt– von diesen ausgehend werden Szenarien simuliert; für jedes (Rendite-) Szenario
wird der Preis des Assets berechnet– aus der Vielzahl der berechneten Preise werden die Parameter ihrer Verteilung
geschätzt3. analytische Approximation (Varianz/Kovarianz-Methode/Delta-Normal)
– die Entwicklung der Risikofaktoren (bspw. Renditen) werden betrachtet und ihre Verteilungsparameter berechnet
– mittels der Sensitivität (bspw. modDuration) werden diese in die Verteilungsparameter des Barwertes transformiert:
– dieses Verfahren eignet sich nicht bei Instrumenten, bei denen zwischen dem Risikofaktor und dem Barwert ein ausgeprägt nichtlinearer Zusammenhang besteht
ist festgelegtiveau Konfidenzn das durch der Parameter, weichung,Standardab
Rendite, aktuelleZwankungBarwertschBarwertnmodDuratioλσ Z:isikoPositionsr aktuelles
nmodDuratioλσ Z:umrechnen erungBarwertändλσZ: lichkeitWahrschein gegebener beierungRenditeändmaximale
n
n
n
n
===
≈××××⇒×××⇒
××
λσ
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 39
Exkurs SolvabilitätsrichtlinieMarktrisiko
– Basel fordert hinsichtlich VaR folgende Parameter:– Halteperiode von 10 Handelstagen bzw. 2 Kalenderwochen– Konfidenzniveau von 99 % (einseitig)– historische Daten/Zeitreihe von mindestens 1 Jahr
(Beobachtungsperiode), die mindestens vierteljährlich zu aktualisieren ist– Marktrisiko-Unterlegung (market risk charge):
– 10-Tages VaR aus 1-Tages VaR ableiten:
– Basel kennt demzufolge 3 VaR-Parameter:– Konfidenzlevel, – Halterperiode und ... – k ... wegen Modell-Risiko (fat tails, Konfidenzlevel, Halteperiode, ...)
3) (Min ator Multiplik krisk) ault(event/def charge risk specific SRC
chargeriskmarketMRCmit
SRC);VaRVaR601kMaxMRC t
60
1i1titt
====
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×= ∑
=−−
%)99,_1(10%)99,_10( TagVaRTageVaR ×=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 40
Fremdwährungsrisiko (1)Definition
– FX-Risk entsteht aus potenziellen Veränderungen von Währungskursen– Volatilitäten und Korrelationen zwischen Wechselkursen– z.B. USD/EUR
– USD/EUR = 1,20 ->1,20 USD pro 1 EUR– Kauf USD gegen EUR: Kauf von USD, Verkauf von EUR
– Spot risk– PV von cash flows benötigen die entsprechenden Zinskurven
– z.B. USD Zinskurve bei USD Zahlungen– Umrechnung des PV in die Berichtswährung verlangt nach der spot FX-Rate
– z.B. Berichtswährung = EUR; USD/EURspot FX risk: Risiko, dass sich der konvertierte Wert durch eine Veränderung des Kassa Devisenkurses verändert
– Zinsparität– forward FX-Rate ist durch die Zinsparität determiniert
ein zukünftiger Wert in Fremdwährung ist sensitiv in bezug auf– spot FX-Rate– inländisches Zinsniveau– ausländisches Zinsniveau
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 41
Fremdwährungsrisiko (2)Wechselkursvolatilität
– Wechselkursvolatilitäten erreichen Dimensionen vonAktienmarktvolas (6-11 % p.a.)
sie sind nicht zu vernachlässigen
– Cross-Rate Volatilität– cross-rate: Verhältnis des Kurses einer Fremdwährung zum Kurs einer
anderen Währung– Beispiel: bekannt sind S1 = Dollar/Pfund und S2 = Dollar/Euro
gesucht ist S3 = Euro/Pfund Wechselkurs
– Volatilität (Devisenportfolio):
Korrelationen zwischen den Wechselkursen– Korrelationen schwanken ähnlich stark wie die Volatilitäten
wenn durch Streuung eine Risikoreduktion erreicht werden soll, muss gezielt in Währungen mit geringer Korrelation investiert werden
23211,2
22
21
23 σσσ2ρσσσ =⇒++= 3σ
$€*$€
€)/($)/($
2
13 GBPGBPS
GBPSS =⇒=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 42
YieldYield Components
– Riskfree => real rate– Inflation => inflation risk– Risk premium => spread risk
– credit risk– liquidity risk– pre-payment risk
Yield Curve – Concepts– Yield to Maturity– Par Curve– Zero Coupon Curve– Forward Rates
Yield Curve (Basis) Risk– short and long rates are not perfectly correlated– measuring sensitivity to changes in yield curve shape
– „bucketing“ and calculation of „delta-vector“– calculation of „key-rate duration“
„Bucketing“
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 43
Zinsrisiko (1)Zinsänderungsrisiken (bei festverzinslichen Instrumenten)
– Risikofaktoren/Risiken– Renditeänderung, Ratingänderung, Restlaufzeit– Kursrisiko, Wiederanlagerisiko, Zeitrisiko
– zur Messung von Zinsänderungsrisiken stehen verschiedene Kennzahlen und Methoden zur Verfügung
– diese werden mehr oder weniger…– …exakt quantifiziert– …mit plausiblen Annahmen unterlegt
– gemeinsame Merkmale:– die Veränderung des Barwertes eines Instrumentes wird bei einer marginalen
Änderung eines Risikofaktors gemessen– mathematisches Werkzeug: (partielle) Ableitungen der Barwertfunktionen
– 1. Ableitung als Maß für die Steigung der FunktionSteigung einer Funktion Ø Maß für die Veränderung der Funktion auf eine marginale Veränderung eines Risikofaktors (Modified Duration, Delta)diese „Sensitivität“ ist nicht gleichförmig (linear) Ø daher wird noch die 2. Ableitung betrachtet (Konvexität, Gamma)
– 2. Ableitung als Maß für die Krümmung der Funktion
– der Zusammenhang zwischen verschiedenen Risikofaktoren wird im „Value at Risk“ herangezogen Ø Korrelation
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 44
Deltafaktor einer Call-Option
Wert Underlying
PreisLong-Position
PreisShort-Position
Kursgewinneunterschätzt
Gewinnmöglichkeitenüberschätzt
Verlustrisikenunterschätzt
Kursverlusteüberschätzt
Korrekturterm: Gamma der Optioner wird dem Delta rechentechnisch über die Taylor-Reihenentwicklung zugeschlagen, um die Approximation der Optionspreisänderung zu verbessern
Exkurs Risikokennzahlen (1)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 45
Exkurs Risikokennzahlen (2)Lineare Approximation
– gesucht: ΔP = f(ΔRendite)– ΔPreis = P(Rendite1) – P(Rendite0)– ΔRendite = Rendite1 – Rendite0
– 1. Ableitung der Preisfunktion P nach der Rendite
– wenn…– ΔRendite = 1 Basispunkt (0,01%) oder 100 Basispunkte (1 %)– und die 1. Ableitung bekannt ist
dann …– kann die Sensitivität (Reagibilität) geschätzt werden
– PVBP bzw. modified Duration
– Delta-Plus…– es wird der Einfluss mehr als eines Risikofaktors approximiert, bspw.
ΔRenditeRendite
PΔP
giltalsoRendite
PΔRenditeΔP
RenditeP
ΔRenditeΔP
0ΔRendite
×∂
∂≈
∂∂
≈⇔∂
∂→
→
:
ΔRLZRLZ
PRenditeΔRendite
P21ΔRendite
RenditePΔP 2
2
2
×∂
∂+×
∂∂
×+×∂
∂≈
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 46
Optionspreisverhalten (hier: call)– Veränderung des Optionspreises aufgrund von Risikofaktoränderungen
– nicht-linearer Zusammenhang (siehe: Taylor-Reihenentwicklung)
ying)rungUnderlf(Wertände ngOptWertänderu dNPCallDelta
Aktie
=>==Δ ;0)(: 1δδ
ying)rungUnderlf(WertändeungDelta Wertänder;0)(: 12
2
=>×
′==Γ
tPdN
PCallGamma
AktieAktie σδδ
rungZeit)f(WertändeungOpt Wertänder;0)(2
)(: 2
1 =<×××−×
′××−=Τ ×− dNeXr
tdNP
Theta trAktie freiσ
rungVola)f(WertändeungOpt Wertänder;0)(: 1 =>××′==Λ tPdNCallVega Aktieδσδ
rungZins)f(Wertände ngOpt Wertänderu;0)(: 2 =>×××==Ρ ×− tdNeXr
CallRho tr
δδ
rGammaFaktoVegaFaktorrDeltaFakto=
+×∂∂
×+×∂∂
+×∂∂
= ...ΔUnPreisUnPreisOptPreis
21ΔUnVola
UnVolaOptPreisΔUnPreis
UnPreisOptPreisΔOptPreis 2
2
2
„Delta-Plus-Methode“
Maß für die Konvexität
Exkurs Risikokennzahlen (3)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 47
Zinsrisiko (2)Korrelationen
– zwischen den Renditen unterschiedlicher Fristigkeiten– und Währungsräume
– bei 17 Währungen und 14 Fristigkeiten: 17 * 14 = 238 Risikofaktoren– Korrelations-Matrix: n*(n-1) = 238*237 = 56406 Elemente
Zinsänderungsszenarien– wenige ‚principal components‘ reichen für Zinsänderungsszenarien
aus– Parallelverschiebungen der Zinsstruktur (Parallel-Shift):
– Anstieg/Reduzierung um eine bestimmte Anzahl Basispunkte konstant über alle Laufzeiten: ‚level-risk‘ (94 %)
– Drehung der Zinsstruktur (Twist): – Änderung der Steigung der Zinskurve: ‚slope-risk‘ (4 %)
– Krümmung der Zinsstruktur (Hump): – Anstieg von Zinssätzen mit kurzer und langer Laufzeit/Absenkung von
Zinssätzen mit mittlerer Laufzeit (oder umgekehrt): ‚curvature-risk‘
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 48
Exkurs Prozess „Zinsrisikomanagement“Schritte
1. Beurteilung der Zinspositionen– Wie verändert sich der Wert der gesamten Zinsposition bei einer
Veränderung des Zinsniveaus der betreffenden Währung?– bestehende oder künftige Zinspositionen– aktiv- oder passivseitige Zinspositionen– kurz- oder langfristige Zinspositionen
2. Zinsprognose– aktives Gestalten der Zinspositionen verlangt nach einer Zinsmeinung
– bestimmt die Vorteilhaftigkeit der verschiedenen Handlungsalternativen
3. Simulation mit Hilfe von Zinsszenarien– Zinsszenarien unterstützen den Auswahlprozess hinsichtlich der
Gestaltungsmöglichkeiten
4. Entscheidung– mögliche Alternativen:
– Beibehalten der Zinsposition („Nichts tun“)– aktives Gestalten mit bilanzwirksamen Instrumenten (Veranlagungen,
Finanzierungen)– aktives Gestalten mit bilanzneutralen Instrumenten (Derivate)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 49
Zinsrisiko (3a)Credit Spread
– Risiko, dass sich die Renditen laufzeitgleicher Unternehmensanleihen und Staatsanleihen unterschiedlich entwickeln
– credit spreads ...– ...sollen das Ausfallrisiko kompensieren; darüber hinaus stellen sie eine
Prämie für die ‚Überwindung‘ der Risikoaversion des Investors dar– ...steigen bei einer Rezession (Ausfallrisiko steigt)– ... haben eine starke asymmetrische Verteilung (sie können nicht negativ
werden)
– Schätzung der Zinsstruktur unter Beachtung des Bonitätsrisikos– ‚spread-exposure‘ bei bonitätsrisikobehaftete Renditen (spot rates)
– aus den empirisch beobachteten Swap-Rates können die Preise derbonitätsrisikobehafteten Nullkuponanleihen rekursiv ermittelt werden
– hieraus werden die bonitätsrisikobehafteten spot-rates berechnet
– bonitätsrisikolose spot rates: – für alle Fristigkeiten werden Credit Spreads benötigt, um diese von den
bonitätsrisikobehafteten spot rates abzuziehen– in der Praxis ist dies aufgrund mangelnder Anleihedaten i.d.R. nicht möglich– Schätzung der Fristigkeitsstruktur der Credit Spreads mittels linearer Regression
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 50
Zinsrisiko (3b)
(*) vgl. M.Frühwirth/A.Höger: Die Schätzung der Zinsstruktur aus Swapmarkt-Daten unter besonderer Berücksichtigung des Bonitätsrisikos, in FINANZ BETRIEB 1/2000, S. 40ff
Credit Spreads
0,06
0,070,08
0,09
0,10
1 2 3 4 5 6
Laufzeit
%
bonitätsrisikobehaftete spot-rates bonitätsrisikolose spot-rates
Excel/creditspreads
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 51
Zinsrisiko (4)
Prepayment Risk– Risiko, dass das Kapital vor Fälligkeit zurückgezahlt wird
– Kündigungsrecht seitens des Schuldners (=Call-Option)
– Mortgage-backed Securities (MBS) sind jederzeit kündbaraus deterministischen cash flows werden stochastische cash flows
– die Rendite (YTM) kann nicht mehr als Refinanzierungssatz interpretiert werden
– führt beim Investor zu einem ‚pre-payment risk‘– entspricht einer amerikanischen short-Option -> negative(s) Gamma/Konvexität
– das Rückzahlungsverhalten ist von einer Vielzahl von Faktoren abhängig:– Alter des Darlehens: ‚Sensibilität‘ ist kurz nach Aufnahme gering (‚seasoning‘)– spread zwischen Darlehenszins und aktuellem Zins– Kosten der Um-Finanzierung– Entwicklungspfad der Zinssätze: ‚Sensibilität‘ ist bei hohem Zinsniveau und
starkem Absinken hoch (‚burnout‘)– Konjunktur– Jahreszeit: Häuser werden gern im Frühjahr gekauft ...
diese pre-payment-Effekte werden in einer „Conditional Prepayment Rate (CPR)“ erfasst, um den Zahlungsstrom abzuschätzen
– die ‚Public Securities Association (PSA) veröffentlicht entsprechende CPRs
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 52
Exkurs Embedded OptionsCallable Bonds
Putable Bonds
price
yield
callprice
y‘
call optionvalue
option-free bond
price
yieldy‘
option-free bond
put-able bond
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 53
AktienrisikoMessung
– Standardabweichung der Renditen– umfasst systematisches (Markt-) und unsystematisches (Spezifisches-)
Risiko– Beta
– misst das systematische Marktrisiko
-4,00%
-2,00%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
-3,00% -2,00% -1,00% 0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
X=M arktre ndite n
Y=A
ktie
ren
dit
en y=0,0028 + 1,3363x
Beta
)(),(
M
Mii RVar
RRCovβ =
Excel/beta
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 54
Exkurs: CapitalAssetPricingModell (1)(Un-)Systematisches Risiko
– Capital Asset Pricing Model– es existiert ein risikoloser (!) Zinssatz (StdAbw. = 0)...
– zu dem die Investoren Wertpapiere kaufen (Geldanlage) und sich verschulden können (Geldaufnahme)
– die Investoren haben homogene Erwartungen hinsichtlich ...– der erwarteten Rendite, – deren Risiko (Standardabweichung) und – der Korrelationen aller Wertpapiere
– ihre Renditeforderung (Kapitalkosten) ist in Abhängigkeit vom Risiko zu sehen
– das (Gesamt-)risiko (Volatilität) kann in einen systematischen und einen unsystematischen Teil zerlegt werden
– unsystematisches Risiko: kann durch Diversifizierung (Portfoliobildung bei negativer Korrelation) vermieden werden; Übernahme wird daher nicht vom Markt in Form einer Risikoprämie vergütet
– was an Risiko übrig bleibt, ist das systematische Risiko: kann nicht durch Portfoliobildung vermieden werden; Übernahme wird daher durch einen Ertrag prämiert
– ist auf Faktoren zurückzuführen, die sämtliche Emittenten von Finanztiteln gleichmaßen betreffen (z.B. eine nachdrückliche Rezession)
– es stellt das „wahre“ Risiko einer Aktieninvestition dar: quantifiziert durch das Beta
– Instrumente zur Begrenzung dieses Risikos sind Optionen und Futures auf Aktienindizes
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 55
Exkurs: CapitalAssetPricingModell (2)Beta
– während das Gesamtrisiko einer Aktie durch die StdAbweichung (s) zum Ausdruck kommt ...
– …repräsentiert das sog. Beta das systematische Risiko:– formal: Quotient aus der Kovarianz des jeweiligen Wertpapiers mit der
Rendite des Marktportfolios und der Varianz der Rendite des Marktportfolios:
– (linearer) Zusammenhang zwischen Renditeerwartung und systematischem Risiko:
– beta drückt aus, um wieviel % sich der Wert der Einzelanlage bewegt, wenn der Markt als Ganzes seinen Wert (durch eine Rezession) verändert
– dabei bedeutet ein beta von…– 0,5, dass das WP um 0,5 % steigt (fällt), wenn der Markt um 1 % steigt (fällt)– 2, dass das WP um 2 % steigt (fällt), wenn der Markt um 1 % steigt (fällt)– 0, dass das WP unabhängig von der Marktentwicklung ist– 1, dass die Renditeerwartung der Marktentwicklung entspricht, d.h. „gleichläufig“
ist
folios Marktportdes Renditen derVarianz σ
folios Marktportdes Renditen den und k Aktie der Renditen den zwischenKovarianz cov
mitσ
covσρ*σ
β
2M
Mk,
2M
Mk,
M
Mk,kk
=
=
⇔= ...;
[ ] [ ] kfMfM
MkfMfi rrrr βμ
σμμ ×−+=×−+= 2
,covKovarianzform Betaform
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 56
Exkurs: CapitalAssetPricingModell (3)Punktwolke und Regressionsgerade
– ökonometrische Implementierung des Marktmodells
– Rendite lässt sich in 3 Erklärungsgrößen zerlegen1. systematische Faktoren 2. unsystematische Faktoren 3. faktorunabhängiger Parameter y = 1,3056x - 0,9986 + e
1 23
Scatterplott (Aktie/Markt)
y = 1,3056x - 0,9986R2 = 0,8469
-6-4-202468
10
-4 -2 0 2 4 6 8
Marktrendite
Akt
ienr
endi
te
PDrA
y=f()
unsyst.Risiko
Index
A
rr
RisikosystΔΔ
=β.
DrIndex
faktorunabhängigerRenditebestandteil
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 57
Aktienrisiko im Portfolio (1)Portfolio-Varianz
– im 2-Wertpapier-Fall:
– im n-Wertpapier-Fall:– Matrix-Algebra:
2und1WertpapierzwischenKovarianzCoviWertpapierweichung,Standardabσ
iWertpapiere,marketValuMVmit;VarianztVolatilitä
CovMVMVMVMV
1,2
i
i
====
×××+×+×=+ 2,12122
22
21
21
221 2σσσ
Zeilen-Vektor: n Positionen
Spalten-Vektor: n Positionen
Varianz/Kovarianz-Matrix (n×n)
× ×
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 58
Aktienrisiko im Portfolio (2)Beispiel (2 Wertpapiere)
– Wertpapier 1: 60 %– Volatilität: 6 %
– Wertpapier 2: 40 %– Volatilität: 15 %
– Korrelation (1,2): 0,2– Kovarianz: 6 % * 15 % * 0,2 = 0,18 %
Vola 1 6% Korr 0,2Vola 2 15% Kov 0,1800%
60% 40% 0,3600% 0,1800% 60%0,1800% 2,2500% 40%
Portfoliovarianz: 0,5760% {=MMULT(wT;MMULT(V;w))}PortfolioStdAbw: 7,5895%
Excel/Portfolio
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 59
Rohstoffrisiko (1)Definition
– Rohstoffrisiko entsteht aus potenziellen Veränderungen von Rohstoffpreisen
– Landwirtschaftliche Produkte– Metalle– Energieprodukte
– Kontrakte– Edelmetalle (Precious Metals: Gold (gold), Silber (silver), Platin (platinum),
Palladium (palladium))– NE-Metalle (Base Metals: Kupfer (copper), Aluminium (aluminium), Blei
(lead), Nickel (nickel), Zinn (tin), Zink (zinc))– Energie (Energy: Rohöl (crude oil), Flugzeug Treibstoff (jet fuel), Benzin
(gasoline), Diesel (diesel), Heizöl (heating oel), Erdgas (natural gas), Kohle (coal), Elektrizität (elektricity))
– Forst (Forestry: Bau-Holz (Pulp), Papier-Holz (Timber))– Landwirtschaft (Agricultural: Getreide (Cereals: wheat, corn, soybeans),
Kakao (Cocoa), Kaffee (Coffee), Zucker (Sugar), Vieh (Livestock), Wolle (Cotton, Wool))
– RiskMetrics liefert Volatilitäten von Preisen der Rohstoffkontrakte– base metals (Aluminium, Kupfer, Nickel, Zink); Vola: 12-25 %– precious metals (Edelmetalle: Gold, Silber, Platin); Vola: 12-25 %– energy products (Erdgas, Rohöl, Heizöl, ...); Vola: 30-90 %
Energieprodukte sind nicht beschränkt lagerfähig; Angebot und Nachfrage schlagen mithin ‚ungepuffert‘ durch
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 60
Entwicklung– In den letzten 5 Jahren hat sich ein aktiver Markt für Elektrizitäts-
Produkte entwickelt; relativ neu sind Wetter-Derivate sowie Emissionszertifikate
Cost-of-Carry– Rohstoffe sind entweder gar nicht oder nur sehr teuer zu speichern
– für das entsprechende pricing werden 2 Positionen verglichen:– Kauf eines Commodity Spot (S) + Zahlung einer upfront Zahlung für den Barwert
der Lagerkosten (C)– Kauf eines Forward-Kontraktes (F)
– da beide Positionen zum Laufzeitende des Forwards identisch sind, müssen sie auch denselben (barwertigen) Anfangswert haben:
durch die Lagerkosten muss der Terminpreis wesentlich größer sein als der Kassapreis, da der Halter des Forwardkontraktes nicht nur aus dem Zeitwert des Geldes nutzen zieht, sondern auch aus der Vermeidung der Lagerkosten
Rohstoffrisiko (2)
[ ]
ττ
ττ
ct
rt
rttt
rt
eSeF
giltwerdentausgedrücktZeiteinheiperCnLagerkostediewennnLagerkostederBarwertCPV
wobeieCPVSFCPVSeF
=
=
+=⇒+=
−
−
:)(;)(
)()(
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 61
Pricing– convenience yield
– das physische Halten der Commodities erzeugt auch einen Nutzen bzw. ‚negative‘ Kosten, bspw.:
– Einsparungen bei den fixen Bestellkosten – keine Fehlmengenkosten infolge einer Unterbrechung des Produktionsprozesses
– dieser Nutzen (für den Halter) wird als Convenience-Yield bezeichnet. DieConvenience Yield kann ausgedrückt werden als y per Zeiteinheit. Y repräsentiert dann den Netto-Nutzen (nach Lagerkosten) aus dem Halten des Commodities:
convenience yield entspricht zwar konzeptionel einer Aktiendividende, aber die convenience yield kann empirisch nicht exakt gemessen werden
– „contango“ und „backwardation“– contango: Future-Preis > Kassa-Preis
– backwardation: Future-Preis < Kassa-Preis
Rohstoffrisiko (3)
ττ yt
rt eSeF −− =
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 62
MotivationRisikomanagement
– Unternehmensführung unter Berücksichtigung der Unsicherheit, hier:– finanzwirtschaftliches Risikomanagement, d.h. alle Maßnahmen zur
Steuerung der Risiken auf operativer Ebene– umfasst alle Maßnahmen, die auf eine Steuerung der finanziellen (Risiko-)
Auswirkungen der Unternehmensstrategien abzielen, sog. ‚ex post-Maßnahmen‘
– ausgeklammert wird die strategische Risikosteuerung i.S.von Risikovermeidung, Risikoüberwälzung etc., d.h. ‚ex ante-Maßnahmen‘
– quantifiziertes Risiko kann aktiv gemanagt/gesteuert werden– sog. hedging-Maßnahmen zielen durch die Hereinnahme von (Termin-)
Positionen auf die Verringerung dieses Portfolio-Risikos
– Hedging– Sicherung des Wertes einer Position gegen externe Risikofaktoren
– long hedge: long Sicherungsgeschäft– short hedge: short Sicherungsgeschäft
– keine Strategie, um Erträge zu erwirtschaften!– grundsätzlich können alle Einflüsse (d.h. nicht nur der Underlyingkurs)
abgesichert werden:– Volatilitätsänderungen– Zinsänderungen– Zeitänderungen
siehe „GREEKS“
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 63
Hedging - am Beispiel FX-Management
$
t(0)
T
-100 $
Hedge: Verkauf von $ 100 auf Termin
$
t(0)
-100 $Hedge-Portfolio
+100 $
Risikoposition
P&L
$/€
$
t(0) T
+100 $
P&L in T = f($/€-Kurs) in T
P&L in €
$/€
Kauf von $ gegen € auf Termin zu1,2 $/€
Hedging (FX-Forward)
P&L
$/€
long position
long put option
resultierendes Risiko Profil
1,2 1,01,412
17
Insurance (FX-Option)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 64
Hedge-Ratio (1)hedge portfolio
– es gilt die optimale Anzahl an Future-Kontrakten zu finden, die die Varianz des Hedge-Portfolios (Grundgeschäft + Sicherungsgeschäft) minimiert
– hedge ratio: Anzahl der Sicherungsgeschäfte (Kontrakte)– ermittelbar über die Sensitivität des Sicherungsgeschäftes gegenüber dem
Grundgeschäft:– der Quotient aus Grundgeschäft/Sicherungsgeschäft stellt dann die benötigte Anzahl an
Sicherungsgeschäften dar, um die Wertänderung des Grundgeschäfts gerade zu kompensieren
– static hedge: „hedge & forget“...– d.h. im Hedge-Portfolio finden während der Laufzeit keine Anpassungen statt.
– geeignet bei linearer (Preis-)Beziehung -> Konvexität/Gamma = gering– dynamic hedge: das Hedge-Portfolio wird laufend den Marktrisiken (delta-
hedge, gamma-hedge, ...) angepasst– notwendig bei nicht-linearer (Preis-) Beziehung– Bewertungsmodell muss ‚richtig‘ sein (->Modell-Risiko)
– Basis Risiko– Veränderungen des Sicherungsgeschäftes werden nicht (perfekt) durch
gegenläufige Veränderungen des Grundgeschäftes kompensiert – Eigenschaften eines Future-Kontraktes weichen vom (Preis-)Verhalten des
Grundgeschäfts ab– Future sind standardisiert: Bund-Future -> CTD-Anleihe ≠Unternehmensanleihe– bei gleichem Underlying können die Laufzeiten unterschiedlich sein
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 65
Hedge-Ratio (2)Optimales Hedge-Ratio
– Δ S = Wertänderung des Grundgeschäfts– S = (Nominal * Preis/Nominal)
– Δ F = Wertänderung des Sicherungsgeschäfts– Δ V= Wertänderung des Hedge-Portfolios
– bestehend aus N Future-Kontrakten:– ΔV = ΔS + N ΔF -> MIN Risiko = MIN Wertveränderungen des Hedge-
Portfolios:
– N wird durch N* ersetzt -> s2-optimale Hedgeportfolio:
ungens_Veränder Spot_Preiund Futures entnskoeffiziKorrelatioρσ*σ*ρ ungens_Veränder Spot_Preiund FuturesKovarianz σ
Ratio HedgeVarianz MinimumNwobei
σσ
ρbzwbetaσσ
σσ
N
0!2σ2NσNσ
:N nach abgeleitet ;2NσσNσσ
SF
FSSFSF
*
F
SSF2
F
SF2ΔF
ΔFΔS,*
ΔFΔS,2ΔF
2ΔV
ΔFΔS,2ΔF
22ΔS
2ΔV
=→=
=
−−=−=−=⇒
=+=∂
∂
++=
:
2
2
2
2
2
2
2F
SF2S
F
SF
F
SF2SSF2
F
SF2F
2
2F
SF2S
2*V σσσ
σσ
2σσσ
σσσσ
σσ
σσ
−=−
++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 66
Hedge-Ratio (3)Optimales Hedge-Ratio
– nun mit Angabe der Menge (P.Jorion: FRM Handbook, 3rd Edition, S. 313)– Qs = Menge, s = spot-Preis/Menge -> S = Qss = Nominalbetrag des
Grundgeschäfts– Qf = Kontraktgröße, f = Futurepreis -> F = Qff =Nominalbetrag des
Futureskontraktes
– Minimum Varianz Hedge Ratio:
βsf ist die optimale Hedgequoteder 2. Ausdruck ist lediglich ein Adjustierungsfaktor hinsichtlich der Größe des Grundgeschäfts und des Future-Kontraktes
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ×××⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
×××=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××=×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛××=×=
ΔΔ fffQ
sssQ
fΔfσfQΔfσQσ
sΔsσsQσ(Δs)Qσ
fssfFS
ffΔF
ssΔS
σσρσ ,
geschäftSicherungsNomäftGrundgeschNom
fQsQ
fQsQ
ffss
sff
ssf
f
s
__ρ
fΔfσfQ
sΔsσsQ
ρN SF
f
s
SF* ββ
σ
σ−=
××
−=××
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛××
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛××
−=
F
SSF
*
σσ
ρN −=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 67
Hedge ratio (4)Hedging with Futures
– standard deviation of changes in cash price = 3.2 %– standard deviation of futures price = 4 %– coefficient of correlation = 0.8
– HR = 0.8 * 0.03/0.04 = 0.64
Hedging Using Stock Index Futures
price futures in) (changes of volatilityσpricecash in) (changes of volatilityσ
price futures andspot in changesbetween n correlatioρ
F
S
===
=F
SHRσσ
ρ
zeContractSieMarketValuBeta
hedgeinfuturesof
Beta
PortfolioPortfolio
market
stockmarketstock
×=
=
#
, σσ
ρ
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 68
Exkurs: Regressionsanalyse Hedgequote + Hedgeeffizienz (1)
Problemstellung: Absicherung eines FX-Risikos mit FX-Futures
– Absicherungsportfolio– Basis (B(t)) = Kassapreis (K(t)) - Futurekurs (F(t))
– Hedgequote (h):
– Absicherungsportfolio H(t):
– Varianz (=Risiko) des Absicherungsportfolios:
t(0) t(1)
LieferungZahlung in USD (sicher)Zahlung in EUR (unsicher): FX=f(Devisenkurs)
FuturertKontraktWepositionKassamarktNomWerth =
ttt hFKH −=)1(
sitiononFuturepoassapositiKovarianzKsnurepositioVarianzFuts
sapositionVarianzKass
wobeihsshss
KF
2F
2K
KFFKH
==
=
−+= 2)2( 2222
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 69
– optimale Hedgequote h* = MIN Varianz des Absicherungsportfolios
– optimale Hedgequote lässt sich durch eine Regression von ΔF(t) (erklärende Variable) auf ΔK(t) (abhängige Variable) bestimmen!
– Effizienz der Absicherungsstrategie
InstrumentHedgeVolaItemHedgeVolaCorr
ssCorr
ssssCorrbeta
ssh
shsdh
ds
F
K
FF
FK
F
KF
KFFH
__**
***)4(
!022)3(
2*
22
===≡=
=−=
1Ho);Basisrisik (kein perfektistegieHedgestrat0s
Hss
wobeis
ssH
messenRatio Hedge opt. des Qualitätssss
ss
ss
ss
inhvonEinsetzen
eff2H
effKH
K
HKeff
F
KFKH
F
KF
F
KFKH
=→=
=→=
−=
−=
−+=
0
:
)6(
:
2)5(
:)2(
22
2
22
2
222
2
2
2
222
*
Exkurs: Regressionsanalyse Hedgequote + Hedgeeffizienz (2)
varianzoptimiertes Hedgeportfolio
Hedgeeffizienz
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 70
– Effizienzmaß
(7) zeigt, dass die Hedgeeffizienz durch das Bestimmtheitsmaß einer Regression zwischen K(t) und F(t) gemessen werden kann!
– Regressionsanalyse ist eine adäquate Methode, um ...– die optimale Hedgequote – und die Effizienz dieser Strategie ex ante zu bestimmen
2222
2
2
2
222
)(*
)7(
:)6()5(
RCorrCoeffss
ss
ssss
H
invonEinsetzen
FK
KF
K
F
KFKK
eff ===+−
=
Exkurs: Regressionsanalyse: Hedgequote + Hedgeeffizienz (3)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 71
Beispiel (1)Problemstellung: in 3 Monaten Kauf von 10000 t Flugbenzin
– Absicherung gegen Preissteigerung durch Heizöl-Kontrakte der NYMEX, Kontraktwert: 42000 Gallonen
– Riskmanager hat die Aufgabe, die Hedgeeffektivität/-qualität zu prüfen:– spot-Preis Flugbenzin: 277 USD per t– Vola dieser Preisveränderungen über 3 M: 21,17 % p.a.– future-Preis Heizöl: 0,6903 per Gallone– Vola dieser Preisveränderung über 3 M: 18,59 % p.a.– Korrelation: 0,8243
– zu berechnen: (a) Nominal und Vola der ungehedgten Ölkosten in USD (b) optimale Anzahl an Futurekontrakten (c) Vola der gehedgten Ölkosten in USD
Lösung (a)– Flugbenzin spot:
– Nominal der spot-Position: Q*s = 10000 * 277 = 2770000 USD– Vola in USD: σ(Δs/s)*Qs*s = 0,2117 * 10000 * 277 = 586409 USD
– Future Kontrakt:– Nominal der Future-Position:Qf*f = 42000 * 0,6903 = 28993 USD– Vola in USD: σ(Δf/f)*Qf*f = 0,1859 * 42000 * 0,6903 = 5390 USD
Lösung (b)– Kauf von N*-Future-Kontrakte als Absicherung
– Beta: βsf = Corr*Vola_Grund/Vola_Sicherung = 0,8243*(0,2117/0,1859) = 0,9387– N* = βsf *[(Qs*s)/(Qf*f)] = 0,9387*2770000/28993 = 89,7 ≈ 90 Kontrakte
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 72
Beispiel (2)
Lösung (c)– Risiko der gehedgten Position -> varianzminimales Hedgeportfolio:
– durch Hedging hat sich das anfängliche Risiko reduziert– 586409 USD -> 332023,65 USD
– Hedgequalität: R2 = Corr2 = 0,82432 = 0,6795
65,023.332
47,550.702.239.110390.5
82,395.304.605.2409.586
2
22
2
222
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−=
H
F
SFSH
σ
σσ
σσ
2
2222 2
H
SFFSH hh
σ
σσσσ −+=Hedge-Risiko vs Hedge-Kontrakte
0100.000200.000300.000400.000500.000600.000700.000
0 20 40 60 80 100 120
Anzahl Hedge-Kontrakte
Hed
ge-R
isk optimal Hedge
Kov = Corr*VarS*VarF
Excel/optHedge
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 73
Duration Hedging: ZinsinstrumenteDuration Hedging
– modDuration: dP = (-modDuration*P)*dy– spot-Position: ΔS = (-modDurationS*S)*Δy– future-Position: ΔF = (-modDurationF*F)*Δy
– optimales Hedge-Ratio:
)(*)*(mod*)*(mod
)(*)*(mod
)(*)*(mod
2
222
222
yFDurationSDuration
yFDuration
ySDuration
FSSF
FF
SS
Δ=
Δ=
Δ=
σσ
σσ
σσ
Beziehung sei perfekt korreliert: CORR = 1
))
FS
*(mod*(mod
*)*(mod*)*(mod*)*(mod
22
2
2*
DurationDuration
FDurationSDurationFDuration
NF
S
F
SF
F
SF −=−=−=σ
σσσ
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 74
Beta Hedging: AktienBeta-Hedging
– systematisches Risiko hedgen: Rit = αi + βiRmt + εit– α=unabhängig vom Index, β=systematisches Risiko, ε=Residualwert
– spot-Position: ΔS/S ≈ β(ΔM/M)– (Aktienindex-)Future-Position: ΔF/F = 1(ΔM/M)
– optimales Hedge-Ratio:
Fazit „Hedging lineare Risiken“– optimales Duration-Hedging wird erzielt durch das Verhältnis
– Dollar-Duration_Grundgeschäft/Dollar-Duration_Sicherungsgeschäft– optimales Beta-Hedging wird erzielt durch das Verhältnis
– betagewichteterNominalwert_Grundgeschäft/Kontraktwert_Sicherungsgeschäft
FS*βN
MΔM*F]*NS)*[(β
MΔM*F*N
MΔM*S)*(β
ΔF*NΔSΔV
* −=
+=
+=
+=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 75
Hedging mit Bund-Futures (1)Nominalwert-Hedge
– HR_nominal = Nominalwert_Kassaposition/Nominalwert_Future– Bewertung
– Vorteil: sehr einfach zu ermitteln– Nachteil: nur korrekt, falls die zu sichernde Position exakt (!) der idealtypischen Anleihe
des Futures entspricht und die Zinsstruktur flach bei 6 % istErgebnis: ungeeignet
Preisfaktor-Hedge– HR_Preisfaktor = (NomWert_Kassaposition/NomWert_Future) * Preisfaktor_CTD
– Bewertung– Vorteil: einfach, berücksichtigt die unterschiedlichen Preisempfindlichkeiten– Nachteil: Preisfaktor bildet die Preisempfindlichkeit nicht exakt ab
Ergebnis: ungeeignet
Basispunkt-Hedge– HR_Basispunkt =
– Bewertung– Vorteil: in kurzen Zeiträumen mit parallelen Zinsveränderungen gut– Nachteil: bei nicht-parallelen Zinsveränderungen problematisch
r_CTDPreisfaktoDBPValue_CTtureNomWert_Fu
ssaBPValue_KanssapositioNomWert_Ka×
××
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 76
Hedging mit Bund-Futures (2)modDuration-Hedge
– HR_modDuration =– Bewertung
– Vorteil: praktisch gleichwertig zum Basispunkt-Hedge– Nachteil: wie Basispunkt-Hedge
Regression-Hedge– HR_Regression =
– Bewertung– Vorteil: berücksichtigt alle Bewegungen der Vergangenheit; die „beste“
Hedge-Methode– Nachteil: sehr aufwendig; Wahl der Zeitreihen ist problematisch; Ergebnisse
sind statistische Werte, die (richtig) interpretiert werden müssen
Methodenvergleich
r_CTDPreisfakton_CTDmodDuratiotureNomWert_Fu
n_KassamodDurationssapositioNomWert_Ka×
××
re)Preis_Futua,Preis_Kassnt(skoeffizieRegressiontureNomWert_Fu
nssapositioNomWert_KaΔΔ×
HedgeMethode # Bund-Future-KontrakteHR_nominal 60HR_Preisfaktor 58HR_Basispunkt 62HR_modDuration 62HR_Beta 62
Kassaposition Futureposition Kassaposition CTD Kassaposition CTD Preisfaktor CTD Betawert15000000 250000 0,073 0,069 6,901 6,52 0,9734 1,0379
Nominalwerte Basis-Point-Value modDuration
Excel/HedgeMethoden
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 77
Hedging mit Bund-Futures (3)Besonderheiten
– Marginverpflichtungen– treten während der Hedgeperiode größere Marktbewegungen in einer
Richtung auf, sind Marginverpflichtungen zu leisten. Diese Geldabflüsse müssen finanziert werden
– hierzu bedarf es Liqudität– Finanzierungskosten
Hedgeerfolg ist auch von den Marginleistungen abhängig
– Roll-Over-Risiko (operatives Risiko)– falls die Absicherungsperiode größer als die Restlaufzeit des Futures ist,
muß die Hedgeposition zu den Verfallterminen des Futures in den nächsten fälligen Kontrakt ‚gerollt‘ werden
– Beispiel: eine Bundesanleihe (long-Position) ist in T fällig; sie soll durch Bund-Future gehedget werden (short-Position)
– t(0): short Future 1– t(1): close Future 1 durch Kauf des Future 1; short Future 2– t(2): close Future 2 durch Kauf des Future 2; short Future 3– ...– t(n): close Future n durch Kauf des Future n; short Future t>T– T: close Future t>T durch Kauf des Futures; short Bundesanleihe
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 78
Dynamic HedgingLineares Hedging
– relevant, wenn die ‚payoffs‘ von Finanzinstrumenten ‚linear‘ von den unterliegenden Risikofaktoren bestimmt werden
– Forwards, Futures, Swaps ... und auch Bonds
Optionen im Risikomanagement– ‚outright‘ Positionen + ‚embedded‘ Optionen (z.B. kündbare Anleihe)
– haben nicht-lineare payoffs– Marktrisiko = f(exposure,Δ Risikofaktor)
– Verluste entstehen häufig (auch) aus einem (ungewollten) exposure-Profil (short-Option Position)
– je empfindlicher ein Instrument/Portfolio gegenüber Änderungen der seinen Wert bestimmenden Parameter, desto ‚riskanter‘ ist es
Sensitivitäten sind zu managen (Limite, Zielwerte)– Exposure-Profil ist zu bestimmen ...
– Option Pricing, Taylor Approximation, Greeks– ... und zu managen
– dynamic hedging („dynamic“, da instabile Sensitivitäten)
– dynamic hedging– Hedgeparameter sind die Sensitivitäten (greeks) bezüglich verschiedener
Risikofaktoren– sie können verwendet werden, um Hedgeportfolios mit erwünschten
Eigenschaften zusammenzustellen
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 79
Exkurs Optionspreisbestimung (1)Optionsbewertung
Restlaufzeit
Basispreis
Preis des Underlyings
risikofreierZins
Volatilität
Innerer Wert
Zeitwert„Aufgeld“
Prämie
Nachfrage
Angebot
stoc
hast
isch
e K
ompo
nent
edete
rmin
istis
che
Kom
pone
nte hierfür wird kein Options-
preismodell benötigt!!!
‚nur‘ hierfür wird ein Options-preismodell benötigt!!!
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 80
Exkurs Optionspreisbestimmung (2)Optionswert
– innerer Wert– Wert, den die Option bei sofortiger Ausübung hätte– abhängig vom Preis des Underlyings
– Zeitwert– Differenz zwischen innerem Wert und Optionswert– nimmt mit der Laufzeit ab (am Verfalltag = 0)– kumulativ (wechselseitig) abhängig von
– der Volatilität des Underlyings– der Laufzeit– dem risikolosen Zins– ggfs. Dividenden- bzw. Kuponzahlungen des Underlyings während der
Optionslaufzeit– Optionswert-Funktion hat ...
– ... deterministische Parameter– X: Ausübungspreis (kein Risikofaktor, da konstant; Vertragsbestandteil)– τ: Restlaufzeit (zwar variable, aber nicht stochastisch; Vertragsbestandteil)
– ... stochastische Parameter– S0: spot-Underlying-Preis– σ: Volatilität des Underylings-Preises– r: risikofreier Inlands-Zinssatz– rf: risikofreier Auslands-Zinssatz – q: Dividendenrate
– lokales Exposure-Profil: ...dττfdσ
σfdrf
rffdr
rfdS
S21dS
Sfdf 2
2
2+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Approximation der nichtlinearen Funktion durch lineare und quadratische Polynome (Taylor!)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 81
Exkurs: Optionspreisbestimmung (3a)Black/Scholes
– Call:
– Put:
– Put-Call-Parität:– je nach Basiswert sind die Haltekosten b der allgemeinen
Black/Scholes-Formel entsprechend zu modifizieren:
)()(0 21)( dXedeSc rrb Φ−Φ= −− ττ
)(0)( 1)(
2 deSdXep rbr −Φ−−Φ= −− ττ
Verteilung-n(0,1) der tionDichtefunkVerteilung-N(0,1) der sfunktionVerteilung Φ
τσdd und τσ
τ2σb
XS0ln
d 12
2
1
==
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
φrτr)τ(b XeS0epc −− −=−
spielen Sie mit dem Excel-Beispiel; entdecken Sie Zusammenhänge...(die Beispiele/Graphiken beziehen sich sämtlich auf die o.g. Eingabeparameter)
Eingabeparameter HilfswerteS0 210 Kurs d1 0,62784127 N(d1) 0,734946099tau 0,5 Restlaufzeit d2 0,48641992 N'(d1) 0,327577417sig 0,2 Volatility N(d2) 0,686665262X 200 Basispreis N(-d2) 0,313334738r 0,06 Zins (stetig) b 0,06q 0 Dividendenrate (stetig) *Haltekosten möglicher Underlyings:rf 0 Zins_Ausland (stetig) b=r - Aktie ohne Dividendenzahlung
b=r-q - Aktie mit stetiger Dividendenrate qb=r-rf - Devise mit Auslandszinssatz rf
Black ScholesWert Delta Gamma Theta Vega Rho innerer Wert Zeitwert
Call 21,0644 0,7349461 0,01103011 -17,7250078 48,6427647 66,6371237 15,91089329 5,1535
Put 5,1535 -0,2650539 0,01103011 -6,07966138 48,6427647 -30,4074297 0 5,1535per Put-Call 5,1535
Excel/BlackScholes
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 82
Exkurs: Optionspreisbestimmung (3b)Greeks via FinCAD
– ...Validierung der selbstgestrickten Excel-Lösung
aaBSunderlying price 210exercise price 200expiry date 5-Jan-2005value (settlement) date 9-Jul-2004volatility 20,000%risk free interest rate 6,000%option type 1 callstatistic 1 fair valuediscounting method 2 continuously compounded rateaccrual method 2 actual/360
fair value 20,99763999delta 0,736048746gamma 0,011082904theta -0,049043255vega 0,482060795rho 0,658714175
fair value 5,086746702delta -0,263951254gamma 0,011082904theta -0,01669507vega 0,482060795rho -0,298437584
CALL
PUT
call
fair value
continuously compounded rate
actual/360
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 83
Exkurs: Optionspreisbestimmung (3c)(long-Positionen)Call
Put
21,0644 15,9108933 5,1535 0100 0,0000 0,0000 94,0891 94,0891110 0,0001 0,0000 84,0892 84,0891120 0,0019 0,0000 74,0910 74,0891130 0,0152 0,0000 64,1043 64,0891140 0,0827 0,0000 54,1718 54,0891150 0,3252 0,0000 44,4143 44,0891160 0,9833 0,0000 35,0724 34,0891170 2,4056 0,0000 26,4947 24,0891180 4,9588 0,0000 19,0479 14,0891190 8,9036 0,0000 12,9927 4,0891200 14,3118 5,9109 8,4009 0,0000210 21,0644 15,9109 5,1535 0,0000220 28,9169 25,9109 3,0060 0,0000230 37,5830 35,9109 1,6721 0,0000240 46,8011 45,9109 0,8902 0,0000250 56,3661 55,9109 0,4552 0,0000260 66,1352 65,9109 0,2244 0,0000270 76,0179 75,9109 0,1070 0,0000280 85,9604 85,9109 0,0495 0,0000290 95,9332 95,9109 0,0223 0,0000300 105,9207 105,9109 0,0098 0,0000310 115,9151 115,9109 0,0042 0,0000320 125,9127 125,9109 0,0018 0,0000330 135,9116 135,9109 0,0007 0,0000340 145,9112 145,9109 0,0003 0,0000350 155,9110 155,9109 0,0001 0,0000360 165,9109 165,9109 0,0000 0,0000370 175,9109 175,9109 0,0000 0,0000380 185,9109 185,9109 0,0000 0,0000390 195,9109 195,9109 0,0000 0,0000400 205,9109 205,9109 0,0000 0,0000
Call-Werte Put-WertePrämie Prämie Innerer Innerer
Long-Call (europäisch)
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,0035,0040,0045,0050,0055,0060,00
130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
Underlying
Cal
lWer
t
D=0
D~0,5
D=1
Long-Put (europäisch)
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,0035,0040,0045,0050,0055,0060,00
130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
Underlying
Put-W
erte
D=0
D~-0,5
D=-1
Excel/BlackScholes
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 84
Hedging with Options: Protective PutSynthetic call: Bond + Put
– effective minimum values:– Put 95 =?– Put 100 =?– Put 105 =?
P&L
0
Long Bond
Long Put
100
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 85
Hedging with Options: Covered CallBond + short Call
– effective maximum value:– Call 100 =?
P&L
0
Long Bond
Short Call
100
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 86
Optionssensitivitäten (1)Risk Management
– Option-Pricing ist die Bestimmung des Barwertes der Option– Option-Hedging
– Hedging: Sensitivität_Grundgeschäft = Sensitivität_Sicherungsgeschäft– benutzt partielle Ableitungen
– Risk Management – kombiniert Option-Pricing und Options-Hedging …
– … hinsichtlich der potenziellen Veränderungen der Risikofaktoren– es werden die Summen lokaler Preisbewegungen betrachtet
– Sensitivitäten können aggregiert werden
– um das Delta-Risiko zu hedgen, ist es ausreichend, nur die Nettoposition „Delta“abzusichern (-> Risk Warehouse); dies ist effizienter, als jedes Instrument einzeln zuhedgen
Risk Warehouse
Portfolio im i Typ vom Optionen an Anzahlx
wobei;ΔxolioDeltaPortf
i
N
1iii
=
×= ∑=
Portfolio A Portfolio B Portfolio C Portfolio D Portfolio E TotalDeltaGammaVegaThetaRho
Total
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 87
Optionssensitivitäten (2)Fragestellung
– wie ändert sich der Wert einer Optionsposition, wenn sich …– ein Risikofaktor (bei gleichzeitiger Konstanz aller anderen) Risikofaktoren
(„ceteris paribus-Bedingung“) ändert? – dies ist die zentrale Frage für den Handel mit Optionen und das Risikomanagement– die Auswirkungen kleiner Änderungen lassen sich durch die partiellen Ableitungen
berechnen– partielle Ableitungen sind Sensitivitäten der Position bezüglich der relevanten Parameter– diese werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet:
die Auswirkungen großer Änderungen kann nur durch Neubewertung der Position ermittelt werden
Symbol Name Definition Bedeutung InterpretationΔ Delta
SV
∂∂ Preisänderung aufgrund Änderung des Underlying-
SpotkursesDelta = 0,8: steigt der Basispreis um 1 €, so steigt dieOptionsprämie um ca. 0,8 €
Γ Gamma2
2
SV
∂∂ Deltaänderung aufgrund Änderung des Underlying-
SpotkursesGamma = 0,05: steigt der Basispreis um 1 €, so steigt dasDelta um ca. 0,05 € auf 0,85 €
Ψ Vegaσ∂
∂V Preisänderung aufgrund Änderung der Underlying-Volatilität
Vega = 25: steigt die Vola um 1 %-Punkt , so steigt dieOptionsprämie um ca. 25/100 € = 0,25 €
Θ ThetatV
∂∂ Preisänderung aufgrund Änderung der Underlying-
RestlaufzeitTheta = -5: sinkt die Restlaufzeit um 1 Tag reduziert sichdie Optionsprämie um ca. 5/365 € = 0,01369 €
ρ RhorV
∂∂ Preisänderung aufgrund Änderung des risikolosen
ZinssatzesRho = 18: steigt der (risikolose) Zinssatz um 1 %-Punkt,so steigt die Optionsprämie um ca. 18/100 € = 0,18 €
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 88
Risikomanagement mittels Sensitivitäten– Sensitivitäten eines Finanzinstruments/eines Portfolios:
Sensitivität = Ableitung des Preises nach dem Risikofaktor- je empfindlicher ein Instrument/Portfolio, desto riskanter ist es
− Risikomanagement = Limitierung von Sensitivitäten - für ein Portfolio mit n A-Instrumenten und m B-Instrumenten gilt:
- aufgrund dieser Eigenschaft können Portfolios z.B. delta-neutral gemacht werden
delta-hedge− sind n, Δ(A) und Δ(B) gegeben, − kann m so gewählt werden, dass das Portfolio-Delta Null ist,
− m = -n Δ(A)/Δ(B) -> Hedge-Ratio
- es können auch mehrere Sensitivitäten zu „Null“ gemacht werden- es werden so viele verschiedene Hedge-Instrumente notwendig, wie Sensitivitäten zu
neutralisieren sind (siehe Beispiel)
'')()()( greeksanderefürauchgiltBmAnmBnA →Δ+Δ=+Δ
ätSensitivittorΔRisikofak
ΔPreistorΔRisikofakätSensitivitΔPreis =→×=
Portfolio Delta
Optionssensitivitäten (3)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 89
Hedge-Portfolio– zur ersten Call-Option (strike = 105) werden zunächst 2 weitere Optionen
(Call und Put) so hinzugefügt, dass Gamma und Vega des Gesamtportfolios Null sind
– danach wird durch Hinzufügen einer geeigneten Anzahl Underlyings auch noch das Portfolio-Delta neutralisiert
da das Underlying selbst weder Gamma noch Vega besitzt, wird die zuvor erreichte Neutralisation nicht wieder verletzt:
delta-, gamma- und vega-neutral („insensitiv“ gegenüber ‚kleinen‘ Preisänderungen)z.B. PortfolioDelta = 0
= (1*0,3887) –(5,39 *0,9073) +(1,12*-0,3557) +4,91*1
UnderlyingPrice
Strike[EUR]
MaturityDate
ValueDate Vola Rate Position
Price[EUR] Delta
Gamma[1/EUR]
Vega [EUR*years/%]
Theta[EUR/days]
Rho[EUR*years/%]
100 105 15.03.2006 5-Dec-2005 27% 3% 1 Call 1 3,59 0,388662 0,026965 0,199469178 -0,026638 -0,009822197100 80 30.04.2006 5-Dec-2005 27% 3% 1 Call -5,3989811 -110,36 -4,898318 -0,0473 -0,510837295 0,03829779 0,441434026100 95 30.06.2006 5-Dec-2005 27% 3% 2 Put 1,1220366 6,23 -0,399089 0,020334 0,311368117 -0,0198023 -0,035319344100 4,91 490,87 4,908744
390,33 0,00000 0,00000 0,000000 -0,0081425 0,396292484Underlying
Option Parameter Black-Scholes Results
Total Portfolio
Type
Beispiel: Risikomanagement mittels Sensitivitäten (1)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 90
Beispiel: Risikomanagement mittels Sensitivitäten (2)
„kleine“ vs „große“ Preisveränderungen
P(U) V(P) %change Delta(P) Gamma Delta+99 390,3282 -0,000175% 0,002086644 -0,004247 -0,002160100 390,3289 0 0 0,000000 0,000000101 390,3295 0,000165% 0,001939675 0,003807 0,005746
P(U) V(P) %change Delta(P) Gamma Delta+90 389,4791 -0,217702% 0,27134213 -0,06034 0,211004193100 390,3289 0 0 0 0110 390,8259 0,127335% 0,133161376 0,020611817 0,153773193
große Preisveränderungen
kleine Preisveränderungen
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 91
Risikomanagement mittels Sensitivitäten (3)dynamic hedging
– Portfolio-Sensitivität – Sensitivität eines Portfolios bzgl. eines Risikofaktors ist gleich der Summe
der Sensitivitäten seiner Bestandteile gegenüber diesem Risikofaktor
– Sensitivitäten sind Hedge Parameter1. die Handelsabteilungen bilden Hedge-Portfolios, um sich vor den Risiken
geschriebener Optionen zu schützen2. sie wollen wissen, wie sich der Wert ihres Portfolios ändert, wenn sich die
Risikofaktoren ändern1. da sich das Delta verändert, ist die Position nur eine relativ kurze Zeit Delta
abgesichert2. in der Praxis muss die Absicherung periodisch angepasst (‚rebalanced‘) werden,
d.h. das Ungleichgewicht beseitigt werden (dynamisches Hedging)3. genauso wie für Delta, …
1. kann ein Portfolio Gamma-, Theta-, Vega- und Rho-Neutral gemacht werden2. können auch mehrere Sensitivitäten des Portfolios zu Null gemacht werden
4. das Delta eines Forward-Kontraktes ist immer 1, d.h. dass sich der Wert des Forwardkontraktes in gleicher Höhe verändert, wie der Wert des Underlyings
– ein verkaufter Forwardkontrakt kann mithin durch den Kauf eines Underlyings abgesichert werden (und umgekehrt)
– da Delta immer 1 ist, müssen während der Kontraktlaufzeit keinerlei Änderungen an der Underlyingposition vorgenommen werden => Gamma = 0!!
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 92
Risikomanagement mittels Sensitivitäten (4)Gamma …
– erfasst die Veränderunggeschwindigkeit des Deltas– misst die Krümmung der nichtlinearen Optionspreisfunktion
– ist Gamma klein (groß), ändert sich Delta langsam (schnell)– dann müssen relativ selten (häufig) Anpassungen vorgenommen werden,
um die Delta-Neutralität zu wahren
– auch hier...– bleibt das Portfolio nur für eine kurze Zeit Gamma neutral bzw. muss
laufend Gamma-neutral adjustiert werden– lineare Finanztitel haben ein Gamma von Null (Delta ist konstant 1)
Delta-Gamma-Neutralität– bietet eine bessere Hedge-Performance
– insbesonders bei größeren Veränderungen des Underlyings
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 93
Risikomanagement mittels Sensitivitäten (5)
Hedge Performance
-6,00
-5,00
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00180 190 200 210 220 230 240 250
Preis des Underlyings
Wer
t des
Hed
ge-P
ortfo
lios
Delta-Hedge Delta-Gamma-Hedge
Delta- und Gamma-Neutrales Portfolio
Excel/DeltaGammaHedge
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 94
Delta (1)Definition
– gibt an, um wieviele Einheiten der Wert einer Position (ca.) steigt, wenn sich der Kurs des Underlyings um 1 Einheit erhöht
– es gilt:
Delta und Underlying– Calls:
– Optionen weit aus dem Geld (OTM) haben einen Wert von nahezu Null– die Wahrscheinlichkeit, dass sie verfallen ist hoch– geringfügige Preisänderungen des Underlyings ändern hieran nichts
– die Optionsprämie - bzw. das Delta - bleibt nahe bei Null– Optionen weit im Geld (ITM) haben einen (inneren) Wert
– die Ausübungswahrscheinlichkeit ist hoch– geringfügige Preissteigerungen des Underlyings lassen den inneren Wert um fast den
gleichen Betrag ansteigen– das Delta des Calls ist fast Eins
– Optionen am Geld (ATM) haben ein Delta von 0,5– die Prämie steigt folglich um 0,5 falls der Basiswert um 1 steigt
– zur Absicherung gegen Wertänderungen muss pro Option 1/2 Einheit des Basiswertes gekauft (Stillhalter) bzw. verkauft (Optionskäufer) werden
– Delta kann als Absicherungsverhältnis (hedge ratio) von Einheiten des Basiswertes pro Option interpretiert werden
– Puts:– OTM: Delta nahezu Null; ITM: Delta nahe - Eins; ATM: Delta ungefähr - 0,5
)(_
_1d
UnderlyingerungWertverändCallerungWertveränd
Φ=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 95
Delta (2)Delta und Zeit
– die Abhängigkeit des Deltas vom Preis des Underlyings ist zeitlich instabil
– der Anstiegsbereich von Delta wird mit Verkürzung der Restlaufzeit immer schmaler, d.h. die S-Form wird ausgeprägter
– sie reagiert bei OTM so gut wie gar nicht, bei ITM dagegen nahezu 1:1 auf Änderungen des Basiswertes
– je länger die Restlaufzeit, desto flacher verläuft die Delta-Funktion– sie reagiert relativ gleichförmig auf Kursveränderungen
auch wenn der Preis des Underlyings konstant bleibt, so ändert sich dennoch das Delta im Zeitablauf!
Delta-Funktion in der Zeit
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Underlying
Del
taw
ert
Delta_1_Tag Delta_1_Jahr
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 96
Delta (3)Ergebnisse
1. Calls reagieren gleichläufig, Puts gegenläufig auf Veränderungen des Basiswertes
2. Änderungen der Optionsprämie werden nie größer sein als die des Basiswertes
– Definitionsbereich Delta:– Call: 0 ≤ δ ≤ 1– Put: -1 ≤ δ ≤ 0
– Delta ist keine Konstante, sondern ist abhängig von– der relativen Lage des strikes im Verhältnis zum aktuellen Preis des
Underlyings– der Restlaufzeit der Option
3. Delta kann als Absicherungsverhältnis (hedge ratio) von Einheiten des Basiswertes pro Option interpretiert/genutzt werden
4. eine Option verhält sich bei einem Delta von nahezu Eins wie dasUnderlying
– Optionsgeschäft konvertiert zu einem Festgeschäft
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 97
GammaGamma (Calls + Puts)
– gibt an, um wieviele Einheiten (ca.) Delta steigt, wenn sich der Kurs desUnderlyings um 1 Einheit erhöht:
– zwei wesentliche Eigenschaften1. Gamma ist für eine ATM-Option am größten, d.h. dort ändert sich Delta am
schnellsten; die Spitze des Gamma konzentriert sich somit ungefähr um denstrike
– das Delta ändert sich wenig, wenn die Option weit im oder weit aus dem Geld ist; in diesen Bereichen ist das Gamma somit nahe Null
2. mit Verringerung der Restlaufzeit wird Gamma für eine ATM-Option immer größer (steiler):
– im Black-Scholes-Fall haben Calls und Puts das gleiche Gamma
1____
umUnderlyingerungWertverändDeltaerungWertveränd
Gamma-Funktion in der Zeit
0,00000,01000,02000,03000,04000,05000,06000,07000,08000,09000,1000
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Underlying
Gam
maw
ert
Gamma_1_Tag Gamma_1_Jahr
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 98
+ 0 -+ Call long Underlying long Put short0 Straddle long Straddle short- Put long Underlying short Call short
Vorzeichen Gamma
Vor
zeic
hen
Del
ta
Typische Positionen
long options = positives Gammashort options = negatives Gamma− hierfür erhält der Verkäufer eine Prämie
– Exposure Profil bei Optionen ist stark asymmetrisch– bedingt ein entsprechendes „Risk Management“
Gamma misst die ‚Instabilität‘ eines Delta-Hedges
Delta/Gamma (1)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 99
Delta-Gamma (2)
Taylor‘sche Näherungslösung ist unbrauchbar bei...– großen Veränderungen der Risikofaktoren (siehe Grafik)– ausgeprägten nicht-linearen Exposures, z.B.
– Optionen kurz vor Fälligkeit– exotische Optionen
dann ‚Full Revaluation‘:
Long-Call (europäisch)
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
55,00
60,00
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
Underlying
Cal
lWer
t
De lta geschätzt
De lta + Gam m a geschätzt
aktue lle r Pre is
)τX,,σ,q,rf,r,f(S)τX,,σ,q,rf,r,f(Sff 000000TTTTTT0T −=−
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 100
Vega (1)Vega (lambda, kappa)
– gibt an, um wieviele Einheiten der Wert einer Position steigt, wenn sich die Volatilität um eine Einheit erhöht
– Vega wird meist durch 100 dividiert angegeben; es verrät dann dieWertänderung der Position, wenn die Volatilität um einen Prozentpunkt steigt
– im Black-Scholes-Fall haben Calls und Puts das gleiche Vega– Veränderung von Vega
– mit abnehmender Restlaufzeit wird Vega immer kleiner– der Verlauf von Vega ähnelt dem von Gamma
– ATM ist das Volatilitätsrisiko am größten– bei Optionen am Geld ist die Ausübung bis zum Schluß unsicher
– je weiter die Option im Geld oder aus dem Geld ist, desto sicherer ist es, ob sie ausgeübt wird oder nicht
– je sicherer die Ausübung ist, desto näher ist der Optionswert am inneren Wert, d.h. desto geringer ist der Zeitwert
– der Optionswert ist dann weniger sensitiv bezüglich Änderungen anderer Parameter wie z.B. hinsichtlich der Volatilität, d.h. das Vega ist klein
– mit Erhöhung der Volatilität erhöht sich die Spanne des wahrscheinlichenUnderlyingspreises; der Optionswert steigt stark mit steigender Volatilität, d.h. das Vega von Optionen am Geld ist groß
– Beispiel:– Vega = 10 Mio; die Vola steigt von 13 % auf 15 %
– der Wert der Position steigt um 100.000, falls die Volatilität um 1 %-Punkt steigt
– P&L ist 0,02 * 10 Mio = 200.000
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 101
Vega (2)Vega-Verlauf
Volatilität Festgeschäft vs Option– während beim Future mit der Vola zugleich Chancen und Risiken steigen, – verbessern sich beim Optionsrecht allein die Chancen...
– die Risiken werden durch Verzicht auf Ausübung/Zahlung einer Prämie eliminiert
Vega
0
10
20
30
40
50
60
100 150 200 250 300
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 102
Theta (1) Theta
– gibt an, um wieviele Einheiten der Wert einer Position steigt, wenn eine Zeiteinheit verstreicht
– Theta bezieht sich (meist) auf die Zeiteinheit 1 Tag– Optionen werden mit der Verringerung der Restlaufzeit immer weniger
wert– dies ergibt sich aus dem asymmetrischem Risikoprofil einer Option:
– je länger die Laufzeit einer Option, desto größer ist die Spanne (hoher/niedriger) Kurse des Underlying am Verfalltag - d.h. die Eintrittswahrscheinlichkeit sehr hoher und sehr niedriger Kurse
– allerdings: der Wert einer Option aus dem Geld ist am Verfalltag immer Null -unabhängig davon, wie weit aus dem Geld:
– während eine Option tief im Geld mehr wert ist als eine Option, die nur knapp im Geld ist, nimmt der Wert einer Option zu, je größer die Spanne der möglichen Werte am Verfalltag ist da diese Spanne mit der Zeit abnimmt, ist Theta negativ
– bei sonst unveränderten Bedingungen führt dies– zu einem Bewertungsgewinn beim Options-Verkäufer (τ > 0) und– zu einem Bewertungsverlust beim Options-Käufer (τ < 0)
– dies gilt sowohl für die Call- wie für die Put-Option
– der Verfall der Optionsprämie verläuft allerdings nicht proportional zur Zeit, sondern beschleunigt sich im Zeitablauf
– für eine ATM-Option ist der Zeitwert am höchsten, so dass der Zeitwertverlust hier am größten ist
– Theta verhält sich entgegengesetzt zu Gamma
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 103
Theta (2)Theta
– mit Verfall des Optionsrechtes wird der Zeitwert auf Null abgebaut
– dieser automatisch eintretende Zeitwertverfall wird durch Thetabeschrieben:
Optionswert_Call Long = f(Zeit) [strike=200; S_aktuell=210]
9,00
11,00
13,00
15,00
17,00
19,00
21,00
23,00
0% 20% 40% 60% 80% 100%
verbrauchte RLZ
Opt
ions
wer
t
)Zeit(RestlauftOptionswerΘ
−∂∂
=
)()(2
)('CΘ 211
Call_eur dNeKrdNeSrdNeS rrrt
×××−×××+×
×××−=
∂∂
−= ×−×−×−
τττ
τσ
τ
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 104
Theta (3)Beispiel:
– Theta: -3,6 Mio EUR– Interpretation: nach 1 Tag ist die Position ca. 3,6 Mio/360 = 10000
EUR weniger wert
Theta-Verlauf– ...als Funktion des Underlying-Preises– ...Laufzeit = 0,5 Jahre; strike = 200
Zeitwertverlust ist ATM am größsten
– kein Risikofaktor (deterministische Größe)– Theta ist grundsätzlich negativ
Optionswert verliert ‚mit der Zeit‘ an Wert
Theta
-20
-15
-10
-5
0
5
100 150 200 250 300
-17,7250078100 -0,00014302110 -0,00285114120 -0,02955624130 -0,18259278140 -0,74441738150 -2,1657668160 -4,78126901170 -8,4159617180 -12,3065806190 -15,4884657200 -17,3188562210 -17,7250078220 -17,0832139230 -15,9245681240 -14,6925937250 -13,6449123260 -12,8702952270 -12,3529914280 -12,0339683290 -11,8495856300 -11,7486408310 -11,6958598320 -11,6693297330 -11,6564413340 -11,6503629350 -11,6475693360 -11,6463141370 -11,6457611380 -11,6455217390 -11,6454196400 -11,6453767
theta
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 105
RhoRho
– gibt an, um wieviele Einheiten der Wert einer Position steigt, wenn sich der Zinssatz um eine Einheit erhöht
– Eigenschaften– Rho ist positiv für Calls und negativ für Puts– Rho steigt (absolut) mit steigenden Zinsen
– Rho wird üblicherweise durch 100 dividiert angegeben– es verrät dann die Wertänderung der Position, wenn der Zins um einen
Prozentpunkt steigt– Rho und Zeit
– je größer die Restlaufzeit und je weiter ITM desto größer das Zinsrisiko (rho)
– Beispiel:– rho = 2 Mio; der Zinssatz steigt um 5 Basispunkte
– der Wert der Position steigt um 20.000, falls der Zinssatz um 1 %-Punkt steigt
– P&L ist 0,05 * 0,01 * 2 Mio = 1000
%1____
umZinssatzAnstiegmieOptionspräÄnderung
Rho
0
50
100
100 150 200 250 300
Excel/Options-sensitivitäten
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 106
Optionssensitivitäten im ÜberblickInterpretationen
– long Underlying: Bewertungsänderungen laufen parallel (+‚1‘) zu Preisänderungen
– da delta konstant bleibt, ist Gamma null– erwartete Preisschwankungen sind bewertungstechnisch irrelevant; Vega ist null– bezüglich Theta und Rho fehlen bewertungstechnische Details des Underlyings
– long call: Bewertungsänderungen laufen in gleicher Richtung wie der Basiswert (δ > 0)
– im Zeitablauf muss aber mit Wertverlusten gerechnet werden (τ < 0)– ein Zinsanstieg erhöht die Vorteilhaftigkeit des calls im Vergleich zu direktem Kauf
des Basiswertes, da die Opportunitätskosten steigen (ρ > 0)
– Parallelen in den Vorzeichen:– long Optionen gewinnen an Wert bei steigender Volatilität
– und verlieren im Zeitablauf– short Optionen verlieren an Wert bei steigender Volatilität
– und gewinnen im Zeitablauf– long call und short put sind hinsichtlich der Exponierung gegenüber dem
Basiswert vom Vorzeichen her vergleichbar
Position Delta Gamma Vega Theta Rholong Underlying + 0 0 ? ?short Underlying - 0 0 ? ?long call + + + - +short call - - - + -long put - + + - -short put + - - + +
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 107
(Standard-)Normalverteilung (1)Bedeutung
– Summe von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen– ... strebt gegen die Normalverteilung (zentraler Grenzwertsatz)
– daher wird die Normalverteilung in vielen statistischen Modellen als Verteilung von nicht erklärten Störgrößen verwendet (siehe Regressionsanalyse)
– auch in anderen Fällen tritt die Normalverteilung als Grenzverteilung auf (siehe Binomialverteilung)
– ist X normalverteilt, ist auch Y = aX+b wieder normalverteilt– ... eine Linearkombination von unabhängigen normalverteilten
Zufallsvariablen (Risikofaktoren, z.B. spot rates) ist wieder normalverteilt– um jeweils die entstehende Verteilung zu ermitteln, ist immer nur der
Erwartungswert und die Varianz zu bestimmen
– Value at Risk (Bankenaufsicht)– wird eine Standardnormalverteilung der Risikofaktoren unterstellt
– … so muss der jeweilige Risikowert (z.B. Preis-Vola: modDuration * Volatilität) mit 2,33 multipliziert werden,
– …um den Anforderungen nach einem 99%-Konfidenzniveau gerecht zu werden
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 108
(Standard-)Normalverteilung (2)Dichtefunktion
– „Sigma-Bänder“ P(μ-σ < x ≤ μ+σ) – 1 σ = 0,6827 (2/3)
– entspricht der Fläche zwischen -1 und +1 unterhalb der Dichtefunktion– aufgrund der Symmetrie der Verteilung gilt:
– eine normalverteilte Zufallsvariable nimmt jeweils mit einer W‘ von (1-0,6827)/2 = 0,1586 (=1/6) einen Wert an, der kleiner ist als μ-1σ bzw. größer ist als μ+1σ
– 2 σ = 0,9545– 3 σ = 0,9973
die W‘, dass eine normalverteilte Zufallsvariable z einen Wert zwischen 2 Zahlen x(1) und x(2) annimmt P(x(1) < z <= x(2)),...
– …ist durch die Fläche zwischen x(1) und x(2) unterhalb der Dichtefunktion gegeben
– …im Fall der standardisierten Normalverteilung wird diese W‘ mit N(x) bezeichnet. Aufgrund der Symmetrie der Verteilung gilt N(-x) = 1-N(x)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 109
Standardnormalverteilung F(x)
0,00000,10000,20000,30000,40000,50000,60000,70000,80000,90001,0000
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Dichtefunktion f(x)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(Standard-)Normalverteilung (3)Dichte- vs. Verteilungsfunktion
P(x≤ 2)
P(x> 2)P(x<-2)
P(-2 < x ≤ 2)
x N(x) N(-x) = 1-N(x) 2*N(x)-10 0,5 0,5 0,00000000
0,2 0,57925969 0,420740313 0,158519370,4 0,6554217 0,344578303 0,310843390,6 0,72574694 0,274253065 0,451493870,8 0,78814467 0,211855334 0,57628933
1 0,84134474 0,15865526 0,682689481,2 0,88493027 0,115069732 0,769860541,4 0,91924329 0,080756711 0,838486581,6 0,94520071 0,054799289 0,890401421,8 0,96406973 0,035930266 0,92813947
2 0,97724994 0,022750062 0,954499882,2 0,9860966 0,013903399 0,972193202,4 0,99180247 0,008197529 0,983604942,6 0,99533878 0,004661222 0,990677562,8 0,99744481 0,002555191 0,99488962
3 0,99865003 0,001349967 0,997300073,2 0,9993128 0,000687202 0,998625603,4 0,99966302 0,000336981 0,999326043,6 0,99984085 0,000159146 0,999681713,8 0,99992763 0,00007237 0,99985526
4 0,99996831 0,00003169 0,99993663
(1) (2) (1) - (2)
(1)(2)
Excel/Normalverteilung
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 110
Exkurs: (a) Wahrscheinlichkeit einer Rendite berechnen– erwartete Rendite = 8 %; Standardabweichung = 6 %– wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine Rendite > 12 % zu erzielen?
– Standardnormalverteilung: erwartete Rendite = 0; Standardabweichung = 1– ‚normalisierte‘ Abweichung ‚z‘:
– Tabelle „Normalverteilung“: 0,67 = 74,75 % (siehe letzte Folie)– ABER: dies ist der Wert für £ 12%!– Wahrscheinlichkeit für Rendite > 12 %: 1-0,7475 = 25,25 %
– (b) Value at Risk– welches ist der größte Werteverlust, wenn (z.B.) 5 % der allerschlechtesten
Fälle ‚ausgeklammert‘ werden? – VaR ist in der Terminologie der Statistik im wesentlichen (nur) ein Quantil der
Verteilung der Wertveränderung
(Standard-)Normalverteilung (4)
67,06
812≈
−=
−σ
μX
Verteilungsfunktion
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1,65
0,05
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 111
Log-Normalverteilung
+ 10 % -10%110
100 9990
-10% + 10%
"Die Verteilung der relativen Kursänderungen ist symmetrisch, nicht
aber die der Kurse selbst"
"Aus dem Durchschnitt der relativen Kursänderungen (arith. Mittelwert) kann
nicht unmittelbar auf den Durchschnitt des Kurses (Erwartungswert) geschlossen
werden"
100*(1+0,1)*(1-0,1)=99
Zufallsvariable X [Aktienkurse] ist log-normalverteilt, wenn ihr natürlicher Logarithmus Y=ln(X) [Aktienrendite] normalverteilt ist
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 112
Verteilungstypen werden durch Parameter charakterisiert– Lage (1. Moment):
– Erwartungswert (mean); Schwerpunkt einer W‘verteilung– Dispersion (2. Moment):
– Varianz (variance), Standardabweichung (standard deviation)
– Schiefe (3. Moment):– (skewness) bei Normalverteilung = 0 (w/Symmetrie)
– Wölbung (4. Moment):– (kurtosis) bei Normalverteilung = 3 (wenn > 3 = leptokurtisch; „fat tails“)
Schiefe und Wölbung werden dazu verwendet, um Abweichungen einer Verteilung von einer Normalverteilung quantitativ zu beschreiben
Verteilungsparameter (1)
linkssteil oder rechtsschief
rechtssteil oder linksschief
symmetrisch
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 113
Verteilungsparameter (2)
E[X], Var[X]unbekannt
mit einer FormelE[X], Var[X]
schätzen
Daten aus Zufallsexperiment
Grundgesamtheit StichprobeX x1, x2, ..., xn
Rückschluss auf unbek. Parameter
x1, x2, ..., xn sind Realisationen einer ZufallsvariablenFolglich sind auch die Schätzungen für Erwartungswert und Varianz
(aus Vergangenheitsdaten) Realisationen von Zufallsvariablen
... dann ist auch Value at Risk eine Zufallsvariable!
Exkurs: Stichprobe und Grundgesamtheit
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 114
Normalverteilung und Extremwertverhalten (1)
die Wölbung im Zentrum der Verteilung ist stärker ausgeprägtdie Flanken sind dicker (fat tails)
kleine und sehr große Renditen = größere W‘ als die Normalverteilungmittlere Renditen = geringere W‘ als die Normalverteilung
für das Risikomanagement ist insb. die große W‘ stark negativerAusschläge von Bedeutung!
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 115
Value at Risk und extreme Werte– VaR misst die Höhe möglicher Verluste aufgrund von Preis-
schwankungen an den Finanzmärkten– „maximaler“ Verlust, der bis zum Ende einer vorgegebenen Haltedauer (z.B.
10 Handelstage) mit einer bestimmten (Vertrauens-)Wahrscheinlichkeit (z.B. 99 %) nicht übertroffen wird
– formal: Prob (VT > [V0 - VaR]) = p (hier: 1 %)– mit VaR = StdAbw (VT) * N-1(p) = V0 * T0,5 * StdAbw * N-1(p)– in einer normalverteilten Zufallswelt ist der VaR ein bestimmtes Quantil (z.B. -2,33)
der Portfolio-Standardabweichung:
– Beispiel Aktienportfolio, das weitgehend der Entwicklung des DAX folgt– Jahres-Vola = 25 %; Tages-Vola = 0,25/2550,5 = 1,6 %– VaR_1 Tag (Konfidenzniveau p = 99 %): 1,6 % * 2,33 = 3,7 % des aktuellen
Portfoliowertes– im Durchschnitt muss an 2,5 Tagen im Börsen-Jahr mit einem Tagesverlust von
mehr als 3,7 % gerechnet werdenempirische Finanzmarktforschung kann jedoch diese Normalverteilungs-hypothese nicht bestätigen
Normalverteilung und Extremwertverhalten (2)
Dichtefunktion f(x)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
VaR
1 %
a 10-day VaR at 99% of $20 million means ...
... that our market portfolio will incur a loss of $ 20 million or more with probability 1 % by the end of a 10-day holding period, if the composition remains fixed over this period
(McNeil/Frey/Embrechts 2005, S. 11)
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 116
Extremwertverhalten– die W‘ für eine negative Abweichung um mehr als 5 StdAbw vom
Mittelwert beträgt bei einer Normalverteilung ca. 1 : 3.000.000– d.h. mit einem solchen Ereignis wäre nur alle 12000 Jahre (zu je 250
Handelstage) zu rechnen
empirische Erfahrungen– geschätzte Tagesvola des DAX beträgt ca. 1,6 %
– d.h. 5 StdAbw führen zu einem Tagesverlust von ca. - 8 %– Anschlag auf das World Trade Center am 11.9.01: - 8,5 %– Gorbatschow-Putsch 19.8.91: -9,4 %– Börsencrash 19.10.87: -9,4 %
die Häufigkeit extremer Ausschläge steht im Widerspruch zu der sich aus der Normalverteilung ergebenden Wahrscheinlichkeitseinschätzung
– Schätzverfahren für den VaR, die von der Normalverteilungannahmeausgehen, liefern bei einem entsprechend hohen Konfidenzniveau (ca. 99 %) regelmäßig zu kleine VaR-Kennziffern
– Praxis: ergänzendes Stresstesting, bei dem hypothetisch extreme Marktschwankungen unterstellt werden, um daraus ergebende Auswirkungen auf das Portfolio zu analysieren
– Theorie: Extreme Value Theorie
Normalverteilung und Extremwertverhalten (3)
Excel/Normalverteilung
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 117
Volatilität– Volatilität ist ein Maß für die durchschnittlich jährlichen relativen
(stetigen) Wertschwankungen um ihren Mittelwert– Volatilität wird üblicherweise geschätzt, indem historische
Beobachtungen genutzt werden (historische Vola)– historische Vola: Maß für die Wertschwankungen in der Vergangenheit (z.B.
in den letzten 20 oder 250 Tagen); im Gegensatz zur ...– impliziten Vola: Maß für die Wertschwankungen in der Zukunft (Laufzeit einer
Option). Sie ist als zukünftige Größe ‚zunächst‘ unbekannt; über die vereinbarten Optionsprämien sind sie jedoch ermittelbar
historische Vola: Standardabweichung berechnen (Tagesbasis)– Beispiel
Volatilität (1)
Zeit KursTag(i) K(i) stetige Rendite Varianz
1 1002 101 0,995% 0,0099%3 102 0,985% 0,0097%4 102 0,000% 0,0000%5 101 -0,985% 0,0097%6 101 0,000% 0,0000%7 99 -2,000% 0,0400%8 98 -1,015% 0,0103%9 96 -2,062% 0,0425%
10 100 4,082% 0,1666%Summe 0,000% 0,2888%Mittelwert 100 0,000% 0,0361%
1,8999%30,04%
Volatilität = Std.Abw. p.d. * Wurzel(250)
Std.Abw. = 1,89 % p.d.
Excel/histVola
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 118
Volatilität (2)Schritte
1. ausgehend von (täglichen) Kursdaten die Periodenrenditen berechnen:
2. die Standardabweichung der Periodenrenditen berechnen:
3. diese an den Zeithorizont anpassen (scaling of volatility) :– die Volatilität ist eine zeitlich normierte Standardabweichung auf p.a.!– unabhängig davon, wie groß der Stichprobenumfang n gewählt wurde,
bezieht sich eine auf Tagesdaten berechnete StdAbweichung auf den Zeitraum 1 (Börsen-)Tag– hinsichtlich der Umrechnung gilt, dass die einzelnen Perioden-
renditen unabhängig sind (r=0) und alle die gleiche Varianz besitzen
keine Umrechnung bei Tagesdaten, wenn auch der Zeithorizont 1 Tag istZeithorizont ist 1 Woche: Multiplikation mit WURZEL(5)Zeithorizont ist 1 Jahr (Option Pricing): Skalierung mit WURZEL(250)
„Wurzelgesetz“:
tttt
ttt SlnSlnR:)esBlackSchol(eilungNormalvertLogbei.bzw
SSS
R −=−−
= +++
+ 111
1
nxxxxxxsSchätzungzurführtDies
ersetzenxMittelchearithmetisdasdurchXEwertErwartungsXEXEVarianzunbekannte
n1*])(...)()[(:
.][];])[[(:
222
21
2
22
−++−+−=
−=σ
%33,412%15
.).
==
===
=×=
USD
Tpa
paTTpa
Vol
skalierenVolas-Monats-1 inVolasjährliche:Beispiel
apBörsentageT(day business pertVolatilitäVolt;VolatilitäjährlicheVolT
VolVol;TVolVol
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 119
Price-Vola vs. Yield-Vola– Zinsinstrumente
– Standardabweichung einer relativen Preisänderung (Preis-Volatilität)– Standardabweichung einer relativen Renditeänderung (Yield-Volatilität)
Volatilität (3)
today yield y
volapricePΔP
volayield yΔy
yΔyyMD
PΔP
ΔyMDPΔPor PΔyMDΔP
=
=
=
××−≈
×−≈××−≈
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 120
Exkurs: Portfolio-Volatilität– wie errechnet sich die Volatilität eines Portfolios von zwei zufälligen
Größen?– Varianz des Portfolios berechnen, wobei die Kovarianz zu berücksichtigen
ist (Diversifikationseffekt)!– anschliessend die Wurzel ziehen
– nicht die individuelle Volatilität ist letztlich entscheidend, sondern ...– ... die Volatilität des Gesamtportfolios bzw. der Beitrag einer Größe zur
Gesamtportfoliovolatilität (Korrelation zum Portfoliorest)
Volatilität (4)
[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]YXabCovYVarbXVaraPortfolioVola
YXabCovYVarbXVarabYaXVar
PortfolioVar
,2
,222
22
++=
++=+
=
Excel/KursVsRendite
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 121
Delta-Normal Methode (1)Portfolio
– ein Portfolio ist eine Kombination verschiedener Assets – das Portfoliorisiko kann deshalb wie das Risiko eines einzelnen
Finanzinstruments mit Hilfe der Standardabweichung der relativenBarwertschwankungen berechnet werden
– die Verbindung der einzelnen Portfoliobestandteile untereinander wird mit Hilfe der Korrelation hergestellt
– für die Berechnung des Portfoliorisikos sind die folgenden Komponenten notwendig:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] eile)Portfoliot einzelnen der bweichung Standardadie (enthält trixDiagonalmaσ...0:.:0...σ
:Σ
eilePortfoliot einzelnen der atrixKovarianzmVarianzσ...σ:.:σ...σ
:Cov
eilePortfoliot einzelnen der nsmatrixKorrelatio1...ρ:.:ρ...1
:Korr
eilePortfoliot einzelnen der eileBarwertant relativen der Vektora:
a:a
eilePortfoliot einzelnen der VaR der VektorVaR
:VaR
:VaR
m
1
2mm,1
m1,21
m,1
m1,
m
1
m
1
⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
−⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 122
Delta-Normal Methode (2)Portfoliorisiko
– Beziehungen– VaRi = λ * σi * Barwerti; für 1 ≤ i ≤ m– σi,j = σi * σj * ρi,j; für 1 ≤ i,j ≤ m
– ρi,j = 1; für i=j– Standardabweichung des Portfolios
– VaR des Portfolios
– aus den VaR der einzelnen Bestandteile des Portfolios kann das Portfoliorisiko berechnet werden
es muss „nur“ die Korrelationsmatrix vorliegen2-Asset-Fall
[ ] [ ] [ ]aCovaσ t ××=
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[VaR][Korr][VaR]
[a])ΣBarwert(λ[Korr][a])ΣBarwert(λ
aΣKorrΣaBarwertλ
aCovaBarwertλ
σBarwertλVaR
t
t
tt
t
××=
××××××××=
××××××=
××××=
××=
212,122
21 2 VaRVaRCovVaRVaRaRPortfolioV ×××++=
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 123
Delta-Normal Methode (3)Mapping
– ein Portfolio besteht aus einer Vielzahl an Finanzinstrumenten– es wäre zu aufwändig, für jedes Instrument getrennt VaR zu berechnen
– in diesem Fall ist ‚mapping‘ notwendig, d.h. ...die Finanzinstrumente werden durch ihre gemeinsamen (Haupt-)Risikofaktoren repräsentiertdiese Risikofaktoren werden anschließend Instrument-übergreifend aggregiert:
#1 #2 #3 #4 #5 #6
Finanzinstrumente: 1st level
#1 #2 #3Risikofaktoren: 2nd level
∑Risikoaggregation: 3rd level
orenRisikofaktdergenVeränderunΔfexposure)(dollarWährungExposureInx
mit
ΔfxertPortfolioW
i
N
1i1ti,ti,1tP,
==
=Δ ∑=
++
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 124
Kritik Delta-Normal MethodeVorteile
– Risk Metrics Daten– für die gängigsten Risikofaktoren stehen mit den Risk Metrics Daten von
J.P.Morgan sowohl Varianzen als auch Korrelationen zur VerfügungVaR-Schätzung einfach („Koch-Rezept“)
Nachteile– Annahmen
– das Verfahren hängt ab von der Annahme, dass sich die Risikofaktoren nach einem geometrischen Random Walk (Brownschen Bewegung) verhalten, d.h. normalverteilt sindaber: fat-tail-Problematik
– es werden mehrfach Näherungen benutzt (lineare Approximation wie „Wurzelgesetz“, Δ - Approximation)hierdurch schleichen sich Ungenauigkeiten ein
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 125
Historische Simulation (1)Grundidee
– via historischer Zeitreihen empirische Marktveränderungen aufdecken– diese Informationen werden zur zukünftigen Schätzung des VaR verwendet
Anwendung bei „full valuation“– die historischen Wertänderungen der Risikofaktoren werden auf den
aktuellen Portfoliowert angewandt– es resultieren m verschiedene (historische) Portfoliowertänderungen
– Δ F(ti) = [F(S1(t) + ΔS1(ti), ..., Sn(t) + ΔSn(ti))] - [F(S1(t), ..., Sn(t))] für i = 1, ..., m– diese Portfoliowertänderungen werden aufsteigend sortiert– zur Ermittlung des VaR werden die ungünstigsten Wertänderungen (a)
weggelassen– bei einer Historie von 250 Tagen, Δt = 10 Tagen und Konfidenzniveau von 95 %
ist... – m = 250 - 10 = 240– a => 240 * (1-0,95) = 12
– VaR ergibt sich durch die ungünstigste Portfolioänderung, die größer als Δ F(ta) ist:
Anwendung bei „delta valuation“– eine vollständige Neubewertung von Portfolien ist sehr zeitaufwändig
Δ F(ti) linear approximieren:
{ })()(|)(min,...,1 αtFtFtFVaR iimiF Δ≥ΔΔ=
=
∑= ∂
∂=Δ=Δ×Δ≅Δ
n
j jjijji S
FmitmifürtStF1
;,...,1)()(
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 126
Historische Simulation (2)Beispiel
– zu einem Kassa-Devisenportfolio PF = 4650 GE1 + 31200 GE2 der Währungen D1 und D2 …
– …ist gegeben...– Haltedauer Δ t = 1 Woche– Wahrscheinlichkeit p = 5 % – Beobachtungszeitraum b = 26 Wochen
1. hist. Preisänderungen berechnen
2. Portfolioänderungen ableiten– ΔVn = 4650 ΔS1
n+31200 ΔS2n
3. VaR (Rang) bestimmen– VaR = - ΔV[gT(26*0,05)+1] = - ΔV[2]
n
Preis-änderungWährung
D(1)
Preis-änderungWährung
D(2)Portfolio-änderung
Portfolio-änderung
RANG1 0,032 0,0446 1540,32 232 -0,14 -0,0219 -1334,28 33 -0,152 -0,0392 -1929,84 14 0,039 0,0059 365,43 155 0,18 0,0422 2153,64 266 0,084 0,052 2013 257 -0,049 0,0094 65,43 128 -0,097 -0,0391 -1670,97 29 -0,022 -0,0152 -576,54 9
10 -0,028 0,0267 702,84 1711 -0,06 0,0127 117,24 1312 -0,05 0,0011 -198,18 1113 -0,001 0,0062 188,79 1414 0,111 0,0239 1261,83 2215 0,07 0,0488 1848,06 2416 -0,012 0,0269 783,48 1817 0,037 -0,0317 -816,99 818 0,11 -0,0313 -465,06 1019 0,022 -0,0324 -908,58 520 -0,003 -0,0286 -906,27 621 -0,047 -0,02 -842,55 722 -0,044 -0,023 -922,2 423 0,164 0,0043 896,76 2024 0,216 0,0046 1147,92 2125 0,025 0,0227 824,49 1926 -0,055 0,0249 521,13 16
Excel/histSimulation
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 127
Kritik Historische SimulationVorteile
– unabhängig von Modellannahmen– es muss nicht unterstellt werden, dass sich die Risikofaktoren nach einer
geometrischen Brownschen Bewegung (Random Walk) verhalten– hierdurch gibt es keine „fat-tail-Problematik“
– Abhängigkeiten der Risikofaktoren untereinander (Korrelationen) werden nicht benötigt
Nachteile– aufwändige Datenbeschaffung/Datenhaltung bzgl. hist. Werte
– bei 2 Risikofaktoren und 250 Tagen Historie werden 500 historische Daten benötigt
– nach jedem Geschäft müssen die historischen Wertänderungen Δ F(ti) des Portfolios neu berechnet werden
– schwache statistische Grundlage– von m berechneten Wertveränderungen sind zur VaR-Bestimmung nur
m*(1-P) Werte relevant:– bei 250 Tagen Historie; Δ t von 10 Tagen und P = 99 % sind dies nur 2 Tage
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 128
Monte Carlo Simulation (1)historische Simulation ...
– ... und Monte Carlo Methode sind Simulationsverfahren– der Unterschied liegt in der Generierung der möglichen Veränderungen der
Risikofaktoren:– historische Simulation: Faktorveränderungen sind historisch bedingt
– gilt auch für die Varianz-Kovarianz-Methode– Monte Carlo Simulation: Faktorveränderungen folgen einer statistischen Verteilung
– bietet die Möglichkeit, auf der Basis statistischer Kenngrößen Zufallspfade für die Risikofaktoren zu bestimmen
– für verschiedene Risikofaktoren können verschiedene Verteilungsannahmen gemacht werden (z.B. Berücksichtigung von fat tails, Leptokurtosis)
– Erfassung der Konvexität („second order risks“)
– Vorgehen– es werden Zufallszahlen entsprechend der unterstellten Verteilung erzeugt
– mit diesen werden Szenarien von Veränderungen der Risikofaktoren simuliert– bzgl. aller erhaltenen Szenarien wird jeweils der Portfoliowert berechnet („full
valuation“)– diese werden sortiert, um daraus den VaR abzuleiten
– der VaR resultiert aus der statistischen Auswertung der so simulierten Portfoliowerte
– Beispiel: Excel/histSimulation
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 129
Monte Carlo Simulation (2)Schritte pro simuliertem Szenario
– bei n Risikofaktoren sind n unkorrelierte, standardnormalverteiltePseudo-Zufallszahlen Xi numerisch zu erzeugen
– mittels Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix werden aus den X1, ..., XnZufallszahlen Y1, ...,Yn erzeugt, die entsprechend der Kovarianzmatrixkorreliert sind
– die Wertänderungen der Risikofaktoren verhalten sich gemäß einer geometrischen Brownschen Bewegung
– dS = μSdt + σSdW– umgeformt:
– volle Portfoliowertveränderung– ΔFk = F(S1(T), ..., Sn(T)) - F(S1(t), ..., Sn(t)); k = simuliertes Szenario
– diese Simulation wird nun sehr oft durchgeführt, d.h. k = 1, ..., m– hieraus resultieren m simulierte Portfoliowertveränderungen
– wiederum werden zur Berechnung des VaR die ungünstigsten m(1-P) Wertänderungen ignoriert (=a); bei 10000 Szenarien, 95 % ist a = 500
– VaR ist gegeben durch die ungünstigste Wertänderung des Portfolios, die größer als Δ Fa ist, d.h.
n ..., 1, i für etS(T)S
YΔt2σμlnS(t)lnS(T)ΔlnS
YΔt2σμ
ii
i
2
2
=×=⇒
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−≡
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
;)(
{ }αFFFttPVaR iimiF Δ≥ΔΔ=Δ=
|min),,(,...,1
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 130
BewertungMethodenvergleich
VaR-(unterschiedliche) Wege– Delta-Normal-Methode
– Sensitivitäten ermitteln– P&L als Linearkombination von Zufallsvariablen darstellen – mit Hilfe der Kovarianzmatrix die Varianz des P&L ermitteln
– daraus VaR berechnen– RiskMetrics
– Sensitivitäten ermitteln– VaR für die einzelnen Einflussgrößen berechnen– diese über die Korrelationen aggregieren
– im Ergebnis kein Unterschied zur Delta-Normal-Methode!
Kriterien Delta-Normal Historische S. Monte-Carlo S.Bewertung Linear Full FullVerteilung
Kurveextreme Ereignisse
Normalverteilunggeringe W‘
aktuellsteckt in den Daten
jedemöglich
ImplementierungAufwand
VermittelbarkeitVaR-Genauigkeit
Nachteile
geringunproblematisch
hervorragend
nicht-Linearitätenfat tails
mittelunproblematisch
gering (bei kleinemZeitfenster)Ausreißer
hochproblematisch
gut
Model-Risiko
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 131
Stress-TestingVaR ...
– ... misst nicht den größtmöglichen Verlust, der vorkommen kann– daher muss VaR ergänzt werden durch Stress-Testing, um extreme
Ereignisse (auch) zu berücksichtigen
Stress-Testing – das Portfolio wird großen Marktbewegungen ausgesetzt– Alternativen:
– alle wichtigen Marktvariablen werden gleichzeitig verändert– unrealistisch, dass dieses Ereignis in der Realität eintreten wird
– es werden historische Ereignisse/Marktbewegungen genutzt– 1987 Crash, 2001 Crash, ...
– Generierung prospektiver Szenarien– „was wäre wenn ...“-Betrachtung; bezogen auf das individuelle Portfolio
– Ziel– keine 100%iger Schutz, aber
– sicherstellen, dass die Bank auch seltene Ereignisse ‚überlebt‘
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 132
Zielsetzung: Ermittlung der empirischen Überschreitungsrate– das verwendete Risikomodell ist bzgl. der Güte seiner Risikoprognose zu
validieren (Qualitätstest); Fragestellung:– wie oft weichen die tatsächlichen Handelsergebnisse vom geschätzten VaR (in
einer bestimmten Periode) ab?– ex post Tests von VaR und P&L-Veränderungen:
– Tag VaR Backtesting– 1 100 95– 2 85 90– 3 120 119– 4 130 132–
– wird hierbei das vorgegebene Konfidenzniveau verletzt?– Annahme einer 1-tägigen Haltedauer
– Test des Modells gegen IST-P&L und SOLL- P&L unter der Voraussetzung einer 1-tägigen buy-and-hold-Strategie
– 250-Tage-Vergleich, 99 % Konfidenzniveau, d.h. im Mittel 2,5 Ausnahmen falls der Verlust VaR überschreitet
– Test sind vierteljährlich durchzuführen– Aufsicht kennt ein 3 Zonen-Konzept (Ampelfarben)
– Gründe für die Abweichung– Modell erfasst das Risiko nicht adäquat (Volatilitäten/Korrelationen)– Modell ist verbesserungsbedürftig (zu wenig Laufzeitbänder)– Markt verhält sich anders als das Modell (Vola > Modell; Sprünge, ...)– Intraday-Handel (Strukturveränderungen: Verkäufe mit Verlust)
Back-Testing
2 Ausnahmen
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 133
Exkurs RiskMetricsTM (1)RiskMetrics
– Hintergrund– im Oktober 1994 stellte J.P.Morgan ihr Konzept RiskMetrics zur Messung
von Marktrisiken vor– es ist ein Ansatz zur Ermittlung des VaR für Portfolios bestehend aus
Wertpapieren unterschiedlicher Assetklassen– Konzept
– RiskMetrics geht davon aus, dass die Abhängigkeit des Preises von den Risikofaktoren F1,...,FN linear ist, d.h. mit den Gewichten (Volumina) w1,...,wN gilt:
mit dieser Definition lässt sich mittels des folgenden Abbildungsvektors
und der zu ΔFi/Fi - ΔFj/Fj gehörigen Korrelationsmatrix ∑ ein VaR berechnen mit:
iiii
N
ii
N
i iii
N
iii FwPwobei
FFP
FFFwPbzwFwP ×=
Δ×=
Δ××=Δ×= ∑∑∑
===
;.111
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
×
×
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
××
××
=
Δ
Δ
Δ
Δ
N
N
N
N
FFN
FF
FFNN
FF
P
P
Fw
Fw
vσ
σ
σ
σ1
1
1
1 111
Σvv′== ),...,( 1 NPPVaRVaR
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 134
Exkurs RiskMetricsTM (2)Parameter
– Konfidenzlevel– die zu verwendenden Volatilitäten sind entsprechend dem gewählten
Sicherheitsniveau z.B. mit dem Faktor 1,65 für 95 % zu multiplizieren– RiskMetrics geht durchgehend von einem Konfidenzlevel von 95 % aus
– alle von J.P.Morgan veröffentlichten Daten sind bereits mit dem Faktor 1,65 multipliziert
– Haltedauer– entsprechend dem gewünschten Zeithorizont werden tägliche (1 Tag)
bzw. monatliche (25 Tage) Volatilitäten von zur Verfügung gestelltRessourcen
– RiskMetrics unterscheidet 4 Asset-Klassen1. Fixed Income: die Risikofaktoren Fi sind die Diskontfaktoren von bis zu 16
unterschiedlichen Laufzeiten in 23 Ländern– zusätzlich wird zwischen Geld-, Swap- und Bondmärkten differenziert
2. Equities: die Risikofaktoren Fi sind die Preise der Aktienindizes aus 22 Ländern
3. Foreign Exchange: die Risikofaktoren Fi sind die Wechselkurse zum USD von 22 Ländern
4. Commodities: die Risikofaktoren Fi sind die Futurepreise von 11Commodities und bis zu 10 Laufzeiten; alle Preise auf USD-Basis
– ... wobei zu diesen Risikofaktoren die– Volatilitäten (auf Tages- und Monatsbasis) der Renditen und deren– Korrelationen veröffentlicht werden
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 135
Exkurs RiskMetricsTM (3)Beispiel
– es existiert ein Portfolio aus – einer in zwei Jahren fälligen Zahlung von 1 Mio. EUR und– 100 DAX-Indizes
– Wie hoch ist sein VaR für 1 Tag?– RiskMetrics-Daten
– EUR.Z02.VOLD,3.876000,0.940,0.184689,2.420143– EUR.SE.VOLD,NM,0.940,1.013703,ND– ...– EUR.Z02.EUR.SE.CORD,0.178398
– hieraus lassen sich folgende Daten ermitteln:– diskreter Zinssatz für eine 2jährige Anleihe (EUR.Z02) r = 3,876 %; der Diskontfaktor DF
ist somit (1+0,03876)-2=0,926765– Tagesvola der Rendite einer 2jährigen Anleihe (EUR.Z02) σΔDF/DF=0,184689%– Tagesvola der DAX-Rendite (EUR.SE) σΔDAX/DAX1,013703 %– Korrelation der Renditen ΔDF/DF und ΔDAX/DAX (EUR.Z02.EUR.SE.CORD)
ρ=0,178398– der aktuelle Kurs des DAX sei 2558,84 EUR
– Abbildungsvektor
– Korrelationsmatrix
– VaR =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
××
××
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
××
××
=Δ
Δ
Δ
Δ
63,171191,2593
1
1001
111
DFDF
DAXDAX
FFNN
FF
DFMio
DAX
Fw
Fw
v
N
Nσ
σ
σ
σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Σ
1178398,0178398,01
EUR93,3352=′Σvv „mit einer W‘ von 95 % verliert der Anlegerinnerhalb eines Tages höchstens 3352,93 EUR“
Mapping?!
Excel/RiskMetrics
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 136
Exkurs RiskMetricsTM (4)Mapping
– es ist unmöglich, für alle individuellen Restlaufzeiten Marktdaten für Renditen, Volatilitäten und Korrelationen zu ermitteln
Restlaufzeiten standardisieren (Vertices bilden)- RiskMetrics liefert Standard-Marktdaten, d.h. Restlaufzeiten für 30, 90, 180
Tage und 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 15, 20 und 30 Jahretatsächliche Restlaufzeiten gegen die Vertices ‚mappen‘:
− Zuordnung der tatsächlichen cash flows auf festgelegte Stützpunkte − jeder tatsächliche cash flow, der nicht zufällig an einem Zeitpunkt auftritt,
der mit den Stützpunkten zusammenfällt, wird auf die beiden benachbarten Stützpunkte (Risikofaktoren) aufgeteilt:
Fälligkeit in Jahren
Marktpreis
Standard-Fälligkeit in Jahren
Marktpreis6
Original Cash Flow
75
künstliche Cash Flows
⎩⎨⎧
==
→ −
)()()()(
)( 1
TbCTCTaCTC
TCi
i
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 137
Cash Flow Mapping (1)Cash Flow Mapping
– Zweck des Mappings – Marktdaten vereinfachen:
– würden für jeden individuellen Fälligkeitstag bis zu 30 Jahren (Jahr zu 365 Tagen) die Korrelation errechnet,…
…so ergeben sich bei 10.950 Tagen gemäß N(N-1)/2… bereits 59.945.755 Korrelationen – und dies nur für eine Währung!
– risikoäquivalentes Verfahren (Risiko-/Varianzerhaltung)– Var(r) = Var(a*ri + (1- a)*rj)
– Volatilitäten an den Stützstellen (si, sj) sowie Korrelation ri,j sind gegeben- unbekannt sind nur die beiden Gewichte a und 1- a
die Gewichte der 2 cashflows auf den Stützpunkten können rechnerisch mit Hilfe einer quadratischen Gleichung ermittelt werden
( )
222222
22222
222;2
4
)1(21
σσσσσρσσρσσα
ρσσαασασασ
−=−=−+=−±−
=
−+−+=
iijiijjiijji
ijjiji
cbamita
acbb
quadratische Gleichung der Form „ax2+bx+c=0“
Excel/FINCADMapping
(c) S+P/CrashReviewCourse 0708 138
Cash Flow Mapping (2)Beispiel mittels FinCad [aaVaR_cf_map()]
– 16. Juli 2004: Analyse eines Portfolios (EURO) mit Zinsinstrumenten– Swaps, Bonds, FRAs, etc:
– standardisierte Volatilitäten, Korrelationen:
standardisierter Zahlungsstrom:
in Jahre0,27222 24.10.2004 55700,42778 20.12.2004 150000,93889 24.06.2005 -164081,27222 24.10.2005 -47701,77222 24.04.2006 40882,27222 24.10.2006 37002,77222 24.04.2007 34003,27222 24.10.2007 42000
Summe 52580
originäre cash flows
1M 0,083 0,00051Y 1 0,00312Y 2 0,00283Y 3 0,00384Y 4 0,00455Y 5 0,0056
Vola1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y
1M 1 0,653 0,533 0,47 0,651 0,0061Y 0,653 1 0,881 0,81 0,702 0,7332Y 0,533 0,881 1 0,985 0,755 0,913Y 0,47 0,81 0,985 1 0,789 0,9524Y 0,651 0,702 0,755 0,789 1 0,9895Y 0,006 0,733 0,91 0,952 0,989 1
Korrelationsmatrix
Zeit gemappte Cash Flows1M 12032,834461Y -9844,1548112Y 4685,718243Y 21335,202124Y 24370,399995Y 0
Summe 52580
Excel/FINCADMapping
Top Related