Download - phd - fi

ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΝ ΣΕ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ
Σχολ Πολιτικν Μηχανικν του Εθνικο Μετσοβου Πολυτεχνεου
ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Ι. ΤΣΙΠΗΡΑ
Σχολ Πολιτικν Μηχανικν του Εθνικο Μετσοβου Πολυτεχνεου
ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Ι. ΤΣΙΠΗΡΑ
Κονδυλων και ρευνας του Εθνικο Μετσοβου Πολυτεχνεου
Copyright © Βασλειος Ι. Τσπηρας, 2013
Με επιφλαξη κθε νμιμου δικαιματος.

Αντισεισμικν Ερευνν του Εθνικο Μετσοβου Πολυτεχνεου. Η Τριμελς
Συμβουλευτικ Επιτροπ, αποτελομενη απ τους κ .κ . Ε. Σαπουντζκη ως επιβλποντα, Καθηγητ Ε.Μ.Π., Β. Κουμοση, Καθηγητ Ε.Μ.Π. και Μ.
Παπαδρακκη, Καθηγητ Ε.Μ.Π., συγκροτθηκε σμφωνα με τις 22/05/2007 και
11/09/2007 αποφσεις της Γενικς Συνλευσης Ειδικς Σνθεσης της Σχολς
Πολιτικν Μηχανικν του Ε.Μ.Π. Η διατριβ χρηματοδοτθηκε απ τον Ειδικ
Λογαριασμ Κονδυλων και ρευνας του Εθνικο Μετσοβου Πολυτεχνεου.
Μσα απ τις γραμμς αυτς επιθυμ να ευχαριστσω ειλικριν το Δσκαλ μου
και επιβλποντα της διατριβς κ . Ε. Σαπουντζκη, Καθηγητ Ε.Μ.Π., ο οποος υπρξε
συμπαρασττης σε λη τη διρκεια της προσπθειας αυτς. Η επιστημονικ και ηθικ
υποστριξ του ταν καθοριστικ για την εκπνηση και την τελικ διαμρφωση της
εργασας. Ιδιατερες ευχαριστες απευθνονται και στα λλα μλη της Τριμελος Συμβουλευτικς Επιτροπς, κ .κ . Β. Κουμοση, Καθηγητ Ε.Μ.Π. και Μ.
Παπαδρακκη, Καθηγητ Ε.Μ.Π., για την παρακολοθηση της ερευνητικς μου
πορεας, καθς και για τις συμβουλς και εστοχες υποδεξεις τους που συνβαλαν
στην καλτερη παρουσαση της εργασας αυτς. Επιθυμ επσης να ευχαριστσω και
τα υπλοιπα μλη της Επταμελος Εξεταστικς Επιτροπς κ .κ . Ι. Βγια, Καθηγητ
Ε.Μ.Π., Χ. Γαντ Καθηγητ Ε.Μ.Π., Σ. Καραμνο, Αναπληρωτ Καθηγητ Παν.
Θεσσαλας και Κ . Σπηλιπουλο, Αναπληρωτ Καθηγητ Ε.Μ.Π. για το ριστο πνεμα
συνεργασας που επδειξαν. Επιπλον, εκφρζω τις θερμς μου ευχαριστες προς τον
Ε.Λ.Κ .Ε. Ε.Μ.Π. για την ουσιαστικ οικονομικ υποστριξη της προσπθεις μου. Ιδιατερες ευχαριστες εκφρζονται προς το συνδελφο Βασλειο Μκο για την
επιστημονικ συνεργασα μας και τις εποικοδομητικς επιστημονικς συζητσεις μας.
Επιθυμ επσης να ευχαριστσω τους συναδλφους μου στο Εργαστριο Στατικς και
Αντισεισμικν Ερευνν του Ε.Μ.Π. για τις εποικοδομητικς επιστημονικς συζητσεις
μας κατ τη διρκεια εκπνησης της διατριβς και ιδιατερα τους Ιωννη
Ντουρακπουλο, Ανδρα Καμπτση και Ιωννη Δκαρο, την κα. Φαν Κουβκη για τη
βοθει της, καθς επσης και τη Μαρα Μαυρογνη για την ηθικ υποστριξη της. Τλος, στους γονες μου Ιωννη και Βαρβρα αναγνωρζοντας το ιδιατερο
ενδιαφρον και κατανησ τους καθς και την πολπλευρη υποστριξη που μου
προσφεραν για την ολοκλρωση αυτς της ερευνητικς συμβολς, αφιερνεται το
παρν με ευγνωμοσνη.

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΝ
Η παροσα διδακτορικ διατριβ αποτελε συμβολ στη μη γραμμικ ανλυση
ρβδων υποβαλλμενων σε στρεπτικ φρτιση. Συγκεκριμνα διατυπνονται
καινοτμες θεωρες στρψης για τη διερενηση και επλυση σειρς προβλημτων που
συναντνται στην επιστμη του μηχανικο. Τα προβλματα αυτ εναι η μη γραμμικ
ελαστικ στατικ δυναμικ ανλυση ρβδου υπ ανομοιμορφη στρψη με χωρς
επιρρο δευτερογενν διατμητικν παραμορφσεων και η μη γραμμικ
ελαστοπλαστικ στατικ ανλυση ρβδου υπ ομοιμορφη ανομοιμορφη στρψη με
χωρς επιρρο δευτερογενν διατμητικν παραμορφσεων. Τα σχετικ
μονοδιστατα και διδιστατα προβλματα συνοριακν τιμν και αρχικν συνοριακν
τιμν που μορφνονται επιλονται αριθμητικ εφαρμζοντας τη Μθοδο Συνοριακν
Στοιχεων, τη Μθοδο Αναλογικς Εξσωσης και την Πεδιακ Μθοδο Συνοριακν
Στοιχεων. Τα προβλματα συνοριακν τιμν υπολογισμο των συναρτσεων
στρβλωσης διατυπνονται λαμβνοντας υπψη τη διαφορικ εξσωση ισορροπας σε
εππεδο υλικο σημεου κατ τη διαμκη διεθυνση (και την αντστοιχη συνοριακ
συνθκη). ς εκ τοτου δεν υπκεινται στους περιορισμος της Θεωρας Λεπττοιχων
Διατομν.
μσω ολικς διατπωσης Lagrange και της θεωρας μεγλων μετατοπσεων - μικρν
παραμορφσεων σμφωνα με την οποα οι εγκρσιες μετατοπσεις εκφρζονται για
μεγλες στρεπτικς στροφς. Οι πλαστικς παραμορφσεις προσδιορζονται μσω
προσομοιματος κατανεμημνης πλαστικτητας χρησιμοποιντας τριδιστατες
καταστατικς σχσεις. Κατ τη μελτη της επιρρος δευτερογενν διατμητικν
παραμορφσεων, προκειμνου να ικανοποιηθε απ το τασικ πεδο της ρβδου με το
οποο μορφνονται οι καθολικς εξισσεις ισορροπας, τοπικ εξσωση ισορροπας
(και η αντστοιχη συνοριακ συνθκη) υπ πλρως γραμμικς ελαστικς στατικς
συνθκες διατυπνεται πεδο μετατοπσεων που περιγρφει κατλληλα την πρωτογεν
και τη δευτερογεν στρβλωση της ρβδου. Κατ τη μελτη ρβδων σνθετης
διατομς, η σνθετη ρβδος αποτελεται απ υλικ σε επαφ, κθε να απ τα οποα
μπορε να περικλεει πεπερασμνο αριθμ εγκλεισμτων. Τα υλικ διαθτουν
διαφορετικς ιδιτητες και εναι σταθερ συνδεδεμνα μεταξ τους, εν λαμβνονται
υπψη φυσικς συνοριακς συνθκες που ισχουν στις διεπιφνειες των υλικν.
Βσει των διαδικασιν που αναπτσσονται, μελετνται αντιπροσωπευτικ
αριθμητικ παραδεγματα. Η ακρβεια και η αξιοπιστα των προτεινμενων μεθδων
επιβεβαινονται με υπρχοντα αριθμητικ και πειραματικ αποτελσματα καθς και
με αποτελσματα στερεν και κελυφωτν πεπερασμνων στοιχεων.

SUBJECTED TO TORSIONAL LOADING
This PhD dissertation is a contribution to the nonlinear analysis of bars subjected
to torsional loading. More specifically, novel torsion theories are formulated in order to
investigate and solve problems encountered in engineering science. These problems are
the nonlinear elastic static or dynamic analysis of bars under nonuniform torsion taking
into account or ignoring secondary torsional moment deformation effects and the
nonlinear inelastic static analysis of bars under uniform or nonuniform torsion taking
into account or ignoring secondary torsional moment deformation effects. The relevant
one-dimensional and two-dimensional boundary value and initial boundary value
problems which are formulated are numerically solved employing the Boundary
Element Method, the Analog Equation Method and the Domain Boundary Element
Method. The boundary value problems, with which warping functions are determined,
are formulated taking into account the local longitudinal equilibrium equation (along
with the corresponding boundary condition). Thus, they are not subjected to the
limitations of Thin Tube Theory.
The geometrical nonlinearity is taken into account in the examined problems
through a Total Lagrangian formulation and the finite displacement - small strain
theory, in which the transverse displacement components are expressed so as to be valid
for large twisting rotations. Inelastic deformations are modelled through a distributed
plasticity model exploiting three dimensional material constitutive laws. In the
investigation of secondary torsional moment deformation effects, in order to accomplish
through the stress field of the bar, with which global equilibrium equations are
formulated, the satisfaction of a local equilibrium equation (along with the
corresponding boundary condition) under linear elastic static conditions, a suitable
displacement field for the description of the primary and the secondary warping of the
bar is formulated. In the analysis of composite bars, the composite cross section consists
of materials in contact, each of which can surround a finite number of inclusions. The
materials have different properties and are perfectly bonded together, while natural
boundary conditions at the interfaces between different material regions are taken into
account.
On the basis of the developed analytical and numerical procedures, representative
examples are studied. The accuracy and reliability of the proposed methods are
confirmed through existing numerical and experimental results, as well as through
results obtained from solid and shell finite element analyses.

1. Μη Γραμμικ Ελαστικ Στατικ Ανλυση Ρβδου υπ Ανομοιμορφη
Στρψη ............................................................................................................. 29
1.2.1 Μετατοπσεις, Παραμορφσεις, Τσεις........................................... 34
Συνθκες .......................................................................................... 46
1.3.1 Για τη Γωνα Στρεπτικς Στροφς ................................................... 63
1.3.2 Για τη «Μση» Αξονικ Μετατπιση, τις Εγκρσιες
Μετατοπσεις, τις Καμπτικς Στροφς και τις Καμπτικς
Καμπυλτητες ............................................................................... 67
1.3.5 Για τις Γεωμετρικς Σταθερς .......................................................... 75
1.4 Αριθμητικ Αποτελσματα ........................................................................ 83
1.4.1 Παρδειγμα 1 ................................................................................... 84
1.4.2 Παρδειγμα 2 ................................................................................... 85
1.4.3 Παρδειγμα 3 ................................................................................... 87
1.4.4 Παρδειγμα 4 ................................................................................... 90
1.4.5 Παρδειγμα 5 ................................................................................... 96
1.4.6 Παρδειγμα 6 ................................................................................... 99
Διατμητικς Παραμορφσεις ........................................................................ 107
2.1 Εισαγωγ .................................................................................................... 107

Συνθκες .......................................................................................... 120
2.2.5 Εναλλακτικ Διατπωση του Προβλματος .................................... 128
2.2.6 Βματα Επλυσης του Προβλματος ............................................... 131
2.3 Ολοκληρωτικς Εξισσεις - Αριθμητικ Επλυση .................................... 135
2.3.1 Για τη «Μση» Αξονικ Μετατπιση, τη Γωνα Στρεπτικς
Στροφς και την Ανεξρτητη Παρμετρο Στρβλωσης ................ 135
2.3.2 Για την Πρωτογεν Συνρτηση Στρβλωσης .................................. 141
2.3.3 Για τη Δευτερογεν Συνρτηση Στρβλωσης .................................. 141
2.4.1 Παρδειγμα 1 ................................................................................... 142
2.4.2 Παρδειγμα 2 ................................................................................... 145
2.4.3 Παρδειγμα 3 ................................................................................... 147
2.4.4 Παρδειγμα 4 ................................................................................... 149
2.4.5 Παρδειγμα 5 ................................................................................... 150
2.4.6 Παρδειγμα 6 ................................................................................... 152
2.4.7 Παρδειγμα 7 ................................................................................... 154
2.4.8 Παρδειγμα 8 ................................................................................... 155
2.4.9 Παρδειγμα 9 ................................................................................... 156
2.4.10 Παρδειγμα 10 ............................................................................... 160
2.4.11 Παρδειγμα 11 ............................................................................... 162
Παραμορφσεων ................................................................................... 166
Στρψη ............................................................................................................. 171
Στρβλωσης .................................................................................. 179
Συνοριακς Συνθκες, Αρχικς Συνθκες ....................................... 181
3.2.4 Απλοποιημνα Προβλματα Αρχικν Συνοριακν Τιμν ............. 185
3.2.5 Δευτερογενς Συνρτηση Στρβλωσης ........................................... 188
3.2.6 Εναλλακτικς Διατυπσεις του Προβλματος ................................ 188
Στροφς και την Ανεξρτητη Παρμετρο Στρβλωσης ............... 195
Ομοιμορφη Στρψη ..................................................................................... 249
4.1 Εισαγωγ .................................................................................................... 249
Στρβλωσης ................................................................................. 258
Συνθκες .......................................................................................... 260
4.3.1 Για τη «Μση» Αξονικ Μετατπιση και τη Γωνα Στρεπτικς
Στροφς ........................................................................................... 269
4.3.3 Για τις Γεωμετρικς Σταθερς και τα Πλαστικ Μρη των
Εντατικν Μεγεθν ....................................................................... 273
Προβλματος .................................................................................. 274
Ανομοιμορφη Στρψη ................................................................................. 313
5.1 Εισαγωγ .................................................................................................... 313

Συνθκες .......................................................................................... 322
5.2.5 Εναλλακτικς Διατυπσεις του Προβλματος ................................ 327
Στροφς και την Ανεξρτητη Παρμετρο Στρβλωσης ............... 335
5.3.4 Για τις Γεωμετρικς Σταθερς και τα Πλαστικ Μρη των
Εντατικν Μεγεθν ....................................................................... 341
Προβλματος .................................................................................. 342
6.1 Συμπερσματα ............................................................................................ 365

Παρρτημα Π1: Η μεση ΒΕΜ για τη Διδιστατη Εξσωση Poisson σε
Σνθετες Περιοχς ................................................................. 369
ΙΙ.1 Εισαγωγ ................................................................................................... 369

Παρρτημα Π2: Η ΑΕΜ για Συνθεις Διαφορικς Εξισσεις 2 ης
και 4 ης
Π2.3 Η ΑΕΜ για Συνθεις Διαφορικς Εξισσεις 2 ης
Τξης .......................... 389
Π2.3.2 Υπολογισμς Ολοκληρωμτων ..................................................... 395
Π2.4 Η ΑΕΜ για Συνθεις Διαφορικς Εξισσεις 4 ης Τξης .......................... 396
Π2.4.1 Ολοκληρωτικς Εξισσεις - Αριθμητικ Επλυση ....................... 396
Π2.4.2 Υπολογισμς Ολοκληρωμτων ..................................................... 405

Π3.3 Μθοδος Αριθμητικς Ολοκλρωσης ..................................................... 411
Π3.4 Μθοδος Προσγγισης του γνωστου Μεγθους ................................... 412

Π4.1 Θεωρα Παραμρφωσης .......................................................................... 415
Π4.1.2.5 Απειροστικς Τανυστς Παραμρφωσης .......................... 424
Π4.2 Θεωρα Τσης ......................................................................................... 425
Π4.2.1 Δινυσμα Τσης ............................................................................ 425
Π4.2.3 Εξισσεις Ισορροπας ................................................................... 427
Π4.2.5 Αρχ Δυνατν ργων ................................................................... 431
Π4.2.6 2ος Τανυστς Τσης Piola - Kirchhoff ......................................... 434
Π4.2.7 Φυσικ Σημασα των Τανυστν Τσης ........................................ 436
Π4.2.8 Τανυστς Τσης Cauchy Μικρν Μετατοπσεων ........................ 437

Π5.1 Εισαγωγ ................................................................................................. 439
Π5.3 Στοιχεα Θεωρας Κλασικς Πλαστικτητας .......................................... 445
Π5.3.1 Θεωρα Μικρν Μετατοπσεων - Μικρν Παραμορφσεων ...... 445
Π5.3.2 Θεωρα Μεγλων Μετατοπσεων - Μικρν Παραμορφσεων .... 451

Παραμορφσεων .................................................................... 453
Στρβλωσης .......................................................................... 455
Π8.1 Εισαγωγ ................................................................................................. 459
Π8.2.1 Κεντρικ Διαφορ ......................................................................... 460
Π8.2.2 Εμπρσθια Διαφορ ...................................................................... 462
Π8.2.3 Οπσθια Διαφορ ........................................................................... 465
Χωρισμνο σε σες Αποστσεις ................................................... 468

προβλημτων μη γραμμικς ανλυσης στρεπτμενων ρβδων ομογενος σνθετης
διατομς που συναντνται στην επιστμη του μηχανικο. Τα προβλματα αυτ εναι η
μη γραμμικ ελαστικ στατικ δυναμικ ανλυση ρβδου υπ ανομοιμορφη
στρψη με χωρς επιρρο δευτερογενν διατμητικν παραμορφσεων και η μη
γραμμικ ελαστοπλαστικ στατικ ανλυση ρβδου υπ ομοιμορφη ανομοιμορφη
στρψη με χωρς επιρρο δευτερογενν διατμητικν παραμορφσεων.
Η επλυση των εξεταζμενων προβλημτων βασζεται στη διατπωση
καινοτμων θεωριν στρψης (torsion theories), με τις οποες το πεδο μετατοπσεων
και οι συνιστσες των τανυστν παραμρφωσης και τσης διατυπνονται ως
θροισμα γινομνων μονοδιστατων και διδιστατων συναρτσεων. Η αναλυτικ λση
των μονοδιστατων και διδιστατων προβλημτων συνοριακν τιμν και αρχικν
συνοριακν τιμν που μορφνονται κατ καννα δεν εναι εφικτ. ς εκ τοτου, τα
προβλματα αυτ επιλονται αριθμητικ εφαρμζοντας τη Μθοδο Συνοριακν
Στοιχεων (Boundary Element Method (BEM)), τη Μθοδο Αναλογικς Εξσωσης
(Analog Equation Method (AEM)), που αποτελε εξλιξη της BEM και την Πεδιακ
BEM (Domain BEM).
Η εργασα περιλαμβνει να εισαγωγικ κεφλαιο, πντε κρια κεφλαια, να
κτο τελικ κεφλαιο, οκτ παραρτματα καθς και να κεφλαιο βιβλιογραφας. Το
εισαγωγικ κεφλαιο εναι αφιερωμνο στο αντικεμενο, στο κνητρο, στη διρθρωση
και στις πρωτοτυπες της εργασας, εν γνεται αναφορ στην επλυση προβλημτων
ραβδωτν κατασκευν με θεωρα δοκο και με εναλλακτικς μεθδους. Καθνα απ
τα εξεταζμενα προβλματα αναλεται στο αντστοιχο κριο κεφαλαο. Κθε κριο
κεφλαιο αποτελεται απ την εισαγωγ, τη διατπωση του προβλματος, τις
ολοκληρωτικς εξισσεις για την αριθμητικ επλυση, αντιπροσωπευτικ αριθμητικ
αποτελσματα και τα συμπερσματα. Στην εισαγωγ κθε κριου κεφαλαου
περιχεται η βιβλιογραφικ επισκπηση του ερευνητικο ργου (“State of the Art”) του
αντστοιχου εξεταζμενου προβλματος και παρουσιζονται τα πρωττυπα σχετικ
στοιχεα της εργασας. Στο τελικ κεφλαιο παρουσιζονται τα κρια συμπερσματα
και αναφρεται σειρ θεμτων και προβλημτων τα οποα χρζουν περαιτρω ρευνας
στο μλλον. Στο πρτο παρρτημα παρουσιζεται η μεση ΒΕΜ για την επλυση της
διδιστατης εξσωσης Poisson σε σνθετες περιοχς. Στο δετερο παρρτημα
παρουσιζεται η ΑΕΜ για την επλυση συνθων διαφορικν εξισσεων δετερης και
τετρτης τξης, εν στο τρτο παρρτημα παρουσιζεται η Πεδιακ BEM για την
επλυση συνθων διαφορικν εξισσεων δετερης τξης. Στα επμενα πντε
παραρτματα περιλαμβνονται διφορα λλα στοιχεα που εναι απαρατητα για την
κατανηση του περιεχομνου των κριων κεφαλαων της εργασας. Τλος, στο
κεφλαιο βιβλιογραφας παρουσιζονται συγκεντρωτικ οι βιβλιογραφικς αναφορς
της διατριβς.
λαμβνεται υπψη η γεωμετρικ μη γραμμικτητα μσω ολικς διατπωσης Lagrange
και της θεωρας μεγλων μετατοπσεων - μικρν παραμορφσεων σμφωνα με την
οποα οι εγκρσιες μετατοπσεις εκφρζονται για μεγλες στρεπτικς στροφς. Επσης,
τα προβλματα συνοριακν τιμν υπολογισμο των συναρτσεων στρβλωσης
διατυπνονται λαμβνοντας υπψη τη διαφορικ εξσωση ισορροπας σε εππεδο
υλικο σημεου κατ τη διαμκη διεθυνση (και την αντστοιχη συνοριακ συνθκη).
ς εκ τοτου δεν υπκεινται στους περιορισμος της Θεωρας Λεπττοιχων Διατομν
(ΘΛΔ). Βσει των αναλυτικν και αριθμητικν διαδικασιν που αναπτχθηκαν στην
εργασα αυτ συντχτηκε πλθος προγραμμτων ηλεκτρονικο υπολογιστ, με τη
βοθεια των οποων μελετθηκαν αντιπροσωπευτικ αριθμητικ παραδεγματα
ιδιατερου πρακτικο ενδιαφροντος, τα οποα καταδεικνουν την αποτελεσματικτητα
και το ερος εφαρμογς των προτεινμενων μεθδων. Οι αριθμητικς μθοδοι που
παρουσιζονται για την επλυση των ιδιμορφων συνοριακν ολοκληρωτικν
εξισσεων αποδεικνονται αποτελεσματικς. Η ακρβεια και αξιοπιστα των
ληφθντων αποτελεσμτων επιβεβαινεται με υπρχουσες αναλυτικς και αριθμητικς
λσεις και πειραματικ αποτελσματα, καθς και με προσομοιματα στερεν
(εξαεδρικν) και κελυφωτν (τετραπλευρικν) πεπερασμνων στοιχεων. Η
διατπωση και επλυση των προαναφερθντων προβλημτων εναι πλρης,
συστηματικ, πρωττυπη και συμβλλει στην ρεαλιστικτερη προσγγιση τους.
Υπολογζονται λα τα εντατικ, παραμορφωσιακ και κινηματικ μεγθη του κθε
προβλματος. Στα κεφλαια 2, 3, 5 αναλεται η επιρρο δευτερογενν διατμητικν
παραμορφσεων στα προβλματα που εξετζονται σε αυτ. Προκειμνου να
ικανοποιηθε απ το τασικ πεδο της ρβδου με το οποο μορφνονται οι καθολικς
εξισσεις ισορροπας, τοπικ εξσωση ισορροπας (και η αντστοιχη συνοριακ
συνθκη) υπ πλρως γραμμικς ελαστικς στατικς συνθκες διατυπνεται πεδο
μετατοπσεων που περιγρφει κατλληλα την πρωτογεν και τη δευτερογεν
στρβλωση της ρβδου. Επιπλον, στο κεφλαια 1, 4 αναλονται και ρβδοι σνθετης
διατομς. Η σνθετη ρβδος αποτελεται απ υλικ σε επαφ, κθε να απ τα οποα
μπορε να περικλεει πεπερασμνο αριθμ εγκλεισμτων. Τα υλικ διαθτουν
διαφορετικς ιδιτητες και εναι σταθερ συνδεδεμνα μεταξ τους, εν η ομογενς
ρβδος απλς πολλαπλς συνοχς προκπτει ως μερικ περπτωση. Λαμβνονται
υπψη φυσικς συνοριακς συνθκες που ισχουν στις διεπιφνειες των υλικν.
Στο κεφλαιο 1 αναπτσσεται το στατικ πρβλημα της γεωμετρικ μη
γραμμικς ανομοιμορφης στρψης ομογενν σνθετων ελαστικν ρβδων
σταθερς διατομς τυχντος σχματος. Η ρβδος υποβλλεται σε τυ&