Modélisation des moteurs à aimant permanentavec saturation magnétique
Al-Kassem Jebai 1 Philippe Martin1 Pierre Rouchon1
François Malrait2
1Mines ParisTechCentre Automatique et Systè[email protected]
2Schneider Toshiba Inverter [email protected]
23 juin 2011
Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 1 / 22
Plan
1 Modèle linéaire
2 Modèle de saturation
Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 2 / 22
Introduction
Moteur synchrone à aimant permanant MSAP - PMSM.Variation de vitesse.Contrôle sans capteur de position à basse vitesse.Problème d’observabilité autour de vitesse nulle.Estimation de position par l’ajout des signaux hautes fréquences.Saturation magnétique et contrôle du moteur à basse vitesse.Modèle paramétrique de saturation avec validation expérimentale.
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1 Modèle linéaire
2 Modèle de saturation
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Principe de fonctionnement du PMSM
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Equations du PMSM dans le repère fixe (α, β)
Changement de repère : ia + ib + ic = 0
[ iα iβ ] = C[ ia ib ic ]
Courant et flux complex
i = iα + iβ, φ = 12(Ld + Lq)i − 1
2(Lq − Ld )i∗e2θ + ϕmeθ
Equations dynamiques
dφdt
= u − Ri
Jnp
dωdt
= np= (φ∗i)− τL
dθdt
= ω,
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Equations du PMSM dans le repère du rotor (d ,q)
[ id iq ] = R(θ)[ iα iβ ]
φd = Ld id , φq = Lq iq
Equations dynamiques
Lddiddt
= ud − Rid + ωLq iq
Lqdiqdt
= uq − Riq − ωLd id − ωϕm
Jnp
dωdt
= np
(ϕmiq − (Lq − Ld )id iq
)− τL
dθdt
= ω
drotor
bq
a
w
q
repère fixe
Pas d’observabilité autour de ω = 0 au premier ordre dans lerepère (α, β).
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Injection d’une tension haute fréquence
Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β)
u = u + uf (Ωt).
u est la tension de commande du moteur.u est l’amplitude de la tension HF.f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R
Ld.
Ainsi, d’après l’équation de tension :
dφdt
= u + uf (Ωt)− Ri
Le flux totale φ est la somme des deux composantes
φ = φ+ φ.
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Injection d’une tension haute fréquence
Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β)
u = u + uf (Ωt).
u est la tension de commande du moteur.u est l’amplitude de la tension HF.f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R
Ld.
Ainsi, d’après l’équation de tension :
dφdt
= u + uf (Ωt)− Ri
Le flux totale φ est la somme des deux composantes
φ = φ+ φ.
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Expression du flux haute fréquence
La moyennisation de second ordre permet de séparer la partiehaute fréquence et la partie basse fréquence d’un signal.Ce qui permet d’établir
dφdt
= u − Ri
d φdt
= uf (Ωt)
Finalement, le flux s’écrit par
φ = φ+ uΩF (Ωt) +O( 1
Ω2 )
F est l’intégral de f , elle est triangulaire et de moyenne nulle.
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Estimation de position par les tensions HF
A partir de la relation courant-flux
φ = 12(Ld + Lq)i − 1
2(Lq − Ld )i∗e2θ + ϕmeθ,
on établit quei = i + iF (Ωt) +O( 1
Ω2 )
Amplitudes des courants
iα = u2ΩLd Lq
(Lq + Ld + (Lq − Ld ) cos 2θ
)
iβ = u2ΩLd Lq
(Lq − Ld ) sin 2θ
où i = iα + iβ .
L’information de position est multipliée par (Lq − Ld ).
Ld et Lq ne sont pas constantes à cause de la saturation magnétique.
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1 Modèle linéaire
2 Modèle de saturation
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Modèle générale du PMSM dans (d ,q)
Equations de tension
dφd
dt= ud − Rid + ωφq
dφq
dt= uq − Riq − ω(φd + ϕm)
Les courants s’expriment d’une façon non linéaire
id = Id (φd , φq)
iq = Iq(φd , φq)
Les fonctions Id et Iq doivent respecter l’égalité suivante
∂Id
∂φq=∂Iq
∂φd
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Principe énergétique
Énergie magnétiqueSoit H(φd , φq) l’énergie magnétique total du moteur
id =∂H∂φd
(φd , φq), iq =∂H∂φq
(φd , φq).
Cas linéaire
Hl(φd , φq) = 12Ld
φ2d + 1
2Lqφ2
q
id =∂H∂φd
(φd , φq) =φd
Ld
iq =∂H∂φq
(φd , φq) =φq
Lq
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Modèle de saturation
Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4
H(φd , φq) = Hl(φd , φq) +3∑
i=0
α3−i,iφ3−id φi
q +4∑
i=0
α4−i,iφ4−id φi
q.
C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termesd’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl .
On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l’axe d
H(φd ,−φq) = H(φd , φq)
Énergie magnétique avec 5 paramètres
H(φd , φq) = 12Ld
φ2d + 1
2Lqφ2
q
+α3,0φ3d +α1,2φdφ
2q+α4,0φ
4d +α2,2φ
2dφ
2q+α0,4φ
4q.
d
q
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Modèle de saturation
Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4
H(φd , φq) = Hl(φd , φq) +3∑
i=0
α3−i,iφ3−id φi
q +4∑
i=0
α4−i,iφ4−id φi
q.
C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termesd’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl .On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l’axe d
H(φd ,−φq) = H(φd , φq)
Énergie magnétique avec 5 paramètres
H(φd , φq) = 12Ld
φ2d + 1
2Lqφ2
q
+α3,0φ3d +α1,2φdφ
2q+α4,0φ
4d +α2,2φ
2dφ
2q+α0,4φ
4q.
d
q
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Expressions des courant
id =∂H∂φd
(φd , φq) = φdLd
+ 3α3,0φ2d + α1,2φ
2q + 4α4,0φ
3d + 2α2,2φdφ
2q
iq =∂H∂φq
(φd , φq) =φqLq
+ 2α1,2φdφq + 2α2,2φ2dφq + 4α0,4φ
3q
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Flux
Ene
rgie
mag
nétiq
ue to
tale
LinéaireSaturé
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−300
−200
−100
0
100
200
300
iq in A
φqin
mW
b
id=−1
id=0
id=1.5
id=2.5
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (1)
Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué
ud (t) = ud + ud f (Ωt), uq(t) = uq + uqf (Ωt),
Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre)
φd = φd + udΩ F (Ωt) +O( 1
Ω2 ), φq = φq +uqΩ F (Ωt) +O( 1
Ω2 )
Le courant de l’axe d devient
id = Id (φd , φq) = Id
(φd + ud
Ω F (Ωt)+O( 1Ω2 ), φq +
uqΩ F (Ωt)+O( 1
Ω2 ))
Développement à l’ordre 2 en 1Ω
id = id + idF (Ωt) = id +F (Ωt)
Ω
(ud
Ld+ 6α3,0φd ud + 2α1,2φquq
+ 12α4,0φ2d ud + 2α2,2(2φdφquq + φ
2qud )
)+O( 1
Ω2 )
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (1)
Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué
ud (t) = ud + ud f (Ωt), uq(t) = uq + uqf (Ωt),
Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre)
φd = φd + udΩ F (Ωt) +O( 1
Ω2 ), φq = φq +uqΩ F (Ωt) +O( 1
Ω2 )
Le courant de l’axe d devient
id = Id (φd , φq) = Id
(φd + ud
Ω F (Ωt)+O( 1Ω2 ), φq +
uqΩ F (Ωt)+O( 1
Ω2 ))
Développement à l’ordre 2 en 1Ω
id = id + idF (Ωt) = id +F (Ωt)
Ω
(ud
Ld+ 6α3,0φd ud + 2α1,2φquq
+ 12α4,0φ2d ud + 2α2,2(2φdφquq + φ
2qud )
)+O( 1
Ω2 )
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (2)
Amplitude du courant de l’axe d
id =1Ω
(ud
Ld+6α3,0φd ud +2α1,2φq uq+12α4,0φ
2d ud +2α2,2(2φdφq uq+φ
2q ud )
)
La relation flux-courant en première ordre en αi,j
φd = Ld id +O(|αi,j |), φq = Lq iq +O(|αi,j |)
Amplitudes des courants en fonction des paramètres de saturation
id =1Ω
(udLd
+ 2α2,2Lq iq(2Ld id uq + Lq iq ud ) + 12α4,0L2d i
2d ud
+ 6α3,0Ld id ud + 2α1,2Lq iq uq
)
iq =1Ω
(uqLq
+ 2α2,2Ld id (2Lq iq ud + Ld id uq) + 12α0,4L2q i
2q uq
+ 2α1,2(Ld id uq + Lq iq ud ))
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (2)
Amplitude du courant de l’axe d
id =1Ω
(ud
Ld+6α3,0φd ud +2α1,2φq uq+12α4,0φ
2d ud +2α2,2(2φdφq uq+φ
2q ud )
)
La relation flux-courant en première ordre en αi,j
φd = Ld id +O(|αi,j |), φq = Lq iq +O(|αi,j |)
Amplitudes des courants en fonction des paramètres de saturation
id =1Ω
(udLd
+ 2α2,2Lq iq(2Ld id uq + Lq iq ud ) + 12α4,0L2d i
2d ud
+ 6α3,0Ld id ud + 2α1,2Lq iq uq
)
iq =1Ω
(uqLq
+ 2α2,2Ld id (2Lq iq ud + Ld id uq) + 12α0,4L2q i
2q uq
+ 2α1,2(Ld id uq + Lq iq ud ))
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Procédure d’estimation par moindre carré linéaire
Estimation des inductances : id = iq = 0, ud 6= 0 et uq 6= 0
Ld = 1Ω
ud
id, Lq = 1
Ω
uq
iq
Estimation des α3,0 et α4,0 : id 6= 0, iq = 0, ud 6= 0 et uq = 0
id = udΩ
(1Ld
+ 6α3,0Ld id + 12α4,0L2d i
2d
)
Estimation des α1,2 et α2,2 : id = 0, iq 6= 0, ud 6= 0 et uq = 0
id = udΩ
(1Ld
+ 2α2,2L2q i
2q
), iq = 2ud
Ω α1,2Lq iq
Estimation de α0,4 : id = 0, iq 6= 0, ud = 0 et uq 6= 0
iq =uqΩ
(1Lq
+ 12α0,4L2q i
2q
).
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Résultats expérimentaux - estimation
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10200
300
400
500
600
700
800
id in A
i din
mA
Measured valueEstimated value
−6 −4 −2 0 2 4 6−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
iq in A
i qin
mA
Measured valueEstimated value
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Résultats expérimentaux - validation
0 1 2 3 4 5400
450
500
550
600
|i| in A
i din
mA
Measured valueEstimated value
0 1 2 3 4 5−20
0
20
40
60
80
100
|i| in A
i qin
mA
Measured valueEstimated value
ud = 12 u et uq =
√3
2 u
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time in s
i d in in
A
Measured valueSimulation value with saturationSimulation value without saturation
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3250
300
350
400
450
500
550
id in A
φdin
mW
b
Measured fluxEstimated flux with saturation modelLinear flux
Echelons de tension
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Ouverture sur le moteur asynchrone
Pas de saillance géométrique (Ld = Lq).
Estimation de la position du flux par la saillance magnétique.
Modélisation de cette saillance magnétique par une fonction d’énergie.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180200
400
600
800
1000
1200
1400
θ in degre
I d in m
A
i=1i=1.5i=2.8i=4i=0
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Conclusion
Modèle paramétrique de saturation des moteurs PMSM basée sur unefonction d’énergie.
Estimation des paramètres du modèle par l’injection des tensions hautesfréquences.
Validation expérimentale sur un moteur synchrone.
Verification par échelon de tension.
Le but est d’utiliser ce modèle pour trouver une méthode robusted’estimation de la position à basse vitesse.
On poursuit le travail sur le moteur asynchrone qui n’a pas de saillancegéométrique.
Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 22 / 22
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