Michael Scalora
U.S. Army Research, Development, and Engineering CenterRedstone Arsenal, Huntsville Alabama, 35898-5000
&Universita' di Roma "La Sapienza"
Dipartimento di Energetica
OPTICS BY THE NUMBERS
L’Ottica Attraverso i Numeri
Rome, April-May 2004
Athens
1984: Montclair State College, Montclair NJ1988: Master of Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY1990: PhD in Physics, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY1991: Huntsville
Montclair*
* Troy
Scopo di questi seminari:Introdurre e poi elaborare il concetto di integrazione numerica di
equazioni differenziali per studiare la propagazione e l’interazione della luce (di solito si intende un laser) con la materia.
Ecco alcuni esempi
(i) L’oscillatore armonico (ottica, meccanica classica e quantistica...)
(ii) Diffrazione ed interferenza
(iii) Processi nonlineari: generazione di seconda e terza armonica, e
in tutto questo il ruolo dell’oscillatore armonico.
(iv) Propagazione di impulsi ultracorti (dal pico- al femto-secondo)
(v) Guide d’onda
(vi) Strutture a banda photonica (i “semiconduttori” per la luce)
(vii) Sistemi Laser
(1)Oscillatore Armonico Smorzato: L’atomo di LorentzSoluzioni esatte ed approssimate
(2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)
L’Atomo di LorentzOscillatore Armonico Smorzato
Ex
e-
Nucleo: ~2000 volte la massa elettronica; i.e., massa infinita
In seguito al passaggio dell’onda, l’elettrone assorbe energia ed oscilla rispetto ad un punto di equilibrio. L’oscillazione, e quindi l’accelerazione e decelerazione della carica, causa la riemissione dell’energia assorbita durante il passaggio dell’onda.
Il Modello Classico della materia
20 0x x x
m
x
RestoringForce
mx kx x Damping
Damped Harmonic Oscillator
L’energia istantanea dell’oscillatore e’ data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale:
2 21 1
2 2E mx kx
…da cui…2( )
dEmxx kxx
dt
mx kx x x
Si puo dimostrare che in genere:<Energia Cinetica media>=<Energia Potenziale media>
una sorta di Equipartion Theorem
2 2
2 2 2
1 1
2 21 1
2 2
E mx kx
mx mx m x
Raccogliendo i risultati…
1dEE E
dt m
2E m x
2dEx
dt
L’energia dell’oscillatoredecade ad una rate…
/0
tE E e
m
810 sec.
Un atomo isolato nello spazio tende ad emettere spontaneamente
in ~ 10-8 secondi.
1510 / sec. 12 15
0 10 10 / sec.
810 / sec.
15210 sec.
p
p
0
12 150
210 10 sec.
8210 sec.
m
Ciclo ottico
p
Nella maggior parte dei casi, l’emissione spontaneaavviene in tempi molto piu lunghi del ciclo ottico, …
…e di 0…
0
2 20 0
m
2
2022 4m m
0tx x eSi suppone una soluzione del tipo:
20 0x x x
m
02m
2i
m
1/ 2
0 2 20
11
4
La soluzione sara’ oscillatoria se:
La Soluzione esatta:
/(2 ) 1 (0)( ) (0)cos (0) sin
2t x
x t e x t x t
1/ 2
0 2 20
11
16 ( / )
1/ 2
0 2 20
11
4
0 00
40 0
21; 2 ;
10 ( )
10 200 02 2 4
0 0
1 11 ( ) 1 (10 ) (10 )...
32 ( / ) ( / )
4
0
10 1
1/ 2
0 2 20
11
16 ( / )
/(2 )0 0
0
1 (0)( ) (0)cos (0) sin
2t x
x t e x t x t
/(2 )0 0
0
1( ) cos sin
2tx t e t t
(0) 1; (0) 0x A x
Inviluppo (lento) Oscillazione (veloce)
La Soluzione …
/(2 )0( ) costx t e t
0 0
1 11
2 4 ( / )
A
0/(2 )
00
(0)cos
( ) 1 (0)(0) sin
2
t
x t
x t e xx t
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
0 1000 2000 3000 4000 5000
Time (in units of 0)
Am
pli
tud
e
x(t)
/(2 )te
0 0
40 0
1; 2 ;
10 ( )
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
2000 2200 2400 2600 2800 3000
Time (in units of 0)
Am
plitu
de
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
2000 2020 2040 2060 2080 2100
Time (in units of 0)
Am
plitud
e
Una delle piu importanti approssimazioni e’ la Slowly Varying Envelope
Approximation, SVEA: Un impulso o segnale puo generalmente essere scomposto in un inviluppo che varia lentamente nel tempo rispetto a 0, e un
termine che oscilla sulla scala veloce determinata da 0.
/(2 )te
0cos( )t
0
20 0x x x
m
*1( ) ( ) ( )
2i t i tx t p t e p t e
…supponiamo una soluzione del tipo…
…ed imponiamo la SVEA, cioe che p(t) sia una funzione che varia lentamente rispetto a
2
Ritorniamo all’equazione iniziale…
0tx x e…e invece di supporre…
…e si applica la SVEA… Matematicamente questo significa…
2
2
( ) ( )d p t d p t
dt dt
20 0x x x
m
22
2
20
( ) ( )2 ( )
0( ) 2
( ) ( )
i t
d p t d p ti p t
edt dtd p t
i p t p tm dt
sostituiamo…
*1( ) ( ) ( )
2i t i tx t p t e p t e
2 20
( )2 ( ) 0
d p ti i p t
m dt m
2 20( )
( )2
id p t m
p tdt
im
Nel limite… 0 ( )m
( / 2 ) / 2
( )( );
2
( ) (0) (0)m t t
d p tp t
dt m
p t p e p e
*1( ) ( ) ( )
2i t i tx t p t e p t e
/ 2( ) (0)2
i t i t
te e
x t p e
/ 20( ) (0) costx t x e t
La SVEA in genere riduce equazioni di secondo grado ad equazioni di primo grado, che richiedono una sola condizione iniziale, e quindi la soluzione e’ immediata.
( / 2 ) / 2( ) (0) (0)m t tp t p e p e
Sommario
(1) L’atomo di Lorentz: Soluzioni esatte ed approssimate
(2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)
(3) Da sottolineare e’ il fatto che mentre esistono metodi e approssimazioni (e.g. SVEA) che permettono di ottenere soluzioni accurate al problema fisico, non sempre purtroppo e’ cosi.
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