2. Momentos de inercia de formas geomtricas comunes Rectngulo
Tringulo Crculo Semicrculo Cuarto de crculo Elipse JO 1 4 ab1a2 b2
2 Iy 1 4 a3 b Ix 1 4 ab3 JO 1 8 r4 Ix Iy 1 16 r4 JO 1 4 r4 Ix Iy 1
8 r4 JO 1 2 r4 Ix Iy 1 4 r4 Ix 1 12bh3 Ix 1 36bh3 JC 1 12bh1b2 h2 2
Iy 1 3b3 h Ix 1 3bh3 Iy 1 12b3 h Ix 1 12bh3 h b x' x y'y C h b x' x
h 3 C x y r O x y O r C x y O r C x b y O a Momentos de inercia de
formas geomtricas comunes Barra delgada Placa rectangular delgada
Prisma rectangular Disco delgado Cilindro circular Cono circular
Esfera Ix Iy Iz 2 5ma2 1 4a2 h2 2Iy Iz 3 5m1 Ix 3 10ma2 Iy Iz 1
12m13a2 L2 2 Ix 1 2ma2 Iy Iz 1 4mr2 Ix 1 2mr2 Iz 1 12m1a2 b2 2 Iy 1
12m1c2 a2 2 Ix 1 12m1b2 c2 2 Iz 1 12mb2 Iy 1 12mc2 Ix 1 12m1b2 c2 2
Iy Iz 1 12mL2 G Lz y x xz y c b G az y c b x x z y r xz y L a x z y
h a a xz y bee76934_fm.qxd 1/5/10 7:21 PM Page 1
3. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page 2
4. MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Dinmica bee76934_fm.qxd
12/14/09 7:45 PM Page iii
5. REVISIN TCNICA ARGENTINA Ricardo Bosco Universidad
Tecnolgica Nacional, Buenos Aires COLOMBIA Carlos Eduardo Muoz
Rodrguez Pontificia Universidad Javeriana, Bogot Jaime Guillermo
Guerrero Casadiego Universidad Nacional de Colombia Rubn Daro
Arboleda Vlez Universidad Pontificia Bolivariana, Medelln Wilson
Rodrguez Caldern Universidad de la Salle, Bogot MXICO Antonio Rubn
Bentez Gasca Universidad Veracruzana Danelia Hernndez Surez
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Ciudad Obregn Carlos Mellado Osuna Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey, campus La Marina Eduardo
Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey, campus Sinaloa Enrique Zamora Gallardo Universidad
Anhuac, campus Norte Francisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico
Regional de Chihuahua Gladys Karina Ruiz Vargas Universidad Anhuac,
campus Norte Ignacio Arrioja Crdenas Instituto Tecnolgico de Tuxtla
Gutirrez, Chis. Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo Jos Antonio Corona
Lpez Instituto Tecnolgico de Veracruz Jos Luis Carranza Santana
Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto
Politcnico Nacional Juan Abugaber Francis Escuela Superior de
Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Juan
Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de Mxico Luis Adolfo
Torres Gonzlez Universidad Iberoamericana, campus Len Luis G.
Cabral Rosetti Centro Interdisciplinario de Investigacin y Docencia
en Educacin Tcnica, Santiago de Quertaro Martn Daro Castillo Snchez
Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto
Politcnico Nacional Ral Escalante Rosas Universidad Nacional
Autnoma de Mxico Ral Soto Lpez Universidad de Occidente, campus
Culiacn bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page iv
6. Novena edicin MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Dinmica
FERDINAND P. BEER (finado) Late of Lehigh University E. RUSSELL
JOHNSTON, JR. University of Connecticut PHILLIP J. CORNWELL
Rose-Hulman Institute of Technology Revisin tcnica: Miguel ngel Ros
Snchez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Estado de Mxico Felipe de Jess Hidalgo Cavazos Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey
MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN
JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI
SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO bee76934_fm.qxd
12/14/09 7:45 PM Page v
7. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial:
Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga
Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductores:
Jess Elmer Murrieta Murrieta Gabriel Nagore Cazares MECNICA
VECTORIAL PARA INGENIEROS DINMICA Novena edicin Prohibida la
reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin
la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2010
respecto a la novena edicin en espaol por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of
The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin
Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo
Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro
de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm.
736 ISBN-13: 978-607-15-0261-2 (ISBN: 970-10-6102-0 edicin
anterior) Traducido de la novena edicin en ingls de: Vector
mechanics for engineers. Dynamics. Copyright 2010 by The
McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN:
0-07-724916-8 1234567890 109876543210 Impreso en Mxico Printed in
Mexico bee76934_fm.qxd 12/15/09 11:31 AM Page vi
8. Acerca de los autores Los autores de esta obra con
frecuencia son cuestionados acerca de c- mo fue que, estando uno en
Lehigh y otro en la University of Connec- ticut, empezaron a
escribir sus libros juntos. La respuesta a esta pregunta es
sencilla. Russ Johnston inici su ca- rrera acadmica en el
departamento de ingeniera civil y mecnica de Lehigh University y
all conoci a Ferd Beer, quien haba comenzado a trabajar en ese
departamento dos aos antes y estaba a cargo de los cur- sos de
mecnica. Ferd se sinti muy complacido al descubrir que el joven
contrata- do para impartir cursos de ingeniera estructural en
posgrado no slo estaba dispuesto, sino tambin ansioso por ayudarlo
a reorganizar los cursos de mecnica. Ambos crean que dichos cursos
deberan ensear- se a partir de unos cuantos principios bsicos, y
que los distintos con- ceptos involucrados seran mejor comprendidos
y recordados por los estudiantes si les eran presentados en forma
grfica. Juntos escribieron apuntes para las clases de esttica y
dinmica, a los cuales posterior- mente les agregaron problemas que
supusieron interesantes para los futuros ingenieros, y poco despus
produjeron el manuscrito de la pri- mera edicin de Mecnica para
ingenieros, el cual se public en junio de 1956. Al publicarse la
segunda edicin de Mecnica para ingenieros y la primera de Mecnica
vectorial para ingenieros, Russ Johnston estaba en el Worcester
Polytechnic Institute, y en las ediciones subsecuentes en la
University of Connecticut. Mientras tanto, Ferd y Russ haban asu-
mido funciones administrativas en sus respectivos departamentos y
ambos se dedicaban a la investigacin, la consultora, y a asesorar
estu- diantes de posgrado Ferd en el rea de procesos estocsticos y
vibra- ciones aleatorias, y Russ en el rea de estabilidad elstica y
en diseo y anlisis estructurales. Sin embargo, su inters por
mejorar la ense- anza de los cursos bsicos de mecnica no haba
disminuido, y conti- nuaron impartindolos mientras revisaban sus
libros y comenzaban a preparar el manuscrito de la primera edicin
de Mecnica de materiales. La colaboracin entre estos dos autores ha
abarcado muchos aos y muchas revisiones exitosas de todos sus
libros, y las contribuciones de Ferd y Russ a la educacin en
ingeniera los han hecho acreedores de numero- sas distinciones y
reconocimientos. Recibieron el Western Electric Fund Award por
parte de sus respectivas secciones regionales de la American So-
ciety for Engineering Education por su excelencia en la instruccin
de es- tudiantes de ingeniera y, adems, el Distinguished Educator
Award de la vii bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page vii
9. divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001,
el recono- cimiento denominado New Mechanics Educator Award de la
divisin de mecnica ha sido nombrado en honor de Beer y Johnston.
Ferdinand P. Beer. Nacido en Francia y educado en Francia y Sui-
za, Ferd obtuvo una maestra en la Sorbona y un doctorado en cien-
cias en el rea de mecnica terica en la Universidad de Ginebra.
Emigr a Estados Unidos despus de servir en el ejrcito francs du-
rante la primera parte de la Segunda Guerra Mundial e imparti cla-
ses por cuatro aos en el Williams College en el programa conjunto
de ingeniera y artes Williams-MIT. Despus de su servicio en esta
institucin, Ferd ingres al profesorado de Lehigh University, donde
ense durante treinta y siete aos. Ocup varios puestos, incluyen- do
el de profesor distinguido de la universidad y director del
departa- mento de Mecnica e Ingeniera Mecnica. En 1995 recibi el
grado de Doctor honoris causa en Ingeniera por la Lehigh
University. E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ
posee un ttulo de ingeniero civil de la Universidad de Delaware y
un doctorado en cien- cias en el rea de ingeniera estructural del
Instituto Tecnolgico de Massachussets (MIT). Imparti clases en
Lehigh University y en el Worcester Polytechnic Institute antes de
ingresar al profesorado de la Universidad de Connecticut, donde
ocup el puesto de director del de- partamento de Ingeniera Civil y
ense durante veintisis aos. En 1991 recibi el Outstanding Civil
Engineer Award, seccin Connecti- cut, que otorga la American
Society of Civil Engineers. Phillip J. Cornwell. Phil posee un
ttulo en Ingeniera Mecnica de la Texas Tech University, y grados de
maestra y doctorado en Ingeniera Mecnica y aeroespacial por la
Universidad de Princeton. En la actua- lidad es profesor de
Ingeniera Mecnica en el Instituto Rose-Hulman de Tecnologa, donde
ha impartido clases desde 1989. Sus intereses ac- tuales incluyen
dinmica estructural, monitoreo de la salud estructural, y educacin
en ingeniera a nivel de licenciatura. En los veranos, Phil trabaja
en el Laboratorio Nacional de Los lamos, donde es responsa- ble de
la escuela de verano de dinmica, y realiza investigacin en el rea
de monitoreo de la salud estructural. Recibi un premio en edu-
cacin SAE Ralph R. Teetor en 1992, el premio escolar por imparticin
de clases en Rose-Hulman en 2000, y el premio por imparticin de
cla- ses del profesorado de Rose-Hulman en 2001. viii Acerca de los
autores bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page viii
10. Contenido Prefacio xiv Agradecimientos xx Lista de smbolos
xxi 11 CINEMTICA DE PARTCULAS 601 11.1 Introduccin a la dinmica 602
Movimiento rectilneo de partculas 603 11.2 Posicin, velocidad y
aceleracin 603 11.3 Determinacin del movimiento de una partcula 607
11.4 Movimiento rectilneo uniforme 616 11.5 Movimiento rectilneo
uniformemente acelerado 617 11.6 Movimiento de varias partculas 618
*11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo 630 *11.8
Otros mtodos grficos 631 Movimiento curvilneo de partculas 641 11.9
Vector de posicin, velocidad y aceleracin 641 11.10 Derivadas de
funciones vectoriales 643 11.11 Componentes rectangulares de la
velocidad y la aceleracin 645 11.12 Movimiento relativo a un
sistema de referencia en traslacin 646 11.13 Componentes tangencial
y normal 665 11.14 Componentes radial y transversal 668 Repaso y
resumen del captulo 11 682 Problemas de repaso 686 Problemas de
computadora 688 12 CINTICA DE PARTCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON 691
12.1 Introduccin 692 12.2 Segunda ley de movimiento de Newton 693
12.3 Cantidad de movimiento lineal de una partcula. Razn de cambio
de la cantidad de movimiento lineal 694 ix bee76934_fm.qxd 12/14/09
7:45 PM Page ix
11. 12.4 Sistemas de unidades 695 12.5 Ecuaciones de movimiento
697 12.6 Equilibrio dinmico 699 12.7 Cantidad de movimiento angular
de una partcula. Razn de cambio de la cantidad de movimiento
angular 721 12.8 Ecuaciones de movimiento en trminos de las
componentes radial y transversal 723 12.9 Movimiento bajo una
fuerza central. Conservacin de la cantidad de movimiento angular
724 12.10 Ley de gravitacin de Newton 725 *12.11 Trayectoria de una
partcula bajo la accin de una fuerza central 736 *12.12 Aplicacin
en mecnica celeste 737 *12.13 Leyes de Kepler del movimiento
planetario 740 Repaso y resumen del captulo 12 749 Problemas de
repaso 753 Problemas de computadora 756 13 CINTICA DE PARTCULAS:
MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 759 13.1
Introduccin 760 13.2 Trabajo de una fuerza 760 13.3 Energa cintica
de una partcula. Principio del trabajo y la energa 764 13.4
Aplicaciones del principio del trabajo y la energa 766 13.5
Potencia y eficiencia 767 13.6 Energa potencial 786 *13.7 Fuerzas
conservativas 788 13.8 Conservacin de la energa 789 13.9 Movimiento
bajo una fuerza central conservativa. Aplicacin a la mecnica
celeste 791 13.10 Principio del impulso y la cantidad de movimiento
810 13.11 Movimiento impulsivo 813 13.12 Impacto 825 13.13 Impacto
central directo 825 13.14 Impacto central oblicuo 828 13.15
Problemas en los que interviene la energa y la cantidad de
movimiento 831 Repaso y resumen del captulo 13 847 Problemas de
repaso 853 Problemas de computadora 856 14 SISTEMAS DE PARTCULAS
859 14.1 Introduccin 860 14.2 Aplicacin de las leyes de Newton al
movimiento de un sistema de partculas. Fuerzas efectivas 860 14.3
Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partculas
863 x Contenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page x
12. 14.4 Movimiento del centro de masa de un sistema de
partculas 864 14.5 Cantidad de movimiento angular de un sistema de
partculas alrededor de su centro de masa 866 14.6 Conservacin de la
cantidad de movimiento para sistemas de partculas 868 14.7 Energa
cintica de un sistema de partculas 877 14.8 Principio del trabajo y
la energa. Conservacin de la energa para un sistema de partculas
879 14.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un
sistema de partculas 879 *14.10 Sistemas variables de partculas 890
*14.11 Corriente estacionaria de partculas 890 *14.12 Sistemas que
ganan o pierden masa 893 Repaso y resumen del captulo 14 908
Problemas de repaso 912 Problemas de computadora 916 15 CINEMTICA
DE CUERPOS RGIDOS 919 15.1 Introduccin 920 15.2 Traslacin 922 15.3
Rotacin alrededor de un eje fijo 923 15.4 Ecuaciones que definen la
rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo 926 15.5
Movimiento plano general 936 15.6 Velocidad absoluta y velocidad
relativa en el movimiento plano 938 15.7 Centro instantneo de
rotacin en el movimiento plano 950 15.8 Aceleraciones absoluta y
relativa en el movimiento plano 961 *15.9 Anlisis del movimiento
plano en trminos de un parmetro 963 15.10 Razn de cambio de un
vector con respecto a un sistema de referencia en rotacin 975 15.11
Movimiento plano de una partcula relativa a un sistema de
referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 977 *15.12 Movimiento
alrededor de un punto fijo 988 *15.13 Movimiento general 991 *15.14
Movimiento tridimensional de una partcula con respecto a un sistema
de referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 1002 *15.15
Sistema de referencia en movimiento general 1003 Repaso y resumen
del captulo 15 1015 Problemas de repaso 1022 Problemas de
computadora 1025 16 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS: FUERZAS Y
ACELERACIONES 1029 16.1 Introduccin 1030 16.2 Ecuaciones de
movimiento de un cuerpo rgido 1031 xiContenido bee76934_fm.qxd
12/14/09 7:45 PM Page xi
13. 16.3 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido en
movimiento plano 1032 16.4 Movimiento plano de un cuerpo rgido.
Principio de dAlembert 1033 *16.5 Observacin acerca de los axiomas
de la mecnica de cuerpos rgidos 1034 16.6 Solucin de problemas que
implican el movimiento de un cuerpo rgido 1035 16.7 Sistemas de
cuerpos rgidos 1036 16.8 Movimiento plano restringido o vinculado
1055 Repaso y resumen del captulo 16 1077 Problemas de repaso 1079
Problemas de computadora 1082 17 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS
RGIDOS: MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1085 17.1
Introduccin 1086 17.2 Principio del trabajo y la energa para un
cuerpo rgido 1086 17.3 Trabajo de las fuerzas que actan sobre un
cuerpo rgido 1087 17.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en
movimiento plano 1088 17.5 Sistemas de cuerpos rgidos 1089 17.6
Conservacin de la energa 1090 17.7 Potencia 1091 17.8 Principio del
impulso y la cantidad de movimiento para el movimiento plano de un
cuerpo rgido 1107 17.9 Sistemas de cuerpos rgidos 1110 17.10
Conservacin de la cantidad de movimiento angular 1110 17.11
Movimiento impulsivo 1124 17.12 Impacto excntrico 1124 Repaso y
resumen del captulo 17 1140 Problemas de repaso 1144 Problemas de
computadora 1146 18 CINTICA DE CUERPOS RGIDOS EN TRES DIMENSIONES
1149 *18.1 Introduccin 1150 *18.2 Cantidad de movimiento angular de
un cuerpo rgido en tres dimensiones 1151 *18.3 Aplicacin del
principio del impulso y la cantidad de movimiento al movimiento
tridimensional de un cuerpo rgido 1155 *18.4 Energa cintica de un
cuerpo rgido en tres dimensiones 1156 *18.5 Movimiento de un cuerpo
rgido en tres dimensiones 1169 *18.6 Ecuaciones de movimiento de
Euler. Extensin del principio de dAlembert al movimiento de un
cuerpo rgido en tres dimensiones 1170 *18.7 Movimiento de un cuerpo
rgido alrededor de un punto fijo 1171 *18.8 Rotacin de un cuerpo
rgido alrededor de un eje fijo 1172 *18.9 Movimiento de un
giroscopio. ngulos de Euler 1187 *18.10 Precesin estable de un
giroscopio 1189 xii Contenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page
xii
14. *18.11 Movimiento de un cuerpo simtrico con respecto a un
eje y que no se somete a ninguna fuerza 1190 Repaso y resumen del
captulo 18 1203 Problemas de repaso 1208 Problemas de computadora
1211 19 VIBRACIONES MECNICAS 1215 19.1 Introduccin 1216 Vibraciones
sin amortiguamiento 1216 19.2 Vibraciones libres de partculas.
Movimiento armnico simple 1216 19.3 Pndulo simple (solucin
aproximada) 1220 *19.4 Pndulo simple (solucin exacta) 1221 19.5
Vibraciones libres de cuerpos rgidos 1230 19.6 Aplicacin del
principio de la conservacin de la energa 1242 19.7 Vibraciones
forzadas 1253 Vibraciones amortiguadas 1263 *19.8 Vibraciones
libres amortiguadas 1263 *19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas
1266 *19.10 Analogas elctricas 1267 Repaso y resumen del captulo 19
1279 Problemas de repaso 1284 Problemas de computadora 1288 Apndice
A ALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES TILES DEL LGEBRA VECTORIAL
1291 Apndice B MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS 1297 Apndice C
FUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACIN EN INGENIERA EN ESTADOS UNIDOS
1337 Crditos de fotografas 1339 ndice analtico 1341 Respuestas a
problemas 1351 xiiiContenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page
xiii
15. Prefacio OBJETIVOS El objetivo principal de un primer curso
de mecnica debe ser desa- rrollar en el estudiante de ingeniera la
capacidad de analizar cualquier problema en forma lgica y sencilla,
y la de aplicar para su solucin unos cuantos principios bsicos
perfectamente comprendidos. Se es- pera que este texto y el tomo
complementario, Mecnica vectorial pa- ra ingenieros: Esttica,
permitirn que el profesor alcance este objetivo. ENFOQUE GENERAL En
la parte inicial del primer tomo se introdujo el anlisis vectorial,
el cual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios
funda- mentales de la esttica, as como en la solucin de muchos
problemas. De manera similar, el concepto de diferenciacin
vectorial se introdu- ce al inicio de este volumen, y el anlisis
vectorial se utiliza a lo largo de la presentacin de la dinmica.
Este planteamiento conduce a una especificacin ms concisa de los
principios fundamentales de la me- cnica. Tambin hace posible
analizar muchos problemas en cinemti- ca y cintica que no podran
resolverse mediante mtodos escalares. Sin embargo, se mantiene el
nfasis en el correcto aprendizaje de los principios de la mecnica y
en su aplicacin para resolver problemas de ingeniera, por lo que el
anlisis vectorial se presenta, primordial- mente, como una
herramienta til. Se introducen aplicaciones prcticas desde una
etapa inicial. Una de las caractersticas del enfoque usado en estos
tomos es que la mecnica de partculas se ha separado en forma clara
de la mecnica de cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible
considerar aplicaciones prcticas simples en una etapa inicial y
posponer la introduccin de los conceptos ms avanzados. Por ejemplo:
En Esttica, la esttica de partculas se estudia primero, y el prin-
cipio de equilibrio de una partcula se aplica inmediatamente a si-
tuaciones prcticas que involucran slo fuerzas concurrentes. La
esttica de cuerpos rgidos se considera posteriormente, cuando ya se
ha hecho la presentacin de los productos escalar y vectorial de dos
vectores; estos conceptos se utilizan para definir el momento de
una fuerza con respecto a un punto y a un eje. xiv bee76934_fm.qxd
12/14/09 7:45 PM Page xiv
16. En Dinmica se observa la misma divisin. Se introducen los
con- ceptos bsicos de fuerza, masa y aceleracin, de trabajo y
energa, y de impulso y cantidad de movimiento, y se aplican en
primera instancia a la solucin de problemas que involucran slo
partcu- las. De esta forma, los estudiantes pueden familiarizarse
por s mis- mos con los tres mtodos bsicos utilizados en dinmica y
apren- der sus respectivas ventajas antes de enfrentar las
dificultades asociadas con el movimiento de cuerpos rgidos. Los
conceptos nuevos se presentan en trminos simples. Como este texto
est diseado para un primer curso sobre dinmica, los conceptos
nuevos se presentan en trminos simples y cada paso se explica en
forma detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una ma- durez
definitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los proble-
mas considerados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad general.
Por ejemplo, el concepto de energa potencial se analiza para el
caso general de una fuerza conservativa. Adems, el estudio del
movimien- to plano de cuerpos rgidos est ideado para conducir de
manera na- tural al estudio de su movimiento general en el espacio.
Lo anterior se cumple tanto en cinemtica como en cintica, donde el
principio de equivalencia de fuerzas externas y efectivas se aplica
de manera direc- ta al anlisis de movimiento plano, lo que facilita
la transicin al estu- dio del movimiento tridimensional. Los
principios fundamentales se utilizan en el contexto de aplicaciones
simples. Se enfatiza el hecho de que la mecnica es, esencialmente,
una ciencia deductiva que se basa en algunos principios
fundamentales. Las derivaciones se presentan siguiendo su secuencia
lgica y con todo el rigor requerido a este nivel. Sin embargo, en
vir- tud de que el proceso de aprendizaje es primordialmente
inductivo, se consideran primero las aplicaciones ms simples. Por
ejemplo: La cinemtica de partculas (captulo 11) antecede a la
cinemtica de cuerpos rgidos (captulo 15). Los principios
fundamentales de la cintica de cuerpos rgidos se aplican primero a
la solucin de problemas bidimensionales (cap- tulos 16 y 17), los
cuales pueden ser visualizados con mayor faci- lidad por los
estudiantes, mientras que los problemas tridimensio- nales se
posponen hasta el captulo 18. La presentacin de los principios de
la cintica se unifica. La octava edicin de Mecnica vectorial para
ingenieros tiene la pre- sentacin unificada de los principios de la
cintica que caracterizaron a las siete ediciones anteriores. Los
conceptos de cantidad de movi- miento lineal y angular se presentan
en el captulo 12, de modo que la segunda ley de Newton para el
movimiento pueda presentarse no s- lo en su forma convencional F
ma, sino tambin como una ley que relaciona, respectivamente, la
suma de fuerzas que actan sobre una partcula y la suma de sus
momentos con las razones de cambio de la cantidad de movimiento
lineal y angular de la partcula. Esto hace po- sible una
introduccin temprana del principio de conservacin de la cantidad de
movimiento angular, y un anlisis ms lgico del movimien- to de una
partcula bajo una fuerza central (seccin 12.9). An ms importante,
este planteamiento puede extenderse sin dificultad al mo- vimiento
de un sistema de partculas (captulo 14) y efectuar un trata-
xvPrefacio bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xv
17. miento ms conciso y unificado de la cintica de cuerpos
rgidos en dos y tres dimensiones (captulos 16 a 18). Se emplean
diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y
expresar la equivalencia de sistemas de fuerzas. Los diagramas de
cuerpo libre se introdujeron al prin- cipio del libro de esttica, y
su importancia se enfatiz a lo largo de to- do el texto. Estos
diagramas se emplean no slo para resolver proble- mas de
equilibrio, sino tambin para expresar la equivalencia de dos
sistemas de fuerzas o, de modo ms general, de dos sistemas de vec-
tores. La ventaja de este enfoque se vuelve evidente en el estudio
de la dinmica de cuerpos rgidos, donde se utiliza para resolver
proble- mas tridimensionales y bidimensionales. Se pudo lograr una
compren- sin ms intuitiva y completa de los principios
fundamentales de la di- nmica al poner mayor nfasis en las
ecuaciones de los diagramas de cuerpo libre en lugar de en las
ecuaciones algebraicas estndar de mo- vimiento. Este enfoque,
introducido en 1962 en la primera edicin de Mecnica vectorial para
ingenieros, ha obtenido a la fecha una amplia aceptacin en Estados
Unidos entre los profesores de mecnica. Por lo tanto, en la
resolucin de todos los problemas resueltos de este li- bro, se
prefiere su utilizacin en lugar del mtodo de equilibrio din- mico y
de las ecuaciones de movimiento. Se utilizan presentaciones en
cuatro colores para distinguir los vectores. El color se ha usado
no slo para mejorar la calidad de las ilustraciones, sino tambin
para ayudar a los estudiantes a dis- tinguir entre los diversos
tipos de vectores que pueden encontrar. En virtud de que no haba
intencin de colorear por completo este texto, en un captulo dado se
utiliza el mismo color para representar el mis- mo tipo de vector.
Por ejemplo, a lo largo del tomo de esttica, el ro- jo se utiliza
en forma exclusiva para representar fuerzas y pares, mien- tras que
los vectores de posicin se muestran en azul y las dimensiones en
negro. Esto vuelve ms fcil para los estudiantes la identificacin de
las fuerzas que actan sobre una partcula o un cuerpo rgido dado y
la comprensin de los problemas resueltos y de otros ejemplos pro-
porcionados en el libro. En Dinmica, para los captulos de cintica,
el rojo se usa de nuevo para fuerzas y pares, as como para fuerzas
efec- tivas. El rojo tambin se utiliza para representar impulsos y
cantidades de movimiento en ecuaciones de diagramas de cuerpo
libre, mientras que el verde es utilizado para velocidades, y el
azul en aceleraciones. En los dos captulos de cinemtica, donde no
se involucra ninguna fuer- za, se usan azul, verde y rojo,
respectivamente, para indicar desplaza- mientos, velocidades y
aceleraciones. Se mantiene, en forma consistente, un cuidadoso
balance entre las unidades del SI y las unidades del sistema ingls.
De- bido a la tendencia que existe en la actualidad en el gobierno
y la indus- tria estadounidenses de adoptar el Sistema
Internacional de unidades (unidades mtricas SI), las unidades SI
que se usan con mayor frecuen- cia en mecnica se introducen en el
captulo 1 y se emplean en todo el libro. Aproximadamente la mitad
de los problemas resueltos y un 60 por ciento de los problemas de
tarea estn planteados en este sistema de uni- dades, mientras que
el resto se proporciona en las unidades de uso co- mn en Estados
Unidos. Los autores creen que este enfoque es el que xvi Prefacio
bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xvi
18. xviiPrefaciose adecuar mejor a las necesidades de los
estudiantes, quienes, como ingenieros, tendrn que dominar los dos
sistemas de unidades. Tambin se debe reconocer que el uso de ambos
sistemas de uni- dades significa algo ms que aplicar factores de
conversin. Como el sis- tema de unidades SI es absoluto basado en
el tiempo, la longitud y la masa, mientras el sistema ingls es
gravitacional basado en el tiempo, la longitud y la fuerza, se
requieren diferentes enfoques en la solucin de muchos problemas.
Por ejemplo, cuando se usan las unidades SI, por lo general, un
cuerpo se especifica mediante su masa expresada en kilo- gramos; en
la mayora de los problemas de esttica ser necesario deter- minar el
peso del cuerpo en newtons, para lo cual se requiere un clcu- lo
adicional. Por otro lado, cuando se aplican las unidades del
sistema ingls, un cuerpo se especifica mediante su peso en libras
y, en pro- blemas de dinmica, se requerir un clculo adicional para
determinar su masa en slugs (o lbs2 /ft). Por tanto, los autores
creen que los pro- blemas asignados a los estudiantes deben incluir
ambos sistemas de unidades. En las secciones opcionales se tratan
temas avanzados o especializados. En el libro se incluye un gran
nmero de seccio- nes opcionales identificadas mediante asteriscos
y, por tanto, se distin- guen fcilmente de aquellas que constituyen
la parte fundamental de un curso bsico de dinmica. Estas secciones
pueden omitirse sin per- judicar la comprensin del resto del texto.
Entre los temas cubiertos en las secciones opcionales se encuen-
tran los mtodos grficos para la resolucin de problemas de movi-
miento rectilneo, trayectoria de una partcula bajo una fuerza
central, desviacin de corrientes de fluido, problemas que implican
propulsin a chorro y cohetes, la cinemtica y la cintica de cuerpos
rgidos en tres dimensiones, vibraciones mecnicas amortiguadas, y
analogas elctri- cas. Estos temas adquirirn un inters particular
cuando el curso de di- nmica se imparta durante el primer ao de
estudios. El material presentado en el libro y la mayor parte de
los proble- mas no requieren conocimiento matemtico previo superior
al lgebra, la trigonometra y el clculo elementales; todos los
conocimientos de l- gebra elemental necesarios para comprender el
texto se presentan con detalle en los captulos 2 y 3 del volumen de
esttica. Sin embargo, se incluyen problemas especiales que
requieren un conocimiento ms avanzado de clculo, y ciertas
secciones, como las 19.8 y 19.9 sobre vi- braciones amortiguadas,
slo deben asignarse cuando los estudiantes posean los fundamentos
matemticos adecuados. En las partes del tex- to que utilizan el
clculo elemental, se pone mayor nfasis en la apro- piada comprensin
de los conceptos matemticos bsicos incluidos que en la manipulacin
de las frmulas matemticas. Al respecto, se debe mencionar que la
determinacin de los centroides de reas compuestas precede al clculo
de centroides por integracin, lo cual posibilita esta- blecer
firmemente el concepto de momento de un rea antes de intro- ducir
el uso de integrales. Algunas definiciones y propiedades tiles de
lgebra se resumen en el apndice A al fi- nal del libro, para
comodidad del lector. Asimismo, las secciones 9.11 a 9.18 del
volumen de esttica, donde se estudian los momentos de inercia de
masas, se reproducen en el apn- dice B. bee76934_fm.qxd 12/14/09
7:45 PM Page xvii
19. ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Y CARACTERSTICAS PEDAGGICAS
Introduccin del captulo. Cada captulo comienza con una in-
troduccin que establece el propsito y los objetivos del mismo, y en
la que se describe en trminos sencillos el material que ser
cubierto y sus aplicaciones en la resolucin de problemas de
ingeniera. Los nue- vos lineamientos del captulo proporcionan a los
estudiantes una visin previa de los temas que ste incluye.
Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est dividido en
unidades, cada una de las cuales consiste en una o ms secciones de
teora, uno o varios problemas resueltos, y una gran cantidad de
pro- blemas de tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien
definido que, por lo general, puede ser cubierto en una leccin. Sin
embargo, en ciertos casos el profesor encontrar que es deseable
dedicar ms de una leccin a un tema en particular. Problemas
resueltos. Los problemas resueltos se plantean de manera muy
similar a la que usarn los estudiantes cuando resuelvan los
problemas que se les asignen. Por tanto, estos problemas cumplen el
doble propsito de ampliar el texto y demostrar la forma de trabajo
clara y ordenada que los estudiantes deben cultivar en sus propias
so- luciones. Resolucin de problemas en forma independiente. Entre
los problemas resueltos y los de tarea, cada leccin incluye una
seccin ti- tulada Resolucin de problemas en forma independiente. El
propsito de estas secciones es ayudar a los estudiantes a organizar
mentalmen- te la teora ya cubierta en el texto y los mtodos de
resolucin de los problemas resueltos, de manera que puedan resolver
con mayor xito los problemas de tarea. Adems, en estas secciones
tambin se inclu- yen sugerencias y estrategias especficas que les
permitirn enfrentar de manera ms eficiente cualquier problema
asignado. Series de problemas de tarea. La mayora de los problemas
son de naturaleza prctica y deben llamar la atencin del estudiante
de ingeniera. Sin embargo, estn diseados para ilustrar el material
presen- tado en el texto y ayudar a los estudiantes a comprender
los principios de la mecnica. Los problemas se han agrupado de
acuerdo con las partes del material que ilustran y se presentan en
orden de dificultad creciente. Los problemas que requieren atencin
especial estn sealados median- te asteriscos. Al final del texto se
proporcionan las respuestas correspon- dientes a 70 por ciento de
los problemas propuestos; y aquellos para los cuales no se da
respuesta se indican en el libro escribiendo su n- mero en
cursivas. Repaso y resumen del captulo. Cada captulo finaliza con
un repaso y un resumen del material cubierto en el mismo. Las notas
al margen se utilizan para ayudar al estudiante a organizar su
trabajo de revisin, adems se han incluido referencias cruzadas para
ayudarlos a encontrar las partes de material que requieren atencin
especial. Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye
un grupo de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los
es- tudiantes una oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms
im- portantes presentados en el captulo. xviii Prefacio
bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xviii
20. xixPrefacioProblemas de computadora. Cada captulo incluye
un grupo de problemas diseados para ser resueltos mediante
programas de computadora. Muchos de estos problemas son importantes
para el pro- ceso de diseo. Por ejemplo, pueden involucrar la
determinacin del movimiento de una partcula bajo condiciones
iniciales, el anlisis ci- nemtico o cintico de mecanismos en
posiciones sucesivas, o la inte- gracin numrica de diferentes
ecuaciones de movimiento. El desarro- llo del algoritmo requerido
para resolver un problema de mecnica dado beneficiar a los
estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayu- dar a lograr una
mejor comprensin de los principios de la mecnica involucrados; 2)
les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habi- lidades con la
computadora a la resolucin de un problema relevante de ingeniera.
MATERIALES DE APOYO Esta obra cuenta con interesantes complementos
que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como la
evaluacin de los mis- mos, los cuales se otorgan a profesores que
adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y
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representante McGraw-Hill o enve un correo electrnico a
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Connect Engineering) es una plataforma de tareas y evaluacin que
proporciona a los estudiantes los medios para conectarse de mejor
manera con su curso, sus profesores y los conceptos importantes que
necesitarn conocer para su xito en la actualidad y en el futuro.
Mediante la Conexin con la Ingeniera, los profesores pueden
entregar con facilidad tareas, tests y exmenes en lnea. Los
estudiantes pueden practicar habilidades importantes a su propio
ritmo y de acuerdo con su propio programa. La Conexin con la
Ingeniera de Mecnica vectorial para inge- nieros est disponible en
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texto, presentaciones en PowerPoint, un banco de imgenes y
animaciones. OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICO Los libros electrnicos
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com. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xix
21. xx Prefacio AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer de
manera especial a Dean Updike, de Lehigh University, quien verific
completamente las soluciones y res- puestas de todos los problemas
de esta edicin, y despus prepar las soluciones del Manual para el
instructor y de soluciones adicional al texto. Es un placer
reconocer el trabajo de Dennis Ormond de Fine Line Illustrations
por las artsticas ilustraciones que contribuyen en gran medida a la
efectividad del texto. Los autores agradecen a las diferentes
empresas que proporcionaron fotografas para esta edicin. Tambin
desean reconocer el esfuerzo de- terminado y la paciencia de Sabina
Dowell, quien seleccion las fotogra- fas. Un agradecimiento
adicional para los miembros de la organizacin McGraw-Hill por su
apoyo y dedicacin en preparar esta nueva edicin. Por ltimo, los
autores expresan su gratitud por los numerosos co- mentarios y
sugerencias proporcionados por los usuarios de las ediciones
anteriores de Mecnica vectorial para ingenieros. E. Russell
Johnston, Jr. Phillip J. Cornwell bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM
Page xx
22. xxi Lista de smbolos a, a Aceleracin a Constante; radio;
distancia; eje semimayor de la elipse a, a Aceleracin del centro de
masa aBA Aceleracin de B relativa al sistema de referencia en
traslacin con A aP Aceleracin de P relativa al sistema de
referencia en rotacin ac Aceleracin de Coriolis A, B, C, . . .
Reacciones en soportes y conexiones A, B, C, . . . Puntos A rea b
Ancho; distancia; eje semimenor de la elipse c Constante;
coeficiente de amortiguamiento viscoso C Centroide; centro
instantneo de rotacin; capacitancia d Distancia en, et Vectores
unitarios a lo largo de la normal y la tangente er, e Vectores
unitarios en las direcciones radial y transversal e Coeficiente de
restitucin; base de los logaritmos naturales E Energa mecnica
total; voltaje f Funcin escalar ff Frecuencia de vibracin forzada
fn Frecuencia natural F Fuerza; fuerza de friccin g Aceleracin de
la gravedad G Centro de gravedad; centro de masa; constante de
gravitacin h Momento angular por masa unitaria HO Momento angular
alrededor del punto O HG Razn de cambio de la cantidad de
movimiento angular HG con respecto a un sistema de referencia de
orientacin fija ( HG)Gxyz Razn de cambio de la cantidad de
movimiento angular HG con respecto a un sistema de referencia en
rotacin Gxyz i, j, k Vectores unitarios a lo largo de los ejes de
coordenadas i Corriente I, Ix, . . . Momentos de inercia I Momento
centroidal de inercia Ixy, . . . Productos de inercia J Momento
polar de inercia k Constante de resorte kx, ky, kO Radio de giro k
Radio de giro centroidal l Longitud L Cantidad de movimiento lineal
L Longitud; inductancia m Masa m Masa por unidad de longitud M Par;
momento MO Momento alrededor del punto O MR O Momento resultante
alrededor del punto O M Magnitud de par o momento; masa de la
Tierra MOL Momento alrededor del eje OL n Direccin normal
bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxi
23. N Componente normal de la reaccin O Origen de coordenadas P
Fuerza; vector P Razn de cambio del vector P con respecto a un
sistema de referencia de orientacin fija q Razn de flujo de masa;
carga elctrica Q Fuerza; vector Q Razn de cambio del vector Q con
respecto a un sistema de referencia de orientacin fija ( Q)Oxyz
Razn de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia
Oxyz r Vector de posicin rBA Vector de posicin de B relativo a A r
Radio; distancia; coordenada polar R Fuerza resultante; vector
resultante; reaccin R Radio de la Tierra; resistencia s Vector de
posicin s Longitud de arco t Tiempo; espesor; direccin tangencial T
Fuerza T Tensin; energa cintica u Velocidad u Variable U Trabajo v,
v Velocidad v Rapidez v, v Velocidad del centro de masa vBA
Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslacin
con A vP Velocidad de P relativa al sistema de referencia en
rotacin V Producto vectorial V Volumen; energa potencial w Carga
por unidad de longitud W, W Peso; carga x, y, z Coordenadas
rectangulares; distancias x, y, z Derivadas temporales de las
coordenadas x, y, z x, y, z Coordenadas rectangulares del
centroide, centro de gravedad o centro de masa , Aceleracin angular
, , ngulos Peso especfico Elongacin Excentricidad de seccin cnica o
de rbita Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia
Coordenada angular; ngulo euleriano; ngulo; coordenada polar
Coeficiente de friccin Densidad; radio de curvatura Periodo n
Periodo de vibracin libre ngulo de friccin; ngulo euleriano; ngulo
de fase; ngulo Diferencia de fase ngulo euleriano , Velocidad
angular f Frecuencia circular de vibracin forzada n Frecuencia
circular natural Velocidad angular del sistema de referencia xxii
Lista de smbolos bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxii
24. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxiii
25. El movimiento del transbordador espacial se describe en
trminos de su posicin, velocidad y aceleracin. Al aterrizar, el
piloto debe considerar la velocidad del viento y el movimiento
relativo del transbordador con respecto al viento. El estudio del
movimiento se conoce como cinemtica y es el objeto de estudio en
este captulo. 600 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 600
27. 602 11.1. INTRODUCCIN A LA DINMICA Los captulos 1 al 10 se
dedicaron a la esttica, esto es, al anlisis de los cuerpos en
reposo. Ahora se inicia el estudio de la dinmica, parte de la
mecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento. En
tanto que el estudio de la esttica se remonta al tiempo de los
filsofos griegos, la primera contribucin importante a la dinmica la
realiz Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos
uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular
sus leyes de movimiento fundamentales. La dinmica incluye: 1. La
cinemtica, la cual corresponde al estudio de la geometra del
movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la
velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a la
causa del movimiento. 2. La cintica, que es el estudio de la
relacin que existe entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo, su
masa y el movi- miento de este mismo. La cintica se utiliza para
predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para
determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento
es- pecfico. Los captulos 11 al 14 abordan la dinmica de partculas;
en el ca- ptulo 11 se considera la cinemtica de partculas. El uso
de la pala- bra partculas no significa que el estudio se restringir
a pequeos corpsculos, sino que en estos primeros captulos el
movimiento de cuerpos posiblemente tan grandes como automviles,
cohetes o aviones ser considerado sin tomar en cuenta su tamao. Al
afirmar que los cuerpos se analizan como partculas, se entiende que
slo se va a considerar su movimiento como una unidad completa, y se
ignora cualquier rotacin alrededor de su propio centro de masa. Sin
embar- go, hay casos en los que dicha rotacin no es despreciable;
entonces no pueden considerarse como partculas. Este tipo de
movimiento se ana- liza en los captulos finales, en los que se
trata la dinmica de cuerpos rgidos. En la primera parte del captulo
11 se estudia el movimiento rectilneo de una partcula; esto es, se
determina la posicin, velocidad y aceleracin de una partcula en
todo instante conforme sta se mueve a lo largo de una lnea recta.
Primero, se emplean mtodos generales de anlisis para estudiar el
movimiento de una partcula; despus se consideran dos casos
particulares importantes, a saber, el movimiento uniforme y el
movimiento uniformemente acelerado de una partcula (secciones 11.4
y 11.5). En la seccin 11.6, se aborda el movimiento simultneo de
varias partculas, y se presenta el concepto de movi- miento
relativo de una partcula con respecto a otra. La primera parte de
este captulo concluye con un estudio de mtodos grficos de anli- sis
y su aplicacin en la solucin de diversos problemas que implican el
movimiento rectilneo de partculas (secciones 11.7 y 11.8). En la
segunda parte de este captulo se analiza el movimiento de una
partcula cuando sta se mueve a lo largo de una trayectoria curva.
Puesto que la posicin, velocidad y aceleracin de una par- tcula se
definen como cantidades vectoriales, el concepto de la deri- vada
de una funcin vectorial se presenta en la seccin 11.10 y se aade a
las herramientas matemticas. Despus se estudian las apli- CAPTULO
11 CINEMTICA DE PARTCULAS 11.1 Introduccin a la dinmica 11.2
Posicin, velocidad y aceleracin 11.3 Determinacin del movimiento de
una partcula 11.4 Movimiento rectilneo uniforme 11.5 Movimiento
rectilneo uniformemente acelerado 11.6 Movimiento de varias
partculas 11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo
11.8 Otros mtodos grficos 11.9 Vector de posicin, velocidad y
aceleracin 11.10 Derivadas de funciones vectoriales 11.11
Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleracin 11.12
Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslacin 11.13
Componentes tangencial y normal 11.14 Componentes radial y
transversal bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 602
28. 60311.2. Posicin, velocidad y aceleracincaciones en las que
el movimiento de una partcula se define median- te las componentes
rectangulares de su velocidad y aceleracin; en este punto se
analiza el movimiento de un proyectil (seccin 11.11). En la seccin
11.12 se estudia el movimiento de una partcula en relacin con el
sistema de referencia en traslacin. Por ltimo, se ana- liza el
movimiento curvilneo de una partcula en trminos de com- ponentes
que no sean las rectangulares. Las componentes tangencial y normal
de la velocidad y la aceleracin de una partcula se presen- tan en
la seccin 11.13 y las componentes radial y transversal de su
velocidad y aceleracin en la seccin 11.14. MOVIMIENTO RECTILNEO DE
PARTCULAS 11.2. POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACIN Una partcula que se
mueve a lo largo de una lnea recta se dice que se encuentra en
movimiento rectilneo. En cualquier instante dado t, la partcula
ocupar cierta posicin sobre la lnea recta. Para definir la posicin
P de la partcula se elige un origen fijo O sobre la direccin
positiva a lo largo de la lnea. Se mide la distancia x desde O
hasta P, y se marca con un signo ms o menos, dependiendo de si P se
alcanza desde O al moverse a lo largo de la lnea en la direccin
positiva o en la negativa, respectivamente. La distancia x, con el
signo apropiado, de- fine por completo la posicin de la partcula, y
se denomina como la coordenada de la posicin de la partcula. Por
ejemplo, la coordenada de la posicin correspondiente a P en la
figura 11.1a) es x 5 m; la coordenada correspondiente a P en la
figura 11.1b) es x 2 m. Cuando se conoce la coordenada de la
posicin x de una partcula para cualquier valor de tiempo t, se
afirma que se conoce el movi- miento de la partcula. El itinerario
del movimiento puede expresar- se en forma de una ecuacin en x y t,
tal como x 6t2 t3 , o en una grfica de x en funcin de t, como se
indica en la figura 11.6. Las uni- dades que se usan con mayor
frecuencia para medir la coordenada de la posicin x son el metro
(m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de
unidades ingls. El tiempo t suele medirse en segun- dos (s).
Considere la posicin P ocupada por la partcula en el tiempo t y la
coordenada correspondiente x (figura 11.2). Considere tambin la
posicin P ocupada por la partcula en un tiempo posterior t t; la
coordenada de la posicin P puede obtenerse sumando a la coorde-
nada x de P el pequeo desplazamiento x, el cual ser positivo o
negativo segn si P est a la derecha o a la izquierda de P. La
veloci- dad promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t
se defi- ne como el cociente entre el desplazamiento x y el
intervalo de tiempo t: Velocidad promedio x t Cf. Seccin 1.3.
Figura 11.1 Figura 11.2 O O P x x a) b) 1 m P x x 1 m O P x x(t) (t
+ t) P' x Fotografa 11.1 El movimiento de este vehculo solar se
describe mediante su posicin, velocidad y aceleracin.
bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 603
29. 604 Cinemtica de partculas Si se usan unidades del SI, x se
expresa en metros y t en segundos, la velocidad promedio se expresa
consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las
unidades de uso comn en Estados Unidos, x se expresa en pies y t en
segundos; la velocidad promedio se expresar entonces en pies por
segundo (ft/s). La velocidad instantnea v de la partcula en el
instante t se obtie- ne de la velocidad promedio al elegir
intervalos t y desplazamientos x cada vez ms cortos: Velocidad
instantnea v lm ty0 La velocidad instantnea se expresa tambin en
m/s o ft/s. Observando que el lmite del cociente es igual, por
definicin, a la derivada de x con respecto a t, se escribe v (11.1)
La velocidad v se representa mediante un nmero algebraico que puede
ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x
aumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva
(figura 11.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es
decir, que la partcula se mueve en direccin negativa (figura
11.3b). La mag- nitud de v se conoce como la rapidez de la
partcula. Considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y
tambin su velocidad v v en un tiempo posterior t t (figura 11.4).
La aceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo
t se refiere como el cociente de v y t: Aceleracin promedio Si se
utilizan las unidades del SI, v se expresa en m/s y t en segun-
dos; la aceleracin promedio se expresar entonces en m/s2 . Si se
recurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, v se expre-
sa en ft/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresa
enton- ces en ft/s2 . La aceleracin instantnea a de la partcula en
el instante t se obtiene de la aceleracin promedio al escoger
valores de t y v cada vez ms pequeos: Aceleracin instantnea a lm
ty0 v t v t dx dt x t Figura 11.3 Figura 11.4 Como se ver en la
seccin 11.9, la velocidad es en realidad una cantidad vectorial.
Sin embargo, puesto que aqu se considera el movimiento rectilneo de
una partcula, en el cual la velocidad de la misma tiene una
direccin conocida y fija, slo es necesario espe- cificar el sentido
y la magnitud de la velocidad; esto puede llevarse a cabo de manera
con- veniente utilizando una cantidad escalar con un signo ms o
menos. Lo mismo se cumple para la aceleracin de una partcula en
movimiento rectilneo. a) b) P P x x v > 0 v < 0 (t) (t + t) v
+ vP'P x v bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 604
30. 60511.2. Posicin, velocidad y aceleracin La aceleracin
instantnea se expresa tambin en m/s2 o ft/s2 . El lmi- te del
cociente, el cual es por definicin la derivada de v con respecto a
t, mide la razn de cambio de la velocidad. Se escribe a (11.2) o,
con la sustitucin de v de (11.1), a (11.3) La aceleracin a se
representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o
negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir,
el nmero algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la
partcula se est moviendo ms rpido en la direc- cin positiva (figura
11.5a) o que se mueve ms lentamente en la direccin negativa (figura
11.5b); en ambos casos, v es positiva. Un valor negativo de a
indica que disminuye la velocidad; ya sea que la partcula se est
moviendo ms lentamente en la direccin positiva (figura 11.5c) o que
se est moviendo ms rpido en la direccin negativa (figura 11.5d). d2
x dt2 dv dt Figura 11.5 El trmino desaceleracin se utiliza en
algunas ocasiones para re- ferirse a a cuando la rapidez de la
partcula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la partcula se
mueve entonces con mayor lentitud. Por ejemplo, la partcula de la
figura 11.5 se desacelera en las partes b y c; en verdad se acelera
(es decir, se mueve ms rpido) en las partes a y d. Es posible
obtener otra expresin para la aceleracin eliminando la diferencial
dt en las ecuaciones (11.1) y (11.2). Al resolver (11.1) para dt,
se obtiene dt dxv; al sustituir en (11.2), se escribe a v (11.4) dv
dx Vase la nota al pie, pgina 604. v P x P' v' a > 0 a) x v PP'
v' a > 0 b) x v P P' v' a < 0 c) x v PP' v' a < 0 d)
bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 605
31. 606 Cinemtica de partculas Ejemplo. Considere la partcula
que se mueve en una lnea recta y suponga que su posicin est
definida por la ecuacin x 6t2 t3 donde t se expresa en segundos y x
en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al
diferenciar x con respecto a t v 12t 3t2 La aceleracin a se obtiene
al diferenciar otra vez con respecto a t: a 12 6t La coordenada de
la posicin, la velocidad y la aceleracin se han graficado contra t
en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se cono- cen como curvas de
movimiento. Recurdese, sin embargo, que la partcula no se mueve a
lo largo de ninguna de estas curvas; la par- tcula se mueve en una
lnea recta. Puesto que la derivada de una funcin mide la pendiente
de la curva correspondiente, la pendiente de la curva x-t en
cualquier tiempo dado es igual al valor de v en ese tiempo y la
pendiente de la curva v-t es igual al valor de a. Puesto que a 0 en
t 2 s, la pendiente de la curva v-t debe ser cero en t 2 s; la
velocidad alcanza un mximo en este instante. Adems, puesto que v 0
en t 0 y t 4 s la tangente a la curva x-t debe ser horizontal para
ambos de estos valores de t. Un estudio de las tres curvas de
movimiento de la figura 11.6 muestra que el movimiento de la
partcula desde t 0 hasta t puede dividirse en cuatro etapas: 1. La
partcula inicia desde el origen, x 0, sin velocidad pero con una
aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana una velocidad
positiva y se mueve en la direccin positiva. De t 0 a t 2 s, x, v y
a son todas positivas. 2. En t 2 s, la aceleracin es cero; la
velocidad ha alcanzado su valor mximo. De t 2 s a t 4 s, v es
positiva, pero a es negativa. La partcula an se mueve en direccin
positiva, pero cada vez ms lentamente; la partcula se est
desacelerando. 3. En t 4 s, la velocidad es cero; la coordenada de
la posicin x ha alcanzado su valor mximo. A partir de ah, tanto v
como a son negativas; la partcula se est acelerando y se mueve en
la direccin negativa con rapidez creciente. 4. En t 6 s, la
partcula pasa por el origen; su coordenada x es en ese caso cero,
en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del
movimiento es de 64 m. Para valores mayores de t que 6 s, x, v y a
sern todas negativas. La partcula con- tina movindose en la
direccin negativa, alejndose de O, cada vez ms rpido. dv dt dx dt
Figura 11.6 x(m) v(m/s) t(s) t(s) t(s) 32 24 16 8 0 12 2 2 4 4 6 6
0 12 a(m/s2) 12 0 24 12 24 36 2 4 6 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55
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32. 60711.3. Determinacin del movimiento de una partcula 11.3.
DETERMINACIN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA En la seccin anterior
se afirma que el movimiento de una partcula es conocido si se sabe
la posicin de la partcula para todo valor del tiempo t. En la
prctica, sin embargo, un movimiento rara vez se de- fine por medio
de una relacin entre x y t. Con mayor frecuencia, las condiciones
del movimiento se especificarn por el tipo de acelera- cin que
posee la partcula. Por ejemplo, un cuerpo en cada libre tendr una
aceleracin constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81 m/s2 , o
32.2 ft/s2 ; una masa unida a un resorte que se ha estirado ten- dr
una aceleracin proporcional a la elongacin instantnea del resorte,
medida desde la posicin de equilibrio, etc. En general, la
aceleracin de la partcula puede expresarse como una funcin de una o
ms de las variables x, v y t. Para determinar la coordenada de la
posicin x en trminos de t, ser necesario efectuar dos integracio-
nes sucesivas. Se considerarn tres clases comunes de movimiento: 1.
a f(t). La aceleracin es una funcin dada de t. Al resolver (11.2)
para dv y sustituir f(t) por a, se escribe dv a dt dv f(t) dt Al
integrar ambos miembros, se obtiene la ecuacin dv f(t) dt que
define v en trminos de t. Sin embargo, debe notarse que una
constante arbitraria se introducir como resultado de la integracin.
Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que
corresponden a la aceleracin dada a f(t). Para definir en forma
nica el movimiento de la partcu- la, es necesario especificar las
condiciones iniciales del movi- miento, esto es, el valor de v0 de
la velocidad y el valor x0 de la coordenada de la posicin en t 0.
Al sustituir las inte- grales indefinidas por integrales definidas
con los lmites inferiores correspondientes a las condiciones
iniciales t 0 y v v0 y los lmites superiores correspondientes a t t
y v v, se escribe v v0 dv t 0 f(t) dt v v0 t 0 f(t) dt lo cual
produce v en trminos de t. La ecuacin (11.1) puede resolverse ahora
para dx, dx v dt y la expresin que se acaba de obtener sea
sustituida por v. Ambos miembros se integran despus, el miembro
izquierdo con respecto a x desde x x0 hasta x x, y el miembro de-
bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 607
33. 608 Cinemtica de partculas recho respecto a t desde t 0
hasta t t. La coordenada de la posicin x se obtiene de ese modo en
trminos de t; el mo- vimiento est completamente determinado. Dos
casos particulares importantes se estudiarn con gran detalle en las
secciones 11.4 y 11.5: el caso en el que a 0, que corresponde a un
movimiento uniforme, y en el que a constante, que corresponde a un
movimiento uniformemente acelerado. 2. a f(x). La aceleracin se da
en funcin de x. Al reordenar la ecuacin (11.4) y sustituir f(x)
para a, se escribe v dv a dx v dv f(x) dx Puesto que cada miembro
contiene slo una variable, se puede integrar la ecuacin. Denotando
de nuevo mediante v0 y x0, respectivamente, los valores iniciales
de la velocidad y la co- ordenada de la posicin, se obtiene v v0 v
dv x x0 f(x) dx 1 2 v2 1 2 v2 0 x x0 f(x) dx la cual produce v en
trminos de x. A continuacin se resuel- ve (11.1) para dt, dt y se
sustituye por v la expresin que acaba de obtenerse. Ambos miembros
pueden integrarse entonces para obtener la relacin deseada entre x
y t. Sin embargo, en muchos casos esta ltima integracin no puede
llevarse a cabo de manera analtica y debe recurrirse a un mtodo de
integracin numrico. 3. a f(v). La aceleracin es una funcin dada de
v. Es posible sustituir f(v) por a en (11.2) u (11.4) para obtener
cualquiera de las relaciones siguientes: f(v) d d v t f(v) v d d v
x dt f d (v v ) dx v f( d v) v La integracin de la primera ecuacin
producir una rela- cin entre v y t; la integracin de la segunda
ecuacin ori- ginar una relacin entre v y x. Cualquiera de estas
relaciones puede utilizarse junto con la ecuacin (11.1) para
obtener la relacin entre x y t que caracteriza el movimiento de la
partcula. dx v bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 608
34. PROBLEMA RESUELTO 11.1 La posicin de una partcula que se
mueve a lo largo de una lnea recta est definida por la relacin x t3
6t2 15t 40, donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine
a) el tiempo al cual la velocidad ser cero, b) la posicin y la
distancia recorrida por la partcula en ese tiempo, c) la acelera-
cin de la partcula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la
partcula desde t 4 s hasta t 6 s. SOLUCIN Las ecuaciones de
movimiento son x t3 6t2 15t 40 (1) v d d x t 3t2 12t 15 (2) a d d v
t 6t 12 (3) a) Tiempo en el cual v 0. Se fija v 0 en (2): 3t2 12t
15 0 t 1 s y t 5 s Slo la raz t 5 s corresponde a un tiempo despus
de que el movimiento se ha iniciado: para t 5 s, v 0, la partcula
se mueve en direccin nega- tiva; para t 5 s, v 0, la partcula se
mueve en direccin positiva. b) Posicin y distancia recorrida cuando
v 0. Al sustituir t 5 s en (1), se tiene x5 (5)3 6(5)2 15(5) 40 x5
60 ft La posicin inicial en t 0 fue x0 40 ft. Puesto que v 0
durante el in- tervalo t 0 a t 5 s se tiene Distancia recorrida x5
x0 60 ft 40 ft 100 ft Distancia recorrida 100 ft en la direccin
negativa c) Aceleracin cuando v 0. Se sustituye t 5 s en (3): a5
6(5) 12 a5 18 ft/s2 d) Distancia recorrida desde t 4 s hasta t 6 s.
La partcula se mueve en la direccin negativa desde t 4 s hasta t 5
s y en direccin positiva desde t 5 s hasta t 6 s; por lo tanto, la
distancia recorrida du- rante cada uno de estos intervalos de
tiempo se calcular por separado. De t 4 s a t 5 s: x5 60 ft x4 (4)3
6(4)2 15(4) 40 52 ft Distancia recorrida x5 x4 60 ft (52 ft) 8 ft 8
ft en la direccin negativa De t 5 s a t 6 s: x5 60 ft x6 (6)3 6(6)2
15(6) 40 50 ft Distancia recorrida x6 x5 50 ft (60 ft) 10 ft 10 ft
en la direccin positiva La distancia total recorrida desde t 4 s
hasta t 6 s es de 8 ft 10 ft 18 ft 609 x(ft) v(ft/s) t(s) t(s) t(s)
18 0 0 0 a(ft/s2) 40 60 +5 +5 +2 +5 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55
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35. PROBLEMA RESUELTO 11.2 Una pelota se lanza con una
velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una
ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la ace-
leracin de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo,
determine a) la velocidad v y la elevacin y de la pelota sobre el
suelo en cualquier tiem- po t, b) la elevacin ms alta que alcanza
la pelota y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en el que
la pelota golpea el suelo y la velocidad corres- pondiente. Dibuje
las curvas v-t y y-t. SOLUCIN a) Velocidad y elevacin. El eje y que
mide la coordenada de la po- sicin (o elevacin) se elige con su
origen O sobre el suelo y su sentido po- sitivo hacia arriba. El
valor de la aceleracin y los valores iniciales de v y y son como se
indica. Al sustituir a en a dvdt y observar que en t 0, v0 10 m/s,
se tiene d d v t a 9.81 m/s2 v v0 10 dv t 0 9.81 dt [v]v 10
[9.81t]t 0 v 10 9.81t v 10 9.81t (1) Al sustituir v en v dydt y
observar que en t 0, y0 20 m, se tiene d d y t v 10 9.81t y y0 20
dy t 0 (10 9.81t) dt [y] y 20 [10t 4.905t2 ]t 0 y 20 10t 4.905t2 y
20 10t 4.905t2 (2) b) Mxima elevacin. Cuando la pelota alcanza su
mxima eleva- cin, se tiene v 0. Al sustituir en (1), se obtiene 10
9.81t 0 t 1.019 s Al sustituir t 1.019 s en (2), se tiene y 20
10(1.019) 4.905(1.019)2 y 25.1 m c) La pelota golpea el suelo.
Cuando la pelota golpea el suelo, se tiene y 0. Al sustituir en
(2), se obtiene 20 10t 4.905t2 0 t 1.243 s y t 3.28 s Slo la raz t
3.28 s corresponde a un tiempo despus de que el movi- miento se ha
iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene v 10
9.81(3.28) 22.2 m/s v 22.2 m/sw 610 y O a = 9.81 m/s2 v0 = +10 m/s
y0 = +20 m v(m/s) t(s) y(m) 3.28 3.28 22.2 25.1 1.019 1.019 Curva
velocidad-tiempo Curva posicin-tiempo 10 20 0 0 t(s) Pendiente = a
= 9.81 m /s 2 Pendiente= v0= 10m /s Pendiente=v=22.2m/s
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36. PROBLEMA RESUELTO 11.3 El mecanismo de freno que se usa
para reducir el retroceso en ciertos tipos de caones consiste
esencialmente en un mbolo unido a un can que se mueve en un
cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el can retrocede con una
velocidad inicial v0, el mbolo se mueve y el aceite es forzado a
travs de los orificios en el mbolo, provocando que este ltimo y el
can se desaceleren a una razn proporcional a su velocidad; esto es,
a kv. Exprese a) v en trminos de t, b) x en trminos de t, c) v en
trminos de x. Dibuje las curvas del movimiento correspondiente.
SOLUCIN a) v trminos de t. Al sustituir kv por a en la expresin
fundamen- tal que define a la aceleracin, a dvdt, se escribe kv d d
v t d v v k dt v v0 d v v k t 0 dt ln v v 0 kt v v0ekt b) x en
trminos de t. Al sustituir la expresin que acaba de obte- nerse
para v en v dxdt, se escribe v0ekt d d x t x 0 dx v0 t 0 ekt dt x v
k 0 [ekt ]t 0 v k 0 (ekt 1) x v k 0 (1 ekt ) c) v en trminos de x.
Mediante la sustitucin kv para a en a v dv/dx, se escribe kv v d d
v x dv k dx v v0 dv k x 0 dx v v0 kx v v0 kx Comprobacin. La parte
c) podra haberse resuelto al eliminar t de las respuestas obtenidas
para las partes a) y b). Este mtodo alternativo puede utilizarse
como una comprobacin. De la parte a) se obtiene ekt vv0; al
sustituir en la respuesta de la parte b), se obtiene x (1 ekt ) 1 v
v0 kx (comprobacin) v v0 v0 k v0 k 611 mbolo Aceite v O t x O t v0
v0 k v O x v0 v0 k bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 611
37. R E S O L U C I N D E P R O B L E M A S E N F O R M A I N D
E P E N D I E N T E En los problemas de esta leccin se pide
determinar la posicin, la velocidad o la aceleracin de una partcula
en movimiento rectilneo. En cada problema, es impor- tante
identificar tanto la variable independiente (por lo comn t o x) y
qu es lo que se pide (por ejemplo, la necesidad de expresar v como
una funcin de x). Se reco- mienda empezar cada problema escribiendo
tanto la informacin dada como un enun- ciado simple de lo que se va
a determinar. 1. Obtencin de v(t) y a(t) para una x(t) dada. Como
se explic en la seccin 11.2, la primera y segunda derivadas de x
con respecto a t son respectivamente igua- les a la velocidad y a
la aceleracin de la partcula [ecuaciones (11.1) y (11.2)]. Si la
velocidad y la aceleracin tienen signos opuestos, la partcula puede
llegar al reposo y despus moverse en la direccin opuesta [problema
resuelto 11.1]. As, cuando se calcula la distancia total recorrida
por una partcula, se debe determinar primero si la partcula lleg al
reposo durante el intervalo de tiempo especificado. Al construir un
diagrama similar al del problema resuelto 11.1 que muestra la
posicin y la velo- cidad de la partcula y cada instante crtico (v
vmx, v 0, etc.), se contar con una ayuda para visualizar el
movimiento. 2. Obtencin de v(t) y x(t) para una a(t) dada. La
solucin de problemas de este tipo se analiz en la primera parte de
la seccin 11.3. Se recurre a las condicio- nes iniciales, t 0 y v
v0, como los lmites inferiores de las integrales en t y v, pero es
posible utilizar cualquier otro estado conocido (por ejemplo, t t1,
v v1). Adems, si la funcin a(t) contiene una constante desconocida
(por ejemplo, la cons- tante k si a kt), primero se debe determinar
la constante al sustituir un conjunto de valores conocidos de t y a
en la ecuacin que define a a(t). 3. Obtencin de v(x) y x(t) para
una a(x) dada. ste es el segundo caso con- siderado en la seccin
11.3. Los lmites inferiores de integracin pueden ser los de
cualquier estado conocido (por ejemplo, x x1, v v1). Adems, puesto
que v vmx cuando a 0, las posiciones donde ocurren los valores
mximos de la veloci- dad se determinan con facilidad al escribir
a(x) 0 y al resolver para x. 4. Obtencin de v(x), v(t) y x(t) para
una a(v) dada. ste es el ltimo caso que se abord en la seccin 11.3;
las tcnicas de solucin apropiadas para problemas de este tipo se
ilustran en el problema resuelto 11.3. Todos los comentarios
genera- les correspondientes a los casos anteriores tambin se
aplican en esta situacin. El problema resuelto 11.3 proporciona un
resumen de cmo y cundo utilizar las ecua- ciones v dxdt, a dvdt y a
v dvdx. 612 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 612
38. 613 Problemas 11.1 El movimiento de una partcula est
definido por la relacin x 1.5t4 30t2 5t 10, donde x y t se expresan
en metros y segundos, respectivamente. Determine la posicin, la
velocidad y la aceleracin de la partcula cuando t = 4 s. 11.2 El
movimiento de una partcula est definido por la relacin x = 12t3
18t2 2t 5, donde x y t se expresan en metros y segundos, res-
pectivamente. Determine la posicin y la velocidad cuando la
aceleracin de la partcula es igual a cero. 11.3 El movimiento de
una partcula est definido por la relacin x = 53 t3 52 t2 30t 8x,
donde x y t se expresan en pies y segundos, res- pectivamente.
Determine el tiempo, la posicin y la aceleracin cuando v 0. 11.4 El
movimiento de una partcula est definido por la relacin x 6t2 8 40
cos t, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, res-
pectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de
la par- tcula cuando t 6 s. 11.5 El movimiento de una partcula est
definido por la relacin x 6t4 2t3 12t2 3t 3, donde x y t se
expresan en metros y segun- dos, respectivamente. Determine el
tiempo, la posicin y la velocidad cuando a 0. 11.6 El movimiento de
una partcula est definido por la relacin x 2t3 15t2 24t 4, donde x
se expresa en metros y t en segundos. Determine a) cundo la
velocidad es cero, b) la posicin y la distancia total viajada hasta
ese momento cuando la aceleracin es cero. 11.7 El movimiento de una
partcula est definido por la relacin x t3 6t2 36t 40, donde x y t
se expresan en pies y segundos, res- pectivamente. Determine a)
cundo la velocidad es cero, b) la velocidad, la aceleracin y la
distancia total viajada cuando x 0. 11.8 El movimiento de una
partcula est definido por la relacin x t3 9t2 24t 8, donde x y t se
expresan en pulgadas y segundos, res- pectivamente. Determine a)
cundo la velocidad es cero, b) la posicin y la distancia total
recorrida cuando la aceleracin es cero. 11.9 La aceleracin de una
partcula se define mediante la relacin a 8 m/s2 . Si se sabe que x
20 m cuando t 4 s y x 4 m cuando v 16 m/s, determine a) el tiempo
cuando la velocidad es cero, b) la velo- cidad y la distancia total
recorrida cuando t 11 s. Las respuestas a todos los problemas cuyo
nmero est en tipo recto (como en 11.1) se presentan al final del
libro. No se dan las respuestas a los problemas con nmeros en
itlicas (como en 11.7). bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina
613
39. 614 Cinemtica de partculas 11.10 La aceleracin de una
partcula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo t.
Cuando t 0, la partcula est en x 24 m. Si se sabe que en t 6 s, x
96 m y v 18 m/s, exprese x y v en trminos de t. 11.11 La aceleracin
de una partcula es directamente proporcional al tiempo t. Cuando t
0, la velocidad de la partcula es v 16 in./s. Si se sabe que v 15
in./s, y que x 20 in. cuando t 1 s, determine la velo- cidad, la
posicin y la distancia total recorrida cuando t 7 s. 11.12 La
aceleracin de una partcula est definida por la relacin a kt2 . a)
Si se sabe que v 32 ft/s cuando t 0 y que v 32 ft/s cuando t 4 s,
determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de mo-
vimiento, sabiendo tambin que x 0 cuando t 4 s. 11.13 La aceleracin
de una partcula se define mediante la relacin a A 6t2 , donde A es
constante. En t 0, la partcula inicia en x 8 m con v 0. Si se sabe
que t 1 s y v 30 m/s, determine a) los tiempos en los que la
velocidad es cero, b) la distancia total recorrida por la partcula
cuando t 5 s. 11.14 Se sabe que desde t 2 s hasta t 10 s, la
aceleracin de una partcula es inversamente proporcional al cubo del
tiempo t. Cuando t 2 s, v 15 m/s y cuando t 10 s, v 0.36 m/s. Si se
sabe que la partcu- la est dos veces ms lejos del origen cuando t 2
s que cuando t 10 s, determine a) la posicin de la partcula cuando
t 2 s y cuando t 10 s, b) la distancia total recorrida por la
partcula desde t 2 s has- ta t 10 s. 11.15 La aceleracin de una
partcula est definida por la relacin a k/x. Se ha determinado
experimentalmente que v 15 ft/s cuando x 0.6 ft y que v 9 ft/s
cuando x 1.2 ft. Determine a) la velocidad de la partcula cuando x
1.5 ft, b) la posicin de la partcula en la que su velo- cidad es
cero. 11.16 Una partcula que inicia desde el reposo en x 1 ft se
acelera de forma que la magnitud de su velocidad se duplica entre x
2 ft y x 8 ft. Si se sabe que la aceleracin de la partcula est
definida por la relacin a k[x (A/x)], determine los valores de las
constantes A y k si la partcula tiene una velocidad de 29 ft/s
cuando x 16 ft. 11.17 Una partcula oscila entre los puntos x 40 mm
y x 160 mm con una aceleracin a k(100 x), donde a y x se expresan
en mm/s2 y mm, respectivamente, y k es una constante. La velocidad
de la partcula es de 18 mm/s cuando x 100 mm y es cero cuando x 40
mm y cuando x 160 mm. Determine a) el valor de k, b) la velocidad
cuando x 120 mm. 11.18 Una partcula parte desde el reposo en el
origen y recibe una aceleracin a k(x 4)2 , donde a y x se expresan
en m/s2 y m, respectiva- mente, y k es una constante. Si se sabe
que la velocidad de la partcula es de 4 m/s cuando x 8 m, determine
a) el valor de k, b) la posicin de la partcula cuando v 4.5 m/s, c)
la velocidad mxima de la partcula. 11.19 Una pieza de equipo
electrnico que est rodeada por material de empaque se deja caer de
manera que golpea el suelo con una velocidad de 4 m/s. Despus del
impacto, el equipo experimenta una aceleracin de a kx, donde k es
una constante y x es la compresin del material de em- paque. Si
dicho material experimenta una compresin mxima de 20 mm, determine
la aceleracin mxima del equipo.Figura P11.19 v bee76985_ch11.qxd
10/6/09 6:55 PM Pgina 614
40. 11.20 Con base en observaciones experimentales, la
aceleracin de una partcula est definida por la relacin a (0.1 sen
x/b), donde a y x se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si
se sabe que b 0.8 m y que v 1 m/s cuando x 0, determine a) la
velocidad de la partcula cuando x 1 m, b) la posicin de la partcula
en la que su velocidad es mxima, c) la velocidad mxima. 11.21 A
partir de x 0, sin velocidad inicial, la aceleracin de una partcula
est definida por la relacin a 0.8 v2 49, donde a y v se expresan en
m/s2 y m/s, respectivamente. Determine a) la posicin de la par-
tcula cuando v 24 m/s, b) la rapidez de la partcula cuando x 40 m.
11.22 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a
kv, donde k es una constante. Si se sabe que en t 0, x 0 y v 81 m/s
y que v 36 m/s cuando x 18 m, determine a) la velocidad de la
partcula cuando x 20 m, b) el tiempo requerido para que la partcula
quede en reposo. 11.23 La aceleracin de una partcula se define
mediante la relacin a 0.8v, donde a se expresa en in./s2 y v en
in./s. Si se sabe que cuando t 0 la velocidad es de 40 in./s,
determine a) la distancia que recorrer la partcula antes de quedar
en reposo, b) el tiempo requerido para que la par- tcula quede en
reposo, c) el tiempo requerido para que la velocidad de la partcula
se reduzca a 50 por ciento de su valor inicial. 11.24 Una bola de
boliche se deja caer desde una lancha, de manera que golpea la
superficie del lago con una rapidez de 25 ft/s. Si se supone que la
bola experimenta una aceleracin hacia abajo a 10 0.9v2 cuando est
en el agua, determine la velocidad de la bola cuando golpea el
fondo del lago. 11.25 La aceleracin de una partcula se define
mediante la relacin a 0.4(1 kv), donde k es una constante. Si se
sabe que en t 0 la partcula parte desde el reposo con x 4 m, y que
cuando t 15 s, v 4 m/s, determine a) la constante k, b) la posicin
de la partcula cuando v 6 m/s, c) la velocidad mxima de la
partcula. 11.26 Una partcula se proyecta hacia la derecha desde la
posicin x 0 con una velocidad inicial de 9 m/s. Si la aceleracin de
la partcula se define mediante la relacin a 0.6v3/2 , donde a y v
se expresan en m/s2 y m/s, respectivamente, determine a) la
distancia que habr recorrido la partcula cuando su velocidad sea de
4 m/s, b) el tiempo cuando v 1 m/s, c) el tiempo requerido para que
la partcula recorra 6 m. 11.27 Con base en observaciones, la
velocidad de un atleta puede aproximarse por medio de la relacin v
7.5(1 0.04x)0.3 , donde v y x se expresan en mi/h y millas,
respectivamente. Si se sabe que x 0 cuando t 0, determine a) la
distancia que ha recorrido el atleta cuando t 1 h, b) la aceleracin
del atleta en ft/s2 cuando t 0, c) el tiempo requerido para que el
atleta recorra 6 mi. 11.28 Datos experimentales indican que en una
regin de la corriente de aire que sale por una rejilla de
ventilacin, la velocidad del aire emitido est definido por v
0.18v0/x, donde v y x se expresan en m/s y metros, res-
pectivamente, y v0 es la velocidad de descarga inicial del aire.
Para v0 3.6 m/s, determine a) la aceleracin del aire cuando x 2 m,
b) el tiempo re- querido para que el aire fluya de x 1 a x 3 m.
615Problemas 30 ft Figura P11.24 v Figura P11.27 v x Figura P11.28
bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 615
41. 616 Cinemtica de partculas 11.29 La aceleracin debida a la
gravedad a una altura y sobre la su- perficie de la Tierra puede
expresarse como a donde a y y se expresan en ft/s2 y pies,
respectivamente. Utilice esta expresin para calcular la altura que
alcanza un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba desde la
superficie terrestre si su velocidad inicial es a) 1 800 ft/s, b) 3
000 ft/s, c) 36 700 ft/s. 11.30 La aceleracin debida a la gravedad
de una partcula que cae hacia la Tierra es a gR2 /r2 , donde r es
la distancia desde el centro de la Tierra a la partcula, R es el
radio terrestre y g es la aceleracin de la gra- vedad en la
superficie de la Tierra. Si R 3 960 mi, calcule la velocidad de
escape, esto es, la velocidad mnima con la cual una partcula debe
proyec- tarse hacia arriba desde la superficie terrestre para no
regresar a la Tierra. (Sugerencia: v 0 para r .) 11.31 La velocidad
de una partcula es v v0[1 sen(t/T)]. Si se sabe que la partcula
parte desde el origen con una velocidad inicial v0, determine a) su
posicin y su aceleracin en t 3T, b) su velocidad promedio durante
el intervalo de t 0 a t T. 11.32 La velocidad de una corredera se
define mediante la relacin v vsen(wnt ). Si se denota la velocidad
y la posicin de la corredera en t 0 con v0 y x0, respectivamente, y
se sabe que el desplazamiento m- ximo de la corredera es 2x0,
demuestre que a) v (v2 0 x2 02 n)2x0n, b) el valor mximo de la
velocidad ocurre cuando x x0[3 (v0x0n)2 ]2. 11.4. MOVIMIENTO
RECTILNEO UNIFORME El movimiento rectilneo uniforme es un tipo de
movimiento en lnea recta que a menudo se encuentra en las
aplicaciones prcticas. En este movimiento, la aceleracin a de una
partcula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la
velocidad v es constante, y la ecuacin (11.1) se transforma en v
constante La coordenada de posicin x se obtiene cuando se integra
esta ecua- cin. Al denotar mediante x0 el valor inicial de x, se
escribe x x0 dx v t 0 dt x x0 vt x x0 vt (11.5) Esta ecuacin puede
utilizarse slo si la velocidad de la partcula es constante. dx dt
32.2 [1 (y20.9 106 )]2 Figura P11.29 Figura P11.30 P y R P r
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42. 11.5. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO El
movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comn de
movimiento. En ste, la aceleracin a de la partcula es constante, y
la ecuacin (11.2) se convierte en d d v t a constante La velocidad
v de la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin: v v0 dv a t 0
dt v v0 at v v0 at (11.6) donde v0 es la velocidad inicial. Al
sustituir por v en (11.1), se escribe d d x t v0 at Al denotar
mediante x0 el valor inicial de x e integrar, se tiene x x0 dx t 0
(v0 at) dt x x0 v0t 1 2 at2 x x0 v0t 1 2 at2 (11.7) Tambin se puede
recurrir a la ecuacin (11.4) y escribir v d d v x a constante v dv
a dx Al integrar ambos lados, se obtiene v v0 v dv a x x0 dx 1 2
(v2 v2 0) a(x x0) v2 v2 0 2a(x x0) (11.8) Las tres ecuaciones que
se han deducido ofrecen relaciones tiles entre la coordenada de
posicin, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento
uniformemente acelerado, al sustituir los valores apro- piados de
a, v0 y x0. El origen O del eje x debe definirse primero y es-
cogerse una direccin positiva a lo largo del eje; esta direccin se
usar para determinar los signos de a, v0 y x0. La ecuacin (11.6)
relaciona v y t y debe utilizarse cuando se desee que el valor de v
corresponda a un valor determinado de t, o de manera inversa. La
ecuacin (11.7) 61711.5. Movimiento rectilneo uniformemente
acelerado bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 617
43. 618 Cinemtica de partculas relaciona a x y t; la ecuacin
(11.8) relaciona a v y x. Una aplicacin importante del movimiento
uniformemente acelerado es el movimiento de un cuerpo en cada
libre. La aceleracin de un cuerpo en cada li- bre (usualmente
denotada mediante g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2 . Es
importante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden
utilizarse slo cuando se sabe que la aceleracin de la partcula es
cons- tante. Si la aceleracin de la partcula es variable, su
movimiento se debe determinar a partir de las ecuaciones
fundamentales (11.1) a (11.4) segn los mtodos sealados en la seccin
11.3. 11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTCULAS Cuando varias partculas
se mueven de manera independiente a lo largo de la misma lnea, es
posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada
partcula. Siempre que sea factible, el tiem- po debe registrarse a
partir del mismo instante inicial para todas las partculas, y es
necesario medir los desplazamientos desde el mismo origen y en la
misma direccin. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una
sola cinta mtrica. Movimiento relativo de dos partculas. Considere
dos partcu- las A y B que se mueven a lo largo de la misma lnea
recta (figura 11.7). Si las coordenadas de posicin xA y xB se miden
desde el mismo ori- gen, la diferencia xB xA define la coordenada
de posicin relativa de B con respecto a A y se denota por medio de
xBA. Se escribe xBA xB xA o xB xA xBA (11.9) De manera
independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen, un
signo positivo para xBA significa que B est a la derecha de A, y un
signo negativo indica que B se encuentra a la izquierda de A. La
razn de cambio xBA se conoce como la velocidad relativa de B con
respecto a A y se denota por medio de vBA. Al diferenciar (11.9),
se escribe vBA vB vA o vB vA vBA (11.10) Un signo positivo de vBA
significa que a partir de A se observa que B se mueve en direccin
positiva; un signo negativo indica, segn se observa, que sta se
mueve en direccin negativa. La razn de cambio de vBA se conoce como
la aceleracin relati- va de B con respecto a A y se denota mediante
aBA. Al diferenciar (11.10), se obtiene aBA aB aA o aB aA aBA
(11.11) Movimientos dependientes. Algunas veces, la posicin de una
partcula depender de la posicin de otra o de varias partculas. En
ese Advierta que el producto de los subndices A y BA que se usa en
el miembro izquierdo de las ecuaciones (11.9), (11.10) y (11.11) es
igual al subndice B utilizado en el miembro del lado izquierdo. x
xA AO B xB/A xB Figura 11.7 Fotografa 11.2 En esta gra de
embarcadero se utilizan mltiples cables y poleas. bee76985_ch11.qxd
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44. caso se dice que los movimientos son dependientes. Por
ejemplo, la posicin del bloque B en la figura 11.8 depende de la
posicin del blo- que A. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud
constante, y puesto que las longitudes de las porciones de cuerda
CD y EF alre- dedor de las poleas permanecen constantes, se
concluye que la suma de las longitudes de los segmentos AC, DE y FG
es constante. Al observar que la longitud del segmento AC difiere
de xA slo por una constante y que, de manera similar, las
longitudes de los segmentos DE y FG difieren de xB nicamente por
una constante, se escribe xA 2xB constante la cual recibe el nombre
de ecuacin de ligadura. Puesto que slo una de las dos coordenadas
xA y xB pueden elegir- se de manera arbitraria, se afirma que el
sistema que se presenta en la figura 11.8 tiene un grado de
libertad. De la relacin entre las coorde- nadas de posicin xA y xB
se deduce que xA presenta un incremento xA, esto es, si el bloque A
desciende una cantidad xA, la coordenada xB recibir un incremento
xB 1 2 xA. En otras palabras, el bloque B ascender la mitad de la
misma cantidad; lo anterior puede verificar- se con facilidad de
modo directo de la figura 11.8. En el caso de los tres bloques de
la figura 11.9, se puede observar de nuevo que la longitud de la
cuerda que pasa por las poleas es cons- tante y, en consecuencia,
las coordenadas de posicin de los tres blo- ques deben satisfacer
la siguiente relacin: 2xA 2xB xC constante Puesto que es posible
elegir de manera arbitraria dos de las coordena- das, se afirma que
el sistema que se muestra en la figura 11.9 tiene dos grados de
libertad. Cuando la relacin que existe entre las coordenadas de
posicin de varias partculas es lineal, se cumple una relacin
similar entre las velo- cidades y entre las aceleraciones de las
partculas. En el caso de los blo- ques de la figura 11.9, por
ejemplo, se diferencia dos veces la ecuacin obtenida y se escribe 2
d d x t A 2 d d x t B d d x t C 0 o 2vA 2vB vC 0 2 d d v t A 2 d d
v t B d d v t C 0 o 2aA 2aB aC 0 A B C xB xC xA xA xB A B C D E F G
Figura 11.8 Figura 11.9 61911.6. Movimiento de varias partculas
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45. PROBLEMA RESUELTO 11.4 Una pelota se lanza verticalmente
hacia arriba desde una altura de 12 metros en el pozo de un
elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante
un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, movin-
dose hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determine
a) cun- do y dnde golpea al elevador, b) la velocidad relativa de
la pelota con res- pecto al elevador cuando sta lo golpea. SOLUCIN
Movimiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene una aceleracin
constante, su movimiento es uniformemente acelerado. Al colocar el
origen de O del eje y a nivel del suelo, es decir su direccin
positiva hacia arriba, encontramos que la posicin inicial es y0 12
m, la velocidad inicial co- rresponde a v0 18 m/s, y la aceleracin
equivale a a 9.81 m/s2 . Sus- tituyendo estos valores en las
ecuaciones para movimiento uniformemente acelerado, se escribe vB
v0 at vB 18 9.81t (1) yB y0 v0t 1 2 at2 yB 12 18t 4.905t2 (2)
Movimiento del elevador. Puesto que el elevador tiene una veloci-
dad constante, su movimiento es uniforme. Al ubicar el origen O en
el nivel del suelo y elegir la direccin positiva hacia arriba, se
observa que y0 5 m y se escribe vE 2 m/s (3) yE y0 vE t yE 5 2t (4)
La pelota golpea el elevador. Se usaron el mismo tiempo t y el
mismo origen O al escribir las ecuaciones de movimiento tanto de la
pelota como del elevador. Se observa en la figura que cuando la
pelota golpea el elevador, yE yB (5) Al sustituir para yE y yB en
(2) y (4) en (5), se tiene 5 2t 12 18t 4.905t2 t 0.39 s y t 3.65 s
Slo la raz t 3.65 s corresponde a un tiempo despus de que se ha
inicia- do el movimiento. Al sustituir este valor en (4), se
obtiene yE 5 2(3.65) 12.30 m Elevacin desde el suelo 12.30 m La
velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador es vBE vB
vE (18 9.81t) 2 16 9.81t Cuando la pelota golpea al elevador en el
tiempo t 3.65 s, se tiene vBE 16 9.81(3.65) vBE 19.81 m/s El signo
negativo significa que desde el elevador se observa que la pelota
se mueve en el sentido negativo (hacia abajo). 620 t = t t = 0 yB a
= 9.81 m/s2 v0 = 18 m/s vE = 2 m/s y0 = 12 m O t = t yE y0 = 5 m O
yB yE O t = 0 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 620
46. PROBLEMA RESUELTO 11.5 El collarn A y el bloque B estn
conectados por medio de un cable que pasa por tres poleas C, D y E,
como se indica. Las poleas C y E se mantienen fijas, en tanto que B
est unida a un collarn que se jala hacia abajo con una velo- cidad
constante de 3 in./s. En t 0, el collarn A empieza a moverse hacia
abajo desde la posicin K con una aceleracin constante y sin
velocidad ini- cial. Si se sabe que la velocidad del collarn A es
12 in./s cuando ste pasa por el punto L, determine el cambio de la
elevacin, la velocidad y la aceleracin del bloque B cuando el
collarn A pasa por L. SOLUCIN Movimiento del collarn A. Se sita el
origen O en la superficie ho- rizontal superior y se elige la
direccin positiva hacia abajo. Se observa que cuando t 0, el
collarn A est en la posicin K y (vA)0 0. Puesto que vA 12 in./s y
xA (xA)0 8 in., cuando el collarn pasa por L, se escribe v2 A (vA)2
0 2aA[xA (xA)0] (12)2 0 2aA(8) aA 9 in./s2 El tiempo en el cual el
collarn A alcance el punto L se obtiene al escribir vA (vA)0 aAt 12
0 9t t 1.333 s Movimiento de la polea D. Recordando que la direccin
positiva es hacia abajo, se escribe aD 0 vD 3 in./s xD (xD)0 vDt
(xD)0 3t Cuando el collarn A llega a L, en t 1.333 s, se tiene xD
(xD)0 3(1.333) (xD)0 4 En consecuencia, xD (xD)0 4 in. Movimiento
del bloque B. Hay que observar que la longitud total del cable
ACDEB difiere de la cantidad (xA 2xD xB) slo por una cons- tante.
Puesto que la longitud del cable es constante durante el
movimiento, esta cantidad tambin debe permanecer constante. De tal
modo, conside- rando los tiempos t 0 y t 1.333 s, se escribe xA 2xD
xB (xA)0 2(xD)0 (xB)0 (1) [xA (xA)0] 2[xD (xD)0] [xB (xB)0] 0 (2)
Sin embargo, se sabe que xA (xA)0 8 in. y xD (xD)0 4 in.; al
sustituir estos valores en (2), se obtiene 8 2(4) [xB (xB)0] 0 xB
(xB)0 16 in.