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M a r k o v i a n A p p r o x i m a t i o n s t o t h e T i m e E v o l u t i o n o f
L e a d C o u p l e d
S p i n l e s s H u b b a r d C h a i n s
t h r o u g h D i e r e n t M a s t e r E q u a t i o n A p p r o a c h e s
W . H o r d i j k
F a c u l t y o f A p p l i e d S c i e n c e s Q u a n t u m N a n o s c i e n c e D e p a r t m e n t
T h e o r e t i c a l P h y s i c s R e s e a r c h G r o u p
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M a r k o v i a n A p p r o x i m a t i o n s t o t h e T i m e E v o l u t i o n o f
L e a d C o u p l e d
S p i n l e s s H u b b a r d C h a i n s
t h r o u g h D i e r e n t M a s t e r E q u a t i o n A p p r o a c h e s
B a c h e l o r T h e s i s
W o u t e r H o r d i j k
w o u t e r h o r d i j k @ g m a i l . c o m
S t u d e n t I D : 1 5 3 9 2 9 9
D e c e m b e r 2 0 1 1
F a c u l t y o f A p p l i e d S c i e n c e s T h e o r e t i c a l P h y s i c s R e s e a r c h G r o u p
http://www.tnw.tudelft.nl/?id=34008&L=1http://www.ns.tudelft.nl/http://www.tnw.tudelft.nl/en/http://home.tudelft.nl/en/mailto:[email protected]8/22/2019 Main-bachelor_thesis_Lead Coupled Spinless Hubbard Chains.pdf
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A b s t r a c t
T h i s t h e s i s d e s c r i b e s t h e p r o c e s s o f d e r i v i n g t h e M a s t e r E q u a t i o n f o r t h e t i m e e v o l u -
t i o n o f t h e d e n s i t y o p e r a t o r f o r a l e a d c o u p l e d s p i n l e s s H u b b a r d c h a i n u s i n g a M a r k o v
a p p r o x i m a t i o n . T h e d e r i v a t i o n i s d o n e i n a d i r e c t , c o n v e n t i o n a l w a y o f e x p a n d i n g o p e r a -
t o r s a n d s w i t c h i n g p i c t u r e s i n o r d e r t o s e p a r a t e t h e s y s t e m H a m i l t o n i a n i n a c o n v e n i e n t
w a y a n d t h r o u g h t h e S u p e r O p e r a t o r f o r m a l i s m , y i e l d i n g a d i e r e n t f o r m o f t h e M a s t e r
E q u a t i o n . W e w i l l i m p l e m e n t b o t h r e s u l t s i n s o f t w a r e a n d w e w i l l i t e r a t i v e l y n d t h e
s t a t i o n a r y s t a t e o f t h e c h a i n f r o m s o m e i n i t i a l s t a t e w h e n t h e l e a d i s k e p t a t a c o n s t a n t
c h e m i c a l p o t e n t i a l . W e w i l l s h o w t h a t f o r e a c h i n i t i a l s t a t e t h e c h a i n d e n s i t y o p e r a t o r
c o n v e r g e s t o t h i s s t a t i o n a r y s t a t e t h a t i s d e t e r m i n e d b y t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e
l e a d , b u t a t a r a t e t h a t i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e l e a d a n d t h a t
b o t h t h e c o n v e n t i o n a l a n d t h e S u p e r O p e r a t o r a p p r o a c h y i e l d t h e e x a c t s a m e r e s u l t s .
W e w i l l a l s o s h o w a n d d i s c u s s a s m a l l s y s t e m a t i c e r r o r w e n d i n t h e c o n v e r g e d r e s u l t s
y i e l d i n g n o n - p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n s a n d h o w w e c a n i m p r o v e t h e n u m e r i c s r e g a r d i n g
t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e m o d e l .
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C o n t e n t s
A b s t r a c t i i
1 . I n t r o d u c t i o n 1
1 . 1 . P r o b l e m d e s c r i p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 2 . G o a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 3 . T h e s i s l a y o u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 4 . S i m p l i f y i n g t h e m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 . C o n s t r u c t i n g t h e m o d e l 3
2 . 1 . S t a r t i n g p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 . 1 . 1 . D e n s i t y o p e r a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 . 1 . 2 . V o n N e u m a n n e q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 . 2 . C h a i n H a m i l t o n i a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 . 2 . 1 . C h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x f o r m a l i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 . 2 . 2 . M A T L A B i m p l e m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
2 . 3 . L e a d H a m i l t o n i a n a n d c o u p l i n g H a m i l t o n i a n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
3 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h 1 3
3 . 1 . P i c t u r e f o r m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
3 . 1 . 1 . S c h r d i n g e r p i c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
3 . 1 . 2 . H e i s e n b e r g p i c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
3 . 1 . 3 . I n t e r a c t i o n p i c t u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
3 . 2 . C o r r e c t i o n t h r o u g h i t e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
3 . 3 . U n p e r t u r b e d t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
3 . 4 . C o r r e c t i o n t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
3 . 4 . 1 . L e a d o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
3 . 4 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
3 . 4 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
4 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h 2 8
4 . 1 . S u p e r O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
4 . 2 . U n p e r t u r b e d t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
4 . 3 . C o r r e c t i o n t e r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
4 . 3 . 1 . L e a d o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
4 . 3 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
4 . 3 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
i i i
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5 . I m p l e m e n t i n g t h e m o d e l 3 3
5 . 1 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
5 . 2 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
6 . R e s u l t s & C o n c l u s i o n s 3 9
6 . 1 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
6 . 1 . 1 . E x t r e m e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
6 . 1 . 2 . I n t e r m e d i a t e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
6 . 2 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
6 . 2 . 1 . E x t r e m e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
6 . 2 . 2 . I n t e r m e d i a t e c a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
6 . 2 . 3 . R e s u l t s s u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
6 . 3 . G o a l e v a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
7 . F u t u r e r e s e a r c h 4 8
7 . 1 . I m p r o v e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
7 . 1 . 1 . A n a l y t i c a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
7 . 1 . 2 . C o m p u t a t i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
7 . 2 . E x p a n s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
B i b l i o g r a p h y a
A . V e r i f y i n g t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n b
B . B i c o n j u g a t e g r a d i e n t s t a b i l i z e d m e t h o d d
i v
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1 . I n t r o d u c t i o n
1 . 1 . P r o b l e m d e s c r i p t i o n
I n t h i s t h e s i s w e a r e i n i t i a l l y i n t e r e s t e d i n i n v e s t i g a t i n g t h e c h a n g e i n e l e c t r o n o c c u p a t i o n
i n a c h a i n o f a t o m s i n d u c e d b y t h e c o n n e c t i o n o f t h e c h a i n t o t w o l e a d s s e t a t a g i v e n
c h e m i c a l p o t e n t i a l , p r o v i d i n g t h e e x c h a n g e o f e l e c t r o n s o n b o t h s i d e s o f t h e c h a i n a t
s p e c i c p a r a m e t e r s f o r t h e c h a i n . T h e s e p a r a m e t e r s i n c l u d e a w e a k c o u p l i n g t o t h e l e a d s
a n d t i g h t b i n d i n g c o n d i t i o n s . T h i s m o d e l s t h e t r a n s p o r t o f c h a r g e d p a r t i c l e s t h r o u g h t h e
c h a i n , e e c t i v e l y d e s c r i b i n g t h e o w o f c u r r e n t t h r o u g h a c h a i n o f a t o m s .
T h e s c o p e o f t h e c h a l l e n g e s i n t h i s p r o b l e m i s m u c h l a r g e r t h a n e x p e c t e d a n d i n o r d e r
t o m a k e t h e c h a l l e n g e s a c c e p t a b l e f o r a n u n d e r g r a d u a t e p r o j e c t , w e h a v e s i m p l i e d t h e
p r o b l e m b y i n t r o d u c i n g a s e l e c t i o n o f s i m p l i c a t i o n s t o t h e s y s t e m i t s e l f . T h e s i m p l i e d
p r o b l e m i n v e s t i g a t e s t h e c h a n g e o f s p i n l e s s f e r m i o n o c c u p a t i o n i n a c h a i n o f s i t e s o f l e n g t h
n c o n n e c t e d t o o n e l e a d w h i c h i s w e a k l y c o u p l e d t o t h e r s t s i t e i n t h e c h a i n , p r o v i d i n g
s p i n l e s s f e r m i o n e x c h a n g e . F u r t h e r o n w e w i l l d i s c u s s h o w w e o b t a i n t h e s i m p l i e d m o d e l
f r o m t h e i n i t i a l m o d e l a n d e x p l a i n t h e s p e c i c p a r a m e t e r s o f t h e c h a i n a n d t h e l e a d a n d
t h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e m .
1 . 2 . G o a l s
T h e g o a l o f t h i s t h e s i s i s t o s u c c e s s f u l l y w o r k o u t t h e p r o p o s e d m o d e l w i t h a M a r k o v i a n
M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h , d e s c r i b i n g t h e t i m e - e v o l u t i o n o f o u r s y s t e m t h a t c a n b e
m o d e l l e d a s b e i n g i n e x a c t l y o n e o f a c o u n t a b l e n u m b e r o f s t a t e s a t a n y g i v e n t i m e ,
a n d w h e r e s w i t c h i n g b e t w e e n s t a t e s i s t r e a t e d p r o b a b i l i s t i c a l l y , d e d u c e d w i t h b o t h a
c o n v e n t i o n a l w a y a n d a S u p e r O p e r a t o r f o r m a l i s m a n d i m p l e m e n t i n g t h e m o d e l i n a
g e n e r a l i z e d w a y i n s o f t w a r e s o t h a t w e c a n n d t h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e c h a i n f r o m
a n y p h y s i c a l i n i t i a l s t a t e . A f t e r i m p l e m e n t a t i o n v a r i o u s t e s t s w i t h d i e r e n t c h e m i c a l
p o t e n t i a l s o f t h e l e a d c a n b e r u n t o v e r i f y t h e e x p e c t e d b e h a v i o u r o f t h e m o d e l a n d t o
c o m p a r e t h e r e s u l t s o f t h e d i e r e n t a p p r o a c h e s .
1 . 3 . T h e s i s l a y o u t
W e w i l l l a y o u t t h e i n i t i a l m o d e l a n d s i m p l i f y i t f u r t h e r o n i n t h i s c h a p t e r . I n c h a p t e r
2 w e i n t r o d u c e t h e s t a r t i n g p o i n t o f o u r a p p r o a c h , d i s c u s s t h e k e y c o n c e p t s a n d d e r i v e
t h e f o r m s w e w i l l b e w o r k i n g w i t h . I n c h a p t e r 3 w e w i l l w o r k o u t t h e m o d e l u s i n g t h e
c o n v e n t i o n a l M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h a n d i n c h a p t e r 4 w e w i l l w o r k o u t t h e m o d e l
1
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a g a i n , n o w u s i n g t h e S u p e r O p e r a t o r a p p r o a c h t o t h e M a s t e r E q u a t i o n . I n c h a p t e r 5 w e
w i l l s h o w h o w b o t h m e t h o d s a r e i m p l e m e n t e d i n MATLAB
a n d w h i c h m e t h o d i s u s e d t o
p e r f o r m t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n t o w a r d s t h e e q u i l i b r i u m s t a t e . I n c h a p t e r 6 w e w i l l
c o m p a r e t h e r e s u l t s o f b o t h a p p r o a c h e s w h e n d i e r e n t c h e m i c a l p o t e n t i a l s a r e a p p l i e d t o
t h e l e a d a n d d r a w o u r c o n c l u s i o n s . F i n a l l y , i n c h a p t e r 7 w e w i l l d i s c u s s s o m e p o s s i b l e
i m p r o v e m e n t s o f t h e u s e d m e t h o d s a n d p o s s i b l e e x p a n s i o n s o f t h e m o d e l t a k i n g t h e r s t
s t e p s t o w a r d s a m o r e c o m p l e t e a n d p r a c t i c a l l y u s e a b l e m o d e l . S o m e r e s e a r c h t h a t h a s
b e e n d o n e t h a t i s n o t d i r e c t l y i m p o r t a n t f o r o r r e l e v a n t t o t h i s r e s e a r c h o r w a s n o t
i m p l e m e n t e d i s i n c l u d e d i n t h e a p p e n d i c e s .
1 . 4 . S i m p l i f y i n g t h e m o d e l
F r o m o u r i n i t i a l m o d e l w e c a n d e d u c e a s i m p l i e d v e r s i o n , w h i c h w e s h o u l d b e a b l e
t o e x p a n d t o a c o m p l e t e m o d e l a s w e w i l l d i s c u s s i n c h a p t e r 7 . F i r s t , w e a s s u m e t h e
a t o m s i n t h e c h a i n t o b e p e r f e c t l y a l i g n e d s o t h a t t h e p r o b l e m b e c o m e s o n e d i m e n s i o n a l .
S e c o n d , w e a s s u m e t h e a t o m s t o b e h y d r o g e n a t o m s a n d t h a t t h e e l e c t r o n s a r e s p i n l e s s .
D u e t o t h e P a u l i e x c l u s i o n p r i n c i p l e t h e r e c a n n o w b e m e r e l y o n e ` e l e c t r o n ' , w h i c h w e
f r o m n o w o n w i l l b e r e f e r r i n g t o a s a p a r t i c l e a s t h e y w i l l n o t b e h a v i n g a n y s p i n i n
o u r m o d e l , i n t h e s o r b i t a l o f t h e h y d r o g e n a t o m . T h i r d , w e a s s u m e t h a t a p a r t i c l e c a n
h o p t o i t s n e i g h b o u r i n g s i t e , a n d o n l y t o i t s d i r e c t l y n e i g h b o u r i n g s i t e , o n l y i f t h a t s i t e
i s u n o c c u p i e d . A m o d e l a d h e r i n g t o t h i s e x c l u s i v e n e i g h b o u r - n e i g h b o u r i n t e r a c t i o n i s
c o m m o n l y k n o w n a s a ` t i g h t b i n d i n g m o d e l ' : a p a r t i c l e i s t i g h t l y b o u n d t o i t s a t o m a n d
t h e i n t e r a c t i o n w i t h i t s e n v i r o n m e n t i s r e s t r i c t e d t o i t s d i r e c t n e i g h b o u r s . P h y s i c a l l y , w e
a r e d e s c r i b i n g t h e t r a n s i t i o n a l m o d e b e t w e e n a c o n d u c t i n g s t a t e a n d a n i n s u l a t i n g m o d e
o f t h e m o d e l . F u r t h e r m o r e , w e a s s u m e t h a t t h e c o u p l i n g t o t h e l e a d i s r e l a t i v e l y w e a k ,
a l l o w i n g u s t o u s e t h e M a r k o v a p p r o x i m a t i o n w h i c h w e w i l l e x p l a i n l a t e r o n i n t h e t h e s i s .
T h e s i m p l i e d m o d e l c a n b e c a t e g o r i z e d a s a s p i n l e s s H u b b a r d m o d e l [ 8 ] c o u p l e d t o a
l e a d a t o n e e n d . F o r t h i s m o d e l , w e w i l l g a t h e r i n s i g h t o n h o w t h e p a r t i c l e o c c u p a t i o n ,
w h i c h i s d i r e c t l y l i n k e d t o t h e e n e r g y , w i t h i n t h e c h a i n b e h a v e s a s a f u n c t i o n o f t i m e f o r
s o m e i n i t i a l o c c u p a n c y a n d s o m e a p p l i e d c h e m i c a l p o t e n t i a l t o t h e l e a d . T h e g u r e o n
t h e t o p o f t h e c o v e r p a g e i l l u s t r a t e s t h e m o d e l w e w i l l b e w o r k i n g o n : t h e s i t e s a r e e i t h e r
o c c u p i e d ( e m p t y c i r c l e s ) o r o c c u p i e d ( l l e d c i r c l e s ) a n d t h e t h i c k a r r o w s b e t w e e n t h e m
i n d i c a t e t h e h o p p i n g a c t i o n . T h e l e a d i s s h o w n o n t h e l e f t , w e a k l y c o u p l i n g t o t h e l e f t
s i t e .
2
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2 . C o n s t r u c t i n g t h e m o d e l
2 . 1 . S t a r t i n g p o i n t
T o n d a m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n f o r t h e t r a n s p o r t o f s p i n l e s s f e r m i o n s , p r o v i d e d b y
a l e a d , o n t o a c h a i n w i t h n
s i t e s t h r o u g h a w e a k c o u p l i n g b e t w e e n t h e l e a d a n d t h e
c h a i n w e n e e d a s t a r t i n g p o i n t f r o m w h i c h w e c a n d e d u c e t h e m o d e l a n d i m p l e m e n t i t
i n s o f t w a r e . T h i s s t a r t i n g p o i n t w i l l b e p r o v i d e d b y t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n , w h i c h
p r o v i d e s u s w i t h a n e x p r e s s i o n f o r t h e r a t e o f c h a n g e w i t h r e s p e c t t o t i m e o f t h e d e n s i t y
o p e r a t o r [ 8 ] o f a s y s t e m . W e w i l l r s t i n t r o d u c e t h e d e n s i t y o p e r a t o r f o r m a l l y a n d d e d u c e
t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n b e f o r e w e a p p l y t h e s e c o n c e p t s t o o u r m o d e l . N o t e t h a t w e
s e t 1
i n t h i s t h e s i s f o r o b v i o u s p r a c t i c a l r e a s o n s .
2 . 1 . 1 . D e n s i t y o p e r a t o r
T h e d e n s i t y o p e r a t o r p r o v i d e s t h e m o s t c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f a s t a t e i n t e r m s o f p r o b -
a b i l i t y f o r t h e s t a t e t o c o n s i s t o f c e r t a i n e i g e n s t a t e s o f a s y s t e m . T h e e v o l u t i o n i n t i m e
o f t h i s d e n s i t y o p e r a t o r i s t h e r e f o r e p a r t i c u l a r l y u s e f u l t o d e s c r i b e t h e t i m e e v o l u t i o n o f
o u r s y s t e m .
L e tU
b e a n i s o l a t e d s y s t e m c o n s i s t i n g o f t w o i n d e p e n d e n t H i l b e r t s p a c e s s p a n n i n g u p
S a n d E. G i v e n |Sj a b a s i s o f s t a t e s i n S a n d |Eq a b a s i s o f s t a t e s i n E, t h e n a b a s i s
o fU
i s g i v e n b y |Sj |
Eq |
Sj
Eq . L e t |
U
jq jq |Sj
Eq b e a s t a t e i n U a n d
l e tA
b e a n o p e r a t o r a c t i n g o n S
. T h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f A
i s t h e n g i v e n b y :
A = U| A |U
=jq
kr
jq kr
Sj
Eq | A |
Sk
Er
=jq
kr
jq kr
Sj | A |
Sk
Eq |
Er
= jq k jq k
Sj | A |
Sk . ( 2 . 1 )
D e n i n g
q |
Sq
j jq |
Sj , t h i s y i e l d s :
A =
q
q Sq | A |
Sq . ( 2 . 2 )
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L e t |i b e a s e t o f n o r m a l i z e d , b u t n o t n e c e s s a r i l y o r t h o g o n a l , s t a t e s i n S, t h e n t h e p r o b a b i l i t y o f t h e s y s t e m t o b e i n s t a t e |i i s i , w i t h
i i = 1 . S u p p o s e t h e e x p e c t a t i o n
v a l u e o f s o m e o p e r a t o r A i n s t a t e |i i s g i v e n b y Ai , t h e n t h e e x p e c t a t i o n v a l u e i s :
A = i
iAi = i
i i| A |i .( 2 . 3 )
W e n o w d e n e t h e d e n s i t y o p e r a t o r :
=
i
i |i i| , ( 2 . 4 )
s o t h a t w e c a n w r i t e f o r t h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f A
:
A =
i
i i| A |i
=
i
i i|
n
|n n|
I
A |i
=
n
n|
i
i |i i|
A |n
=
n
n| A |n = Tr
A
.( 2 . 5 )
I t c a n b e e a s i l y s e e n t h a t
tr(
) = i i i | i = i i = 1. A p u r e s t a t e | i s a n e i g e n s t a t e o f
w i t h e i g e n v a l u e
= 1. A m i x e d s t a t e i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f e i g e n s t a t e s
o f w i t h e i g e n v a l u e s i < 1 s u c h t h a t
i i = 1.
2 . 1 . 2 . V o n N e u m a n n e q u a t i o n
T h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n d e s c r i b e s h o w t h e d e n s i t y o p e r a t o r e v o l v e s i n t i m e . W e c a n
d e d u c e f o r a n y p u r e s t a t e |:
i = i
t| |
= i t | | + |i|
t = H| | | | H
= H H =
H,
,( 2 . 6 )
f r o m w h i c h f o l l o w s t h a t :
= i
H,
. ( 2 . 7 )
4
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T h i s l a s t e x p r e s s i o n i s t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n . W e w i l l u s e t h e V o n N e u m a n n
e q u a t i o n a s a s t a r t i n g p o i n t f o r n d i n g t h e t i m e e v o l u t i o n o f o u r s y s t e m .
F r o m e q u a t i o n 2 . 7 w e s e e t h a t w h e n w e w i s h t o o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r t h e d e n s i t y
o p e r a t o r o f t h e c h a i n , w e s h o u l d n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e H a m i l t o n i a n o f t h e m o d e l r s t .
A s o u r m o d e l c o n s i s t s o f a c h a i n o f
ns i t e s c o u p l e d t o a l e a d t h e r e a r e t h r e e c o n t r i b u t i o n s
t o t h e H a m i l t o n i a n f o r t h e m o d e l :
H = Hchain + Hlead + Hhyb, ( 2 . 8 )
w h e r e Hhyb i s t h e ` h y b r i d i z a t i o n H a m i l t o n i a n ' : t h e H a m i l t o n i a n d e s c r i b i n g t h e i n t e r a c -
t i o n b e t w e e n t h e l e a d a n d t h e c h a i n i n t e r m s o f e n e r g y . W e w i l l f o c u s o n e a c h o f t h e s e
c o n t r i b u t i o n s s e p a r a t e l y i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .
2 . 2 . C h a i n H a m i l t o n i a n
F o r t h e c h a i n H a m i l t o n i a n w e w i l l u s e t h e s e c o n d q u a n t i z a t i o n [ 2 ] f o r m a l i s m f o r t h e t i g h t
b i n d i n g m o d e l , b a s e d o n t h e H u b b a r d c h a i n m o d e l [ 8 ] . W i t h t h e s e c o n d q u a n t i z a t i o n
f o r m a l i s m s t a t i s t i c a l q u a n t i t i e s s u c h a s f r e e e n e r g y a n d t i m e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s b u t a l s o
t h e H a m i l t o n i a n c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s . T h e
m e t h o d i s e s p e c i a l l y u s e f u l f o r a s y s t e m i n w h i c h t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s c h a n g e s w i t h
t i m e , i m p l y i n g i t s h o u l d b e u s e f u l f o r o u r m o d e l . F u r t h e r m o r e , o u r m o d e l o n l y a l l o w s
i n t e r a c t i o n w i t h n e i g h b o u r i n g s i t e s i n t h e c h a i n , a n d c a n b e w r i t t e n a s t h e s u m o f t h e
p o t e n t i a l e n e r g y H a m i l t o n i a n , d e s c r i b i n g o c c u p a n c i e s o f s i t e s w i t h i n t h e c h a i n i n t e r m s
o f e n e r g y , a n d t h e t u n n e l l i n g e n e r g y H a m i l t o n i a n , d e s c r i b i n g t h e c h a n g e o f o c c u p a n c i e s
o f s i t e s w i t h i n t h e c h a i n . L e t ' s r s t f o c u s o n t h e p o t e n t i a l e n e r g y H a m i l t o n i a n , w h i c h w e
c a n w r i t e a s f o l l o w s :
Hchain,V =
ni=1
idi di, ( 2 . 9 )
w h e r e di a n d di a r e t h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s , r e s p e c t i v e l y : di w o r k i n g o n
a p a r t i c u l a r s t a t e o f o c c u p a n c i e s o f s i t e s w i t h i n t h e c h a i n r e m o v e s a p a r t i c l e f r o m t h e
it h s i t e i f t h e r e w a s i n i t i a l l y a p a r t i c l e o c c u p y i n g t h a t s i t e , di c r e a t e s a p a r t i c l e o n t h e
it h s i t e i f i t w a s i n i t i a l l y u n o c c u p i e d . T h e o p e r a t o r
di di t h e r e f o r e b a s i c a l l y f u n c t i o n s a s
a p a r t i c l e c o u n t e r . i i s t h e p a r t i c l e ' s p o t e n t i a l e n e r g y i n t h e i t h s i t e : w e a s s u m e t h e s e
p o t e n t i a l e n e r g i e s t o b e e q u a l f o r e a c h s i t e i n t h e c h a i n b u t f o r n o w w e w i l l l e a v e t h e s e
e n e r g i e s i n d e x e d .
I n o u r s y s t e m w e a l s o l o o k a t t h e p o s s i b i l i t y t h a t a p a r t i c l e t u n n e l s f r o m i t s s i t e t o
e i t h e r o n e o f i t s n e i g h b o u r i n g s i t e s . T h i s i n t r o d u c e s a s o - c a l l e d ` h o p p i n g ' t e r m i n o u r
H a m i l t o n i a n :
Hchain,hop = n
i=1
tdi di+1 + t
di+1di
,( 2 . 1 0 )
w i t h t
t h e t u n n e l l i n g i n t e g r a l w h i c h d e s c r i b e s t h e k i n e t i c e n e r g y a s p a r t i c l e s c a n h o p
o v e r t o e a c h o f t h e i r n e i g h b o u r i n g s i t e s , h e n c e t h e m i n u s s i g n i n t h i s p a r t o f t h e c h a i n
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H a m i l t o n i a n , l o w e r i n g t h e t o t a l e n e r g y o f a c h a i n s t a t e i n w h i c h a p a r t i c l e h a s o n e o r
t w o u n o c c u p i e d n e i g h b o u r i n g s i t e s .
W e t h u s h a v e t h e f o l l o w i n g f o r t h e c h a i n H a m i l t o n i a n :
Hchain =
ni=1
idi di n
i=1
tdi di+1 + tdi+1di . ( 2 . 1 1 ) 2 . 2 . 1 . C h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x f o r m a l i s m
A s w e a r e u l t i m a t e l y i n t e r e s t e d i n t h e b e h a v i o u r o f t h e c h a i n d e n s i t y m a t r i x w h i c h w e
w i l l c o m p u t e n u m e r i c a l l y , w e s h o u l d c o n s t r u c t a m a t r i x f o r m a l i s m f o r t h e o p e r a t o r s i n
t h e H a m i l t o n i a n . W e t h e r e f o r e r s t n e e d t o c o n s t r u c t a s u i t a b l e v e c t o r b a s i s f o r t h e
c h a i n , t h e n c o n s t r u c t t h e di o p e r a t o r s w i t h t h a t b a s i s a n d n a l l y g e n e r a l i z e t h e r e s u l t s
a n d c o n s t r u c t t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x .
C o n s t r u c t i n g a b a s i s
A s t h e c h a i n c o n t a i n s n
s i t e s w i t h e a c h s i t e e i t h e r b e i n g o c c u p i e d b y o n e p a r t i c l e o r
u n o c c u p i e d , w e h a v e t h a t t h e r e a r e 2n
p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s o r ` s t a t e s ' w i t h i n t h e
c h a i n . T o r e p r e s e n t a l l p o s s i b l e s t a t e s w i t h i n t h e c h a i n w e i n t r o d u c e t h e v e c t o r s e t
{|1 , |2 , . . . , |2n} , w h e r e |n r e p r e s e n t s t h e nt h s t a t e o f t h e c h a i n . F o r n s i t e s , w e c a n c o n s t r u c t t h i s s e t a s f o l l o w s :
|k = |i1 20 + i2 2
1 + + in 2n + 1 ,
( 2 . 1 2 )
w h e r e ij = 1 i f t h e j t h s i t e i s o c c u p i e d o r ij = 0 i f t h i s i s n o t t h e c a s e , f o r j = 1, 2, . . . , n.W e c a n u s e t h e r e s u l t i n g k e t l a b e l
kf o r a s p e c i c c o n g u r a t i o n t o c o n s t r u c t a v e c t o r o f
l e n g t h
2n
b y m a k i n g a v e c t o r
vk R2n
b e i n g a u n i t v e c t o r , i . e . i t h a s a 1 o n i t s
kt h i n d e x
a n d 0 e l s e w h e r e . A s e a c h s t a t e r e s u l t s i n a s p e c i c v e c t o r w h i c h i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o f
a l l o f t h e o t h e r v e c t o r s r e p r e s e n t i n g t h e o t h e r s t a t e s a n d a l l p o s s i b l e v e c t o r s s p a n u p t h e
e n t i r e s t a t e s p a c e , w e h a v e a b a s i s f o r t h e c h a i n . T h i s s t a t e s p a c e i s c a l l e d a F o c k s p a c e
a s w e h a v e a s y s t e m w i t h a n u n k n o w n a m o u n t o f p a r t i c l e s : f o r e a c h n u m b e r o f p a r t i c l e s
i n t h e c h a i n w e h a v e a s e p a r a t e H i l b e r t s p a c e w h i c h i s s p a n n e d u p b y t h e v e c t o r s f r o m
t h e c h a i n F o c k s p a c e c o r r e s p o n d i n g t o t h a t s p e c i c n u m b e r o f p a r t i c l e s .
C o n s t r u c t i n g t h e di o p e r a t o r s
A c o n v e n i e n t n o t a t i o n t o r e p r e s e n t t h e s t a t e w h e n c o n s t r u c t i n g di i s a k e t w h i c h i s
l a b e l l e d a s
|i1, i2, . . . , in: t h i s w a y w e g e t a r e p r e s e n t a t i o n d i s p l a y i n g t h e p o s i t i o n o f t h e
p a r t i c l e s i n t h e c h a i n s o t h a t w e c a n e a s i l y s e e h o w di w o r k s o n e a c h p a r t i c u l a r s t a t e .
C o n s t r u c t i n g m a t r i c e s f o r t h e di o p e r a t o r s i s d o n e b y t h e u s u a l a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g
a n o p e r a t o r :
Am,n = m| A |n . ( 2 . 1 3 )
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W e ' l l s h o w t h e r s t f e w s t e p s i n c o n s t r u c t i n g t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n f o r d1 i n t h e b a s i s
a s d e n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n :
d1 |1 = d1 |0, 0, . . . , 0 = 0
d1 |2 = d1 |1, 0, 0, . . . , 0 = |0, 0, . . . , 0 = |1= 1| d1 |2 = 1
= d11,2 = 1
d1 |3 = d1 |0, 1, 0, 0, . . . , 0 = 0
d1 |4 = d1 |1, 1, 0, 0, . . . , 0 = |0, 1, 0, 0, . . . , 0 = |3
= 3| d1 |4 = 1
= d13,4 = 1
d1 |5 = d1 |0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0 = 0
.
.
. ( 2 . 1 4 )
d1 |2n = d1 |1, 1, . . . , 1 = |0, 1, 1, . . . , 1 = |2
n 1
= 2n 1| d1 |2n = 1
= d12n1,2n = 1.
W e c a n s e e t h e p a t t e r n v e r y e a s i l y f o r d1 . F o r k = 1, 2, . . . 2n
w e h a v e t h a t :
d1k1,k =
1, k even
0, k odd( 2 . 1 5 )
W e c a n d o t h e s a m e f o r d2,d
3, . . . ,d
n. W e c a n s e e a d i s t i n c t p a t t e r n f o r e a c h d
i, w h i c h
c a n b e i l l u s t r a t e d b y t a k i n g a n e x a m p l e c h a i n w i t h t h r e e s i t e s , s o t h a t di i s a s q u a r e
m a t r i x o f s i z e e i g h t . T h e f o l l o w i n g r e n d e r i n g o v e r l a y s d1,d2 a n d d3 s o t h a t t h e s t r u c t u r e
f o r e a c h di s h o w s m u c h m o r e c l e a r l y :
d1 + d2 + d3 =
I20
I20
I20
I20
I21
I22
I21
( 2 . 1 6 )
7
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n o t e t h a t t h e m a t r i x i s v e r y s p a r s e . T h e I2n c o n t r i b u t i o n s a r e f r o m t h e dn+1 m a t r i c e s .
F r o m t h i s w e c a n e a s i l y n d a m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n f o r di . D e n i n g t h e u p p e r s h i f t
m a t r i x :
U2 0 1
0 0 , ( 2 . 1 7 ) w e s e e f r o m o u r e x a m p l e a n d e x p a n d i n g t h e p r o b l e m t o
ns i t e s i t f o l l o w s t h a t :
di = I2ni U2 I2i1 , ( 2 . 1 8 )
w i t h n
t h e n u m b e r o f s i t e s i n t h e c h a i n a n d i = 1, 2, . . . , n
. F r o m t h i s e x p r e s s i o n di
i s f o u n d e a s i l y b y t a k i n g t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f di . A s a l l di a r e r e a l v a l u e d u p p e r
t r i a n g l e m a t r i c e s , t h i s s i m p l y r e s u l t s i n m i r r o r i n g t h e m i n t h e d i a g o n a l w h i c h o n l y a e c t s
U2 i n o u r e x p r e s s i o n f o r di . D e n i n g :
L2 U2 =
0 01 0 , ( 2 . 1 9 )
w e t h u s n d :
di = (I2ni U2 I2i1)
= I2ni L2 I2i1 . ( 2 . 2 0 )
C o n s t r u c t i n g t h e p o t e n t i a l H a m i l t o n i a n
F r o m t h e r e s u l t s f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e c a n c o n s t r u c t t h e n u m b e r o p e r a t o r f r o m
t h e p o t e n t i a l H a m i l t o n i a n a s f o l l o w s :
didi = (I
2ni L
2 I
2i1) (I
2ni U
2 I
2i1)= I22ni (L2 I2i1) (U2 I2i1)
= I2ni L2U2 I22i1
= I2ni L2U2 I2i1 . ( 2 . 2 1 )
D e n i n g W2 L2U2 , w e h a v e :
didi = I2ni W2 I2i1 . ( 2 . 2 2 )
W e c a n t h u s w r i t e t h e m a t r i x f o r t h e p o t e n t i a l H a m i l t o n i a n , a s s u m i n g i t o b e t h e s a m e
f o r e a c h s i t e , a s f o l l o w s :
Hchain,V = n
i=1
I2ni W2 I2i1 . ( 2 . 2 3 )
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C o n s t r u c t i n g t h e h o p p i n g H a m i l t o n i a n
A s t h e c h a i n h a s a l e n g t h o f n s i t e s a n d d u e t o t h e n a t u r e o f t h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n
o p e r a t o r s dn+1 a n d d
n+1 y i e l d z e r o a s t h e r e i s n o s i t e f o r t h e s e o p e r a t o r s t o w o r k o n .
K e e p i n g t h i s i n m i n d , w e h a v e t h a t f o r i = 1, 2, . . . n 1
:
didi+1 = (I2ni L2 I2i1) (I2ni1 U2 I2i)
= I2ni (I2ni1 U2) (L2 I2i1) I2i
= I2ni1 U2 L2 I2i1 , ( 2 . 2 4 )
a n d s o f o r i = 1, 2, . . . , n 1
:
di+1di =
didi+1
= I
2ni1U2 L
2 I
2i1
= I2ni1 L2 U2 I
2i1 . ( 2 . 2 5 )
D e n i n g :
A I2ni1 ,
B U2 L2,
C I2i1 and
D L2 U2,
w e n d :
ABC+ADC = A (BC+DC) = A (B+D) C. ( 2 . 2 6 )
D e n i n g Z4 U2 L2 + L2 U2 , t h i s y i e l d s :
didi+1 + d
i+1di = I2ni1 Z4 I2i1 . ( 2 . 2 7 )
W e c a n t h u s w r i t e , a s s u m i n g t = t
:
Hchain,hop = tn1i=1
I2ni1 Z4 I2i1 . ( 2 . 2 8 )
C h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x
W e h a v e f o u n d a m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c h a i n
H a m i l t o n i a n i n t h e F o c k s p a c e b a s i s b y s u m m i n g e q u a t i o n s 2 . 2 3 a n d 2 . 2 8 t o b e t h e
f o l l o w i n g :
Hchain = W2 I2n1 +n1i=1
(I2ni W2 tI2ni1 Z4) I2i1 . ( 2 . 2 9 )
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T h i s e x p r e s s i o n , a n d t h e e x p r e s s i o n f o u n d f o r t h e di m a t r i c e s , c o m e s i n p a r t i c u l a r l y
u s e f u l i m p l e m e n t i n g t h e c h a i n H a m i l t o n i a n i n s o f t w a r e . I n t h i s t h e s i s w e w i l l s t i c k t o t h e
o p e r a t o r r e p r e s e n t a t i o n o f H a m i l t o n i a n s a s t h i s i s a m o r e w o r k a b l e f o r m w h e n w o r k i n g
o u t e x p r e s s i o n s f u r t h e r o n . H o w e v e r , s o f t w a r e i m p l e m e n t a t i o n d o e s p l a y a k e y r o l e i n
t h i s t h e s i s a s t h e d e n s i t y m a t r i x o f t h e c h a i n w i l l b e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d .
2 . 2 . 2 . M A T L A B i m p l e m e n t a t i o n
W e c a n c o n s t r u c t t h e c h a i n H a m i l t o n i a n i n MATLAB u s i n g t h e f u n c t i o n l e H_chain.m
w h i c h c a l l s t h e f u n c t i o n l e d_operators.m
. T h e f u n c t i o n H_chain.m
i s c a l l e d u s i n g
t h e p a r a m e t e r s n
,
a n dt
f o r t h e c h a i n l e n g t h , t h e p o t e n t i a l e n e r g y f o r a n o c c u p i e d s i t e
a n d t h e t u n n e l i n g e n e r g y , r e s p e c t i v e l y . T h e f u n c t i o n d_operators.m i s c a l l e d u s i n g o n l y
t h e p a r a m e t e r n
. T h e f u n c t i o n H_chain.m
o n l y r e t u r n s t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x , i f
y o u w i s h t o h a v e t h e di o p e r a t o r s a v a i l a b l e y o u s h o u l d c a l l t h e d_operators.m f u n c t i o n
s e p a r a t e l y .
1 function [H] = H_chain(n,epsilon,t)
2 d = d_operators(n);
3
U = [0 1 ;0 0 ];
4 for i=1:n
5 d{i,1} = kron(kron(speye(2^(ni)),U),speye(2^(i1)));6 end
7 H = zeros(2^n,2^n);
8 for i=1:n
9 H = H + (epsilon*d{i,1}'*d{i,1} ...
1 0 t*(d{i,1}'*d{i+1,1} + d{i+1,1}'*d{i,1}));1 1 end
1 2 return
1 function [d] = d_operators(n)
2 d = {n+1,1};
3
d{n+1,1} = zeros(2^n,2^n);
4 U = [0 1 ;0 0 ];
5 for i=1:n
6 d{i,1} = kron(kron(speye(2^(ni)),U),speye(2^(i1)));7 end
8 return
V e r i f y i n g t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n
N o w t h a t n o w t h a t w e h a v e t h e c h a i n H a m i l t o n i a n i n a m a t r i x f o r m , w e c a n c o m p u t e
t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n a n d v e r i f y t h e e x p e c t e d r e s u l t t h a t :
chain = i
Hchain, chain
= 0.
( 2 . 3 0 )
T h e p r o c e s s f o r t h i s v e r i c a t i o n i s d e s c r i b e d i n a p p e n d i x A a s i t i s n o t a c o r e p a r t o f
t h e r e s e a r c h . T h e r e a s o n t h a t w e a d d r e s s t h i s p r o c e d u r e i s t h a t f r o m t h e v e r i c a t i o n
a n i n t e r e s t i n g p o i n t c o n c e r n i n g t h e l i m i t a t i o n s i n n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n a r i s e s . T h e
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F i g u r e 2 . 1 . : T h e r e q u i r e d m e m o r y t o s t o r e t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x v e r s u s t h e n u m -
b e r o f s i t e s i n t h e c h a i n : a n e x p o n e n t i a l r e l a t i o n .
v e r i c a t i o n p r o c e s s r e q u i r e s d i a g o n a l i z a t i o n o f t h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x i n o r d e r t o
n d t h e e i g e n v e c t o r s . T h e c h a i n H a m i l t o n i a n m a t r i x i s o f s i z e
2n 2n, r e q u i r i n g
8 22n
b y t e s o f m e m o r y t o s t o r e i n MATLAB . T o i l l u s t r a t e t h i s , a g r a p h o f t h e r e q u i r e d m e m o r y
a s a f u n c t i o n o f s i t e s i n t h e c h a i n i s s h o w n i n g u r e 2 . 1 . W e c a n s e e e x p o n e n t i a l b e h a v i o u r
i n t h e r e q u i r e d m e m o r y , w h i c h i s a l r e a d y w e l l o v e r 8 g i g a b y t e s f o r 1 5 s i t e s f r o m w h i c h w e
c a n s e e t h a t a s t r a i g h t f o r w a r d i m p l e m e n t a t i o n w i l l n o t p r o v i d e a s c a l a b l e s o l u t i o n . W e
w i l l b e a d d r e s s i n g t h e s e l i m i t a t i o n s f u r t h e r o n i n c h a p t e r s 6 a n d 7 .
2 . 3 . L e a d H a m i l t o n i a n a n d c o u p l i n g H a m i l t o n i a n
W h e n t h e c h a i n o f s i t e s , a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i s c o u p l e d t o a l e a d , t h e
H a m i l t o n i a n f o r t h e t o t a l s y s t e m g a i n s t w o t e r m s . W e s t i l l h a v e t h e H a m i l t o n i a n o f t h e
c h a i n Hchain , t h e n t h e r e i s t h e H a m i l t o n i a n o f t h e l e a d Hlead , t o g e t h e r f o r m i n g t h e s y s t e m
H a m i l t o n i a n H0 , a n d t h e H a m i l t o n i a n o f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e l e a d a n d t h e r s t
s i t e o f t h e c h a i n Hhyb . W e a s s u m e t h a t t h e l e a d i s n o t a e c t e d b y t h e c h a i n a t a l l : i t
i s a l a r g e r e s e r v o i r s e t a t s o m e c h e m i c a l p o t e n t i a l a n d d o e s n o t c h a n g e a s p a r t i c l e s a r e
e x c h a n g e d b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d . W e c a n t h e r e f o r e e x p r e s s t h e H a m i l t o n i a n
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f o r t h e l e a d v e r y e a s i l y b y i n t r o d u c i n g t h e a n n i h i l a t i o n a n d c r e a t i o n o p e r a t o r p a i r a n d
s u m m i n g o v e r t h e p a r t i c l e s i n t h e l e a d , a d d i n g u p t h e i r e n e r g i e s :
Hlead = c
c . ( 2 . 3 1 )
F o r t h e h y b r i d i z a t i o n H a m i l t o n i a n Hhyb w e b a s i c a l l y u s e o n e t e r m o f t h e h o p p i n g H a m i l -
t o n i a n , m e a n i n g t h a t a p a r t i c l e f r o m t h e l e a d w i t h a n e n e r g y t h a t i s e l i g i b l e f o r
t u n n e l l i n g t o t h e r s t s i t e o f t h e c h a i n i f t h a t s i t e i s u n o c c u p i e d , o r r e v e r s i b l y a p a r t i c l e
o n t h e r s t s i t e o f t h e c h a i n c a n h o p o t o t h e l e a d . W e c a n t h u s w r i t e :
Hhyb =
c
d1 +
d1c
,( 2 . 3 2 )
w i t h
t h e t u n n e l l i n g i n t e g r a l v a l u e a s w e f o u n d e a r l i e r i n t h e c h a i n H a m i l t o n i a n . N o t e
t h a t t h e v a l u e o f
d e t e r m i n e s t h e c o u p l i n g s t r e n g t h b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d .
W e h a v e t h u s f o u n d t h e c o m p l e t e H a m i l t o n i a n f o r t h e m o d e l , w h i c h w e h a v e s u b d i v i d e d
i n t o t h e s e g m e n t s H0 , a n ` u n p e r t u r b e d ' t e r m , a n d Hhyb , a ` p e r t u r b a t i o n t e r m ' , w h i c h
w i l l p r o v e t o b e o f c o n v e n i e n c e l a t e r :
H =
Hchain i
idi di
i
tdi di+1 + t
di+1di
+
Hlead
c c
H0
+
c
d1 +
d1c
Hhyb
.( 2 . 3 3 )
1 2
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3 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h
W h e n n d i n g a n e x p r e s s i o n f o r t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e c h a i n d e n s i t y o p e r a t o r i t w i l l
p r o v e t o b e u s e f u l t o c h a n g e t h e ` p i c t u r e ' , m e a n i n g t h e f r a m e o f r e f e r e n c e , i n w h i c h w e a r e
w o r k i n g . T h e c h a n g e o f p i c t u r e s a l l o w s u s t o s h i f t p a r t s o f t h e t i m e d e p e n d e n c y b e t w e e n
t h e e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n a n d t h e H a m i l t o n i a n i t s e l f , u l t i m a t e l y y i e l d i n g a
w o r k a b l e e x p r e s s i o n f o r o u r p r o b l e m a n d i s o l a t i n g s p e c i c p a r t s o f t h e f u l l H a m i l t o n i a n .
T h i s c h a p t e r w i l l r s t s h o r t l y i n t r o d u c e t h e d i e r e n t p i c t u r e s t h a t w e w i l l b e u s i n g a n d
t h e n a p p l y t h e m t o t h e p r o b l e m .
3 . 1 . P i c t u r e f o r m u l a t i o n s
W i t h i n q u a n t u m m e c h a n i c s , d i e r e n t p i c t u r e s c a n b e u s e d i n o r d e r t o s h i f t t i m e d e p e n -
d e n c i e s b e t w e e n o p e r a t o r s a n d e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n . L e t ' s t a k e t h e a d u m m y
o p e r a t o r A
a n d i l l u s t r a t e t h i s i n t h r e e o f t h e s e p i c t u r e s .
3 . 1 . 1 . S c h r d i n g e r p i c t u r e
I n t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e t h e o p e r a t o r i s t i m e i n d e p e n d e n t : t h e t i m e d e p e n d e n c y i s i n
t h e e i g e n s t a t e s . S o f a r , w e h a v e b e e n w o r k i n g i n t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e a n d w e a s s u m e
o u r e x p r e s s i o n s t o b e s o , u n l e s s i n d i c a t e d o t h e r w i s e . W e h a v e t h e f o l l o w i n g :
AS (t) = AS (0) = A, ( 3 . 1 )
|S = eiHt | ,
( 3 . 2 )
w h e r e |
i s t i m e i n d e p e n d e n t .
3 . 1 . 2 . H e i s e n b e r g p i c t u r e
I n t h e H e i s e n b e r g p i c t u r e t h e o p e r a t o r i s t i m e d e p e n d e n t : t h e r e f o r e w e c a n w r i t e t h e
e i g e n s t a t e s t o b e c o m p l e t e l y t i m e i n d e p e n d e n t . T h i s c a n b e d o n e e a s i l y b y p u t t i n g t h e
t i m e d e p e n d e n t p a r t o f
|Sw i t h i n t h e o p e r a t o r , s o t h a t w e h a v e t h e f o l l o w i n g :
AH (t) = eiHt AeiHt ,
( 3 . 3 )
|H = | . ( 3 . 4 )
T o s h o w t h a t t h i s i n t e r c h a n g e o f t i m e d e p e n d e n c y i s d o n e r i g h t , w e c a n w r i t e o u t t h e
e x p e c t e d v a l u e o f a n o b s e r v a b l e o f w h i c h A
i s o u r o p e r a t o r : b o t h t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e
1 3
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a n d t h e H e i s e n b e r g p i c t u r e s h o u l d y i e l d t h e s a m e v a l u e :
A = S| A |S
= | eiHt AeiHt |
= | AH | = AH. ( 3 . 5 )
F u r t h e r m o r e , w e c a n o b t a i n H e i s e n b e r g ' s e q u a t i o n o f m o t i o n f r o m t h i s p i c t u r e i n t h e
f o l l o w i n g m a n n e r :
AH (t) =
t
eiHt HeiHt
( 3 . 6 )
= iHeiHt AeiHt ieiHt AHeiHt , ( 3 . 7 )
a n d a s H a n d eiHt c o m m u t e , w e h a v e :
AH (t) = i
AH, H
. ( 3 . 8 )
3 . 1 . 3 . I n t e r a c t i o n p i c t u r e
W i t h i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , w e a r e l o o k i n g f o r a f o r m a l i s m i n w h i c h b o t h t h e o p e r a t o r
a n d t h e e i g e n s t a t e s h a v e a t i m e d e p e n d e n c y . W e a s s u m e H
t o b e p e r t u r b e d , s o t h a t w e
c a n w r i t e : H = H0+V, w h e r e H0 i s t h e u n p e r t u r b e d H a m i l t o n i a n a n d V t h e p e r t u r b a t i o n o p e r a t o r . T h i s w a y , w e c a n a s s i g n s p e c i c p a r t s o f t h e H a m i l t o n i a n t o b e c o n n e c t e d t o
t h e t i m e d e p e n d e n c y i n t h e o p e r a t o r a n d t h e e i g e n s t a t e . W e n d t h a t i n t h e S c h r d i n g e r
p i c t u r e :
H|S =
H0 + V
|S = H0 |S + V|S , ( 3 . 9 )
s o t h a t w e c a n w r i t e :
|S = ei(H0+V)t | .
( 3 . 1 0 )
B y n o w d e n i n g |I eiH0t |S, w e n d t h a t :
|I = eiV t | ,
( 3 . 1 1 )
s o t h a t :
AI (t) = eiV t AHeiV t = ei(VH0)Aei(VH0). ( 3 . 1 2 )
F o r t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , i t i s e a s y t o s h o w t h a t :
I = |I |I = eiH0t |S |S e
iH0t = eiH0tS eiH0t. ( 3 . 1 3 )
H e i s e n b e r g ' s e q u a t i o n o f m o t i o n t r a n s f o r m e d t o t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e y i e l d s t h e f o l l o w -
i n g :
AI (t) =
t
eiV t AHeiV t
= iVeiV t AHeiV t + eiV t
AHe
iV t + ieiV t AHVeiV t
= i
AI, H
+ i
AI, V
= i
AI, H0
.
( 3 . 1 4 )
1 4
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V o n N e u m a n n i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e
F r o m t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n , w e h a v e t h a t
= i
H,
. W e c a n r e w r i t e t h i s
e q u a t i o n i n t e r m s o f t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , s o t h a t w e n d :
t
eiH0tIeiH0t
= i
eiH0tHIeiH0t, eiH0tIeiH0t
iH0e
iH0tIeiH0t
+eiH0t IeiH0t + ieiH0tIeiH0tH0 = i
eiH0tHIeiH0t, eiH0tIeiH0t
i
H0, eiH0tIeiH0t
+ eiH0t IeiH0t = i
eiH0tHIeiH0t, eiH0tIeiH0t
eiH0t IeiH0t = i
eiH0tHIeiH0t H0, eiH0tIeiH0t
I (t) = i
VI, I
.
( 3 . 1 5 )
3 . 2 . C o r r e c t i o n t h r o u g h i t e r a t i o n
W e c a n u s e a n i t e r a t i v e p r o c e s s t o n d t h e s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n t o
[ 9 , 3 ] . W e u s e
V o n N e u m a n n ' s e q u a t i o n e x p r e s s e d i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e , a s f o u n d i n e q u a t i o n 3 . 1 5
w i t h t h e i n t e r a c t i o n t e r m o f t h e H a m i l t o n i a n Hhyb a s t h e p e r t u r b i n g p a r t t o n d :
I (t) = i
Hhyb,I (t) , I (t)
,( 3 . 1 6 )
s o t h a t w e c a n w r i t e :
t
t0
It dt = i
t
t0Hhyb,It , It dt
I (t) = I (t0) i
tt0
Hhyb,I,
t
, I
t
dt.( 3 . 1 7 )
P l u g g i n g t h i s r e s u l t b a c k i n t o e q u a t i o n 3 . 1 6 w e o b t a i n :
I (t) = i
Hhyb,I (t) ,
I (t0) i
tt0
Hhyb,I
t
, I
t
dt
= i
Hhyb,I (t) , I (t0)
+
Hhyb,I (t) ,
tt0
Hhyb,I
t
, I
t
dt
= i Hhyb,I (t) , I (t0) + tt0
Hhyb,I (t) , Hhyb,It , I t dt. ( 3 . 1 8 ) W e a r e a s s u m i n g a w e a k c o u p l i n g b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d , i m p l y i n g a s m a l l r a t e
o f c h a n g e o f t h e c h a i n d e n s i t y m a t r i x , a n d t h e f a c t t h a t t h e l e a d i s l a r g e , i m p l y i n g t h a t
t h e l e a d i s i n a s t a t i o n a r y s t a t e . W e c a n w r i t e :
I (t) = chain,I (t) 0lead, ( 3 . 1 9 )
1 5
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w h e r e 0lead i s t h e i n i t i a l s t a t e o f t h e l e a d : w e a s s u m e t h e l e a d i s l a r g e a n d i t s s t a t e d o e s
n o t c h a n g e d u e t o a n y c h a n g e s i n t h e c h a i n . N o t e h o w t h i s a s s u m p t i o n i s r e a s o n a b l e f o r
s m a l l v a l u e s o f t
b u t n o t g e n e r a l l y s a t i s e d f o r l a r g e r v a l u e s o f t
. W e w i l l a d d r e s s t h i s
l a t e r o n . F u r t h e r m o r e , w e h a v e t h a t :
trleadI (t0) = chain,I (t0) = trleadI (t0) = chain,I (t0) = 0, ( 3 . 2 0 )
d u e t o o u r a s s u m p t i o n t h a t a t t0 , t h e r e i s n o i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d
a n dchain h a s b e e n c o n s t a n t u n t i l t = t0 . F o r a m o r e c o m p a c t n o t a t i o n , w e i n t r o d u c e :
c chain , l 0lead, Hc Hchain , Hl Hlead andtrl trlead.
U s i n g e q u a t i o n 3 . 1 6 w e t h u s n d t h e f o l l o w i n g :
trl I (t0) = i trl
Hhyb,I, I (t0)
= 0.
( 3 . 2 1 )
P l u g g i n g i n t h i s r e s u l t a n d o u r a s s u m p t i o n f r o m e q u a t i o n 3 . 1 9 i n t o e q u a t i o n 3 . 1 8 , w e
n d :
c,I (t) =
tt0
trl
Hhyb,I (t) ,
Hhyb,I
t
, c,I
t
l
dt.
( 3 . 2 2 )
A p p l y i n g t h e M a r k o v a p p r o x i m a t i o n w e a s s u m e t h a t c,I (t
) = c,I (t). W i t h t h i s a p - p r o x i m a t i o n w e i m p l y t h e a u t o c o r r e l a t i o n t i m e t o b e s m a l l , w h i c h i s j u s t i e d b y t h e
f a c t t h a t t h e r a t e o f c h a n g e w i t h i n t h e c h a i n d e n s i t y m a t r i x i s r e l a t i v e l y s m a l l d u e t o
t h e w e a k c o u p l i n g b e t w e e n t h e c h a i n a n d t h e l e a d : l o o s e l y f o r m u l a t e d w e a s s u m e t h a t
t h e c h a i n h a s n o m e m o r y o f i t s p r e v i o u s s t a t e s . F u r t h e r m o r e , w e a s s u m e t0 t t o b e
l a r g e c o m p a r e d t o t h e l e a d c o r r e l a t i o n t i m e s o t h a t w e h a v e t h a t t0 = . M a k i n g t h e
s u b s t i t u t i o n t = t
w e t h e n n d :
c,I (t) = 0
trl Hhyb,I (t) , Hhyb,I (t ) , c,I (t) l d. ( 3 . 2 3 ) T r a n s f o r m i n g b a c k i n t o t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e w e n d :
Hhyb,I (t) = eiHhybtHhyb,H (t) eiHhybt
= eiHhybt
eiHt HhybeiHt
eiHhybt
= eiH0tHhybeiH0t.
( 3 . 2 4 )
F u r t h e r m o r e , w e u s e t h a t :
c,I = eiHctc (t) e
iHct,( 3 . 2 5 )
i m p l y i n g t h a t :
c,I (t) = iHceiHctc (t) e
iHct + eiHct c (t) eiHct ieiHctc (t) HceiHct
= eiHct
i
Hc, c (t)
+ c (t)
eiHct
c (t) = i
Hc, c (t)
eiHct c,I (t) eiHct. ( 3 . 2 6 )
1 6
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P l u g g i n e q u a t i o n s 3 . 2 3 , 3 . 2 4 a n d 3 . 2 5 i n t o e q u a t i o n 3 . 2 6 , s u b s t i t u t i n g t h e r e s u l t s f r o m
t h e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e S c h r d i n g e r p i c t u r e , w e t h u s n d :
c (t) = i Hc, c (t) eiH0t
0
trl eiH0tHhybe
iH0t,eiH0(t)HhybeiH0(t), eiH0tc (t) eiH0t l
d
eiH0t
= i
Hc, c (t)
0
trl
Hhyb,
eiH0HhybeiH0, c (t) l
d, ( 3 . 2 7 )
y i e l d i n g a s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n t o o u r p r o b l e m . T h e r s t t e r m i s t h e u n p e r t u r b e d
t i m e e v o l u t i o n o f c , t h e s e c o n d t e r m d e s c r i b e s t h e s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n d u e t o t h e
p e r t u r b a t i o n i n t r o d u c e d b y t h e l e a d w h i c h c a n b e i n t e r p r e t e d a s a m e m o r y k e r n e l , a d d i n g
u p c o r r e c t i o n s o v e r t i m e .
3 . 3 . U n p e r t u r b e d t e r m
I n o r d e r t o e v e n t u a l l y e n d u p w i t h a m a t r i x i n t h e b a s e o f e i g e n v e c t o r s o f t h e c h a i n
H a m i l t o n i a n |i s o t h a t w e c a n u s e t h i s i n o u r i m p l e m e n t a t i o n , w e n e e d t o e x p a n d t h e
o p e r a t o r s a p p r o p r i a t e l y . I n g e n e r a l , w e c a n w r i t e t h e f o l l o w i n g :
A =
i,j
|i i| A |j j | . ( 3 . 2 8 )
F i r s t l e t ' s l o o k a t t h e u n p e r t u r b e d t e r m o f e q u a t i o n 3 . 2 7 , e x p a n d t h e o p e r a t o r c i n t h e
c h a i n e i g e n s t a t e b a s i s a n d p i c k t h e m, n t h e l e m e n t o f t h e r e s u l t i n g m a t r i x :
i Hc, cm,n = i Hccm,n + i c Hcm,n= i m|
i,j
Hc |i i| c |j j | n
+ i m|
i,j
|i i| c |j j | Hc |n
= i m|
i
Ei |i i| c |n
+ i m|
j
c |j j | En |n
= i (Em En) cm,n. ( 3 . 2 9 )
W e c a n w r i t e t h i s a s a f u l l m a t r i x , w h i c h i s v e r y s i m i l a r t o t h e F o c k s t a t e b a s i s e x p r e s s i o n
a s e x p e c t e d :
i
Hc, c
= i [, c] , ( 3 . 3 0 )
w h e r e i s t h e c h a i n H a m i l t o n i a n e x p r e s s e d i n t h e b a s i s o f e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l t o n i a n ,
a n d t h u s a d i a g o n a l m a t r i x , a n d c i s t h e m a t r i x r e p r e s e n t i n g c i n t h e e i g e n s t a t e b a s i s .
1 7
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3 . 4 . C o r r e c t i o n t e r m
L e t ' s t a k e a c l o s e r l o o k a t t h e t h e i n t e g r a n d o f t h e c o r r e c t i o n t e r m i n e q u a t i o n 3 . 2 7 :
trl Hhyb, eiH0HhybeiH0, c l =trl
Hhybe
iH0HhybeiH0c l
(a)
trl
Hhybc le
iH0HhybeiH0
(b)
trl
eiH0HhybeiH0c lHhyb
(c)
+ trl
c le
iH0HhybeiH0Hhyb
(d)
.( 3 . 3 1 )
L e t ' s z o o m i n o n (a)
, w r i t i n g o u t t h e t h e o p e r a t o r s Hhyb :
(a) = trl
|l|2 1,2
c1
d1eiH0c
2d1e
iH0c l
(a.i)
+ trl
|l|2
1,2
c1
d1eiH0d1c2e
iH0c l
(a.ii)
.
+ trl |l|2 1,2 d1c1e
iH0c2
d1eiH0c l
(a.iii)
+ trl
|l|2
1,2
d1c1e
iH0d1c2eiH0c l
(a.iv)
.( 3 . 3 2 )
F i n a l l y z o o m i n g i n o n (a.i) , w e c a n w r i t e o u t t h e t r a c e o v e r t h e l e a d a s t h e s u m o f t h e
d i a g o n a l e l e m e n t s o f t h e o p e r a t o r m a t r i x , e x p r e s s e d i n a b a s e o f e i g e n s t a t e s |ni o f t h e l e a d :
(a.i) = |l|2
{1,2,3}n3 | c1 d1e
iH0
c2 d1eiH0
c l |n3 .( 3 . 3 3 )
3 . 4 . 1 . L e a d o p e r a t o r s
T h e g o a l i s t o s i m p l i f y t h i s e q u a t i o n b y s e p a r a t i n g t h e o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e l e a d
s p a c e f r o m o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e c h a i n s p a c e . I n o r d e r t o d o t h i s , w e i n t r o d u c e
1 8
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I =
|n n | o p e r a t o r s a f t e r e a c h o p e r a t o r w o r k i n g o n t h e l e a d s p a c e , y i e l d i n g :
c
|n n | = c |1 1 | , ( 3 . 3 4 )
c
|n n | = c |0 0 | , ( 3 . 3 5 )
eiH0
|n n | =
eiHl |n n | eiHc
=
|n n | eineiHc,
( 3 . 3 6 )
eiH0
|n n | =
eiHl |n n | eiHc
= |n n | e
ineiHc.( 3 . 3 7 )
W e c a n n o w w r i t e :
(a.i) = |l|2
{1,2,3}
n3 | c1
d1eiH0c
2d1e
iH0c l |n3
= |l|2
{1,2,...,7}
n3 | c1
|n4 n4 | d1eiH0 |n5 n5 | c
2
|n6 n6 | d1eiH0 |n7
n7 | c l |n3
= |l|2
{1,2,3,5,7}n3 | c
1
|01 01 | d1 |n5 n5 | ei
5n5
eiHcc2
|02
02 | d1 |n7 n7 | ei7
n7
eiHcc l |n3
= |l|2
{1,2,3,5,7}
n3 | c1
|01 01 | n5 n5 | c2
|02 02 | n7
n7 | d1ei
5n5
eiHcd1ei7
n7
eiHcc l |n3
= 0.( 3 . 3 8 )
T h i s t e r m y i e l d s z e r o b e c a u s e |01 01 | n5 n5 | c2
|02 = 0: a c
o p e r a t o r w o r k i n g
o n|0
y i e l d s |1
, s o t h a t n = 1
w h i c h y i e l d s 0 | 1 = 0
. W e c a n s e e t h a t a t e r m l i k e t h i s
m u s t b e e q u a l t o z e r o a p r i o r i a s w e s e e t h a t i t c o n t a i n s t w o c o p e r a t o r s . W h e n o n e h a s w o r k e d o n a k e t t h e o t h e r o n e w o r k i n g o n t h a t k e t i m m e d i a t e l y y i e l d s t h e w h o l e t e r m
z e r o : a s w e c a n s h i f t t h e o t h e r o p e r a t o r s t h a t d o n ' t w o r k o n e i g e n s t a t e s o f t h e l e a d , w e
w i l l a l w a y s e n d u p w i t h a cc e x p r e s s i o n . T h e s a m e g o e s f o r t e r m s w i t h t w o c t e r m s , f o r t h e s a m e r e a s o n . W e c a n u s e t h e s a m e a p p r o a c h f o r
(a.ii), u s i n g t h e p r o p e r t y t h a t
c l = l c a s t h e b a s e s f o r b o t h d e n s i t y m a t r i c e s s p a n u p d i e r e n t H i l b e r t s p a c e s ,
1 9
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w h i c h g i v e s u s :
(a.ii) = |l|2
{1,2,3}
n3 | c1
d1eiH0d1c2e
iH0c l |n3
= |l|2 {1,2,...,7}
n3 | c1 |n4 n4 | d1eiH0 |n5 n5 |
d1c2 |n6 n6 | e
iH0 |n7 n7 | c l |n3
= |l|2
{1,2,3,5,7}
n3 | c1
|01 01 | d1 |n5 n5 | eiHcei5n5
d1c2 |12 12 | n7 n7 | e
iHcei7n7c l |n3
= |l|2
{1,2,3,5,7}
n3 | c1
|01 01 | n5 n5 | c2 |12 12 | n7 n7 | l |n3
d1
e
iHcei5n5d1
eiHcei7n7c
= |l|2
1,2
n2 | c1
c1 l |n2 d1eiHcd1e
iHcei1c
= |l|2
trl
c c l
n
eid1eiHcd1e
iHcc, ( 3 . 3 9 )
w h e r e n i s t h e F e r m i - D i r a c d i s t r i b u t i o n [ 4 ] a s :
trl
c c l
= trl
lc
c
= c c = n . ( 3 . 4 0 )
I n o u r p r o b l e m , w e w i l l t a k e t h e l o w t e m p e r a t u r e l i m i t , y i e l d i n g :
limT0
n =
1 if <
0 if > ( 3 . 4 1 )
F o r n o w , w e w i l l c o n t i n u e t o w r i t e n .
U s i n g t h e s a m e m e t h o d s , w e o b t a i n :
(a.iii) = |l|2
(1 n) eid1e
iHcd1eiHcc, ( 3 . 4 2 )
a n d :
(a.iv) = 0. ( 3 . 4 3 )
2 0
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U s i n g t h i s m e t h o d c o n s i s t e n t l y o n a l l s u b e q u a t i o n s , w e n d :
(a) = |l|2
neid1e
iHcd1eiHcc
(a.i)+ |l|
2
(1 n) eid1e
iHcd1eiHcc
(a.ii),
( 3 . 4 4 )
(b) = |l|2
neid1ce
iHcd1eiHc
(b.i)
|l|2
(1 n) eid1ce
iHcd1eiHc
(b.ii)
,
( 3 . 4 5 )
(c) = |l|2
neieiHcd1e
iHccd1
(c.i)
|l|2
(1 n) eieiHcd1eiHccd
1
(c.ii)
,
( 3 . 4 6 )
(d) = |l|2
neiceiHcd1eiHcd
1
(d.i)
+ |l|2
(1 n) eice
iHcd1eiHcd1
(d.ii)
.
( 3 . 4 7 )
N o t i c e h o w w e h a v e t h a t :
(a.i) = (d.i) , (a.ii) = (d.ii) ,
(b.i) = (c.i) and (b.ii) = (c.ii) .( 3 . 4 8 )
T h e s e i d e n t i t i e s w i l l b e u s e d f u r t h e r o n .
3 . 4 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s
W e c a n w o r k o u t t h e o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e c h a i n s p a c e i n a c o m p a r a b l e w a y a s w e
d i d f o r t h e o p e r a t o r s w o r k i n g o n t h e l e a d s p a c e . F o r t h i s w e u s e a b a s i s o f e i g e n s t a t e s
|i o f t h e c h a i n H a m i l t o n i a n , a s w e d i d w i t h t h e u n p e r t u r b e d t e r m i n e q u a t i o n 3 . 2 7 .L e t ' s z o o m i n o n t h e c h a i n o p e r a t o r p a r t o f
(a.i), e x p a n d t h e o p e r a t o r s a n d p i c k t h e
2 1
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m, n t h e l e m e n t o f t h e r e s u l t i n g m a t r i x :d1e
iHcd1eiHcc
m,n
= m|i,j
|i i| d1 |j j | eiHc
k,l
|k k| d1 |l l| e
iHc
p,q
|p p| c |q q | n
= m|
i,j
d1 |i i| eiEi |i i| d
1 |j j | e
iEj |j j | c |n
=
i,j
ei(EiEj)d1m,id1i,j
cj,n. ( 3 . 4 9 )
A l s o h e r e , w e m u s t r e m e m b e r t h a t c , d1 a n d d1 a r e m a t r i c e s r e p r e s e n t e d i n t h e e i g e n s t a t e b a s i s o f t h e c h a i n H a m i l t o n i a n .
A p p l y i n g t h e s a m e m e t h o d o n (a.ii)
a n d a p p r o p r i a t e l y o n t h e o t h e r t e r m s (b)
,(c)
a n d
(d)w e t h u s n d f o r t h e
n, mt h m a t r i x e l e m e n t o f e q u a t i o n 3 . 3 1 t h a t w e h a v e :
trl
Hhyb,
eiH0HhybeiH0, c (t) l
m,n
=
,i,j
|l|2 ne
iei(EiEj)d1m,id1i,j
cj,n
I+,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EiEj)d1m,id1i,jcj,n
II,i,j
|l|2 neiei(EjEn)d1m,ici,jd1j,n II I
,i,j
|l|2 (1 n) eiei(EjEn)d1m,ici,jd1j,n IV
,i,j
|l|2 ne
iei(EmEi)d1m,ici,jd1j,n V
,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EmEi)d1m,ici,jd1j,n
V I,i,j
|l|2 ne
iei(EiEj)cm,id1i,jd1j,n
V I I
+,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EiEj)cm,id1i,j
d1j,n
V III
.
( 3 . 5 0 )
3 . 4 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g
T h e e x p r e s s i o n i n e q u a t i o n 3 . 5 0 c a n b e t e r m b y t e r m s u b s t i t u t e d i n t o e q u a t i o n 3 . 2 7 ,
y i e l d i n g i n t e g r a l s o f t e r m s I
t oV I I I
t h a t a r e n o t t r i v i a l . W e s h a l l s h o w a n d m a k e u s e o f
t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s e p a r a t e i n t e g r a l s , w o r k o u t t h e i n t e g r a l f o r I
a n d
g i v e t h e r e s u l t s f o r t h e o t h e r t e r m s .
2 2
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H e r m i t i a n r e l a t i o n s
W e m u s t k e e p i n m i n d t h a t t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e p a r t s a s s h o w n i n e q u a t i o n 3 . 4 8
m u s t s t i l l h o l d . M a p p i n g t h e n u m b e r s f r o m e q u a t i o n 3 . 4 8 t o t h e n u m b e r s u s e d i n e q u a t i o n
3 . 5 0 , w e s h o u l d h a v e t h a t :0
Id
=
0
V IId ,
0
IId
=
0
V I I I d0
IIId
=
0
Vd and
0
IVd
=
0
V Id.( 3 . 5 1 )
L e t ' s w o r k o u t t h e t e r m s i n v o l v i n g I
a n dV II
t o s h o w t h i s p r o p e r t y . F i r s t , w e d e n e
ij Ei Ej a n d w e i n t r o d u c e a t e r m lim0+ e i n o r d e r t o h a v e a c o n v e r g e n t i n t e g r a l o v e r
. N o t e t h a t
ij = ji . F u r t h e r m o r e , w e d e n e |l|22 . W e s t a r t o b y w r i t i n g
t h e s u m o v e r a s a n i n t e g r a l w i t h t h e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r o f 12 i n c l u d e d i n , s o t h a t w e h a v e t h a t :
0Id = lim
0+
0
Ie d
= lim0+
i,j
0
ei(ij+i) d n d d1m,id1i,j
cj,n
= lim0+
i,j
in
ij + id d1m,id
1i,j
cj,n
=
i,j
P
i
ij
+ ( ij )
n d d1m,id
1i,j
cj,n, ( 3 . 5 2 )
w h e r e P
d e n o t e s t h e C a u c h y P r i n c i p a l V a l u e i n o r d e r t o h a v e c o n v e r g e n c e w h e n a s i n g u -
l a r i t y e x i s t s w i t h i n t h e d o m a i n o f i n t e g r a t i o n , w h i c h w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n . W e
a p p l y t h e l o w - t e m p e r a t u r e l i m i t s o t h a t n = 1 f o r < a n d e q u a l t o z e r o o t h e r w i s e .
T h i s y i e l d s :0
Id =
i,j
P
i
ij
+ ( ij )
d d1m,id
1i,j
cj,n, ( 3 . 5 3 )
f r o m w h i c h w e n d t h a t :
0 Id
= i,j
P i + ij + ( + ij ) d cm,id1i,jd1j,n. ( 3 . 5 4 )
2 3
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N o w t o c h e c k t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n w i t h t h e i n t e g r a l o f V II, w e h a v e t h a t i n t h e l o w -
t e m p e r a t u r e l i m i t :
0V IId = lim
0+
0V IIe d
= lim0+
i,j
0
ei(+iji) dd cm,id1i,jd1j,n
= lim0+
i,j
i
+ ij id cm,id1i,jd
1j,n
=
i,j
P
i
+ ij
+ ( + ij )
d cm,id1i,jd
1j,n
, ( 3 . 5 5 )
W e s e e t h a t w e i n d e e d h a v e t h a t
0 Id
=
0 V IId. T h e s a m e c a n b e s h o w n f o r t h e o t h e r H e r m i t i a n c o u p l e s , f o r w h i c h w e s h a l l o m i t t h e p r o o f d u e t o t h e s i m i l a r n a t u r e
o f t h e s e p r o c e s s e s .
D e a l i n g w i t h s i n g u l a r i t i e s
T h e e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l s s h o u l d b e d o n e w i t h c a r e , a s t h e y m i g h t c o n t a i n a s i n g u -
l a r i t y a n d t h e r e f o r e n o t b e c o n v e r g e n t , d e p e n d i n g o n t h e c h o i c e o f
. L o o k i n g a t e q u a t i o n
3 . 5 3 , w e n d t h a t a s s o o n a s ij < , i n t e g r a t i n g f r o m t o b e c o m e s p r o b l e m a t i c .
G e n e r a l f o r m u l a t i o n F i r s t w e d e n e a n u m b e r B s u c i e n t l y l a r g e t o r e p l a c e w i t h t h e
i n n i t y i n t h e i n t e g r a l : w e a s s u m e t h e r e a r e n o s u c h e x t r e m e e n e r g i e s w i t h i n o u r s y s t e m .
I n o r d e r t o a v o i d t h e s i n g u l a r i t y , w e m a k e u s e o f t h e f a c t t h a t
1x i s a n o d d f u n c t i o n
a r o u n d x =
, a s s h o w n i n g u r e 3 . 1 . W e h a v e t h a t , w h e n B :
B
dx
x =
||B
dx
x = ln
| |
B
if <
B
dx
x = ln
B
if >
( 3 . 5 6 )
a n d t h a t :
B
dx
x + =
|+|B
dx
x + = ln
| + |
B +
if >
B
dx
x + = ln
+
B +
if <
( 3 . 5 7 )
F u r t h e r m o r e , w e h a v e a n o t h e r l i m i t w e s h o u l d i n v e s t i g a t e i n o r d e r t o h a v e a c o m p l e t e
s e t o f i d e n t i t i e s w h i c h w e c a n u s e o n o u r p r o b l e m , n a m e l y :
B
dx
x =
B+||
dx
x = ln
B
| |
if > B
dx
x = ln
B
if <
( 3 . 5 8 )
2 4
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F i g u r e 3 . 1 . : A s i n g u l a r i t y o c c u r s a t x = ij , t a k i n g t h e C a u c h y P r i n c i p a l v a l u e i n t e g r a l o v e r a s y m m e t r i c r a n g e a r o u n d t h e s i n g u l a r i t y y i e l d s z e r o .
a n d t h a t :
B
dx
x + =
B+|+|
dx
x + = ln B +
| + | if < B
dx
x + = ln
B +
+
if >
( 3 . 5 9 )
A p p l i c a t i o n A p p l y i n g t h e s e i d e n t i t i e s t o e q u a t i o n 3 . 5 3 , w e n d :
0
Id =
limB
i
i,j
ln
| ij |
B ij
i
d1m,id
1i,j
cj,n if ij <
limB
ii,jln
ijB ij d1m,id
1i,j
cj,n if ij >
( 3 . 6 0 )
D e n i n g :
Ai,j
limB
i
ln
| ij |
B ij
i
if ij <
limB
i ln
ij
B ij
if ij >
( 3 . 6 1 )
2 5
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w e g a i n a m o r e c o m p a c t e x p r e s s i o n :0
Id =
i,j
d1m,i
A d1
i,j
cj,n, ( 3 . 6 2 )
w i t h d e n o t i n g t h e H a d a m a r d p r o d u c t [ 7 ] . T h i s y i e l d s t h e f o l l o w i n g f u l l m a t r i x :0
Id
= d1
A d1
c. ( 3 . 6 3 )
N o t e t h a t i n t h e l i m i t t h a t B , t h e i n d i c e s o f A c a r r y i n g a n i m a g i n a r y p a r t g o t o , d e p e n d i n g o n w h e t h e r B a p p e a r s i n t h e n o m i n a t o r ( i m a g i n a r y p a r t g o e s t o ) o rt h e d e n o m i n a t o r ( i m a g i n a r y p a r t g o e s t o
) i n t h e l o g a r i t h m .
R e s u l t s i n t e g r a t i n g t e r m s II
t oV I I I
U s i n g t h e s a m e m e t h o d a s w e d i d w i t h
I, w e n d t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e t e r m s
IIt o
IVi n t e g r a t e d a s s h o w n i n e q u a t i o n 3 . 2 7 . T h e e x p r e s s i o n s f o r t h e i n t e g r a t i o n o f
Vt o
V I I I
a r e f o u n d u s i n g t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n s a s g i v e n i n 3 . 5 1 . W e n d :0
Id
= d1
A d1
c =
0
V IId
= c
A d1
d1 ( 3 . 6 4 )
0IId
= d1 [B d1] c =
0
V I I I d
= c
B d1
d1 ( 3 . 6 5 )
0IIId
= d1c [C d1] =
0
Vd
=C d1
cd1 ( 3 . 6 6 )
0 IVd = d1c D d1 =
0 V Id = D d1 cd1 ( 3 . 6 7 ) w i t h :
Bi,j
limB
i
ln
B + ij| + ij |
+ i
if ij <
limB
i ln
B + ij + ij
if ij >
( 3 . 6 8 )
Ci,j
limB
i
ln
| + ij |
B + ij
+ i
if ij >
limB i ln + ijB + ij if ij < ( 3 . 6 9 )
Di,j
limB
i
ln
B ij| ij |
i
if ij >
limB
i ln
B ij ij
if ij <
( 3 . 7 0 )
2 6
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W e u l t i m a t e l y n d t h a t , u s i n g t h e H e r m i t i a n r e l a t i o n s a p p r o p r i a t e l y a n d s u b s t i t u t i n g
i n t o e q u a t i o n 3 . 2 7 :
chain (t) = ic d1 A d1 c d
1 [B d1] c
d1c [C d1] d1cD d1
C d1
cd1
D d1
cd
1
+ ci c
A d1
d1 c
B d1
d1. ( 3 . 7 1 )
D e n i n g :
K i d1
A d1
d1 [B d1] ( 3 . 7 2 )
Cd [C d1] ( 3 . 7 3 )
Dd D d1
( 3 . 7 4 )
( 3 . 7 5 )
w e t h u s n d t h a t w e h a v e :
chain (t) = Kc + d1cCd + d1cDd +
d1cCd
+ (d1cDd)
+ cK. ( 3 . 7 6 )
2 7
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4 . S u p e r o p e r a t o r a p p r o a c h
4 . 1 . S u p e r O p e r a t o r s
A p p r o a c h i n g t h e M a s t e r e q u a t i o n w i t h t h e S u p e r O p e r a t o r f o r m a l i s m [ 3 , 1 0 ] w e r s t
d e n e t h e L i o u v i l l i a n o p e r a t o r L
a s f o l l o w s :
Lc
Hc,
Ll Hl, Lhyb
Hhyb,
Lc + Ll + Lhyb
L
= H, . ( 4 . 1 )
W e t h u s n d f o r t h e V o n N e u m a n n e q u a t i o n i n t e r m s o f t h i s L i o u v i l l i a n o p e r a t o r :
= iL,( 4 . 2 )
w h i c h h a s t h e g e n e r a l s o l u t i o n :
(t) = CeiLt, C R. ( 4 . 3 )
W e h a v e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n t h a t a t
t = t0w e h a v e t h a t
= (t0), y i e l d i n g :
(t) = (t0) eiL(tt0). ( 4 . 4 )
W e n o w d e n e t h e s u p e r - p r o j e c t o r P
a s f o l l o w s :
P [trl] l = c l, ( 4 . 5 )
f r o m w h i c h w e s e e t h a t t h e P
o p e r a t o r p r o j e c t s t h e d e n s i t y o p e r a t o r o n t h e c h a i n s p a c e t o
t h e n w r i t e i t a s a k r o n e c k e r p r o d u c t o f t h e p r o j e c t i o n o n t h e c h a i n s p a c e a n d t h e s t a t i o n -
a r y d e n s i t y m a t r i x i n t h e l e a d s p a c e . R e m e m b e r t h a t w e h a v e t h a t l i s t i m e i n d e p e n d e n t
w h e r e c i s t i m e d e p e n d e n t . T h e s u p e r - p r o j e c t o r h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :
PLc =
trlHc
l
trlHc
l
= Hcc l c lHc
= LcP
= PLc = LcP, ( 4 . 6 )
2 8
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w h i c h w e c o u l d a l s o i m m e d i a t e l y s e e b y r e a l i z i n g P a n d Lc w o r k o n d i e r e n t s p a c e s a n d a r e t h u s i n t e r c h a n g e a b l e . F u r t h e r m o r e :
PLl = trlHl
l trlHl
l = 0
= PLl = 0, ( 4 . 7 )
a n d :
PLhybP = 0, ( 4 . 8 )
w h i c h f o l l o w s f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t trl
Hhybl
= 0
, o r p u t t o w o r d s : t h e i n t e r a c t i o n
t e r m o f t h e H a m i l t o n i a n d o e s n o t a e c t t h e s t a t e o f t h e l e a d .
U s i n g t h e s u p e r - p r o j e c t o r P
w e c a n w r i t e :
= P +
1 P
1 + 2. ( 4 . 9 )
U s i n g e q u a t i o n 4 . 2 a n d t h e i d e n t i t i e s o f t h e s u p e r - p r o j e c t o r P
w e t h e n n d t h e f o l l o w i n g
t w o e q u a t i o n s [ 1 0 ] :
Pd
dt=
d1dt
= i
Lc1 + PLhyb2
,
( 4 . 1 0 ) 1 P
ddt
=d2dt
= i
1 P
L2 +
1 P
Lhyb1
.
( 4 . 1 1 )
( 4 . 1 2 )
T h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n 4 . 1 2 i s g i v e n b y [ 1 0 ] :
2 = i tt0
e(1P)
L1 P Lhyb1 (t ) d ( 4 . 1 3 )
= i
tt0
e(1P)LLhyb1 (t ) d, ( 4 . 1 4 )
m a k i n g u s e o f t h e f a c t t h a t PLhybP = 0. S u b s t i t u t i n g t h i s r e s u l t i n t o e q u a t i o n 4 . 1 1 w e t h e n n d :
c = iLcc i
tt0
tr
Lhybe(1P)LLhybl
c (t ) d, ( 4 . 1 5 )
u s i n g t h e s u p e r - p r o j e c t o r p r o p e r t i e s a p p r o p r i a t e l y . W r i t i n g o u t t h e s u p e r o p e r a t o r s ,
m a k i n g u s e o f t h e i d e n t i t y t h a t PL = PLhyb a n d a p p l y i n g t h e M a r k o v a p p r o x i m a t i o n ,
i m p l y i n g s m a l l a u t o c o r r e l a t i o n t i m e s w i t h i n t h e m e m o r y k e r n e l , y i e l d i n g
c (t ) c (t), w e n a l l y n d :
c = i
Hc, c
0
trl
Hhyb,
eiH0HhybeiH0, eiHcceiHc l
d.
( 4 . 1 6 )
W e s e e f r o m e q u a t i o n 4 . 1 6 t h a t w e a l m o s t h a v e t h e s a m e e x p r e s s i o n a s w e f o u n d i n
e q u a t i o n 3 . 7 6 u s i n g t h e c o n v e n t i o n a l M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h , w i t h t h e d i e r e n c e t h a t
2 9
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w e n o w h a v e eiHcceiHc i n s t e a d o f j u s t c w i t h i n t h e c o r r e c t i o n t e r m . A l s o n o t e h o w
w e n e v e r a s s u m e d t h a t = c 0l , w h i c h i s o n l y v a l i d f o r s m a l l t a w e a k c o u l i n g b e t w e e n
t h e c h a i n a n d t h e b a t h . I n t h e M a s t e r e q u a t i o n a p p r o a c h , w e a s s u m e d t h i s t o h o l d f o r
a l l v a l u e s o f t
.
4 . 2 . U n p e r t u r b e d t e r m
T h e u n p e r t u r b e d t e r m i s t h e e x a c t s a m e a s w e f o u n d w i t h t h e M a s t e r e q u a t i o n a p p r o a c h ,
y i e l d i n g :
i
Hc, c
= i [, c] , ( 4 . 1 7 )
a g a i n w i t h t h e c h a i n H a m i l t o n i a n e x p r e s s e d i n t h e b a s i s o f e i g e n s t a t e s o f t h e H a m i l -
t o n i a n a n d c t h e m a t r i x r e p r e s e n t i n g c i n t h e e i g e n s t a t e b a s i s .
4 . 3 . C o r r e c t i o n t e r m
4 . 3 . 1 . L e a d o p e r a t o r s
W e c a n t a k e o u r r e s u l t s d i r e c t l y f r o m t h e e n d o f s e c t i o n 3 . 4 . 1 , r e p l a c i n g c (t) a p p r o p r i -
a t e l y t o n d :
(a) = |l|2
neid1e
iHcd1ceiHc
(a.i)
+ |l|2
(1 n) eid1e
iHcd1ceiHc
(a.ii)
,
( 4 . 1 8 )
(b) = |l|2 neid
1eiHccd1eiHc
(b.i)
|l|2 (1 n) eid1eiHccd
1e
iHc
(b.ii)
,
( 4 . 1 9 )
(c) = |l|2
neieiHcd1ce
iHcd1
(c.i)
|l|2
(1 n) eieiHcd1ceiHcd
1
(c.ii)
,
( 4 . 2 0 )
(d) = |l|2
neieiHccd1eiHcd
1
(d.i)+ |l|
2
(1 n) eieiHccd
1e
iHcd1
(d.ii).
( 4 . 2 1 )
A g a i n , n o t i c e h o w w e a l s o h a v e h e r e t h a t :
(a.i) = (d.i) , (a.ii) = (d.ii) ,
(b.i) = (c.i) and (b.ii) = (c.ii) .( 4 . 2 2 )
3 0
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4 . 3 . 2 . C h a i n o p e r a t o r s
F o r t h e e x p a n s i o n o f t h e c h a i n o p e r a t o r s w e c a n u s e o u r r e s u l t f r o m s e c t i o n 3 . 4 . 2 . W e m u s t
b e c a r e f u l w i t h t h e i n d i c e s o f t h e e n e r g i e s i n t h e e x p o n e n t i a l s , a p p l y i n g a n a p p r o p r i a t e
s h i f t a s i n t h e i r o p e r a t o r f o r m t h e y a r e i n a d i e r e n t p o s i t i o n a m o n g t h e o t h e r c h a i n
o p e r a t o r s i n c o m p a r i s o n w i t h t h e e x p r e s s i o n s w e f o u n d a t t h e e n d o f s e c t i o n 3 . 4 . 1 . W e
n d :
trl
Hhyb,
eiH0HhybeiH0, eiHcc (t) eiHc l
m,n
=
,i,j
|l|2 ne
iei(EiEn)d1m,id1i,j
cj,n I
+,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EiEn)d1m,id1i,jcj,n II
,i,j
|l|2 ne
iei(EiEn)d1m,ici,jd1j,n
II I,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EiEn)d1m,ici,jd1j,n
IV,i,j
|l|2 ne
iei(EmEj)d1m,ici,jd1j,n V
,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EmEj)d1m,ici,jd1j,n
V I,i,j
|l|2 ne
iei(EmEj)cm,id1i,jd1j,n
V I I
+,i,j
|l|2 (1 n) e
iei(EmEj)cm,id1i,j
d1j,n V III
.
( 4 . 2 3 )
4 . 3 . 3 . F u r t h e r p r o c e s s i n g
T h e r e s u l t s f o r i n t e g r a t i n g e a c h t e r m c a n a g a i n b e t a k e n f r o m t h e p r e v i o u s r e s u l t s t o
n d : 0
Id =
i,j
Ai,nd1m,id1i,j
cj,n ( 4 . 2 4 ) 0
IId =
i,j
Bi,nd1m,i
d1i,jcj,n ( 4 . 2 5 ) 0
IIId =
i,j
Cj,md1m,i
ci,jd1j,n ( 4 . 2 6 )
0
IVd = i,j
Dj,md1m,ici,jd1j,n ( 4 . 2 7 )
3 1
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w i t h :
Ai,j
limB
i
ln
| ij |
B ij
i
if ij <
limB i ln
ijB ij if ij > ( 4 . 2 8 )
Bi,j
limB
i
ln
B + ij| + ij |
+ i
if ij <
limB
i ln
B + ij + ij
if ij >
( 4 . 2 9 )
Ci,j
limB
i
ln
| + ij |
B + ij
+ i
if ij >
limB
i ln
+ ij
B + ij
if ij <
( 4 . 3 0 )
Di,j
limB
i ln B ij| ij |
i if ij > lim
Bi ln
B ij ij
if ij <
( 4 . 3 1 )
s o t h a t w e o b t a i n :
cm,n = i [, c]m,n
Ai,nd1m,id1i,j
cj,n + Bi,nd1m,i
d1i,jcj,n
+Cj,md1m,i
ci,jd1j,n + Dj,md1m,ici,jd1j,n
+
Ai,nd1m,id1i,j
cj,n + Bi,nd1m,i
d1i,jcj,n
+Cj,md1m,i
ci,jd1j,n + Dj,md1m,ici,jd1j,n
.
( 4 . 3 2 )
N o t i c e h o w t h i s e x p r e s s i o n c a n n o t b e w r i t t e n a s a m a t r i x p r o d u c t a s w e c o u l d d o w i t h t h e
c o n v e n t i o n a l M a s t e r E q u a t i o n a p p r o a c h i n o r d e r t o o b t a i n a f u l l m a t r i x e x p r e s s i o n : w e
h a v e t o b u i l d t h e s e m a t r i c e s w i t h i n t h e a l g o r i t h m e a c h i t e r a t i o n w i t h i n t h e p r o c e s s . W e
t h u s n d t h a t w e c a n u s e t h e s a m e p r o g r a m s t r u c t u r e a s f o r t h e c o n v e n t i o n a l a p p r o a c h ,
w i t h t h e d i e r e n c e t h a t w e n o w h a v e a n e l e m e n t - w i s e e x p r e s s i o n f r o m w h i c h w e s h o u l d
r e b u i l d t h e ` c o n s t a n t ' m a t r i c e s e a c h i t e r a t i o n .
3 2
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5 . I m p l e m e n t i n g t h e m o d e l
I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e m a t r i x chain (t) a t a n y t i m e t, w e m a k e u s e o f t h e n u m e r i c a l
i n t e g r a t i o n m e t h o d k n o w n a s t h e M o d i e d E u l e r m e t h o d . F o r a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m
o f t h e f o r m : y (t) = F (t, y (t))
y (t0) = y0( 5 . 1 )
w e h a v e t h e f o l l o w i n g n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e s o l u t i o n :
w (t + h) = w (t) + h2 [F (t, w (t)) + F (t + h, w (t + h))] , ( 5 . 2 )
w i t h :
w (t + h) = w (t) + hF (t, w (t)) .( 5 . 3 )
T h e a d v a n t a g e t o t h i s m e t h o d i s t h a t i t i s a s e c o n d o r d e r m e t h o d a s w e a p p l y a c o r r e c t i o n
t o t h e r s t o r d e r t e r m a n d t h a t i t i s a n e x p l i c i t m e t h o d . D i s a d v a n t a g e s a r e t h e x e d s t e p
s i z e w h i c h r e q u i r e s t h e i t e r a t i v e p r o c e s s t o m a k e e q u i d i s t a n t s t e p s i z e s e v e n i n r e g i o n s
w h e r e t h e m e t h o d i s t a b l e f o r l a r g e r s t e p s i z e s . T r a n s l a t i n g t h e M o d i e d E u l e r m e t h o d
t o o u r m o d e l , w e m u s t t h u s r s t c a l c u l a t e , u s i n g e q u a t i o n 3 . 7 6 :
chain (t + h) = chain (t) + hchain (t) , ( 5 . 4 )
s o t h a t w e c a n o b t a i n :
chain (t + h) = chain (t) +h
2[ chain (t) +
chain (t + h)] . ( 5 . 5 )
G i v e n a n i n i t i a l m a t r i x chain (t0) w e c a n t h u s n d t h e m a t r i x chain (t) f o r a n y v a l u e o f
t b y i t e r a t i o n . E a c h i t e r a t i o n , w e w i l l d e t e r m i n e t h e e n e r g y E w i t h i n t h e c h a i n . T h e
i t e r a t i v e p r o c e s s c a n b e s e t t o s t o p a s s o o n a s Ei+1 Ei < 10
6. T h e r e s u l t s s h o w n
i n c h a p t e r 6 h o w e v e r a r e o b t a i n e d u s i n g a x e d t i m e i n o r d e r t o g e t a b e t t e r r e s u l t
c o m p a r i s o n .
N o t e t h a t w e s h o u l d b e c a r e f u l w h e n = i j f o r a n y i a n d j . I n t h i s c a s e , w e
s h o u l d a l t e r t h e v a l u e o f
j u s t a l i t t l e i n o r d e r t o a v o i d t h e d i v i s i o n b y z e r o t h a t w o u l d
f o l l o w i f w e w o u l d a l l o w t h e o r i g i n a l c h o i c e o f
.
5 . 1 . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h
T h eMATLAB
i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s a p p r o a c h i s s t r a i g h t f o r w a r d . A s t h e i m p l e m e n t a t i o n
c a l l s t h e f u n c t i o n s H_chain.m
a n dd_operators.m
, m a k e s u r e t h e s e l e
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