C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 765–769, 2000Analyse mathématique/Mathematical Analysis(Analyse harmonique/Harmonic Analysis)

Lp norm local estimates for exponential sumsBruce ANDERSONa, J. Marshall ASH b, Roger L. JONESb, Daniel G. RIDER c,Bahman SAFFARI d

a Department of Mathematics, Kent State University, 400 E 4th Street, East Liverpool, OH 43920, USAb Department of Mathematical Sciences, DePaul University, Chicago, IL 60614, USAc Department of Mathematics, University of Wisconsin, 480 Lincoln Drive, Madison, WI 53706-1313, USAd Département de mathématiques, bâtiment 425, Université Paris-Sud,91405 Orsay cedex, France

(Reçu le 4 janvier 2000, accepté le 10 janvier 2000)

Abstract. We prove that for every real numberp > 1 there is anexplicitly calculatedconstantKp > 0such that, for any arcJ of the one-dimensional torusT= R/Z with |J |> 0, no matter howsmall, one can find some1-periodic exponential sumf(x) =

∑m

k=1exp(2iπNkx) so that(∫

J

|f(x)|p dx)1/p

>Kp ·(∫

J

|f(x)|p dx)1/p

(Lp norm “local concentration” onJ). Forp> 2 the result remains true (with anotherKp)if the arcJ is replaced byanysetE ⊂ Twith |E|> 0. The special casep= 2 of our resultshad been studied by many authors about twenty years ago, but the general casep > 1 hadremained open. The limit casep= 1 remains unsettledto this date. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Estimations locales de sommes d’exponentielles en normeLp

Résumé. Nous prouvons que pour tout nombre réelp > 1 il existe une constante(explicitementcalculée) Kp > 0 telle que, pourtout arc J du toreT=R/Z avec |J | > 0, on puissetrouver une somme d’exponentielles1-périodiquef(x) =

∑m

k=1exp(2iπNkx) vérifiant(∫

J

|f(x)|p dx)1/p

>Kp ·(∫

T|f(x)|p dx

)1/p

(« concentration locale » surJ en normeLp). Pour p > 2 le résultat reste vrai(avec unautreKp) si on remplace l’arcJ par un ensemble quelconque de mesure> 0. Le casparticulier p= 2 de nos résultats avait été étudié par plusieurs auteurs il y a environ vingtans, mais le problème du cas généralp > 1 était resté ouvert. Dans le cas limitep = 1 leproblème demeure ouvert à ce jour. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiqueset médicales Elsevier SAS

Note présentée par Jean-Pierre KAHANE .

S0764-4442(00)00280-9/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 765

B. Anderson et al.

Version française abrégée

Les « sommes d’exponentielles » étudiées dans cette Note sont les polynômes trigonométriquesidempotents de la forme :

f(x) =

m∑k=1

exp(2iπNkx) (lesNk entiers distincts). (1)

Dans les années 1970 des travaux de Cowling [4] et Ash [2] sur d’autres sujets avaient conduit à un problèmeen théorie des opérateurs qui s’avérait être équivalent, de façon inattendue, au casL2 d’un problèmeextrémalne concernant que les sommes d’exponentielles de la forme (1) :

Pourp> 1 donné, existe-t-il une constanteKp > 0, ne dépendant que dep, telle que pour tout arcJ (resp.tout sous-ensemble mesurableE) du toreT=R/Z avec|J | > 0 (resp. |E| > 0), on puisse trouver unesomme d’exponentiellesf(x) de la forme(1) vérifiant l’inégalité:

(∫J

∣∣f(x)∣∣p dx

)1/p

>Kp ·(∫

T

∣∣f(x)∣∣p dx

)1/p

(2)

(«concentration locale » surJ , resp. surE, en normeLp) ? Si la réponse est oui, quelles sont lesvaleurs « asymptotiquement optimales »Cp etC∗p deKp (définies par les relations(3) et (4) de la versionanglaise) ?

Au début des années 1980 le cas particulierp = 2 de ce problème fut résolu, de façon optimale, dansdeux Notes complémentaires [3] et [5]. (Les co-auteurs de [3] furent trois des cinq co-auteurs de la présenteNote.) Le problème demeura ouvert dans le cas généralp > 1. Une vingtaine d’années plus tard et avecdeux co-auteurs de plus, nous sommes maintenant en mesure de traiter le cas généralp > 1 (mais échouonstoujours dans le « cas limite »p= 1) :

THÉORÈME 1. –Pour tousp > 1 et ε > 0, et pour tout arcJ deT avec|J | > 0, il existe une sommed’exponentiellesf(x) de la forme(1), à spectre ne dépendant que dep, ε et J , telle que l’inégalité(2) aitlieu dès queKp < λp − ε (si 1 < p < 2), respectivement dès queKp < max(λp, µp)− ε (si 2 6 p <∞),oùλp etµp ne dépendent que dep et sont définis par les relations(5) et (6) de la version anglaise.

THÉORÈME 2. –Pour toutp> 2 etε > 0, et pour tout ensembleE ⊂ T avec|E|> 0, il existe une sommed’exponentiellesf(x) de la forme(1), à spectre ne dépendant que dep, ε etE, telle que l’inégalité(2) aitlieu dès queKp < µp − ε, oùµp est défini par la relation(6) de la version anglaise.

Insistons sur le fait que nous savons démontrer le théorème 1 pour toutp > 1, mais le théorème 2uni-quementpourp> 2. L’extension du théorème 2 au cas1 < p < 2 (même en se contentant d’unKp nette-ment moins bon, voire ineffectif)demeure un problème ouvert. En tout cas les constantes fournies par lesthéorèmes 1 et 2 ne sont pas optimales, maissont proches des valeurs optimales. Elles tendent à deveniroptimales lorsquep→∞.

Dans le cas limitep = 1, nous conjecturons que la réponse estnégativedans les deux cas, mais celademeure un problème ouvert. Pour les preuves des résultats et pour des formes plus fines des conjectures,cf. la version développée [1].

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Lp norm local estimates for exponential sums

1. TheL2 and Lp extremal problems

The “exponential sums” in this Note are idempotent trigonometric polynomials of the form:

f(x) =m∑k=1

exp(2iπNkx) (theNk being distinct integers). (1)

The aim of this Note is to report on major progress toward the solution (in the general casep > 1) of thefollowing extremal problemfor exponential sums of the form (1). This problem hastwo versions (the “arcversion” and the “subsetversion”):

Given a real numberp> 1, does there exist a constantKp > 0 (only depending onp) such that, for any arcJ (resp. subsetE) of the torusT=R/Z with |J |> 0 (resp.|E|> 0), there is some exponential sum of theform (1) so that (∫

J

∣∣f(x)∣∣p dx

)1/p

>Kp ·(∫

T

∣∣f(x)∣∣p dx

)1/p

, (2)

(resp. the same inequality(2) with J replaced byE) (Lp norm “local concentration” onJ (resp.E))?If the answer is yes, then what is the valueCp (resp.C∗p ) of the “asymptotically best possible”Kp, i.e.:

Cp = infJ

supf

(∫J

∣∣f(x)∣∣p dx

/∫T

∣∣f(x)∣∣p dx

)1/p

, (3)

C∗p = infE

supf

(∫J

∣∣f(x)∣∣p dx

/∫T

∣∣f(x)∣∣p dx

)1/p

? (4)

This extremal problem emerged in the late 1970’s from the research of Cowling [4] and Ash [2] onoperatorsT on L2(T) wich are “of restricted weak type(2,2)”, which means that there is a constantC =C(T )> 0 such that, for every characteristic functionX of a subset ofT,

supα>0

(α2 · measure

{x ∈ T :

∣∣TX (x)∣∣>α

})6C ‖X‖2L2 .

In 1977 Ash was attempting to prove that if such an operator commutes with translations, then it isnecessarily a bounded operator onL2(T). But he could only prove [2] that this condition isequivalenttothe above extremal problem (2) having an affirmative solution forp = 2, with any (unspecified) constantK2 > 0. Coincidentally, at about the same time Cowling [4] proved independently that if such an operatorcommutes with translations, then it is necessarily a bounded operator onL2(T). So Ash [2] could concludethat in the extremal problem (2) forp= 2, some(ineffective) constantK2 > 0 does indeed exist. However,a series of concrete estimates forK2 quickly followed:K2 > 1/64 by the referee of [2],K2 > 7/50 byS.K. Pichorides [9], several better lower bounds by H.L. Montgomery [8] and J.-P. Kahane [7] via hisprobabilistic methods from [6]. Finally, in [3], three of us proved thatC∗2 = C2 and achieved the lowerboundC∗2 = C2 > maxx>0(sinx)

/√πx = 0.4802 for this common value. In [5] our lower bound was

proved to be an equality.

2. The newLp results (p > 1)

Our new results are in terms of the “constants”λp andµp (only depending onp > 1), defined as follows:

λp = 2−1/p · sup0<ω<1/2

sin(πω)/(πω)([1/ω] + 1 +

[1/ω]

p− 1·(

1

2

1/ω

[1/ω]

)p)1/p, (5)

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B. Anderson et al.

µp =

(2

πp+1

∫ ∞0

∣∣∣∣ sinxx∣∣∣∣p dx

)1/p

· sup06ω61

sin(πω)

ω1−1/p. (6)

As p increases from1 to +∞ (resp. from2 to +∞), λp (resp.µp) strictly increases from0 to 1 (resp.from C2 = 0.48 to 1). Also, there is a uniquep0 = 7.36 . . . such thatλp < µp if 1 < p < p0, λp = µp ifp= p0, andλp >µp if p0 < p<∞.

THEOREM 1. –For all p > 1, we have:

Cp >

λp if 1< p< 2,max(λp, µp) = µp if 26 p6 p0,max(λp, µp) = λp if p0 6 p <∞.

THEOREM 2. –For all p> 2, we haveC∗p > µp.The proofs are quite technical and computational. They use various methods of Fourier analysis, and

some number theory. The details will appear in the extended paper [1] the preprint of which can be obtainedfrom us.

3. Open problems

1. When1< p< 2, decide wetherC∗p = 0 orC∗p > 0.

2. When 2 < p < ∞, decide wetherC∗p = Cp or C∗p < Cp. (We know from [3] thatC∗2 = C2 =

maxx>0

(sinx)/√

πx= 0.48.)

3. The lower bounds provided by our above Theorems 1 and 2 arequite closeto the actual values ofCpandC∗p , but it would be desirable to find theexactvalues (if possible in “closed form”) ofCp andC∗p for1< p<∞ andp 6= 2).

4. WeconjecturethatC∗1 = C1 = 0, that is,concentration fails forL1. More specifically, we conjecturethat there is an absolute constantD such that if

J =

[1

q− 1

mq,

1

q+

1

mq

],

whereq andm are positive integers withm> q2, then foreveryexponential sumf(x) of the form (1):∫J

∣∣f(x)∣∣dx/∫

T

∣∣f(x)∣∣dx 6 D

log q.

See the extended paper [1] for a finer conjecture closely related to the above one, and for some supportingnumerical calculations.

References

[1] Anderson B., Ash J.M., Jones R.L., Rider D.G., Saffari B., Exponential sums with coefficients0 or 1 andconcentratedLp norms, (to be published).

[2] Ash J.M., Weak restricted and very restricted operators onL2, Trans. Amer. Math. Soc. 281 (1984) 675–689.[3] Ash J.M., Jones R.L., Saffari B., Inégalités sur des sommes d’exponentielles, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 296

(1983) 899–902.[4] Cowling M., Some applications of Grothendieck’s theory of topological tensor products in harmonic analysis, Math.

Ann. 232 (1978) 273–285.

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Lp norm local estimates for exponential sums

[5] Dechamps M., Piquard F., Queffélec H., Estimations locales de sommes d’exponentielles, C. R. Acad. Sci. Paris,Série I 297 (1983) 153–156.

[6] Kahane J.-P., Some Random Series of Functions, 2nd ed., Cambridge University Press, 1985.[7] Kahane J.-P., (Personal communication), November 1982.[8] Montgomery H.L., (Personal communications), November 1980 and October 1982.[9] Pichorides S.K., (Personal communication), April 1980.

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