7/27/2019 Lecture 0395
1/10
L e c t u r e 3 , 0 1 / 0 9 / 9 5
3 3 7 7 9 : I n t r o d u c t i o n t o N u c l e a r a n d P a r t i c l e P h y s i c s
M a r t i n J . S a v a g e
A b s t r a c t
A c o n t i n u a t i o n o f t h e d i s c u s s i o n o f p h a s e s p a c e . T h r e e - b o d y p h a s e s p a c e i s c o v e r e d
i n d e t a i l w i t h t w o d i e r e n t a p p r o a c h e s .
S e p t e m b e r 1 9 9 5
1 5
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2/10
3 3 7 7 9 : I n t r o d u c t i o n t o N u c l e a r a n d P a r t i c l e P h y s i c s .
3 . P h a s e S p a c e a n d T h r e e - B o d y D e c a y s
D a t e : 0 1 / 0 9 / 9 5
R e c o m m e n d e d r e a d i n g : P a g e 1 9 4 ! 2 0 1 i n G r i t h s
T o i l l u s t r a t e t e c h n i q u e s t h a t c a n b e a p p l i e d t o 3 - b o d y d e c a y s a n d g e n e r a l i z e d t o n -
b o d y d e c a y s , w e c o n s i d e r t h e s p e c i c c a s e o f
d e c a y t h r o u g h t h e w e a k c h a r g e d c u r r e n t ,
! e
e
, a s s h o w n i n F i g . 1 .
F i g u r e 1
W e p e r f o r m t h e c o m p u t a t i o n o f t h e
d e c a y r a t e u s i n g t w o d i e r e n t m e t h o d s , r s t l y i n
t h e r e s t f r a m e a n d t h e n b y u s i n g l o r e n t z i n v a r i a n c e t o b o o s t t o s e v e r a l d i e r e n t f r a m e s f o r
" s u b - c o m p u t a t i o n s " .
a ) D e c a y R a t e C o m p u t e d i n t h e
R e s t F r a m e
L e t u s n o t w o r r y a b o u t t h e e x a c t f o r m o f t h e m a t r i x e l e m e n t f o r t h e d e c a y j u s t y e t
a n d s e e h o w f a r w e c a n g e t b y p h a s e s p a c e m a n i p u l a t i o n s a l o n e . T h e d e c a y r a t e f o r
! e
e
i s
(
! e
e
) =
1
2 M
Z
d
3
P
e
( 2 )
3
2 E
e
Z
d
3
P
1
( 2 )
3
2 E
1
Z
d
3
P
2
( 2 )
3
2 E
2
( 2 )
4
4
( P
P
e
P
1
P
2
)
1
2
M (
! e
e
)
2
; ( 3 1 )
w h e r e P
1
; P
2
d e n o t e t h e m o m e n t u m o f t h e
a n d
e
r e s p e c t i v e l y . N o t i c e t h a t t h e r e i s
a f a c t o r o f
1
2
a p p e a r i n g i n f r o n t o f M
2
a r i s i n g f r o m t h e f a c t t h a t t h e
i s a s p i n -
1
2
o b j e c t a n d t h e r e f o r e h a s 2 i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m t o a v e r a g e o v e r . T h e m a s s o f t h e
1 6
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3/10
m u o n i s o v e r 2 0 0 t i m e s t h a t o f t h e e l e c t r o n , a n d f u r t h e r n e u t r i n o s a r e m a s s l e s s i n t h e
s t a n d a r d m o d e l a n d s o w e w i l l t r e a t a l l p a r t i c l e s i n t h e n a l s t a t e a s i d e n t i c a l l y m a s s l e s s
M
e
= M
1
= M
2
= 0 f o r t h i s c o m p u t a t i o n .
N o w l e t i s u s e t h e t r i c k w e l e a r n e d i n t h e l e c t u r e o n t w o - b o d y d e c a y s ,
Z
d
3
P
e
2 E
e
4
( P
P
e
P
1
P
2
) =
Z
d
4
P
e
( E
e
)
4
( P
P
e
P
1
P
2
) ( P
2
e
)
= ( E
E
1
E
2
) ( ( P
P
1
P
2
)
2
)
( 3 2 )
T h i s i s l o r e n t z i n v a r i a n t r e l a t i o n a n d t h e s e m a n i p u l a t i o n s a p p l y i n a n y f r a m e . W o r k i n g i n
t h e f r a m e w h e r e t h e
i s a t r e s t , l e a d s t o a d e c a y r a t e
(
! e
e
) =
1
2 M
( 2 )
5
Z
d
3
P
1
2 E
1
Z
d
3
P
2
2 E
2
( M
E
1
E
2
) ( ( P
P
1
P
2
)
2
)
1
2
M
2
( 3 3 )
I t i s e a s y t o s h o w t h a t
d
3
P
1
2 E
1
=
1
2
E
1
d E
1
d
1
d
3
P
2
2 E
2
=
1
2
E
2
d E
2
d
2
; ( 3 4 )
f r o m w h i c h w e s e e t h a t w e s t i l l m u s t i n t e g r a t e o v e r t h e s o l i d a n g l e o f t w o o f t h e n a l s t a t e
p a r t i c l e s , i n t h i s c a s e t h e t w o n e u t r i n o s .
A s t h e m u o n i s u n p o l a r i s e d ( a n d u n a l i g n e d ) t h e r e i s n o p r e f e r r e d a x i s i n t h i s f r a m e
w i t h w h i c h t o o r i e n t v e c t o r s . T h e r e f o r e w e w i l l c h o o s e P
1
a s a n a x i s a n d t h e n t h e v e c t o r
P
2
i s d e n e d r e l a t i v e t o P
1
. O n e o f t h e a n g u l a r i n t e g r a l s i s t r i v i a l ,
R
d
1
= 4 . T h e
i n t e g r a l o v e r d
2
i s r e d u c e d t o a n i n t e g r a l o v e r d c o s
1 2
( w i t h t h e i n t e g r a t i o n
R
d
1 2
= 2 )
C o m b i n i n g t h e s e m a n i p u l a t i o n s l e a d s t o
(
! e
e
) =
1
4 M
( 2 )
3
Z
d E
1
E
1
Z
d E
2
E
2
Z
d c o s
1 2
( M
2
2 M
( E
1
+ E
2
) + 2 E
1
E
2
( 1 c o s
1 2
) )
1
2
M
2
( 3 5 )
T h i s e x p r e s s i o n i s n i c e a n d s i m p l e a s w e m i g h t h a v e e x p e c t e d . W e m u s t n o w l o o k
f o r t h e b o u n d a r i e s o f p h a s e s p a c e a s w e d i d w h e n w e l o o k e d a t t h e t w o - b o d y d e c a y i n t h e
m o v i n g f r a m e . A g a i n , w e l o o k a t t h e a r g u m e n t o f t h e d e l t a f u n c t i o n , t h i s c o n t a i n s a l l t h e
k i n e m a t i c c o n s t r a i n t s ( a p a r t f r o m t h e p o s i t i v i t y o f a l l e n e r g i e s o f c o u r s e ) . F i r s t , l e t s l o o k
1 7
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4/10
F i g u r e 2
a t t h e c o n s t r a i n t s i m p o s e d w h e n c o s
1 2
= 1 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o n e u t r i n o s m o v i n g
b a c k - t o - b a c k .
D u e t o t h e c o p l a n a r n a t u r e o f t h e d e c a y , i f t h e n e u t r i n o s a r e m o v i n g b a c k t o b a c k , t h e n
t h e e
m u s t a l s o b e m o v i n g a l o n g t h i s d i r e c t i o n ( a s t h e r e i s n o m o m e n t u m p e r p e n d i c u l a r t o
t h i s a x i s t o c o m p e n s a t e f o r e
m o m e n t u m p e r p e n d i c u l a r t o t h i s d i r e c t i o n ) . T h e a r g u m e n t
o f t h e d e l t a f u n c t i o n b e c o m e s
M
2
2 M
( E
1
+ E
2
) + 4 E
1
E
2
= 0 ; ( 3 6 )
w h i c h f a c t o r s i n t o
( 2 E
1
M
) ( 2 E
2
M
) = 0 ; ( 3 7 )
w h i c h m e a n s t h a t i f t h e n e u t r i n o s a r e m o v i n g b a c k - t o - b a c k t h e n e i t h e r E
1
= M
= 2 o r
E
2
= M
= 2 . T h i s i s n o s u r p r i s e a s i t i s c l e a r f r o m e n e r g y - m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n t h a t
t h e m a x i m u m e n e r g y t h a t a n y o f t h e t h r e e p a r t i c l e s i n t h e n a l s t a t e c a n h a v e i s M
= 2
T h e o t h e r b o u n d a r y o f p h a s e s p a c e a r i s e s w h e n c o s
1 2
= + 1 w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e
n e u t r i n o s m o v i n g p a r a l l e l .
F i g u r e 3
C o n s e q u e n t l y , t h e e
m u s t b e m o v i n g b a c k - t o - b a c k w i t h t h e n e u t r i n o p a i r a n d h a v e
i t s m a x i m u m a l l o w e d e n e r g y M
= 2 . T h e a r g u m e n t o f t h e d e l t a f u n c t i o n b e c o m e s
M
2
2 M
( E
1
+ E
2
) = 0 ; ( 3 8 )
1 8
7/27/2019 Lecture 0395
5/10
a n d t h e r e f o r e E
1
+ E
2
=
1
2
M
. H e n c e w e c a n w r i t e t h e d e c a y r a t e a s
(
! e
e
) =
1
M
2
5
3
Z
M
= 2
0
d E
2
E
2
Z
M
= 2
M
= 2 E
2
d E
1
E
1
Z
d c o s
1 2
1
2 E
1
E
2
( c o s
1 2
M
2
2 M
( E
1
+ E
2
) + 2 E
1
E
2
2 E
1
E
2
)
1
2
M
2
( 3 9 )
T h e i n t e g r a l o v e r d c o s
1 2
t o s a t i s f y t h e d e l t a f u n c t i o n i s t r i v i a l t o g i v e
(
! e
e
) =
1
M
2
6
3
Z
M
= 2
0
d E
2
Z
M
= 2
M
= 2 E
2
d E
1
1
2
M
2
; ( 3 1 0 )
w h e r e i t i s u n d e r s t o o d t h a t t h e m a t r i x e l e m e n t i s e v a l u a t e d i t t h e a p p r o p r i a t e v a l u e o f
c o s
1 2
a r i s i n g f r o m t h e d e l t a f u n c t i o n . I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t t h e p h a s e s p a c e i s
a t o v e r t h e a l l o w e d r e g i o n o f E
1
; E
2
. A n y o b s e r v e d " s t r u c t u r e " i n t h e d o u b l y d i e r e n t i a l
r a t e
d
d E
1
d E
2
a r i s e s e n t i r e l y f r o m t h e m a t r i x e l e m e n t . T h i s i s o n e w a y t o l o o k f o r " n e w
p h y s i c s " ( o r a n y p h y s i c s f o r t h a t m a t t e r ! ) .
L e t u s n o w c o m p l e t e t h e c a l c u l a t i o n b y i n s e r t i n g t h e m a t r i x e l e m e n t f o r
! e
e
i n t h e s t a n d a r d m o d e l o f e l e c t r o w e a k i n t e r a c t i o n s . T h e c h a r g e d c u r r e n t i n t e r a c t i o n ( e x -
c h a n g e o f a W
g a u g e b o s o n ) g i v e s r i s e t o a s p i n a v e r a g e d m a t r i x e l e m e n t f o r
! e
e
o f
1
2
M
2
= 6 4 G
2
F
P
e
P
P
P
e
= 3 2 G
2
F
P
P
1
)
2
P
P
1
= 3 2 G
2
F
M
2
2 M
E
1
M
E
1
; ( 3 1 1 )
w h e r e w e h a v e u s e d e n e r g y - m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n t o w r i t e P
e
P
=
1
2
P
e
+ P
2
=
1
2
P
P
e
2
, a n d w e h a v e i d e n t i e d P
e
w i t h P
1
. T h e r e i s n o a n g u l a r d e p e n d e n c e i n t h e
m a t r i x e l e m e n t w h e n w r i t t e n t h i s w a y . G
F
i s t h e F e r m i c o u p l i n g c o n s t a n t c h a r a c t e r i z i n g
t h e s t r e n g t h o f w e a k i n t e r a c t i o n s , w h i c h w e w i l l d i s c u s s i n g r e a t d e t a i l d u r i n g t h i s c o u r s e .
F u r t h e r w e c a n i n t e r c h a n g e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n s o v e r E
1
a n d E
2
t o m a k e l i f e s i m p l e
f o r o u r s e l v e s a s t h e l i m i t s a r e t h e s a m e f o r b o t h . I t i s e a s y t o s h o w t h a t
(
! e
e
) =
G
2
F
M
2
3
Z
M
= 2
0
d E
1
E
2
1
M
2 E
1
; ( 3 1 2 )
w h i c h c a n b e d o n e s i m p l y t o o b t a i n t h e t o t a l d e c a y r a t e f o r t h e
o f
(
! e
e
) =
G
2
F
M
5
1 9 2
3
( 3 1 3 )
1 9
7/27/2019 Lecture 0395
6/10
T h i s i s t h e d e s i r e d r e s u l t . N o t i c e t h a t t h e c a l c u l a t i o n s a r e r e l a t i v e l y s i m p l e w h e n a l l t h e
p a r t i c l e s i n t h e p r o b l e m a r e m a s s l e s s . U n f o r t u n a t e l y , t h i n g s g e t m o r e c o m p l i c a t e d w h e n
t h e n a l s t a t e p a r t i c l e s h a v e m a s s , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e m a s s e s a r e a l l d i e r e n t . I w i s h
n o w t o r e p e a t t h e a b o v e c o m p u t a t i o n w i t h m a s s e s i n t h e n a l s t a t e s t o d e m o n s t r a t e s o m e
t r i c k s t h a t a r e u s e f u l i n c o m p u t i n g p h a s e s p a c e i n t e g r a l s i n g e n e r a l .
b ) D e c a y R a t e C o m p u t e d i n M a n y F r a m e s u s i n g L o r e n t z I n v a r i a n c e
L e t u s n o w c o n s i d e r t h e d e c a y o f a
t o a n e l e c t r o n w i t h m a s s M
e
a n d a n e u t r i n o
a n d a n t i - n e u t r i n o o f e q u a l m a s s M
. T h e d e c a y r a t e i s a g a i n g i v e n b y
(
! e
e
) =
1
2 M
Z
d
3
P
e
( 2 )
3
2 E
e
Z
d
3
P
1
( 2 )
3
2 E
1
Z
d
3
P
2
( 2 )
3
2 E
2
( 2 )
4
4
( P
P
e
P
1
P
2
)
1
2
M (
! e
e
)
2
( 3 1 4 )
W e n o w u s e o u r t r i c k o n e a c h o f t h e n e u t r i n o i n t e g r a t i o n s t o w r i t e
Z
d
3
P
1
2 E
1
Z
d
3
P
2
2 E
2
=
Z
d
4
P
1
Z
d
4
P
2
( P
0
1
) ( P
0
2
) ( P
2
1
M
2
) ( P
2
2
M
2
) ( 3 1 5 )
A t t h i s p o i n t i t i s c o n v e n i e n t t o c h a n g e v a r i a b l e s f r o m P
1
a n d P
2
t o t h e o r t h o g o n a l c o m -
b i n a t i o n
k = P
1
+ P
2
q =
1
2
( P
1
P
2
)
; ( 3 1 6 )
a n d h e n c e
P
1
=
1
2
k + q
P
2
=
1
2
k q
( 3 1 7 )
I n t h i s s e t o f v a r i a b l e s w e n d t h a t ( t h e j a c o b i a n i s u n i t y )
Z
d
3
P
1
2 E
1
Z
d
3
P
2
2 E
2
=
Z
d
4
k d
4
q (
k
0
2
+ q
0
) (
k
0
2
q
0
) (
k
2
4
+ q
2
M
2
+ k q ) (
k
2
4
+ q
2
M
2
k q )
=
1
2
Z
d
4
k d
4
q (
k
0
2
+ q
0
) (
k
0
2
q
0
) (
k
2
4
+ q
2
M
2
) ( k q )
Z
d s ( s k
2
)
;
( 3 1 8 )
w h e r e w e h a v e i n s e r t e d u n i t y
R
d s ( s k
2
) = 1 a n d u s e d ( a + b ) ( a b ) = ( 2 b ) ( a b ) =
1
2
( b ) ( a ) . T h e r e a s o n w e h a v e i n s e r t e d s = k
2
i n t o t h e c o m p u t a t i o n w i l l b e c o m e c l e a r
2 0
7/27/2019 Lecture 0395
7/10
s o o n , b u t n o t i c e t h a t i t i s t h e i n v a r i a n t m a s s o f t h e n e u t r i n o p a i r . P u t t i n g a l l t h e s e
m a n i p u l a t i o n s t o g e t h e r w e n d t h a t
(
! e
e
) =
1
4 M
( 2 )
5
Z
d s
Z
d
3
P
e
2 E
e
Z
d
4
k
Z
d
4
q
1
2
M
2
( s k
2
) (
k
0
2
+ q
0
) (
k
0
2
q
0
) (
k
2
4
+ q
2
M
2
)
( k q )
4
( P
P
e
k )
( 3 1 9 )
T h i s h a s m a n y t h i n g s g o i n g o n a t o n c e i n s i d e t h e i n t e g r a l a n d l o o k s a b i t o v e r p o w e r i n g
a t r s t b u t t h i s i s w h e r e w e w i l l u s e l o r e n t z i n v a r i a n c e t o m a k e l i f e m u c h s i m p l e r .
L e t u s s t u d y t h e l o r e n t z i n v a r i a n t o b j e c t I d e n e d b y
I =
Z
d
4
q
1
2
M
2
(
k
0
2
+ q
0
) (
k
0
2
q
0
) (
k
2
4
+ q
2
M
2
) ( k q )
( 3 2 0 )
A s t h i s i s a l o r e n t z i n v a r i a n t o b j e c t w e c a n c h o o s e t o e v a l u a t e i t a n y f r a m e a n d w e w i l l
c h o o s e t h e f r a m e t h a t m a k e s l i f e s i m p l e , w h i c h h a p p e n s t o b e t h e r e s t f r a m e o f t h e n e u t r i n o
p a i r ( o f m a s s s ) . I n t h i s f r a m e q k = q
0
p
s a n d t h e r e f o r e
R
d q
0
( q k ) =
1
p
s
a s k =
(
p
s ; 0 ; 0 ; 0 ) i n t h i s f r a m e . W e n d t h a t
I = ( k
0
)
1
p
s
Z
d
3
q (
s
4
M
2
q
2
)
1
2
M
2
= ( k
0
)
1
p
s
Z
d
q
d q q
2
(
s
4
M
2
q
2
)
1
2
M
2
= ( k
0
)
1
p
s
Z
d
q
d q q
2
1
2 q
( q
r
s
4
M
2
)
1
2
M
2
=
1
4
( k
0
)
r
1
4 M
2
s
Z
d
q
1
2
M
2
( 3 2 1 )
T h e r e a r e s e v e r a l t h i n g s t o n o t e a b o u t t h i s f o r m u l a . I t i s e x p l i c i t l y f o r m e d f r o m l o r e n t z
i n v a r i a n t q u a n t i t i e s w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e a n g u l a r i n t e g r a l i s p e r f o r m e d i n t h e
f r a m e w h e r e t h e n e u t r i n o p a i r a r e a t r e s t . W e c a n n o w p r o c e e d t o i n s e r t t h a t e x p r e s s i o n
f o r I b a c k i n t o o u r r a t e e x p r e s s i o n a n d t h e n b o o s t t o a n y o t h e r f r a m e t h a t w e d e s i r e . T h e
r a t e i s t h e r e f o r e
(
! e
e
) =
1
4 M
( 2 )
5
Z
d s
Z
d
3
P
e
2 E
e
Z
d
4
k ( s k
2
)
4
( P
P
e
k ) I
=
1
4 M
( 2 )
5
Z
d s
Z
d
4
k ( s k
2
) ( ( P
k )
2
M
2
e
) I
=
1
4 M
( 2 )
5
Z
d s
Z
d
3
k
2 k
0
( M
2
M
2
e
+ s 2 P
k ) I
( 3 2 2 )
2 1
7/27/2019 Lecture 0395
8/10
P e r f o r m i n g t h e k i n t e g r a t i o n e x p l i c i t l y i n t h e r e s t f r a m e o f t h e
( r e m e m b e r i n g t h a t I i s
l o r e n t z i n v a r i a n t ) w e o b t a i n
Z
d
3
k
2 k
0
( M
2
M
2
e
+ s 2 P
k ) = 2
Z
d k
0
k ( M
2
M
2
e
+ s 2 M
k
0
)
=
M
k
( 3 2 3 )
F r o m t h e d e l t a f u n c t i o n w e n d t h a t
k
0
=
M
2
M
2
e
+ s
2 M
; ( 3 2 4 )
a n d h e n c e
k =
s
M
2
M
2
e
+ s
2 M
2
s ( 3 2 5 )
W h a t a r e t h e b o u n d a r i e s o f p h a s e s p a c e f o r t h i s s e t o f i n t e g r a t i o n v a r i a b l e s ? A s y o u
s e e w e a r e l e f t w i t h o n l y o n e i n t e g r a t i o n t o p e r f o r m , a f t e r a l l t h e s e u g l y m a n i p u l a t i o n s ,
o v e r t h e i n v a r i a n t m a s s o f t h e n e u t r i n o p a i r , s . T h e m i n i m u m v a l u e o f s c o r r e s p o n d s t o
p r o d u c i n g t h e n e u t r i n o p a i r a t t h r e s h o l d ( n o r e l a t i v e m o t i o n ) a n d h e n c e a m i n i m u m v a l u e
o f s
m n
= 4 M
2
. W h i l e t h e m a x i m u m v a l u e o f s i s o b t a i n e d w h e n t h e e
i s p r o d u c e d a t
r e s t i n t h e r e s t f r a m e o f t h e
, s
m a x
= ( M
M
e
)
2
. T h e n a l i n t e g r a l f o r t h e r a t e i s
g i v e n b y
(
! e
e
) =
1
2
9
4
M
2
Z
( M
M
e
)
2
4 M
2
d s
r
1
4 M
2
s
s
M
2
M
2
e
+ s
2 M
2
s
Z
d
q
1
2
M
2
( 3 2 6 )
I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h i s i s a g e n e r a l f o r m u l a f o r p h a s e s p a c e i n t e g r a t i o n s s i n c e
w e h a v e s a i d n o t h i n g a b o u t t h e m a t r i x e l e m e n t f o r t h e d e c a y . Y o u w i l l n d t h i s v e r y u s e f u l
i n y o u r w o r k .
L e t s u s s e e e x a c t l y h o w t h i s b e a s t o f a f o r m u l a w o r k s , l e t u s e v a l u a t e ( 3 . 2 6 ) f o r
!
e
e
i n t h e s t a n d a r d m o d e l , w h e n t h e e l e c t r o n a n d n e u t r i n o s a r e m a s s l e s s ( M
e
= M
= 0
i n ( 3 . 2 6 ) ) . W e w i s h t o c o m p u t e
Z
d
q
1
2
M
2
=
Z
d
q
6 4 G
2
F
( P
e
P
1
)
P
P
2
; ( 3 2 7 )
2 2
7/27/2019 Lecture 0395
9/10
i n t h e f r a m e w h e r e t h e n e u t r i n o p a i r a r e a t r e s t , P
1
+ P
2
= 0 . I n t h i s f r a m e
P
= ( E
; 0 ; 0 ; P
)
P
e
= ( E
e
; 0 ; 0 ; E
e
)
P
1
+ P
2
= k = (
p
s ; 0 ; 0 ; 0 )
P
1
=
p
s
2
( 1 ; 0 ; s i n ; c o s )
P
2
=
p
s
2
( 1 ; 0 ; s i n ; c o s )
; ( 3 2 8 )
a s c a n b e d e d u c e d f r o m F i g . 4 .
F i g u r e 4
I n a n y f r a m e
P
2
e
= ( P
k )
2
= M
2
+ s 2 P
k ; ( 3 2 9 )
a n d h e n c e i n t h e n e u t r i n o p a i r r e s t f r a m e
M
2
e
= M
2
+ s 2
p
s E
; ( 3 3 0 )
g i v i n g
E
=
M
2
+ s M
2
e
2
p
s
( 3 3 1 )
S e t t i n g M
e
= M
1
= M
2
= 0 w e h a v e t h a t
P
= P
e
=
M
2
s
2
p
s
; ( 3 3 2 )
2 3
7/27/2019 Lecture 0395
10/10
w h i c h l e a d s t o
P
P
2
=
1
4
s + M
2
( M
2
s ) c o s
2
P
e
P
1
=
1
4
( M
2
s ) ( 1 + c o s
2
)
; ( 3 3 3 )
w h e r e
2
i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e m u o n m o m e n t u m a n d t h e m o m e n t u m o f n e u t r i n o 2 .
R e m e m b e r t h a t i n t h i s f r a m e P
= P
e
f o r a n y v a l u e o f t h e e l e c t r o n m a s s . W e s h a l l u s e
t h e m o m e n t s o f c o s , w h i c h y o u r e c a l l a r e
Z
d
q
1 = 4
Z
d
q
c o s
q
= 0
Z
d
q
c o s
2
q
=
4
3
( 3 3 4 )
I t f o l l o w s t h a t
Z
d
q
1
2
M
2
=
3 2
3
G
2
F
( M
2
s ) ( 2 s + M
2
) ; ( 3 3 5 )
a n d p u t t i n g a l l t h i s s t u t o g e t h e r w e n d t h a t
(
! e
e
) =
G
2
F
9 6
3
M
3
Z
M
2
0
d s ( M
2
s )
2
( 2 s + M
2
)
=
G
2
F
M
5
1 9 2
3
; ( 3 3 6 )
a s r e q u i r e d .
T h i s w a s a b i g s o n g a n d d a n c e t o g e t t h e r e s u l t t h a t w e o b t a i n e d i n t h e r e s t f r a m e
o f t h e , b u t a s I s a i d , w e w e r e a b l e t o i n c o r p o r a t e p a r t i c l e m a s s e s i n t o t h e c o m p u t a t i o n
s i m p l y . T h i s i s a c o m m o n l y u s e d t o o l i n r e s e a r c h . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t i n s o m e
s i t u a t i o n s t h e i n v a r i a n t m a s s o f a p a r t i c l e p a i r i s t h e b e s t o b s e r v a b l e t o u n d e r s t a n d a
p a r t i c u l a r a s p e c t o f t h e p h y s i c s . A n e x a m p l e o f t h i s i s t h e d e c a y b ! s e
+
e
. T h i s
p r o c e s s i s f o r b i d d e n a t t r e e - l e v e l i n t h e s t a n d a r d m o d e l b u t p r o c e e d s v i a q u a n t u m l o o p s
d o m i n a t e d b y t h e t o p q u a r k . T h e q u a n t i t i e s o f i n t e r e s t t o t h e e x p e r i m e n t a l i s t s a r e t h e
i n v a r i a n t m a s s d i s t r i b u t i o n o f t h e l e p t o n p a i r a n d t h e i r a n g u l a r d i s t r i b u t i o n . I n p a r t i c u l a r
t h e i n v a r i a n t m a s s d i s t r i b u t i o n n e e d s t o b e u n d e r s t o o d i n o r d e r f o r t h e e x p e r i m e n t a l i s t s
t o k n o w h o w v a r i o u s c u t s o n t h e l e p t o n i n v a r i a n t m a s s ( t o r e m o v e b a c k g r o u n d ) w i l l w i l l
a e c t t h e n u m b e r o f e v e n t s r e c o r d e d .
2 4
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