'istem Fungsi lterasi ... (Widodo) /29

~ISTEM FUNGSI ITERASI DAN EKSISTENSI INTERPOLASI FRAKT AL

[TERATED FUNCTION SYSTEMS AND THE EXISTENCE OF FRACTAL INTERPOLATION

)leh: Widodofurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta

Abstrak

Dalam makalah ini dipelajari Sistem Fungsi Iterasi (SFI) pada suatu ruang metrik lengkap (X,d). Beberapa.ifat penting SFI, khususnya Teorema Titik Tetap pada ~ng ftaktal H(X) digunakan untuk membuktikan teoremaeksistensi interpolasi ftaktal suatu data yang terdiri dari pasangan bilangan real {(xj,Fj):i=O,1,2,.. .,N}. Pembahasandalam makalah ini ditekankan pada aspek teon yang didasari oleh pemahaman analisis real dan konstruksi ftaktal,kemudian pembuktian teorema eksistensi interpolasi fraktal.

Kata kunci: Ruang metrik, ruang fraktal, pemetaan kontraksi, sistem fungsi iterasi, interpolasi ftaktal.

Abstract

In this paper, the Iterated Function Systems (IFS) acting on a complete metric space (X,d) is studied.Several importantproperties of the IFS. in particular Fixed Point Theoremon thefractal space H(X)are usedtoprove the existence of fractal interpolation of the data consisting of ordered pair real numbers((xi,FJ:i=O,1,2, N). The discussion in this paper is stressed on the theoretical aspects based on real analysisunderstanding and fractal construction, and then theorem of existence of fractal interpolation is proven.

Keywords: metric space, fractal space,contraction mapping.Iterated Function Systems. fractal interpolation.

PENDAHULUAN

Pada rnasa lalu, rnaternatika rnernberikanperhatian sangat besar pada hirnpunan danfungsi yang rnulus (smooth), yang dapatdipelajari dengan kalkulus klasik. SedaQ.gkanhirnpunan dan fungsi yang tidak rnulus dantidak teratur (irregular) cenderung diabaikandan dijauhkan dari pernbicaraan. Narnun pada 2dasawarsa terakhir ini anggapan tersebut telahberubah. Perhatian orang rnulai ditujukan pulakepada hirnpunan-hirnpunan yang tak rnulus.Lebih jauh lagi, hirnpunan yang tidak teraturrnernberikan penyajian yang lebih baik untukfenornena alarn dibandingkan dengan garnbar-gambar dalarn geornetri klasik (tradisional).Geornetri fraktal rnernberikan kerangka urnurnuntuk rnernpelajari hirnpunan yang tidak teratur(irregular sets). Obyek-obyek alam, seperti

.

gunung, pantai, awan dan pohon tidak dapatdigarnbarkan dengan baik secara tradisional,yaitu dengan rnenggunakan Geornetri Euclides.Akhimya disadari bahwa Geornetri Euclideshanya rnarnpu rnernpresentasikan obyek-obyekbuatan rnanusia, seperti garis, segitiga,segiernpat, lingkaran, dU. Sedangkan Geornetri-Fraktal dapat rnernpresentasikan obyek-obyekyang rnuncul dalarn alarn dengan baik (Susanta,et.al, 1993:1-2).

Sebagai ilrnu yang baru di Indonesia,banyak orang yang belurn rnarnaharni danbertallya "Apakah Fraktal itu ? ". "ApakahdimellsiJraktal itu ? ", dan "Bagaimanacaramenghitwlg dimensi Jraktal ? ", "Apakahinterpolasi Jraktal itu?". Kata fraktaldikernukakan oleh Mandelbrot (1982:5) dalamrnakalahnya, The Fractal Geometry oj Nature.

- - -

/30

Kata 'fraktal' berasal dari kata latinfractus yangartinya patah atau putus untuk menyatakanbenda-benda yang sangat tidak teratur.Mandelbrot mengatakan bahwa fraktal adalahhimpunan yang mempunyai dimensi tak bulatatau dimensi Hausdorffnya lebih besar daripadadimensi topologisnya. Dimensi topologis suatuhimpunan selalu bulat, bernilai 0 jika himpunanitu tak terhubung total (totally disconnected),dan bernilai I jika setiap titiknya mempunyaisuatu persekitaran dengan perbatasan yangberdimensi 0, dst (Devaney, 1992:186).Falconer (1990:xx) lebih suka memberikandefinisi fraktal secara deskriptif, dan tidakmemberikan definisi secara eksplisit. Falconermendefinisikan fraktal sebagai suatu himpunandengan sifat-sifat sbb :(i) mempunyai struktur halus (fine structure),

yakni terinci pada skala yang sembarangkecilnya,

(ii) terlalu tak teratur untuk dinyatakan dalamgeometri tradisional,

(iii) sering mempunyai bentuk yangberkesebangunan diri (self similarity),

(iv) dimensi fraktal biasanya lebih besardaripada dimensi topologisnya, dan

(v) dalam banyak hal fraktal didefinisikansangat sederhana, sering secara rekursif.

Diberikan bilangan asli N> I dan data{(Xi,Fi):i = 0, I, 2, ..., N}. Interpolasi adalahsuatu proses menentukan suatu fungsi kontinu fyang grafiknya melewati data {(xj,Fi):i= 0, 1,2,..., N}. Metode interpolasi paling sederhanaadalah dengan menarik garis lurus dari masing-masing data, tersebut ke titik yang berdekatan.Selain metode sederhana diatas, kitamempunyai . metode lain yaitu dengaumembentuk polinomial dengan derajat yangterendah sehingga polinomial tersebutmerupakan grafik yang paling sesuai dengangrafik data dalam selang [XO,XN].

Dalam makalah ini dipelajari SistemFungsi Iterasi (SFI) pada suatu ruang metriklengkap (X,d). Beberapa sifat penting SFI,khususnya Teorema Titik Tetap pada ruangfraktal H(X) digunakan untuk membuktikanteorema eksistensi interpolasi fraktal suatu dataterdiri dari pasangan bilangan real{(xj,Fj):i=O,l,2,. ..,N}. Pembahasan dalam

JUrl/al Pendidikan Matematika dan Sains, Edisi 3 Tahun VIII, 20G

makalah ini diktekankan pada aspek teori yandidasari oleh pemahaman analisis real dakonstruksi fraktal, kemudian membuktikateorema eksistensi interpolasi fraktal.

PENGERTIAN DASAR

2.1 Konstruksi Ruang Fraktal (Barns ley da:Demko, 1985:244-250)

Diberikan ruang metrik (X,d). Ruan,metrik (X,d) dikatakan lengkap jika setia'barisan Cauchy dari titik-titik di dalam (X,akonvergen ke suatu titik di dalam X. Diberika(X,d) ruang metrik lengkap. Didefinisikan H().sebagai koleksi semua subhimpunan kompatak kosong dari X, i.e.

H (X):= {A: A c X,A * 0 dan A kompak}.

Didefinisikan d(a,B)= Min{d(a,b) : bE Badalah jarak titik a ke himpunan B dan d(A,B):Maks{Min{d(a,b): b EB} : aEA}:Maks{d(a,B) : aEA} adalah jarak himpunan j

ke himpunan B. Disini d(A,B) belum tentu samdengan d(B,A).Untuk semua A,B,C E H (X) berlaku :

(i) A *B => d(A,B) * 0 dan d(B,A) * 0(ii) Ac B => d(A,B)= 0(iii) Ac B => d(C,B)~ d(C,A)(iv) d(A u B,C) = d(A,C)vd(B,C), dengan

v y = maks{x,y}.Metrik Hausdorff h(A,B) dengan A dan Idalam H (X) didefinisikan sebagai

Iz(A,B) = Maks {d(A,B), d(B,A)}.

Untuk A,B,C ,D E H (X) berlaku

h(AuB,CuD) ~ h(A,C)vh(B,D).

Mudah dibuktikan bahwa fung!Iz:H(X)xH(X)~R di atas merupakan metri~sehingga (H(X),h) adalah suatu ruang metri~Metrik Iz yang didefinisikan pada H(X) irdisebut metrik Hausdorff . Dalam hal ir(H(X),!l) disebut ruang fraktal dan setiaanggolanya disebut fraktal.

Sistem FUI/gsiIterasi ... (Widodo)

Teorema 2.1.1. (Barnsley, 1988:37)Jika (X,d) ruang metrik lengkap, maka ruangIraktal (H(X),h)juga ruang metrik lengkap, i.e.setiap barisan Cauchy (An) dalam H (X)

terdapat A e H (X) sehingga A = Um An.n~oo

2.2. Pemetaan Kontraktif dan Iterasi

Definisi 2.2.1. (Barnsley, 1988:80)Pemetaan j- (X,d) ~ (X,d) disebut pemetaankontraktif jika terdapat suatu konstanta sdengan 05,s<1 sehingga

d(f(x), f(y)) 5, s d(x,y), 'v'x, ye X.

Konstanta s dinamakan laktor kontraktivitas.

Mudah dibuktikan bahwa jika I pemetaankontraktif,maka/fungsi kontinu. Suatutitik xIeX disebut titik tetap dari transformasil jika xI=f(xp.

Definisi 2.2.2. (Devaney, 1992:17) Diberikanpemetaan I : (X,d) ~ (X,d). Untuk semuabilangan bulat tak negatif n ~ 0, iterasi dari f,

i.e. In .X ~X didefinisikall dellgan

fO(x) := x, e(x) := f(x), f2 (x) := f 0 f(x), ...,

fo+1(x) := f 0 fO(x) = f(fO (x)),untuk semua xeX

Teorema 2.2.2 (Barns ley, 1988:76)Jika (X,d) ruang metrik lengkap danI pemetaankontraktif . dari X ke X dengan laktorkontraktivitas s, maka I mempunyai tepat satutetap xfEX dan untuk semua xeX, barisall {fn(X): n = 1,2,...} konvergell ke XI . i.e.

limln(x) = xI'n->oo

SISTEM FUNGSI ITERASI (Barnsley, 1988:82).

Sistem Fungsi Iterasi (SFI) difefinisikansebagai suatu sistem yang terdiri dari ruangmetrik lengkap (X,d) dan pemetaan-pemetaankontraksi yang berhingga banyaknya, i.e. Wn:X ~ X dengan faktor kontraktivitas Sn untukn=I,2,...,N. Dalam hal ini SFI diberi notasi

--

131

{X:W[,w], ..., wN}dengan faktor kontraktivitass=maks {Sn:n=1,2,3,. . .,N} seperti tertuang dalamteorema berikut.

Teorema 3.1 (Barnsley, 1988:82)Diberikall SF! (X WI, W2, WN) dengan Snlaktor kontraktifitas Wn, n=1,2,3. N. Jikatranslormasi W:H(X)~H(X) didefinisikan

sebagaiN

W(B) = U wn(B) , 'v' Be H (X).n=l

maka W merupakan pemetaan kOlltraksi pada(H(X),h) dellgan faktor kontraktivitass=maks{sn:n=I,2,3,...,N}, i.e.h(W(B). W(C)) 5, s h(B,C), 'v' B,C eH (X).

SFI seperti itu disebut SFI hiperbolik.Akibatnya, dari Teorema 3.1 dan Teorema 2.2.2(Teorema titik tetap), terdapat dengan tunggaltitik tetap A e H(X), i.e.

N

A= W(A) = Uwn(A)n=1

dan A ditentukan secara iteratif oleh

A= lim WO(B), 'v'B e H (X).0->00

Titik tetap A ini disebut atraktor (at/raetor) SFItersebut.

INTERPOLASIFRAKTAL

Definisi 4.1. (Barnsley, 1986:305). Fungsiinterpolasi suatu data ((x;.FJ ER]: i=O, 1, ..., N).Xo< XI< X2< < XN, didefinisikan sebagaisuatu lungsi kontinu /,[xo, XN}~ R sehingga/(-o:J = F;, untuk i = O. 1, ..., N.

Titik-titik (xj,Fj) e R2 untuk i = 0, 1, , N,disebut titik-titik interpolasi dan dikatakanbahwa fungsi I menginterpolasikan datatersebut.

Definisi 4.2. (Barnsley, 1986:305). Fungsiinterpolasi Iraktal suatu data ((x;.FJ E R]: i =O. 1, N), Xo < x[< X] <... < XN. didefinisikan

sebagai suatu lungsi interpolasi j-[XO.XN}~Ryang grafiknya merupakan atraktor dari suatuSFl

/32

Dalam pembahasan interpolasi fraktal akandikonstruksikan suatu SFI {R2:Wn,n =1, 2,...,N} sehingga eksistensi atraktomya terjamin danmerupakan grafik dari suatu fungsi kontinuf:[xo,xN]~R yang meng-interpolasikan data{(Xi,Fi): i= 0,1, 2, ..., N}. Disini dipilih suatuSFI {R2:wn,n=I,2,...,N}, dengan Wntranfonnasiaffine yang berbentuk khusus, i.e.

(4.1) Wn(;)=(:: :)(;)+(~)yang dibatasi oleh

(4.2) wn(

Xo

)=

(Xn-l

)dan

Fo Fn_1

Wn(;:) =(;:).untukn = 1,2, ..., N.

bari (4.1) dan (4.2) diperoleh:

untuk n ==1,2, ..., N.

Kemudian dari (4.3) dan (4.4) diperoleh :

untuk n = 1, 2, ..., N. Dan dari (4.5) dan (4.6)kita mendapatkan dua persamaan dengan 3variabel yang belum diketahui, denganmengambil dn sebagai varibel bebas, yangdisebut faktor penyekala vertikal dan diperoleh

Jurna/ Pendidikan Maternatika dan Sains. Edisi 3 Tahun VIJ/. 2003

Dari uraian diatas, dapat dipertanyakan berbagaimacam hal, seperti kenapa kita menggunakantransfonnasi affine dan mengapa kitamengambil dn sebagai parameter bebas.Penggunaan transfonnasi affine karenatransfonnasi affine tidak akan merubah bentukdan struktur, pemilihan transfonnasi affinediatas dan pengambil dn sebagai variabel bebaskedua pertanyaan tersebut akan terjawab setelahkita mempelajari dan membuktikan teorema-teorema dibawah ini.

Teorema 4.3. Diberikan bilangan as/i N > 1 dan,SF! {R.: Wn. n = 1. 2. N} yang telahdikonstruksikall pada (4.1) dan (4.2). yangberkaitan dengan data {(Xn.F,J:n =0.1.2 N).Jika faktor penyekala vertikal dn memenuhi 0 ~Idnl~ I. untuk 11= 1. 2. N. maka terdapatsuatu metrik d pada k. yang equivalen denganmetrik Euclides. sehingga SFI-nya hiperbo/ikterhadap metrik d. Khususnya terdapat dengantunggal suatu atraktor G. i.e. G subhimpunankompak tak kosong dalam R2yang memenuhi

N

G =Uw)G).n=\

Bukti: Didefinisikan suatu metrik d pada R2:d«X"YI),(X2,Y2» = Ix,-x21 + S IY'-Y21,

untuk semua (x"y,),(X2,Y2) E R2, dengan Ssuatu bilangan positif yang akan ditentukankemudian. Mudah dibuktikan d merupakanmetrik pada R2 yang equivalen dengan metrikEuclides. Ambil n E {I, 2, 3, ..., N} dan an, Cn,en, fn, yang telah ditentukan berdasarkan padapersamaan (4.7), (4.8), (4.9), (4.10). Makadiperoleh:d(wn(x"y,),Wn(X2,Y2» .=d( (anx I+en,c"x I+dny I+fo),( anX2+e,.,CoX2+d"Y2+fn»

= lanxl+en-(anX2+en)I+elcnx,+dnYI+fn-(cnx2+dnY2+fn)1

= anlxl-X21 + Slcn(X,-X2) + dn(YI-Y2)1

::; lanllx,-X21+ Slcn(X,-X2)1+ Sldn(y'-Y2)1= lanllx,-X21+ Slcnllx,-X21+ SldnIIY'-Y21= (lanl+SlcnD IXI-X21+ SldnIIYI-Y21.

Karena N2:2, diperoleh

Ian 1=lxn -xn_1I/lxN -xol<1

- Jika c) = C2 = C3 = ... = Cn=0, dipilih S = I,sehingga didapatd(Wn(XI,YI ),Wn(X2,Y2»

Sistem Fungsi Iterasi ... (Widodo)

s;(lanl+BlcnDIXI-xzl+ eldnll(YI-Yz)1= lanllxl-xzl+ IdnIICYI-Yz)1S;s d«XI,Y.), (Xz,YZ»,

dengans = Maks{lanl,ldnl: n=I,2,..., N}<I, i.e.{Rz: Wn,n=I,2,...,N} SFI hiperbolik terhadapmetrik d.- Untuk yanglain, dipilih

e= Min{I-1 an I:n = 1,2,...,N} .Max{21CnI:n = 1,2,...,N}

Makadidapatd(Wn(XI,YI),wn(XZ,yz»

:::,danl+BlcnDIXI-xzl+ e IdnIIYI-yzl.s;a IXI -xzl + eolY.- yziS;Maks{a,o}d«XI,YI),(Xz,Yz»= s d«XI,YI),(XZ,yz»,

dengan

= (11 Maks{l an I: n = 1,2,...,N} ) Ia 12 + 2 < .

Nilai a diperolehdarilanl+ e Icnl

_I I Min{I-1 an I:n = 1,2,...,N} I I- an + CnMaks {21 Cn I: n = 1,2,..., N}

I I Min{1-lan l:n=I,2,...,N}S; an +2

= lanl+ 1- Maks{l an;n = 1,2,...,N}

M k {I I} 1- Maks{l an I:n = l,u.,N}S; asan+2

= 1/ + Maks{1an I:n = 1,2,3,...,N}/2 2 '

sehingga dapat diambil

_(1/ Max{l an I: n = 1,2,...,N} )a- /2+ 2 <I,

o = Maks { Idn I: n=l, 2,.,., N}< I dans=Maks{a, o}. Jadi {Rz: wn, n=l, 2, ...,N} SFIhiperbolik terhadapmetrik d. MenurutTeorema3.1, terdapat dengan tunggal suatu atraktorGEH(R\ i.e. G subhimpunan kompak takkosong dalam RZ yang mt;menuhi

N

G=Uw)G). q.e.d.n=1

Teorema 4.4, Diberika1l bilanga1l asli N > 1 da1l,SF! (R-: wn, 11 = 1, 2, N) yang tela/zdiko1lstruksikall pada (4.1) da1l (4.2), yangberkaitall dellgall data ((xn.F,J: n=O,1,2. N).

/33

Andaikan dn faktor penyekala vcrtikal yangmemenuhi 0.$Jdnl<1 untuk n =1.2. N,sehi1lgga SF! hiperbolik. Jika G atraktor dariSFL maka G merupakan grafik dari suatufungsi kontinu /0: [xo, xNJ~R yangmenginterpolasikan data ((xn,F,J : n=O,1,2,

N). i.e. dapat ditulisG = ((x.fo(x)) : XE[XO.XN]}.

dengan /o(xJ = Fj untuk i = O.1. 2. N.

Bukti: Difefinisikan

C*["o, XN]:= {/:[xo, XN]-t R: fkontinusehingga I(xo) = Fodan l(xN) = FN}.

Jika C* [xo,XN]dilengkapidengand:d(f, g) := Maks{lf(x) - g(x)l: X E [xo,XN]},

untuk semua I, g E C* [xo,XN],maka telah dikenal dengan baik (C*[xo,xN],d)ruang metrik lengkap (lihat misalnya Rudin,1966). Diberikan an, Cn, en, fn, seperti padapersamaan (4.7), (4.8), (4.9), (4.10) dandidefinisikan suatu operator (pemetaan)

T: C* [xo,XN]-t C* [Xo,XN],dengan (Tf)(x) = enln-I(x)+ dnl(ln-'(x» + fn,VXE[Xn_l,Xn],dan In:[Xo,XN]-t[Xn-),Xn],dengan In(x)=anx+en,n =1,2,3".., N. Pertamaakan ditunjukkan T memetakan C*["o,XN] kedirinya sendiri, i.e. (Tf)EC*[XO,XN], untuksemua IEC*[xo,xN]. Perhatikan bahwa In

mempunyai invers, 1:1:[Xn-I,Xn]-t[Xo,XN],i.e.

I-I( )

x-eb

'ln X = !!..., an;t; O. Am 1 sebarang

an

IEC*[xo, XN]. Dari kesamaan (4.3) dan (4.4),didapat 11-1("0)= Xodan IN-I(XN)= XN,sehinggadiperoleh(Tf)(xo) = CIII-I(XO) + dJ/(lI-I("o) + fl. =CIXO+ dJ/(Xo)+ II

= CIXO + dlFo + II= Fo,dan

(Tf)(XN) = CNIN-I(XN)+ dN/(lN-I(xN» + IN

= CNXN + dN/(xN) + IN= CNXN + dNFN + IN=FN.

Dari definisinya, jelas Tf kontinu pada setiapinterval (xn-), xn) untuk n=l, 2, ...,N. Tinggalditunjukan TI kontinu di titik XI, XZ,...,XN-I-Ambil sebarang nE {1,2, ..., N-I}. Dari (4.3)Jan (4.4), dipunyai I-I (Xn)= Xo dan I-I(xn)=n+1 n

/34

XN, dan akibatnya dari (4.5) didapatkan limitkanan

li"1 (Tj)(x).t-.:c"

= cn+ll:~1(Xn)+ dn+1f(I:~1(xn» + fn+1

=Cn+1XO + dn+lf(xo) + fn+1= Cn+IXO + dn+IFO + fn+1

=Fn,dan dari (4.6) diperoleh limit kirilim (Tj)(x)

x-+.t;

= Cn1:1(xn) + dnf( 1:1(xn» + fn

= CnXN + dnf(XN) + fn= CnXN + dnFN + fn

=Fn,sehingga berlaku

lim (Tj)(x) = lim (Tj)(x) = (Tf)(xn),.t-+x; x-+.t;

i.e. Tfkontinu di Xn.Jadi Tf EC*[Xo, XN],i.e. Tmemetakan C* [xo, XN]ke dirinya sendiri.

Selanjutnya ditunjukkan T pemetaankontraksi pada (C*[xo,xN],d).Ambil sebarangjg E C* [xo, XN].Jika n E {I, 2, ..., N} dan x E[Xn_l,xn], maka

I(Tf)(x)-{Tg)(x)1

=IcnI-I (x)+d,JO-1 (x» + fn-n n

( CnI-I (x)+d,.g(rl (x»+fn)1n n

= Idn.!(I-1 (x» -dn g(I-1 (x»1n n

= Idnllf( 1:1(x» - g (1:1(x»1~ Idnld(f,g).

Akibatnya d(ff, Tg) ~ 8 d(f, g), dengan8=Maks{ldnl:n=I,2,..., N}<I, i.e.T pemetaankontraksi pad~ (C*[xo, xN],d). Karena itumenurut Teorema 2.2.2 (Teorema titik tetap), Tmempunyai tepat satu titik tetap katakan fOE C*[xo, XN],i.e. fo memenuhi

(Tfo)(x) = fo(x) untuk semua x E [xo,XN].Dari definisi (Tfo) dan persamaan (4.6),diperoleh

fO(xn) = (Tfo)(xn)= cnln-1(xn)+ dn.fo(ln-I(Xn» + fn= CnXN+ dn.fo(XN»+ fn= CnXN + dn F N + fn

= Fn,

Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains. Edisi 3 Tahun VIJI.2003

untuk n = 0,1, 2, ..., N, sehingga fo melaluisemua titik{(xn,Fn):n=O,I, 2,...,N}. Misalkan Ggrafik fungsi f 0, i.e. -

G = { (x,fo(x»: XE[Xo, XN]}.

Akhirnya ditunjukkan G merupakan atraktorSFI {R2: Wn,n = 1, 2, ..., N}. Dari definisiT,diperoleh

(Tfo)(anx+en) = CnX + dnfo(x) + fn,untuk x E [xo,XN],untuk n = I,2,...,N.Akan ditunjukkan

_ N (_)G = UWn\Gn=1

N

Ambil sebarang (u,v) E Uwn(C), makan=1

(u,v)ewn( C) untuk suatu ne {I,2,..., N}, i.e.

(u,v)=wn «x,fo(x» untuk suatu (x,fo(X»E C.

Dari persamaan terakhir, didapatkan(u,v)=wn «x,fO(x» = (an}(+en,fo(anx+en»,

i.e. (u,v) e C, dan karena (u,v) diambilsebarang, diperoleh:

N

Uwn(C)c C.n=1

Sebaliknya, ambil sebarang (x,fo(X»E G, makax-e

terdapat r = I:I(X) = -2..E[XO, XN],untukan

suatu nE {I ,2,. . ., N} sehingga berlaku :

')istem FUlIgsi Iterasi ... (Widodo)

Wn(fo~r»)

( a.r+e.

)= c.r+d.fo(r)+ f.

(o.r+e.

)= c.l~ (x)+dJo(l~ (x»+ f.

(I. (r)

)= Tfo(x)

=(fo~X»)= (x,fo(x» ,

i.e. (x, Jo(X»E Wn(G), dan karena (x, Jo(x»:iipilih sembarang, didapat

N

G c Uwn(G).n=1

N

Jadi G = UWn (G). Menurut Teorema 4.3,n=1

terdapat dengan tunggal atraktor G untuk SF!{R2: Wn, n = I, 2, ..., N}, i.e. GEH(R2),Gsubhimpunan kompak tak kosong dalam R2

N

sehingga G =UW n (G). Karena Jo kontinu dann=1

[XO,XN] kompak di R,maka G =Jo([xo,XND2 -

kompak tak kosong di R. Karena G takkosong, maka dari ketunggalan atraktor,

:iisimpulkan G =G, i.e. G merupakan grafik darifo. q.e.d.

5. CONTOH

Contoh 5.1. Parabola f(x) = 2x - x2 padainterval [0, 2] adalah fungsi interpolasi untukmatu data ((O,O),(1,3), (2,0)}. Jika Gr adalahgrafik fungsif, i.e.

Gr={(x,2x- x2):x E [0,2]},maka dapat dibuktikan G merupakan atraktor:Iari SFI{R2: WI,W2},dengan

(x

) (0,5 0

)(x ')

WI = I dany 0,5 0,25 y)

W {~)=(_0~~50,~5)(~ )+CJ

Pembuktian G (ltraktor dari SFI {R2: Wl,W2}diatas, dapat kita buktikan secara langsung.

135

Untuk setiap x E[O,2] berlaku persamaan:

(

X

) (

.Lx

) (

.Lx

)WI f(x) = 2(tx)-(txY = f(2tX)

Dari hasil diatas jelas terlihat untuk x E[0,2], WIakan membawa j{x) pada interval [0,I] dan W2akan membawaj{x) pada interval [1,2]. BerartiG = WI(G) u W2(G) dan karena GEH (R2),berdasarkan Teorema 3.1, berarti G merupakanatraktor dari SFI diatas. Berdasarkan Definisi4.2,j{x) fungsi interpolasi fraktal.

Contoh 5.1 kurang menarik, karenafungsi interpolasinya diferensiabel (mulus) pada[0,2] dan buktinya diperoleh langsung tanpaproses iterasi. Contoh 5.2 berikut ini lebihmenarik, karena fungsi interpolasinya diperolehsecara iteratif dengan program komputer danrumus fungsinya tidak diketahui. Dari grafikhasil pemrograman, kelihatannya fungsiinterpolasi tersebut tidak diferensiabel dan tidakteratur pada interval [0,100].

Contob 5.2. Diberikan suatu data untuk

n=4, i.e. {(O,O), (30,50), (60,40), (100,IO)},dengan dl=0.5, d2=-0.5, d3=0.23. Maka denganbantuan program komputer (dalam bahasaPascal Versi 7), diperoleh grafik fungsiinterpolasi fraktal seperti pada Gambar 1berikut101.

Gambar 1: Fungsi Interpolasi Fraktal untuk Datapada Contoh 5.2.

/36

SIMPULAN

Bila diberikan bilangan asli N> 1 dan data{(Xi,Fi): i = 0,1, 2,..., N}, maka terjamin adadengan tunggal fungsi interpolasi fraktal10:[xo,xN]~R, yang grafiknya merupakanatraktor dari SFI {R2:Wn,n = 1, 2, ..., N},dengan wn seperti pada persamaan (4.1) dan(4.2), dan (4.7)-(4.10). Fungsi interpolasi fraktal10 dapat diperoleh secara iteratif setelahmemasukkan data Jaktor penyekala vertikalldnl< 1, n= 1,2,. ..,N. Grafik fungsi interpolasi 10pada umumnya tidak teratur dan tidak diketahuirumusnya secara eksplisit. Nilai faklorpenyekala vertikal dn turut menetukan kekasarandan kehalusan grafik fungsi interpolasi fraktal.

DAFTAR PUST AKA

Bamsley, M. and Demko, S. (1985). IteratedFunction System and the GlobalConstruction of Fractals. The Proceedingoj the Royal Society oj London A399,243-275.

Bamsley, M. (1986). Fractal Function andInterpolation.Costructive Approximation2, 303-329.

Jurnal Pendidikall Malemalika dall Sains. Edisi 3 Tahun VIII, 2003

Bamsley, M. (1988). Fractal Everywhere.Boston: Academk Press Inc.

Devaney, R.L. (1992). A First Course inChaotic Dynamical Systems: Theory andexperiments. New York: AddisonWesley Pub. Compo

Falkoner, K. (1990). Fractal Geometry:Mathematical Foundation andApplications. New York: John Wiley &Sons.

Mandelbrot, B. (1982). The Fractal Geometry ojNature. San Fransisco: W.H. Freemanand Co.

Rudin, W. (1966). Principle oj MathematicalAnalysis. New York: McGraw-Hill.

Susanta, B., Soemantri, R., Widodo, Aryati, L.,Hendarto, J, and Suprapto (1993).Perkenalan dengan Geometri Fraktal,Laporan Penelitian,Didanai World BankXXI. LOAN No:33I I-IND, FMIPAUGM.