8/17/2019 Integración Doble
1/15
CALCULO VECTORIAL
8/17/2019 Integración Doble
2/15
Una integral definida bidimensionalmente es conocida simplementecomo la integral doble de una función f de dos variables.
Pasos analógicos que conducen a la integral doble: z= f (x,y)
1. Sea f una función definida en una región cerrada y acotada R.
2. Por medio de una retícula de líneas verticales y horizontalesparalelas a los ejes coordenados, se hace una partición P de Rcompuesta de n subregiones rectangulares de áreas ∆ quese encuentran completamente en R.
3.Sea la norma de la partición o la longitud de la diagonal maslarga de .
4. Elíjase un punto ∗ , ∗ en cada subregión .5. Genérese la suma
−
∗ , ∗ ∆ .
8/17/2019 Integración Doble
3/15
Sea f una función de dos variables definida en una región cerrada R. entonces, laintegral doble de f sobre R viene dada por:
, lim →=
∗ , ∗ ∆ .
Integrabilidad: Si existe el limite en la ec. anterior, se dice que f es integrablesobre R, y que R es la región de integración. Cuando f es continua en R, entonces f es
necesariamente integrable sobre R.
Área: Cuando , 1 en R, entonceslim →=
∗ , ∗ ∆
Simplemente proporciona el área A de la región;
,
8/17/2019 Integración Doble
4/15
Volumen: Si , ≥ 0 en R, entonces, como se muestra en la fig.3.69, el producto ∗ , ∗ ∆ se interpreta como el volumen de unprisma rectangular de altura
∗
, ∗ y base de área
∆. La suma
de volúmenes es una aproximación al volumen V del solido porencima de la región R y por debajo de la superficie z( ,). Ellimite de esta suma cuando → 0, si existe, da el volumen exactode este solido; esto es, si f no es negativo en R, entonces:
,
8/17/2019 Integración Doble
5/15
Sean f y g funciones de dos variables que son integrables sobreuna región R. Entonces:
1. ,
, , donde es cualquier constante
2.
, ± ,
, ±
,
3. ,
, ±
, ,
Donde
son subregiones de R
que no se traslapan, y R ∪ .
8/17/2019 Integración Doble
6/15
Regiones tipo I y II: La región mostrada en la fig. 3.71 a),: ≤ ≤ , ≤ ≤ ,
donde las funciones de frontera son continuas, se denomina unaregión tipo I. En la fig. 3.71 b) la región
: ≤ ≤ , ℎ ≤ ≤ ℎ ,
Donde ℎ ℎ son continuas, se denomina una región tipo II.
8/17/2019 Integración Doble
7/15
Como la integral parcial:
()
() ,
es una función de x únicamente, se puede integrar a su vez la función
resultante respecto a x. Si f es continua en una región tipo I, la integral iteradade f sobre la región se define como:
()
() ,
()
() , ,
La idea básica es llevar a cabo integraciones sucesivas. La integral parcialproporciona una función de x, que se integra en forma usual desde x = ahasta x = b. El resultado final de ambas integraciones es un número real. Sedefine la integral iterada de una función continua f sobre una región tipo IIcomo:
()
() ,
()
() , ,
8/17/2019 Integración Doble
8/15
Las integrales iteradas proporcionan los medios para calcular unaintegral doble:
,
sobre una región tipo I o tipo II, o bien una región que se exprese comola unión de un número finito de estas regiones.
Sea f una función continua en una región R.
a) Si R es tipo I, entonces
,
()() ,
b) Si R es tipo II, entonces
,
()
()
,
8/17/2019 Integración Doble
9/15
Sea R una región tipo I y z = f(x, y) una función continua y no negativa en R.El área A del plano vertical, como se muestra en la figura 3.72, es el áreabajo la traza de la superficie z = f(x, y), en el plano x = constante y, porende, viene dada por la integral parcial:
() ()
() ,
Sumando todas estas áreas desde x = a hasta x = b, se tiene el volumen Vdel sólido por encima de R y por debajo de la superficie:
()
() ,
o por la integral doble
,
8/17/2019 Integración Doble
10/15
Ejemplo 1
Determine el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide
elíptico
1 0 +
+ 3 y abajo por el rectángulo
: 0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤ ≤ 2.
10+ + 3
10+ + 3
10+ + ==
[ 10 2 + 2 + 2 0]
20+2 + 8 20 + 23 + 8
(20 1 + 23 1 + 8 1 ) 0 2823
8/17/2019 Integración Doble
11/15
Ejemplo 2
Calcule para ,
, 100 6 : 0 ≤ ≤ 2,1 ≤ ≤ 1. ,
−
100+6
− 100+2 ==
−[ 100 2 + 2(2) 0]
−
200 16 200 8 −
(200 1 8(1) (200 1 8 1 192 200 8192+208 400
8/17/2019 Integración Doble
12/15
Al invertir el orden de integración obtenemos la mismarespuesta:
,
− 100+6
100+ 6
2
=−
=
[ 100 3 100 3 ]
[100+100]
200400
[ 100 1 + 3 1 1 (100 1 + 3 1 1 ]
8/17/2019 Integración Doble
13/15
Ejemplo 3.
Evalúe la integral iterada
2
(2)(
2 )
(4) − 0
2
16
(16
2 ) 8 8(2)8(1)
32 8 24
8/17/2019 Integración Doble
14/15
Cálculo Varias Variables, Decimosegunda edición, George B.Thomas, Jr. (pag., 840).
Calculo Vectorial, Análisis de Fourier y Análisis Complejo, Tercera
Edición, Dennis G. Zill, Michael R. Cullen (pag., 209-212).
8/17/2019 Integración Doble
15/15
Ejemplo 1,2,3. Pag 840, Cálculo Varias Variables.
Top Related