Download - Inferencia Estadística. Estimación y Contrastes · Inferencia Estadística. Estimación y Contrastes Loly Redondas Introducción. Métodos de muestreo Estimación Puntual Intervalos

InferenciaEstadística.Estimación yContrastes

Loly Redondas

Introducción.Métodos demuestreo

EstimaciónPuntual

Intervalos decon�anza

Contrastes deHipótesis

Contrastes deAjuste

Inferencia Estadística. Estimación

y Contrastes

M Dolores [email protected]

E.U. Arquitectura Técnica

U.P.M.

Curso 2009-2010

1


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Introducción

Identi�cación del comportamiento de una variable

El reconocimiento del comportamiento de una variablealeatoria se puede realizar:

I Por métodos deductivos. (Cálculo de probabilidades).Ejemplos:

I Si z1, . . . , zn son N(0, 1) independientes, la variable:

z21

+ · · ·+ z2n

= χ2n.

I Si z es una N(0, 1) independiente de una χ2n, resulta

que:

z√1

nχ2

n

= tn.

2


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Introducción

I Con la información empírica de una muestra{x1, . . . , xn} de la variable.

I Se supondrá en general que la muestra ha sido obtenida

por m.a.s:

I Todos los individuos de la población tienen la mismaprobabilidad de pertenecer a la muestra.

I Los elementos muestrales son independientes. (Suponereemplazamiento de los individuos muestrales enpoblaciones �nitas.)

3


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Métodos de Muestreo

Llamamos población a un conjunto homogéneo deelementos en los que se estudia una característica dada.

¾Por qué no estudiamos a todos los individuos?

I Ensayos destructivos

I Las muestras sólo existen conceptualmente.

I Es muy caro.

I Requiere mucho tiempo (y puede cambiar lacaracterística de interés.

4


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Muestreo Aleatorio Simple m.a.s.

Está caracterizado por

I Cada elemento tiene la misma probabilidad de salir.

I Es con reemplazamiento (la población es siempre lamisma).

5


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Muestreo Estrati�cado Se utiliza cuando se sospecha quela característica a estudiar no es homogénea en la muestra(por ejemplo en los sondeos de opinión respecto al sexo o laedad). En estos casos la muestra se toma proporcional a cadauno de los estratos en la pobalción.

Muestreo por Conglomerados Se utiliza cuando no sepuede realizar un m.a.s. o por estratos porque no se disponede una lista de la pobalción aunque si se sabe que existe unacaracterización por estratos como regiones / provincias /municipios / barrios / etc...

Muestreo Sistemático Se utiliza cuando los elementos de lapoblación están ordenados por lista. Si el orden de la lista esal azar, este procedimiento es equivalente al m.a.s. aunque esmás fácil no cometer errores.

6


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Introducción

Obtenida la muestra {x1, . . . , xn} de la variable aleatoria, X ,ajustar un modelo que explique su comportamiento supone:

1. Identi�car su forma: Normal, exponencial, binomial,. . .

2. Estimar los parámetros de la distribución, que dependendel modelo. (En el caso normal, µ y σ).

7


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Introducción

Para conjeturar la forma del modelo que explica elcomportaniento de una variable aleatoria continua, secompara la forma de su histograma con la función dedensidad del modelo teórico.

I Obsérvese que estos dos objetos son comparables.

I Ejemplo: Empleando las utilidades del programaStatgraphics, discuta si el comportamiento del tamañode los élitros de los machos y de las hembras contenidosen el archivo Coleop, se puede atribuir a distribucionesnormales.

8


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Estimación de los parámetros

Una vez identi�cada la forma genérica de un modelo, queexplica el comportamiento de la variable en estudio, esnecesario concretar el valor de sus parámetros.

I Esta concreción (estimación) siempre será aproximadapuesto que:

1. Los elementos muestrales son variables aleatorias, con la

misma distribución que la variable base.

2. Conjuntamente, la muestra es una variable aleatoria de

dimensión n.

3. Los estadísticos extraídos de una muestra son variables

aleatorias.

9


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Existen diversos métodos para la estimación de losparámetros del modelo, a partir de los datos muestrales.

I El método de los momentos consiste en igualar losmomentos de la muestra con los poblacionales:

x = µ, s2 = σ2, . . .

I Este método no emplea la información relativa a la

forma de la distribución.

10


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I El método de máxima verosimilitud otorga a losparámetros los valores que maximizan la función dedensidad conjunta:

f (x1, . . . , xn;λ),

siendo λ el vector de parámetros del modelo.

I Este método sí emplea la información relativa a la

forma de la distribución.

I Ejemplo.

11


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Sea X una v.a. Poisson con λ = 2.Calcular la probabilidad de obtener la muestra

X = (x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 2, x5 = 0)

P(x) =e−22x

2!

Entonces

P(X ) =e−223

3!

e−221

1!

e−220

0!

e−222

2!

e−220

0!

y en general

P(X ) =e−22x1

x1!

e−22x2

x2!

e−22x3

x3!

e−22x4

x4!

e−22x5

x5!

12


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Lo podemos simpli�car como

P(X ) = e−10261

2!

1

2!

1

0!

1

2!

1

0!

y en general

P(X ) = e−nλ∑

xi1∏xi !

A lo que llamamos función de densidad conjunta.

En general máxima varosimilitud encuentra el λ para el quela muestra máximiza su función de densidad conjunta.

13


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Propiedades de los estimadores

Diremos que un estimador θ de θ es centrado o insesgadopara θ si para cualquier tamaño muestra

E(θ)

= θ

Se de�ne el sesgo como

sesgo(θ)

= E (θ)− θ

14


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Por ejemplo (x1, . . . , xn) m.a.s. con E (xi ) = µ yVar (xi ) = σ2

T (x1, . . . , xn) = x

es un estimador centrado de µ porque

E (x) = µ

15


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Por ejemplo (x1, . . . , xn) m.a.s. con E (xi ) = µ yVar (xi ) = σ2

T (x1, . . . , xn) = s2x =1

n(xi − x)2

no es un estimador centrado de σ2 porque

E(s2x)

=n − 1

nσ2 6= σ2

16


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Propiedades de los estimadores

Llamaremos e�ciencia o precisión de un estimador a lainversa de la varianza

presici on(θ)

=1

Var(θ)

θ2 es más preciso que θ1 si

Var(θ2

)≤ Var

(θ1

)o lo que es lo mismo

presici on(θ2

)≥ presici on

(θ1

)

17


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Una buena medida de los bueno que es un estimador, queademás tiene en cuenta el sesgo y la presisión es el ErrorCuadrático Medio

ECM(θ)

= sesgo(θ)2

+ var(θ)

Diremos que un estimador es consistente si

E(θn

)−→n→∞

θ

Var(θn

)−→n→∞

0

18


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Propiedades de los estimadores de Máxima

Verosimilitud

I Son asintóticamente centrados.

I Tienen distribución asintóticamente normal.

I Tienen asintóticamente mínima varianza.

I Son invariantes: Si θMV es el estimador M.V. de θ, y ges una función cualquiera, entonces g(θMV ) esestimador M.V. de g(θ)

19


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Distribución en el muestreo de una proporción

Observamos la presencia o no de un determinado atributo.Estimamos p como el número de elemento r que hemosobservado con el atributo de una muestra de tamaño n.

p =r

n

X ∼ Bi (n, p)

20


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


P(p =

r

n

)= P (X = r) =

(n

r

)prqn−r

E (p) = E( rn

)=

1

nE (r) =

1

nnp = p

Var (p) = Var( rn

)=

1

n2Var (r) =

1

n2npq =

pq

n

21


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Estimación de los parámetros de una normal

En el caso de normalidad los métodos de los momentos y demáxima verosimilitud arrojan los mismos resultados.

Si una muestra {x1, . . . , xn} permite conjeturar que unavariable aleatoria X se distribuye como una N(µ, σ), losmétodos de los momentos y de máxima verosimilitud tomancomo estimadores de µ y σ, respectivamente:

µ ∼= x y σ2 ∼= s2.

22


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Observaciones:

I Tanto x como s2 son variables aleatorias.

I x ≈ N(µ, σ√n

). Consecuentemente:

I E (x) = µ

I La desviación típica de x disminuye con el tamaño

muestral

I ns2

σ2−→ χ2

n−1

I E (s2) 6= σ2 lo que justi�ca que, con frecuencia, se

utilice s2 como estimador de σ2.

23


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Precisión en la estimación

I Una estimación de un parámetro es un valor aproximadodel mismo, por lo que es necesario acotar el error, paralo que se construyen los intervalos de con�anza.

I Un intervalo de con�anza para un parámetro es unintervalo numérico, en el que se encuentra el valorverdadero del parámetro con un nivel de seguridad(con�anza) conocido.

24


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Intervalos de confianza

Construcción de intervalos de con�anza para la media

de una normal con σ conocida

Sea X ≈ N(µ, σ), con σ conocida, y x la media muestral deuna muestra cualquiera de X de tamaño n.

Como

x ≈ N

(µ,

σ√n

),

resulta que

x − µσ/√n≈ N(0, 1).

25


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Sea zα/2 el valor que en una N(0, 1), Z , veri�ca que:

P(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1− α.

Entonces,

P

(−zα/2 ≤

x − µσ/√n≤ zα/2

)= 1− α.

26


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


De donde:

P

(x − zα/2 ×

σ√n≤ µ ≤ x − zα/2 ×

σ√n

)= 1− α,

y el intervalo(x − zα/2 ×

σ√n, x − zα/2 ×

σ√n

)es un intervalo de con�anza al (1− α)× 100% para µ.

27


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Construcción de intervalos de con�anza para la media

de una normal con σ desconocida

Si σ no es conocida no se puede emplear el hecho de que

x − µσ/√n≈ N(0, 1).

Sin embargo, se puede demostrar que

x − µs/√n≈ tn−1.

28


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


De donde, si tα/2 es el valor que en una tn−1:

P(−tα/2 ≤ tn−1 ≤ tα/2) = 1− α,

operando como en el caso anterior se tiene que:(x − tα/2 ×

s√n, x + tα/2 ×

s√n

)es un intervalo de con�anza al (1− α)× 100% para µ.

29


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Construcción de intervalos de con�anza para una

proporción

Utilizando la misma idea y sabiendo que la proporción seaproxima a una normal, podemos obtener el intervalo decon�anza para una proporción:

p − zα/2

√pq

n≤ p ≤ p + zα/2

√pq

n

30


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Construcción de intervalos de con�anza para la

varianza de proporciones normales

Para construir el intervalo de con�anza de la varianza de unanormal, tenemos en cuenta que:

ns2

σ2=

(n − 1) s2

σ2∼ X 2

n−1

Por lo que buscamos valores a y b que veri�quen

P

(X 2n−1,a ≤

ns2

σ2≤ X 2

n−1,b

)= 1− α

31


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Construcción de intervalos de con�anza para la

varianza de proporciones normales

O lo que es lo mismo

P

(1

X 2n−1,b

≤ σ2

ns2≤ 1

X 2n−1,a

)= 1− α

de donde podemos obtener el intervalo(ns2

X 2n−1,b

,ns2

X 2n−1,a

)

32


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Ejemplo V

Empleando las utilidades del programa Statgraphics genereuna muestra aleatoria de tamaño 100 procedente de unaN(5, 2).

I Emplee esta muestra para analizar el efecto del cambiodel nivel de con�anza sobre la longitud del intervalo.

I Discuta qué relación existe entre la precisión de laestimación y el nivel de con�anza.

Suponiendo normalidad, calcule intervalos de con�anza parala media y la varianza del tamaño de los élitros de los machosy las hembras contenidos en el archivo coleop.

33


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Contrastes de hipótesis

I Realizar un contraste con respecto a un parámetro, λ,consiste en analizar si existe evidencia empíricasu�ciente para admitir que este parámetro puedacumplir alguna condición conocida.

I Contrastes habituales tienen por objeto asegurarse de si

I θ = θ0

I θ > θ0

I θ < θ0

34


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I En general, la realización de un contraste requieredeterminar con precisión:

I Lo que se quiere contrastar, hipótesis nula, representada

por H0.

I Aquello que se aceptaría si se rechaza la hipótesis nula

hipótesis alternativa, representada por H1.

I Un estadístico de distribución conocida, que relacione el

parámetro con los datos muestrales.

I Alguna medida de precisión del contraste.

35


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


El contraste de la t para la media de una normal

Sea X una variable aleatoria N(µ, σ), con σ desconocida.

I Supóngase que se desea realizar el contraste:

H0 : µ = µ0, frente a H1 : µ 6= µ0,

I Elegida una muestra {x1, . . . , xn} se sabe que:

x − µs/√n≈ tn−1

36


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I De donde, si H0 es cierta:

x − µ0s/√n≈ tn−1.

I Por lo tanto, si tα/2 es el valor que en una tn−1:

P(−tα/2 ≤ tn−1 ≤ tα/2) = 1− α.

Es decir:

P

(−tα/2 ≤

x − µ0s/√n≤ tα/2

)= 1− α

37


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


Una vez realizado el cálculo del estadístico

t =x − µ0s/√n,

I Cuando ocurra que

−tα/2 ≤ t ≤ tα/2,

no hay evidencia de la falsedad de H0, por lo que no serechaza dicha hipótesis al (1− α)× 100% de con�anza.

38


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I Si por el contrario

t /∈ (−tα/2, tα/2)

habrá evidencia de que la hipótesis nula es falsa y serechazará al (1− α)× 100% de con�anza.

I Al intervalo (−tα/2, tα/2) se le denomina región deaceptación del contraste, mientras que <− (−tα/2, tα/2)es la región de rechazo.

39


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I Todo contraste se resuelve creando, a través de unestadístico apropiado, estadístico pivote, una zona deaceptación y otra de rechazo.

I Todo contraste lleva asociada una decisión, que puedeser errónea.

I Error de tipo I : Rechazar H0 cuando es cierta.

I Error de tipo II : Aceptar H0 cuando es falsa.

I La metodología habitual construye contrastes en los que

se persigue no cometer error de tipo I .

40


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I Todo contraste lleva asociado un p-valor, que es unamedida de la �abilidad de la decisión tomada.

I Si el estadístico pivote, d , es una medida dediscrepancia entre la hipótesis nula y la muestraobservada, se de�ne el p-valor del contraste como

P(d > d |H0),

siendo d el valor del estadístico pivote en la muestra.

41


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste


I Valores altos de p sugieren con�anza en la decisión deaceptación de la hipótesis.

I Valores bajos de p sugieren con�anza en la decisión derechazo de la hipótetsis.

I Cuando se realiza un contraste al (1− α)× 100%:

I p < α implica rechazar la hipótesis nula.

I p > α supone aceptar la hipótesis nula.

42


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Ejemplo VI

Con la muestra generada en el ejemplo V ,

I Analice el efecto del cambio del nivel de con�anza en larealización del contraste:

H0 : µ = 5, frente a H1 : µ 6= 5.

I Modi�que la hipótesis nula y discuta qué relación existeentre la discrepancia entre la hipótesis nula con lamuestra, y el p-valor obtenido en los distintos contrastes.

Suponiendo normalidad, realice contrastes de hipótesis parala media y la varianza del tamaño de los élitros de los machosy las hembras contenidos en el archivo coleop.

43


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Contrastes de ajuste

I En ocasiones la hipótesis que se desea contrastar sere�ere a si una muestra con�rma el comportamiento deuna variable, según un modelo de probabilidaddeterminado:Normal, Poisson, exponencial, . . .

I De estos contrastes (de ajuste), el más común es el testde la Chi cuadrado, que analiza la concordancia entre elhistograma de los datos y la función de densidad (o deprobabilidad) del modelo.

44


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

El test de la Chi cuadrado I

El test de la chi cuadradocontrasta la hipótesis de quela variable sigue un modelo deprobabilidad concreto.

El estadístico empleado es unamedida de la discrepanciaentre los datos, el histograma,y el modelo, su función dedensidad.

-2 1 4 7 10 130

10

20

30

40

45


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

El test de la Chi cuadrado II

I Cuando la hipótesis nula es cierta, la variable sigue elmodelo previsto, el estadístico:

d =k∑

i=1

(Oi − Ei )2

Ei−→ χ2

k−r−1,

donde:

I k es el número de clases en que se divide a los datos.

I Oi es la frecuencia observada en cada clase.

I Ei es la frecuencia esperada en cada clase.

I r es el número de parámetros estimados con la muestra.

I El análisis del valor de d permite discutir el contraste.

46


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Otros Contrastes

I Contraste de Kolmogorov-Smirnov

Dn = |Fn(x)− F (x)|

Sólo es válido para funciones continuas, pero funcionabien con muestras pequeñas.

I Contraste de Sa�ro-WilksDibuja los datos en papel probabilístico normal. Labondad de ajuste la da lo bien que se aproximan losdatos a la recta.Sólo funciona bien para normalidad, pero lo hace conmuestras muy pequeñas.

47


Loly Redondas


EstimaciónPuntual



Contrastes deAjuste

Ejemplo VII

Con la muestra generada en el ejemplo V ,

I Analice la normalidad de la población a la querepresenta la muestra.

I Estudie la normalidad del tamaño de los élitros de losmachos y las hembras contenidos en el archivo coleop.

I Discuta si la realización de transformaciones mejora losresultados obtenidos.

48