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Una incursión en la obra matemática de Luis Vigil
Francisco Marcellán
Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y Departamento of Matemáticas, UniversidadCarlos III de Madrid
Research Meeting on Approximation Theory, E.I.T.A. 2014En el centenario del nacimiento de D. Luis Vigil y Vázquez (1914-2003)
Alquézar, 17-19 de Octubre de 2014.
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas
5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias
8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas
5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias
8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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Luis Vigil y polinomios ortogonales
Articulos L. Vigil (MathSciNet): 29
Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad.Polinomios ortogonales respecto a medidas soportadas sobre curvasdel plano complejo.
17 art́ıculos sobre estos tópicos.
Primeros articulos1 A functional identity in the theory of orthogonal polynomialsa
2 On formal properties of orthogonal polynomials.1 Summation and recurrence
2 Zeros and Christoffel constantsb
Colaboradores: M. P. Alfaro (9), M. Alfaro (1), J.J. Guadalupe (1).
aRev. Acad. Ciencias Madrid 60, 1966
b Rev. Acad. Ciencias Madrid 63, 1969
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Mis art́ıculos favoritos
1 Orthogonal polynomials on real algebraic curves, Proc XI AnnualConference of Spanish Mathematicians (Murcia 1970). UniversidadComplutense de Madrid 1973.
2 Correspondance entre suites de polynômes orthogonaux et fonctionsde la boule unité de H ∞0 . In Proceedings Bar-le-Duc 1984. Lect.Notes in Math. 1171, Springer-Verlag Berlin 1985. (Con M. Alfaro,M. P. Alfaro, J. J. Guadalupe).
3 Solution of a problem of P. Turán on zeros of orthogonal polynomials
on the unit circle, J. Approx. Theory 53(1988) (Reviewer: W. VanAssche)
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas
5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias
8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil (1970)
1 Matriz de momentos como matriz estructurada.
2 Problema de momentos como un problema inverso (determinar lamedida y su curva soporte).
3 Propiedades estructurales de polinomios ortogonales (fórmulas derecurrencia y sumación).
4 Problema inverso.
5 Localización de ceros de polinomios ortogonales.
6 Extensión t́ıpica: Interpolación y cuadratura.
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Polinomios ortogonales sobre curvas algebraicas
γ = {z ∈ C :
0≤k,j≤N ak,jz
k
z̄ j
= 0}
= {z ∈ C : D(z, z̄) = 0},
donde
D(z, w) =
0≤k,j≤N
ak,jzkw j.
Sea µ una medida de probabilidad soportada en γ
0≤k,j≤N
ak,jck+l,j+i = 0,
donde
cl,i =
γ
zlz̄idµ
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La matriz de Gram respecto a la base canónica {zn}n∈N se denominamatriz D-estructurada o matriz relativa a la curva γ .
Ejemplo
D =
1 00 −1
Circunferencia unidad.
D =0 −1
1 0
Recta real.
D =
0 1 0−1 0 −1
0 1 0
Uni´ on de circunferencia unidad y recta real.
D =
0 0 10 0 0
1 0 −1
Lemniscata de Bernoulli.
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Sea a(z) = aN zN + aN −1z
N −1 + · · · + a1z + a0, aN = 0.
Curvas algebraicas armónicas Ima(z) = 0. (J. Vinuesa, Diciembre1973)
D = ae∗1 − e1a∗
Curvas equipotenciales polinómicas |a(z)| = 1. (F. Marcellán,
Diciembre 1976).D = aa∗ − e1e
∗1
En todos los casos anteriores, RankD = 2 !!
Curvas equipotenciales racionales |a(z)| = |b(z)|. (L. Moral, Mayo
1983).
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definición
Se dice que una sucesi´ on de polinomios ortogonales ( SPO) (P n)n∈Nsatisface una relaci´ on de recurrencia si existe un n´ umero natural h tal que
P n+h(z) =h−1 j=0
αh,j(z)P h+ j(z)
donde los αh,j(z) son polinomios de grado independiente de n y, a lo más h − j.
Problema
¿ Todas las SPO relativas a curvas algebraicas reales poseen fórmulas derecurrencia?
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definición
Una SPO (P n(z))n∈N posee una f´ ormula de sumaci´ on si existe un n´ umero
natural k tal que
K n+k(z, y) =
k−1i=0 Qn+i(y)P n+i(z)
R(z, y)
siendo Qn+i(z), R(z, y) polinomios en una y dos variables,respectivamente, y K n(x, y) es el n-n´ ucleo reproductor.
Problema
¿Todos las SPO relativas a curvas algebraicas poseen fórmulas de
sumación?
Interpretación matricial de las formulas de sumación: Inversión de matricesD-estructuradas cuya inversa es D-Bézoutiana (G. Heinig 1991)
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias
8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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Curvas algebraicas armónicas
1 Extensión natural de la recta real. El operador de multiplicación por
a(z) es simétrico
=⇒Relación de recurrencia.Fórmula de sumaciónEquivalencia entre ambas.
2 a(z)P n(z) =
N i+1 A(i)n−iP n−i(z) +
N i=0 A
(i)n P n+i(z) con A
(0)n ∈ R
3 α-matriz de Jacobi de orden N i.e. matriz hermitiana (2N+1) banda.
4 K n(z,y) =N
i=1
nl=n−i+1 A
(i)lP̂ l(y) P̂ l+i(z)−A
(i)l
P̂ l(z) P̂ l+i(y)
a(z)−a(y) .
Ejemplo
Hipérbolas equiĺateras.
Recta del plano complejo.
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias
8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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Curvas equipotenciales polinómicas
1 Extensión natural de la circunferencia unidad. El operador demultiplicación por a(z) es unitario.
=⇒Relación de recurrencia.Fórmula de sumaciónEquivalencia entre ambas.
2 a(z)P n(z) = aN P n+N (z) +N
k=1 λn,kK n−1(z, αk), donde
a(z) = aN N j=1(z − α j)
3 Matriz de Hessenberg de orden N .4 fórmula de sumación
K n(z,y) =a(z )a(y)
nj=n−N +1 P̂ j(y)
P̂ j(z )−
M (n)k,kK n(z, αk)K n(y, αk)
a(z )a(y)− 1
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O li
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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C i i l i l | ( )| |b( )|
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Curvas equipotenciales racionales |a(z )| = |b(z )|
Idea clave:Perturbación de medidas
P n(z) −→ dµ
Qn(z; s) −→ |s(z)|2dµ
con deg s(z) = h y s(z) = shh j=1(z − α j).
Proposición (Extensión de la fórmula de Christoffel)
s(z)Qn(z; s) = shP n+h(z) +h
j=1
λn,jK n+h−1(z, α j)
considerar s(z) = a(z)
s(z) = b(z)con Qn(z; a) = Qn(z; b)
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O li
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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E t i d d t l b
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Extensiones de productos escalares sobre curvas.
definición
Dada una matriz HDP mn−1 = [c p,q]n−1 p,q=0 a toda matriz HDP mn
obtenida orlando la matriz mn−1 con fila y columna n-ésimas se llama
extensi´ on de mn−1.
definición
Si mn−1 es una matriz relativa a γ y mn es una extensi´ on también relativa
a γ
se dice que m
n es una γ
-extensi´ on de m
n−1.
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definición
Dada una n-upla {α1, α2 . . . , αn} con αi = αk y { p1, p2 . . . , pn} reales positivos, se llama t́ıpico el producto escalar definido en Pn mediante
zh, zk
=
n j=1
p jαh j α
k j (h, k) = (n, n)
zn, zn = en +n
j=1
p jαn j α
n j
Proposición
1 P n(z) =
nk=1(z − αk).
2 Las ráıces de P k(z) (1 ≤ k ≤ n − 1) se encuentran en elinterior de la envoltura convexa de {α1, α2 . . . , αn}.
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3 Dado un producto escalar en Pn−1 mediante una matriz deGram HDP y dados n números complejos distintos
{α1, α2 . . . , αn} y un en > 0, la condición necesaria ysuficiente para que P n(z) =
nk=1(z − αk) sea el nésimo
polinomio ortogonal de grado n en una extensión t́ıpica dePn−1 a Pn es que los polinomios de la base de Lagrangeasociada a {α
1, α
2. . . , αn} constituyan un sistema ortogonal
en Pn−1.
4 Dado un producto escalar en Pn−1, a cada α ∈ C conP n−1(α) = 0 y cada en > 0 le corresponde una extensiónt́ıpica
P n(z; α) = (z − α) K n−1(z; α)P n−1(α)
.
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Teorema (J. Vinuesa ,1984)
mn = [c p,q]n p,q=0 , n ≥ 2N − 1, es una extensi´ on γ -t́ıpica de su submatriz
principal de orden n − 1 si y solo si las ráıces de dicha extensi´ onpertenecen a la curva γ
⇓F´ ormulas de cuadratura en la recta real y la circunferencia unidad.
Generalización al caso de ceros múltiples. Su conexión con discretizacionesde productos de Sobolev. (A. Cachafeiro, F. Marcellán, 1990)
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4 Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias8 Conexión con PO matriciales
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Problemas inversos y recurrencias
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Problemas inversos y recurrencias
Si una familia de polinomios satisface una relación de recurrencia, ¿Existeun producto escalar respecto al que estos polinomios son ortogonales.?
¿Qué se puede decir de las medidas de ortogonalidad y de su soporte?
Favard: xpn(x) = an+1 pn+1(x) + bn pn(x) + an pn−1(x), n ≥ 1, bn ∈ R,an > 0 existe una medida de probabilidad no trivial µ soportada en larecta real tal que
R
pn(x) pm(x)dµ = δ n,m.
P. L. Duren (1965): Sea γ una curva anaĺıtica de Jordan en el planocomplejo y w una función continua y positiva en γ . Sea (P n(z))n∈N unasucesión de polinomios ortonormales sobre la curva respecto al peso w i.e. γ
P n(z)P m(z)w(z)|dz| = δ n,m satisfaciendo una relación de recurrencia
αnP n−1(z) + (β n − z)P n(z) + γ nP n+1(z) = 0
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P n(z) = knzn+términos de grado menor, kn > 0.
Entonces γ es una elipse y las sucesiones {αn}n∈N, {β n}n∈N y {γ n}n∈N,están acotadas
Ingrediente básico: G. Szegő
ĺımn→∞
P n+1(z)P n(z)
= ψ(z), z en el exterior de γ,
donde ψ(z) es la aplicación conforme del exterior de γ en el exterior deldisco unidad.
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A J Durán (1993)
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A. J. Duran (1993)
Determinación de un producto escalar tal que la sucesion de polinomiosortonormales satisfaga una relación de recurrencia
xN pn(x) = cn,0 pn(x) +N l=1
[cn,l pn−l(x) + cn+l,l pn+l(x)] con cn,N = 0.
Proposición
Existen funciones µ0 y µm,m , 1 ≤ m, m ≤ N − 1, con µm,m = µm,m talque los polinomios ( pn(x))n∈N son ortogonales respecto a la forma bilineal
B(f, g) =
f (t)g(t)dµ0 +
V n(f )dM V n(g)
T
donde
dM =
dµ0,0 . . . dµ0,N −1...
...dµN −1,0 . . . dµN −1,N −1
,
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V (f ) (T T (f ) T (f ))
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V N (f ) = (T 0,N , T 1,N (f ), . . . T N −1,N (f ))
donde para f (x) =
i aixi,
T m,N (f )(x) =i
aiN +mxiN +m.
Proposición
Son equivalentes los siguientes enunciados
1 El operador xN es simétrico respecto a B y además B(xN f,xg) = B(xf,xN g).
2 Existe una funci´ on µ y una matriz M ∈ R(N −1)×(N −1) tales que
B(f, g) =
fgdµ +
f (1)(0) · · · f (N −1)(0)
M
g(1)
(0)...
g(N −1)(0)
.
Si, además B(xk, xm) = B(1, xk+m) 1 ≤ k, m ≤ N − 1, e nt o nc es M es diagonal.F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid) Luis Vigil y Polinomios ortogonales October 18, 2014 28 / 39
Sea h(x) un polinomio de grado N Considérese la base de P
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Sea h(x) un polinomio de grado N . Considerese la base de PBh = {x
khn(x); k = 0, 1, . . . , N − 1, n ∈ N}. Si p ∈ P
p(x) =
N −1m=0
k≥0
am,kxmhk(x).
(Tesis de L. Vigil ”Sobre series de Jacobi”1950)
TeoremaSon equivalentes los siguientes enunciados 1 B(hf,g) = B(f,hg) para todo polinomio f, g.
2 Existen funciones µ0 y µm,m , 1 ≤ m, m ≤ N − 1, con
µm,m = µm,m tales que
B(f, g) =
fgdµ0 +
1≤m≤m≤N −1
T m,h(f )(x)T m,h(g)(x)dµm,m .
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Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7 Problemas inversos y recurrencias8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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Sea Rn,h( p)(x) =
k≥0 an,kx
k. Dado que p(x) =
N −1n=0 x
nRn,h( p)[h(x)]definamos
S n(x) =
R0,h( pnN ) R1,h( pnN ) · · · RN −1,h( pnN )R0,h( pnN +1) R1,h( pnN +1) · · · RN −1,h( pnN +1)
......
...R0,h( pnN +N −1) R1,h( pnN +N −1) · · · RN −1,h( pnN +N −1)
,
S n[h(x)]
1x...
xN −1
=
P nN (x)P nN +1(x)
...P nN +N −1(x)
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Curvas algebraicas armónicas: {S n(x)}n∈N define una sucesión de
polinomios ortogonales matriciales sobre la recta real (F. Marcellán, G.Sansigre, 1993).
Curvas equipotenciales polinómicas: {S n(x)}n∈N define una sucesiónde polinomios ortogonales matriciales sobre la circunferencia unidad (F.
Marcellán, I. Rodŕıguez, 1989).
Polinomios ortogonales tipo Sobolev: {S n(x)}n∈N define una sucesiónde polinomios ortogonales matriciales sobre la recta real perturbando lamedida con una masa matricial (A. J. Durán, W. Van Assche, 1995).
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1 Luis Vigil y polinomios ortogonales
2 Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas
3 Curvas algebraicas armónicas
4
Curvas equipotenciales polinómicas5 Curvas equipotenciales racionales
6 Extensiones de productos escalares sobre curvas.
7
Problemas inversos y recurrencias8 Conexión con PO matriciales
9 Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad
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Medida de → Matriz de →Coeficientes
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probabilidadno trivial ←
momentos(Toeplitz) ←
Coeficientesde Schur
Función de Caratheódory
F (z) = 1 + 2∞
n=1
c−nzn
→
←
Función de Schur
(1+F (z))(1+f (z)) = 2
Fórmulas de recurrencia para SPOM sobre la circunferencia unidad.
φn+1(z) = zφn(z) + φn+1(0)φ∗n(z)
φn+1
(z) = (1− |
φn
(0)|
2)zφn
(z) + φn+1
(0)φ∗n+1
(z)
Teorema de Favard. Dada (αn)n∈N con |αn|
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Ωn(z) =
2π0
eiθ + z
eiθ − z
φn(e
iθ) − φn(z)
dµ(eiθ)
Caracterización de la SPOM sobre la circunferencia unidadOPUC F.Peherstorfer, R. Steinbauer, 1995
φn(z)F (z) + Ωn(z) = O(zn)
φ∗n(z)F (z) − Ω∗n(z) = O(z
n+1)
1. F es anaĺıtica en D con ReF (z) > 0 en D.
2. f es anaĺıtica en D con f (0) = 0 y |f (z)|
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(Vigil, 1985)
1 Sea f ∈ B(H ∞0 ). (φn(0))n∈N ∈ l2 si y solo si ln(1 − |f |) ∈ L1(µ).
2 µ es singular si y solo si f es una función interior i.e. |f (eiθ)| = 1 a.e.
3 µ es absolutamente continua si y solo si
Re
π−π
f (eiθ)
1 + f (eiθ)dθ = 0.
4 µ({eiθ0}) > 0 si y solo si ĺımr→1(1 − r)1−|f (reiθ0)|2
|1+f (reiθ0)|2 > 0. Además
µ({eiθ0}) = 2π ĺımr→1
1 − r
1 + f (reiθ)
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Ceros
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φn(α) = 0 =⇒ |α|
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Thron, 1989)
Dado |τ n+1| = 1 se define
ψn+1(z; τ n+1) = zφn(z) + τ n+1φ∗n(z)
1
ψn+1(z; τ n+1), z
k
= 0 para 1 ≤ k ≤ n.
2
Si ψn+1(α; τ n+1) = 0 entonces |α| = 1. Los ceros de ψn+1(z; τ n+1)son unitarios y simples y se entrelazan con los ceros de ψn(z; τ n).3 π
−πf (eiθ)dµ(θ) =
nk=1
f (zn,k; τ n)Λn,k
para toda f ∈ Λ−n,n (Extensión t́ıpica en la circunferencia unidad).4
nk=1
Λn,kδ (z − zn,k) ∗→ dµ.
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GRACIAS POR VUESTRA ATENCI ´ ON
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