Robot Industrial
Elavorado Por:M.C. Rafael Armando Galaz Bustamante
Instituto Tecnológico de Hermosillo
Morfología del Robot
Morfología del Robot
Morfología del Robot
Morfología del Robot
Robots planares redundantes
Transmisiones y Reductores
Entrada-Salida Denominación Ventajas Inconvenientes
Engranaje Pares altos Holgura
Correas dentada Distancias grandes
Circular - Circular Cadena Distancias grandes Ruido
Paralelo grama Giro limitado
Cable Deformable
Circular - Lineal Tornillo sin fin Poco Holgura Rozamiento
Cremallera Holgura media Rozamiento
Lineal - Circular Paral. articulado
Cremallera Holgura media Rozamiento
Actuadores•Actuadores Neumáticos
• Cilindros Neumáticos• Motores Neumáticos
•Actuadores Hidráulicos•Actuadores Eléctricos
• Motores de corriente continua (DC)• Controlados por inducido• Controlados por excitación
• Motores de corriente alterna (AC)• Síncronos• Asíncronos
• Motores de paso a paso
Sensores internos de un robotInductivo
Capacitivo
Efecto hall
Presencia < Célula reed
Óptica
Ultrasónica
Contacto
Potenciómetro
Resolver
Analógico < Sincro
Inductosyn
Posición < LVDT
Encoders absolutos
Digital < Encoders incrementables
Regla Óptica
Velocidad Tacogenerador
Encodre Incremental
Encodre absoluto
Sensores Resolver
Sistema lineal de posiciónLVDT
Herramientas Matemáticas
•Sistemas Cartesianos de referencia
Herramientas Matemáticas
•Coordenadas Polares y Cilíndricas
Herramientas Matemáticas
•Coordenadas esféricas
Matrices de Rotación
•Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema OXY son ix, jy , mientras que los del sistema OUV son iu, jv.
•Un vector p del plamo se puede r`presentar en ambos sistemas como:
Matrices de Rotación•Realizando una serie de tranformaciones tenemos:
px
py=R
pu
pv
Donde:
ixiu ixjv
R=
jyiu jyjv
cos -sin
R=
sin cos
Matrices de RotaciónEn un espacio tridimensional
•Realizando una serie de tranformaciones tenemos:
px
py
pz
=R
pu
pv
pw
Donde:
ixiu ixjv ixkw
R=jyiu jyjv jykw
kziu kzjv kzkw
Puvw=[pu,pv,pw]T=pu.iu+pv.jv+pw.kw
Pxyz=[px,py,pz]T=px.ix+py.jy+pz.kz
Rotación en el eje OX
1 0 0R(x,a) = 0 cos -sen
0 sen cos
Rotación en el eje OY
cos f 0 sen fR(y,f) = 0 1 0
-sen f 0 cos f
Rotación en el eje OZ
cos q -sen q 0R(z,q) = sen q cos q 0
0 0 1
Composición de rotaciones
cq -sq 0T=R(z,q) R(y,f) R(x,a) = sq cq 0
0 0 1
cf 0 sf
0 1 0
-sf 0 cf
1 0 0
0 c -s
0 s c
La Matriz de Transformación HomogéneaEs una matriz T de 4 x 4 que representa la transformación de un vector de un sistema de coordenadas a otro.
Esta matriz esta compuesta por 4 submatrices:
R3x3 SubMatriz de Rotación
P3x1 SubMatriz de Translación
F1x3 SubMatriz de Perspectiva
E1x1 SubMatriz de Escalado Global
R3x3 P3x1
T =
F1x3 F1x1
En robótica, generalmente se considera la submatriz de perspectiva como nula y la submatriz de escalado global como uno.Un vector Homogéneo siempre tendrá 4 dimensiones.
La Matriz de Transformación HomogéneaLa matriz de transformación Homogénea sirve para :
a) Conocer las coordenadas rx, ry, rz del vector r en el sistema O´XYZ a partir de sus coordenadas ru, rv, rw en el sistema O´UVW.
rx ru
ry = T rv
rz rw
1 1
b) Expresar las rotaciones y traslaciones de un vector con respecto a un sistema fijo O´XYZ.
r’x rx
r’y = T ry
r’z rz
1 1
La Matriz de Transformación Homogénea Translación
1 0 0 Px
0 1 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
T(P)=Formula general
1 0 0 Px
0 1 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
rx
ry
rz
1
=
ru
rv
rw
1
=
ru + Px
rv + Py
rw + Pz
1
a)
1 0 0 Px
0 1 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
r’x
r’y
r’z
1
=
rx
ry
rz
1
=
rx + Px
ry + Py
rz + Pz
1
b)
La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Ejemplo 1:Según las figura O’UVW esta trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcule la coordenadas (rx,ry,rz) del vector r cuya coordenadas con respecto al sistema O’UVW son ruvw(-2,7,3)
La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Aplicando la ecuación (a)
1 0 0 6
0 1 0 -3
0 0 1 8
0 0 0 1
rx
ry
rz
1
=
-2
7
3
1
=
6 + -2
-3 + 7
8 + 3
1
4
4
11
1
=
La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Ejemplo 2: Calcule el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)
La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Aplicando la ecuación (b)
1 0 0 6
0 1 0 -3
0 0 1 8
0 0 0 1
r’x
r’y
r’z
1
=
4
4
11
1
=
6 + 4
-3 + 4
8 + 11
1
10
1
19
1
=
Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación
1 0 0 0
0 cos -sin 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
T(x, )= Rotación en X
cos 0 sin 0
0 1 0 0
-sin 0 cos 0
0 0 0 1
T(y, )= Rotación en Y
cosθ -sinθ 0 0
sinθ cosθ 0 00 0 1 0
0 0 0 1
T(z, θ)= Rotación en Z
Ejemplo 3:Según la figura , el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas del vector rxyz si ruvw[4,8,12]T
La Matriz de Transformación Homogénea Rotación
Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación seguida de translación
1 0 0 Px
0 cos -sin Py
0 sin cos Pz
0 0 0 1
T(p)R( )=
cos 0 sin Px
0 1 0 Py
-sin 0 cos Pz
0 0 0 1
T(p)R( )=
cosθ -sinθ 0 Px
sinθ cosθ 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
T(p)R( θ)=
Matriz de Transformación Homogénea de la translación seguida de Rotación
1 0 0 Px
0 cos -sin Pycos- PZsen
0 sin cos Pysen+ PZcos
0 0 0 1
R( ) T(p)=
cos 0 sin Pxcos+Pzsen
0 1 0 Py
-sin 0 cos Pzcos-Pxsen
0 0 0 1
R( ) T(p)=
cosθ -sinθ 0 Pxcosθ-Pysinθ
sinθ cosθ 0 Pxsenθ+Pycosθ0 0 1 Pz
0 0 0 1
R( θ) T(p)=
Ejemplo 4:Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3.4,-11)
La Matriz de Transformación Homogénea
Ejemplo 5:Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcule las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3.4,-11)
La Matriz de Transformación Homogénea
Ejemplo 6:Se quiere obtener la matriz de tranformación que represente al sistema O’UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre OZ
La Matriz de Transformación Homogénea
0 -1 0 0
T=T(z,90o) T(p) T(x,-90º) = 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 5
0 1 0 5
0 0 1 10
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
0 0 -1 -5
= 1 0 0 5
0 -1 0 10
0 0 0 1
Ejemplo 7:Obtener la matriz de transformación que represente las siguientes transformaciones sobre un sistema OXTZ fija de referencia: traslación de un vector pxyz(-3,10,10); giro -90º sobre el eje O’U del sistema trasladado y girado 90º sobre el eje O’V del sistema girado.
La Matriz de Transformación Homogénea
1 0 0 -3
T=T(p) T(u,-90o) T(v,90º) = 0 1 0 10
0 0 1 10
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 -3
= -1 0 0 10
0 -1 0 10
0 0 0 1
Composición de Matrices Homogéneas
De manera general:
1. Si el sistema O´UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo O´XYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá PREMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas.
2. Si el sistema O´UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá POSMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas.
Por ejemplo, la transformación:
T T(x,) T(z, ) T( y,) Se Premultiplica
Es igual a decir:
T T(u,) T(w, ) T(v,) Se Posmultiplica
Tareas1. Demostrar que las operaciones de transformaciones no
son conmutativas, para ello encuentre las matrices de transformación de :
T ((x, ) , p) T (p , (x, ))
T ((y, ) , p)T ((z, θ) , p)
T (p , (y, ))T (p , (z, θ))2. Si tenemos que la matriz de transformación homogénea
T es igual a:nX ox ax Px
ny oy ay Py
nz oz az Pz
0 0 0 1
T=
Tarea (Conti..)Y si sabemos que n o a es una matriz hortonormal con la
propiedad de:
n o a -1 n o a T
Demostrar que la inversa de la matriz de transformación homogénea T corresponde a la siguiente expresión:
nX ny nz -nTPxyz
ox oy oz -oTPxyz
ax ay az -aTPxyz
0 0 0 1
T-1=
Con lo anterior podemos tener que si:
rxyz= T ruvw
ruvw= T-1 rxyz
Entonces:
Cinemática del robot
Cinemática directaCinemática InversaMatriz Jacobiana
El problema cinemática de un robot
Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia • Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo• Relaciones localización del extremo del robot-valores articulares
Problema cinemática directo: Determinar la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot
Problema cinemática inverso: Determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas
Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot
Relación entre cinemática directa e inversa
Resolución del problema cinemática directo conmatrices de transformación homogéneas
• Objetivo:Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacione posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de referencia fijo situado en su base
x=fx(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
y=fy(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
z=fz(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
a=fa(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
b=fb(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
g=fg(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
Modelo cinemático directo de unrobot planar de 2 gdl
x = I1COSq1+I2COS(q1+q2)
y = I1SENq1+I2SEN(q1+q2)
Las matrices de transformaciónA y T
• Matriz i-1Ai : matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot
• Conexión de matrices A:0A2=0A1 1A2
• Matriz T : matriz 0An cuando se consideran todos los grados de libertad del robot
T=0A6=0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6
Convenio de conexión de elementoscontiguos de Denavit-Hartenberg
Transformaciones básicas de paso de eslabón:
1. Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo qi
2. Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di ; vector di (0,0,di)
3. Traslación a lo largo de xi una distancia ai ; vector ai (ai,0,0)
4. Rotación alrededor del eje xi un ángulo ai
• Dado que el producto de matrises no es conmutativo, la transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:
i-1Ai=T(zi,qi) T(0,0,di) T(ai,0,0) T(xi,ai)
Parámetros deDenavit-Hartenberg (I)
• Definen el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente
• Sólo dependen de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente (no dependen de la posición del robot)
• Definen las matrices A que permiten el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente y por tanto definen las matrices T
• Son 4:– Dos ángulos (qi, ai)
– Dos distancias (di, ai)
Parámetros deDenavit-Hartenberg (II)
• qi: Es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un plano perpendicular al eje zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias
• di: Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.
• ai: Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el casode articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes
zi-1 y zi.
• ai: Es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en un plano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la mano derecha.
Parámetros de Denavit-Hartenbergpara un eslabón giratorio
Obtención del modelocinemático directo de un robot
1. Establecer para cada elemento del robot un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (xi,yi,zi) donde i=1,2,…,n (n=número de gdl). Cada sistema de coordenadas corresponderá a la articulación i+1 y estará fijo en el elemento i
2. Encontrar los parámetros D-H de cada una de las articulaciones
3. Calcular las matrices Ai
4. Calcular la matriz Tn = 0A1 1A2 ... n-1An
Algoritmo de Denavit-Hartenberg• D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón
móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.
• D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n
• D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.
• D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.
• D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0
Algoritmo de Denavit-Hartenberg• D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón
i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1
• D-H 7.- Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi
• D-H 8.- Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi • D-H 9.- Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn .
• D-H 10.- Obtener qi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos.
• D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.
Algoritmo de Denavit-Hartenberg• DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que
ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.
• DH 13.- Obtener ai como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
• DH 14.- Obtener las matrices de transformación i-1Ai
• DH 15.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An.
• DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares
Robot cilíndrico
Robot cilíndrico
Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico
Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico
C1 -S1 0 0
S1C1
0 0
0 0 1 l1
0 0 0 1
0A1=
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 d2
0 0 0 1
1A2=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
2A3=
C4 -S4 0 0
S4C4
0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3A4=
-S1C4 S1S4 C1 C1(d3+l4)
C1C4 -C1S4 S1S1(d3+l4)
S4C4 0 d2+l1
0 0 0 1
T= 0A1 1A2
2A3 3A4 =
Robot ABB IRB 6400C (I)
Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)
Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)
Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)
Cinemática Inversa Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las
coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial
La resolución no es sistemática Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples) No siempre existe solución en forma cerrada.
– Condiciones suficientes para que exista:Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en
un punto (robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre
sí (robot Elbow)
Posibilidades de solución delproblema cinemático inverso
Procedimiento genérico a partir de los parámetros D-H Método iterativoProblemas de velocidad y convergencia
Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x,y,z,a,b,g); k = 1,…,nPosibilidad de resolución en tiempo realPosibilidad de selección de la solución más adecuadaPosibilidad de simplificacionesNo siempre es posible
Métodos de solución delproblema cinemático inverso
Métodos geométricos– Se suele utilizar para las primeras variables articulares– Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos)
Resolución a partir de las matrices de transformación Homogénea– Despejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.
Desacoplamiento cinemático– En robots de 6 GDL– Separación de orientación y posicionamiento
Otros: álgebra de tornillo, cuaterniones duales, métodos iterativos...
Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos
Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos
Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea
Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea
nx ox ax px
ny oy ay py
nz oz az pz
0 0 0 1
-1nx ny nz -nT p
ox oy oz -oT p
ax ay az -aT p
0 0 0 1
=
Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea
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