Cours 1: Introduction 1
Cours 1. Introduction
Cours 1: Introduction 2
Plan d’aujourd’hui
— Introduction, fonctionnement du cours, resources, matiere.
— La physique en grande lignes.
— Calcul des variations : les equations de Euler-Lagrange.
Cours 1: Introduction 3
Fonctionnement du cours
— Je presenterai huit cours de trois heurs.
— Vous pouvez me couper a n’import quel instant ; lever la
main.
— Vous pouvez m’envoyer un mail avec des questions :
— Vous pouvez trouver les diaporamas sur mon site web :
http://stockage.univ-brest.fr/~scott/ et aussi les
autres documents.
— Livres principales :
Les livres de mathematiques Logan (1977); Rund (1966);
Courant and Hilbert (1989); Arnold (1976) (au niveaux de
deuxieme cycle).
Les livres de physique au niveau de premier cycle Goldstein
Cours 1: Introduction 4
(1964) et deuxieme cycle :Basdevant (2010);
Neuenschwander (2011); Hobson et al. (2010).
— Autres resources
(i) Variational Calculus and Optimal Control (Troutman,
1996) : Chapter 6 : The Euler-Lagrange Equations et
Chapter 8 : Variational Principles in Mechanics ; Methods of
Mathematical Physics Volume I, (Courant and Hilbert ,
1989), The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of
variations (Rund , 1966).
(ii) Invariant Variational Principles (Logan, 1977) ; Emmy
Noether’s Wonderful Theorem (Neuenschwander , 2011).
(iii) A Relativist’s Toolkit : The mathematics of black-hole
mechanics (Poisson, 2004) : Chapter 4 : Lagranian and
Hamiltonian formulations of general relativity.
(iv) Le principe de moindre action et les principles
variationnels en physique (Basdevant , 2010).
Cours 1: Introduction 5
(v) Histoire du principe de moindre action (Martin-Robine,
2006).
Cours 1: Introduction 6
Matiere du cours
Pour reference plus tard, voici la matiere nous allons etudier :
— Le calcul des variations : condition necessaire pour qu’une
fonctionnelle soit minimum, equations d’Euler-Lagrange.
— Le theoreme de Noether, les lois de conservation.
— Un systeme de particules ponctuelles en mecanique classique
(dans l’espace euclidien), la deuxieme lois de Newton, lois de
conservation, les systemes conservatifs, le principe de
Hamilton.
— Le calcul des variations : les fonctionnelles d’integrales de
plusieurs variables, condition necessaire pour que ces
fonctionnelles soit minimum.
— Les equations de Maxwell,
— Les transformations de Legendre et les equations
Cours 1: Introduction 7
d’Hamilton, theorie de Hamilton-Jacobie,
— La geometrie differentielle (juste celle necessaire pour
generaliser les resultats aux formulations lagrangiennes et
hamiltoniennes des theories de champ dans un espace-temps
courbe)
— La relativite generale avec les trous noirs.
— L’equation d’une particule quantique relativiste (l’equation
de Klein-Gordon). (Optionnelle.)
La physique en grande lignes 8
Motivation
Pourquoi la matiere de ce cours est importante ?
— Nous utiliserons les exemples de la physique fondamentale
pour faire les notions mathematiques plus concretes et plus
faciles a apprendre. V.I. Arnold a dit :
« La mecanique classique utilise un arsenal tres riche
de methodes mathematiques et de notions : equations
differentielles, flots, applications et varietes
differentiables, groupes et algebres de Lie, geometrie
symplectique et theorie ergodique. Nombre de
theories mathematiques modernes doivent leur
existence a des problemes de mecanique et ce n’est
que par la suite qu’elles ont acquis cette forme
axiomatique et abstraite qui complique tant leur
La physique en grande lignes 9
etude. »(Arnold , 1976)
— On apprend le calcul des variations, les transformations de
Legendre, le methode de Hamilton-Jacobi pour les equations
differentielles, groupes de Lie, le theoreme de Noether, la
geometrie differentielle necessaire.
— On obtien un apercu, une vue d’ensemble sur la physique
theorique, qui est passionante et aussi une source de
nouvelles mathematiques.
— Les mathematiques sont a la base des sciences. J’ai vu
plusieurs fois que les mathematiciens peuvent apprendre
physique plus vite que les physiciens.
La physique en grande lignes 10
Physique fondamentale classique
— La physique fondamentale classique compris tout la physique
fondamentale qui n’est pas la physique quantique. Il s’agit
de la mecanique classique (et statistique, et
themodynamique) et l’electromagnetisme.
— La mecanique classique a pour objet l’etude du mouvement
d’un systeme de point materiels [les « particules
ponctuelles »]. Elle a a la base les trois lois fondamentales de
Newton et les lois d’interaction qui donnent les forces.
— L’electromagnetisme classique a pour objet l’etude des
phenomenes de l’electricite et magnetisme dont les equations
de Maxwell decrivent tous les phenomenes.
— La mecanique classique et l’electromagnetisme decrivent la
plus part des phenomenes autour de nous dans la vie
La physique en grande lignes 11
quotidienne.
— La physique classique est decrit par des theories
deterministiques ; si l’on sa le systeme de depart, on peut en
principe determiner tout l’avenir du systeme.
La physique en grande lignes 12
Physique fondamentale classique : le
cadre moderne
— La physique Newtonien se deroule dans l’espace euclidien de
dimension 3 avec le temps absolu.
— La physique classique etait la seule physique connue
jusqu’au debut du XXeme siecle. Pendant le XXeme siecle
on a decourvert :
— deux nouvelles interactions [interaction forte nucleaire et
interaction faible nucleaire],
— la relativite restreinte, une generalisation de la geometrie
de l’espace euclidien et du temps de Newton a
l’espace-temps de Minkowski, une sorte d’union de
l’espace euclidien et le temps.
— la relativite generale dans laquelle l’interaction
La physique en grande lignes 13
gravitationnelle est compris en rendant compte que
l’espace-temps est courbe,
— la physique quantique, une sorte de generalisation de la
mecanique classique.
— Nous n’aborderons pas la physique quantique. Nous bornons
ce cours a la physique fondamentale classique dans
l’espace-temps plat et courbe. Il s’agit de la physique
classique non-relativiste, la relativite restreinte et la
relativite generale.
La physique en grande lignes 14
Physique fondamentale classique :
l’unification
— L’histoire de la physique fondamentale est une histoire de
l’unification.
— Les phenomenes du magnetisme et de l’electricite sont unis
dans les lois de l’electromagnetisme de Maxwell.
— La thermodynamique est devenue les resultats de la physique
statistique et ce derniere, au niveau le plus fondamental,
n’est que la mecanique classique et les lois de la probabilite.
— Le but de ce cours est de montrer l’unite de toute la
physique classique au niveau conceptuel. Toute la physique
fondamentale classique decoule d’un principe variationnel, le
principe de Hamilton.
Calcul des variations 15
Le calcul des variations
Calcul des variations 16
Le calcul des variations est ne
— Le calcul des variations s’occupe du probleme de trouver un
extrema des fonctionnelles.
— Les fonctionnelles sonts des applications qui associent un
nombre reel a chaque fonction dans une classe donnee.
L’ensemble des fonctions dans la classe donne s’appelle les
fonctions admissibles.
— Soit A un ensemble des fonctions φ1, φ2, . . .. Puis une
fonctionnelle J sur A est l’application J : A→ R1 qui
associe a chaque φi ∈ A un nombre J(φi) ∈ R1.
— Historiquement, et notamment dans la physique
fondamentale, les fonctionnelles sont des integrales de
Riemann simple ou en plusieurs variables. Par exemple on a
Calcul des variations 17
souvent la fonctionnelle J definie par
J(φ) =
∫ b
a
F (x, φ(x), φ(x))dx, φ(x) :=dφ(x)
dx, (1)
pour un intervalle [a, b] ⊂ R1 donne, φ ∈ A, ou A = C2 est la
classe des applications φ : [a, b]→ R1 continues avec deux
derivees continues, sur l’intervalle [a, b] et
F : [a, b]× R2 → R1 est une application continue avec
derivees partielles d’ordre un et deux continues pour tous les
trois variables (t, φ, φ).
— Les fonctions admissibles φ peut etre les fonctions reels ou
les objets geometriques comme les vecteurs ou les tenseurs.
— Le probleme fondamentale du calcul des variations est : pour
une fonctionnelle J et un ensemble des fonctions admissibles
A donnees, trouver φ ∈ A tel que J(φ) soit un extremum
(soit local soit global).
— Nous nous occupons des conditions necessaires pour un
Calcul des variations 18
extremum.
Calcul des variations 19
But : extremum relatif de une
fonctionnelle
— Soit J : A→ R1 une fonctionnelle donnee mais arbitraire sur
un ensemble A des fonctions donnees.
— Nous supposons que A ⊆ N , ou N est un espace lineaire
norme. La norme de φ ∈ N est ‖φ‖, avec proprietes :
1. ‖φ‖ ≥ 0 pour tous φ ∈ N , et ‖φ‖ = 0 si et seulement si
φ = 0 ;
2. ‖αφ‖ = |α| ‖φ‖, pour tous φ ∈ N et α ∈ R1 ;
3. ‖φ1 + φ2‖ ≤ ‖φ1‖+ ‖φ2‖, pour tous φ1, φ2 ∈ N .
(inegalite triangulaire).
— Ansi A herite les proprietes geometriques et topologiques de
N . En particulier, nous pouvons parler de la distance entre
Calcul des variations 20
φ1 et φ2 de A :
d(φ1, φ2) = ‖φ1 − φ2‖. (2)
Et donc la notion de fonctionnelles continues sur A a un
sens.
— Remarque : il n’est pas necessaire que A est un espace
lineaire.
— Notion d’un minimum relatif : un φ1 ∈ A est un minimum
relatif de la fonctionnelle J si il existe un δ > 0
J(φ1) ≤ J(φ2), ∀φ2 ∈ A tel que ‖φ2 − φ1‖ < δ. (3)
— Notation : nous cherchons une condition necessaire pour que
φ soit un minimum relatif :
J(φ(x))→ min φ(x) ∈ A. (4)
Donc nous avons besoin de la notion d’une derivee d’une
fonctionnelle.
Calcul des variations 21
Variations des fonctionnelles : definition
— La premiere variation (Gateaux variation)
(Logan, 1977)L1.1 Definition : Soit Γ une famille de
fonctions de φε ∈ A ⊆ N , avec ‖φε − φ‖ < σ pour |ε| < ε0(δ)
de l’equation
φε = φ(x) + εη(x), (5)
avec φ ∈ A, η ∈ N , et σ, ε0(δ) > 0.
— La premiere variation δJde J (a φ dans la direction de η)
δJ :=dJ(φ(x) + εη(x))
dε
∣∣∣∣ε=0
= limε→0
J(φ(x) + εη(x))− J(φ)
ε(6)
si la limite existe.
Calcul des variations 22
— Il se decoule immediatement de cette definition que
L1.1 theoreme : Si φ ∈ A est un minimum relatif pour la
fonctionnelle J : A→ R1, alors
δJ(φ, η) = 0, (7)
∀η ∈ N .
— On peut se demander si la famille φε de la definition
ci-dessus existe. Pour les problemes qui nous interessent, la
famille φε existe toujours. On fait nous pouvons eliminer η
avec le lemme fondamentale du calcul des variations (lemme
L1.2 ci-dessous).
— Si J(φ) soit minimum, puis −J(φ) soit maximum. Donc, il
est assez general pour nous de chercher les conditions
necessaire pour que J(φ) soit mimimum.
Calcul des variations 23
L’integrale d’Action
— Nous nous interessons maintenant aux fonctionnelles d’une
integrale simple sur un espace des fonctions admissibles.
— Soit C2[a, b] l’espace lineaire des fonctions reelles et
continues avec deux derivees continues sur un intervalle reel
[a, b].
— Soit N = C2n[a, b] l’espace lineaire des fonctions vectorielles φ
avec composantes φi ∈ C2[a, b], pour i = 1, 2, . . . , n.
— De plus, on definit
1.2 Definition : la norme faible
‖φ(x)‖ := maxi,t∈[a,b]
{|φi(x)|}+ c maxi,t∈[a,b]
{|φi(x)|}, i = 1, 2, . . . , n,
(8)
Calcul des variations 24
ou c est un parametre positif avec les memes unites que x, et
donc N est un espace lineaire et norme.
— Remarque : Normalement on n’a pas le parametre c et on
suppose, pour l’addition dans Eq. (8) d’avoir un sens, que la
variable x est sans unites.
— Pour les fonctions admissibles φ ∈ A2n[a, b], on precise les
conditions aux bornes a et b
A2n[a, b] = {φ ∈ N | φ(a) = α, φ(b) = β et α, β ∈ Rn}, (9)
ou φ(a) = α est une notation concise pour φi(a) = αi pour
i = 1, 2, . . . , n.
1.3 Definition : Le lagrangien est une fonction scalaire
reelle L : R1 × Rn × Rn → R1 qui est continue avec toutes
derivees partielles continues jusqu’a l’ordre deux dans tous
les 2n+ 1 arguments.
Calcul des variations 25
1.4 Definition : L’action integrale, l’integrale
fondamentale du calcul des variations, est une fonctionelle
J : A2n[a, b]→ R1 definie par
J(φ(x)) :=
∫ b
a
L(x, φ(x), φ(x)) dx (10)
Calcul des variations 26
—— Equations d’Euler-Lagrange
— On cherche les extrema relatifs de J sur A2n[a, b] :
J(φ(x))→ min, φ(x) ∈ A2n[a, b]. (11)
— D’apres le theoreme L1.1, on a la condition necessaire
δJ = 0. (12)
— On suppose qu’un extremum φ existe et on le plonge dans
une famille d’un parametre ε ∈ R1 :
φiε = φi(x) + εηi(x), ηi ∈ C2[a, b], i = 1, . . . , n. (13)
Avec ηi(a) = 0 = ηi(b) on a φiε ∈ A2[a, b].
Calcul des variations 27
Lemme L1.1 : Une condition necessaire pour que φ soit
un extremum est que
n∑i=1
∫ b
a
(∂L
∂φi− d
dx
∂L
∂φi
)ηi dx = 0. (14)
[Convention d’Einstein]
Demonstration :
Par theoreme L1.1 on a δJ = 0 et donc
d
dε
∫ b
a
L(x, φi + εηi, φi + εηi) dx
∣∣∣∣∣ε=0
= 0. (15)
Parce qu’on a precise de conditions de regularites pour le
Calcul des variations 28
lagrangien, on peut passer la derivee dans l’integrale∫ b
a
d
dεL(x, φi + εηi, φi + εηi)
∣∣∣∣∣ε=0
dx = 0,
∫ b
a
(∂L
∂φiηi +
∂L
∂φiηi)
ε=0
dx = 0 (16)
[Convention d’Einstein] (La somme sur i est implicite.)
Considerons le seconde terme. On effectue une integration
par parties :∫ b
a
(∂L
∂φiηi)
ε=0
dx =
[∂L
∂φiη
]ba
−∫ b
a
d
dx
∂L
∂φi
∣∣∣∣ε=0
ηi dx (17)
Le premier terme s’annule ; η(a) = η(b) = 0.
On peut maintenant facturer le ηi :∫ b
a
(∂L
∂φi− d
dx
∂L
∂φi
)ε=0
ηi dx = 0 (18)
Calcul des variations 29
C’est le lemme L1.1. �
Calcul des variations 30
— Lemme L1.2 : lemme fondamental du
calcul des variations
— Soit φ(x) une fonction a valeurs reelles, φ ∈ C0[a, b]. Si,
quelle que soit la fonction η ∈ C2[a, b] nulle en a et b,
l’integrale ∫ b
a
φ(x)η(x) dx = 0, (19)
alors φ(x) est identiquement nulle.
Demonstration :
Si φ(x) n’etait pas nulle en un point x′ ∈ (a, b), il existerait
un intervalle I de centre x′ dans lequel φ(x) serait par
exemple positive. Choissisons pour η(x) une fonction nulle
en dehors de I, continue et positive sur I. Pour ce choix de
Calcul des variations 31
η, l’integrale ne serait pas nulle, ce qui est contraire a
l’hypothese. Donc φ(x) droit etre nulle en tout point
x′ ∈ (a, b). De plus, la continuite de φ assure que
φ(a) = 0 = φ(b). Finalement on a φ(x) = 0 pour chaque
x ∈ [a, b]. �
Calcul des variations 32
Theoreme L1.2 : conditions necessaires
pour un extremum
— Une condition necessaire pour que φ(x) ∈ A2n[a, b] soit un
extremum de l’integrale de l’action (10) est que
∂L
∂φi− d
dx
∂L
∂φi= 0, i = 1 . . . n. (20)
Demonstration :
Par le lemme L1.1, on la condition necessaire :∫ b
a
(∂L
∂φi− d
dx
∂L
∂φi
)ηi dx = 0 (21)
pour chaque η ∈ N avec η(a) = η(b) = 0. On peut choisir
η = 0 pour tous les composantes sauf une composante
Calcul des variations 33
arbitraire, disons ηk. Le lemme L1.2 dans ce cas donne∫ b
a
(∂L
∂φk− d
dx
∂L
∂φk
)ηk dx = 0, pour k fixe (22)
(aucune somme sur k). Les conditions de regularite sur le
lagrangien implique que le terme entre parentheses dans (22)
est continue. Et donc par le lemme L1.2 on a
∂L
∂φk− d
dx
∂L
∂φk= 0, partout dans l’intervalle [a, b]. (23)
Parce que k est arbitraire, on a (20). �
Calcul des variations 34
Remarques sur les equations
d’Euler-Lagrange
— Les equations (20) sont un systeme de n equations
differentielles de seconde ordre pour les n composantes de
φ(x). Elles peuvent etre non-lineaires.
— Les equations (20) sont appelees « equations d’Euler » par
les mathematiciens, « equations de Lagrange » par les
physiciens et les « equations d’Euler-Lagrange, EEL » par
les diplomates. [Je propose que nous sommes diplomatiques.]
— Les EEL (20) sont les conditions necessaires, mais elles ne
sont pas suffisantes. La situation est analogue de celle
d’extremum d’une fonction f(x) ∈ R1 d’une seule variable
sur un intervalle ouvert, x ∈ (a, b). La condition necessaire
Calcul des variations 35
pour un extremum en x0 est que
df
dx
∣∣∣∣x=x0
= 0 (24)
mais elle n’est pas une condition suffisante. [Par exemple, le
point x0 peut est un point d’inflexion.] La seconde variation
en calcul des variations joue le role analogue de la seconde
derivee pour verifier la nature de l’extremum. Mais ca ne
joue pas un role important pour nous ici [nous nous
interessons a demontrer que tous les equations dynamiques
de la physique decoulent d’un principe variational et aussi
aux proprietes invariantes de l’integrale d’action afin de
trouver les lois de conservation].
L1.5 Definition SEEL. Une solution des EEL (20) sont
appelees « an extremal » dans la literature anglosaxon
(Courant and Hilbert , 1989; Rund , 1966; Logan, 1977, par
Calcul des variations 36
exemple) meme si ils ne sont pas forcement un extremum. Je
vais utiliser SEEL = Solution des Equations
d’Euler-Lagrange. Elles rendent l’integrale d’action
stationaire.
Calcul des variations 37
Trois cas d’equations d’Euler-Lagrange
1. Le lagrangien ne depend pas explicitement de φ ;
L = L(x, φ). Et donc les EEL simplifient
���7
0∂L
∂φi− d
dx
∂L
∂φi= 0, i = 1 . . . n,
∂L
∂φi= ci, (25)
ou ci sont des constantes, i.e. independantes de x. Alors il y
a des fonctions fi = fi(x, φ, φ) qui sont constantes le long
des SEEL, fi(x, φ(x), φ(x)) = ci. Nous disons que nous avons
une « premiere integrale » dans ce cas.
2. Le lagrangien ne depend pas explicitement de x ;
Calcul des variations 38
L = L(φ, φ). Dans ce cas
d
dx
(L− φk ∂L
∂φk
)= φk
(∂L
∂φk− d
dx
∂L
∂φk
),
= 0. utilise les EEL
(26)
Et donc encore nous avons une fonction f tel que,
f(φ, φ) :=
(L− φk ∂L
∂φk
)= constante par rapport au x.
(27)
Nous disons que nous avons une « premiere integrale » dans
ce cas aussi.
3. Le lagrangien ne depend pas explicitement de φ ;
Calcul des variations 39
L = L(x, φ). Dans ce cas les EEL deviennent
∂L
∂φk− d
dx���7
0∂L
∂φk= 0,
∂L
∂φk= 0, k = 1 . . . n. (28)
Il s’agit des equations algebriques pour les φk(x).
Calcul des variations 40
Ex. 1 : Exemple d’equations
d’Euler-Lagrange
Surface minimale
— De tous les courbes de classe C2[x1, x2] qui joignent deux
points donnes (x1, φ1) et (x2, φ2) dans le plan x-φ, trouver la
seule qui fait la surface minimum quand elle se tourne
autour de l’axe des x.
Solution :
Le catenaire
φ(x) = C1 cosh
(x+ C2
C1
). (29)
Calcul des variations 41
Ex. 2 : Exemple d’equations
d’Euler-Lagrange
Oscillateur libre
— On a un corps de masse m kg suspendu par un ressort de
constante k N/m. Soit X = φ la hauteur du corps au dessus
de sa position d’equilibria, t = x le temps et φ := dXdt la
vitesse du corps. Le lagrangien dans ce cas est
L =1
2m
(dX
dt
)2
− 1
2kX2. (30)
Verifier la deuxieme loi de Newton (cf. ci-dessous) applique
pour ce systeme. Trouvez l’equation de motion generale.
Calcul des variations 42
Ex. 2, Oscillateur libre : remarques
— Cet exemple vient de la mecanique classique non-relativiste.
Nous allons apprendre sur quels systemes un principe
variationnel s’applique et nous allons etudier la methode
pour trouver le lagrangien pour ces systemes. Il s’agit de la
mecanique analytique qui s’etend au l’electromagnetisme.
— Nous allons aussi apprendre les lois de conservation de la
mecanique classique. La mecanique analytique nous permet
de voir le lien entre les lois de conservation et la symetrie du
lagrangien.
— Ensuite nous revenons au calcul des variations pour les
fonctionnelles de pleusieurs variables ce qui nous permet
d’etudier le principe variational pour les champs physiques.
Par exemple les equations de Maxwell decrivent les champs
Calcul des variations 43
electrique et magnetique et sont des EEL pour une integrale
d’action sur un volume d’espace-temps.
Calcul des variations 44
Limitations de notre introduction sur les
equations d’Euler-Lagrange
— Notre introduction au calcul variationnel n’est pas tres
generale. Mais c’est assez general pour nous maintenant
d’explorer les proprietes invariantes de l’integrale d’action et
de trouver les lois de la physique fondamentale.
— Nos criteres sur le lagranien et les fonctions admissibles sont
tres stricts. L’analyse variationnel abord les cas mois stricts.
— Nous considererons plus tard des contraintes.
Calcul des variations 45
Interpretation geometrique des equations
d’Euler-Lagrange
— Considerons les variables x et φk comme les (n+ 1)
coordonnees dans un espace de configuration de dimension
(n+ 1). [Attention : literature de physique decrit ceci comme
un espace de configuration de dimension n.] Alors les SEEL
φk = φk(x), (k = 1, . . . , n x ∈ [a, b]) (31)
sont les coordonnees d’une courbe parametree qui joint les
deux points donnes (a, φk(a)) et (b, φk(b)).
— On definit les expressions d’Euler-Lagrange
Ek :=∂L
∂φk− d
dx
∂L
∂φk. (32)
Calcul des variations 46
Les Ek doivent s’annule pour que cette courbe soit un SEEL.
Calcul des variations 47
References
Arnold, V. I. (1976), Methodes mathematiques de la mecanique
classique, MIR - MOSCOU.
Basdevant, J.-L. (2010), Le principe de moindre action et les
principles variationnels en physique, 192 pp., Vuibert, Paris,
France.
Courant, R., and D. Hilbert (1989), Methods of Mathematical
Physics Volume I, John Wiley and Sons, 560 pp.
Davis, H. F., and A. D. Snider (1979), Introduction to vector
analysis, 4th edition, Allyn and Bacon.
Goldstein, H. (1964), mecanique classique, 399 + xii pp pp., Presses
Universitaires de France, Paris.
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Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite
Generale, de boeck, Bruxelles.
Logan, J. D. (1977), Invariant Variational Principles, 172+xv pp.,
Academic Press, New York, N.Y.
Martin-Robine, F. (2006), Histoire du principe de moindre action :
trois siecles de principles variationnels de Fermat a Feynman,
Vuibert, Paris, France, 226 + iv pp.
Neuenschwander, D. E. (2011), Emmy Noether’s Wonderful
Theorem, 243 pp., Johns Hopkins University Press, Baltimore
U.S.A, 243 + xviii pp.
Poisson, E. (2004), A Relativist’s Toolkit : The mathematics of
black-hole mechanics, 252 pp., Cambridge University Press,
Cambridge, U.K., 252 + xvi pp.
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Rund, H. (1966), The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of
variations, 404 pp., D. Van Nostrand Company Ltd., London,
U.K., 404 + xi pp.
Taillet, R., V. Villain, and P. Febvre (2009), Dictionnaire de
physique, de boeck, Bruxelles.
Troutman, J. L. (1996), Variational Calculus and Optimal Control,
Springer, New York, N.Y., 461 + xv pp.
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