BARISAN FIBONACCI DAN LUCAS DENGAN SUBSKRIP
BILANGAN REAL
(Skripsi)
Oleh
SRI AJENG RAHMATANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2020
ABSTRACT
FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS WITH REAL SUBSCRIPT
By
Sri Ajeng Rahmatanti
In this study the notion of the Fibonacci and Lucas numbers is extended onto real
subscript. Next, these new numbers are used for calculating real powers of certain
matrics. The presented method to the extension of elements of linear recurrence
sequence to real subscript ought to find practical applications in wide understanding
metrology and medical diagnostics.
Kata kunci :Fibonacci numbers, Lucas numbers, Euler formula.
ABSTRAK
BARISAN FIBONACCI DAN LUCAS DENGAN SUBSKRIP
BILANGAN REAL
Oleh
Sri Ajeng Rahmatanti
Pada penelitian ini pengertian bilangan Fibonacci dan Lucas diberikan dengan
subskrip real. Secara umum, jika subskrip bukan interger (bilangan bulat) maka
merupakan bilangan kompleks. Langkah berikutnya, akan diberikan beberapa sifat
dasar bilangan Fibonacci dan Lucas dan membuktikan beberapa sifat dasar bilangan
tersebut serta beberapa aplikasi.
Kata kunci :Barisan Fibonacci, barisan Lucas, formula Euler.
BARISAN FIBONACCI DAN LUCAS DENGAN SUBSKRIP
BILANGAN REAL
Oleh
SRI AJENG RAHMATANTI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA MATEMATIKA
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2020
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 05 Desember 1997. Sebagai
anak kedua dari Bapak (alm.) Totok Subyantoro dan Ibu Farina Oktari Kusumayuda.
Penulis menempuh pendidikan Sekolah Dasar Negeri (SDN) 2 Rawalaut pada tahun
2004-2010, Sekolah Menengah Pertama Negeri (SMPN) 1 Bandar Lampung pada
tahun 2010-2013, Sekolah Menengah Atas Negeri (SMAN) 8 Bandar Lampung pada
tahun 2013-2016.
Pada tahun 2019 Penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Batu
Patah, Kecamatan Kelumbayan Barat, Kabupaten Tanggamus, Provinsi Lampung.
Pada tahun 2019 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan Keuangan
Daerah Provinsi Lampung.
PERSEMBAHAN
Puji Sykur kepada Allah SWT, Karena atas limpahan berkah, rahmad, dan
karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.
Ku persembahkan karya sederhana penuh perjuangan dan kesabaran ini
kepada :
Bapak, Ibu, Pun, dan Keluarga Besar
Datuk (alm.) Ansori Kusumayuda
Almamater yang kucintai, Universitas Lampung
KATA INSPIRASI
“Beberapa orang memimpikan kesuksesan, sementara yang lain bangun setiap
pagi untuk mewujudkannya.”
(Wayne Huizenga)
“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya.”
(Q.S. Al-Baqarah : 286)
“Kamu tidak bisa kembali dan mengubah awal saat kamu memulainya, tapi
kamu bisa memulainya lagi dari di mana kamu berada sekarang
dan ubah akhirnya.”
(C.S Lewis)
“Hidup bukan tentang mendapatkan apa yang kamu inginkan, tetapi
tentang menghargai apa yang kamu miliki.”
“At the end of the day, all of us are the winner.”
SANWACANA
Penulis mengucapkan puji syukur kehadirat Allah SWT, karena dengan ridho dan
karunia-Nya serta atas berkah dan rahmat-Nya sehinga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul “Barisan Fibonacci dan Lucas dengan Subskrip Bilangan Real”.
Selesainya penulisan skripsi ini adalah berkat motivasi, pengarahan sertabimbingan
dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan dan ketulusan hati penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Bapak Amanto, S.Si.,M.Si. selaku pembimbing pertama sekaligus pembimbing
akademik atas saran, bimbingan, arahan, motivasi, dan kesabaran dalam
membimbing penulis selama penelitian hingga penyelesaian skripsi dan memberi
arahan kepada penulis selama menuntut ilmu di Universitas Lampung.
2. Bapak Drs. Suharsono S.,M.S., M.Sc., Ph.D. selaku pembimbing kedua yang
telah memberihan arahan, saran, serta dukungan bagi penulis.
3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si.,M.Si. selaku Pembahas yang telah memberikan
ide, kritik dan saran sehingga terselesaikannya skripsi ini.
4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A,.Ph.D. selaku Kepala Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas
Lampung.
5. Bapak Drs. Suratman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Para Dosen dan Tenaga Didik Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7. Alm. Bapak, Ibu, Pun, Punratu, Papa Tuan, Mama Tuan, Menak, Bunbun, Om
Ajo, Binbin, Paman, Kanjeng, Tuan, Ajo, Rajo, Wanda, Adek Iko, Pima, Adek
Tisa, Hanifa, Raufi, dan Adek Umar yang selalu memberikan motivasi,
semangat, dan doa yang tak terhingga kepada penulis.
8. Sahabat-sahabat penulis Muti, Handoko, Yolanda, Hanna, Stevi, Patricia yang
telah membantu, memberikan semangat dan kecerian pada penulis.
9. Teman-temanku Mona, Astri, Devita, Desfan, Indah, Sandria yang telah
memberikan keceriaan dan semangat bagi penulis.
10. Teman-teman Matematika 2016 yang selalu menjadi semangat bagi penulis.
11. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi yang tidak dapat penulis
sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan tetapi besar
harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung, Januari 2020
Penulis
Sri Ajeng Rahmatanti
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ......................................................................................................... i
DAFTAR TABEL .............................................................................................. iii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3
1.3 Manfaat Penelitian .................................................................................. 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan .................................................................................................. 4
2.1.1 Bilangan Eksponen...................................................................... 4
2.1.2 Bilangan Real .............................................................................. 5
2.1.3 Bilangan Kuadrat Sempurna ....................................................... 6
2.2 Barisan Bilangan ..................................................................................... 6
2.2.1 Barisan Aritmatika ...................................................................... 7
2.2.2 Barisan Geometri ........................................................................ 8
2.3 Teori Bilangan ........................................................................................ 9
2.4 Identitas Euler ....................................................................................... 10
2.5 Relasi Rekursi ....................................................................................... 10
2.6 Matriks .................................................................................................. 11
2.6.1 Operasi Pada Matriks ................................................................ 11
2.6.1.1 Penjumlahan Matriks .................................................. 11
2.6.1.2 Pengurangan Matriks .................................................. 12
2.6.1.3 Perkalian Matriks dengan Skalar ................................ 12
2.6.1.4 Perkalian Matriks dengan Matriks .............................. 13
2.6.1.5 Transpose Matriks ....................................................... 13
2.7 Induksi Matematika .............................................................................. 13
2.8 Barisan Fibonacci.................................................................................. 14
2.8.1 Barisan Fibonacci dan Beberapa Identitasnya .......................... 14
2.9 Barisan Lucas dan Beberapa Identitasnya ............................................ 21
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ............................................................... 26
3.2 Metode Penelitian ................................................................................. 26
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Generalisasi Barisan Fibonacci dan Lucas ........................................... 29
4.2. Sifat-sifat Dasar Barisan ( ) dan ( ) ................................................. 33
4.3. Aplikasi Untuk Barisan ( ) dan ( ) .................................................. 37
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Perbandingan
.................................................................................. 15
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang besaran, struktur, bangun
ruang dan perubahan pada suatu bilangan. Matematika dan bilangan merupakan
satu kesatuan yang sangat berkaitan. Bilangan sendiri adalah suatu konsep
matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun
lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka
atau lambang bilangan. Konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah
diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional,
bilangan irasional, dan bilangan kompleks.
Dalam dunia matematika, terdapat ilmu yang dikenal dengan istilah teori bilangan.
Teori bilangan sendiri adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari
sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat
mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Dalam teori bilangan
dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika
lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritme Euklidean untuk
menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan
prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi di pelajari di sini.
2
Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler.
Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi
multiplikatif seperti fungsi Möbius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian
pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.
Pada abad ke-13, Leonardo da Pisa (yang dikenal juga dengan Leonardo Pisano
Fibonacci) menulis teks matematika dengan notasi Hindu-Arab ke dataran Eropa
untuk bilangan. Meskipun buku-buku yang ia tulis merupakan buku yang ditulis
menggunakan tangan, tetapi teks tentang matematika tersebut beredar luas.
Sedangkan bilangan Lucas adalah barisan bilangan bulat yang ditemukan oleh
matematikawan Perancis yang bernama Edward Anatole Lucas (1842-1891).
Edward Anatole Lucas adalah seorang pelopor dalam teori bilangan yang lebih
berpusat pada bilangan prima dan faktorisasi. Barisan atau bilangan Lucas sendiri
merupakan pengembangan dari bilangan Fibonacci yang mempunyai bentuk unik
dan lebih mudah dikenali (Suzyanna, 2011).
Dalam beberapa literatur didefinisikan bahwa bilangan Fibonacci dan Lucas
dengan subskrip (index) real. Pada umumnya menurut Jeannin (1991) serta
Horadam & Shannon (1988) definisi akan rumit jika subskrip bukan bilangan
bulat. Secara umum, jika subskrip bukan bilangan bulat (interger) maka
merupakan bilangan kompleks. Penulis akan mendefinisikan bahwa Fx dan Lx
adalah real jika index x adalah real. Pada bagian berikutnya akan diberikan
ekspresi dari Fx dan Lx dan beberapa sifat dari Fx dan Lx dalam bentuk
eksponensial. Penulis juga akan membatasi untuk mempertimbangkan nilai-nilai
3
hanya non negatif dari subskrip sehingga dalam semua pernyataan yang
melibatkan bentuk dan dan dapat dipahami bahwa y x.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengkaji konsep teori bilangan.
2. Mengkaji tentang bilangan Fibonacci dan Lucas.
3. Mengetahui kemungkinan menggunakan indeks real pada barisan bilangan
Fibonacci dan Lucas.
4. Mendapatkan hasil terbaik dalam pengkajian bilangan Fibonacci dan Lucas
dengan subskrip real.
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Memberikan pengetahuan tentang teori bilangan.
2. Memberikan pengetahuan tentang bilangan Fibonacci dan Lucas dalam
subskrip real.
3. Memberikan sumbangan wawasan dalam rangka memperluas dan
memperdalam ilmu matematika terutama di bidang teori bilangan dengan
mengenalkan konsep bilangan Fibonacci dan Lucas.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan
pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu
bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika,
konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah di perluas untuk meliputi
bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan
kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan
keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa
dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka (Spiegel, 1983).
2.1.1 Bilangan Eksponen
Bilangan eksponen ialah bentuk suatu bilangan perkalian dengan bilangan yang
sama kemudian di ulang-ulang atau pengertian singkatnya adalah perkalian yang
diulang-ulang. Bentuk umum dari bilangan eksponen adalah:
5
2.1.2 Bilangan Real
Bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam
bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan riil
meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti
π dan . Bilangan real juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam
garis bilangan.
Menurut Pugh (2000), bilangan real ini berbeda dengan bilangan kompleks yang
termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner. Dalam bilangan real terdapat
fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling
penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x)
atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan
2.71828183. Fungsi eksponensial terlihat hampir mendatar horizontal (naik
secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk
nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas
sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak
menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik.
Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk
nilai x yang positif. Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real
atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain (Pugh, 2000).
Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi
(hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa
6
dinyatakan sebagai
, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama
dengan nol.
2.1.3 Bilangan Kuadrat Sempurna
Bilangan kuadrat sempurna adalah suatu bilangan yang diperoleh dari kuadrat
bilangan bulat (Burton, 1976).
Contoh 1: Berikut ini merupakan bilangan kuadrat sempurna yaitu 1, 4, 9, 16, 25,
36, 49, dst. Banyak faktor dari bilangan kuadrat sempurna adalah ganjil. Karena
ada satu pasang faktor yang berpasangan dengan bilangan itu sendiri. Sehingga
jumlah faktornya sebanyak bilangan ganjil. Faktor dari bilangan yang bukan
merupakan kuadrat sempurna, misalnya bilangan 8. Faktor-faktornya adalah 1, 8,
2, dan 4. Faktor-faktornya saling berpasangan, 1 dan 8, dan 2 dan 4. Sedangkan
pada bilangan kuadrat sempurna, misalnya 9 faktornya adalah 1, 9, dan 3. Yang
berpasangan hanyalah 1 dan 9, sedangkan 3 berpasangan dengan bilangan itu
sendiri. Beberapa bilangan kuadrat sempurna yang pertama adalah 1, 4, 9, 16, 25,
dst.
2.2 Barisan Bilangan
Di dalam matematika, sebuah barisan bilangan adalah daftar terurut dari suatu
bilangan. Seperti layaknya himpunan, suatu barisan juga memiliki anggota
(elemen) yang biasanya disebut suku. Barisan bilangan bisa berupa barisan
7
aritmetika maupun barisan geometri. Suku-suku yang berdekatan dari suatu
barisan aritemetika selalu memiliki selisih yang tetap/konstan, biasa disebut
dengan beda. Dalam barisan geometri hasil bagi suku-suku yang saling
berdekatan selalu tetap/konstan, yang disebut dengan rasio. Kedudukan setiap
suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai:
2.2.1 Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika (barisan hitung) diperoleh dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang dinamakan
beda. Ciri utama barisan aritmatika adalah selisih antara kedua suku yang
berurutan selalu tetap (Khairunnisa, 2018).
Contoh 2: Suatu barisan bernilai 5, 12, 19, 26,... Beda antar suku yang berurutan
selalu sama yaitu:
Maka, barisan bilangan 5, 12, 19, 26,... merupakan barisan aritmatika.
Misalkan pada suatu pola bilangan dengan dan beda disimbolkan dengan
b,maka akan terbentuk barisan aritmatika seperti berikut:
( )
8
Dimana:
( )
Jadi, rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan aritmatika adalah:
( )
Dengan:
suku ke-n, dimana n bilangan bulat
= suku pertama ( )
b = beda
2.2.2 Barisan Geometri
Barisan geometri (barisan ukur) diperoleh dengan cara mengalikan suku
sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang dinamakan rasio. Rasio adalah
pembanding yang nilainya tidak sama dengan 0 (nol). Ciri utama barisan
geometri adalah nilai perbandingan atau rasio antara dua suku yang berurutan
selalu tetap (Khairunnisa, 2018).
Contoh 3: Suatu barisan bernilai 1, 4, 16, 64,... Rasio antar suku yang berurutan
selalu sama yaitu:
9
Maka, barisan 1, 4, 16, 64,... merupakan barisan geometri.
Misalkan pada suatu pola bilangan dengan dan rasio dapat disimbolkan
dengan r, maka akan terbentuk barisan geometri seperti berikut ini:
Dimana:
Jadi, rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah:
( )
Dengan:
suku ke-n, dimana n bilangan bulat
= suku pertama ( )
r = rasio
2.3 Teori Bilangan
Teori bilangan adalah salah satu cabang tertua dari matematika, secara tradisional,
teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat
bilangan bulat dan memuat berbagai masalah terbuka yang dapat mudah
10
dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Dalam teori bilangan dasar,
bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya.
Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal misalnya
9, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang
mempunyai titik desimal, seperti 9.0, 34.5, 0.02 (Burton, 1976).
2.4 Identitas Euler
Identitas Euler (Persamaan Euler), dalam analisis matematika adalah suatu
persamaan:
Dimana:
= bilangan Euler
= unit imaginer
= rasio
2.5 Relasi Rekursi
Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan * + merupakan sebuah rumus untuk
menyatakan ke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan
tersebut untuk suatu bilangan bulat non-negatif. Suatu barisan disebut solusi dari
sebuah relasi rekursi jika suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi
rekursinya.
11
2.6 Matriks
Matriks merupakan suatu susunan angka berbentuk segi empat. Bilangan-
bilangan dalam susunan tersebut disebut anggota dalam matriks. Ukuran matriks
diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertikal) yang
dikandungnya. Misal pada contoh dibawah ini, matriks pertama mempunyai tiga
baris dan dua kolom, sehingga ukurannya adalah 2 kali 2 (ditulis 2 x 2). Angka
pertama menyatakan jumlah baris dan angka kedua menyatakan jumlah kolom
(Anton, 2000).
*
+
2.6.1 Operasi Pada Matriks
2.6.1.1 Penjumlahan Matriks
Syarat pada penjumlahan matriks ialah harus memiliki ordo yang sama, dan
menambahkan pada posisi atau letak yang sama.
*
+ dan [
]
[
]
Contohnya adalah sebagai berikut:
*
+ dan *
+
[ ( ) ( ) ( ) ( )
]
12
*
+
2.6.1.2 Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks A oleh matriks B, ditulis A-B adalah penjumlahan matriks A
dengan lawan dari matriks B yaitu (-B). Konsep pengurangan matriks ini sama
dengan penjumlahan matriks. Syarat pada pemjumlahan matriks berlaku juga
untuk pengurangan matriks.
*
+ dan [
]
[
]
Contohnya adalah sebagai berikut:
*
+ dan *
+
[ ( ) ( ) ( ) ( )
]
*
+
2.6.1.3 Perkalian Matriks dengan Skalar
Pada perkalian matriks dengan skalanya yaitu caranya yaitu mengalikan nilai
skalar dengan semua letak matriks, contohnya:
*
+ *
+
13
2.6.1.4 Perkalian Matriks dengan Matriks
Syarat perkalian matriks ialah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan
jumlah baris pada matriks kedua. Contohnya sebagai berikut:
(
) (
)
(( ) ( )( ) ( )
)
2.6.1.5 Transpose Matriks
Matriks transpose ialah matriks yang menukar baris menjadi kolom dan kolom
menjadi baris. Matriks transpose dilambangkan dengan . Contohnya adalah:
*
+
Menjadi:
[
]
2.7 Induksi Matematika
Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk
menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk
bilangan asli. Misalkan ( ) adalah proposisi bilangan bulat positif dan ingin
dibuktikan bahwa ( ) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Maka
langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. ( ) benar .
14
2. Diasumsikan ( ) benar, maka ( ) juga benar untuk setiap
.
Sehingga ( ) benar untuk semua bilangan bulat positif .
2.8 Barisan Fibonacci
Barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India yang bernama
Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150 ketika menyelidiki berbagai
kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia
barat, barisan bilangan Fibonacci pertama kali dikemukakan oleh Leonardo Pisano
atau yang dikenal sebagai Fibonacci. Barisan Fibonacci merupakan sebuah
barisan yang memiliki bentuk unik. Suku pertama barisan bilangan ini adalah 1,
kemudian suku keduanya juga 1, lalu untuk suku ketiga ditentukan dengan
menjumlahkan kedua suku sebelumnya sehingga diperoleh barisan bilangan
dengan pola 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34......dst.
2.8.1 Barisan Fibonacci dan Beberapa Identitasnya
Definisi 2.1: Barisan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan sebagai:
dan untuk setiap n ≥ 2,
Keterangan:
F0 = bilangan suku pertama barisan Fibonacci
F1 = bilangan suku pertama barisan Fibonacci
Fn = bentuk umum barisan Fibonacci
Beberapa bilangan pada barisan Fibonacci di antaranya 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
15
Barisan Fibonacci mempunyai banyak keunikan. Tabel 1 di samping akan
memperlihatkan salah satu contohnya bahwa untuk n semakin besar, nilai
mendekati
= 1,61803398875... Nilai lebih dikenal sebagai golden
rasio. ҩ
n Fn
n Fn
1 1
11 89
2 1
12 144
3 2
13 233
4 3
14 377
5 5
15 610
6 8
16 987
7 13
17 1597
8 21
18 2584
16
Tabel 1. Perbandingan
Selanjutnya akan diperlihatkan beberapa identitas yang fundamental dalam
bilangan Fibonacci. Identitas 1 memperlihatkan bahwa jumlah n bilangan dari
barisan Fibonacci sama dengan bilangan ke ( ) dikurangi dengan 1.
Identitas 1 (Koshy, 2001):
Bukti:
Dengan menggunakan Definisi 2.1, didapat , sehingga:
∙
∙
∙
Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultas, akan
didapat:
9 34
19 4181
10 55
20 6765
17
=
Identitas 2 (Koshy, 2001):
Pada Identitas 2 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Fibonacci pada
suku-suku yang genap:
Bukti:
Dengan menggunakan Definisi 2.1, didapat sehingga:
∙
∙
∙
Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultan, maka
didapat:
=
=
18
Identitas 3 (Koshy, 2011):
Pada Identitas 3 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Fibonacci pada
suku-suku yang ganjil:
Bukti:
Dengan menggunakan Definisi 2.1, didapat , sehingga:
∙
∙
∙
Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultan, akan
didapat:
=
=
19
Identitas 4:
Identitas 4 merupakan identitas yang dengan jumlah kuadrat dari setiap bilangan
dalam barisan Fibonacci:
Bukti:
Bukti dengan menggunakan induksi matematika:
Untuk n = 1, maka:
1.1
1 = 1
Jadi, hasil benar unuk n =1. Misalkan hasil benar juga untuk n = k:
Untuk n = k + 1, maka:
=
= ( )
= (Berdasarkan Def. 2.1)
= ( ) ( )
Sehingga pernyataan juga benar untuk n = k + 1.
Identitas 5 (Koshy, 2011):
( )
20
Bukti:
Bukti dengan menggunakan induksi matematika:
Untuk n = 1, maka:
( )
1.0 = 1 + ( )
0 = 0
Jadi pernyataan benar untuk n = 1. Misalkan hasil juga benar untuk n = k:
( )
Untuk n = k + 1, maka:
( ) (Berdasarkan Def. 2.1)
( ) (Berdasarkan Def. 2.1)
( ) (Berdasarkan Def. 2.1)
( )
( ) (Berdasarkan Def. 2.1)
Berdasarkan Identitas 5 : ( ) , maka:
( )
( )
( )
21
Sehingga pernyataan juga benar untuk .
2.9 Barisan Lucas dan Beberapa Identitasnya
Definisi 2.2: Barisan Lucas adalah barisan yang didefinisikan sebagai:
, dan untuk setiap n ≥ 2, .
Barisan Lucas merupakan barisan yang dikembangkan berdasarkan pola pada
barisan Fibonacci. Perbedaan mendasar antara barisan Lucas dan barisan
Fibonacci yaitu terletak pada suku pertamanya. Pada barisan Lucas, suku
pertamanya adalah 2, sedangkan pada barusan Fibonacci adalah 0 atau 1.
Beberapa bilangan pada barisan Lucas di antaranya 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,
123, 199,.... Berikut ini adalah beberapa identitas dalam bilangan Lucas. Identitas
6 dan Identitas 7 merupakan identitas hubungan antara bilangan Lucas dengan
bilangan Fibonacci.
Identitas 6 (Dunlop, 2006):
Identitas 6 merupakan identitas hubungan antara barisan Fibonacci dan barisan
Lucas:
Bukti:
Bukti dengan induksi matematika. Untuk n = 1, maka:
1 = 0 + 1
22
1 = 1
Jadi hasil benar untuk n = 1. Misalkan hasil juga benar untuk n = k, maka:
Untuk n = k + 1, maka:
( ) ( )
( ) ( ) (Berdasarkan Def. 2.2)
(Berdasarkan Def. 2.1)
Sehingga pernyataan juga benar untuk n = k +1.
Identitas 7 (Dunlop, 2006):
Sama seperti Identitas 6, Identitas 7 merupakan identitas hubungan antara barisan
Lucas dan Fibonacci:
Bukti:
Menurut identitas 6, dan berdasarkan definisi 2.1,
, maka:
= (Berdasarkan Def. 2.1)
=
Identitas 8 (Koshy, 2001):
Pada Identitas 8 akan ditunjukkan jumlah bilangan hingga suku ke-n:
23
Bukti:
Dengan menggunakan definisi 2.2, didapat , sehingga:
∙
∙
Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultan, akan
didapat:
=
Identitas 9 (Koshy, 2001):
Pada Identitas 9 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Lucas untuk
suku-suku yang genap:
Bukti:
Dengan menggunakan Definisi 2.2, didapat , sehingga:
24
∙
∙
Jika ruas kiri dan ruas kanan masing masing dijumlahkan secara simultan, akan
didapat:
=
=
Identitas 10:
Pada Identitas 10 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Lucas untuk
suku-suku yang ganjil:
Bukti:
Dengan menggunakan Definisi 2.2, didapat , sehingga:
∙
∙
25
Jika ruas kiri dan ruas kanan masing dijumlahkan secara simultan, akan didapat:
26
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2019/2020 dan
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan secara studi pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang
terdapat di perpustakaan Universitas Lampung dan jurnal serta akses internet yang
menunjang proses penilitian. Diperlukan formula binet barisan Fibonacci dan
Lucas dalam penelitian ini. Berikut diberikan formula binet untuk menentukan
suku ke-n dari barisan Fibonacci:
, n = 1,2,3....
, n = 1,2,3....
dengan:
* ( ) +
27
dimana:
dan
Jika rumus binet diatas terlalu menyulitkan, bisa digunakan hampiran yang dapat
mengurangi kesulitan. Karena maka ( ) Jadi,
unsur ( ) . Maka, hampiran rumus binetnya adalah:
, untuk n yang cukup besar,
Menurut Andre-Jeannin (1991), fungsi Fibonacci dimana x adalah bilangan riil
dapat di definisikan dengan:
( )
Dimana α adalah golden rasio. Dengan cara yang sama, dapat didefinisikan fungsi
Lucas sebagai berikut:
( ) .
Setelah didapatkan persamaan di atas, Horadam dan Shannon (1988),
mendefinisikan kurva bilangan Fibonacci dan Lucas yang dapat dituliskan dengan
fungsi kompleks seperti berikut:
( )
(3.1)
dan
( ) (3.2)
28
Langkah-langkah penelitian tersebut dapat digambarkan dalam diagram seperti
berikut:
Mulai
Studi literatur
Memberikan beberapa identitas Barisan
Fibonacci dan Lucas
Mencari formula Binet barisan Fibonacci
dan Lucas
Memasukkan indeks riil atau kurva fungsi kompleks
yang didapat ke dalam barisan bilangan Fibonacci
dan Lucas
Membuktikan sifat-sifat barisan bilangan
Fibonacci dan Lucas yang sudah terdapat
indeks riil
Selesai
39
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan dapat diambil kesimpulan
bahwa penilitian ini memungkinkan untuk memasukkan bilangan real ke dalam
barisan bilangan Fibonacci dan Lucas. Selain itu, didapatkan beberapa sifat dasar
dan persamaan yang memungkinkan perhitungan sebagai berikut:
1. ( )
2.
3. ( )
4.
5.
6.
7.
8.
9.
40
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Jilid 2. Interaksa, Batam.
Andre-Jeannin, R. 1991. Generelized Complex Fibonacci and Lucas Function.
Fibonacci Quarterly. 29(1): 13-18.
Burton, D.M. 1976. The History of Mathematics: An Introduction. 7th Ed.
McGraw-Hill, New York.
Dunlop, R. 2006. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific,
Singapore.
Horadam, A. & Shannon, G. 1988. Fibonacci and Lucas Curves. Fibonacci
Quarterly. 26(1): 3-13.
Khairunnisa, A. dkk. 2018. Cara Cerdas Belajar Matematika SMP.
PT. Gramedia Widiasarana Indonesia, Jakarta.
Koshy, T. 2001. Fibonaci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley &
Sons, Canada.
Pugh, C.C. 2002. Real Mathematical Analysis. Springer-Verlag, New York.
Spiegel, M.R. 1983. Matematika Lanjutan. Erlangga, Jakarta.
Suzyanna. 2011. Hubungan Antara Fibonacci Binet dan Bilangan Fibonacci,
hlm. 2-5. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika, Surabaya.
41
Witula, R. 2008. Application Math Compt. Appl. Math. Compt. 202: 348.
Top Related