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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA MECANICADEPARTAMENTO DE PROJETO MECANICO

INTRODUCAO AO METODO DE ELEMENTOS FINITOSAPLICADO A ANALISE ESTRUTURAL - EXEMPLOS COM O

PROGRAMA ANSYS

Prof. Dr. Marco Lucio Bittencourt

CAMPINAS/SP2007

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PREFACIO

O objetivo deste texto e apresentar conceitos do Metodo de Elementos Finitos (MEF)aplicado a analise linear de estruturas. Nao se adota uma abordagem variacional do MEFe sua aplicacao a problemas de valores de contorno. Os aspectos teoricos se limitam aum conjunto de conceitos mınimos para a aplicacao do metodo. Uma breve introducao aosoftware ANSYS e exemplos sao apresentados para motivar o leitor no uso de um programade elementos finitos.

Esse material foi preparado e revisado desde 1991 e usado em cursos de graduacao e ex-tensao na UNICAMP e em outras universidades. Ao longo desse tempo, a minha visao doMEF mudou no sentido de adotar uma abordagem variacional. Esse texto apresenta aspec-tos nessa direcao ao formular o problema de elasticidade linear usando o Princıpio dos Tra-balhos Virtuais. No entanto, o texto apresenta varios aspectos positivos como a introducaodas funcoes de interpolacao atraves de produto tensorial. A construcao das funcoes paratriangulos e tetraedros aqui apresentada e totalmente original. O texto tambem procuraseparar a formulacao dos problemas da sua aproximacao pelo MEF. O uso de exemplosdo ANSYS permite ao leitor associar os conceitos apresentados com o uso de um pacotecomercial.

O Capıtulo 1 apresenta uma breve introducao ao MEF procurando dar uma nocao in-tuitiva sobre aspectos do metodo. No Capıtulo 2, considera-se o conceito de coeficientes deinfluencia para a construcao das matrizes de rigidez de barras e vigas. Apresenta aindao processo de superposicao dessas matrizes para construir a matriz de rigidez global ea solucao do sistema de equacoes resultante atraves de um metodo numerico. Os coefi-cientes de influencia sao baseados em nocoes de equilıbrio e permitem introduzir aspectosimportantes do MEF de forma simples.

No Capıtulo 3, apresenta-se uma revisao de conceitos basicos de elasticidade. Conside-ram-se os estados de deformacao e tensao para um corpo solido, a lei de Hooke generalizadae as equacoes diferenciais de equilıbrio.

No Capıtulo 4, introduzem-se os conceitos de energia de deformacao, trabalho de forcase o PTV. Usando as equacoes basicas de elasticidade linear e aproximacao pelo MEF,deduz-se a equacao discreta de movimento obtendo-se as expressoes gerais das matrizes demassa e rigidez e dos vetores de carregamento.

O Capıtulo 5 apresenta o conceito de elementos finitos isoparametricos, sistemas decoordenadas, funcoes de interpolacao e jacobiano. Consideram-se ainda as funcoes deinterpolacao para elementos finitos unidimensionais. Nos Capıtulos 6 a 7, considera-se a construcao de funcoes de interpolacao para elementos bidimensionais (quadrados etriangulos) e tridimensionais (cubos e tetraedros). No Capıtulo 8, discute-se a integracaonumerica para o calculos dos coeficientes das matrizes e vetores de carregamento doselementos. No Capıtulo 9, discute-se a aproximacao de problemas de estado plano detensao e deformacao e solidos axissimetricos.

Os Apendices apresentam uma revisao de Algebra Linear, uma introducao ao programaANSYS e exemplos.

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Um conjunto pequeno de referencias foi empregado na preparacao desse texto. O ob-jetivo nao foi apresentar uma revisao geral sobre o MEF e suas aplicacoes, mas procurarintroduzir de forma simples e objetiva varios conceitos fundamentais do metodo.

Marco L. Bittencourt (DPM/FEM/UNICAMP, e-mail: [email protected])

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Sumario

1 Introducao 1

1.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Elementos de Barra e Viga 5

2.1 Barra submetida a Forca Axial de Tracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Viga em Flexao Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Coeficientes de Influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Elemento de Barra Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Deformacao Especıfica e Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.2 Matriz de Rigidez no Sistema Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Determinacao da Equacao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Decomposicao de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.2 Aplicacao do Metodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.3 Calculo das Deformacoes e Tensoes nos Elementos de Barra . . . . . 22

2.6 Elemento de Viga Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Equacoes Basicas de Elasticidade 27

3.1 Estado Geral de Solicitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Estado Geral de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Deformacoes Termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Estado de Tensao num Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 Equacoes Diferenciais de Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Equacao de Movimento 45

4.1 Trabalho e Energia de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Identidade de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Princıpio dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Discretizacao de um Sistema Contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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4.5 Equacao de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Elemento de Barra Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7 Elemento de Viga Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Elementos Finitos Isoparametricos 61

5.1 Sistemas de Referencia Global e Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Funcoes de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Elementos Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1 Elemento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.2 Elemento Quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.3 Elemento Cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.4 Elemento Quartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Elemento Bidimensional Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Elementos Isoparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Jacobiano e Calculo das Derivadas Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.7 Deducao da Matriz de Rigidez de Barra Plana . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.8 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Funcoes de Forma para os Elementos Quadrangulares 77

6.1 Elementos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.1 Elemento Quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.2 Elemento Cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1.3 Elemento Quartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Elementos Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.1 Elemento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.2 Elemento Quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.3 Elemento Cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Funcoes de Forma para Elementos Triangulares 91

7.1 Coordenadas de Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2 Calculo do Jacobiano e das Derivadas Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3 Elementos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3.1 Elemento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3.2 Elemento Quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3.3 Elemento Cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3.4 Elemento Quartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4 Coordenadas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.5 Calculo do Jacobiano e das Derivadas Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6 Elementos Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.6.1 Tetraedro Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.6.2 Tetraedro Quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

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7.6.3 Tetraedro Cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8 Integracao Numerica 113

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2 Integracao de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.3 Quadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.4 Exemplo de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.5 Integracao Numerica Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.6 Integracao Numerica Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9 Estudo de Casos 125

9.1 Estado Plano de Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.2 Estado Plano de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.3 Estruturas Axissimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.4 Consideracoes sobre Elementos Finitos Isoparametricos . . . . . . . . . . . . 137

9.4.1 Integracao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.4.2 Calculo de Tensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.4.3 Consideracoes sobre o Modelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A Vetores e Matrizes 143

A.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

A.2.1 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2.2 Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2.3 Matriz Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2.4 Matriz Unitaria ou Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.2.5 Matrizes Diagonais Superior e Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.2.6 Matriz Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2.7 Matrizes Simetrica e Anti-simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2.8 Particionamento de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.2.9 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3 Operacoes Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3.2 Adicao e Subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.3.3 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.4 Sistema de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.5 Problema de Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

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B Introducao ao Programa ANSYS 151B.1 Comandos do ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

B.1.1 Nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153B.1.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153B.1.3 Tipo de Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154B.1.4 Constantes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154B.1.5 Carregamentos e Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 155B.1.6 Casos de Carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155B.1.7 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155B.1.8 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155B.1.9 Reordenamento dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156B.1.10 Tipo de Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156B.1.11 Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156B.1.12 Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157B.1.13 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157B.1.14 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158B.1.15 Geracao de Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

B.2 Aplicacao de Condicoes de Contorno ao Modelo Solido . . . . . . . . . . . . 159B.2.1 Selecao de Entidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159B.2.2 Comandos / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159B.2.3 Graus de Liberdade Masters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160B.2.4 Comandos de Visualizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160B.2.5 Pos-processador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161B.2.6 Outros Comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

C Exemplos Analisados pelo ANSYS 163C.1 Estrutura Reticulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163C.2 Deformacao em Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165C.3 Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167C.4 Estudo de um Eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169C.5 Viga - Problema de Estado Plano de Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173C.6 Problema com Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175C.7 Multiplos Carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177C.8 Geracao Automatica de Malhas em Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178C.9 Geracao Automatica de Malha em Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181C.10 Simetria em Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184C.11 Estrutura modelada por Elementos de Placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

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Lista de Figuras

1.1 Corpo considerado como meio contınuo e sua discretizacao em elementosfinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Superposicao das matrizes dos elementos na matriz global. . . . . . . . . . . 3

2.1 Barra submetida a uma forca de tracao P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Deformacao em viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Estrutura elastica sob acao de forcas F1, . . . , Fn. . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Mola elastica de rigidez k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Elemento de barra plana segundo o sistema de referencia local X . . . . . . . 112.6 Elemento da barra em relacao ao sistema global XY . . . . . . . . . . . . . . 122.7 Trelica analisada estaticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Numeracao dos nos, graus de liberdade e elementos. . . . . . . . . . . . . . 152.9 Elemento de viga plana segundo o sistema de referencia local XY . . . . . . 232.10 Trelica do exercıcio 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.11 Trelica do exercıcio 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.12 Viga do exercıcio 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Corpo submetido a acao de um sistema de forcas externas. . . . . . . . . . . 283.2 Distribuicao de tensao na secao transversal do corpo. . . . . . . . . . . . . . 283.3 Componentes de um estado geral de tensao num ponto O do corpo solido. . 303.4 Elemento infinitesimal de um corpo elastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Plano xy do elemento infinitesimal utilizado para a determinacao das de-

formacoes especıficas εxx, εyy e distorcao γxy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Elemento infinitesimal submetido a um gradiente de temperatura T. . . . . 343.7 Corpo solido submetido a um sistema de forcas externas. . . . . . . . . . . . 383.8 Partes inferiores do corpo solido obtidas pelos cortes atraves dos planos mm

e nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.9 Componentes de tensao no ponto O do corpo solido. . . . . . . . . . . . . . 403.10 Tetraedro elementar no ponto O e suas componentes medias de tensao. . . . 403.11 Paralelepıpedo elementar com suas componentes medias de tensao. . . . . . 43

4.1 Diagrama forca × deslocamento para a deformacao de um corpo. . . . . . . 464.2 Diagrama de tensao × deformacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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4.3 Projecao da area elementar dS sobre o plano yz. . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Meio contınuo discretizado por elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Mapeamento entre os sistemas de referencia X e ξ. . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Transformacao entre os sistemas de referencia global e local. . . . . . . . . . 62

5.3 Transformacao entre os sistemas de referencia global e local utilizandofuncoes de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Elemento unidimensional linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5 Elemento unidimensional quadratico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.6 Elemento unidimensional cubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.7 Elemento unidimensional quartico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.8 Elemento quadrangular linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.9 Elemento lagrangeanos quadrangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.10 Elemento finitos subparametricos, isoparametricos e superparametricos . . . 70

5.11 Exemplo de transformacao entre os sistemas de referencia local e globalutilizando as funcoes de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.12 Condicao para que os elementos quadrangulares linear e quadratico naoapresentem distorcao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.13 Exercıcio 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1 Elementos planos da famılia Serendipity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 Funcao de forma tıpica para os nos do elementos linear. . . . . . . . . . . . 78

6.3 Elemento quadratico da famılia Serendipity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4 Funcao de forma tıpica para os nos 5 a 8 do elemento quadratico. . . . . . . 81

6.5 Elemento quadrangular cubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.6 Funcao de forma tıpica para os nos (5, 6, 9, 10) e (7, 8, 11, 12) do elementocubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.7 Elemento quadrangular quartico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.8 Funcao de forma tıpica para os nos 1 a 4 e (5, 7, 11 e 13) do elemento quartico. 85

6.9 Funcao de forma para os nos (8, 10, 14, 16) e 17 do elemento quartico. . . . 85

6.10 Elementos espaciais linear, quadratico e cubico. . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.11 Elemento espacial linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.12 Elemento espacial quadratico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.13 Elemento espacial de terceiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1 Coordenadas de area para triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2 Elementos triangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3 Elemento triangular plano linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Funcoes de interpolacao para o triangulo linear lagrangiano. . . . . . . . . . 96

7.5 Elemento triangular plano quadratico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6 Funcoes de interpolacao para o triangulo quadratico lagrangiano. . . . . . . 99

7.7 Elemento triangular plano cubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi

Page 10: Apostila MEF

7.8 Funcoes de interpolacao para o triangulo cubico lagrangiano. . . . . . . . . 1017.9 Elemento triangular plano quartico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.10 Coordenadas de volume: componente L1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.11 Tetraedros linear, quadratico e cubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.12 Tetraedro linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.13 Tetraedro quadratico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.14 Tetraedro cubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.15 Exercıcio 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.1 Pontos igualmente espacados para a tecnica de integracao de Newton-Cotes. 1148.2 Pontos de integracao para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . . . . 1158.3 Pontos de integracao para os elementos quadrangulares planos. . . . . . . . 1198.4 Pontos de integracao para os elementos triangulares planos. . . . . . . . . . 121

9.1 Chapa sob estado plano de tensao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2 Muro de arrimo sob pressao lateral e um rolamento sob compressao. . . . . 1309.3 Solido axissimetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4 Componentes de deformacao em coordenadas cilındricas. . . . . . . . . . . . 1329.5 Elemento infinitesimal no plano rθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.6 Plano rz para um elemento infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.7 Elemento de volume infinitesimal para um solido de revolucao. . . . . . . . 1379.8 Problema de estado plano de tensao calculado com esquemas de integracao

consistente e reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.1 Sistema cartesiano de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

B.1 Modulos do programa ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

C.1 Trelica analisada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164C.2 Viga em estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165C.3 Portico analisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167C.4 Eixo analisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170C.5 Sistema equivalente ao eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171C.6 Viga analisada com elementos de estado plano de tensao. . . . . . . . . . . 173C.7 Chapa com furo submetida a um pressao interna uniforme. . . . . . . . . . 175C.8 Geracao automatica de malha em problema plano. . . . . . . . . . . . . . . 179C.9 Viga analisada como problema espacial utilizando cubos de oito nos. . . . . 182C.10 Disco gerado utilizando a simetria do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . 184C.11 Estrututa modelada por elementos de placa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

vii

Page 11: Apostila MEF

viii

Page 12: Apostila MEF

Lista de Tabelas

2.1 Coordenadas nodais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Incidencia, comprimento, area e co-senos diretores dos elementos de barra. . 16

2.3 Graus de liberdade correspondentes as linhas e colunas nas quais devem sersuperpostas as matrizes dos elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Deformacao especıfica e tensao nos elementos da trelica analisada. . . . . . 22

5.1 Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento quadrangular linear. . . . . 68

6.1 Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento quadratico. . . . . . . . . . 79

6.2 Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento cubico. . . . . . . . . . . . 82

6.3 Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento quartico. . . . . . . . . . . 83

6.4 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento espacial linear. . . . . . 87

6.5 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento espacial quadratico. . . 88

6.6 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento espacial de terceiro grau. 89

7.1 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento linear. . . . . . . . . . . 95

7.2 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento quadratico. . . . . . . . 98

7.3 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento cubico. . . . . . . . . . . 101

7.4 Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento quartico. . . . . . . . . . 102

7.5 Relacao entre os ındices a, b, c, d e e para o tetraedro linear. . . . . . . . . 106

7.6 Relacao entre os ındices a, b, c, d e e para o tetraedro quadratico. . . . . . . 108

7.7 Relacao entre os ındices a, b, c, d e e para o tetraedro cubico. . . . . . . . . 110

8.1 Coeficientes de ponderacao para as formulas de quadratura de Newton-Cotes.114

8.2 Pontos de integracao e coeficientes de ponderacao para a quadratura deGauss-Legendre supondo um intervalo (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.3 Ordem de integracao para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . . . . 118

8.4 Pontos de integracao e coeficientes de ponderacao para elementos quadran-gulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.5 Ordem de integracao para os elementos quadrangulares planos. . . . . . . . 121

8.6 Pontos de integracao e coeficientes de ponderacao para elementos triangu-lares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.7 Pontos de integracao para os tetraedros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

ix

Page 13: Apostila MEF

x

9.1 Ordem de integracao consistente e reduzida para o calculo da matriz derigidez dos elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Page 14: Apostila MEF

Capıtulo 1

Introducao

O Metodo de Elementos Finitos (MEF) foi desenvolvido na decada de 40 para aplicacoesde Engenharia Civil. Com o trabalho de matematicos, desenvolveu-se uma solida baseteorica para o metodo. Desta forma, pode-se considerar o MEF, basicamente, como ummetodo numerico para a resolucao de Problemas de Valor de Contorno envolvendo equacoesdiferenciais ordinarias e parciais e respectivas condicoes de contorno.

Como grande parte dos fenomenos fısicos de Engenharia Mecanica podem ser de-scritos por equacoes diferenciais, tem-se aplicado o MEF principalmente para problemasde Mecanica dos Fluidos, Transferencia de Calor e Mecanica dos Solidos. Ao longo destetexto, pretende-se apresentar conceitos basicos do MEF considerando a analise linear deestruturas mecanicas.

A partir do final da decada de 60 e inıcio da decada de 70, varios programas computa-cionais implementaram a tecnica de elementos finitos. No entanto, a baixa performancee o alto custo dos computadores nao permitiu o estudo de problemas mais complexos e adisseminacao do metodo para um maior numero de industrias e centros de pesquisa.

No entanto, com os progressos da industria eletronica, tem-se diminuıdo, de formasensıvel, os custos dos computadores, aumentando-se, numa proporcao exponencial, aperformance das maquinas. Desta forma, tem-se verificado um aumento expressivo naaplicacao do MEF aos mais variados tipos de problemas. O ambiente ideal para a uti-lizacao do MEF sao as estacoes de trabalho, devido a elevada capacidade de processamentonumerico e recursos graficos.

Pode-se simular o comportamento de um componente mecanico no computador, orig-inando o conceito de prototipo eletronico. Desta forma, pode-se otimizar o projeto destecomponente permitindo a reducao de custos.

1.1 Conceitos Basicos

Para introduzir alguns conceitos basicos, considere o corpo generico ilustrado na Figura1.1a). Suponha que este corpo seja um meio contınuo. Devido a aplicacao do sistema

1

Page 15: Apostila MEF

2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

F1

F3

F4

F5

F2

Fn

(b)

F1

F2

F3

F4

F5

Fn

(a)

Figura 1.1: Corpo considerado como meio contınuo e sua discretizacao em elementosfinitos.

de forcas externas F1, . . . , Fn, o corpo vai apresentar uma deformacao caracterizada pelosdeslocamentos de seus pontos. Em geral, para determinar estes deslocamentos deve-seresolver uma equacao diferencial.

Em alguns casos, devido a geometria do corpo, nao-linearidades do material e condicoesde contorno, a resolucao analıtica do problema nao e possıvel. Assim, pode-se utilizartecnicas numericas para a obtencao de uma solucao aproximada.

A ideia basica do MEF e dividir o corpo em varios subdomınios ou elementos finitose determinar a solucao aproximada considerando-se apenas alguns pontos ou nos. Oconjunto nos e elementos finitos constitui a rede ou malha de elementos finitos. Obtem-se,entao, um sistema discreto como ilustrado na Figura 1.1b).

Para uma analise estatica, cada elemento finito representa parte da rigidez do corpo.Atraves de uma formulacao adequada, e possıvel determinar uma matriz de rigidez doelemento [Ke]. Esta matriz e funcao das propriedades geometricas e do material do corpo,assim como das coordenadas nodais do elemento especificadas segundo um sistema dereferencia adotado.

Supondo uma malha com m elementos finitos e n nos, determina-se a rigidez do corpo

pela superposicao ou soma das matrizes de rigidez de cada elemento finito [K(i)e ] (i =

1, . . . ,m) na matriz de rigidez global [K]. Esta superposicao e efetuada nas linhas e colunasde [K] correspondentes a numeracao dos nos de cada elemento finito. Este processo estailustrado na Figura 1.2. De maneira analoga, obtem-se um vetor de carregamento externo{f}.

Page 16: Apostila MEF

1.1. CONCEITOS BASICOS 3

.

.

.

1

2

3

4

5

6

n

1 n32 4 5 6 . . .

eK[(1)

K e[(2)

eK[(1)

=K[ K e[(2)

]

]

]

]

]

1 2

6 5

3

4 3

4

Figura 1.2: Superposicao das matrizes dos elementos na matriz global.

Ao final, chega-se a um sistema de equacoes na seguinte forma,

[K]{u} = {f}

sendo {u} o vetor de incognitas contendo os deslocamentos dos nos da malha considerada.Aplicando-se metodos numericos apropriados, determinam-se os deslocamentos nodais e apartir daı, as deformacoes e as tensoes.

Verifica-se, entao, que o MEF implica em duas aproximacoes, ou seja,

1. a geometria do corpo e representada pelas arestas dos elementos finitos situados nocontorno. Para geometrias mais complexas, torna-se necessario utilizar uma malhamais refinada ao longo do contorno ou elementos com maior numero de nos.

2. as grandezas de interesse, como por exemplo os deslocamentos, sao obtidos apenaspara os nos. Para os demais pontos do corpo, aplicam-se funcoes de interpolacaoa partir dos valores determinados para os nos. Assim, o MEF e tal que a solucaoaproximada tende a solucao analıtica do problema quando se aumenta o numero denos e/ou elementos finitos.

Nos proximos capıtulos serao abordados varios conceitos do MEF. Inicialmente, es-tudam-se estruturas reticuladas e vigas, ilustrando a obtencao da matriz de rigidez parauma trelica. Apresentam-se as matrizes de rigidez para os elementos finitos de barra eviga planos.

A partir daı, discutem-se as equacoes basicas de elasticidade linear, os Princıpios dosTrabalhos Virtuais e de D’Alambert. Desta forma, torna-se possıvel obter a equacao demovimento de um sistema mecanico, caracterizando, de forma geral, as matrizes de massae rigidez, assim como os vetores de carregamentos, dos elementos finitos.

Page 17: Apostila MEF

4 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Aborda-se, entao, os elementos finitos isoparametricos, funcoes de forma para elemen-tos quadrangulares e triangulares e metodos para integracao numerica. Discutem-se algu-mas aplicacoes, tais como, estado plano de tensao, estado plano de deformacao e solidosaxissimetricos.

Nos apendices sao feitas revisoes de conceitos de derivadas e algebra linear, assimcomo uma breve apresentacao de algumas caracterısticas do programa ANSYS. Ao finalapresentam-se topicos especiais, tais como geracao automatica de malhas, problemas comsimetria, integracao MEF com programas de CAD (Computer Aided Design), problemassimples de analise dinamica atraves do ANSYS.

Page 18: Apostila MEF

Capıtulo 2

Elementos de Barra e Viga

Nesse capıtulo, apresenta-se um resumo sobre os problemas de barra em tracao e vigaem flexao pura. Emprega-se o conceito de coeficientes de influencia de deflexao para in-troduzir as matrizes de rigidez e flexibilidade dos elementos de mola, barra e viga. Atransformacao de um elemento de barra do sistema de referencia local para o global eapresentada. Resolve-se um exemplo de uma trelica para ilustrar o processo de super-posicao dos elementos para a obtencao da matriz de rigidez e do vetor de carregamentoglobais. O sistema de equacoes resultante e resolvido pelo metodo de Cholesky. Posteri-ormente, calculam-se as deformacoes e tensoes normais em cada elemento e discute-se odimensionamento das barras.

2.1 Barra submetida a Forca Axial de Tracao

Considere a barra da Figura 2.1 submetida a acao de uma forca de tracao P . A barra vaiapresentar um alongamento δ dado por

δ =Pl

AE(2.1)

sendo

• P : forca externa aplicada;

• l: comprimento da barra;

• A: area da secao transversal da barra;

• E: modulo de elasticidade longitudinal do material da barra.

A equacao (2.1) pode ser escrita na forma da lei de Hooke

σ = Eε (2.2)

5

Page 19: Apostila MEF

6 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

P

l

δ

A,E

Figura 2.1: Barra submetida a uma forca de tracao P .

Neste caso, tem-se que tensao normal presente na barra σ e dada por

σ =P

A(2.3)

enquanto a deformacao especıfica longitudinal ε e definida por

ε =δ

l(2.4)

Para efeitos de dimensionamento, impoe-se a condicao que a tensao atuante na barraseja igual a tensao admissıvel do material. Logo,

σ =P

A= σ → A =

P

σ(2.5)

Tomando-se uma trelica qualquer, as forcas nas barras podem ser determinadas atravesdos metodos dos nos ou das secoes. Para trelicas com um grande numero de barras, estatarefa e ardua e origina imprecisoes. Este problema pode ser resolvido de forma numericaatraves, por exemplo, do programa ANSYS como apresentado na Secao C.1 do ApendiceC. Como resultados, obtem-se para cada elemento as forcas atuantes nos dois nos doelemento e a tensao.

2.2 Viga em Flexao Pura

Considere a viga ilustrada na Figura 2.2 submetida ao carregamento indicado. Devidoa acao deste carregamento, a viga vai se deformar, sendo a curva em que se transformao eixo inicialmente reto da viga denominada linha elastica. Assim, a cada ponto x vai

Page 20: Apostila MEF

2.2. VIGA EM FLEXAO PURA 7

Px

yZ

Y

P

X

Figura 2.2: Deformacao em viga.

corresponder uma deflexao y denominada flecha. A deformacao da viga e determinada apartir da equacao da linha elastica.

A deformacao causada pelo momento fletor e dada pela equacao diferencial da linhaelastica

d2y

dx2= − Mz

EJz(2.6)

sendo

• Mz: momento fletor presente nas secoes da viga;

• E: modulo de elasticidade longitudinal do material da viga;

• Jz: momento de inercia da secao transversal da viga com relacao ao eixo z do sistemade referencia.

Para se determinar a linha elastica, deve-se integrar duas vezes a equacao (2.6). Aprimeira integral fornece a equacao das rotacoes da secao transversal da viga com relacaoao eixo z, ou seja,

dy

dx= f

(x)

A segunda integral fornece a equacao da linha elastica, isto e,

y = f(x)

Observa-se que a expressao do momento fletor pode ser obtida utilizando-se a notacaode Macaulay.

Para exemplificar, considere a viga ilustrada na Figura C.2 do Apendice C. Neste caso,as equacoes das rotacoes e da linha elastica sao dadas, respectivamente, por

dy

dx=

5x2

2EJz− 10x

EJz− x3

6EJz(2.7)

Page 21: Apostila MEF

8 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

y =5x3

6EJz− 5x2

EJz− x4

24EJz(2.8)

O momento de inercia Jz e a area da secao transversal da viga sao dados, respectiva-mente, por

Jz =bh3

12=

(15)(25)3

12= 19.531, 25 cm4 = 1, 953 × 10−4 m4

A = bh = (15)(25) = 375 cm2 = 3, 75 × 10−2 m2

Tomando-se o modulo de elasticidade do aco (E = 21× 106 t/m2), tem-se que a flechamaxima ocorre em x = 2m e y = −0, 3414 cm.

Este mesmo problema pode ser resolvido utilizando-se o programa ANSYS como ap-resentado na Secao C.2 do Apendice C.

2.3 Coeficientes de Influencia

Considere a estrutura elastica da Figura 2.3a) submetida a acao das forcas F1, F2, . . . , Fn

aplicadas nos pontos 1, 2, . . . , n. Sejam δ1, δ2, . . . , δn os deslocamentos correspondentes.

F1 F2 Fi

δ1 δ2

δn

δi

Fn

1 2 ni

... ...

1

b)a)

=δ ci i1

= 1F1

Figura 2.3: Estrutura elastica sob acao de forcas F1, . . . , Fn.

O deslocamento δi apresentado do ponto i e afetado por todas as forcas aplicadas.Para uma estrutura elastica, a influencia de cada forca no deslocamento do ponto i podeser expressa pela seguinte equacao

δi = ci1F1 + ci2F2 + . . . + cinFn (2.9)

Por definicao, ci1 e a deflexao do ponto i devido a acao de um carregamento unitarioF1 = 1 aplicado em 1, como mostrado na Figura 2.3b). Se no entanto, a forca em 1 for F1,entao a contribuicao para a deflexao δi sera ci1F1. Analogamente, ci2, . . . , cin especificamcomo um carregamento unitario em qualquer um dos pontos influencia o deslocamento emi. Estas constantes sao denominadas coeficientes de influencia de deflexao.

Page 22: Apostila MEF

2.4. ELEMENTO DE BARRA PLANA 9

Tomando-se δi para todos os nos, ou seja, variando-se i (i = 1, . . . , n) na equacao (2.9),determinam-se n equacoes, as quais podem ser expressas na seguinte forma matricial

δ1

δ2...

δn

=

c11 c12 . . . c1n

c21 c22 . . . c2n...

... . . ....

cn1 cn2 . . . cnn

F1

F2...

Fn

(2.10)

ou em forma compacta,

{δ} = [C]{F} (2.11)

A matriz [C] e denominada matriz de coeficientes de influencia de deflexao ou matrizde flexibilidade.

A partir de (2.11), pode-se expressar as forcas em termos das deflexoes, ou seja,

{F} = [C]−1{δ} → {F} = [K]{δ} (2.12)

A matriz de rigidez [K] e a inversa da matriz dos coeficientes de influencia [C]. Logo,tem-se que,

F1

F2...

Fn

=

k11 k12 . . . k1n

k21 k22 . . . k2n...

... . . ....

kn1 kn2 . . . knn

δ1

δ2...

δn

(2.13)

Considere o conjunto de deslocamentos δ1 = 1, δ2 = . . . = δn = 0. Substituindo em(2.13), verifica-se que

F1 = k11 F2 = k21 . . . Fn = kn1

ou seja, obtem-se a primeira coluna da matriz [K].

Estes elementos constituem-se no conjunto de forcas nodais necessarias para manter oestado de deslocamento considerado. Da mesma forma, a segunda coluna de [K] representaas forcas necessarias para manter um deslocamento unitario em 2, isto e δ2 = 1, enquantoδ1 = δ3 = . . . = δn = 0.

Verifica-se que as matrizes [C] e [K] sao simetricas. Logo,

cij = cji e kij = kji

Page 23: Apostila MEF

10 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

F2

, u2

F1

, u1

X

k

1 2

Figura 2.4: Mola elastica de rigidez k.

2.4 Elemento de Barra Plana

A mola elastica de constante k, ilustrada na Figura 2.4, esta submetida a acao das forcasF1 e F2. Os respectivos deslocamentos nodais sao u1 e u2.

A matriz de rigidez para a mola relaciona as forcas com os deslocamentos nodais.Como sao dois deslocamentos nodais, a matriz e de ordem 2. Assim, a partir da equacao(2.13), tem-se que

{

F1

F2

}

=

[

k11 k12

k21 k22

]{

u1

u2

}

(2.14)

Para obter os elementos kij, considere os seguintes estados de deslocamentos:

1. u2 = 0:

Neste caso, a forca F2 torna-se uma reacao ao carregamento externo F1. Para umamola de rigidez k, a relacao entre a forca F e o deslocamento u e dada por F = ku.Logo, para o estado de deslocamento considerado, tem-se que

k =F1

u1→ F1 = ku1

Pelo equilıbrio de forcas na direcao X, tem-se que

FX = 0 : F1 + F2 = 0 → F1 = −F2

Portanto,

F1 = −F2 = ku1 (2.15)

2. u1 = 0:

Este caso e semelhante ao anterior, sendo F2 a forca aplicada e F1 a reacao de apoio.Obtem-se entao

F2 = −F1 = ku2 (2.16)

Page 24: Apostila MEF

2.4. ELEMENTO DE BARRA PLANA 11

Superpondo os dois estados de deslocamentos anteriores, determinam-se as seguintesexpressoes

{

F1 = ku1 − ku2

F2 = −ku1 + ku2

ou em forma matricial,

{

F1

F2

}

=

[

k −k−k k

]{

u1

u2

}

→{

F1

F2

}

= k

[

1 −1−1 1

]{

u1

u2

}

(2.17)

O elemento de barra plana, ilustrado na Figura 2.5 segundo um sistema de referencialocal, possui 2 nos. Supoe-se que a area da secao transversal A e o modulo de elasticidadelongitudinal E sao constantes. A relacao entre forca e deslocamento para uma barra edada por (2.1).

u1

P1 , E,A

l

P2

,

X

u21 2

Figura 2.5: Elemento de barra plana segundo o sistema de referencia local X.

Supondo que o no 2 esteja fixo e a forca P1 seja aplicada, vem que,

u1 =P1l

AE

Assim, a constante elastica k da mola e analoga, neste caso, ao termo EAl . Portanto,

a partir de (2.17) tem-se que,

{

P1

P2

}

=EA

l

[

1 −1−1 1

]{

u1

u2

}

→ {Pe} = [Ke]{u} (2.18)

sendo,

[Ke] =EA

l

[

1 −1−1 1

]

(2.19)

a matriz de rigidez do elemento de barra plana segundo o sistema de referencia local X.

Page 25: Apostila MEF

12 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

2.4.1 Deformacao Especıfica e Tensao

A deformacao especıfica pode ser calculada a partir dos deslocamentos nodais do elementode barra. Assim, utilizando-se (2.6) vem que

ε =δ

l=

1

l(u2 − u1)

ou em forma matricial,

ε =1

l

[

−1 1]

{

u1

u2

}

(2.20)

Por sua vez, a tensao no elemento de barra e dada por (2.2) e substituindo (2.20),chega-se a seguinte expressao

σ =E

l

[

−1 1]

{

u1

u2

}

(2.21)

2.4.2 Matriz de Rigidez no Sistema Global

No caso geral, o sistema de referencia global adotado faz com que o elemento de barra estejainclinado como ilustrado na Figura 2.6. Portanto, deve-se efetuar uma transformacao decoordenadas entre os sistemas local e global. Observa-se que no sistema global, cada notem dois graus de liberdade indicados por ui e vi (i = 1, 2).

u 2

u2

Y

l

x x

v

u1

1

2

1 2

v2

2y

y

1

1

u1

θ

X

X

Figura 2.6: Elemento da barra em relacao ao sistema global XY .

Page 26: Apostila MEF

2.4. ELEMENTO DE BARRA PLANA 13

O comprimento l da barra pode ser obtido a partir das coordenadas dos nos 1 e 2, ouseja, (x1, y1) e (x2, y2), respectivamente. Logo,

l =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

A partir da Figura 2.6, tem-se as seguintes relacoes trigonometricas

cos θ =x2 − x1

lsin θ =

y2 − y1

l(2.22)

Alem disso, verifica-se que

u1 = u1 cos θ + v1 sin θ

u2 = u2 cos θ + v2 sin θ

ou em forma matricial,

{

u1

u2

}

=

[

cos θ sin θ 0 00 0 cos θ sin θ

]

u1

v1

u2

v2

→ {u} = [T ]{u} (2.23)

Substituindo a relacao (2.23) em (2.18), e multiplicando-se por [T ]T para manter asimetria da matriz de rigidez, obtem-se

[T ]T [Ke][T ]{u} = [T ]T {Pe} → [Ke]{u} = {Pe}

Portanto, a matriz de rigidez [Ke] do elemento de barra no sistema global, e expressapor

[Ke] = [T ]T [Ke][T ] =

cos θ 0sin θ 0

0 cos θ0 sin θ

EA

l

[

1 −1−1 1

] [

cos θ sin θ 0 00 0 cos θ sin θ

]

ou seja,

[Ke] =EA

l

c2 cs −c2 −cscs s2 −cs −s2

−c2 −cs c2 cs−cs −s2 cs s2

(2.24)

sendo c = cos θ e s = sin θ dados em (2.22).

Page 27: Apostila MEF

14 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

Analogamente, tem se que o vetor de carregamento {Pe}, a deformacao especıfica {ε}e a tensao {σ} no sistema global sao dados, respectivamente, por:

{Pe} =

cP1

sP1

cP2

sP2

(2.25)

ε =1

l

[

−c −s c s]

u1

v1

u2

v2

(2.26)

σ =E

l

[

−c −s c s]

u1

v1

u2

v2

(2.27)

2.5 Determinacao da Equacao Global

As expressoes (2.24) a (2.27) permitem calcular algumas propriedades do elemento debarra plana. Em geral, uma trelica e constituıda de varias barras. Assim, no estudonumerico de uma trelica, obtem-se as matrizes e vetores de carregamentos globais pelasuperposicao das grandezas calculadas para cada um dos elementos de barra.

Para ilustrar o processo de obtencao da equacao de equilıbrio global, considere a es-trutura reticulada mostrada na Figura 2.7. Deseja-se analisar esta trelica estaticamentesob a acao de uma forca concentrada de 1000 kgf. As barras 1 a 4 possuem area da secaotransversal igual a 1 cm2, enquanto para as barras 5 e 6 tem-se uma area de

√2 cm2. O

modulo de elasticidade longitudinal do material e 21× 105 kgf/cm2.Os seguintes passos devem ser adotados para a solucao do problema proposto:

1. Adota-se um sistema de referencia e numeram-se os nos, especificando-se as co-ordenadas nodais indicadas na Tabela 2.1. Deve-se, entao, numerar os graus deliberdades dos nos. Observa-se, neste caso, que cada no possui duas variaveis u e vcorrespondentes aos deslocamentos nas direcoes globais X e Y . Este procedimentoesta ilustrado na Figura 2.8.

2. Os nos de um elemento definem a sua incidencia nodal . Assim, deve-se numeraros elementos, indicando para cada um deles a sua incidencia nodal. A partir daı,calculam-se os comprimentos das barras e os co-senos diretores definindo a orientacaode cada elemento. A Tabela 2.2 resume estas grandezas.

3. Utilizando-se a expressao (2.24) e as informacoes contidas na Tabela 2.2, calculam-seas matrizes de rigidez de cada elemento como apresentado a seguir.

Page 28: Apostila MEF

2.5. DETERMINACAO DA EQUACAO GLOBAL 15

21 cm

21 cm

1000 Kgf

Figura 2.7: Trelica analisada estaticamente.

1

2

4

5

6

3

4

1 1

2

5

6

7

8

3

3

i

i

i

Y

2

4

= grau de liberdade i

= elemento i

= no i

X

Figura 2.8: Numeracao dos nos, graus de liberdade e elementos.

Page 29: Apostila MEF

16 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

Numero do no x [cm] y [cm]

1 0 0

2 0 21

3 21 0

4 21 21

Tabela 2.1: Coordenadas nodais.

Elemento Incidencia l [cm] Area (cm2) c s

1 1-2 21 1 0 1

2 1-3 21 1 1 0

3 3-4 21 1 0 1

4 2-4 21 1 1 0

5 2-3 21√

2√

2 −√

2/2√

2/2

6 1-4 21√

2√

2√

2/2√

2/2

Tabela 2.2: Incidencia, comprimento, area e co-senos diretores dos elementos de barra.

Elementos 1 e 2 :

[K1] =

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

× 105 [K2] =

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 0

0 0 0 0

× 105

Elementos 3 e 4 :

[K3] =

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

× 105 [K4] =

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 0

0 0 0 0

× 105

Elementos 5 e 6 :

[K5] =

1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −1

1 −1 −1 1

1

2× 105 [K6] =

1 1 −1 −11 1 −1 −1−1 −1 1 1−1 −1 1 1

1

2× 105

4. Para se obter a matriz de rigidez global [Kg] da trelica basta superpor as matrizesdos elementos de barra nas linhas e colunas correspondentes a numeracao dos grausde liberdade dos nos compartilhados pelos elementos. Assim, a Tabela 2.3 indica

Page 30: Apostila MEF

2.5. DETERMINACAO DA EQUACAO GLOBAL 17

Elemento Incidencia Graus de Liberdade

1 1-2 1 2 3 4

2 1-3 1 2 5 6

3 3-4 5 6 7 8

4 2-4 3 4 7 8

5 2-3 3 4 5 6

6 1-4 1 2 7 8

Tabela 2.3: Graus de liberdade correspondentes as linhas e colunas nas quais devem sersuperpostas as matrizes dos elementos.

para cada elemento as linhas e colunas nas quais devem ser somadas as matrizes doselementos.

Como o numero total de graus de liberdade e 8, tem-se que a matriz de rigidez globale de ordem 8. Para exemplificar, considere a superposicao da matriz do elemento 6.As linhas e colunas da matriz de rigidez do elemento 6 sao somadas aos coeficientesda matriz global das linhas 1, 2, 7 e 8.

[Kg] =1

2× 105

1 1 0 0 0 0 −1 −11 1 0 0 0 0 −1 −10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 1 1−1 −1 0 0 0 0 1 1

Realizando o mesmo procedimento para os demais elementos, obtem-se a seguintematriz de rigidez global para a estrutura da Figura 2.7.

[Kg] =1

2× 105

3 1 0 0 −2 0 −1 −11 3 0 −2 0 0 −1 −10 0 3 −1 −1 1 −2 00 −2 −1 3 1 −1 0 0−2 0 −1 1 3 −1 0 0

0 0 1 −1 −1 3 0 −2−1 −1 −2 0 0 0 3 1−1 −1 0 0 0 −2 1 3

Observa-se que a matriz [Kg] e simetrica.

Page 31: Apostila MEF

18 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

5. A trelica considerada esta submetida a uma forca concentrada de −1000 kgf aplicadaao grau de liberdade 8. Assim, tem-se o seguinte vetor global de forcas concentradas

{Pg} = { 0 0 0 0 0 0 0 −1000 }T

6. A partir da matriz de rigidez e do vetor de carregamento globais, deve-se aplicaras condicoes de contorno para os nos 1 e 2. Isto equivale a eliminacao das linhas ecolunas da matriz global, assim como das linhas do vetor de carregamento, corre-spondentes a numeracao dos graus de liberdade dos nos 1 e 2, ou seja 1, 2, 3 e 4,pois estes deslocamentos sao nulos. Assim,

[Kg] =1

2× 105

3 −1 0 0−1 3 0 −2

0 0 3 10 −2 1 3

{Pg} = { 0 0 0 −1000 }T

7. Deve-se, entao, resolver um sistema de equacoes para a obtencao dos deslocamentosdos nos 3 e 4. Portanto,

[Kg]{U} = {Pg}

ou em forma expandida

1

2× 105

3 −1 0 0−1 3 0 −2

0 0 3 10 −2 1 3

U5

U6

U7

U8

=

000

−1000

Para a solucao deste sistema de equacoes, pode-se aplicar o metodo de Cholesky de-scrito a seguir.

2.5.1 Decomposicao de Cholesky

Considere o sistema de equacoes lineares

[A]{x} = {b}

sendo [A] uma matriz simetrica e positiva-definida de ordem n. Deseja-se encontrar asolucao {x} para este sistema, ou seja,

{x} = [A]−1{b}

Page 32: Apostila MEF

2.5. DETERMINACAO DA EQUACAO GLOBAL 19

Observa-se, entao, que deve-se inverter a matriz [A]. No entanto, este procedimentoapresenta, geralmente, algumas dificuldades numericas. Assim, aplicam-se outras tecnicasde solucao, tais como o metodo de Cholesky.

Neste caso, a matriz [A] e decomposta como o produto de uma matriz triangularinferior [L] pela sua transposta [L]T triangular superior, ambas de ordem n. Logo,

[A]n×n = [L]n×n[L]Tn×n (2.28)

Assim,

[A]{x} = {b} → [L][L]T {x} = {b} (2.29)

Denotando-se,

{y} = [L]T {x} (2.30)

vem que

[L]{y} = {b} (2.31)

Assim, resolve-se o sistema triangular inferior (2.31) e obtem-se a solucao {y} a qualdeve ser substituıda em (2.30) para se determinar o vetor de incognitas {x}, atraves daresolucao de um sistema de equacoes triangular inferior.

No entanto, deve-se decompor a matriz [A] na forma (2.28) para se determinar oselementos lij. Logo,

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n...

...... . . .

...an1 an2 an3 . . . ann

=

l11 0 0 . . . 0l21 l22 0 . . . 0l31 l32 l33 . . . 0...

...... . . .

...l1n l2n l3n . . . lnn

l11 l12 l13 . . . l1n

0 l22 l23 . . . l2n

0 0 l33 . . . l3n...

...... . . .

...0 0 0 . . . lnn

onde lij = lji (i, j = 1, . . . , n).

Efetuando-se o produto indicado, determinam-se os elementos lij para cada uma daslinhas da matriz [L]. Logo,

Linha 1 :

a11 = l211 → l11 =√

a11

a12 = l11l12 → l12 = a12l11

a13 = l11l13 → l13 = a13l11

a1n = l11l1n → l1n = a1n

l11

Page 33: Apostila MEF

20 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

Linha 2 :

a22 = l212 + l222 → l22 =√

a22 − l212a23 = l12l13 + l22l23 → l23 = a23−l12l13

l22a2n = l12l1n + l22l2n → l2n = a2n−l12l1n

l22

Linha 3 :

a33 = l213 + l223 + l233 → l33 =√

a33 − l223 − l213

a3n = l13l1n + l23l2n + l33l3n → l3n = a3n−l13l1n−l23l2n

l33=

a3n−∑2

r=1lr3lrn

l33

Resumindo as expressoes anteriores vem que

lii =[

aii −∑i−1

r=1 l2ri

]1/2(i = 1, . . . , n)

lij =aij−

∑i−1

r=1lrilrj

lii(j = i + 1, . . . , n)

(2.32)

2.5.2 Aplicacao do Metodo de Cholesky

Para ilustrar a decomposicao de Cholesky, considere o sistema de equacoes obtidona Secao 2.5 reescrito da seguinte maneira

1, 0 × 105

3 −1 0 0−1 3 0 −2

0 0 3 10 −2 1 3

U5

U6

U7

U8

=

000

−2000

Os elementos da matriz triangular inferior [L] sao determinados como

l11 =√

a11 =√

3× 105 = 547, 723

l12 =a12

l11=−1, 0× 105

547, 723= −182, 574

l22 =√

a22 − l212 =√

3× 105 − (−182.574)2 = 516, 398

l13 =a13

l11= 0

l14 =a14

l11= 0

l23 =a23 − l12l13

l22=

0− (−182, 574)0

516, 398= 0

l24 =a24 − l12l14

l22=−2× 105 − (−182, 574)0

516, 398= 0

Page 34: Apostila MEF

2.5. DETERMINACAO DA EQUACAO GLOBAL 21

l33 =√

a33 − l223 − l213 = 547, 723

l34 =a34 − l13l14 − l23l24

l33=

1× 105 − 00− 0(−397, 298)0

547, 723= 182, 574

l44 =√

a44 − l214 − l224 − l234 = 341, 566

Resolve-se, entao, o seguinte sistema de equacoes triangular inferior

547, 723 0 0 0−182, 574 516, 398 0 0

0 0 547, 723 00 −387, 298 182, 574 341, 565

y5

y6

y7

y8

=

000

−2000

cuja solucao e obtida por substituicao a frente, ou seja,

547, 723y5 = 0 → y5 = 0−182, 574y5 + 516, 398y6 = 0 → y6 = 0574, 723y7 = 0 → y7 = 0−387, 298y6 + 182, 574y7 + 341, 565y8 = −2000 → y8 = −5, 8554

e

{y} = { 0 0 0 −5, 855 }T

A partir daı, considera-se o sistema de equacoes triangular superior, determinando-se{U} da seguinte forma

547, 723 −182, 574 0 00 516, 398 0 −387, 2980 0 547, 723 182, 5740 0 0 341, 565

U5

U6

U7

U8

=

000

−5, 855

ou seja,

341, 565U8 = −5, 855 → U8 = −17, 143 × 10−3 cm547, 723U7 + 182, 574U8 = 0 → U7 = 5, 714 × 10−3 cm516, 398U6 − 387, 298U8 = 0 → U6 = −12, 857 × 10−3 cm547, 723U5 − 182, 574U6 = 0 → U5 = −4, 286 × 10−3 cm

Portanto, os deslocamentos do nos da trelica sao dados por

{U} = 1× 10−3{ 0 0 0 0 −4, 286 −12, 857 5, 714 −17, 143 }T

Page 35: Apostila MEF

22 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

2.5.3 Calculo das Deformacoes e Tensoes nos Elementos de Barra

Conhecidos os deslocamentos nodais, utilizam-se as expressoes (2.26) e (2.27) parao calculo das deformacoes especıficas e tensoes nos elementos. Os valores obtidosestao apresentados na Tabela 2.4.

Elemento Deformacao Tensao(ε× 10−4) (σ [Kgf/cm2])

1 0 0

2 −2, 04 −428, 57

3 −2, 04 −428, 57

4 −2, 72 −571, 43

5 2, 72 428, 57

6 −2, 72 −571, 43

Tabela 2.4: Deformacao especıfica e tensao nos elementos da trelica analisada.

Tomando-se uma tensao normal admissıvel de σ = 500Kgf/cm2 para o aco, verifica-se que as barras 1, 2, 3 e 5 permanecem na fase elastica, enquanto que as barras 4e 6 necessitam de redimensionamento. As novas areas mınimas para as barras 4 e 6sao determinadas calculando-se inicialmente as forcas em cada barra como P = σAe dividindo-se os valores obtidos por σ. Logo,

A4 =(571, 43)(1)

500, 00= 1, 14 cm2,

A6 =(571, 43)(

√2)

500, 00= 1, 61 cm2.

Como as tensoes nas barras 1, 2, 3 e 5 sao inferiores a tensao admissıvel dada, asareas das mesmas poderiam ser diminuıdas de forma analoga. Em geral, quando sedeseja dimensionar uma trelica utilizando o MEF, emprega-se inicialmente uma areaunitaria para as barras e determinam-se as areas mınimas das barras utilizando oprocedimento dado pela equacao anterior.

2.6 Elemento de Viga Plana

O elemento de viga, mostrado na Figura 2.9 segundo um sistema local, pode estarsubmetido a esforcos de flexao ao contrario do elemento de barra, no qual aplicam-seapenas forcas axiais. Neste caso, assume-se que a secao transversal e uniforme, oeixo da viga esta ao longo de uma linha reta e a rigidez de flexao e EJz.

Page 36: Apostila MEF

2.6. ELEMENTO DE VIGA PLANA 23

M , θ 11 M 2 , θ 2

F2 , v 2F , v1 1

X

l

Y

1 2

Figura 2.9: Elemento de viga plana segundo o sistema de referencia local XY .

As forcas transversais F1, F2 e os momentos de flexao M1,M2 estao aplicados sobreos nos 1 e 2, originando os deslocamentos v1 e v2 e rotacoes θ1 e θ2, respectivamente.Desta forma, a matriz de rigidez da viga sera de ordem 4. Logo, tem-se que

F1

M1

F2

M2

=

k11 k12 k13 k14

k21 k22 k23 k24

k31 k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

v1

θ1

v2

θ2

=

[

[K11] [K12][K21] [K22]

]

v1

θ1

v2

θ2

(2.33)

onde as submatrizes [Kij ] sao de ordem 2.

Para determinar estas submatrizes, considere os seguintes estados cinematicos:

1. v2 = θ2 = 0:

Assim, tem-se que a viga esta engastada em 2. A partir da teoria de viga,determinam-se a flecha v1 e a rotacao θ1. Logo,

v1 =F1L

3

3EJz− M1L

2

2EJz

θ1 = −F1L2

2EJz+

M1L

EJz

Pode-se expressar as forcas em termos dos deslocamentos, obtendo-se a seguinteequacao matricial,

{

F1

M1

}

=EJz

L3

[

12 6L6L 4L2

]{

v1

θ1

}

= [K11]

{

v1

θ1

}

(2.34)

onde [K11] e uma das submatrizes da equacao (2.33).

As reacoes de apoio em 2 sao determinadas a partir das seguintes condicoes deequilıbrio

Page 37: Apostila MEF

24 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

(a)∑

FY = 0 : F1 + F2 = 0

(b)∑

M2 = 0 : −F1L + M1 + M2 = 0

Em forma matricial,{

F2

M2

}

=

[

−1 0L −1

]{

F1

M1

}

(2.35)

Substituindo (2.34) em (2.35), vem que

{

F2

M2

}

=EJz

L3

[

−12 −6L6L 2L2

]{

v1

θ1

}

= [K21]

{

v1

θ1

}

(2.36)

sendo [K21] a submatriz indicada em (2.33).

2. v1 = θ1 = 0:

Esta condicao corresponde ao caso em que a viga esta engastada em 1. Deforma analoga ao caso anterior, obtem-se as seguintes expressoes

{

F2

M2

}

=EJz

L3

[

12 −6L−6L 4L2

]{

v2

θ2

}

= [K22]

{

v2

θ2

}

(2.37)

e{

F1

M1

}

=EJz

L3

[

−12 6L−6L 2L2

]{

v2

θ2

}

= [K12]

{

v2

θ2

}

(2.38)

Superpondo os dois casos de deslocamentos, determina-se a matriz de rigidez de vigano sistema local de referencia, ou seja,

[Ke] =EIz

L3

12 6L −12 6L6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L6L 2L2 −6L 4L2

(2.39)

2.7 Exercıcios Propostos

Exercıcio 2.1 Dimensionar a trelica ilustrada na Figura 2.10 sabendo-se que as barrassao de aco.

Exercıcio 2.2 Considere a trelica ilustrada na Figura 2.11. Pede-se determinar as forcasem cada uma das barras usando os metodos dos nos e/ou das secoes. Calcular as forcas edeslocamentos nodais usando o ANSYS. Adotar modulo de elasticidade longitudinal E =21× 105 Kgf/cm2 e area da secao transversal A = 1, 2 cm2.

Page 38: Apostila MEF

2.7. EXERCICIOS PROPOSTOS 25

100 Kgf

20 cm

20 cm

150 Kgf

Figura 2.10: Trelica do exercıcio 2.1.

0,9m

1,8m

2,4m

900N500N

4000N

0,9m 1,8m

Figura 2.11: Trelica do exercıcio 2.2.

Page 39: Apostila MEF

26 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE BARRA E VIGA

2 t/m8t 3t

2m

4 t.m 2 t.m

4m 2m2m

Figura 2.12: Viga do exercıcio 2.3.

Exercıcio 2.3 Considere a viga da Figura 2.12 submetida ao carregamento indicado.Pede-se tracar os diagramas da forca cortante e momento fletor, assim como determinara linha elastica da viga. Analisar a viga no programa ANSYS e comparar os resultadosnas coordenadas nodais empregadas.

Page 40: Apostila MEF

Capıtulo 3

Equacoes Basicas de Elasticidade

Nesse capıtulo, apresentam-se os estados de tensao e deformacao para um meio contınuotridimensional. Considera-se ainda a lei de Hooke para materiais elasticos, lineares eisotropicos. As forcas internas sao caracterizadas pelo conceito de tensao e o estado detensao em cada ponto de um corpo solido e dado pelo tensor de tensoes de Cauchy, escritoatraves das componentes de tensao normal e de cisalhamento. O estado de deformacaoem cada ponto do corpo e tambem caracterizado por um tensor de deformacao infinitesi-mal, contendo as componentes de deformacao normal e angular. Ao final, deduzem-se asequacoes diferenciais de equilıbrio em termos de tensao para um corpo submetido a forcasde corpo e de superfıcie.

3.1 Estado Geral de Solicitacao

Considere um corpo qualquer submetido a acao de um sistema de forcas externas, comomostrado na Figura 3.1. Verifica-se que este corpo apresentara uma mudanca de formaa qual e caracterizada por uma deformacao. Se as forcas externas nao excederem umcerto limite, que depende do material do corpo, a deformacao desaparece quando as forcasdeixam de atuar. Admite-se entao que os corpos sao perfeitamente elasticos, ou seja, queos mesmos retornam a sua forma inicial quando deixam de se aplicar as forcas externas.

Supoe-se, ainda, que o material de um corpo elastico e homogeneo e distribuıdo con-tinuamente ao longo de seu volume. Alem disso, admite-se que o material e isotropico, ouseja, que as propriedades elasticas sao as mesmas em todas as direcoes.

Submetendo-se o corpo ilustrado na Figura 3.1 ao sistema de forcas indicado, verifica-se que o mesmo se deforma ate que haja o equilıbrio entre as forcas externas aplicadas e asforcas internas resistentes presentes no interior do corpo. Torna-se interessante determinara grandeza destas forcas internas.

Para isso, suponha que o corpo seja dividido em duas partes atraves de um corteimaginario ao longo de um plano generico mm, e considere a parte inferior, como ilustradona Figura 3.2.

27

Page 41: Apostila MEF

28 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

P1 P

2

P4

P6

P3

5P

m m

Figura 3.1: Corpo submetido a acao de um sistema de forcas externas.

5P

6

zy

P

τ

zzσ

τ

zx

4P

Z

YO

T

t

O

mm

O

n

T

δΑδ P

τ

σ

n

n

X

Figura 3.2: Distribuicao de tensao na secao transversal do corpo.

Page 42: Apostila MEF

3.1. ESTADO GERAL DE SOLICITACAO 29

Sobre a parte isolada atuam as forcas externas ~P4, ~P5, ~P6 e uma distribuicao de forcasinternas, admitida contınua e nao-uniforme, responsavel pelo equilıbrio da parte isolada.A grandeza destas forcas internas e dada pelo conceito de tensao, ou seja, a forca internaresultante por unidade de area da superfıcie considerada.

Tomando-se um ponto O pertencente a secao transversal de corte, seja δA a area dasuperfıcie elementar contendo o ponto O. Denotando-se por δ ~P a resultante das forcasinternas na vizinhanca de O, a tensao media atuante na superfıcie elementar δA e dadapor

T =δ ~P

δA

Diminuindo-se continuamente a area elementar δA, a tensao atuando no ponto O sera

~T = limδA→0

δ ~P

δA(3.1)

A tensao ~T tem a mesma direcao da resultante δ ~P e como mostrado na Figura 3.2pode ser decomposta em duas componentes

• uma componente normal a superfıcie: σn = tensao normal;

• uma componente tangente a superfıcie: τn = tensao de cisalhamento.

Associando-se ao ponto O um sistema cartesiano de referencia pode-se decompor atensao ~T em tres componentes, ou seja,

• σzz = tensao normal atuante no plano z na direcao do eixo z;

• τzx = tensao de cisalhamento atuante no plano z na direcao do eixo x;

• τzy = tensao de cisalhamento atuante no plano z na direcao do eixo y.

No caso mais geral de solicitacao, tem-se 9 componentes de tensao presente em cadaponto do corpo, sendo 3 em cada plano coordenado, como ilustrado na Figura 3.3.

O teorema de Cauchy estabelece que as componentes de tensao cisalhante atuantes emplanos perpendiculares entre si sao iguais. Assim, em relacao a Figura 3.3, tem-se que

τxy = τyx

τxz = τzx (3.2)

τyz = τzy

Portanto, necessitam-se apenas de seis componentes para descrever as tensoes atuantesnum ponto de um corpo elastico solicitado por um sistema de esforcos externos.

Page 43: Apostila MEF

30 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

zz

τzy

τzx

σ

σxxxy

τxz

τ

X

Z

Y

τyz

σyy

τyx

O

Figura 3.3: Componentes de um estado geral de tensao num ponto O do corpo solido.

3.2 Estado Geral de Deformacao

No estudo da deformacao de um corpo elastico, supoe-se a existencia de um numerosuficiente de restricoes para impedir seu deslocamento como corpo rıgido e consideram-se,em geral, apenas pequenas deformacoes.

Estes pequenos deslocamentos das partıculas de um corpo deformado serao denota-dos pelas componentes u, v,w nas direcoes dos eixos cartesianos x, y, z, respectivamente.Verifica-se que estes deslocamentos dependem da posicao da partıcula, ou seja,

u = u(x, y, z)

v = v(x, y, z) (3.3)

w = w(x, y, z)

Alem disso, observa-se que estas componentes sao grandezas muito pequenas variandocontinuamente ao longo do volume do corpo.

Considere o corpo elastico da Figura 3.1 submetido ao sistema de forcas externas indi-cado. Toma-se, entao, um elemento infinitesimal de volume ∆x∆y ∆z, como ilustrado naFigura 3.4, e sejam u, v,w as componentes de deslocamento do ponto P. Deseja-se deter-minar as deformacoes especıficas ε do ponto P e as distorcoes γ dos 3 planos cartesianos.

A Figura 3.5 apresenta o plano xy do elemento infinitesimal da Figura 3.4, juntamentecom a sua configuracao deformada. A deformacao especıfica em P na direcao x e dada

Page 44: Apostila MEF

3.2. ESTADO GERAL DE DEFORMACAO 31

X

Y

RS

P Q

∆y

∆x

∆z

Z

Figura 3.4: Elemento infinitesimal de um corpo elastico.

pela seguinte expressao,

εxx = lim∆x→0

∆x′ −∆x

∆x(3.4)

A partir da Figura 3.5, verifica-se que

∆x′ = ∆x + u + ∆u− u = ∆x + ∆u

A variacao de deslocamento ∆u e dada por

∆u =∂u

∂x∆x

Substituindo estas relacoes em (3.4) vem que

εxx = lim∆x→0

∆x + ∆u−∆x

∆x= lim

∆x→0

∆u

∆x= lim∆x→0

∂u∂x∆x

∆x= lim

∆x→0

∂u

∂x=

∂u

∂x

Analogamente, para a deformacao especıfica no ponto P na direcao y

εyy = lim∆y→0

∆y′ −∆y

∆y

sendo ∆y′ = ∆y + ∆v e ∆v = ∂v∂y∆y. Assim,

εyy = lim∆y→0

∆y + ∆v −∆y

∆y= lim

∆y→0

∆v

∆y= lim

∆y→0

∂v∂y∆y

∆y= lim

∆v→0

∂v

∂y=

∂v

∂y

Page 45: Apostila MEF

32 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

v

γ

v+ v

u+ u

xdv

ydu

y’

X

Y

R’

Q’

S’

x

u

x’

P’

QP

RS

y

1

Figura 3.5: Plano xy do elemento infinitesimal utilizado para a determinacao das de-formacoes especıficas εxx, εyy e distorcao γxy.

As mesmas deducoes anteriores podem ser aplicadas para se obter a deformacao es-pecıfica εzz na direcao z. De forma geral, determinam-se as componentes de deformacaoespecıfica no ponto P como

εxx =∂u

∂x

εyy =∂v

∂y(3.5)

εzz =∂w

∂z

Para a determinacao das distorcoes apresentadas no plano xy, considere novamente aFigura 3.5. Neste caso, a distorcao sera dada pela soma dos angulos γ1 e γ2 indicandorespectivamente, o quanto os angulos SPQ e PSR deixaram de ser retos. Assim,

γxy = γ1 + γ2 (3.6)

Os diferenciais de u e v nas direcoes y e x sao dados, respectivamente, por,

du =∂u

∂y∆y dv =

∂v

∂x∆x

Por sua vez, as tangentes dos angulos γ1 e γ2 sao determinados a partir das expressoes

tan γ1 =∂v∂x∆x

∆x′=

∂v∂x∆x

∆x + ∂u∂x∆x

=∂v∂x

1 + εxx(3.7)

Page 46: Apostila MEF

3.2. ESTADO GERAL DE DEFORMACAO 33

tan γ2 =

∂u∂y ∆y

∆y′=

∂u∂y ∆y

∆y + ∂v∂y∆y

=

∂u∂y

1 + εyy(3.8)

Como as deformacoes sao pequenas, pode-se aproximar as tangentes de γ1 e γ2 pelosproprios angulos, ou seja,

γ1 ≈ tan γ1 γ2 ≈ tan γ2 (3.9)

Alem disso, observa-se que as deformacoes especıficas εxx e εyy sao muito pequenasquando comparadas com a unidade podendo ser desprezadas. Logo, a partir de (3.8) e(3.9) vem que

γ1 =∂v

∂x(3.10)

γ2 =∂u

∂y(3.11)

Substituindo em (3.6) as relacoes (3.10) e (3.11), obtem-se a distorcao total γxy

γxy =∂v

∂x+

∂u

∂y

A mesma demonstracao pode ser aplicada, de maneira analoga, para os planos xz eyz. Portanto, de maneira geral,

γxy =∂u

∂y+

∂v

∂x

γxz =∂u

∂z+

∂w

∂x(3.12)

γyz =∂v

∂z+

∂w

∂y

As seis grandezas dadas em (3.5) e (3.12) sao denominadas componentes de deformacao.Pode-se escrever estas relacoes em forma matricial como

εxx

εyy

εzz

γxy

γxz

γyz

=

∂∂x 0 0

0 ∂∂y 0

0 0 ∂∂z

∂∂y

∂∂x 0

∂∂z 0 ∂

∂x

0 ∂∂z

∂∂y

uvw

(3.13)

ou ainda,

{ε} = [L]{u} (3.14)

sendo

Page 47: Apostila MEF

34 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

• {ε} = vetor com as componentes de deformacao do ponto;

• [L] = operador diferencial;

• {u} = vetor com as componentes de deslocamento do ponto.

3.3 Deformacoes Termicas

Em alguns casos, o corpo em estudo esta submetido a elevadas temperaturas fazendosurgir no seu interior tensoes provenientes de efeitos termicos. Tomando-se um elementoinfinitesimal de comprimento ∆l de um corpo elastico, sob a acao de uma variacao detemperatura T, tem-se que este elemento apresentara uma expansao caracterizada por umnovo comprimento ∆l′ tal que

∆l′ = ∆l(1 + αT )

sendo α o coeficiente de expansao termica. Para materiais homogeneos e isotropicos,este coeficiente e independente da direcao e posicao do elemento, dependendo apenas datemperatura.

Portanto, a deformacao termica εT sera dada por

εT =∆l′ −∆l

∆l= αT (3.15)

T

∆ l’

l∆

Figura 3.6: Elemento infinitesimal submetido a um gradiente de temperatura T.

Assim, tomando-se um elemento infinitesimal de um corpo isotropico sujeito a umavariacao de temperatura T , verifica-se uma expansao uniforme nao ocorrendo distorcoesangulares. O elemento continuara retangular surgindo apenas tensoes normais, sendo nulasas tensoes de cisalhamento.

Pode-se generalizar a equacao (3.15) segundo as direcoes x, y e z, ou seja,

εTxx = αT

Page 48: Apostila MEF

3.4. LEI DE HOOKE 35

εTyy = αT (3.16)

εTzz = αT

3.4 Lei de Hooke

Considere um corpo elastico submetido a um sistema de forcas e uma distribuicao detemperaturas. As componentes de deformacao e tensao presentes nos pontos deste corpopodem ser relacionadas atraves da lei de Hooke, ou seja,

εxx =1

E[σxx − µ(σyy + σzz)] + αT

εyy =1

E[σyy − µ(σxx + σzz)] + αT

εzz =1

E[σzz − µ(σxx + σyy)] + αT (3.17)

γxy =τxy

G

γxz =τxz

G

γyz =τyz

G

sendo

• µ = coeficiente de Poisson;

• E = modulo de elasticidade longitudinal do material;

• G = modulo de elasticidade transversal do material.

Observa-se que os modulos de elasticidade E e G estao relacionados da seguinte maneira

G =E

2(1 + µ)(3.18)

As relacoes em (3.18) podem ser escritas na seguinte forma matricial

εxx

εyy

εzz

γxy

γxz

γyz

=1

E

1 −µ −µ 0 0 0−µ 1 −µ 0 0 0−µ −µ 1 0 0 00 0 0 2(1 + µ) 0 00 0 0 0 2(1 + µ) 00 0 0 0 0 2(1 + µ)

σxx

σyy

σzz

τxy

τxz

τyz

+αT

111000

(3.19)

Page 49: Apostila MEF

36 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

Em alguns casos, torna-se interessante expressar as componentes de tensao em funcaodas componentes de deformacao. Neste caso, obtem se a seguinte relacao matricial

σxx

σyy

σzz

τxy

τxz

τyz

=E

(1 + µ)(1− 2µ)

1− µ µ µ 0 0 0µ 1− µ µ 0 0 0µ µ 1− µ 0 0 0

0 0 0 1−2µ2 0 0

0 0 0 0 1−2µ2 0

0 0 0 0 0 1−2µ2

εxx

εyy

εzz

γxy

γxz

γyz

− EαT

1− 2µ

111000

(3.20)

Pode-se expressar a relacao anterior na forma resumida

{σ} = [D]{ε} − αT [DT ] (3.21)

com

• {σ} = vetor com as componentes de tensao;

• {ε} = vetor com as componentes de deformacao;

• [D] = matriz de elasticidade

[D] =E

(1 + µ)(1− 2µ)

1− µ µ µ 0 0 0µ 1− µ µ 0 0 0µ µ 1− µ 0 0 0

0 0 0 1−2µ2 0 0

0 0 0 0 1−2µ2 0

0 0 0 0 0 1−2µ2

• [DT ] = matriz de elasticidade termica

[DT ] =E

1− 2µ

111000

Page 50: Apostila MEF

3.5. ESTADO DE TENSAO NUM PONTO 37

Pre-multiplicando (3.21) por [D]−1 e isolando {ε} obtem-se,

{ε} = [D]−1{σ} + αT [D]−1[DT ] (3.22)

sendo,

[D]−1 =1

E

1 −µ −µ 0 0 0−µ 1 −µ 0 0 0−µ −µ 1 0 0 00 0 0 2(1 + µ) 0 00 0 0 0 2(1 + µ) 00 0 0 0 0 2(1 + µ)

Observa-se que

[D]−1[DT ] = {IT }

sendo {IT } = { 1 1 1 0 0 0 }T . Logo, a equacao (3.22) pode ser simplificada como

{ε} = [D]−1{σ} + αT{IT } (3.23)

Esta relacao e a expressao matricial reduzida da equacao (3.19).

3.5 Estado de Tensao num Ponto

Dois tipos de forcas externas podem atuar sobre um corpo:

forcas de superfıcie : sao as forcas distribuıdas sobre a superfıcie do corpo, tais comoa pressao de um corpo sobre outro. Serao denotadas por Φx, Φy, Φz as componentesdas forcas de superfıcie nas direcoes x, y, z, respectivamente.

forcas de massa ou volume : sao as forcas distribuıdas ao longo do volume do corpo,tais como as forcas gravitacionais e magneticas ou de inercia caso o corpo estejaem movimento. As componentes de forcas de massa serao designadas por χx, χy,χz segundo os eixos coordenados x, y, z, respectivamente. Observa-se que o pesoespecıfico do corpo e uma forca de massa.

Considere o corpo solido mostrado na Figura 3.7 submetido ao sistema de forcas indi-cado. Pretende-se determinar a tensao atuante num ponto O do seu interior. Verifica-seque esta tensao depende nao apenas do ponto, mas tambem do plano passando pelo pontoO.

Tomam-se os seguintes planos passando pelo ponto O:

Plano mm : definido pela sua normal ~M dada em relacao ao sistema de referencia pelosco-senos diretores,

Page 51: Apostila MEF

38 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

1P

2

P3

P4

P6

P5

MN

P

O

X

Y

Z m

n

m

n

Figura 3.7: Corpo solido submetido a um sistema de forcas externas.

lM = cos Mx mM = cos My nM = cos Mz

Plano nn : definido pela sua normal ~N dada em relacao ao sistema de referencia pelosco-senos diretores,

lN = cos Nx mN = cos Ny nN = cos Nz

A Figura 3.8 apresenta a parte inferior do corpo solido da Figura 3.7 quando se fazum corte imaginario pelo planos mm e nn. As tensoes medias Tm e Tn atuantes no pontoO segundo os dois planos sao as seguintes

Tm =δ ~Fm

δA(3.24)

Tn =δ ~Fn

δA(3.25)

sendo

• δ ~Fm = resultante das forcas internas na vizinhanca do ponto O quando se passa oplano mm.

• δ ~Fn = resultante das forcas internas na vizinhanca do ponto O quando se passa oplano nn.

• δA = area elementar na vizinhanca do ponto O.

Page 52: Apostila MEF

3.5. ESTADO DE TENSAO NUM PONTO 39

4

P5

5

PP

P

Fm

6

F

4

δ

P6

δ

n

P

n

n

O O

δΑ

m m

δΑ

Figura 3.8: Partes inferiores do corpo solido obtidas pelos cortes atraves dos planos mme nn.

Para os dois casos, a tensao atuante no ponto O e determinada tomando-se os limitespara as relacoes (3.24) e (3.25). Logo,

~Tm = limδ→0

δ ~Fm

δA(3.26)

~Tn = limδ→0

δ ~Fn

δA(3.27)

Portanto, no ponto O atuam tantas tensoes quantos sao os planos que podem serpassados atraves de O. Denomina-se de estado de tensao no ponto ao conjunto de todas astensoes atuantes em O. No entanto, necessitam-se determinar apenas as tensoes atuantessegundo 3 planos coordenados para caracterizar o estado de tensao num ponto.

No caso mais geral de solicitacao de um corpo elastico, tem-se seis componentes detensao atuantes nos pontos deste corpo. Suponha que sejam conhecidas as componentesde tensao no ponto O, segundo um sistema de referencia cartesiano, como indicado naFigura 3.9.

Considera-se, entao, no ponto O um tetraedro formado por 3 planos ortogonais e umplano p, como ilustrado na Figura 3.10. A normal ~P e dada pelos co-senos diretores l, me n em relacao aos eixos coordenados x, y, z,

l = cos Px m = cos Py n = cos Pz (3.28)

Sendo A a area da face BCD do tetraedro, tem-se que as areas das demais faces saoobtidas pela projecao sobre os tres planos coordenados x, y, z. Portanto,

• Area da face OCD: Al;

Page 53: Apostila MEF

40 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

1P P

2

4P

5P

6

P3

τ

P

σ

σ

xx

τ zxσyy

τyx

τyz

xy

zz

τ zy

τY

Z

X

O

X

Z

Y

xz

O

Figura 3.9: Componentes de tensao no ponto O do corpo solido.

∼τ∼τ

∼xx

xy

σ

τ∼

xz

τ∼

zzσzy

τ∼σ∼

zx

∼yx

yy

yz

τ

Y

X

Z

h

N

C

B

DO

Figura 3.10: Tetraedro elementar no ponto O e suas componentes medias de tensao.

Page 54: Apostila MEF

3.5. ESTADO DE TENSAO NUM PONTO 41

• Area da face OBC: An;

• Area da face OBD: Am.

Uma vez que as tensoes variam continuamente ao longo do volume do corpo, tem-seque as tensoes medias atuando nas faces do tetraedro tendem as componentes de tensaono plano O quando a altura h se aproxima de zero.

As componentes de tensao media nas faces do tetraedro, segundo os eixos x,y,z saodenotadas por,

• Face ABC: Tx, Ty, Tz;

• Face OCD: σxx, τxy, τxz;

• Face OBC: τyz, σyy, τyz;

• Face OBD: τzx, τzy, σzz.

Da mesma forma, χx, χy, χz indicam as forcas de volume nas direcoes x, y, z, respec-tivamente. Por sua vez, o volume do tetraedro e 1

3Ah.

Logo, as condicoes de equilıbrio do tetraedro sao as seguintes

1)∑

Fx = 0 : TxA− σxxAl − τxyAm− τxzAn− χx1

3Ah = 0

2)∑

Fy = 0 : TyA− τyxAl − σyyAm− τyzAn− χy1

3Ah = 0 (3.29)

3)∑

Fz = 0 : TzA− τzxAl − τzyAm− σzzAn− χz1

3Ah = 0

Fazendo a altura h do tetraedro tender a zero, o plano ~P passara pelo ponto O e astensoes medias em cada face tendem as tensoes neste ponto, ou seja,

h→ 0 →{

σii → σii i = x, y, zτij → τij i, j = x, y, z

Simplificando as equacoes (3.29) e tomando-se o limite quando h→ 0 tem-se que

limh→0

[Tx − σxxl − τxym− τxzn− χxh] = 0

limh→0

[Ty − τxyl − σyym− τyzn− χyh] = 0

limh→0

[Tz − τxzl − τyzm− σzzn− χzh] = 0

Page 55: Apostila MEF

42 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

Obtem-se entao

Tx = σxxl + τxym + τxzn

Ty = τxyl + σyym + τyzn

Tz = τxzl + τyzm + σzzn

As expressoes anteriores podem ser expressas na seguinte forma matricial,

Tx

Ty

Tz

=

σxx τxy τxz

τxy σyy τyz

τxz τyz σzz

lmn

(3.30)

ou ainda,

{T} = [Tσ]O{p} (3.31)

sendo

• {T} = vetor com as componentes de tensao no ponto O nas direcoes x,y,z segundoo plano p;

• [Tσ]O = matriz com as componentes de tensao no ponto O segundo os 3 planoscoordenados x,y,z, sendo denominada tensor de tensao no ponto O ;

• {p} = vetor com os co-senos diretores da normal ~P do plano generico p.

3.6 Equacoes Diferenciais de Equilıbrio

Na secao anterior, apresentou-se o estado de tensao num ponto O de um corpo elastico.Deseja-se agora estudar a variacao de tensao na vizinhanca do ponto O. Para isso, considereo pequeno paralelepıpedo de arestas ∆x, ∆y, ∆z, ilustrado na Figura 3.11, representandopequenos incrementos nas coordenadas do ponto O, juntamente com as componentes detensao media atuantes em cada uma das faces.

Designam-se por 1, 2, 3, 4, 5, 6 os pontos medios das faces do elemento da Figura 3.11.A partir daı, as tensoes normais medias nas faces 1 e 2 sao denotadas por (σxx)1 e (σxx)2.Para as demais componentes utiliza-se uma notacao similar.

Como o paralelepıpedo e pequeno, as forcas presentes nas faces do mesmo sao obtidaspela multiplicacao da tensao pela area da face. As forcas de volume sao indicadas por χx,χy e χz segundo os tres eixos coordenados.

As condicoes de equilıbrio do paralelepıpedo elementar sao dadas por

1)∑

Fx = 0 : [(σxx)1 − (σxx)2]∆y∆z + [(τxy)3 − (τxy)4]∆x∆z +

[(τxz)5 − (τxz)6]∆x∆y + χx∆x∆y∆z = 0

Page 56: Apostila MEF

3.6. EQUACOES DIFERENCIAIS DE EQUILIBRIO 43

σzz

τ zy

τ zx

τ yz

∆ y

2

σxx

τ 6

z∆

X

Z

Y

σ

τ

yy

τ yx

xz

xy

4

5

3

1

x∆

O

Figura 3.11: Paralelepıpedo elementar com suas componentes medias de tensao.

2)∑

Fy = 0 : [(τyx)1 − (τyx)2]∆y∆z + [(σyy)3 − (σyy)4]∆x∆z +

[(τyz)5 − (τyz)6]∆x∆y + χy∆x∆y∆z = 0

3)∑

Fz = 0 : [(τzx)1 − (τzx)2]∆y∆z + [(τzy)3 − (τzy)4]∆x∆z +

[(σzz)5 − (σzz)6]∆x∆y + χz∆x∆y∆z = 0

Dividindo-se as relacoes anteriores pelo volume do paralelepıpedo ∆x∆y ∆z e passando-se ao limite pela contracao do elemento vem que

lim∆x,∆y,∆z→0

{

[(σxx)1 − (σxx)2]

∆x+

[(τxy)3 − (τxy)4]

∆y+

[(τxz)5 − (τxz)6]

∆z+ χx

}

= 0

lim∆x,∆y,∆z→0

{

[(τyx)1 − (τyx)2]

∆x+

[(σyy)3 − (σyy)4]

∆y+

[(τyz)5 − (τyz)6]

∆z+ χy

}

= 0

lim∆x,∆y,∆z→0

{

[(τzx)1 − (τzx)2]

∆x+

[(τzy)3 − (τzy)4]

∆y+

[(σzz)5 − (σzz)6]

∆z+ χz

}

= 0

As fracoes presentes nas relacoes anteriores, representam derivadas parciais. Portanto,

∂σxx

∂x+

∂τxy

∂y+

∂τxz

∂z+ χx = 0

Page 57: Apostila MEF

44 CAPITULO 3. EQUACOES BASICAS DE ELASTICIDADE

∂τyx

∂x+

∂σyy

∂y+

∂τyz

∂z+ χy = 0 (3.32)

∂τzx

∂x+

∂τzy

∂y+

∂σzz

∂z+ χz = 0

As relacoes (3.32) devem ser satisfeitas em todos os pontos ao longo do volume docorpo elastico. No contorno do corpo estas tensoes devem estar em equilıbrio com as forcasexternas na superfıcie do solido. Estas condicoes de equilıbrio podem ser determinadasutilizando as relacoes (3.30), bastando substituir Tx, Ty, Tz pelas componentes Φx, Φy, Φz

das forcas de superfıcie. Logo,

Φx = σxxl + σxym + σxznΦy = σxyl + σyym + σyznΦz = σxzl + σyzm + σzzn

(3.33)

Assim, para se determinar o estado de tensao em um corpo solido submetido a acao deforcas externas, deve-se resolver as equacoes (3.32) de tal forma que a solucao satisfaca ascondicoes de contorno (3.33). No entanto, o problema e estaticamente indeterminado, poistem-se 3 expressoes em (3.32) para a determinacao de seis componentes de tensao. Parase obter a solucao do problema, deve-se considerar, portanto, as deformacoes elasticas docorpo, representadas pelas equacoes de compatibilidade.

3.7 Exercıcios Propostos

Exercıcio 3.1 A cinematica de uma barra em tracao/compressao simples e dada emforma de vetor como

u(x, y, z) ={

u(x) 0 0}T

Determinar as componentes de deformacao correspondentes, a equacao constitutiva e aequacao diferencial de equilıbrio em termos das tensoes e da cinematica.

Exercıcio 3.2 A cinematica de um eixo em torcao simples e dada em forma de vetorcomo

u(x, y, z) ={

0 −yθ(x) zθ(x)}T

sendo θ(x) o angulo de torcao. Determinar as componentes de deformacao correspon-dentes, a equacao constitutiva e a equacao diferencial de equilıbrio em termos das tensoese da cinematica.

Exercıcio 3.3 A cinematica de uma viga em flexao pura e dada em forma de vetor como

u(x, y, z) ={

u(x) −y dv(x)dx 0

}T

Determinar as componentes de deformacao correspondentes, a equacao constitutiva e aequacao diferencial de equilıbrio em termos das tensoes e da cinematica.

Page 58: Apostila MEF

Capıtulo 4

Equacao de Movimento

Nesse capıtulo, aplica-se o Princıpio do Trabalho Virtual (PTV) para determinar a formaintegral de equilıbrio de um corpo solido submetidos a forcas de superfıcie, volume econcentradas. A forma integral e geralmente denominada forma fraca no contexto doMetodo de Elementos Finitos. Inicialmente, introduzem-se os conceitos de trabalho eenergia de deformacao. Posteriormente, apresentam-se o Princıpio de D’alambert e oPTV. Considera-se entao a discretizacao de um meio contınuo atraves de um processo deinterpolacao usando as funcoes de forma. Aplica-se a forma discreta do vetor deslocamentono PTV e determina-se a forma discreta das equacoes de equilıbrio de um corpo emmovimento. Com isso, as expressoes gerais das matrizes de massa e rigidez e vetoresde forcas equivalentes sao deduzidas. Ao final, determinam-se essas grandezas para oselementos de barra e viga.

4.1 Trabalho e Energia de Deformacao

Submetendo-se um corpo elastico a um sistema de forcas externas, verifica-se que o mesmose deforma ate que haja o equilıbrio entre as forcas externas e as internas resistentes. AFigura 4.1 apresenta um diagrama forca-deslocamento para a deformacao de um corpo,considerado nao-linear para efeito de generalidade. A area W indicada no diagrama eigual ao trabalho realizado pela forca externa P devido a um deslocamento u do corpo.Para um sistema linear, tem-se que

W =1

2Pu

Se o deslocamento u e elevado para u + δu, o incremento correspondente no trabalhoW para um sistema linear e dado pela area do trapezio indicado na Figura 4.1. Logo,

∆W = (P + P + δP )δu

2= Pδu +

1

2δPδu

45

Page 59: Apostila MEF

46 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

W

u

δ P

∆W

δ u

P

Figura 4.1: Diagrama forca × deslocamento para a deformacao de um corpo.

Suponha que seja aplicado ao corpo solido um sistema de forcas de superfıcie {Φ} e devolume {χ}. Variando-se os deslocamentos de u para u + δu, verifica-se que os trabalhosrealizados pelas forcas de superfıcie e de volume sao dados, respectivamente, por

δWΦi=

S{Φ}T {δu} dS (4.1)

δWχi=

V{χ}T {δu} dV (4.2)

Neste caso,

{δu} = { δux δuy δuz }T

{χ} = { χx χy χz }T

{Φ} = { Φx Φy Φz }T

sao as componentes, segundo um sistema de referencia cartesiano, da variacao dos deslo-camentos, das forcas de superfıcie e de corpo, respectivamente. Os ındices S e V denotama superfıcie e o volume do solido.

Neste caso, o incremento de trabalho δW sera dado por

δW = δWΦi+ δWχi

=

S{Φ}T {δu} dS +

V{χ}T {δu} dV (4.3)

Caso se apliquem forcas concentradas sobre o corpo solido, a integral de superfıcie em(4.1) deve incluir a soma de produtos das forcas pelas variacoes de deslocamentos corre-spondentes. Portanto, aplicando-se apenas forcas concentradas {P} = { P1 . . . Pn }Tsobre o corpo, tem-se que,

δW = {P}T {δU} = P1δU1 + . . . + PnδUn (4.4)

Page 60: Apostila MEF

4.1. TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMACAO 47

onde {δU} = { δU1 . . . δUn }T sao as variacoes dos deslocamentos nas direcoes dasforcas indicadas em {P}.

Da mesma forma, considera-se uma relacao tensao-deformacao nao-linear como podeser observado na Figura 4.2. A area sob a curva indicada representa a densidade de energiade deformacao Ui, expressa em unidades como kgf · m/m3. A energia de deformacao Ui

armazenada no corpo e obtida integrando-se Ui ao longo do volume do corpo, ou seja,

Ui =

VUi dV (4.5)

δ

δ σ

ε

ε

σ

U

U

i

i

Figura 4.2: Diagrama de tensao × deformacao.

Variando-se os deslocamentos de u para u+δu, ocorrerao incrementos correspondentesnas deformacoes normais ε e angulares γ para ε + δε e γ + δγ, respectivamente. Como ascomponentes de deformacao sao independentes, para se obter a variacao δUi da densidadede energia de deformacao, basta multiplicar as componentes de tensao pelas respectivascomponentes de deformacao, e somar todas as parcelas. Portanto,

δUi = σxxδεxx + σyyδεyy + σzzδεzz + τxyδγxy + τyzδγyz + τxzδγxz = {σ}T {δε}

sendo

{σ} = { σxx σyy σzz τxy τyz τxz }T

{δε} = { δεxx δεyy δεzz δγxy δγyz δγxz }T

Portanto, a variacao na energia de deformacao pode ser obtida a partir de (4.5), ouseja,

δUi =

VδUi dV =

V{σ}T {δε} dV (4.6)

Page 61: Apostila MEF

48 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

4.2 Identidade de Green

Considere a seguinte integral de volume

I =

V

∂f

∂i

∂g

∂idV i = x, y, z (4.7)

sendo f e g funcoes contınuas de x, y, z ao longo do volume de integracao.A Figura 4.3 ilustra uma superfıcie elementar de area dS cujas projecoes nos planos co-

ordenados podem ser obtidas a partir dos co-senos diretores l, m, n da normal a superfıcie~N . Logo,

dydz = ldSdzdx = mdSdxdy = ndS

(4.8)

dz

dy

V

Z

Y

X

N

dS

Figura 4.3: Projecao da area elementar dS sobre o plano yz.

Substituindo i = x em (4.7) e tomando-se a primeira relacao em (4.8), determina-sepor integracao por partes, a seguinte expressao

∫ ∫ ∫

∂f

∂x

∂g

∂xdx dy dz =

S

x

∂f

∂x

∂g

∂xldx dS =

Sf

∂g

∂xl dS −

Vf

∂2g

∂x2dV (4.9)

Analogamente, tomando-se i = y e i = z na expressao (4.7), obtem-se

∫ ∫ ∫

∂f

∂y

∂g

∂ydx dy dz =

S

y

∂f

∂y

∂g

∂ymdy dS =

Sf

∂g

∂ym dS −

Vf

∂2g

∂y2dV (4.10)

∫ ∫ ∫

∂f

∂z

∂g

∂zdx dy dz =

S

z

∂f

∂z

∂g

∂zndz dS =

Sf

∂g

∂zn dS −

Vf

∂2g

∂z2dV (4.11)

Somando-se as relacoes (4.9) a (4.11), chega-se a forma padrao da primeira identidadede Green.

Page 62: Apostila MEF

4.3. PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 49

4.3 Princıpio dos Trabalhos Virtuais

Considere um corpo elastico submetido a um sistema de forcas externas. Como se sabeeste corpo vai se deformar ate que exista o equilıbrio entre as forcas externas aplicadas eas forcas internas resistentes. Esta condicao de equilıbrio pode ser expressa fazendo-se aresultante das forcas nas direcoes x, y, z iguais a zero. Portanto,

Fx = 0∑

Fy = 0∑

Fz = 0(4.12)

Pode-se multiplicar as relacoes (4.12) por constantes arbitrarias δu, δv, δw sem alterar acondicao de equilıbrio do corpo. Assim, as forcas externas e o estado de tensao permanecemos mesmos. Logo,

δu∑

Fx = 0δv∑

Fy = 0δw∑

Fz = 0(4.13)

Os multiplicadores δu, δv, δw sao denominados deslocamentos virtuais e representamvariacoes dos deslocamentos dos pontos de um corpo elastico a partir da condicao deequilıbrio. Estes deslocamentos devem ser compatıveis com as condicoes de continuidadedo material e de contorno na superfıcie do corpo, como por exemplo a extremidade engas-tada de uma viga.

Designando por u, v, w as componentes do deslocamento real de um ponto devido ascargas aplicadas e por δu, δv, δw as componentes de um deslocamento virtual, tem-se queestes sao funcoes contınuas de x, y, z, ou seja,

δu = δu(x, y, z)

δv = δv(x, yz)

δw = δw(x, y, z)

Correspondentes aos deslocamentos virtuais δu, δv, δw tem-se os incrementos nas 6componentes de deformacao, ou seja,

δεxx =∂

∂xδu

δεyy =∂

∂yδv

δεzz =∂

∂zδw (4.14)

δγxy =∂

∂xδv +

∂yδu

δγyz =∂

∂yδw +

∂zδv

δγzx =∂

∂xδw +

∂zδu

Page 63: Apostila MEF

50 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

Toma-se, entao, um elemento de volume dV = dx dy dz do corpo elastico considerado,submetido as forcas de superfıcie

Φx dS Φy dS Φz dS

para cada elemento de superfıcie dS; e as forcas de corpo

χx dV χy dV χz dV

nas direcoes x, y, z, respectivamente.

Substituindo as condicoes de equilıbrio (3.32), as quais estao expressas em componentesde tensao, em (4.13) tem-se para o elemento de volume infinitesimal

∂σxx

∂xδu +

∂τxy

∂yδu +

∂τxz

∂zδu + χxδu = 0

∂τyx

∂xδv +

∂σyy

∂yδv +

∂τyz

∂zδv + χyδv = 0 (4.15)

∂τzx

∂xδw +

∂τzy

∂yδw +

∂σzz

∂zδw + χzδw = 0

Para considerar todo o corpo solido, integram-se as relacoes (4.15) ao longo do volumedo corpo. Logo,

V

∂σxx

∂xδudV +

V

∂τxy

∂yδudV +

V

∂τxz

∂zδudV +

VχxδudV = 0 (4.16)

V

∂τxy

∂xδvdV +

V

∂σyy

∂yδvdV +

V

∂τyz

∂zδvdV +

VχyδvdV = 0 (4.17)

V

∂τxz

∂xδwdV +

V

∂τyz

∂yδwdV +

V

∂σzz

∂zδwdV +

VχzδwdV = 0 (4.18)

Pode-se aplicar as equacoes (4.9) a (4.11) para os tres primeiros termos das relacoesem (4.16). Assim,

V

∂σxx

∂xδudV =

Sσxxlδu dS −

Vσxx

∂δu

∂xdV

V

∂τxy

∂yδudV =

SτxymδudS −

Vτxy

∂δu

∂ydV

V

∂τxz

∂zδudV =

Sτxznδu dS −

Vτxz

∂δu

∂zdV

Page 64: Apostila MEF

4.3. PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 51

Substituindo-se as relacoes acima em (4.16), obtem-se∫

S(σxxl + τxym + τxzn)δudS +

VχxδudV =

V

[

σxxδ

(

δu

δx

)

+ τxyδ

(

δu

δy

)

+ τxzδ

(

δu

δz

)]

dV

Analogamente, para as expressoes (4.17) e (4.18)∫

S(τyxl + σyym + τyzn)δvdS +

VχyδvdV =

V

[

τyxδ

(

δv

δx

)

+ σyyδ

(

δv

δy

)

+ τyzδ

(

δv

δz

)]

dV

S(τzxl + τzym + σzzn)δwdS +

VχzδwdV =

V

[

τzxδ

(

δw

δx

)

+ τzyδ

(

δw

δy

)

+ σzzδ

(

δw

δz

)]

dV

Somando-se as 3 expressoes anteriores, chega-se a seguinte equacao∫

S[(σxxl + τxym + τxzn)δu + (τyxl + σyym + τyzn)δv + (τzxl + τzym + σzzn)δw]dS+

V(χxδu + χyδv + χzδw)dV =

V

[

σxxδ

(

∂u

∂x

)

+ σyyδ

(

∂v

∂y

)

+ σzzδ

(

∂w

∂y

)

+

τxyδ

(

∂u

∂y+

∂v

∂x

)

+ τyzδ

(

∂v

∂z+

∂w

∂y

)

+ τxzδ

(

∂w

∂x+

∂u

∂z

)]

dV (4.19)

Como os deslocamentos virtuais δu, δv, δw sao contınuos, tem-se que

∂δu

∂x= δ

(

∂u

∂x

)

Substituindo as relacoes em (4.15) e as condicoes de contorno dadas em (3.33) vemque

S(Φxδu + Φyδv + Φzδw)dS +

V(χxδu + χyδv + χzδw)dV =

V(σxx δεxx + σyy δεyy + σzz δεzz + τxy δγxy + τyz δγyz + τxz δγxz)dV (4.20)

Observa-se que os termos do lado esquerdo da equacao (4.20) representam, respecti-vamente, os trabalhos das forcas de superfıcie e de corpo. Ja o termo do lado direitoconstitui-se na energia de deformacao armazenada no corpo. Substituindo (4.3) e (4.6) naequacao (4.20), tem-se a seguinte relacao matricial

S{Φ}T {δu}dS +

V{χ}T {δu}dV =

V{σ}T {δε}dV (4.21)

ou na forma reduzida,

δW = δUi (4.22)

A equacao (4.22) representa o Princıpio do Trabalho Virtual. Esse princıpio estabeleceque para uma estrutura elastica em equilıbrio, sob a acao de um sistema de forcas externase uma distribuicao de temperatura, o trabalho virtual δW e igual a energia de deformacaovirtual δUi, considerando-se um deslocamento virtual {δu} da estrutura em estudo.

Page 65: Apostila MEF

52 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

4.4 Discretizacao de um Sistema Contınuo

Na maioria dos problemas estruturais em engenharia, verifica-se que a aplicacao diretadas equacoes de elasticidade apresenta algumas dificuldades, devido, por exemplo, a ge-ometria do corpo considerado, as condicoes de carregamento e de contorno, assim comoas propriedades do material do corpo. Nestes casos, como nao e possıvel obter a solucaoanalıtica do problema em estudo, recorre-se a algum tipo de aproximacao para a solucaodo problema. Pode-se por exemplo, considerar a solucao para apenas alguns pontos docorpo, sendo estes usualmente, denominados nos. O sistema assim obtido e denominadodiscreto e a solucao para os demais pontos, nao considerados no sistema discreto, pode serdeterminada pela interpolacao dos resultados calculados para os nos.

Algumas estruturas em engenharia sao constituıdas de elementos discretos conectadosem alguns pontos, sendo a interacao entre os elementos expressas em funcao da compat-ibilidade de deslocamentos ou equilıbrio de forcas. Como exemplo, tem-se as estruturasreticuladas, as quais sao constituıdas pela uniao de elementos de barra e/ou viga.

No entanto, para os casos gerais, a estrutura possui infinitos pontos, constituindo-se um meio contınuo. Nestes casos, pode-se aproximar este meio atraves de elementosinter-conectados em um numero finitos de pontos nodais. A Figura 4.4 ilustra um modelodiscreto de um corpo contınuo. Desta forma, definem-se varios subdomınios denominadoselementos discretos ou elementos finitos. Observa-se que a solucao obtida para o modelodiscreto deve convergir para a solucao analıtica ou real do meio contınuo. Para que issoseja possıvel, deve-se deduzir algumas propriedades para os elementos finitos.

Elementos

Nos

Figura 4.4: Meio contınuo discretizado por elementos finitos.

A relacao entre os deslocamentos dos sistemas contınuo {u} e discreto {U} pode serescrita como

{u} = [N ]{U} (4.23)

onde [N ] e uma matriz cujos elementos sao funcoes Nij(x, y, z) que realizam o mapeamentoentre o modelo contınuo e discreto. Os elementos Nij sao denominados funcoes de forma,sendo usualmente polinomios.

Page 66: Apostila MEF

4.5. EQUACAO DE MOVIMENTO 53

As deformacoes do modelo discreto podem ser obtidas substituindo (4.23) em (3.13).Logo,

{ε} = [L][N ]{U} = [B]{U} (4.24)

onde [B] e a matriz de deformacao contendo as derivadas parciais das funcoes de forma.Da mesma maneira, determinam-se as tensoes substituindo (4.23) em (3.21), ou seja,

{σ} = [D][B]{U}+ αT [DT ] (4.25)

Assim, conhecendo-se os deslocamentos dos nos, pode-se determinar as deformacoes eas distribuicoes de tensao bastando, para isso, aplicar as equacoes (4.24) e (4.25).

4.5 Equacao de Movimento

Considere um corpo solido contınuo de massa m submetido a acao de um sistema deforcas e se movimentando com uma aceleracao ~a. A segunda lei de Newton estabelece quea resultante das forcas externas ~F e igual ao produto da massa pela aceleracao do corpo,ou seja,

~F = m~a = m~u (4.26)

onde a aceleracao ~a e dada pela derivada segunda ~u dos deslocamentos ~u dos pontos docorpo considerado.

A equacao (4.26) pode ser escrita da seguinte forma

~F −m~u = 0 (4.27)

onde −m~u e a forca de inercia do corpo. A relacao (4.27) e denominada Princıpio deD’Alambert.

Para isso, toma-se um elemento infinitesimal de volume dV e superfıcie dS de um corpoelastico. A massa dm deste elemento e expressa como

dm = ρ dV (4.28)

sendo ρ a densidade do material do corpo. Assume-se que sobre este corpo atuam forcasde corpo ~χ e de superfıcie ~Φ, de tal forma que as forcas externas sao dadas nesse caso por

~F = ~χ dV + ~Φ dS (4.29)

Assim, pode-se escrever o Princıpio de D’Alambert para o elemento infinitesimal, ouseja,

~χ dV + ~Φ dS − ρ~udV = 0

Page 67: Apostila MEF

54 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

Denotando os vetores em forma matricial, tem-se

{χ} dV + {Φ} dS − ρ{u}dV = 0 (4.30)

Submete-se, entao, este elemento a um deslocamento virtual {δu}. Aplicando-se estedeslocamento a equacao (4.30) e integrando-se ao longo do volume e da superfıcie do corposolido, vem atraves de (4.21)

V{χ}T {δu}dV +

S{Φ}T {δu}dS −

Vρ{u}T {δu}dV =

V{σ}T {δε}dV (4.31)

Este sistema contınuo pode, entao, ser discretizado utilizando-se (4.23), ou seja,

{δu} = [N ]{δU} {u} = [N ]{U} (4.32)

Da mesma forma, aplicando-se (4.24) vem que

{δε} = [B]{δU} (4.33)

Substituindo (4.25), (4.32) e (4.33) em (4.31), tem-se a formulacao para o sistemadiscreto. Logo,

{P}{δU} +

V{χ}T [N ]{δU}dV +

S{Φ}T [N ]{δU} dS −

Vρ{U}T [N ]T [N ]{δU}dV =

V({U}T [B]T [D]− αT [DT ])T [B]{δU}dV

onde {P} representa as cargas concentradas aplicadas aos pontos discretos do corpo cor-respondentes aos deslocamentos {δU}.

Como {U}, {U}, {δU} e {δU} sao vetores constantes, podem ser retirados para forados integrandos. Assim,

{P}{δU}+

(∫

V

{χ}T [N ]dV

)

{δU}+

(∫

S

{Φ}T [N ] dS

)

{δU} − {U}T(∫

V

ρ[N ]T [N ]dV

)

{δU} =

{U}T(∫

V

[B]T [D][B] dV

)

{δU} −(∫

V

αT [DT ]T [B] dV

)

{δU}

e cancelando {δU} em ambos os lados da equacao, vem que

{P}+

V{χ}T [N ]dV +

S{Φ}T [N ] dS − {U}T

(∫

Vρ[N ]T [N ]dV

)

=

(∫

V[B]T [D] dV

)

{U} −∫

VαT [DT ]T [B] dV (4.34)

Page 68: Apostila MEF

4.5. EQUACAO DE MOVIMENTO 55

A equacao (4.34) pode ser rearranjada da seguinte maneira

(∫

Vρ[N ]T [N ]dV

)

{U}+

(∫

V[B]T [D] dV

)

{U} =

{P} −∫

VαT [DT ]T [B] dV

V{χ}T [N ]dV +

S{Φ}T [N ] dS

Em forma reduzida,

[M ]{U}+ [K]{U} = {P} − {Q}+ {Fχ}+ {FΦ} (4.35)

sendo

• [M ] = matriz de massa do corpo

[M ] =

Vρ[N ]T [N ]dV (4.36)

• [K] = matriz de rigidez do corpo

[K] =

V[B]T [D][B] dV (4.37)

• {Q} = vetor de carregamento nodal termico equivalente

{Q} =

VαT [DT ]T [B] dV (4.38)

• {Fχ} = vetor de forcas nodais equivalentes devido a {χ}

{Fχ} =

V{χ}T [N ]dV (4.39)

• {FΦ} = vetor de forcas nodais equivalentes devido a {Φ}

{FΦ} =

S{Φ}T [N ] dS (4.40)

• {P} = vetor de forcas concentradas.

Para o caso de analise estatica, o vetor de aceleracao e nulo, ou seja, {U} = {0}.Substituindo em (4.35) vem que

[K]{U} = {F} (4.41)

Page 69: Apostila MEF

56 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

onde {F} = {P} − {Q}+ {Fχ}+ {FΦ}.Um outro tipo de analise que pode ser efetuada e o estudo de vibracao livre do corpo.

Neste caso, nao sao aplicadas forcas externas, isto e,

[M ]{U}+ [K]{U} = {0} (4.42)

Supondo uma solucao para o sistema de equacoes diferenciais (4.42) do tipo periodica

{U} = {X}eiλt (4.43)

onde i =√−1 e {X} e a amplitude de movimento dos pontos discretos, tem-se que

{U} = iλ{X}eiλt {U} = −λ2{X}eiλt (4.44)

Substituindo (4.43) e (4.44) em (4.42), tem-se que

([K]− λ2[M ]){X} = {0} (4.45)

definindo-se assim, um problema de autovalor, cuja solucao constituem-se nas frequenciasnaturais ωi =

√λi e modos de vibracao {Xi} do corpo em estudo.

4.6 Elemento de Barra Plana

Para ilustrar a aplicacao das equacoes apresentadas nas secoes anteriores, considere oelemento de barra plana ilustrado na Figura 2.3. Este elemento resiste apenas a cargasaxiais sendo desprezıvel o peso proprio da barra. Desta forma, as forcas de superfıcie e devolume sao nulas e a equacao (4.35) se reduz a expressao

[M ]{U}+ [K]{U} = {P} − {Q} (4.46)

Atraves da equacao (3.20), verifica-se que a tensao normal σxx presente na barra estarelacionada a deformacao especıfica εxx de maneira linear, ou seja,

σxx = Eεxx → {σxx} = [D]{εxx} (4.47)

onde a matriz [D] se reduz, neste caso, apenas ao modulo de elasticidade longitudinal E.A partir da equacao (2.1), verifica-se que os deslocamentos u ao longo da barra variam

linearmente. Portanto,

u(x) = ax + b (4.48)

As constantes a e b sao determinadas aplicando-se (4.48) aos deslocamentos u1 e u2

nas extremidades do elemento. Logo,{

u1 = a0 + b → b = u1

u2 = al + b → a = 1l (u2 − u1)

Page 70: Apostila MEF

4.6. ELEMENTO DE BARRA PLANA 57

Portanto,

u =1

l(u2 − u1)x + u1 (4.49)

Em forma matricial,

{u} =[

1− xl

xl

]

{

u1

u2

}

= [N ]{U} (4.50)

sendo [N ] a matriz das funcoes de interpolacao.A deformacao especıfica εxx pode ser obtida a partir de (3.13). Assim,

{εxx} =1

l

[

−1 1]

{

u1

u2

}

= [B]{U} (4.51)

verificando-se que as componentes da matriz [B] constituem-se nas derivadas das funcoesde forma com relacao as variavel global x.

Para se obter a matriz de rigidez [Ke] do elemento de barra, segundo o sistema dereferencia local, basta substituir as matrizes [D] e [B], deduzidas em (4.47) e (4.51), naexpressao (4.37)

[Ke] =

V[B]T [D][B] dV =

V

1

l

[

−11

]

E1

l

[

−1 1]

Adx =EA

l2

∫ l

0

[

1 −1−1 1

]

dx

onde dV = Adx, pois a area da secao transversal e constante. Portanto,

[Ke] =EA

l

[

1 −1−1 1

]

(4.52)

No caso da matriz de massa, substitui-se [N ] na equacao (4.36), ou seja,

[Me] =

Vρ[

1− xl

xl

]

[

1− xl

xl

]

Adx = ρA

∫ l

0

[

(1− xl )

2 (1− xl )

xl

(1− xl )

xl

xl2

]

dx

Neste caso, realiza-se a seguinte mudanca de variavel

ξ =x

l→

{

x = 0 : ξ = 0x = l : ξ = 1

→ dξ =1

ldx

Logo,

[Me] = ρAl

∫ 1

0

[

(1− ξ)2 (1− ξ)ξ(1− ξ)ξ ξ2

]

sendo

Page 71: Apostila MEF

58 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

•∫ 10 (1− ξ)2 dξ =

∫ 10 (1− 2ξ + ξ2) dξ = ξ − ξ2 + ξ

3

1

0= 1

3

•∫ 10 (1− ξ)ξ dξ =

∫ 10 (ξ − ξ2) dξ = ξ2

2 −ξ3

3

1

0= 1

3

• ∫ 10 ξ2 dξ = ξ3

3

1

0= 1

3

Finalmente, a matriz de massa e expressa como

[M ] =ρAl

6

[

2 11 2

]

(4.53)

Da mesma forma, determina-se vetor de carregamento termico equivalente, isto e,

{Q} =

VαT [DT ]T [B]dV = αTE

∫ 1

0

1

l

[

−11

]

dx

onde αT e constante e [DT ] = E. Assim,

{Qe} = EAαT

[

−11

]

(4.54)

O vetor de forcas concentradas contem as cargas axiais aplicadas nas extremidades 1e 2 da barra

{Pe} =

{

P1

P2

}

(4.55)

No caso geral, o sistema de referencia global adotado faz com que o elemento de barraesteja inclinado como ilustrado, na Secao 2.4. Portanto, deve-se efetuar uma transformacaode coordenadas entre os sistemas local e global aplicando-se a matriz [T ] dada em (2.23).Substituindo esta relacao na equacao de movimento (4.46), tem-se que

[T ]T [Me][T ]{U}+ [T ]T [Ke][T ]{U} = [T ]T {Pe} − [T ]T {Qe}

onde se multiplicou por [T ]T para manter a simetria das matrizes de massa e rigidez.Assim, a matriz de rigidez [Ke] do elemento de barra no sistema global e dada por

[Ke] = [T ]T [Ke][T ] =EA

l

c2 cs −c2 −cscs s2 −cs −s2

−c2 −cs c2 cs−cs −s2 cs s2

(4.56)

sendo c = cos θ e s = sin θ dados em (2.22). Verifica-se que esta expressao e a mesmaobtida no Capıtulo 2 utilizando-se coeficientes de influencia.

Page 72: Apostila MEF

4.7. ELEMENTO DE VIGA PLANA 59

Analogamente, tem se que a matriz de massa e os vetores de carregamento concentradoe termico sao dados, respectivamente, por

[Me] = [T ]T [Me][T ] =ρAl

6

2c2 2cs c2 cs2cs 2s2 cs s2

c2 cs 2c2 2cscs s2 2cs 2s2

(4.57)

{Qe} = [T ]T {Qe} = EAαT

cs−c−s

(4.58)

{Pe} = [T ]T {Pe} =

cP1

sP1

cP2

sP2

(4.59)

4.7 Elemento de Viga Plana

Considere agora o elemento de viga plana ilustrado na Figura 2.9. Este elemento resisteapenas a esforcos de flexao e forcas transversais. Analogamente ao caso da barra, as forcasde superfıcie e de volume sao consideradas nulas e a equacao de movimento se reduz aexpressao (4.46).

Atraves da equacao (3.20), verifica-se que a tensao normal σxx presente na barra estarelacionada a deformacao especıfica εxx como

σxx = Eεxx → {σxx} = [D]{εxx} (4.60)

onde a matriz [D] se reduz, neste caso, apenas ao modulo de elasticidade longitudinal E.Os deslocamentos transversais v ao longo da viga sao aproximados atraves dos polinomios

de Hermite φi(x) (i = 1, 2, 3, 4) da seguinte forma

v(x) = v1φ1(x) + θ1φ2(x) + v3φ3(x) + θ2φ4(x) (4.61)

As expressoes dos polinomios de Hermite sao

φ1(x) = 2

(

x

L

)3

− 3

(

x

L

)2

+ 1

φ2(x) = L

[

(

x

L

)3

− 2

(

x

L

)2

+x

L

]

φ3(x) = −2

(

x

L

)3

+ 3

(

x

L

)2

Page 73: Apostila MEF

60 CAPITULO 4. EQUACAO DE MOVIMENTO

φ4(x) = L

[

(

x

L

)3

−(

x

L

)2]

(4.62)

Em forma matricial,

{v} =[

φ1(x) φ2(x) φ3(x) φ4(x)]

v1

θ1

v2

θ2

= [N ]{U} (4.63)

sendo [N ] a matriz das funcoes de interpolacao.A deformacao especıfica εxx pode ser obtida a partir de (3.13). Assim,

{εxx} =[

φ′1(x) φ′

2(x) φ′3(x) φ′

4(x)]

v1

θ1

v2

θ2

= [B]{U} (4.64)

verificando-se que as componentes da matriz [B] constituem-se nas derivadas das funcoesde forma com relacao as variavel global x.

Para se obter a matriz de rigidez [Ke] do elemento de barra, segundo o sistema dereferencia local, basta substituir as matrizes [D] e [B], deduzidas em (4.60) e (4.64), naexpressao (4.37) e assumir dV = Adx. Portanto,

[Ke] =EIz

L3

12 6L −12 6L6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L6L 2L2 −6L 4L2

(4.65)

No caso da matriz de massa, substitui-se [N ] na equacao (4.36), obtendo-se

[Me] = ρAL

1335

11210L 9

70 − 13420L

11210

1105L2 13

420L − 1140L2

970

13420L 13

35 − 11210L

− 13420L 13

420L − 11210L − 1

105L2

(4.66)

4.8 Exercıcios Propostos

Exercıcio 4.1 Escrever o Princıpio dos Trabalhos Virtuais para os problemas de barra,viga em flexao pura e torcao simples.

Exercıcio 4.2 Determinar as matrizes de massa e rigidez para um elemento de eixo comdois nos submetido a torcao simples.

Page 74: Apostila MEF

Capıtulo 5

Elementos Finitos Isoparametricos

Nesse capıtulo, considera-se o importante conceito de elementos finitos isoparametricos.Inicialmente, introduzem-se as nocoes de sistemas de coordenadas local e global. Poste-riormente, considera-se a definicao das funcoes de interpolacao baseadas em polinomiosde Lagrange e a sua construcao para elementos uni, bi e tridimensionais. Funcoes deforma para varios elementos unidimensionais e o quadrado linear sao apresentadas. Combase nesses conceitos, introduzem-se os elementos isoparametricos, o jacobiano da trans-formacao local-global e o calculo de derivadas globais. Ao final, considera-se a deducao damatriz de rigidez local do elemento de barra usando o conceito de elemento isoparametrico.

5.1 Sistemas de Referencia Global e Local

Considere o elemento linear, ilustrado na Figura 5.1, com nos i e j, cujas coordenadas saoxi e xj em relacao ao sistema de referencia X adotado. Deseja-se encontrar uma funcaoF (t) que transforme um ponto xi ≤ x ≤ xj para um ponto −1 ≤ ξ ≤ 1, pertencente aosistema de referencia ξ. Como o elemento tomado possui 2 nos, a transformacao F (t) edada pela equacao de uma reta, ou seja,

F (t) = αt + β (5.1)

ξ

ξ-1 1

X

x

x xi j

F(t)

Figura 5.1: Mapeamento entre os sistemas de referencia X e ξ.

61

Page 75: Apostila MEF

62 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

Aplicando-se a equacao (5.1) aos pontos xi e xj vem que

{

F (xi) = αxi + β = −1F (xj) = αxj + β = 1

Resolvendo-se o sistema de equacoes anterior, obtem-se as constantes α e β. Logo,

α =2

xj − xiβ = −xj + xi

xj − xi

e substituindo em (5.1), tem-se que

F (t) =2

xj − xit− xj + xi

xj − xi(5.2)

Por exemplo, tomando-se xi = −10, xj = 10 e x = 5, verifica-se que

ξ = F (x) =2

10− (−10)5− (10 − 10)

10− (−10)= 0, 5

No caso geral de um elemento solido, tem-se 3 coordenadas cartesianas x, y, z as quaisdevem ser transformadas para as componentes ξ, η, ζ, respectivamente, como mostradona Figura 5.2.

ξ

ζ

X

Y

k

ηξ (x), (y), ζ (z)η

P(x,y,z)

j

i

(1,1,1)

Z

Figura 5.2: Transformacao entre os sistemas de referencia global e local.

O sistema cartesiano xyz e denominado sistema global de referencia, enquanto ξηζdefine o sistema local. A vantagem de se utilizar um sistema local esta relacionada amudanca dos limites de integracao nas expressoes para o calculo das matrizes de massa erigidez dos elementos finitos, assim como para os vetores de carregamento. Neste caso, oslimites inferior e superior de integracao passam para −1 e 1, respectivamente.

Page 76: Apostila MEF

5.2. FUNCOES DE FORMA 63

Dado um ponto P de coordenadas (x, y, z) segundo o sistema global, verifica-se quepara se obter este ponto no sistema local, basta aplicar a equacao (5.2) para cada umadas componentes, ou seja,

ξ(x) =2

xj − xit− xj + xi

xj − xi

η(y) =2

yk − yjt− yk + yj

yk − yj

ζ(z) =2

zj − zit− zj + zi

zj − zi

sendo (xi, yi, zi), (xj , yj, zj) e (xk, yk, zk) as coordenadas dos nos i,j,k, respectivamente,como pode ser visto na Figura 5.2.

No entanto, geralmente, o elemento finito possui uma forma distorcida no sistemaglobal e deseja-se obter uma transformacao para um sistema local onde os lados do el-emento permanecam retos, como apresentado na Figura 5.3. Esta transformacao estabaseada nas funcoes de forma, discutidas a seguir.

η

2

3

4 (-1,1)

1 (-1,-1) 2 (1,-1)

3 (1,1)

1

4

Y

X

ξ

Figura 5.3: Transformacao entre os sistemas de referencia global e local utilizando funcoesde forma.

5.2 Funcoes de Forma

Considere o conjunto de pontos (ξ1, ξ2, . . . , ξa, . . . , ξb, . . . , ξn) definidos no sistema local dereferencia ξ. O polinomio de Lagrange de ordem n − 1 associado ao ponto ξa e definido

Page 77: Apostila MEF

64 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

por

l(n−1)a (ξ) =

∏nb=1(b6=a)(ξ − ξb)

∏nb=1(b6=a)(ξa − ξb)

(5.3)

=(ξ − ξ1)(ξ − ξ2) . . . (ξ − ξa−1)(ξ − ξa+1) . . . (ξ − ξn)

(ξa − ξ1)(ξa − ξ2) . . . (ξa − ξa−1)(ξa − ξa+1) . . . (ξa − ξn)

Observa-se que o polinomio la(ξ) apresenta a seguinte propriedade de colocacao

{

la(ξa) = 1 a = bla(ξb) = 0 a 6= b

Logo,

la(ξb) = δab (5.4)

onde δab e o delta de Kronecker e

δab =

{

1 se a = b0 se a 6= b

Deve-se associar uma funcao de forma para cada um dos nos de um elemento finito.Estas funcoes sao tomadas como polinomios de Lagrange, cuja ordem depende do numerode nos do elemento considerado. Para um elemento unidimensional com m nos, tem-se mfuncoes de forma de ordem m− 1. Logo,

N (m−1)a (ξ) = l(m−1)

a (ξ) a = 1, . . . ,m (5.5)

Para elementos bidimensionais, basta tomar o produto tensorial dos polinomios deLagrange. Portanto, para um elemento com m e n nos nas direcoes ξ e η, tem-se um totalde mn funcoes dadas por

Na(ξ, η) = l(m−1)b (ξ)l(n−1)

c (η) a = 1, . . . ,mn (5.6)

Analogamente, para o caso tridimensional com m, n, p nos nas direcoes ξ, η, ζ, definem-se mnp funcoes da seguinte maneira

Na(ξ, η, ζ) = ln−1b (ξ)lm−1

c (η)lp−1d (ζ) a = 1, . . . ,mnp (5.7)

Nas expressoes anteriores, os ındices a, b, c, d sao escolhidos de maneira convenientecomo sera mostrado nas secoes seguintes.

Page 78: Apostila MEF

5.3. ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS 65

5.3 Elementos Unidimensionais

5.3.1 Elemento Linear

Para ilustrar o processo de obtencao das funcoes de forma considere o elemento linearmostrado na Figura 5.4. Como neste caso, o elemento possui apenas dois nos, as funcoessao polinomios de primeiro grau, ou seja, equacoes de retas em ξ. Assim, a partir de (5.4)e (5.5) vem que

N(1)1 (ξ) = l

(1)1 (ξ) =

ξ − ξ2

ξ1 − ξ2=

ξ − 1

−1− (−1)=

1

2(1− ξ)

N(1)2 (ξ) = l

(1)2 (ξ) =

ξ − ξ1

ξ2 − ξ1=

ξ + 1

−1− (−1)=

1

2(1 + ξ)

1

1 2

N ( ) N ( ξξ )

-1 1

1 2

ξ

Figura 5.4: Elemento unidimensional linear.

De forma reduzida, tem-se que

N (1)a =

1

2(1 + ξaξ) a = 1, 2 (5.8)

onde ξa = ±1.

5.3.2 Elemento Quadratico

Da mesma forma, determinam-se as funcoes de forma para o elemento unidimensionalquadratico da Figura 5.5. Como sao tres nos, tem-se tres funcoes de ordem 2 e aplicando-se (5.4) e (5.5) vem que

N(2)1 (ξ) = l

(2)1 (ξ) =

(ξ − ξ2)(ξ − ξ3)

(ξ1 − ξ2)(ξ1 − ξ3)=

(ξ − 0)(ξ − 1)

(−1− 0)(−1− 1)= −1

2ξ(1− ξ)

N(2)2 (ξ) = l

(2)2 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ3)

(ξ2 − ξ1)(ξ2 − ξ3)=

(ξ − 1)(ξ + 1)

(0 + 1)(0 − 1)= (1− ξ2)

Page 79: Apostila MEF

66 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

N(2)3 (ξ) = l

(2)3 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ2)

(ξ3 − ξ1)(ξ3 − ξ2)=

(ξ + 1)(ξ − 0)

(1 + 1)(1 − 0)=

1

2ξ(1 + ξ)

ou ainda,{

N(2)1 (ξ) = 1

2ξa(1 + ξa) a = 1, 3

N(2)2 (ξ) = (1− ξ2) a = 2

(5.9)

Figura 5.5: Elemento unidimensional quadratico.

5.3.3 Elemento Cubico

Seguindo o mesmo procedimento, determinam-se as funcoes de forma para o elemento deterceiro grau, ilustrado na Figura 5.6. Portanto,

N(3)1 (ξ) = l

(3)1 (ξ) =

(ξ − ξ2)(ξ − ξ3)(ξ − ξ4)

(ξ1 − ξ2)(ξ1 − ξ3)(ξ1 − ξ4)

=(ξ + 1/3)(ξ − 1/3)(ξ − 1)

(−1 + 1/3)(−1 − 1/3)(−1 − 1)=

1

16(9ξ2 − 1)(1 − ξ)

N(3)2 (ξ) = l

(3)2 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ3)(ξ − ξ4)

(ξ2 − ξ1)(ξ2 − ξ3)(ξ2 − ξ4)

=(ξ + 1)(ξ − 1/3)(ξ − 1)

(−1/3 + 1)(−1/3 − 1/3)(−1/3 − 1)=

9

16(1− ξ2)(1− 3ξ)

N(3)3 (ξ) = l

(3)3 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ2)(ξ − ξ4)

(ξ3 − ξ1)(ξ3 − ξ2)(ξ3 − ξ4)

=(ξ + 1)(ξ + 1/3)(ξ − 1)

(1/3 + 1)(1/3 + 1/3)(1/3 − 1)=

9

16(1− ξ2)(1 + 3ξ)

Page 80: Apostila MEF

5.3. ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS 67

N(3)4 (ξ) = l

(3)4 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ2)(ξ − ξ3)

(ξ4 − ξ1)(ξ4 − ξ2)(ξ4 − ξ3)

=(ξ + 1)(ξ + 1/3)(ξ − 1/3)

(1 + 1)(1 + 1/3)(1 − 1/3)=

1

16(9ξ2 − 1)(1 + ξ)

Logo,{

N(3)a (ξ) = 9

16 (1− ξ2)(1 + 3ξ) a = 2, 3

N(3)a (ξ) = 1

16 (9ξ2 − 1)(1 + ξ) a = 1, 4(5.10)

5.3.4 Elemento Quartico

Para o elemento quartico, mostrado na Figura 5.7, as funcoes de forma sao determinadasde maneira analoga aos elementos anteriores. Assim,

N(4)1 (ξ) = l

(4)1 (ξ) =

(ξ − ξ2)(ξ − ξ3)(ξ − ξ4)(ξ − ξ5)

(ξ1 − ξ2)(ξ1 − ξ3)(ξ1 − ξ4)(ξ1 − ξ5)

=(ξ + 1/2)(ξ − 0)(ξ − 1/2)(ξ − 1)

(−1 + 1/2)(−1 + 0)(−1 − 1/2)(−1 − 1)= −1

6ξ(4ξ2 − 1)(1 − ξ)

N(4)2 (ξ) = l

(4)2 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ3)(ξ − ξ4)(ξ − ξ5)

(ξ2 − ξ1)(ξ2 − ξ3)(ξ2 − ξ4)(ξ2 − ξ5)

=(ξ + 1)(ξ + 0)(ξ − 1/2)(ξ − 1)

(−1/2 + 1)(−1/2 − 0)(−1/2 − 1/2)(−1/2 − 1)=

4

3ξ(ξ2 − 1)(1 − 2ξ)

N(4)3 (ξ) = l

(4)3 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ2)(ξ − ξ4)(ξ − ξ5)

(ξ3 − ξ1)(ξ3 − ξ2)(ξ3 − ξ4)(ξ3 − ξ5)

=(ξ + 1)(ξ + 1/2)(ξ − 1/2)(ξ − 1)

(0 + 1)(0 + 1/2)(0 − 1/2)(0 − 1)= (1− ξ2)(1− 4ξ2)

N(4)4 (ξ) = l

(4)4 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ2)(ξ − ξ3)(ξ − ξ5)

(ξ4 − ξ1)(ξ4 − ξ2)(ξ4 − ξ3)(ξ4 − ξ5)

=(ξ + 1)(ξ + 1/2)(ξ − 0)(ξ − 1)

(1/2 + 1)(1/2 + 1/2)(1/2 − 0)(1/2 − 1)= −4

3ξ(1− ξ2)(1 + 2ξ)

N(4)5 (ξ) = l

(4)5 (ξ) =

(ξ − ξ1)(ξ − ξ2)(ξ − ξ3)(ξ − ξ4)

(ξ5 − ξ1)(ξ5 − ξ2)(ξ5 − ξ3)(ξ5 − ξ4)

=(ξ + 1)(ξ + 1/2)(ξ − 0)(ξ − 1/2)

(1 + 1)(1 + 1/2)(1 − 0)(1− 1/2)=

1

6ξ(4ξ2 − 1)(1 + ξ)

Portanto,

N(4)a (ξ) = 1

6ξaξ(4ξ2 − 1)(1 + ξaξ) a = 1, 5

N(4)a (ξ) = 4

3ξaξ(ξ2 − 1)(1 + 2ξaξ) a = 2, 4

N(4)a (ξ) = (1− ξ2)(1 − 4ξ2) a = 3

(5.11)

Page 81: Apostila MEF

68 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

-1 -1/3 1/3 1

4

x

321

Figura 5.6: Elemento unidimensional cubico.

1 2 3 4 5

11/20-1/2-1 x

Figura 5.7: Elemento unidimensional quartico.

5.4 Elemento Bidimensional Linear

Considere o elemento quadrangular ilustrado na Figura 5.8. As funcoes de forma desteelemento sao obtidas a partir de (5.6) e dos polinomios dados em (5.8), onde a relacaoentre os ındices a, b, c esta apresentada na Tabela 5.1 e pode ser observada na Figura 5.8.Portanto,

N(1)1 (ξ, η) = l

(1)1 (ξ)l

(1)1 (η) =

1

4(1− ξ)(1 − η)

N(1)2 (ξ, η) = l

(1)2 (ξ)l

(1)1 (η) =

1

4(1 + ξ)(1 − η)

N(1)3 (ξ, η) = l

(1)2 (ξ)l

(1)2 (η) =

1

4(1 + ξ)(1 + η)

N(1)4 (ξ, η) = l

(1)1 (ξ)l

(1)2 (η) =

1

4(1− ξ)(1 − η)

Estas relacoes podem ser resumidas na seguinte expressao

Na(ξ, η) =1

4(1 + ξaξ)(1 + ηaη) a = 1, 2, 3, 4 (5.12)

onde ξa = ±1 e ηa = ±1.

a 1 2 3 4

b 1 2 2 1

c 1 1 2 2

Tabela 5.1: Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento quadrangular linear.

Outros elementos planos podem ser obtidos aumentando-se, progressivamente, um nopara cada lado do quadrado, como ilustrado na Figura 5.9. Neste caso, verifica-se apresenca de nos interiores, aumentando-se assim o numero de variaveis do elemento. Esteconjunto de elementos assim obtidos pertence a famılia lagrangeana. Pode-se evitar a

Page 82: Apostila MEF

5.5. ELEMENTOS ISOPARAMETRICOS 69

1 2

3

= X

ξ

η

ξ

η4

21

-1 1

1 -1

2 1

Figura 5.8: Elemento quadrangular linear.

presenca destes nos interiores. Define-se, assim, os elementos finitos da famılia Serendipitydiscutidos nos capıtulos seguintes.

ξ ξ ξ

η η η

Figura 5.9: Elemento lagrangeanos quadrangulares.

5.5 Elementos Isoparametricos

Ao se aplicar o MEF na analise de uma estrutura, deve-se interpolar a sua geometria,ou seja, as coordenadas dos pontos, assim como a grandeza a ser calculada, como porexemplo os deslocamentos nodais. Pode-se aplicar as funcoes de forma para efetuar estasinterpolacoes. Neste caso, as tres possibilidades ilustradas na Figura 5.10 podem seradotadas, ou seja,

• o numero de nos usados para definir a forma do elemento e menor que aquele aplicadopara a interpolacao da grandeza de interesse;

• utiliza-se o mesmo numero de nos para interpolar a geometria e a grandeza;

• adota-se um numero de nos maior para a interpolacao da geometria.

Page 83: Apostila MEF

70 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

c)b)a)

= grandeza

= coordenadas

Figura 5.10: Elemento finitos subparametricos, isoparametricos e superparametricos .

Estas tres alternativas definem as classes dos elementos finitos subparametricos, iso-parametricos e superparametricos. Observa-se que os elementos subparametricos sao maisutilizados, pois em geral deseja-se interpolar com maior precisao o campo da grandezaa ser calculada, tais como deslocamentos, temperaturas, dentre outras. Neste texto, ointeresse esta no estudo dos elementos finitos isoparametricos.

Denotando por x, y e z as coordenadas dos pontos em relacao a um sistema global dereferencia, pode-se escrever as seguintes relacoes

x(ξ, η, ζ) =n∑

a=1

Na(ξ, η, ζ)Xea

y(ξ, η, ζ) =n∑

a=1

Na(ξ, η, ζ)Y ea (5.13)

z(ξ, η, ζ) =n∑

a=1

Na(ξ, η, ζ)Zea

onde n e o numero de nos do elemento e Xae , Y a

e , Zae sao as coordenadas cartesianas globais

dos nos do elemento e.

Analogamente, os deslocamentos {u}, {v} e {w} dos pontos sao dados por

u(ξ, η, ζ) =n∑

a=1

Na(ξ, η, ζ)U ea

v(ξ, η, ζ) =n∑

a=1

Na(ξ, η, ζ)V ea (5.14)

w(ξ, η, ζ) =n∑

a=1

Na(ξ, η, ζ)W ea

sendo Uae , V a

e , W ae os deslocamentos nodais nas direcoes x,y,z, respectivamente, em relacao

ao sistema global de referencia.

As transformacoes indicadas em (5.14) e (5.15) sao baseadas nas funcoes de forma doselementos e podem ser utilizadas para efetuar o mapeamento de um elemento distorcido

Page 84: Apostila MEF

5.5. ELEMENTOS ISOPARAMETRICOS 71

no sistema global para uma forma regular no sistema local. Para exemplificar, considereo elemento quadrangular ilustrado na Figura 5.11.

Aplicando-se (5.14), obtem-se as coordenadas x e y dos pontos do elemento no sistemaglobal, ou seja,

x(ξ, η) = N1(ξ, η)Xe1 + N2(ξ, η)Xe

2 + N3(ξ, η)Xe3 + N4(ξ, η)Xe

4

y(ξ, η) = N1(ξ, η)Y e1 + N2(ξ, η)Y e

2 + N3(ξ, η)Y e3 + N4(ξ, η)Y e

4

Substituindo as expressoes das funcoes de forma dadas em (5.12) e as coordenadas doponto i (ξ = −1; η = 0) vem que

xi = x(−1, 0) =

(

1

2

)

(5) + (0)(30) + (0)(20) +

(

1

2

)

(10) = 7, 5

yi = y(−1, 0) =

(

1

2

)

(15) + (0)(10) + (0)(30) +

(

1

2

)

(25) = 20

Observa-se que as coordenadas do ponto i assim calculadas estao de acordo com aFigura 5.11. Portanto, identificam-se no sistema global as linhas de ξ e η constantes.

=1η

=-1η

Yi

Xi

ξ =-1 ξ =1

30

25

15

10

5 10 20 30

Y

X

2

3

4

1

ξ

η

1 2

34

i

i

ξ

η

Figura 5.11: Exemplo de transformacao entre os sistemas de referencia local e globalutilizando as funcoes de forma.

Assim, as funcoes de forma podem ser utilizadas nao apenas para a interpolacao dageometria e das grandezas de interesse em estudo, mas tambem para definir uma trans-formacao entre os sistemas de referencia global e local, facilitando o calculo das matrizesdos elementos finitos.

Page 85: Apostila MEF

72 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

5.6 Jacobiano e Calculo das Derivadas Globais

A expressao geral para o calculo da matriz de rigidez dos elementos finitos, dada em(4.37) envolve derivadas das funcoes de forma em relacao as coordenadas globais x,y e z,atraves da matriz de deformacao [B]. Como as funcoes de interpolacao estao expressasem coordenadas locais ξ,η e ζ, deve-se aplicar a regra da cadeia para se obter as derivadasglobais. Considerando, entao, o no a de um elemento vem que

∂Na

∂ξ=

∂Na

∂x

∂x

∂ξ+

∂Na

∂y

∂y

∂ξ+

∂Na

∂z

∂z

∂ξ

∂Na

∂η=

∂Na

∂x

∂x

∂η+

∂Na

∂y

∂y

∂η+

∂Na

∂z

∂z

∂η

∂Na

∂ζ=

∂Na

∂x

∂x

∂ζ+

∂Na

∂y

∂y

∂ζ+

∂Na

∂z

∂z

∂ζ

ou em forma matricial,

∂Na

∂ξ∂Na

∂η∂Na

∂ζ

=

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂z∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

∂z∂η

∂x∂ζ

∂y∂ζ

∂z∂ζ

∂Na

∂x∂Na

∂y∂Na

∂z

= [J ]

∂Na

∂x∂Na

∂y∂Na

∂z

(5.15)

A matriz [J ] e denominada Jacobiano da transformacao. Assim, para se obter asderivadas das funcoes de forma em relacao as coordenadas globais x,y e z deve-se invertera matriz do Jacobiano. Logo,

∂Na

∂x∂Na

∂y∂Na

∂z

= [J ]−1

∂Na

∂ξ∂Na

∂η∂Na

∂ζ

(5.16)

Utilizando-se as relacoes (5.14) chega-se a seguinte expressao para a matriz do Jaco-biano

[J ] =

∑na=1

∂Na

∂ξ Xa∑n

a=1∂Na

∂ξ Ya∑n

a=1∂Na

∂ξ Za∑n

a=1∂Na

∂η Xa∑n

a=1∂Na

∂η Ya∑n

a=1∂Na

∂η Za∑n

a=1∂Na

∂ζ Xa∑n

a=1∂Na

∂ζ Ya∑n

a=1∂Na

∂ζ Za

=

∂N1∂ξ

∂N2∂ξ . . . ∂Nn

∂ξ∂N1∂η

∂N2∂η . . . ∂Nn

∂η∂N1∂ζ

∂N2∂ζ . . . ∂Nn

∂ζ

X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2...

......

Xn Yn Zn

(5.17)

Demonstra-se ainda que o diferencial de volume dV , presente nas expressoes para ocalculo das matrizes e vetores de carregamentos dos elementos finitos, pode ser escrito nascoordenadas locais ξ, η e ζ a partir do determinante do jacobiano da seguinte maneira

dV = dξdη dζ | det[J ]| (5.18)

Page 86: Apostila MEF

5.6. JACOBIANO E CALCULO DAS DERIVADAS GLOBAIS 73

Logo, as integrais de volume presentes nas relacoes para o calculo das matrizes e dosvetores de carregamento dos elementos finitos podem ser expressas em funcao das variaveislocais. Tomando-se, por exemplo, a matriz de rigidez, observa-se que

[Ke] =

V[B]T [D][B] dV =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1[B]T [D][B]|det[J ]| dξdη dζ (5.19)

Em geral, a integracao indicada em (5.19) nao pode ser efetuada analiticamente. Destaforma, deve-se empregar tecnicas de integracao numerica, as quais serao discutidas poste-riormente.

Observa-se que o mapeamento entre coordenadas locais e globais pode nao ser uniconos casos onde o elemento finito apresentar-se muito distorcido. Para que o mapeamentoseja unico, o sinal do determinante do jacobiano deve permanecer inalterado para todosos pontos do domınio considerado.

Para o elemento quadrangular linear, os angulos internos nao devem ser superiorres a180o para evitar a distorcao excessiva do elemento. Para o elemento quadratico, deve-segarantir ainda que a posicao dos nos intermediarios esteja no 1/3 central de cada uma dasfaces. Este casos estao ilustrados na Figura 5.12. Para as funcoes de forma de maior grau,nao e possıvel obter regras semelhantes, devendo-se, entao, checar o sinal do determinantedo jacobiano.

< 180α

ξ ξ

η

α

η

ξ

η η

ξ1/3L

1/3L

1/3L

Figura 5.12: Condicao para que os elementos quadrangulares linear e quadratico naoapresentem distorcao.

Page 87: Apostila MEF

74 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

5.7 Deducao da Matriz de Rigidez de Barra Plana

A matriz de rigidez do elemento de barra plana, ilustrado na Figura 2.5, foi obtida noscapıtulos anteriores considerando coeficientes de influencia e aplicando-se a expressao(4.37). Neste ultimo caso, as funcoes de interpolacao dependiam da variavel global x,como indicado em (4.50). Pretende-se agora deduzir esta mesma matriz, considerando, noentanto, as funcoes de forma segundo o sistema local de referencia ξ.

A partir de (4.48), observa-se que o campo de deslocamentos u do elemento de barrapossui variacao linear. Como o elemento possui dois nos, a geometria pode ser interpoladapor funcoes lineares. Assim, este elemento e isoparametrico, podendo-se empregar entao,as funcoes de forma do elemento linear dadas em (5.8). A partir das expressoes (5.14) e(5.15), a geometria e os deslocamentos sao interpolados como

x(ξ) =2∑

a=1

Na(ξ)Xea = N1(ξ)X1 + N2(ξ)X2 =

1

2(1− ξ)X1 +

1

2(1 + ξ)X2 (5.20)

u(ξ) =2∑

a=1

Na(ξ)Uea = N1(ξ)U1 + N2(ξ)U2 =

1

2(1− ξ)U1 +

1

2(1 + ξ)U2 (5.21)

onde X1, X2 e U1,U2 denotam, respectivamente, as coordenadas e os deslocamentos dosnos 1 e 2 do elemento de barra.

A matriz de rigidez, segundo o sistema de referencia local, pode ser calculada a partirde (4.37). Neste caso, tem-se que

[Ke] =

V[B]T [D][B] dV =

∫ 1

−1[B]T [D][B] |det[J ]|Adξ (5.22)

sendo A a area da secao transversal.

A matriz de deformacao sera dada por

[B] =[

∂N1∂x

∂N2∂x

]

(5.23)

Para a determinacao das derivadas globais na expressao anterior aplica-se (5.16). Logo,

∂Na

∂x= [J ]−1 ∂Na

∂ξ=

(

∂x

∂ξ

∂Na

∂ξ

)

a = 1, 2 (5.24)

Assim, atraves de (5.20) obtem-se

[J ] =∂

∂x

[

1

2(1− ξ)X1 +

1

2(1 + ξ)X2

]

=1

2

(

X2 − X1)

=l

2(5.25)

Page 88: Apostila MEF

5.8. EXERCICIOS PROPOSTOS 75

Substituindo (5.25) em (5.24), chega-se as derivadas globais indicadas na matriz [B]

∂N1

∂x=

2

l

∂N1

∂ξ= −1

l

∂N2

∂x=

2

l

∂N2

∂ξ=

1

l

Portanto, obtem-se a mesma expressao para a matriz [B] dada em (4.51), ou seja,

1

l

[

−1 1]

A matriz de elasticidade [D] consiste apenas do modulo de elasticidade E, como podeser verificado em (4.47). Assim, retornando-se a (5.22) vem que

[Ke] =

∫ 1

−1[B]T [D][B] |det[J ]|Adξ

=

∫ 1

−1

1

l

[

−11

]

E1

l

[

−1 1] l

2Adξ =

EA

l

[

1 −1−1 1

]

(5.26)

Desta maneira, determina-se a mesma expressao anterior. No entanto, este procedi-mento e geral podendo ser estendido a varios tipos de elementos finitos, como sera mostradonos proximos capıtulos.

5.8 Exercıcios Propostos

Exercıcio 5.1 Determinar as funcoes de interpolacao do elemento quadratico de 9 nosda famılia lagrangeana.

Exercıcio 5.2 Calcular a matriz do Jacobiano e seu determinante para o elemento quad-rangular ilustrado na Figura 5.13.

1

44

2

2

x

y

4 3

2

Figura 5.13: Exercıcio 5.2.

Page 89: Apostila MEF

76 CAPITULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS

Exercıcio 5.3 Considere uma barra bi-apoiada de comprimento L submetida a uma cargadistribuıda axial linear de intensidade q(x) = q0(L − x). Determinar a solucao analıticae comparar a solucao na metade da barra as aproximacoes obtidas pelo MEF usando doiselementos lineares e um elemento quadratico.

Page 90: Apostila MEF

Capıtulo 6

Funcoes de Forma para osElementos Quadrangulares

Nesse capıtulo, apresenta-se a construcao das funcoes de interpolacao para quadrados ecubos da famılia Serendipty ate a quarta e terceira ordens, respectivamente. A construcaoe baseada no produto tensorial de polinomios de Lagrange unidimensionais, conformeindicado no capıtulo anterior.

6.1 Elementos Planos

Os elementos da famılia Serendipity nao possuem nos internos, como pode ser visto naFigura 6.1, onde se apresentam os elementos linear, quadratico, cubico e quartico.

Tomando-se o no 5 do elemento quadratico, verifica-se a existencia de tres nos nadirecao ξ, ou seja, (1,5,2) e apenas dois nos na direcao η, isto e, (5,7). Assim, a funcao deforma associada ao no 5 sera quadratica em ξ e linear em η. Analogamente, a funcao deinterpolacao do no 8 sera quadratica em η e linear em ξ. Considerando o elemento cubico,observa-se que para os nos (5,6,9,10) as funcoes de forma sao de terceiro grau em ξ e linearem η. Ja para os nos (7,8,11,12) tem-se funcoes cubicas em η e lineares em ξ. Esta analisepode ser efetuada para o elemento quartico, assim como para os elementos espaciais. Estefato e uma das propriedades dos elementos da famılia Serendipity. Assim, enquanto oselementos lagrangeanos possuem funcoes de forma com os mesmo graus em ξ e η, comopode ser verificado na Figura 5.9, os elementos de Serendipty apresentam variacao linearnuma das direcoes.

Observa-se que o elemento linear e o mesmo ja apresentado para a famılia lagrangeana.As funcoes de forma sao dadas pela expressao (5.12), estando por sua vez apresentada naFigura 6.2. A seguir apresentam-se as funcoes de forma de segundo ao quarto graus paraos elementos quadrangulares da famılia Serendipity.

77

Page 91: Apostila MEF

78CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

1 2

34

ξ

η

1 2

34

ξ

η

5

6

7

8

34

ξ

η

16

14

15

8

9

10

312134

17 ξ

η

11

1 5 2 1 5 6 7 26

7

8

910

11

12

Figura 6.1: Elementos planos da famılia Serendipity.

-1

0

1 -1

0

1

0

1

Figura 6.2: Funcao de forma tıpica para os nos do elementos linear.

Page 92: Apostila MEF

6.1. ELEMENTOS PLANOS 79

= X

η

1 2

34

ξ

η

5

6

7

0-1 1

1 2 3

1 -1

2 0

3 1

Figura 6.3: Elemento quadratico da famılia Serendipity.

6.1.1 Elemento Quadratico

Neste caso, verifica-se que as funcoes de forma para o segundo elemento da famılia Serendip-ity possuem variacao quadratica ao longo dos lados, como ilustrado na Figura 6.3. Pode-seaplicar a expressao (5.6) para a determinacao das funcoes de interpolacao, onde a relacaoentre os ındices a, b e c esta apresentada na Tabela 6.1.

a 1 2 3 4 5 6 7 8

b 1 3 3 1 2 3 2 1

c 1 1 3 3 1 2 3 2

Tabela 6.1: Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento quadratico.

Assim, tomando-se as expressoes (5.6), (5.8) e (5.9) determinam-se as seguintes funcoespara o elemento quadratico

N(2)1 (ξ, η) = l

(2)1 (ξ)l

(2)1 (η) =

1

4ξη(1− ξ)(1 − η)

N(2)2 (ξ, η) = l

(2)3 (ξ)l

(2)1 (η) = −1

4ξη(1 + ξ)(1− η)

N(2)3 (ξ, η) = l

(2)3 (ξ)l

(2)3 (η) =

1

4ξη(1 + ξ)(1 + η)

N(2)4 (ξ, η) = l

(2)1 (ξ)l

(2)3 (η) = −1

4ξη(1− ξ)(1 + η) (6.1)

N(2)5 (ξ, η) = l

(2)2 (ξ)l

(1)1 (η) =

1

2(1− ξ2)(1 − η)

N(2)6 (ξ, η) = l

(1)3 (ξ)l

(2)2 (η) =

1

2(1 + ξ)(1− η2)

N(2)7 (ξ, η) = l

(2)2 (ξ)l

(1)3 (η) =

1

2(1− ξ2)(1 + η)

N(2)8 (ξ, η) = l

(1)1 (ξ)l

(2)2 (η) =

1

2(1− ξ)(1− η2)

Page 93: Apostila MEF

80CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

De forma reduzida,

N(2)1 (ξ, η) = 1

4ξaξηaη(1− ξ)(1− η) a = 1, . . . , 4

N(2)a (ξ, η) = 1

2 (1− ξ2)(1 + ηaη) a = 5, 7

N(2)a (ξ, η) = 1

2 (1− η2)(1 + ξaξ) a = 6, 8

(6.2)

As funcoes de forma dos nos 1 a 4 podem ainda serem determinadas a partir daquelas

do elemento linear. Para isso, tomando-se por exemplo N(1)1 (ξ, η) dada em (5.12) e as

coordenadas dos nos 5 (ξ5 = 0; η5 = −1) e 8 (ξ8 = −1; η8 = 0) do elemento quadratico,tem-se que

N(1)1 (0,−1) =

1

4(1− 0)(1 + 1) =

1

2

N(1)1 (−1, 0) =

1

4(1− 0)(1 + 1) =

1

2

Assim, N(1)1 (·) nao pode ser utilizada para o elemento quadratico pois nao satisfaz a

propriedade (5.4). Como N(2)5 (ξ5, η5) = 1 e N

(2)8 (ξ8, η8) = 1, pode-se utiliza-las para obter

a funcao N(2)1 do no 1 da seguinte maneira

N(2)1 (ξ, η) = N

(1)1 (ξ, η) − 1

2[N

(2)5 (ξ, η) + N

(2)8 (ξ, η)]

Tomando-se a expressao anterior para as coordenadas dos nos 1, 5 e 8, verifica-se que

N(2)1 (−1,−1) = N

(1)1 (−1,−1)− 1

2

[

N(2)5 (−1,−1) + N

(2)8 (−1,−1)

]

= 1− 1

2[0 + 0] = 1

N(2)5 (0,−1) = N

(1)1 (0,−1) − 1

2

[

N(2)5 (0,−1) + N

(2)8 (0,−1)

]

=1

2− 1

2[1 + 0] = 0

N(2)8 (−1, 0) = N

(1)1 (−1, 0) − 1

2

[

N(2)5 (−1, 0) + N

(2)8 (−1, 0)

]

=1

2− 1

2[0 + 1] = 0

satisfazendo a equacao (5.4).

Para os demais nos o procedimento e analogo, bastando subtrair das funcoes de formado elemento linear 1

2 vezes a soma das respectivas funcoes de interpolacao dos nos adja-centes. Portanto, estas relacoes sao resumidas como

N(2)1 (ξ, η) = N

(1)1 (ξ, η)− 1

2 [N(2)5 (ξ, η) + N

(2)8 (ξ, η)]

N(2)2 (ξ, η) = N

(1)2 (ξ, η)− 1

2 [N(2)5 (ξ, η) + N

(2)6 (ξ, η)]

N(2)3 (ξ, η) = N

(1)3 (ξ, η)− 1

2 [N(2)6 (ξ, η) + N

(2)7 (ξ, η)]

N(2)4 (ξ, η) = N

(1)4 (ξ, η)− 1

2 [N(2)7 (ξ, η) + N

(2)8 (ξ, η)]

(6.3)

As funcoes tıpicas para os nos 5 a 8 deste elemento estao ilustradas na Figura 6.4.

Page 94: Apostila MEF

6.1. ELEMENTOS PLANOS 81

-1

0

1 -1

0

1

0

1

Figura 6.4: Funcao de forma tıpica para os nos 5 a 8 do elemento quadratico.

6.1.2 Elemento Cubico

O procedimento anterior pode ser estendido para os elementos quadrangulares de maiorgrau. Tomando-se o elemento cubico ilustrado na Figura 6.5, pode-se aplicar a expressao(5.6) para se determinar as funcoes de forma, estando a relacao entre os ındices a, b e cdada na Tabela 6.2.

A partir das equacoes (5.6), (5.8), (5.10) e da Tabela 6.2 determinam-se as funcoes deforma para este elemento

N(3)1 (ξ, η) = l

(3)1 (ξ)l

(3)1 (η) =

1

256(9ξ2 − 1)(1 − ξ)(9η2 − 1)(1 − η)

3

-1 -1/3 1

1 2 4

ξ1/3

34

ξ

η

1 5 21

2

3

4

-1

-1/3

1/3

1

η

= X

6

7

8

910

11

12

Figura 6.5: Elemento quadrangular cubico.

Page 95: Apostila MEF

82CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b 1 4 4 1 2 3 4 4 3 2 1 1

c 1 1 4 4 1 1 2 3 4 4 3 2

Tabela 6.2: Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento cubico.

N(3)2 (ξ, η) = l

(3)4 (ξ)l

(3)1 (η) =

1

256(9ξ2 − 1)(1 + ξ)(9η2 − 1)(1 − η)

N(3)3 (ξ, η) = l

(3)4 (ξ)l

(3)4 (η) =

1

256(9ξ2 − 1)(1 + ξ)(9η2 − 1)(1 + η)

N(3)4 (ξ, η) = l

(3)1 (ξ)l

(3)4 (η) =

1

256(9ξ2 − 1)(1− ξ)(9η2 − 1)(1 + η)

N(3)5 (ξ, η) = l

(3)2 (ξ)l

(1)1 (η) =

9

32(1− ξ2)(1 − 3ξ)(1 − η)

N(3)6 (ξ, η) = l

(3)3 (ξ)l

(1)1 (η) =

9

32(1− ξ2)(1 + 3ξ)(1 − η)

N(3)7 (ξ, η) = l

(1)4 (ξ)l

(3)2 (η) =

9

32(1 + ξ)(1− η2)(1− 3η)

N(3)8 (ξ, η) = l

(1)4 (ξ)l

(3)3 (η) =

9

32(1 + ξ)(1− η2)(1 + 3η)

N(3)9 (ξ, η) = l

(3)3 (ξ)l

(1)4 (η) =

9

32(1− ξ2)(1 + 3ξ)(1 + η)

N(3)10 (ξ, η) = l

(3)2 (ξ)l

(1)4 (η) =

9

32(1− ξ2)(1 − 3ξ)(1 + η)

N(3)11 (ξ, η) = l

(1)1 (ξ)l

(3)3 (η) =

9

32(1− ξ)(1− η2)(1 + 3η)

N(3)12 (ξ, η) = l

(1)1 (ξ)l

(3)2 (η) =

9

32(1− ξ)(1− η2)(1− 3η)

ou de forma reduzida,

N(3)a (ξ, η) = l

(3)1 (ξ)l

(3)1 (η) = 1

256 (9ξ2 − 1)(1 − ξ)(9η2 − 1)(1 − η) a = 1, 2, 3, 4

N(3)a (ξ, η) = 9

32 (1− ξ2)(1 + 3ξaξ)(1 + ηaη) a = 5, 6, 9, 10

N(3)a (ξ, η) = 9

32 (1 + ξaξ)(1 + 3ηaη)(1− η2) a = 7, 8, 11, 12

(6.4)

Da mesma maneira, as funcoes de interpolacao dos nos 1 a 4 podem ser determinadasa partir da modificacao das funcoes obtidas para o elemento linear. Portanto,

N(3)1 (ξ, η) = N

(1)1 (ξ, η)− 2

3 [N(3)5 (ξ, η) + N

(3)12 (ξ, η)] − 1

3 [N(3)6 (ξ, η) + N

(3)11 (ξ, η)]

N(3)2 (ξ, η) = N

(1)2 (ξ, η)− 2

3 [N(3)6 (ξ, η) + N

(3)7 (ξ, η)] − 1

3 [N(3)5 (ξ, η) + N

(3)8 (ξ, η)]

N(3)3 (ξ, η) = N

(1)3 (ξ, η)− 2

3 [N(3)8 (ξ, η) + N

(3)9 (ξ, η)] − 1

3 [N(3)7 (ξ, η) + N

(3)10 (ξ, η)]

N(3)4 (ξ, η) = N

(1)4 (ξ, η)− 2

3 [N(3)10 (ξ, η) + N

(3)11 (ξ, η)] − 1

3 [N(3)9 (ξ, η) + N

(3)12 (ξ, η)]

(6.5)

As funcoes de forma tıpicas para os nos 5 a 12 deste elemento estao ilustradas naFigura 6.6.

Page 96: Apostila MEF

6.1. ELEMENTOS PLANOS 83

-1

0

1 -1

0

1

0

1

-1

0

1 -1

0

1

0

1

Figura 6.6: Funcao de forma tıpica para os nos (5, 6, 9, 10) e (7, 8, 11, 12) do elementocubico.

6.1.3 Elemento Quartico

Para o elemento de quarto grau, mostrado na Figura 6.7, as funcoes de forma sao obtidasa partir das expressoes (5.6), (5.8) e (5.11). Os ındices a, b e c estao apresentados naTabela 6.3. Assim, de forma resumida

N(4)a (ξ, η) = 1

36ξaξηaη(4ξ2 − 1)(1 + ξaξ)(4η2 − 1)(1 + ηaη) a = 1, 2, 3, 4

N(4)a (ξ, η) = 2

3(ξaξ)(ξ2 − 1)(1 + 2ξaξ)(1 + ηaη) a = 5, 7, 11, 13

N(4)a (ξ, η) = 2

3(ηaη)(1 − η2)(1 + ξaξ)(1 + 2ηaη) a = 8, 10, 14, 16

N(4)a (ξ, η) = (1− ξ2)(1 − η2) a = 17

(6.6)

Expressando-se as funcoes de interpolacao dos nos 1 a 4 em termos das funcoes doelemento linear, obtem-se

N(4)1 (ξ, η) = N

(1)1 (·) − 3

4[N

(4)5 (·) + N

(4)16 (·)] − 1

2[N

(4)6 (·) + N

(4)15 (·)] − 1

4[N

(4)7 (·) + N

(4)14 (·)]

N(4)2 (ξ, η) = N

(1)2 (·) − 3

4[N

(4)7 (·) + N

(4)8 (·)] − 1

2[N

(4)9 (·) + N

(4)12 (·)] − 1

4[N

(4)8 (·) + N

(4)13 (·)]

N(4)3 (ξ, η) = N

(1)3 (·) − 3

4[N

(4)10 (·) + N

(4)11 (·)] − 1

2[N

(4)9 (·) + N

(4)12 (·)] − 1

4[N

(4)8 (·) + N

(4)13 (·)]

N(4)4 (ξ, η) = N

(1)4 (·) − 3

4[N

(4)13 (·) + N

(4)14 (·)] − 1

2[N

(4)12 (·) + N

(4)15 (·)] − 1

4[N

(4)11 (·) + N

(4)16 (·)]

(6.7)

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

b 1 5 5 1 2 3 4 5 5 5 4 3 2 1 1 1 3

c 1 1 5 5 1 1 1 2 3 4 5 5 5 4 3 2 3

Tabela 6.3: Relacao entre os ındices a, b e c para o elemento quartico.

Page 97: Apostila MEF

84CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

-1 -1/2 0 1/2

54321

ξ1

η

= X

16

14

15

8

9

10

312134

17 ξ

η

11

1 5 6 7 2

1

2

3

4

5 1

1/2

-1/2

-1

0

Figura 6.7: Elemento quadrangular quartico.

As funcoes de forma tıpicas para os nos deste elemento estao ilustradas nas Figuras6.8 e 6.9.

6.2 Elementos Espaciais

Pode-se estender a formulacao apresentada anteriormente para se obter as funcoes de formados elementos quadrangulares planos para os elementos espaciais. Neste caso, consideram-se os cubos ilustrados na Figura 6.10.

6.2.1 Elemento Linear

Inicialmente, toma-se o elemento linear ilustrado na Figura 6.11. Para deduzir as suasfuncoes de forma, aplica-se a equacao (5.7), onde a correspondencia entre os ındices a, b, ce d esta dada na Tabela 6.4, juntamente com as relacoes em (5.8). Assim, determinam-seas seguintes funcoes

N(1)1 (ξ, η, ζ) = l

(1)1 (ξ)l

(1)1 (η)l

(1)1 (ζ) =

1

8(1− ξ)(1− η)(1 − ζ)

N(1)2 (ξ, η, ζ) = l

(1)2 (ξ)l

(1)1 (η)l

(1)1 (ζ) =

1

8(1 + ξ)(1− η)(1 − ζ)

N(1)3 (ξ, η, ζ) = l

(1)2 (ξ)l

(1)2 (η)l

(1)1 (ζ) =

1

8(1 + ξ)(1 + η)(1 − ζ)

N(1)4 (ξ, η, ζ) = l

(1)1 (ξ)l

(1)2 (η)l

(1)1 (ζ) =

1

8(1− ξ)(1 + η)(1 − ζ)

N(1)5 (ξ, η, ζ) = l

(1)1 (ξ)l

(1)1 (η)l

(1)2 (ζ) =

1

8(1− ξ)(1− η)(1 + ζ)

N(1)6 (ξ, η, ζ) = l

(1)2 (ξ)l

(1)1 (η)l

(1)2 (ζ) =

1

8(1 + ξ)(1− η)(1 + ζ)

N(1)7 (ξ, η, ζ) = l

(1)2 (ξ)l

(1)2 (η)l

(1)2 (ζ) =

1

8(1 + ξ)(1 + η)(1 + ζ)

Page 98: Apostila MEF

6.2. ELEMENTOS ESPACIAIS 85

-1-0.5

00.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

11

-1

0

1 -1

0

1

0

1

Figura 6.8: Funcao de forma tıpica para os nos 1 a 4 e (5, 7, 11 e 13) do elemento quartico.

-1

0

1 -1

0

1

0

1

-1

0

1 -1

0

1

0

Figura 6.9: Funcao de forma para os nos (8, 10, 14, 16) e 17 do elemento quartico.

Page 99: Apostila MEF

86CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

ξξ

η η

ζ

ξ

η

ζζ

1

6 7

1

12

5

1

7

9

10

13

14

1516

17

18

1920

21

22

25

27

29

3128

4

32

23 8245

6

30

26

2 11 12 3

6

18

2 10

4

11

20

16 85

3

19

7

15

13

1714

9

4

8

23

Figura 6.10: Elementos espaciais linear, quadratico e cubico.

2

6

58

4

3

7

1 ξ

η

ζ

X X

η

ζ

-1 1

1 2

1

2 1

-1

1

2

-1

1

Figura 6.11: Elemento espacial linear.

N(1)8 (ξ, η, ζ) = l

(1)1 (ξ)l

(1)2 (η)l

(2)2 (ζ) =

1

8(1− ξ)(1 + η)(1 + ζ)

Resumido as relacoes anteriores, tem-se

N (1)a (ξ, η, ζ) =

1

8(1 + ξaξ)(1 + ηaη)(1 + ζaζ) a = 1, . . . , 8 (6.8)

onde ξa = ±1, ηa = ±1 e ζa = ±1.

6.2.2 Elemento Quadratico

Tomando-se agora o elemento quadratico, como mostrado na Figura 6.12, e os ındices a, b,c e d dados na Tabela 6.5, pode-se aplicar as expressoes (5.7), (5.8) e (5.9) para a obtencao

Page 100: Apostila MEF

6.2. ELEMENTOS ESPACIAIS 87

a 1 2 3 4 5 6 7 8

b 1 2 2 1 1 2 2 1

c 1 1 2 2 1 1 2 2

d 1 1 1 1 2 2 2 2

Tabela 6.4: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento espacial linear.

das funcoes de forma. Portanto, de forma reduzida

N(2)a (ξ, η, ζ) = 1

8 (1 + ξaξ)(1 + ηaη)(1 + ζaζ)(ξaξ + ηaη + ζaζ − 2) a = 1, 2, 3, 4

N(2)a (ξ, η, ζ) = 1

4 (1− ξ2)(1 + ηaη)(1 + ζaζ) a = 9, 11, 13, 15

N(2)a (ξ, η, ζ) = 1

4 (1 + ξaξ)(1− η2)(1 + ζaζ) a = 10, 12, 14, 16

N(2)a (ξ, η, ζ) = 1

4 (1 + ξaξ)(1 + ηaη)(1− ζ2) a = 17, 18, 19, 20

(6.9)

Para os nos 1 a 8, as funcoes de forma podem ser determinadas modificando-se aquelas

obtidas para o elemento linear. Por exemplo, calculando-se N(1)1 para os nos 9 (ξ = 0; η =

−1; ζ = −1), 12 (ξ = −1; η = 0; ζ = −1), e 17 (ξ = −1; η = −1; ζ = 0), vem que

N(1)1 (0,−1,−1) =

1

8(1− 0)(1 + 1)(1 + 1) =

1

2

N(1)1 (−1, 0,−1) =

1

8(1 + 1)(1 − 0)(1 + 1) =

1

2

N(1)1 (−1,−1, 0) =

1

8(1 + 1)(1 + 1)(1 − 0) =

1

2

Portanto, deve-se subtrair das funcoes de forma lineares o multiplo de 12 vezes a soma

das funcoes dos quadraticas dos nos adjacentes. Assim,

N(2)1 (ξ, η, ζ) = N

(1)1 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)9 (ξ, η, ζ) + N

(2)12 (ξ, η, ζ) + N

(2)17 (ξ, η, ζ)]

N(2)2 (ξ, η, ζ) = N

(1)2 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)9 (ξ, η, ζ) + N

(2)10 (ξ, η, ζ) + N

(2)18 (ξ, η, ζ)]

N(2)3 (ξ, η, ζ) = N

(1)3 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)10 (ξ, η, ζ) + N

(2)11 (ξ, η, ζ) + N

(2)19 (ξ, η, ζ)]

N(2)4 (ξ, η, ζ) = N

(1)4 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)11 (ξ, η, ζ) + N

(2)12 (ξ, η, ζ) + N

(2)20 (ξ, η, ζ)]

N(2)5 (ξ, η, ζ) = N

(1)5 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)13 (ξ, η, ζ) + N

(2)16 (ξ, η, ζ) + N

(2)17 (ξ, η, ζ)]

N(2)6 (ξ, η, ζ) = N

(1)6 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)13 (ξ, η, ζ) + N

(2)14 (ξ, η, ζ) + N

(2)18 (ξ, η, ζ)]

N(2)7 (ξ, η, ζ) = N

(1)7 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)14 (ξ, η, ζ) + N

(2)15 (ξ, η, ζ) + N

(2)19 (ξ, η, ζ)]

N(2)8 (ξ, η, ζ) = N

(1)8 (ξ, η, ζ) − 1

2 [N(2)15 (ξ, η, ζ) + N

(2)16 (ξ, η, ζ) + N

(2)20 (ξ, η, ζ)]

(6.10)

6.2.3 Elemento Cubico

O elemento de terceiro grau possui 32 nos e esta apresentado na Figura 6.13. A relacaoentre os ındices a, b, c e d esta dada na Tabela 6.6. Aplicando-se o mesmo procedimento,chegam-se as seguintes funcoes de interpolacao, respectivamente, para os nos a = 1, . . . , 8,

Page 101: Apostila MEF

88CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

7

ξ

η

X X

η

ζ

1

-1

1

2

-1

4

20

85

6

1

23

11

16

1514

17

19

12

10

18

2

0

1 2 3

1

1

2

3

0

0-19

13

Figura 6.12: Elemento espacial quadratico.

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b 1 3 3 1 1 3 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 3 3 1

c 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 3 3

d 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2

Tabela 6.5: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento espacial quadratico.

a = (9, 10, 13, 14, 17, 18, 21, 22), a = (11, 12, 15, 16, 19, 20, 23, 24) e a = 25, . . . , 32 desteelemento

N (3)a (ξ, η, ζ) =

1

64(1 + ξaξ)(1 + ηaη)(1 + ζaζ)[9(ξ2 + η2ζ2)− 19]

N (3)a (ξ, η, ζ) =

9

64(1− ξ2)(1 + 3ξaξ)(1 + 3ηaη)(1 + ζaζ) (6.11)

N (3)a (ξ, η, ζ) =

9

64(1 + 3ξaξ)(1− η2)(1 + 3ηaη)(1 + ζaζ)

N (3)a (ξ, η, ζ) =

9

64(1 + 3ξaξ)(1− η2)(1 + 3ηaη)(1− η2)(1 + ζaζ)

Novamente, as funcoes de forma dos nos 1 a 8 podem ser obtidas a partir das relacoesdo elemento linear. Logo,

N(3)1 (ξ, η, ζ) = N

(1)1 (·) −

2

3[N

(3)9 (·) + N

(3)16 (·) + N

(3)25 (·)] −

1

3[N

(3)10 (·) + N

(3)15 (·) + N

(3)29 (·)]

N(3)2 (ξ, η, ζ) = N

(1)2 (·) −

2

3[N

(3)10 (·) + N

(3)11 (·) + N

(3)26 (·)] −

1

3[N

(3)9 (·) + N

(3)12 (·) + N

(3)30 (·)]

N(3)3 (ξ, η, ζ) = N

(1)3 (·) −

2

3[N

(3)12 (·) + N

(3)13 (·) + N

(3)27 (·)] −

1

3[N

(3)11 (·) + N

(3)14 (·) + N

(3)31 (·)]

N(3)4 (ξ, η, ζ) = N

(1)4 (·) −

2

3[N

(3)14 (·) + N

(3)15 (·) + N

(3)28 (·)] −

1

3[N

(3)13 (·) + N

(3)16 (·) + N

(3)32 (·)] (6.12)

N(3)5 (ξ, η, ζ) = N

(1)5 (·) −

2

3[N

(3)17 (·) + N

(3)24 (·) + N

(3)29 (·)] −

1

3[N

(3)18 (·) + N

(3)23 (·) + N

(3)25 (·)]

N(3)6 (ξ, η, ζ) = N

(1)6 (·) −

2

3[N

(3)18 (·) + N

(3)19 (·) + N

(3)30 (·)] −

1

3[N

(3)17 (·) + N

(3)20 (·) + N

(3)26 (·)]

Page 102: Apostila MEF

6.2. ELEMENTOS ESPACIAIS 89

7

ξ

η

X X

η

ζ

1

-1

-1

4

85

1

3

1

11 12

17

19 20

22

31

26

30

2

6

18

24 23

32

28

13

14

1516

9

10 27

2129

25

4

1/3

-1/32

-1/3

1/3

3

2

1

3

4

-1 -1/3 1/3 1

21 3 4

Figura 6.13: Elemento espacial de terceiro grau.

N(3)7 (ξ, η, ζ) = N

(1)7 (·) −

2

3[N

(3)20 (·) + N

(3)21 (·) + N

(3)31 (·)] −

1

3[N

(3)19 (·) + N

(3)22 (·) + N

(3)27 (·)]

N(3)8 (ξ, η, ζ) = N

(1)8 (·) −

2

3[N

(3)22 (·) + N

(3)23 (·) + N

(3)32 (·)] −

1

3[N

(3)21 (·) + N

(3)24 (·) + N

(3)28 (·)]

a b c d

1 1 1 12 4 1 13 4 4 14 1 4 15 1 1 46 4 1 47 4 4 48 1 4 49 2 1 110 3 1 111 4 2 112 4 3 113 3 4 114 2 4 115 1 3 116 1 2 1

a b c d

17 2 1 418 3 1 419 4 2 420 4 3 421 3 4 422 2 4 423 1 3 424 1 2 425 1 1 226 4 1 227 4 4 228 1 4 229 1 1 330 4 1 331 4 4 332 1 4 3

Tabela 6.6: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento espacial de terceiro grau.

Page 103: Apostila MEF

90CAPITULO 6. FUNCOES DE FORMA PARA OS ELEMENTOS QUADRANGULARES

Page 104: Apostila MEF

Capıtulo 7

Funcoes de Forma para ElementosTriangulares

Nesse capıtulo, apresenta-se a construcao das funcoes de interpolacao para triangulos etetraedros baseada no produto tensorial de funcoes unidimensionais. A abordagem aquidiscutida e totalmente original. Inicialmente, considera-se o conceito de coordenadas dearea, as quais sao naturalmente apropriadas para o caso de triangulos. Apresenta-se oconceito de jacobiano de transformacao e o calculo de derivadas globais. Posteriormente,discute-se o processo de tensorizacao, o qual e aplicado para se obter as funcoes de inter-polacao de elementos ate o quarto grau. Posteriomente, consideram-se as coordenadas devolume para tetraedros, o jacobiano local-global, calculo de derivadas globais e aplicacaodo produto tensorial para a construcao de funcoes dos elementos ate o terceiro grau.

7.1 Coordenadas de Area

Dado um ponto P no interior de um triangulo de area A, definem-se 3 subtriangulos comareas A1, A2 e A3, como mostrado na Figura 7.1. Pode-se, entao, escrever as seguintesrelacoes

L1 =A1

AL2 =

A2

AL3 =

A3

A(7.1)

Verifica-se que estas coordenadas variam de 0 a 1, ou seja, 0 ≤ Li ≤ 1 (i = 1, 2, 3).Assim, supondo que o ponto P esteja sobre o vertice 1, tem-se que a area A1 sera igual aarea A e L1 assume o valor 1. No entanto, se o ponto P esta sobre a aresta 2-3, a areaA1 sera nula e portanto L1 = 0. De forma analoga para L2 e L3. Pode-se tracar linhasde Li constante, observando-se que as mesmas sao paralelas ao lado a partir do qual acoordenada Li e medida. Estas linhas estao mostradas na Figura 7.1, considerando-se acoordenada L1.

91

Page 105: Apostila MEF

92 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

11L = 0

21L = 1/2

L 1 3= 1

1

2

1

L2L1

L3

3

2

1

3

A

P

A

A

1

3

2

2

3

L1

Figura 7.1: Coordenadas de area para triangulos.

As componentes L1, L2 e L3 sao denominadas coordenadas de area, sendo utilizadaspara a definicao das funcoes de forma dos elementos triangulares.

A partir da Figura 7.1, verifica-se que

A = A1 + A2 + A3

Dividindo-se a relacao anterior por A vem que

A1

A+

A2

A+

A3

A= 1

Aplicando (7.1), tem-se

L1 + L2 + L3 = 1 → L3 = 1− L1 − L2 (7.2)

Assim, a expressao (7.2) pode ser utilizada para denotar a variavel L3 em funcao dascomponentes independentes L1 e L2.

7.2 Calculo do Jacobiano e das Derivadas Globais

Considerando-se os elementos triangulares como isoparametricos, tem-se que as coorde-nadas globais x e y dos pontos de um elemento sao dadas por

x(L1, L2) =n∑

a=1

Na(L1, L2)Xea (7.3)

y(L1, L2) =n∑

a=1

Na(L1, L2)Yea (7.4)

Page 106: Apostila MEF

7.2. CALCULO DO JACOBIANO E DAS DERIVADAS GLOBAIS 93

onde n e o numero de nos do elemento; Xea e Y e

a sao as coordenadas globais dos nos doelemento e.

Observa-se que expressoes analogas podem ser escritas para os deslocamentos u e v depontos do elemento. Logo,

u(L1, L2) =n∑

a=1

Na(L1, L2)Uea (7.5)

v(L1, L2) =n∑

a=1

Na(L1, L2)Vea (7.6)

sendo U ea e V e

a os deslocamentos dos graus de liberdade do elemento e.Para o calculo da matriz de rigidez dos elementos, deve-se calcular a matriz de de-

formacao [B] contendo as derivadas parciais das funcoes de forma em relacao as variaveisglobais x e y. No entanto, tem-se 3 coordenadas de area para o caso plano. Considerando,inicialmente, L1 e L2 como variaveis independentes, pode-se escrever para o no a de umelemento

∂Na

∂L1i

=∂Na

∂x

∂x

∂L1+

∂Na

∂y

∂y

∂L1

∂Na

∂L2i

=∂Na

∂x

∂x

∂L2+

∂Na

∂y

∂y

∂L2

onde o subındice i reflete a independencia das variaveis L1 e L2. Estas relacoes podem serdenotadas matricialmente como

{

NaL1i

NaL2i

}

=

[

xL1 yL1

xL2 yL2

]{

Nax

Nay

}

= [J ]

{

Nax

Nay

}

(7.7)

sendo [J ] a matriz do Jacobiano.Invertendo-se a matriz do Jacobiano, determinam-se as coordenadas em relacao as

derivadas globais x e y. Logo,

{

Nax

Nay

}

= [J ]−1

{

NaL1i

NaL2i

}

(7.8)

Deve-se, no entanto, considerar a variavel L3. Observa-se que

∂Na

∂L1i

=∂Na

∂L1

∂L1

∂L1+

∂Na

∂L1

∂L1

∂L2+

∂Na

∂L1

∂L1

∂L3

Aplicando (7.2), verifica-se que

∂L1

∂L1= 1

∂L2

∂L1= 0

∂L3

∂L1= −1

Page 107: Apostila MEF

94 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

1 2

3 3

1 2

109 6

8 7

1312

910

1511 8

14 7

1 254 6

3

1 2

3

6 5

4 4 5

a) b) c) d)

Figura 7.2: Elementos triangulares planos.

e

∂Na

∂L1i

=∂Na

∂L1− ∂Na

∂L3(7.9)

Obtem-se uma expressao analoga para L2i, ou seja,

∂Na

∂L2i

=∂Na

∂L2− ∂Na

∂L3(7.10)

Uma maneira mais simples para se calcular as derivadas globais e utilizar a relacao(7.2). Desta forma, elimina-se a dependencia das funcoes de forma da variavel L3 e asderivadas globais podem ser calculadas atraves de uma expressao analoga a (7.8), ou seja,

{

Nax

Nay

}

= [J ]−1

{

NaL1

NaL2

}

(7.11)

7.3 Elementos Planos

A seguir serao deduzidas as funcoes de forma para os elementos triangulares planos linear,quadratico, cubico e quartico. Estes elementos, ilustrados na Figura 7.2, possuem 3, 6, 10e 15 nos, respectivamente.

As funcoes de forma destes elementos serao dadas pelos produtos tensoriais dos polinomiosde Lagrange nas coordenadas L1, L2 e L3. Logo,

Na(L1, L2, L3) = l(b−1)b (L1)l

(c−1)c (L2)l

(d−1)d (L3) (7.12)

onde os ındices a, b, c e d sao escolhidos de maneira analoga ao realizado para os elementosquadrangulares.

Page 108: Apostila MEF

7.3. ELEMENTOS PLANOS 95

L1

L 2

L 3

1 2L

3

2 1

3

2 1

3

2

L2

L 3

3

1

11L

1 0

L 2 2

1L 2

10

0

1

1

Figura 7.3: Elemento triangular plano linear.

Os polinomios presentes na expressao anterior sao dados na seguinte forma geral

l(b−1)b (L1) =

(L1 − L11)(L1 − L12) . . . (L1 − L1b−1)

(L1b− L11)(L1b

− L12) . . . (L1b− L1b−1

)

l(c−1)c (L2) =

(L2 − L21)(L2 − L22) . . . (L2 − L2c−1)

(L2c − L21)(L2c − L22) . . . (L2c − L2c−1)(7.13)

l(d−1)d (L3) =

(L3 − L31)(L3 − L32) . . . (L3 − L3d−1)

(L3d− L31)(L3d

− L32) . . . (L3d− L3d−1

)

A seguir serao deduzidas as funcoes de forma para os elementos ilustrados na Figura7.2.

7.3.1 Elemento Linear

Como ha dois pontos em cada aresta do triangulo, as funcoes de forma variam linearmenteao longo dos lados do elemento. As coordenadas de area destes pontos sao indicadas pelossubındices 1 e 2. Assim, por exemplo, na direcao L1 tem-se as coordenadas L11 = 0 eL12 = 1, correspondendo as duas linhas de valores constantes para L1, como indicado naFigura 7.3. De forma analoga, nas direcoes L2 e L3, tem-se L21 = 0, L22 = 1 e L31 = 0,L32 = 1.

a 1 2 3

b 2 1 1

c 1 2 1

d 1 1 2

Tabela 7.1: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento linear.

Para determinar as funcoes de forma Na (a = 1, 2, 3) associada a cada um dos tresnos, deve-se aplicar a expressao (7.12). Os ındices b, c, d indicam os pontos passando pelo

Page 109: Apostila MEF

96 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

no considerado segundo as direcoes L1, L2, L3. Tomando-se, por exemplo, o primeiro no(a = 1), tem-se os pontos 2, 1 e 1 nas direcoes L1, L2 e L3, correspondendo a L12 = 1,L21 = 0 e L31 = 0. Neste caso, a = 1, b = 2, c = 1 e d = 1. A Tabela 7.1 resume a relacaoentre estes ındices. Aplicando-se (7.12) e (7.14), tem-se que

N(1)1 (L1, L2, L3) = l

(1)2 (L1)l

(0)1 (L2)l

(0)1 (L3) =

L1 − L11

L12 − L11

=L1 − 0

1− 0= L1

N(1)2 (L1, L2, L3) = l

(0)1 (L1)l

(1)2 (L2)l

(0)1 (L3) =

L2 − L21

L22 − L21

=L2 − 0

1− 0= L2

N(1)3 (L1, L2, L3) = l

(0)1 (L1)l

(0)1 (L2)l

(1)2 (L3) =

(L3 − L31)

(L32 − L31)=

L3 − 0

1− 0= L3

onde os polinomios de Lagrange de ordem 0 sao iguais a unidade.

Substituindo (7.2), as funcoes de forma do elemento linear podem ser expressas emtermos de L1 e L2. Logo,

N(1)1 (L1, L2) = L1

N(1)2 (L1, L2) = L2

N(1)3 (L1, L2) = 1− L1 − L2

(7.14)

As funcoes de forma dos nos deste elemento estao ilustradas na Figura 7.4.

00.5

1

0

0.5

1−1

0

1

0

0.5

1

00.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 00.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 7.4: Funcoes de interpolacao para o triangulo linear lagrangiano.

Page 110: Apostila MEF

7.3. ELEMENTOS PLANOS 97

7.3.2 Elemento Quadratico

O elemento quadratico esta ilustrado na Figura 7.5 e a relacao entre os ındices a, b, c e dna Tabela 7.2. As funcoes de forma sao determinadas a partir de (7.12). Logo,

N(2)1 (L1, L2, L3) = l

(2)3 (L1)l

(0)1 (L2)l

(0)1 (L3)

=(L1 − L11)(L2 − L12)

(L13 − L11(L13 − L12)=

(L1 − 0)(L1 − 12 )

(1− 0)(1 − 12)

= L1(2L1 − 1)

N(2)2 (L1, L2, L3) = l

(0)1 (L1)l

(2)3 (L2)l

(0)1 (L3) = L2(2L2 − 1)

N(2)3 (L1, L2, L3) = l

(0)1 (L1)l

(0)1 (L2)l

(2)3 (L3) = L3(2L3 − 1)

N(2)4 (L1, L2, L3) = l

(1)2 (L1)l

(1)2 (L2)l

(0)1 (L3) = 4L1L2

N(2)5 (L1, L2, L3) = l

(0)1 (L1)l

(1)2 (L2)l

(1)2 (L3) = 4L2L3

N(2)6 (L1, L2, L3) = l

(1)1 (L1)l

(0)1 (L2)l

(1)2 (L3) = 4L1L3

Analogamente aos elementos quadrangulares, as funcoes de interpolacao dos nos 1 a 3

podem ser obtidas a partir daquelas do elemento linear. Calculando-se N(1)1 (L1, L2), dada

em (7.14), para as coordenadas dos nos 4 (L1 = L2 = 12) e 6 (L1 = 1, L2 = 0), tem-se que

N(1)1 (

1

2,1

2) =

1

2

N(1)1 (

1

2, 0) =

1

2

Assim, utilizam-se as funcoes N(2)4 (L1, L2) e N

(2)6 (L1, L2) para se obter a funcao refer-

ente ao no 1 do elemento quadratico, ou seja,

N(2)1 (L1, L2) = N

(1)1 (L1, L2)−

1

2

[

N(2)4 (L1, L2) + N

(2)6 (L1, L2)

]

(7.15)

Tomando-se a relacao anterior para as coordenadas dos nos 1, 4 e 6, tem-se que

N(2)1 (1, 0) = 1− 1

2[0 + 0] = 1

N(2)1 (

1

2,1

2) =

1

2− 1

2[1 + 0] = 1

N(2)1 (

1

2, 0) =

1

2− 1

2[0 + 1] = 1

O mesmo procedimento pode ser efetuado para os nos 2 e 3. Portanto,

N(2)2 (L1, L2) = N

(1)2 (L1, L2)− 1

2

[

N(2)4 (L1, L2) + N

(2)5 (L1, L2)

]

N(2)3 (L1, L2) = N

(1)3 (L1, L2)− 1

2

[

N(2)5 (L1, L2) + N

(2)6 (L1, L2)

] (7.16)

Page 111: Apostila MEF

98 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

L1

L 2

L 3

11L

1 2L

1L 2

L 2 2

L 3 1

L23

3

2 1

3

2 1

3

20

1

1 0 0 1

4

6

1/2 1/2

56 51/21/2

56

4 41

1L3

L 2 3

L 3 3

Figura 7.5: Elemento triangular plano quadratico.

Novamente, pode-se utilizar (7.2) para eliminar L3 das expressoes das funcoes de forma.Logo,

N(2)1 (L1, L2) = L1(2L1 − 1)

N(2)2 (L1, L2) = L2(2L2 − 1)

N(2)3 (L1, L2) = (1− L1 − L2)(1 − 2L1 − 2L2)

N(2)4 (L1, L2) = 4L1L2

N(2)5 (L1, L2) = 4L2(1− L2 − L1)

N(2)6 (L1, L2) = 4L1(1− L2 − L1)

(7.17)

As funcoes de forma deste elemento estao apresentadas na Figura 7.6.

a 1 2 3 4 5 6

b 3 1 1 2 1 2

c 1 3 1 2 2 1

d 1 1 3 1 2 2

Tabela 7.2: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento quadratico.

7.3.3 Elemento Cubico

A Tabela 7.3 apresenta os ındices a,b,c,d para o elemento triangular cubico ilustrado naFigura 7.7. Aplicando-se (7.12), obtem-se as funcoes de interpolacao para este elemento,

Page 112: Apostila MEF

7.3. ELEMENTOS PLANOS 99

00.5

1

00.5

1−1

0

1

00.5

1

00.5

1−1

0

1

00.5

1

00.5

1−1

0

1

00.5

1

00.5

1−1

0

1

00.5

1

00.5

1−1

0

1

00.5

1

00.5

1−1

0

1

Figura 7.6: Funcoes de interpolacao para o triangulo quadratico lagrangiano.

Page 113: Apostila MEF

100 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

L 3

L2L1

L 3 1

L23

1L 2

L 2 2

11L

1 2L

1L3

0

0

3

1 2

3

1

1 0

254

9 10 6

78

3

2/3 1/3

1 4 5 2

109 6

78

1/32/3 1

54

109 6

8 7

1

2/3

1/3

L 3

L 3

3

4

L 2

L 2

3

4

1L4

Figura 7.7: Elemento triangular plano cubico.

ou seja,

N(3)1 (L1, L2) = 1

2(3L1 − 1)(3L1 − 2)

N(3)2 (L1, L2) = 1

2(3L2 − 1)(3L2 − 2)

N(3)3 (L1, L2) = 1

2(2− 3L1 − 3L2)(1 − 3L1 − 3L2)

N(3)4 (L1, L2) = 9

2L1L2(3L1 − 1)

N(3)5 (L1, L2) = 9

2L1L2(3L2 − 1)

N(3)6 (L1, L2) = 9

2L2(1− L1 − L2)(3L2 − 1)

N(3)7 (L1, L2) = 9

2L2(1− L1 − L2)(2− 3(L1 + L2))

N(3)8 (L1, L2) = 9

2L1(1− L1 − L2)(2− 3(L1 + L2))

N(3)9 (L1, L2) = 9

2L1(1− L1 − L2)(3L1 − 1)

N(3)10 (L1, L2) = 27L1L2(1− L1 − L2)

(7.18)

observando-se que (7.2) foi utilizada para eliminar L3 das expressoes. A Figura 7.8 apre-senta as funcoes de forma deste elemento.

Analogamente, pode-se expressar as funcoes de interpolacao dos nos 1 a 3 a partirdaquelas do elemento linear. Logo,

N(3)1 (L1, L2) = N

(1)1 (·)− 2

3

[

N(3)4 (·) + N

(3)9 (·)

]

− 13

[

N(3)5 (·) + N

(3)8 (·)

]

N(3)2 (L1, L2) = N

(1)2 (·)− 2

3

[

N(3)5 (·) + N

(3)6 (·)

]

− 13

[

N(3)4 (·) + N

(3)7 (·)

]

N(3)3 (L1, L2) = N

(1)3 (·)− 2

3

[

N(3)5 (·) + N

(3)6 (·)

]

− 13

[

N(3)6 (·) + N

(3)9 (·)

]

(7.19)

7.3.4 Elemento Quartico

Finalmente, para o elemento quartico ilustrado na Figura 7.9, obtem-se de maneira analogaas suas funcoes de interpolacao, observando-se que a relacao entre os ındices a, b, c e d

Page 114: Apostila MEF

7.3. ELEMENTOS PLANOS 101

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b 4 1 1 3 2 1 1 2 3 2

c 1 4 1 2 3 3 2 1 1 2

d 1 1 4 1 1 2 3 3 2 2

Tabela 7.3: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento cubico.

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

00.5

10

0.51

−1

0

1

Figura 7.8: Funcoes de interpolacao para o triangulo cubico lagrangiano.

Page 115: Apostila MEF

102 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

esta dada na Tabela 7.4. Portanto,

N(4)1 (L1, L2) = 1

3L1(4L1 − 1)(4L1 − 3)

N(4)2 (L1, L2) = 1

3L2(4L2 − 1)(4L2 − 3)

N(4)3 (L1, L2) = 1

3(1− L1 − L2)(3 − 4(L2 + L3))(1 − 4(L2 + L3))

N(4)4 (L1, L2) = 16

3 L1L2(4L1 − 1)(2L1 − 1)

N(4)5 (L1, L2) = 4L1L2(4L1 − 1)(4L2 − 1)

N(4)6 (L1, L2) = 16

3 L1L2(4L2 − 1)(2L2 − 1)

N(4)7 (L1, L2) = 16

3 L2(1− L1 − L2)(4L2 − 1)(2L2 − 1)

N(4)8 (L1, L2) = 4L2(1− L1 − L2)(4L2 − 1)(3− 4(L1 + L2))

N(4)9 (L1, L2) = 16

3 L2(1− L1 − L2)(3− 4(L1 + L2))(1 − 2(L1 + L2))

N(4)10 (L1, L2) = 16

3 L1(1− L1 − L2)(3− 4(L1 + L2))(1 − 2(L1 + L2))

N(4)11 (L1, L2) = 4L1(1− L1 − L2)(4L1 − 1)(3− 4(L1 + L2))

N(4)12 (L1, L2) = 16

3 L1(1− L1 − L2)(4L1 − 1)(2L1 − 1)

N(4)13 (L1, L2) = 32L1L2(1− L1 − L2)(4L1 − 1)

N(4)14 (L1, L2) = 32L1L2(1− L1 − L2)(4L2 − 1)

N(4)15 (L1, L2) = 32L1L2(1− L1 − L2)(3− 4(L1 + L2))

(7.20)

Para os nos 1 a 3, determinam-se as seguintes expressoes pela modificacao das funcoesdo elemento linear

N(4)1 (L1, L2) = N

(1)1 (·) − 3

4

[

N(4)4 (·) + N

(3)12 (·)

]

− 1

2

[

N(4)5 (·) + N

(3)11 (·) + N

(4)13 (·)

]

−1

4

[

N(4)6 (·) + N

(3)10 (·) + N

(4)14 (·) + N

(4)15 (·)

]

N(4)2 (L1, L2) = N

(1)2 (·) − 3

4

[

N(4)6 (·) + N

(3)7 (·)

]

− 1

2

[

N(4)5 (·) + N

(3)8 (·) + N

(4)14 (·)

]

−1

4

[

N(4)4 (·) + N

(3)9 (·) + N

(4)13 (·) + N

(4)14 (·)

]

(7.21)

N(4)3 (L1, L2) = N

(1)3 (·) − 3

4

[

N(4)9 (·) + N

(3)10 (·)

]

− 1

2

[

N(4)8 (·) + N

(3)11 (·) + N

(4)15 (·)

]

−1

4

[

N(4)7 (·) + N

(3)12 (·) + N

(4)13 (·) + N

(4)14 (·)

]

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

b 5 1 1 4 3 2 1 1 1 2 3 4 3 2 2

c 1 5 1 2 3 4 4 3 2 1 1 1 2 3 2

d 1 1 5 1 1 1 2 3 4 4 3 2 2 2 3

Tabela 7.4: Relacao entre os ındices a, b, c e d para o elemento quartico.

Page 116: Apostila MEF

7.4. COORDENADAS DE VOLUME 103

L2L1

11L

1 2L

1L 2

L 2 2

L 3L 3 1

L23

1 3/4 0

3

0 1/4 1/2 1

910

6

3

3/4

81511

7141312

541 2

12 7

8

10 9

1 4 5 6 2

11

13 14

15

1/21/4

1L

1L

1L3

4

5

L 2

L 2

L 2

3

4

5

0

1/4

1/2

3/4

1

1312

3

910

1511 8

14 7

1 4 5 6 2

L 3

L 3

L 3

3

4

5

Figura 7.9: Elemento triangular plano quartico.

7.4 Coordenadas de Volume

Para o caso de elementos espaciais, torna-se conveniente expandir as coordenadas de areaL1, L2 e L3 introduzindo-se uma quarta componente L4, definindo-se assim as coordenadasde volume.

Dado um ponto P no interior de um tetraedro de volume V , definem-se 4 tetraedrosinternos 1, 2, 3 e 4 com volumes V1, V2, V3 e V4, respectivamente. As coordenadas devolume L1, L2, L3 e L4 sao definidas pela razao de volumes destes tetraedros, comoilustrado na Figura 7.10. Logo,

L1 =V1

VL2 =

V2

VL3 =

V3

VL4 =

V4

V

Verifica-se que o volume V e a soma dos volumes V1, V2, V3 e V4 dos tetraedros internos.Portanto,

V = V1 + V2 + V3 + V4

Dividindo-se a expressao anterior pelo volume V , verifica-se que

V1

V+

V2

V+

V3

V+

V4

V= 1 → L1 + L2 + L3 + L4 = 1

Utilizando-se a equacao anterior, pode-se escrever L4 em funcao das coordenadas in-dependentes L1, L2 e L3. Logo,

L4 = 1− L1 − L2 − L3 (7.22)

Observa-se que estas coordenadas variam de 0 a 1 de maneira analoga as coordenadas dearea apresentadas anteriormente.

Page 117: Apostila MEF

104 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

1V

V

P

1

34

2

Figura 7.10: Coordenadas de volume: componente L1.

7.5 Calculo do Jacobiano e das Derivadas Globais

Considerando L1, L2 e L3 como coordenadas independentes e tomando-se o no a de umelemento finito, obtem-se atraves da regra da cadeia

∂Na

∂L1=

∂Na

∂x

∂x

∂L1+

∂Na

∂y

∂y

∂L1+

∂Na

∂z

∂z

∂L1

∂Na

∂L2=

∂Na

∂x

∂x

∂L2+

∂Na

∂y

∂y

∂L2+

∂Na

∂z

∂z

∂L2

∂Na

∂L3=

∂Na

∂x

∂x

∂L3+

∂Na

∂y

∂y

∂L3+

∂Na

∂z

∂z

∂L3

ou em forma matricial,

NaL1

NaL2

NaL3

=

xL1 yL1 zL1

xL2 yL2 zL2

xL3 yL3 zL3

Nax

Nay

Naz

= [J ]

Nax

Nay

Naz

(7.23)

Logo,

Nax

Nay

Naz

= [J ]−1

NaL1

NaL2

NaL3

(7.24)

Page 118: Apostila MEF

7.6. ELEMENTOS ESPACIAIS 105

3 3

2

15

16

4

10

9

1

7

8

12

11

519

620

18

1413

17

1

4

2

6 7

1

4

9

2

8

105

3

Figura 7.11: Tetraedros linear, quadratico e cubico.

7.6 Elementos Espaciais

Neste caso, serao deduzidas as funcoes de interpolacao para os elementos linear, quadraticoe cubico, ilustrados na Figura 7.11, os quais possuem 4, 10 e 20 nos, respectivamente. Estasfuncoes sao dadas pelo produto tensorial de polinomios nas direcoes L1, L2, L3 e L4, ouseja,

Na(L1, L2, L3L4) = N b−1b (L1)N

c−1c (L2)N

d−1d (L3)N

e−1e (L4) a = 1, . . . , n (7.25)

onde n e o numero de nos e os ındices a,b,c,d,e sao escolhidos de maneira conveniente.

7.6.1 Tetraedro Linear

Tomando-se o elemento linear, ilustrado na Figura 7.12, e a relacao de ındices dada naTabela 7.5, aplica-se a expressao (7.25) para a obtencao das funcoes de interpolacao.Portanto,

N1(L1, L2, L3, L4) = l(1)2 (L1)l

(0)1 (L2)l

(0)1 (L3)l

(0)1 (L4) =

L1 − L11

L12 − L11

=L1 − 0

1− 0= L1

N2(L1, L2, L3L4) = l(0)1 (L1)l

(1)2 (L2)l

(0)1 (L3)l

(0)1 (L4) = L2

N3(L1, L2, L3L4) = l(0)1 (L1)l

(0)1 (L2)l

(1)2 (L3)l

(0)1 (L4) = L3

N4(L1, L2, L3L4) = l(0)1 (L1)l

(0)1 (L2)l

(0)1 (L3)l

(1)2 (L4) = L4

Page 119: Apostila MEF

106 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

= 12

L

L 2

1 32 = 0L L

= 0

= 1

= 1

123

L21

= 0L 1 1

3 3

3

1

4

2

1

4

2

1

4

2

Figura 7.12: Tetraedro linear.

a 1 2 3 4

b 2 1 1 1

c 1 2 1 1

d 1 1 2 1

e 1 1 1 2

Tabela 7.5: Relacao entre os ındices a, b, c, d e e para o tetraedro linear.

Page 120: Apostila MEF

7.6. ELEMENTOS ESPACIAIS 107

Substituindo (7.22) nas expressoes anteriores, tem-se as seguintes funcoes de formapara o tetraedro linear

N1(L1, L2, L3) = L1

N2(L1, L2, L3) = L2

N3(L1, L2, L3) = L3

N4(L1, L2, L3) = 1− L1 − L2 − L3

(7.26)

7.6.2 Tetraedro Quadratico

Segue-se o mesmo procedimento para o elemento quadratico dado na Figura 7.13. ATabela 7.6 apresenta a relacao entre os ındices a, b, c, d e e. Portanto, eliminando-se L4

a partir de (7.22), tem-se que

N(2)1 (L1, L2, L3) = (2L1 − 1)L1

N(2)2 (L1, L2, L3) = (2L2 − 1)L2

N(2)3 (L1, L2, L3) = (2L3 − 1)L3

N(2)4 (L1, L2, L3) = ((1− 2(L1 + L2 + L3))(1 − L1 − L2 − L3)

N(2)5 (L1, L2, L3) = 4L1L2

N(2)6 (L1, L2, L3) = 4L1L3

N(2)7 (L1, L2, L3) = 4L1(1− L1 − L2 − L3)

N(2)8 (L1, L2, L3) = 4L2L3

N(2)9 (L1, L2, L3) = 4L3(1− L1 − L2 − L3)

N(2)10 (L1, L2, L3) = 4L2(1− L1 − L2 − L3)

(7.27)

Expressando-se as funcoes dos nos 1 a 4 a partir das relacoes do elemento linear,obtem-se

N(2)1 (L1, L2, L3) = N

(1)1 (·)− 1

2

[

N(2)5 (·) + N

(2)6 (·) + N

(2)7 (·)

]

N(2)2 (L1, L2, L3) = N

(1)2 (·)− 1

2

[

N(2)5 (·) + N

(2)8 (·) + N

(2)10 (·)

]

N(2)3 (L1, L2, L3) = N

(1)3 (·)− 1

2

[

N(2)6 (·) + N

(2)8 (·) + N

(2)9 (·)

]

N(2)4 (L1, L2, L3) = N

(1)4 (·)− 1

2

[

N(2)7 (·) + N

(2)9 (·) + N

(2)10 (·)

]

(7.28)

7.6.3 Tetraedro Cubico

Finalmente, pode-se obter as funcoes de forma para o elemento cubico ilustrado na Figura7.14, onde a relacao entre os ındices esta dada na Tabela 7.7. Portanto, determinam-se as

Page 121: Apostila MEF

108 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

L 3=

L

1= 0

=1

= 1/2L

0

3

1

0=L

= 12

L

2

L

3 3

L 1 = 1

3

1

4

2

1

4

2

1

4

2

5

8 10

L 2= 1/2

67

5

8

9

6

L 3= 1/2

Figura 7.13: Tetraedro quadratico.

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b 3 1 1 1 2 2 2 1 1 1

c 1 3 1 1 2 1 1 2 1 2

d 1 1 3 1 1 2 1 2 2 1

e 1 1 1 3 1 1 2 1 2 2

Tabela 7.6: Relacao entre os ındices a, b, c, d e e para o tetraedro quadratico.

Page 122: Apostila MEF

7.6. ELEMENTOS ESPACIAIS 109

2 1=

L 3 = 1

=L

L

3

L 3= 0

=L 3 1/3

02/3

=1L

1=1 2 =L

2/3L

0

=1

L

3

1

2

1

4

2

L 1 = 1/35

6

810

97

5

6

1511

1612

34

L 2=

L 2=

2/3

1/3

1

4

7

8

1413

11

12

3

2

Figura 7.14: Tetraedro cubico.

seguintes expressoes em funcao de L1, L2 e L3

N(3)1 (L1, L2, L3) = 1

2(3L1 − 1)(3L1 − 2)L1

N(3)2 (L1, L2, L3) = 1

2(3L2 − 1)(3L2 − 2)L2

N(3)3 (L1, L2, L3) = 1

2(3L3 − 1)(3L3 − 2)L3

N(4)4 (L1, L2, L3) = 1

2(2− 3(L1 + L2 + L3))(1 − 3(L1 + L2 + L3))(1− L1 − L2 − L3)

N(3)5 (L1, L2, L3) = 9

2L1L2(3L1 − 1)

N(3)6 (L1, L2, L3) = 9

2L1L2(3L2 − 1)

N(3)7 (L1, L2, L3) = 9

2L1L3(3L1 − 1)

N(3)8 (L1, L2, L3) = 9

2L1L3(3L3 − 1)

N(3)9 (L1, L2, L3) = 9

2L1L4(3L1 − 1)

N(3)10 (L1, L2, L3) = 9

2L1(1− L1 − L2 − L3)(2− 3(L1 + L2 + L3))

N(3)11 (L1, L2, L3) = 9

2L2L3(3L2 − 1)

N(3)12 (L1, L2, L3) = 9

2L2L3(3L3 − 1)

N(3)13 (L1, L2, L3) = 9

2L3(1− L1 − L2 − L3)(3L3 − 1)

N(3)14 (L1, L2, L3) = 9

2L3(1− L1 − L2 − L3)(2− 3(L1 + L2 + L3))

N(3)15 (L1, L2, L3) = 9

2L2(1− L1 − L2 − L3)(3L2 − 1)

N(3)16 (L1, L2, L3) = 9

2L2(1− L1 − L2 − L3)(2− 3(L1 + L2 + L3))

N(3)17 (L1, L2, L3) = 27L1L2L3

N(3)18 (L1, L2, L3) = 27L1L2(1− L1 − L2 − L3)

N(3)19 (L1, L2, L3) = 27L1L3(1− L1 − L2 − L3)

N(3)20 (L1, L2, L3) = 27L2L3(1− L1 − L2 − L3)

(7.29)

Page 123: Apostila MEF

110 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b 4 1 1 1 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1

c 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 3 2 1 1 3 2 2 2 1 2

d 1 1 4 1 1 1 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 1 2 2

e 1 1 1 4 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 2 2

Tabela 7.7: Relacao entre os ındices a, b, c, d e e para o tetraedro cubico.

As funcoes de forma para os nos 1 a 4 podem ser determinadas modificando-se aquelasdo elemento linear. Assim,

N(3)1 (L1, L2, L3) = N

(1)1 (·)− 2

3

[

N(3)5 (·) + N

(3)7 (·) + N

(3)9 (·)

]

−1

3

[

N(3)5 (·) + N

(3)8 (·) + N

(3)10 (·) + N

(3)17 (·) + N

(3)18 (·) + N

(3)19 (·)

]

N(3)2 (L1, L2, L3) = N

(1)2 (·)− 2

3

[

N(3)6 (·) + N

(3)11 (·) + N

(3)15 (·)

]

−1

3

[

N(3)5 (·) + N

(3)12 (·) + N

(3)17 (·) + N

(3)16 (·) + N

(3)18 (·) + N

(3)20 (·)

]

(7.30)

N(3)3 (L1, L2, L3) = N

(1)3 (·)− 2

3

[

N(3)8 (·) + N

(3)12 (·) + N

(3)13 (·)

]

−1

3

[

N(3)7 (·) + N

(3)11 (·) + N

(3)14 (·) + N

(3)17 (·) + N

(3)19 (·) + N

(3)20 (·)

]

N(3)4 (L1, L2, L3) = N

(1)4 (·)− 2

3

[

N(3)10 (·) + N

(3)14 (·) + N

(3)16 (·)

]

−1

3

[

N(3)9 (·) + N

(3)13 (·) + N

(3)15 (·) + N

(3)18 (·) + N

(3)19 (·) + N

(3)20 (·)

]

7.7 Exercıcios Propostos

Exercıcio 7.1 Calcular a matriz do Jacobiano e seu determinante para o elemento tri-angular ilustrado na Figura 7.15.

4

3

1

2

y

x

2

2

Figura 7.15: Exercıcio 7.1.

Page 124: Apostila MEF

7.7. EXERCICIOS PROPOSTOS 111

Exercıcio 7.2 Determinar a matriz de massa local para um elemento triangular linear.

Page 125: Apostila MEF

112 CAPITULO 7. FUNCOES DE FORMA PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

Page 126: Apostila MEF

Capıtulo 8

Integracao Numerica

Nesse capıtulo, discutem-se procedimentos para a integracao numerica dos coeficientes dasmatrizes de massa e rigidez e vetores de carregamento dos elementos finitos. Inicialmente,estuda-se a integracao de Newton-Cotes e Gauss-Legendre para elementos unidimensionais.Posteriormente, consideram-se elementos planos e espaciais.

8.1 Introducao

A utilizacao de coordenadas locais permite simplificar os limites de integracao no calculodas matrizes e vetores de carregamento dos elementos finitos. No entanto, nos casos gerais,nao e possıvel obter uma expressao analıtica para estas expressoes. Desta forma, torna-senecessario aplicar tecnicas de integracao numerica.

Considerando o caso unidimensional, a integracao numerica de∫ ba f(ξ) dξ e efetuada

tomando-se um polinomio ϕ(ξ) atraves de alguns valores de f(ξ) e usar∫ ba ϕ(ξ) dξ como

uma aproximacao para∫ ba f(ξ) dξ. A posicao dos pontos de amostragem e o numero de

valores para f(ξ) determina a qualidade da aproximacao de ϕ(ξ) para f(ξ) e, portanto, oerro da integracao numerica. Observa-se que para os elementos isoparametricos, adota-sea = −1 e b = 1.

A seguir apresentam-se as duas tecnicas comumente utilizadas para calcular numeri-camente uma integral.

8.2 Integracao de Newton-Cotes

Neste primeiro procedimento, toma-se a funcao calculada em pontos igualmente espacadosem seu domınio. Assim, para n pontos, pode-se ajustar um polinomio de grau n − 1 e afuncao pode ser assim integrada exatamente como ilustrado na Figura 8.1. Esta tecnica econhecida como Newton-Cotes.

113

Page 127: Apostila MEF

114 CAPITULO 8. INTEGRACAO NUMERICA

ξf( )nξ

1f( )

f

ξ-1 1

Figura 8.1: Pontos igualmente espacados para a tecnica de integracao de Newton-Cotes.

O valor da integral de uma funcao, definida no intervalo [−1, 1], e obtida pelo somatoriode valores da funcao multiplicadas por um coeficiente de ponderacao. Portanto,

I =

∫ 1

−1f(ξ)dξ =

n∑

l=1

Hlf(ξl) (8.1)

Os coeficientes de ponderacao Hl, para ate 5 pontos de integracao, estao dados naTabela 8.1. Para n = 2, tem-se a regra do trapezio, ou seja,

I =2∑

l=1

Hlf(ξl) =1

2[f(−1) + f(1)]

Para n = 3, tem-se a regra de Simpson

I =3∑

l=1

Hlf(ξl) = I =2∑

l=1

Hlf(ξl) =1

3[f(−1) + 4f(0) + f(1)]

n H1 H2 H3 H4 H5

2 1 1 - - -

3 1/3 4/3 1/3 - -

4 1/4 3/4 3/4 1/4 -

5 7/45 32/45 12/45 32/45 7/45

Tabela 8.1: Coeficientes de ponderacao para as formulas de quadratura de Newton-Cotes.

Page 128: Apostila MEF

8.3. QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE 115

8.3 Quadratura de Gauss-Legendre

Uma segunda tecnica para integrar numericamente uma funcao e posicionar os pontos deamostragem, de tal forma a obter uma melhor precisao. Assim, tomando-se n pontos,tem-se 2n incognitas, ou seja, ξl e f(ξl), podendo-se ajustar um polinomio de grau 2n− 1para que a funcao seja integrada exatamente. Esta tecnica e conhecida por quadratura deGauss-Legendre.

Aplica-se, entao, a equacao (8.1) com os pontos de integracao e os respectivos co-eficientes de ponderacao apresentados na Tabela 8.2. A disposicao destes pontos estailustrada na Figura 8.2.

n ξl Hl

1 0, 0 2, 00

2 ±0, 57735 02691 1, 00

3 0, 00000 00000 8/9±0, 77459 66692 5/9

4 ±0, 86113 63115 0, 34785 48451±0, 33998 10435 0, 65214 51548

5 0, 00000 00000 0, 56888 88888±0, 53846 93101 0, 47862 86704±0, 90618 98459 0, 23692 68850

Tabela 8.2: Pontos de integracao e coeficientes de ponderacao para a quadratura de Gauss-Legendre supondo um intervalo (−1, 1).

ξ1

ξ2

ξ3

ξ4

ξ1

ξ2

ξ3

ξ4

ξ5

ξ1

ξ1

ξ2

ξ3

ξ1

ξ2

ξ

ξξ

ξ ξ

f f f

f f

Figura 8.2: Pontos de integracao para os elementos unidimensionais.

A quadratura de Gauss e comumente utilizada para o calculo das matrizes dos ele-

Page 129: Apostila MEF

116 CAPITULO 8. INTEGRACAO NUMERICA

mentos finitos, pois obtem-se uma melhor precisao com um numero menor de pontos deintegracao, comparando-se com a tecnica de Newton-Cotes.

8.4 Exemplo de Aplicacao

Para exemplificar o procedimento de integracao numerica por Gauss-Legendre, seja X1 =12 , X2 = 1 e X3 = 3

2 as coordenadas globais do elemento quadratico ilustrado na Figura5.5. Atraves de (5.17), a matriz do jacobiano e dada por

[J ] =[

N1ξN2ξ

N3ξ

]

X1

X2

X3

ou seja,

[J ] =3∑

i=1

dNi(ξ)

dξXi =

dN1(ξ)

dξX1 +

dN2(ξ)

dξX2 +

dN3(ξ)

dξX3

As funcoes de forma deste elemento estao dadas em (5.8). Assim,

dN1(ξ)

dξ=

d

[

1

2ξ(ξ − 1)

]

= ξ − 1

2

dN2(ξ)

dξ=

d

dξ[1− ξ2] = −2ξ

dN3(ξ)

dξ=

d

[

1

2ξ(ξ + 1)

]

= ξ +1

2

Portanto, det[J ] = 1/2. A partir daı vem que

[J ] =

(

ξ − 1

2

)

1

2+ (−2ξ)1 +

(

ξ +1

2

)

3

2=

1

2

Neste caso, tem-se que a funcao f(ξ) = [B]T [D][B]|det[J ]| para a matriz de rigideze f(ξ) = [N ]T [N ]|det[J ]| para a matriz de massa. O numero de pontos de integracaodepende do grau do polinomio que ocorre nestes produtos. Verifica-se que para o termo[N ]T [N ]|det[J ]| utiliza-se um numero maior de pontos que para o termo [B]T [D][B]|det[J ]|,pois a matriz [B] contem as derivadas das funcoes de forma.

Verifica-se que a funcao N(2)2 (ξ) contem um termo em ξ2. Portanto, neste caso o termo

[N ]T [N ] originara um polinomio em ξ4 e a ordem de integracao necessaria e determinadafazendo-se

2n− 1 = 4 → n = 2, 5

Page 130: Apostila MEF

8.4. EXEMPLO DE APLICACAO 117

Como n deve ser um inteiro, tomam-se 3 pontos de integracao para o produto [N ]T [N ]. Noentanto, consideram-se 2 pontos para o termo [B]T [D][B], onde se encontram polinomiosem ξ2.

A matriz de massa deste elemento no sistema local de referencia e determinada pelaseguinte expressao

[M ] =

xρ[N ]T [N ] dx =

∫ 1

−1ρ[N ]T [N ]|det[J ]| dξ

Como devem ser usados 3 pontos de integracao, vem que

[M ] =

∫ 1

−1ρ[N ]T [N ]|det[J ]| dξ = ρ

3∑

i=1

Hi[N(ξi)]T [N(ξi)] |det[J ]|

Assim, para um valor unitario de ρ, tem-se

[M ] =1

2

(

H1[N(ξ1)]T [N(ξ1)] + H2[N(ξ2)]

T [N(ξ2)] + H3[N(ξ3)]T [N(ξ3)]

)

(8.2)

Os pontos de integracao e os coeficientes de ponderacao estao dados na Tabela 8.2.Assim, para ξ1 = −0, 774597, verifica-se que

N1(ξ1) =1

2ξ1(ξ1 − 1) = 0, 687299

N2(ξ1) = 1− ξ21 = 0, 40

N3(ξ1) =1

2ξ1(ξ1 + 1) = −0, 087298

e

f(ξ1) =

0, 6872990, 40

−0, 087298

[

0, 687299 0, 40 −0, 087298]

=

0, 472299 0, 274896 −0, 0599950, 274896 0, 160000 −0, 034919−0, 059995 −0, 034919 0, 007621

Efetuando o mesmo procedimento para ξ2 = 0, 0 e ξ3 = 0, 774597, obtem-se

f(ξ2) =

0 0 00 1 00 0 0

f(ξ3) =

0, 007621 −0, 034919 −0, 059995−0, 034919 0, 16 0, 274896−0, 059995 0, 274896 0, 472299

Page 131: Apostila MEF

118 CAPITULO 8. INTEGRACAO NUMERICA

Substituindo f(ξ1), f(ξ2) e f(ξ3) em (8.2), multiplicando-se pelos coeficientes corre-spondentes e observando-se que H1 = H3, chega-se a seguinte expressao

∫ 1

−1f(ξ) dξ =

1

2

5

9

0, 48 0, 24 −0, 120, 24 0, 32 0, 24−0, 12 0, 24 0, 48

+

8

9

0 0 00 1 00 0 0

Portanto,

[M ] =

∫ 1

−1f(ξ) dξ =

0, 1333 0, 0667 −0, 03330, 0667 0, 5333 0, 0667−0, 0333 0, 0667 0, 1333

A Tabela 8.3 apresenta o numero de pontos de integracao necessario para os elementosunidimensionais ate o quarto grau, para cada um dos termos presentes nas expressoes dasmatrizes e vetores de carregamento dos elementos.

Elemento [N ]T [N ] [B]T [B] [B] [N ]T

Linear 2 1 1 2

Quadratico 3 2 1 2

Cubico 4 3 1 2

Quartico 5 4 1 2

Tabela 8.3: Ordem de integracao para os elementos unidimensionais.

8.5 Integracao Numerica Bidimensional

A quadratura de Gauss-Legendre pode ser estendida para integrar funcoes de duas variaveisf(ξ, η), ou seja,

I =

∫ 1

−1

∫ 1

−1f(ξ, η) dξ dη (8.3)

Esta integral pode ser calculada numericamente, considerando inicialmente apenas aintegral em η e mantendo ξ constante. Tomando-se n2 pontos na direcao η e aplicando(8.1) vem que

I =

∫ 1

−1f(ξ, η) dη =

n2∑

j=1

Hjf(ξ, ηj) = g(ξ) (8.4)

onde g(ξ) e uma funcao de ξ. Desta forma, para n1 pontos de integracao na direcao ξ, aintegral de g(ξ) e dada por

I =

∫ 1

−1g(ξ) dξ =

n1∑

i=1

Hig(ξi) (8.5)

Page 132: Apostila MEF

8.5. INTEGRACAO NUMERICA BIDIMENSIONAL 119

Substituindo (8.4) em (8.5) vem que

I =

∫ 1

−1

∫ 1

−1g(ξ) dξ =

n1∑

i=1

Hi

n2∑

j=1

Hjf(ξi, ηj)

ou ainda,

I =n1∑

i=1

n2∑

j=1

HiHjf(ξi, ηj) (8.6)

O somatorio duplo em (8.6) pode ser escrito como uma somatorio simples da seguinteforma

I =Nint∑

l=1

Hlf(ξl, ηl) (8.7)

onde Nint = n1n2 e Hl = HiHj (i = 1, . . . , n1; j = 1, . . . , n2)

Para os elementos finitos quadrangulares planos, os pontos de integracao e os coefi-cientes de ponderacao sao obtidos pela composicao, nas direcoes ξ e η, daqueles determina-dos para o caso unidimensional e ilustrados na Figura 8.2. Assim, a Tabela 8.4 apresentaestes valores para a ordem de integracao ate 4. Ja a Tabela 8.5 contem o numero depontos de integracao para os termos das matrizes e vetores dos elementos quadrangulares.A disposicao destes pontos esta ilustrada na Figura 8.3.

ξ

η

ξ

η

ξ

η

ξ

η

Figura 8.3: Pontos de integracao para os elementos quadrangulares planos.

No caso dos triangulos, verifica-se que o processo de integracao numerica e analogo,devendo-se observar que a funcao a ser integrada esta especificada nas variaveis L1 e L2.Portanto,

∫ 1

0

∫ 1−L2

0f(L1, L2)|det[J ]| dL1dL2 =

Nint∑

l=1

Hl g(Ll1, L

l2) (8.8)

Page 133: Apostila MEF

120 CAPITULO 8. INTEGRACAO NUMERICA

(n1 × n2) Grau de (ξl, ηl) Hl

precisao

(1× 1) 1 (0.000, 0.000) 4, 0

(2× 2) 3 (−0.577...,−0, 577...) 1, 0(0.577...,−0, 577...) 1, 0(0.577..., 0, 577...) 1, 0(−0.577..., 0, 577...) 1, 0

(3× 3) 5 (−0.774...,−0.774...) 25/81(0.000...,−0.774...) 40/81(0.774...,−0.774...) 25/81(−0.774..., 0.000...) 40/81(0.000..., 0.000...) 40/81(0.774..., 0.000...) 40/81(−0.774..., 0.774...) 25/81(0.000..., 0.774...) 40/81(0.774..., 0.774...) 25/81

(4× 4) 7 (−0.861...,−0.861...) 0, 121...(0.339...,−0.861...) 0, 226...(0.339...,−0.861...) 0, 226...(0.861...,−0.861...) 0, 121...(−0.861...,−0.339...) 0, 226...(−0.339...,−0.339...) 0, 425...(0.339...,−0.339...) 0, 425...(0.861...,−0.339...) 0, 226...(−0.861..., 0.339...) 0, 226...(−0.339..., 0.339...) 0, 425...(0.339..., 0.339...) 0, 425...(0.861..., 0.339...) 0, 226...(−0.861..., 0.861...) 0, 121...(−0.339..., 0.861...) 0, 226...(0.339..., 0.861...) 0, 226...(0.861..., 0.861...) 0, 121...

Tabela 8.4: Pontos de integracao e coeficientes de ponderacao para elementos quadrangu-lares planos.

Page 134: Apostila MEF

8.6. INTEGRACAO NUMERICA TRIDIMENSIONAL 121

Elemento [N ]T [N ] [B]T [B] [N ]T

n1,n2 n1,n2 n1,n2

Linear 2,2 1,1 1,1

Quadratico 3,3 2,2 2,2

Cubico 4,4 3,3 2,2

Quartico 5,5 4,4 3,3

Tabela 8.5: Ordem de integracao para os elementos quadrangulares planos.

Figura 8.4: Pontos de integracao para os elementos triangulares planos.

onde g(·) inclui o determinante do Jacobiano. A ordem de integracao a ser empregadadepende das potencias presentes nas coordenadas L1 e L2 Por exemplo, tomando-se oproduto L1L

22, verifica-se que a soma dos expoentes e 3, devendo-se tomar uma integracao

de ordem 3. A Tabela 8.6 resume os pontos de integracao e a respectiva ponderacao . AFigura 8.4 ilustra a disposicao deste pontos de integracao.

8.6 Integracao Numerica Tridimensional

No caso tridimensional, deseja-se calcular a seguinte integral

I =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1f(ξ, η, ζ) dξ dη ζ (8.9)

O procedimento e analogo ao caso anterior. Assim, tomando-se n1, n2 e n3 pontos nasdirecoes ξ, η, ζ, respectivamente, pode-se integrar (8.9) como

I =n1∑

i=1

n2∑

j=1

n3∑

k=1

HiHjHk f(ξi, ηj , ζk) (8.10)

A expressao anterior pode ser escrita como um somatorio simples da seguinte forma

I =Nint∑

l=1

Hlf(ξl, ηl, ζl) (8.11)

onde Nint = n1n2n3 e Hl = HiHjHk (i = 1, . . . , n1; j = 1, . . . , n2; k = 1, . . . , n3).

Page 135: Apostila MEF

122 CAPITULO 8. INTEGRACAO NUMERICA

n Hl L1 L2

1 0.5 1/3 1/3

3 4/6 1/6 1/61/6 4/6 1/61/6 1/6 4/6

7 0.0629 0.1012 0.10120.0629 0.7974 0.10120.0629 0.1012 0.79740.0662 0.4701 0.05970.0662 0.4701 0.47010.0662 0.0597 0.47010.1125 0.3333 0.3333

13 0.0533 0.0651 0.06510.0533 0.8697 0.06510.0533 0.0651 0.86970.0771 0.3128 0.04860.0771 0.6384 0.31280.0771 0.0486 0.63840.0771 0.6384 0.04860.0771 0.3128 0.63840.0771 0.0486 0.31280.1756 0.2603 0.26030.1756 0.4793 0.26030.1756 0.2603 0.4793-0.149 0.3333 0.3333

Tabela 8.6: Pontos de integracao e coeficientes de ponderacao para elementos triangularesplanos.

Page 136: Apostila MEF

8.7. EXERCICIOS PROPOSTOS 123

A Tabela 8.7 apresenta os pontos de integracao (L1, L2, L3) e as respectivas pon-deracoes para tetraedros.

n Hl L1 L2 L3

1 1/6 1/4 1/4 1/4

4 1/24 (5−√

5)/20 (5−√

5)/20 (5−√

5)/20

1/24 (5−√

5)/20 (5−√

5)/20 (5 + 3√

5)/20

1/24 (5−√

5)/20 (5 + 3√

5)/20 (5−√

5)/20

1/24 (5 + 3√

5)/20 (5−√

5)/20 (5−√

5)/20

5 -2/15 1/4 1/4 1/43/40 1/6 1/6 1/63/40 1/6 1/6 1/23/40 1/6 1/2 1/63/40 1/2 1/6 1/6

Tabela 8.7: Pontos de integracao para os tetraedros.

8.7 Exercıcios Propostos

Exercıcio 8.1 Determine a matriz de rigidez para um elemento de barra linear de 3 nos,de comprimento L, pelo uso da regra de quadratura de Gauss.

Exercıcio 8.2 Determinar o coeficiente local K15 da matriz de rigidez de um quadradocom funcoes de interpolacao da famılia Serendipty para um problema de conducao de calorusando integracao numerica. Nesse caso, tem-se

K15 =

∫ 1

−1

∫ 1

−1N1,ξN5,ξ + N1,ηN5,ηdξdη

Page 137: Apostila MEF

124 CAPITULO 8. INTEGRACAO NUMERICA

Page 138: Apostila MEF

Capıtulo 9

Estudo de Casos

Nesse capıtulo, consideram-se tres modelos estruturais planos comumente usados, ou seja,estado plano de tensao, estado plano de deformacao e solido axissimetrico. Consideram-seaspectos da formulacao de cada problema e a respectiva aproximacao atraves de quadradose triangulos.

9.1 Estado Plano de Tensao

Seja a chapa de espessura constante t submetida a acao de uma carga distribuıda uni-formemente ao longo da espessura e paralela ao plano da chapa, como pode ser visto naFigura 9.1. Assume-se que os componentes de tensao σzz, σzx e τzy sao nulas nos pontosda chapa. Desta forma, o estado de tensao nos pontos da chapa e especificado somentepor σxx, σyy e τxy, sendo denominado estado plano de tensao.

X

Z

Y

t

Figura 9.1: Chapa sob estado plano de tensao.

125

Page 139: Apostila MEF

126 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

Para problemas planos, a matriz de deformacao [Ba] para um no a de um elementofinito quadrangular ou triangular e dada por

[Ba] =

Nax 00 Nay

Nay Nax

(9.1)

Ja a matriz de elasticidade pode ser obtida a partir de (3.20), reduzindo-se a

[D] =E

1− µ2

1 µ 0µ 1 0

0 0 1−µ2

(9.2)

Os elementos quadrangulares planos podem ser aplicados para o tratamento de pro-blemas de estado plano de tensao. A matriz do Jacobiano contem derivadas em relacao aξ e η. Logo,

[J ] =

[

xξ yξ

xη yη

]

=

[

∑na=1 Naξ

Xa∑n

a=1 NaξYa

∑na=1 NaηXa

∑na=1 NaηYa

]

O determinante do Jacobiano e dado por

det[J ] = xξ(ξl, ηl) yη(ξl, ηl)− yξ(ξl, ηl) xη(ξl, ηl)

=

(

n∑

a=1

Naξ(ξl, ηl)Xa

)(

n∑

b=1

Nbη(ξl, ηl)Yb

)

−(

n∑

a=1

Naη (ξl, ηl)Xa

)(

n∑

b=1

Nbξ(ξl, ηl)Yb

)

(9.3)

onde (ξl, ηl) representa as coordenadas dos pontos de integracao.

Neste caso, a inversa da matriz do Jacobiano [J ]−1 e escrita como

[J ]−1 =1

det[J ]

[

xξ −yξ

−xη yη

]

(9.4)

Assim, as derivadas das funcoes de forma em relacao as variaveis globais x e y saocalculadas como

∂Na

∂x=

1

det[J ]

(

∂x

∂ξ

∂y

∂η− ∂x

∂η

∂y

∂ξ

)

(9.5)

∂Na

∂y= − 1

det[J ]

(

∂x

∂ξ

∂y

∂η− ∂x

∂η

∂y

∂ξ

)

(9.6)

Page 140: Apostila MEF

9.1. ESTADO PLANO DE TENSAO 127

Conhecidas as matrizes de deformacao [B] e de elasticidade [D], determina-se a matrizde rigidez dos elementos quadrangulares como

[Ke] =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1[B]T [D][B]|det[J ]| dξ dη dζ

= tn∑

l=1

Hl [B(ξl, ηl)]T [D][B(ξl, ηl)]|det[J(ξl, ηl)]| (9.7)

onde a integral em ζ se constitui na espessura t do elemento.Considerando o elemento linear de 4 nos, mostrado na Figura 5.8, a matriz [B] para

cada ponto de integracao (ξl, ηl) e dada por

[B] =

N1x 0 N2x 0 N3x 0 N4x 00 N1y 0 N2y 0 N3y 0 N4y

N1y N1x N2y N2x N3y N3x N4y N4x

Ao inves de se calcular a matriz [B] como indicado na expressao anterior, pode-seefetuar o produto [B]T [D][B] para cada no do elemento da seguinte forma

[Ke] =Nint∑

l=1

Hl [B]T [D][B] |det[J ]| =Nint∑

l=1

[

[B1] [B2] [B3] [B4]]T

[D]

[B1][B2][B3][B4]

=Nint∑

l=1

[B1]T [D] [B1] [B1]

T [D] [B2] [B1]T [D] [B3] [B1]

T [D] [B4]

[B2]T [D] [B1] [B2]

T [D] [B2] [B2]T [D] [B3] [B2]

T [D] [B4]

[B3]T [D] [B1] [B3]

T [D] [B2] [B3]T [D] [B3] [B3]

T [D] [B4]

[B4]T [D] [B1] [B4]

T [D] [B2] [B4]T [D] [B3] [B4]

T [D] [B4]

(9.8)

onde [D] = Hl |det[J ]| [D] e Nint e o numero de pontos de integracao. A expressao,no entanto, deve ser calculada para cada ponto de integracao. Assim, a matriz [Ke] ecomposta por submatrizes [Kab] tal que

[Kab] = [Ba]T [D][Bb] a, b = 1, . . . , 4 (9.9)

Logo,

[Ke] =

[K11] [K12] [K13] [K14][K21] [K22] [K23] [K24][K31] [K32] [K33] [K34][K41] [K42] [K43] [K44]

(9.10)

O mesmo procedimento pode ser estendido para os demais elementos quadrangularesplanos. Assim, o seguinte algoritmo pode ser aplicado para o calculo da matriz de rigidezdestes elementos

for l=1:NumeroPontosIntegrac~ao

Page 141: Apostila MEF

128 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

Calcular [D]

for b=1:NumeroNos

Calcular Nbx, Nby

e a matriz [Bb]

Determinar o produto [D][Bb]

for a=1:NumeroNos

Calcular Nax, Nay e a matriz [Ba]

Determinar [Kab] = [Ba]T [D][Bb]

Superpor [Kab] em [Ke]:

[

Ke(2a− 1, 2b − 1) Ke(2a − 1, 2b)Ke(2a, 2b − 1) Ke(2a, 2b)

]

←[

Ke(2a− 1, 2b− 1) Ke(2a− 1, 2b)Ke(2a, 2b − 1) Ke(2a, 2b)

]

+

[

Kab(1, 1) Kab(1, 2)Kab(2, 1) Kab(2, 2)

]

end

end

end

No caso da matriz de massa, a expressao e analoga a (9.7). Assim,

[Me] =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1ρ[N ]T [N ]|det[J ]| dξ dη dζ

= tn∑

l=1

Hl ρ[N(ξl, ηl)]T [N(ξl, ηl)]|det[J(ξl, ηl)]| (9.11)

Para exemplificar, considera-se o elemento quadrangular de 4 nos. A partir de (5.14),observa-se para cada ponto de integracao

x(ξl, ηl) = N1(ξl, ηl)Xe1 + N2(ξl, ηl)X

e2 + N3(ξl, ηl)X

e3 + N4(ξl, ηl)X

e4

y(ξl, ηl) = N1(ξl, ηl)Ye1 + N2(ξl, ηl)Y

e2 + N3(ξl, ηl)Y

e3 + N4(ξl, ηl)Y

e4

Em forma matricial,

{

xy

}

=

[

N1 0 N2 0 N3 0 N4 00 N2 0 N2 0 N3 0 N4

]

Xe1

Y e1

Xe2

Y e2

Xe3

Y e3

Xe4

Y e4

= [N ]{X} (9.12)

Page 142: Apostila MEF

9.1. ESTADO PLANO DE TENSAO 129

Substituindo a matriz [N(ξl, ηl)] dada em (9.12) na equacao (9.11) obtem-se a matrizde massa para o elemento linear, ou seja,

[M e] = ρt

4∑

l=1

Hl| det[J(ξl, ηl)]|

N1N1 0 N1N2 0 N1N3 0 N1N4 00 N1N1 0 N1N2 0 N1N3 0 N1N4

N1N2 0 N2N2 0 N2N3 0 N2N4 00 N1N2 0 N2N2 0 N2N3 0 N2N4

N1N3 0 N2N3 0 N3N3 0 N3N4 00 N1N3 0 N2N3 0 N3N3 0 N3N4

N1N4 0 N2N4 0 N3N4 0 N4N4 00 N1N4 0 N2N4 0 N3N4 0 N4N4

(9.13)

As matrizes de massa para os demais elementos sao determinadas de maneira analoga.Portanto, o seguinte algoritmo pode ser utilizado para o calculo das matrizes de massados elementos quadrangulares,

for l=1:NumeroPontosIntegrac~ao

for b=1:NumeroNos

Calcular NT = Nb(ξl, ηl)for a=1:NumeroNos

Calcular N = Na(ξl, ηl)Determinar Me(2a− 1, 2b − 1) = NT N

Determinar Me(2a, 2b) = NT Nend

end

[Me] ← [Me]Hl|det[J(ξl, ηl)]|end

[Me] ← [Me]ρt

Os elementos triangulares tambem podem ser aplicados para problemas de estado planode tensao. O procedimento e analogo aquele efetuado para os elementos quadrangulares.Neste caso as matrizes de rigidez e de massa sao obtidas por integracao numerica de acordocom a expressao (8.8). Assim,

[Ke] = t

∫ 1

0

∫ 1−L2

0[B]T [D][B]|det[J ]| dL1 dL2

= tn∑

l=1

Hl [B(Ll1, L

l2)]

T [D][B(Ll1, L

l2)]|det[J(Ll

1, Ll2)]| (9.14)

[Me] = t

∫ 1

0

∫ 1−L2

0ρ[N ]T [N ]|det[J ]| dL1 dL2

= t ρn∑

l=1

Hl [N(Ll1, L

l2)]

T [N(Ll1, L

l2)]|det[J(Ll

1, Ll2)]| (9.15)

Page 143: Apostila MEF

130 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

A matriz do Jacobiano e dada por (7.7) e seu determinante expresso como

det[J ] = xL1(L1, L2) yL2(L1, L2)− yL1(L1, L2) xL2(L1, L2) (9.16)

ou aplicando as relacoes (7.4) vem que

det[J ] =

(

N∑

a=1

NaL1Xe

a

)(

N∑

b=1

NbL2Y e

b

)

−(

N∑

a=1

NaL2Xe

a

)(

N∑

b=1

NbL1Y e

b

)

(9.17)

Para a determinacao da matriz de deformacao [B], deve-se efetuar as derivadas dasfuncoes de forma em relacao as variaveis globais x e y como indicado em (7.8). Destamaneira, as derivadas das funcoes de forma em relacao a x e y serao dadas por

∂Na

∂x=

1

det[J ]

[(

∂Na

∂L1− ∂Na

∂L3

)

∂y

∂L2−(

∂Na

∂L2− ∂Na

∂L3

)

∂y

∂L1

]

(9.18)

∂Na

∂y= − 1

det[J ]

[(

∂Na

∂L1− ∂Na

∂L3

)

∂x

∂L2+

(

∂Na

∂L2− ∂Na

∂L3

)

∂x

∂L1

]

(9.19)

Assim, os mesmos algoritmos anteriores podem ser aplicados para a implementacaocomputacional das matrizes destes elementos.

9.2 Estado Plano de Deformacao

O problema de estado plano de deformacao ocorre, por exemplo, no caso de um murode arrimo submetido a uma pressao lateral ou num rolamento comprimido por forcas noplano diametral como ilustrado na Figura 9.2. Nestes casos, supoe-se que a dimensao docorpo na direcao z e muito grande e que as forcas nao variam ao longo do corpo. Umavez que as condicoes sao as mesmas em todas as secoes transversais, basta considerar umafatia entre duas secoes que distam uma unidade entre si.

Y

X

Y

Z

Y

X

Figura 9.2: Muro de arrimo sob pressao lateral e um rolamento sob compressao.

As componentes de deslocamento u e v sao funcoes de x e y, mas independem dacoordenada longitudinal z. Supondo que o deslocamento w seja nulo, observa-se que

Page 144: Apostila MEF

9.3. ESTRUTURAS AXISSIMETRICAS 131

as componentes de deformacao γzy, γzx, εzz sao nulas para o caso de estado plano dedeformacao.

A matriz de deformacao [B] e dada pela equacao (9.1). Ja a matriz de elasticidade [D]e obtida a partir da lei de Hooke (3.20), ou seja,

[D] =E

(1 + µ)(1− 2µ)

1− µ µ 0µ 1− µ 00 0 1− 2µ

(9.20)

As matrizes de rigidez para os elementos retangulares e triangulares sao obtidas demaneira analoga para o caso de estado plano de tensao, bastando substituir a matriz [D]dada em (9.20) e tomar uma espessura unitaria. Como as funcoes de forma sao as mesmas,as matrizes de massa sao determinadas tomando-se t = 1 na equacao (9.11).

9.3 Estruturas Axissimetricas

Varias estruturas, tais como vasos de pressao, possuem a propriedade de axissimetria,ou seja, sao obtidas pela revolucao de uma geratriz em torno de um eixo de simetria aolongo da estrutura, como pode ser visto na Figura 9.3. Este tipo de problema pode sertratado de maneira similar aos casos de estado plano de tensao e deformacao. Observa-seque o carregamento aplicado na estrutura deve tambem ser axissimetrico. O sistema dereferencia cilındrico (r, θ, z) e o mais adequado para formular este tipo de problema.

R(u)

Geratriz

Z(v)

Figura 9.3: Solido axissimetrico.

Pela simetria, verifica-se que as componentes de deslocamento u (na direcao radial r)e v (na direcao axial z) presentes numa secao plana do corpo definem completamente, os

Page 145: Apostila MEF

132 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

estados de deformacao e tensao. Assim, as mesmas funcoes de forma anteriores podem serutilizadas para o tratamento de solidos de revolucao.

As componentes de deformacao num sistema de coordenadas cilındricas estao ilustradasna Figura 9.4 para um elemento infinitesimal do solido da Figura 9.3. Logo, tem-se 4componentes de deformacao especıfica εrr, εθθ, εzz e γrz.

Qualquer deslocamento u na direcao radial r faz surgir uma deformacao circunferencialεθθ, como apresentado na Figura 9.5 para um elemento infinitesimal ∆r∆θ no plano r.

ε zz

γ rz

γ rzε

rr

z

ε

r

θθ

θ

Figura 9.4: Componentes de deformacao em coordenadas cilındricas.

∆ l

∆ r

∆ r’

∆ l’

A

u

u+du

B

C

D

A’

B’

C’

D’

θ

∆ θ

Figura 9.5: Elemento infinitesimal no plano rθ.

Page 146: Apostila MEF

9.3. ESTRUTURAS AXISSIMETRICAS 133

A deformacao especıfica na direcao radial r e dada por

εrr = lim∆r→0

∆r′ −∆r

∆r

onde ∆r′ = u + du + ∆r − u = du + ∆r. Portanto,

εrr = lim∆r→0

du

∆r=

∂u∂r ∆r

∆r=

∂u

∂r(9.21)

O arco ∆l apos o deslocamento radial u apresenta um novo comprimento ∆l′ e adeformacao circunferencial no ponto A e a seguinte,

εθθ = lim∆θ→0

∆l′ −∆l

∆l=

(r + u)∆θ − r∆θ

r∆θ=

u

r(9.22)

As demais componentes de deformacao εzz e γrz sao obtidas a partir da Figura 9.6 ede modo analogo ao realizado na Seccao 1.3. A deformacao εzz e dada por

εzz = lim∆z→0

∆z′ −∆z

∆z=

v + dv + ∆z − v −∆z

∆z=

dv

∆z=

∂v∂z ∆z

∆z=

∂v

∂z(9.23)

A distorcao no plano rz e a soma dos angulos γ1 e γ2, ou seja,

γrz = γ1 + γ2

com

γ1 ≈ tan γ1 =∂v∂r ∆z

∆r′=

∂v∂r ∆r

∆r + ∂v∂z ∆r

=∂v∂r

1 + εzz=

∂v

∂r

γ2 ≈ tan γ2 =∂u∂z ∆z

∆z′=

∂u∂z ∆z

∆z + ∂u∂r ∆z

=∂u∂z

1 + εrr=

∂u

∂z

Logo,

γrz =∂u

∂z+

∂v

∂r(9.24)

As relacoes em (9.21) a (9.24) podem ser escritas matricialmente como

εzz

εrr

εθθ

γzr

=

0 ∂∂z

∂∂r 01r 0∂∂z

∂∂r

{

uv

}

(9.25)

Page 147: Apostila MEF

134 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

γ2

γ1

v

S R

P Q

P’

u

S’

Q’

R’

u+du

v+dv

z

r

r’

z’

Z

r

Figura 9.6: Plano rz para um elemento infinitesimal.

ou ainda,

{ε} = [L]{u} (9.26)

Substituindo a relacao (4.23) em (9.26) vem que

{ε} = [L][N ]{U} = [B]{U} (9.27)

Neste caso, a matriz de deformacao [Ba] para um no a de um elemento axissimetricoe dada por

[B] =

0 Naz

Nar 0Na

r 0Naz Nar

(9.28)

Para cada uma das componentes de deformacao εzz, εrr, εθθ e γrz correspondem ascomponentes de tensao σzz, σrr, σθθ e τrz, as quais estao relacionadas pela lei de Hooke,ou seja,

εzz =1

E[σzz − µ(σθθ + σrr)]

Page 148: Apostila MEF

9.3. ESTRUTURAS AXISSIMETRICAS 135

εrr =1

E[σrr − µ(σθθ + σzz)]

εθθ =1

E[σθθ − µ(σrr + σzz)]

γzr =τzr

G=

2(1 + µ)

Eτzr

A relacao anterior pode ser escrita na seguinte forma matricial como

εzz

εrr

εθθ

γzr

=1

E

1 −µ −µ 0−µ 1 −µ 0−µ −µ 1 00 0 0 2(1 + µ)

σzz

σrr

σθθ

τzr

(9.29)

Expressando as componentes de tensao em funcao das componentes de deformacaovem que

σzz

σrr

σθθ

τzr

=E

(1 + µ)(1− 2µ)

1− µ µ µ 0µ 1− µ µ 0µ µ 1− µ 0

0 0 0 1−2µ2

εzz

εrr

εθθ

γzr

(9.30)

ou seja,

{σ} = [D]{ε} (9.31)

Para os elementos finitos isoparametricos quadrangulares, podem-se escrever relacoesanalogas a (5.14), ou seja,

r(ξ, η) =n∑

a=1

Na(ξ, η)Rea

z(ξ, η) =n∑

a=1

Na(ξ, η)Zea (9.32)

sendo n o numero de nos do elemento; Ra e Za sao coordenadas nodais do elemento e.A partir daı, estabelecem-se as seguintes relacoes

∂Na

∂ξ=

∂Na

∂r

∂r

∂ξ+

∂Na

∂z

∂z

∂ξ(9.33)

∂Na

∂η=

∂Na

∂r

∂r

∂η+

∂Na

∂z

∂z

∂η(9.34)

ou ainda,{

Naξ

Naη

}

=

[

rξ zξ

rη zη

]{

Nar

Naz

}

= [J ]

{

Nar

Naz

}

(9.35)

Page 149: Apostila MEF

136 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

Invertendo-se a matriz do Jacobiano, obtem-se as derivadas das funcoes de forma emrelacao as variaveis globais r e z, ou seja,

{

Nar

Naz

}

= [J ]−1

{

Naξ

Naη

}

(9.36)

onde

[J ]−1 =1

det[J ]

[

zη −zξ

−rη rξ

]

(9.37)

Por sua vez, o determinante da matriz do Jacobiano e obtido por

det[J ] = rξ zη − rη zξ

=

(

n∑

a=1

∂Na

∂ξRa

)(

n∑

b=1

∂Nb

∂ηZb

)

−(

n∑

a=1

∂Na

∂ηRa

)(

n∑

b=1

∂Nb

∂ξZb

)

(9.38)

Substituindo (9.36) e (9.37) em (9.35), obtem-se

∂Na

∂r=

∂Na

∂ξ

∂z

∂η+

∂Na

∂η

∂z

∂ξ(9.39)

∂Na

∂z=

∂Na

∂ξ

∂r

∂η+

∂Na

∂η

∂r

∂ξ(9.40)

Seja dV o elemento infinitesimal de volume ilustrado na Figura 9.7. Neste caso, tem-seque

dV = 2πrdA = 2πrdrdz

ou no sistema local

dV = 2πr det[J ]dξdη

Assim, a matriz de rigidez dos elementos quadrangulares e obtida pela seguinte ex-pressao

[Ke] = 2π

∫ 1

−1

∫ 1

−1[B]T [D][B] r |det[J ]|dξdη (9.41)

Integrando numericamente e aplicando-se (9.32) para a interpolacao de r, obtem-se

[Ke] = 2πNint∑

l=1

[B(ξl, ηl)]T [D][B(ξl, ηl)]

(

n∑

a=1

Na(ξl, ηl)Ra

)

(9.42)

onde [D] = Hl|det[J(ξl, ηl)]|[D].Analogamente, a matriz de massa e determinada por

[Me] = 2πρN∑

l=1

Hl|det[J(ξl, ηl)]|[N(ξl, ηl)]T [N(ξl, ηl)]

(

n∑

a=1

Na(ξl, ηl)Ra

)

(9.43)

Para o caso de elementos triangulares planos, obtem-se expressoes semelhantes a (9.42)e (9.43) para as matrizes de rigidez e de massa.

Page 150: Apostila MEF

9.4. CONSIDERACOES SOBRE ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS 137

r

dr

dz

Figura 9.7: Elemento de volume infinitesimal para um solido de revolucao.

9.4 Consideracoes sobre Elementos Finitos Isoparametricos

9.4.1 Integracao Numerica

A quadratura de Gauss-Legendre permite integrar exatamente um polinomio de ordem(2n − 1) tomando-se apenas n valores da funcao considerada. Ja a tecnica de Newton-Cotes integra sem erro um polinomio de ordem n, amostrando n + 1 valores da funcao.

Numa analise por elementos finitos, a aplicacao da quadratura de Gauss reduz o custoda analise no que se refere ao calculo das matrizes e dos vetores de carregamento doselementos finitos. No entanto, torna-se importante selecionar a ordem de integracao, naoapenas para reduzir o tempo de analise, mas tambem devido ao fato que os resultadosobtidos podem ser bastante afetados utilizando-se diferentes ordens de integracao, princi-palmente em problemas tridimensionais.

A Tabela 8.4 apresenta o numero de pontos necessario para integrar exatamente ostermos presentes nas expressoes das matrizes e vetores de carregamentos dos elementosquadrangulares planos. Utilizando uma ordem de integracao muito reduzida, a solucaodo problema pode ser imprecisa ou ate mesmo nao existir devido ao mal-condicionamentodas matrizes globais envolvidas.

A formulacao abordada ao longo deste texto esta baseada no metodo de deslocamentos.Observa-se que esta metodologia implica em superestimar a matriz de rigidez do sistema.Assim, verifica-se que a utilizacao de integracao reduzida permite obter em muitos casosmelhores resultados. Isto se deve ao fato que o erro induzido na integracao numericareduzida e compensado na estimativa superior da matriz de rigidez.

Pode-se adotar, ainda, a integracao seletiva, onde os termos na matriz de deformacaosao integrados com ordens diferentes. No entanto, observa-se que a utilizacao destesmecanismos de integracao numerica deve garantir a solucao do problema, evitando ma-trizes singulares ou mal-condicionadas, e a convergencia dos resultados obtidos. Assim,no estudo de um problema pratico, o emprego destes tipos de integracao para o calculode um elemento, deve ser feita com criterio e cuidado, pois nestes casos a confiabilidade

Page 151: Apostila MEF

138 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

dos resultados e o aspecto fundamental.

Desta forma, o emprego dos esquemas de integracao reduzida ou seletiva depende,principalmente, da experiencia adquirida na analise de problemas similares com ordem deintegracao mais alta, ou o conhecimento de uma solucao numerica confiavel, ou ainda adisponibilidade de resultados experimentais.

A Tabela 9.1 apresenta as ordens de integracao, consistente e reduzida, necessariaspara efetuar o calculo da matriz de rigidez de alguns elementos quadrangulares planos,considerando problemas de estado plano e solidos axissimetricos.

A integracao consistente permite calcular exatamente a matriz dos elementos quad-rangulares com lados retos, pois neste caso a matriz do jacobiano e constante. Ja paraos elementos distorcidos, as matrizes sao geralmente aproximadas. No entanto, as ordensespecificadas sao eficientes.

Elemento Consistente Reduzida

Linear (2× 2) –

Linear distorcido (2× 2) –

Quadratico (3× 3) (2× 2)

Quadratico distorcido (3× 3) (2× 2)

Cubico (4× 4) (3× 3)

Cubico distorcido (4× 4) (3× 3)

Tabela 9.1: Ordem de integracao consistente e reduzida para o calculo da matriz de rigidezdos elementos quadrangulares planos.

Como exemplo, considere o problema de estado plano de tensao, modelado com oelemento quadratico, ilustrado na Figura 9.8. Considerando-se integracao reduzida (2 ×2), a solucao e instavel, verificando-se valores excessivos para os deslocamentos nodais.Observa-se que a integracao reduzida induz, em muitos casos, a instabilidade ou imprecisaodos resultados devido ao surgimento de movimentos de corpo rıgido.

Entretanto, ao se aplicar integracao consistente com (3× 3) pontos, a solucao exata edeterminada, consistindo numa rotacao rıgida em torno do ponto A.

9.4.2 Calculo de Tensoes

Conhecidos os deslocamentos dos nos, as tensoes no interior do elemento podem ser cal-culadas utilizando-se a expressao (4.25). Pode-se obter as tensoes em qualquer ponto doelemento, mas em geral, selecionam-se alguns pontos especıficos, tais como o centro doelemento, as coordenadas nodais ou os pontos de integracao.

A formulacao ate aqui apresentada garante a compatibilidade dos deslocamentos nocontorno dos elementos finitos. No entanto, nao se pode garantir a continuidade dastensoes. Observa-se que esta descontinuidade diminui a medida que a malha de elementose refinada. Logo, a magnitude destas descontinuidades podem ser empregadas na pratica

Page 152: Apostila MEF

9.4. CONSIDERACOES SOBRE ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMETRICOS 139

P

BA

Figura 9.8: Problema de estado plano de tensao calculado com esquemas de integracaoconsistente e reduzida.

para determinar as regioes onde se deve refinar a malha. Em geral, ao mostrar as tensoesnodais, os programas de elementos finitos utilizam um processo de suavizacao das tensoesnos elementos de tal forma a obter uma distirbuicao contınua de tensoes.

Uma outra observacao no calculo das tensoes esta relacionada ao fato que os valoresobtidos em alguns pontos do elemento sao significativamente mais precisos quando com-parados com a solucao exata. Em particular, verifica-se que as tensoes determinadas nospontos de integracao sao mais precisas que aqueles determinadas considerando as coorde-nadas nodais do elemento.

9.4.3 Consideracoes sobre o Modelamento

A aplicacao do MEF para o estudo de um problema pratico depende em grande parte dosseguintes fatores:

• conhecimento do problema fısico;

• nocao qualitativa do resultado esperado da analise;

• domınio das ferramentas disponıveis para efetuar a analise (hardware+software);

• conhecimento basico dos princıpios de mecanica.

Uma primeira consideracao esta relacionada a escolha do tipo de elemento a ser em-pregado. Para isso, deve-se considerar as caracterısticas do problema e simplificacoesadotadas para o modelo. No que se refere aos elementos isoparametricos, recomenda-se,em geral, a utilizacao dos elementos quadraticos, pois a relacao entre o tempo de calculoda analise e os resultados esperados e satisfatoria. Observa-se, por exemplo, numa analiseestatica, a variacao linear de deformacoes e tensoes no interior do elemento, enquanto quepara os elementos lineares estas grandezas sao constantes nos elementos.

Page 153: Apostila MEF

140 CAPITULO 9. ESTUDO DE CASOS

Uma vez selecionado o elemento, deve-se gerar a malha, adotando-se o tamanho e onumero de elementos. Dependendo do problema, deve-se refinar a malha em algumasregioes. Pode-se utilizar a descontinuidade de tensoes entre os elementos como indicadordos pontos a serem refinados. Assim, nas regioes onde se deseja uma solucao mais precisa,as descontinuidades das tensoes devem ser pequenas, enquanto para as demais areas naoha necessidade de refinamento. Esta decisoes dependem do nıvel de precisao requerido naanalise.

A performance dos elementos isoparametricos e geralmente superior quando sao usadossem distorcao. No entanto, em casos praticos, a distorcao de elementos e difıcil de serevitada. A influencia deste fato na precisao da analise depende novamente do problemaem estudo e do elemento empregado. No entanto, se os resultados devem ser mais precisosem regioes onde se encontram elementos distorcidos, deve-se refinar a malha nestes pontos.

Quando nao se conhece a solucao exata do problema, torna-se necessario efetuar aanalise considerando malhas progressivamente mais finas nas regioes de interesse, ate severificar pequenas alteracoes nos resultados obtidos entre duas analises consecutivas.

Page 154: Apostila MEF

Referencias Bibliograficas

[1] Bathe, K.J.Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall, 1982.

[2] Hughes, T.J.R. The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic Analysis.Prentice-Hall, 1987.

[3] Moreira, L.A. Notas dos cursos EM421 (Resistencia dos Materiais I) e EM525(Resistencia dos Materiais II). DPM/FEM/UNICAMP.

[4] Przemieniecki, T.S. Theory of Matrix Analysis. Dover Publications, 1968.

[5] Segerlind, L.J. Applied Finite Element Analysis. John Wiley, 1976.

[6] Timonshenko, S.P., Goodier, J.N. Teoria de Elasticidade. Guanabara Dois, 1980.

[7] Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method in Engineering Science. McGraw-Hill, 1980.

141

Page 155: Apostila MEF

142 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Page 156: Apostila MEF

Apendice A

Vetores e Matrizes

A.1 Vetores

O espaco euclideano <n e definido pelos pontos x = (x1, x2, . . . , xn) de n componentes,onde xi ∈ < (i = 1, . . . , n), ou seja, xi e numero real. Um caso particular e o espaco carte-siano R3, como mostrado na Figura A.1, no qual os pontos sao dados por 3 componentes,ou seja, x = (x1, x2, x3).

Os elementos x ∈ <n sao denominados vetores, sendo denotados da seguinte maneira

{x} =

x1

x2...

xn

(A.1)

Por sua vez, define-se o vetor transposto {x}T como

{x}T =

x1

x2...

xn

T

={

x1 x2 . . . xn

}

(A.2)

Dados os vetores a, b ∈ <n, definidos pelas suas componentes a = (a1, a2, . . . , an) eb = (b1, b2, . . . , bn), o produto escalar entre a e b e dado por

< a, b >= a1b1 + a2b2 + . . . + anbn =n∑

i=1

aibi = {a}T {b} (A.3)

Por sua vez, a norma Euclidiana de um vetor x ∈ <n e expressa como

||x|| = √< x, x > (A.4)

143

Page 157: Apostila MEF

144 APENDICE A. VETORES E MATRIZES

x 1 x 2 x 3, ,

Z

X

Y

P( )

Figura A.1: Sistema cartesiano de referencia.

A.2 Matrizes

Uma matriz [A] de m linhas e n colunas e definida como um vetor retangular de mnelementos arranjados da seguinte maneira

[A] =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n...

... . . ....

......

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

... . . ....

......

am1 am2 . . . amj . . . amn

(A.5)

onde o elemento aij e um numero real e os ındices i e j denotam a i-esima linha e j-esimacoluna, respectivamente. Neste caso, diz-se que a matriz [A] possui ordem m×n, indicando[A]m×n.

Se m = 1, tem-se uma matriz linha ou um vetor linha, isto e,

[A] = {A}T = [a11 a12 . . . a1j . . . a1n] (A.6)

Analogamente, para n = 1 obtem-se uma matriz coluna ou um vetor. Logo,

[A] = {A} =

a11

a21...

ai1...

am1

(A.7)

Page 158: Apostila MEF

A.2. MATRIZES 145

No entanto, outros tipos especiais de matrizes podem ser definidas.

A.2.1 Matriz Nula

Uma matriz nula de ordem m× n e aquela onde todos os elementos aij (i = 1, . . . ,m; j =1, . . . , n) sao nulos.

[A] =

0 0 . . . 0 . . . 00 0 . . . 0 . . . 0...

... . . ....

......

0 0 . . . 0 . . . 0...

... . . ....

......

0 0 . . . 0 . . . 0

(A.8)

A.2.2 Matriz Quadrada

Para m = n, tem-se uma matriz quadrada. Logo,

[A] =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . ....

an1 an2 . . . ann

(A.9)

Neste caso, a ordem de [A] e n× n, ou simplesmente n.

A.2.3 Matriz Diagonal

Uma matriz diagonal de ordem n e uma matriz quadrada onde os elementos nao perten-centes a diagonal principal sao nulos, ou seja,

{

aij = 0 se i 6= jaij 6= 0 se i = j (i, j = 1, . . . , n)

Representa-se uma matriz diagonal da seguinte maneira

[A] =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

... . . ....

0 0 . . . ann

(A.10)

Page 159: Apostila MEF

146 APENDICE A. VETORES E MATRIZES

A.2.4 Matriz Unitaria ou Identidade

Uma matriz identidade de ordem n, denotada por [I], e uma caso particular de matrizdiagonal, onde todos os elementos sao iguais a 1, ou seja aii = 1 (i = 1, . . . , n). Portanto,

[I] =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . ....

0 0 . . . 1

(A.11)

A.2.5 Matrizes Diagonais Superior e Inferior

Diz-se que uma matriz quadrada [A] de ordem n e diagonal superior quando todos oselementos abaixo da diagonal principal de [A] sao nulos. Assim,

{

aij 6= 0 se i ≤ jaij = 0 se i > j

e

[A] =

a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n...

... . . ....

0 0 . . . ann

(A.12)

Analogamente, uma matriz diagonal inferior [B] de ordem n e aquela onde todos oscoeficientes acima da diagonal principal sao nulos, ou seja,

{

bij 6= 0 se i ≥ jbij = 0 se i < j

Logo,

[B] =

b11 0 . . . 0b21 b22 . . . 0...

... . . ....

bn1 0 . . . bnn

(A.13)

Page 160: Apostila MEF

A.2. MATRIZES 147

A.2.6 Matriz Banda

Em alguns casos, os elementos nao-nulos de uma matriz quadrada estao agrupados ao redorda diagonal principal, formando, assim, uma banda de elementos. Uma matriz banda [A]de ordem n e representada da seguinte forma

[A] =

a11 a12 0 0 . . . 0 0 0a21 a22 a23 0 . . . 0 0 00 a32 a33 a34 . . . 0 0 00 0 a43 a44 . . . 0 0 0...

......

... . . ....

......

0 0 0 0 . . . an−1,n−2 an−1,n−1 an−1,n

0 0 0 0 . . . 0 an,n−1 an,n

(A.14)

A largura de banda e definida como o numero de diagonais ocupadas pela matriz.Assim, a matriz [A] em (A.14) possui largura de banda igual a 3.

A.2.7 Matrizes Simetrica e Anti-simetrica

Uma matriz simetrica [A] de ordem n e uma matriz quadrada cujos elementos sao simetricosem relacao a diagonal principal, ou seja,

aij = aji (i, j = 1, . . . , n)

Assim,

[A] =

a11 a12 a13 . . . a1n

a12 a22 a23 . . . a2n

a13 a23 a33 . . . a3n...

...... . . .

...a1n a2n a3n . . . ann

(A.15)

Analogamente, uma matriz quadrada [B] e anti-simetrica se

bij = −bji (i, j = 1, . . . , n)

Portanto,

[B] =

b11 b12 b13 . . . b1n

−b12 b22 b23 . . . b2n

−b13 −b23 b33 . . . b3n...

...... . . .

...−b1n −b2n −b3n . . . bnn

(A.16)

Page 161: Apostila MEF

148 APENDICE A. VETORES E MATRIZES

A.2.8 Particionamento de uma Matriz

Dada uma matriz quadrada [A] de ordem 3

[A] =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(A.17)

pode-se particiona-la de forma conveniente da seguinte maneira

[A] =

[

[A11] [A12][A21] [A22]

]

(A.18)

onde,

[A11] =

[

a11 a12

a21 a22

]

[A12] =[

a13 a23

]

[A21] =[

a31 a32

]

[A22] =[

a33

]

sao definidas como submatrizes.

A.2.9 Matriz Transposta

Dada uma matriz [A] de ordem m×n, a transposta de [A], denotada por [A]T , e a matrizde ordem n×m obtida ao se trocar as linhas pelas colunas de [A]. Tomando-se m = 2 en = 3, tem-se que

[A] =

[

a11 a12 a13

a21 a22 a23

]

→ [A]T =

a11 a21

a12 a21

a13 a23

(A.19)

A.3 Operacoes Matriciais

A.3.1 Igualdade

Duas matrizes [A] e [B] de mesma ordem m× n sao iguais, ou seja

[A] = [B] (A.20)

desde que aij = bij (i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n).

Page 162: Apostila MEF

A.4. SISTEMA DE EQUACOES LINEARES 149

A.3.2 Adicao e Subtracao

A soma ou subtracao de duas matrizes [A] e [B], de mesma ordem n×m, e definida como

[C] = [A]± [B] (A.21)

tal que cij = aij ± bij e [C] e uma matriz de ordem m× n.

A.3.3 Multiplicacao

Dadas as matrizes [A]m×p e [B]p×n, a multiplicacao de [A] por [B] e uma matriz [C]m×n,tal que

[C]m×n = [A]m×p[B]p×n (A.22)

sendo

cij =p∑

r=1

airbrj i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , n

Observa-se que para multiplicar duas matrizes, tem-se que o numero de colunas daprimeira deve ser igual a numero de linhas da segunda matriz.

A.4 Sistema de Equacoes Lineares

Considere o sistema de equacoes lineares com n incognitas

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

(A.23)

Verifica-se que este sistema de equacoes pode ser escrito em forma matricial, ou seja,

[A]{x} = {b} (A.24)

sendo

[A] =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . ....

an1 an2 . . . ann

(A.25)

{x} ={

x1 x2 . . . xn

}T

{b} ={

b1 b2 . . . bn

}T

Page 163: Apostila MEF

150 APENDICE A. VETORES E MATRIZES

A.5 Problema de Autovalor

Considere uma matriz [A] simetrica de ordem n. O problema de autovalor relacionado amatriz [A] e definido por

[A]{x} = λ{x} → ([A]− λ[I]){x} = {0} (A.26)

Resolvendo-se a equacao anterior, obtem-se os autovalores λi (i = 1. . . . , n) e os respec-tivos autovetores {xi} (i = 1, . . . , n). Assim, como solucao tem-se os auto-pares(λi, {xi}).

Dadas duas matrizes [A] e [B] simetricas de ordem n, o problema de autovalor gener-alizado e dado por

[A]{x} = λ[B]{x} → ([A]− λ[B]){x} = {0} (A.27)

Page 164: Apostila MEF

Apendice B

Introducao ao Programa ANSYS

O programa ANSYS e um pacote geral implementando a tecnica de elementos finitos paraos mais variados tipos de problemas. Os seguintes tipos de analise podem ser efetuadasatraves do ANSYS:

• Analise Estatica Linear e Nao-linear;

• Flambagem;

• Analise Modal e Resposta em Frequencia;

• Analise Dinamica Linear e Nao-linear Transiente;

• Subestruturacao;

• Transferencia de Calor;

• Dinamica de Fluidos Computacional.

O programa possui varios recursos graficos, gerador automatico de malhas e umavasta biblioteca de elementos finitos. Nesse apendice, nao se considera a interface graficado ANSYS, mas apenas os comandos textuais que sao executados pela interface e quepodem ser dados na janela Input da interface ou em um arquivo texto. O uso do materialapresentado nos Apendices B e C requer a disponibilidade do programa ANSYS.

Basicamente, o programa esta dividido nos modulos ilustrados na Figura B.1 onde

PREP7 : consiste no pre-processador, no qual o usuario define o modelo de elementosfinitos da estrutura em estudos. Pode-se definir a geometria da estrutura, gerar amalhas de elementos de forma manual ou automatica e especificar caracterısticas dematerial. Pode-se ainda importar a geometria em varios formatos de arquivos CAD.

151

Page 165: Apostila MEF

152 APENDICE B. INTRODUCAO AO PROGRAMA ANSYS

ANSYS

/SOLVEFINI

/PREP7FINIFINI

/POST1

POST1PREP7 SOLVER

Figura B.1: Modulos do programa ANSYS.

SOLVER : e a parte de solucao do programa, no qual aplicam-se carregamentos econdicoes de contorno. As matrizes dos elementos sao calculadas, efetua-se a res-olucao de sistemas de equacoes e a determinacao de deslocamentos, tensoes, frequenciasnaturais, etc.

POST1 : e o pos-processador do ANSYS, permitindo a apresentacao grafica e listagensdos resultados.

O programa armazena as informacoes fornecidas pelo usuario ou geradas durante umaanalise em alguns arquivos, tais como

file.bd : armazena as informacoes do modelo de elementos finitos gerados no PREP7;

file.log : armazena os comandos utilizados durante a execucao do ANSYS;

file.err : contem a listagem de advertencias e erros listados ao longo da execucao doprograma;

file.emat : contem as matrizes dos elementos finitos;

file.rst : armazena as grandezas calculadas no SOLVER, tais como deslocamentos, tensoes,frequencias naturais, modos de vibracao, etc. Este arquivo e, geralmente, lido pelopos-processador;

O prefixo file pode ser alterado atraves do comando /FILNAME.

Podem ser utilizados sistemas de referencia global e local dos seguintes tipos

• cartesiano;

• cilındrico;

Page 166: Apostila MEF

B.1. COMANDOS DO ANSYS 153

• esferico;

• toroidal

Pode-se empregar qualquer unidade para as grandezas do problema em estudo, taiscomo coordenadas, carregamentos, propriedades geometricas, caracterısticas do mate-rial, dentre outras. No entanto, a compatibilidade destas unidades e responsabilidadedo usuario do programa.

O pre-processador e acessado com o comando /PREP7, devendo-se fornecer FINI parasair do PREP7. Apos a gravacao do arquivo file.db, utiliza-se solu para que a analisepossa ser realizada pelo SOLVER. Abandona-se o SOLVER, com FINI, executando-se opos-processador com /POST1. Estes comandos estao ilustrados na Figura B.1.

A seguir apresenta-se um sumario de alguns comandos do ANSYS. Para a descricaocompleta deste comandos pode-se utilizar help,<nome do comando>. Observa-se que oscomandos podem ser dados em letras minusculas ou maiusculas, utilizando-se apenas osprimeiros 4 caracteres dos comandos.

B.1 Comandos do ANSYS

B.1.1 Nos

N : define um no no sistema de coordenadas ativo;

FILL : gera uma linha de nos entre dois nos dados;

NGEN : gera um conjunto de nos a partir de uma padrao de nos especificados;

NSYMM : gera um conjunto de nos a partir de uma padrao de nos especificados deacordo com um plano de simetria;

NMODIF : modifica um no ja definido;

NLIST : lista as coordenadas do nos no sistema de coordenadas ativo;

NDELE : apaga nos;

NPLOT : apresenta os nos de modo grafico;

MERGE : agrupa nos com coordenadas proximas dentro de uma precisao especificada;

B.1.2 Elementos

E : define um elemento fornecendo-se a sua incidencia;

EGEN : Gera elementos adicionais a partir de um padrao especificado;

Page 167: Apostila MEF

154 APENDICE B. INTRODUCAO AO PROGRAMA ANSYS

ESYM : Gera elementos a partir de um padrao especificado por simetria reflexiva;

EMODIF : modifica um elemento definido anteriormente;

ELIST : lista os nos de um elemento e suas propriedades;

EDELE : apaga um elemento;

EMORE : adiciona mais nos a um elemento definido anteriormente;

MAT : atribui um numero de material para os elementos;

TYPE : atribui um numero de tipo aos elementos;

REAL : atribui um numero de um conjunto de constantes reais aos elementos;

ESYS : atribui um numero de um sistema de referencia aos elementos;

EPLOT : apresenta graficamente os elementos;

B.1.3 Tipo de Elemento

ET : define um tipo de elemento;

ETLIST : lista os tipos de elementos definidos;

ETDELE : apaga tipos de elementos;

KEYOPT : especifica as opcoes para um elemento.

B.1.4 Constantes Reais

R : define ate 6 constantes reais de um elemento;

RMORE : adiciona ate 6 constantes reais a um conjunto previamente definido;

RMODIF : modifica os valores das constantes reais de um conjunto previamente definido;

RDELE : apaga conjuntos de constantes reais;

RLIST : lista os conjuntos de constantes reais;

RSIZE : permite alterar o numero maximo de constantes reais de um conjunto.

Page 168: Apostila MEF

B.1. COMANDOS DO ANSYS 155

B.1.5 Carregamentos e Condicoes de Contorno

F : aplica forcas concentradas em graus de liberdade de nos especificados;

FLIST : lista as forcas concentradas aplicadas;

FDELE : apaga forcas concentradas;

SFE : gera pressoes nas faces dos elementos;

SFELIST : lista pressoes no elementos;

SFEDELE : apaga pressoes nos elementos;

ACEL : define um vetor de aceleracao em termos de componentes cartesianas;

D : aplica deslocamentos em graus de liberdades de nos;

DLIST : lista os deslocamentos nodais aplicados;

DDELE : apaga deslocamentos nodais;

DSYM : gera restricoes de deslocamentos em nos de um plano de simetria.

B.1.6 Casos de Carregamentos

LSWRITE : salva o caso de carregamento corrente para o arquivo FILE23.DAT;

LSREAD : le um caso de carregamento do arquivo FILE23.DAT. Os carregamentospresentes sao apagados;

B.1.7 Material

MP : define as propriedades de um material elastico, linear e isotropico.

B.1.8 Sistemas de Coordenadas

LOCAL : define um sistema de coordenadas local dados a posicao e os angulos de ori-entacao no sistema global de referencia;

CS : define um sistema local de coordenadas a partir de tres nos;

CSKP : define um sistema local de coordenadas a partir de tres pontos;

CSYS : ativa um sistema de coordenadas;

NROTAT : gira os sistemas de coordenadas nodais relativo ao sistema ativo;

DSYS : ativa um sistema de coordenadas para a apresentacao de tabelas e graficos;

Page 169: Apostila MEF

156 APENDICE B. INTRODUCAO AO PROGRAMA ANSYS

CSLIST : apresenta os sistemas de coordenadas definidos;

CSDELE : apaga sistemas de coordenadas;

B.1.9 Reordenamento dos Elementos

WSTART : define uma lista de nos para ordenamento dos elementos atraves do comandoWAVES;

WMORE : adiciona mais nos a uma lista previamente definida;

WERASE : apaga as listas de ordenamento ja definidas;

WFRONT : fornece o wavefront corrente do modelo;

WAVES : inicializa o reordenamento de acordo com uma lista definida previamente;

WSORT : inicializa reordenamento baseado na localizacao do centroide dos elementos.

B.1.10 Tipo de Analise

ANTYPE : define o tipo de analise e opcoes.

B.1.11 Pontos

K : define um ponto dadas as suas coordenadas;

KNODE : define um ponto na mesma localizacao de um no ja existente;

KFILL : gera pontos entre dois pontos dados;

KGEN : gera pontos adicionais a partir de um padrao de pontos dado;

KSYMM : gera um conjunto de nos por reflexao de um padrao de pontos dado;

KMODIF : modifica um ponto previamente definido;

KDELE : apaga pontos;

KSUM : calcula e imprime as propriedades geometricas associadas aos pontos seleciona-dos;

KLIST : lista as coordenadas dos pontos definidos;

KMOVE : calcula e move um ponto para uma intersecao;

KPLOT : apresenta os pontos graficamente.

Page 170: Apostila MEF

B.1. COMANDOS DO ANSYS 157

B.1.12 Linhas

L : define um segmento de linha;

LGEN : gera linhas adicionais a partir de um padrao fornecido;

LSYMM : gera um conjunto de linhas por reflexao, assim como os pontos correspon-dentes;

LTRAN : transfere um padrao de linhas de um sistema de coordenadas para outrosistema;

LMODIF : modifica um segmento de linha previamente definido;

LDELE : apaga segmentos de linhas;

LSUM : calcula e imprime as propriedades geometricas associadas as linhas selecionadas;

LLIST : lista os segmentos de linhas definidos;

LPLOT : apresenta graficamente as linhas definidas;

LARC : define um arco circular;

CIRCLE : gera um cırculo;

SPLINE : gera uma curva spline a partir de uma serie de pontos;

LDIV : divide um segmento em dois ou mais segmentos.

B.1.13 Areas

A : gera uma area a partir de 3 ou 4 pontos dados;

AGEN : gera areas adicionais a partir de um padrao especificado;

ARSYM : gera um conjunto de areas por reflexao a partir de um padrao de areasespecificado;

ATRAN : transfere um padrao de areas de um sistema de coordenadas para outrosistema;

ADELE : apaga areas;

ASUM : calcula e imprime as propriedades geometricas associadas as areas selecionadas;

ALIST : lista areas definidas;

APLOT : mostra graficamente as areas definidas;

Page 171: Apostila MEF

158 APENDICE B. INTRODUCAO AO PROGRAMA ANSYS

AL : define uma area a partir de um dado conjunto de linhas;

AROTAT : gera areas cilındricas atraves de uma rotacao de um padrao de segmentosde linhas em torno de um eixo;

ADRAG : gera areas por extrusao de um conjunto de linhas ao longo de uma curvaespecificada.

B.1.14 Volumes

V : gera volumes dados 4, 6 ou 8 pontos;

VGEN : gera volumes adicionais a partir de um padrao dado;

VSYMM : gera volumes por reflexao de um conjunto de volumes especificados;

VTRAN : transfere um padrao de volumes de um sistema de coordenadas para outrosistema;

VDELE : apaga volumes definidos;

VSUM : calcula e imprime as propriedades geometricas associadas aos volumes sele-cionados;

VLIST : lista volumes definidos;

VPLOT : mostra graficamente os volumes definidos;

VL : define um volume a partir de um dado conjunto de areas;

VROTAT : gera volumes cilındricos pela rotacao de areas especificadas;

VDRAG : gera volumes adicionais por extrusao de um padrao de areas ao longo de umacurva.

B.1.15 Geracao de Malha

ESIZE : define o numero de divisoes ou tamanho dos elementos em linhas;

MSHAPE : especifica a forma do elemento da malha;

KMESH : gera nos e elementos em pontos ja definidos;

LMESH : gera nos e elementos de linha ao longo de segmentos de linhas dados;

AMESH : gera nos e elementos de areas no interior de areas especificadas;

VMESH : gera nos e elementos de volume no interior de volumes especificados;

Page 172: Apostila MEF

B.2. APLICACAO DE CONDICOES DE CONTORNO AO MODELO SOLIDO 159

KCLEAR : apaga nos e elementos associados a pontos;

ACLEAR : apaga nos e elementos associados a areas;

VCLEAR : apaga nos e elementos associados a volumes;

MODMSH : desassocia o modelo solido do modelo de elementos finitos;

B.2 Aplicacao de Condicoes de Contorno ao Modelo Solido

DK : define deslocamentos especificados num ponto;

KF : define forcas concentradas num ponto;

SFL : define uma superfıcie de pressao num segmento de linha;

SFA : define uma superfıcie de pressao numa area;

SBCTRANS : transfere condicoes de contorno (deslocamentos e carregamentos) domodelo solido para a malha de elementos finitos;

SBCLIST : lista as condicoes de contorno aplicadas ao modelo solido;

B.2.1 Selecao de Entidades

NSEL : seleciona um subconjunto de nos;

ESEL : seleciona um subconjunto de elementos;

KSEL : seleciona um subconjunto de pontos;

LSEL : seleciona um subconjunto de linhas;

ASEL : seleciona um subconjunto de areas;

VSEL : seleciona um subconjunto de volumes;

CM : cria uma componente de entidades;

CMSEL : seleciona uma componente.

B.2.2 Comandos /

/TITLE : define um tıtulo para o modelo;

/PBC : apresenta graficamente as condicoes de contorno selecionadas;

/PNUM : indica se os numeros de uma entidade devem ser apresentados graficamente;

/PSF : apresenta graficamente os carregamentos distribuıdos.

Page 173: Apostila MEF

160 APENDICE B. INTRODUCAO AO PROGRAMA ANSYS

B.2.3 Graus de Liberdade Masters

M : define graus de liberdade masters para analises reduzidas;

MGEN : gera graus de liberdade masters a partir de um conjunto dado;

MLIST : lista os graus de liberdade masters;

MDELE : apaga graus de liberdade masters;

TOTAL : efetua a geracao automatica dos graus de liberdade masters.

B.2.4 Comandos de Visualizacao

/ANGLE : Gira o grafico em torno de um eixo de visualizacao;

/AUTO : ativa o modo automatico de calculo dos parametros de visualizacao;

/COUNTOR : define os valores de contorno que serao mostrados no grafico;

/DIST : define a distancia de visualizacao;

/FOCUS : define a localizacao do ponto de foco do objeto;

/NUMBER : determina se os ıtens numerados serao distinguidos pela cor ou numerosno grafico;

/RATIO : distorce a geometria do objeto numa direcao particular;

/SHRINK : comprime os elementos de tal forma que os elementos adjacentes sao sepa-rados;

/TLABEL : coloca um texto definido pelo usuario num local especificado pelo usuario;

/TYPE : define o tipo de apresentacao do grafico;

/USER : ativa a janela onde sera apresentado o grafico;

/VCONE : define o cone de visao para vista em perspectiva;

/VIEW : define a direcao de visao para o grafico;

/WINDOW : define o tamanho de uma janela;

/ZOOM : seleciona uma regiao que sera ampliada.

Page 174: Apostila MEF

B.2. APLICACAO DE CONDICOES DE CONTORNO AO MODELO SOLIDO 161

B.2.5 Pos-processador

ETABLE : especifica dados de pos-processamento adicionais a serem lidos pelo comandoSET;

SET : le os resultados da analise do arquivo file12.dat;

PRNSOL : lista solucao de grandezas nodais;

PRRSOL : lista as forcas de reacao para os nos indicados;

PLNSOL : apresenta graficamente as distribuicoes de deslocamentos, tensoes, temper-aturas, etc;

PLDISP : apresenta graficamente a geometria deformada.

B.2.6 Outros Comandos

NUMCMP : compacta a numeracao das entidades (pontos, linhas, areas,etc);

NUMMRG : agrupa entidades proximas dentro de uma precisao especificada;

NUMSTR : estabelece numeros iniciais para as entidades;

SAVE : salva os dados do modelo para o arquivo file16.dat;

RESUME : le os dados do arquivo file16.dat para a memoria;

CDWRITE : grava um arquivo com comandos do PREP7 correspondente ao modeloem estudo;

FINISH : permite a saıda dos modulos PREP7, POST1 e SOLVER.

Page 175: Apostila MEF

162 APENDICE B. INTRODUCAO AO PROGRAMA ANSYS

Page 176: Apostila MEF

Apendice C

Exemplos Analisados pelo ANSYS

C.1 Estrutura Reticulada

Objetivos : ilustrar a aplicacao do elemento de barra plana (LINK1), assim como co-mandos basicos para a geracao de nos e elementos, aplicacao de carregamentos econdicoes de contorno, apresentacao de resultados.

Constantes do problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21× 105 Kgf/cm2 = 21× 109 Kgf/m2;

• Area da secao transversal: A = 1 cm2 = 10−4 m2.

!PRE-PROCESSADOR

/PREP7

/TITLE,ESTRUTURA RETICULADA

ET,1,LINK1 !Tipo do elemento

MP,EX,1,21E9 !Modulo de elasticidade

R,1,1E-4 !Area

N,1 !Definicao dos nos

N,2,3

N,3,3,8

N,6,12,8

NPLOT !Plota os nos

FILL,3,6

NPLOT

NGEN,2,3,5,5,1,0,-2

NPLOT

NGEN,2,3,4,4,1,0,-4

NPLOT

NLIS !Lista as coordenadas nodais

E,1,3 !Definicao dos elementos

E,2,3

E,2,7

E,3,7

E,3,4

EPLOT !Plota os elementos

EGEN,3,1,5,5,1

163

Page 177: Apostila MEF

164 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

3 4 5

1 2

7

6

8

3m 3m 3m 3m

2m

2m

4m

X

Y

1

2

3

4

12

1,0Kgf1,0Kgf1,0Kgf1,0Kgf

1,5Kgf

5 6 7

98

10

11

Figura C.1: Trelica analisada.

EPLOT

E,4,7

E,4,8

E,5,8

E,8,7

E,6,8

EPLOT

SAVE !Salva dados

FINI !Abandona PREP7

!SOLVER

/SOLU

D,1,UX,0,0,2,1,UY !Condicoes de contorno para os nos 1 e 2

DLIS !Lista condicoes de contorno

F,3,FX,1.5 !Forca em x para o no 3

F,3,FY,-1,0,6,1 !Forca em y para os nos 3 a 6

FLIS !Lista forcas

/PBC,ALL,1

EPLOT

SOLVE

FINI !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR

/POST1

ETABLE,FXE,SMISC,1 !Forca axial na barra

ETABLE,TEN,LS,1 !Tensao nas barras

PLDI,1 !Plot da geometria deformada

PRDIS !Deslocamentos nodais

Page 178: Apostila MEF

C.2. DEFORMACAO EM VIGAS 165

PRETAB,FXE,TEN !Forcas axiais e tensao nos elementos

PLETAB,TEN !Apresenta as tensoes nos elementos

PLETAB,FXE !Apresenta as forcas axiais nos elementos

PRRSOL !Lista as reacoes de apoio

FINI !Abandona POST1

C.2 Deformacao em Vigas

Objetivos : aplicar o elemento de viga plana (BEAM3) para o estudo de uma vigasubmetida a um momento puro, forca concentrada e carga distribuıda, ilustrada emC.2.

Constantes do problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21× 106 tf/m2;

• Area da secao transversal: A = 3, 75 × 10−2 m2;

• Momento de inercia em relacao ao eixo z:

Jz =bh3

12=

(15)(25)3

12= 1, 953 × 10−4 m4;

• Altura do perfil: h = 25 cm.

X

2 t.m

1 t/m

3 t

2m

Z25 cm

Y

Z

Y

15 cm

Figura C.2: Viga em estudo.

!PRE-PROCESSADOR

/PREP7

/TITLE,VIGA - 10 ELEMENTOS

MP,EX,1,21E6 !Modulo de elasticidade do material da viga

ET,1,BEAM3 !Tipo do elemento: viga

R,1,3.75E-2,1.953E-04,25E-2 !Area, Izz, h

N,1,0,0 !Definicao dos nos extremos

N,11,2,0

NPLOT !Plota nos

Page 179: Apostila MEF

166 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

FILL !Gera nos intermediarios

/PNUM,NODE,1 !Ativa numeracao dos nos

NPLOT

NLIS !Lista coordenadas dos nos

E,1,2 !Definicao dos elementos

EGEN,10,1,1,1,1 !Gera o restante dos elementos

/PNUM,ELEM,1 !Ativa numeracao dos elementos

EPLOT !Plota elementos

SAVE !Salva modelo

FINI !Abandona PREP7

!SOLVER

/SOLU !Entra no modulo de solucao

D,1,ALL,0 !Engastado no no’ 1

F,11,FY,-3 !Forca de -3t no no’ 11

F,11,MZ,-2 !Momento de -2 t.m no no’ 11

SFBEAM,ALL,1,PRESS,1 !Carga distribuida de -1 t/m na face 1 do elemento

/PBC,ALL,1 !Mostra condicoes de contorno

/VIEW,1,1,1,1 !Vista em perspectiva

EPLO !Plot dos elementos

SOLVE !Soluciona modelo

FINI !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR

/POST1 !Entra no modulo de pos-processamento

ETABLE,FXI,SMISC,1 !Le forca de reacao nodal na direcao x - no i

ETABLE,FXJ,SMISC,7 !Le forca de reacao nodal na direcao x - no j

ETABLE,FYI,SMISC,2 !Le forca de reacao nodal na direcao y - no i

ETABLE,FYJ,SMISC,8 !Le forca de reacao nodal na direcao y - no j

ETABLE,MZI,SMISC,6 !Le momento fletor mz nos pontos nodais - no i

ETABLE,MZJ,SMISC,12 !Le momento fletor mz nos pontos nodais - no j

ETABLE,SDI,LS,1 !Tensao devido ao esforco normal - no i

ETABLE,SDJ,LS,4 !Tensao devido ao esforco normal - no j

ETABLE,SBI,LS,2 !Tensao de flexao no topo da secao - no i

ETABLE,SBJ,LS,5 !Tensao de flexao no topo da secao - no j

ETABLE,SDMI,NMISC,2 !Tensao de flexao-normal - no i

ETABLE,SDMJ,NMISC,4 !Tensao de flexao-normal - no j

ETABLE,SDPI,NMISC,1 !Tensao de flexao+normal - no i

ETABLE,SDPJ,NMISC,3 !Tensao de flexao+normal - no j

SET !Le arquivo de resultados

PLDI,1 !Plot da geometria deformada

PRDIS !Imprime deslocamentos e rotacoes

PRETAB,FXI,FXJ,FYI,FYJ,MZI,MZJ !Imprime esforcos nodais

PRETAB,SDI,SDJ,SBI,SBJ !Tensoes axiais e de flexao

PRETAB,SDMI,SDMJ,SDPI,SDPJ !Tensoes resultantes

PLLS,FYI,FYJ !Forcas nodais na direcao y

PLLS,MZI,MZJ !Momentos nodais em z

PLLS,SDPI,SDPJ !Tensoes resultantes

PLLS,SDMI,SDMJ

PLETAB,SDPI !Tensoes nos elementos

PLETAB,SDPJ

PLETAB,SBI

PLETAB,SBJ

PRRSOL !Lista as reacoes de apoio

FINI !Abandona POST1

Page 180: Apostila MEF

C.3. PORTICO 167

C.3 Portico

Objetivos : analisar um portico modelado por elementos de barra e viga plana. Utilizam-se varios tipos de constantes reais e materiais. Desta forma, ilustra-se a definicao deelementos utilizando diferentes parametros. Toma-se a mesma secao transversal doexemplo anterior para as vigas. O portico esta ilustrado na Figura C.3.

Propriedades e constantes :

• Modulo de elasticidade das vigas: E = 21, 0 × 106 tf/m2;

• Area da secao transversal das vigas: A = 3, 75 × 10−2 m2;

• Momento de inercia em relacao ao eixo z: Jz = 1, 953 × 104 m4;

• Modulo de elasticidade das barras: E = 7, 0× 106 tf/m2;

• Areas da secao transversal das barras inclinadas: A = 2, 0 cm2;

• Areas da secao transversal das barras horizontais: A = 1, 0 cm2 ;

20cm

Aluminio

Aco

1m

20cm

2t2t

5t 3t

Figura C.3: Portico analisado.

! Estrutura com varios materiais e elementos

!

! PRE-PROCESSAMENTO

Page 181: Apostila MEF

168 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

!

/prep7

/title,Portico

!

! Configuracao

!

/pnum,node,1 !habilita numeracao de nos e elementos

/pnu,elem,1

!

! Tipos de Elementos/Constantes/Materiais

!

et,1,link1 ! link1=elemento de barra

et,2,beam3 ! beam3=elemento de viga plana

r,1,3.75e-2,1.953e-4,25e-2 ! area, Izz, h

r,2,1e-4 ! area

r,3,2e-4 ! area

mp,ex,1,7e6 ! E aluminio

mp,ex,2,21e6 ! E aco

mp,nuxy,1,0.28 ! coef. poisson aluminio=0.28

mp,nuxy,2,0.3 ! coef. poisson aco=0.3

!

! Nos

!

n,1

n,2,.20

n,3,0,.20

n,4,.20,.20

nplot

!

! Elementos de aluminio - barras

!

type,1 !inicializa os conjuntos de constantes a serem utilizados

real,2

mat,1

e,1,2

real,3

e,1,4

real,2

e,3,4

eplot

!

! Elementos de aco - vigas

!

type,2 !inicializa os conjuntos de constantes a serem utilizados

real,1

mat,2

e,1,3

e,4,2

eplot

!

! Geracao do restante dos nos e elementos

!

ngen,5,2,3,4,1,0,0.20 ! Gera os nos a partir de 3 e 4

egen,5,2,4,5,1 ! Copia elementos de aco

egen,5,2,2,2,1 ! Copia elementos de aluminio

egen,5,2,3,3,1 ! Copia elementos de aluminio

eplot

!

! Grava arquivos e sai do PREP7

Page 182: Apostila MEF

C.4. ESTUDO DE UM EIXO 169

save

fini

!

! SOLUCAO

!

/solu

! Aplicacao das restricoes

!

d,1,all,0,0,2,1 ! Engastado na base

!

! Aplicacao das forcas

!

f,11,fx,2,0,12,1 ! Forca em X nos nos 11 e 12 de 2t

f,11,fy,5 ! Forca em Y nos nos 11 e 12 de 5t

f,12,fy,-3 ! Forca em Y nos nos 11 e 12 de -3t

!

! Plota para verificacao

!

/view,1,1,1,1 !Vista em perspectiva

/pbc,all,1

/pnum,type,1 !Numera elementos pelo tipo

eplot

/pnum,real,1 !Numera elementos pelas propriedades geometricas

eplot

/pnum,mat,1 !Numera elementos pelo material

eplot

!

solve

fini

!

! POS-PROCESSAMENTO

!

/post1

etable,imz,smisc,6 !Momentos fletores para os nos i e j

etable,jmz,smisc,12

etable,ibnd,nmisc,1 !Tensao de flexao resultante maxima para os nos i e j

etable,jbnd,nmisc,3

etable,ten,ls,1 !Tensao nos elementos de barra

set !Le arquivo de resultados

pldisp,1 !Geometria deformada

plls,imz,jmz !Momentos fletores para os nos i e j

plls,ibnd,jbnd !Apresenta tensao de flexao

pletab,ten !Tensao nas barras

prrsol !Lista as reacoes de apoio

fini !Abandona POST1

C.4 Estudo de um Eixo

Objetivos : analisar o eixo da Figura C.4 submetido aos esforcos indicados no sistemaequivalente, utilizando-se o elemento de viga espacial (BEAM4). A especificacao dasdimensoes, das propriedades geometricas e dos esforcos e feita de forma parametricafacilitando modificacoes nos valores destes dados. Como existem dois diametros dis-tintos (d1 e d2) definem-se dois conjuntos de constantes reais. O sistema equivalente,apresentando os esforcos aplicados sobre o eixo, esta ilustrado na Figura C.4.

Page 183: Apostila MEF

170 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

Figura C.4: Eixo analisado.

Propriedades e Constantes :

• Modulo de elasticidade: E = 21 × 10 MPa;

• Area da secao transversal: A = πd2

4 ;

• Momentos de inercia em relacao aos eixos x e y: Jy = Jz = πd4

64 ;

• Forca axial: Fa = 2, 4 KN ;

• Forca radial: Fr = 3, 3 KN ;

• Forca tangencial: Ft = 8, 0 KN ;

• Torque: T = 911, 2Nm;

• Diametro da engrenagem: d = 227, 8mm;

• Diametro do trecho AB: d1 = 50mm;

• Diametro do trecho BC: d2 = 45mm;

!PRE-PROCESSADOR

/PREP7

/TITLE,Eixo com engrenagem

!

! Constantes do problema

!

d1=50e-3 ! [m] diametro eixo 1

d2=45e-3 ! [m] diametro eixo 2

d=227.8e-3 ! [m] diametro primitivo eng.

l1=150e-3 ! [m] comprimento eixo1

l2=140e-3 ! [m] comprimento eixo2 - 1a. parte

l3=70e-3 ! [m] comprimento eixo2 - 2a. parte

l4=40e-3 ! [m] largura do rebaixo do mancal B

Ft=8.0e3 ! [N] Forca Tangencial

Page 184: Apostila MEF

C.4. ESTUDO DE UM EIXO 171

A X

AY

A Z

B Y

B Z

Fa

F d/2t

Fr

l2

X

Y

Ft

T

a d/2F

l

l

3

4

Z

l1

Figura C.5: Sistema equivalente ao eixo.

Fr=3.3e3 ! [N] Forca Radial

Fa=2.4e3 ! [N] Forca axial

T=911.2 ! [N.m] Torque transmitido

pi=3.1415926

!

! Constante do material

!

MP,EX,1,21e9

!

! Seleciona elemento

!

ET,1,BEAM4

!

! Define as constantes reais (geom. propert.)

!

R,1,pi*d1**2/4,pi*d1**4/64,pi*d1**4/64,d1/2,d1/2,0

R,2,pi*d2**2/4,pi*d2**4/64,pi*d2**4/64,d2/2,d2/2,0

!

! Geracao dos nos

!

N,1

N,16,l1

FILL

/PNUM,NODE,1

NPLOT

N,30,l1+l2

FILL

NPLOT

N,35,l1+l2+l3-l4/2

FILL

Page 185: Apostila MEF

172 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

NPLOT

N,37,l1+l2+l3

FILL

NPLOT

N,39,l1+l2+l3+l4/2

FILL

NPLOT

!

! Geracao dos elementos

!

! Constantes reais 1

REAL,1 !seleciona as propriedades 1

E,1,2 !gera um elemento

EGEN,34,1,1 !gera os demais

/PNUM,ELEM,1

EPLOT

!

! Constantes reais 2

REAL,2 !seleciona as propriedades 2

E,35,36 !gera um elemento

EGEN,4,1,35 !gera os demais

EPLOT

!

SAVE !Salva dados

FINI !Abandona PREP7

!SOLVER

/SOLU

! Condicoes de contorno

!

D,16,UX,0,0,0,0,UY,UZ

D,37,UY,0,0,0,0,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ

!

! Carregamento

!

! Na extremidade (acoplamento)

!

F,1,MX,T ! Torque no acoplamento

!

! Na engrenagem

!

F,30,FX,-Fa !Forca axial do engrenamento

F,30,FY,Fr !Forca radial (cortante)

F,30,FZ,Ft !Forca tangencial (cortante)

F,30,MX,-Ft*d/2 !Momento da Forca tangencial

F,30,MZ,Fa*d/2 !Momento da Forca axial

/PBC,ALL,1 !Mostra condicoes de contorno

EPLO !Plot dos elementos

SOLVE !Solucao do modelo

FINI !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR

/POST1

!Tensoes normais resultantes maximas para os nos i e j do elemento

ETABLE,SG1I,NMISC,1

ETABLE,SG1J,NMISC,3

Page 186: Apostila MEF

C.5. VIGA - PROBLEMA DE ESTADO PLANO DE TENSAO 173

!Tensoes normais resultantes minimas para os nos i e j do elemento

ETABLE,SG3I,NMISC,2

ETABLE,SG3J,NMISC,4

!Momento torcor para os nos i e j de cada elemento

ETABLE,MXI,SMISC,4

ETABLE,MXJ,SMISC,10

SET !Le arquivo de resultados

/VIEW,1,1,1,1 !Vista em perspectiva

PLDI,1 !Plot da geometria deformada

PLLS,SG1I,SG1J !Plot das tensoes normais maximas e minimas

PLLS,SG3I,SG3J

PLLS,MXI,MXJ !Plot do momento torcor

PRDIS !Imprime deslocamentos e rotacoes

PRRSOL !Imprime reacoes de apoio

FINI !Abandona POST1

C.5 Viga - Problema de Estado Plano de Tensao

Objetivos : estudar uma viga considerando um problema de estado plano de tensao.Para isso, utiliza-se um elemento quadrangular de 4 nos (plane42).

Constantes do Problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21× 105 Kgf/cm2;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

• Espessura: t = 1, 5 cm.

10Kgf

10Kgf

1m

20cm

Figura C.6: Viga analisada com elementos de estado plano de tensao.

/PREP7

/TITLE,Viga - Elementos planos (plane42)

!

! Material

Page 187: Apostila MEF

174 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

!

MP,EX,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2

MP,NUXY,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson

!

! Tipo Elemento

!

ET,1,plane42 ! Elemento plane42 com espessura

!

!Espessura

R,1,1.5

!

! Nos

!

N,1

N,2,0,10

N,3,0,20

!

!Numera nos

/PNUM,NODE,1

NPLOT

!

!Gera nos adicionais

NGEN,21,3,1,3,1,25

NPLOT

!

!Elementos

!

E,1,4,5,2 ! Gera o 1o. elemento

E,2,5,6,3 ! Gera o 2o. elemento

EPLOT

EGEN,20,3,1,2 !Gera os demais elementos

/PNUM,ELEM,1 ! Numera elementos

EPLOT

!

FINI

!SOLVER

/SOLU

!

!Restricoes

!

D,1,ALL,0,0,3,1 ! Engastado em uma extremidade

!

!Carregamento

!

F,61,FX,10 !Forca em x para o no 13

F,63,FX,-10 !Forca em x para o no 15

/PBC,ALL,2

EPLOT

SOLVE

FINI !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR

/POST1

PLDISP,1 !Plota a geometria deformada

PLNSOL,U,Y,0 !Imprime deslocamentos nodais na direc~ao Y

PLNSOL,S,EQV !Plota tensao equivalente de von Mises

PLNSOL,S,X !Plota tensao na direcao x

PLNSOL,S,Y !Plota tensao na direcao y

Page 188: Apostila MEF

C.6. PROBLEMA COM SIMETRIA 175

PLNSOL,S,XY !Plota tensao de cisalhamento

PRNSOL,S,COMP !Imprime tensoes

FINI

C.6 Problema com Simetria

Objetivos : Em alguns casos, o problema em estudo possui um ou mais planos de sime-tria. Nestes casos, pode-se modelar apenas uma parte do problema, facilitando atarefa de preparacao dos dados e reduzindo o numero de graus de liberdade. Assume-se tambem a simetria do carregamento.

Como exemplo, considere a chapa ilustrada na Figura C.7. Verificam-se dois planosde simetria, sendo, portanto, necessario modelar apenas uma quarta parte.

Para facilitar a entrada dos dados utiliza-se um sistema global cilındrico.

Constantes do Problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21× 105 Kgf/cm2;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

• Espessura: t = 3, 2 cm.

r. 2 cm

r. 8 cm

p

(a) Chapa com furo. (b) Malha com simetria.

Figura C.7: Chapa com furo submetida a um pressao interna uniforme.

/PREP7

/title,Chapa Circular - Simetria (plane42)

!

! Material

Page 189: Apostila MEF

176 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

!

mp,ex,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2

mp,nuxy,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson

!

! Tipo Elemento

!

et,1,plane42,0,,3 ! plane42 com entrada da espessura

r,1,3.2 ! Espessura = 3.2 cm

!

! Sistema de Coordenadas cilindrico

!

csys,1

!

! Nos

!

/pnum,node,1

n,1,2,0

n,4,8,0

nplot

fill

nplot

ngen,7,4,1,4,1,0,15 ! Gera o restante de 15 em 15 graus

nplot

!

! Elementos

!

/pnum,elem,1

e,1,2,6,5 ! Primeiro elemento

eplot

egen,3,1,1 ! Copia ao longo do raio

eplot

egen,6,4,1,3 ! Copia ao longo da circunferencia eplot

!

!Simetria

!

/pbc,all,2

symbc,0,1,0,0

symbc,0,2,0,0

eplot

!

! Restric~oes

!

d,4,all,0

d,28,all,0

!

save

fini ! Abandona /PREP7

!

!SOLVER

/SOLU

!

! Carregamento

!

nsel,s,loc,x,2 ! Seleciona os nos internos

sf,all,press,10 ! Coloca uma pressao nos nos selecionados de 10 kgf/cm^2

/psf,press,norm,2 ! plota simbolo de pressao na superficie

eplot

allsel ! Reativa todas as entidades

Page 190: Apostila MEF

C.7. MULTIPLOS CARREGAMENTOS 177

save

SOLVE

!

!

FINI !Abandona SOLVER

!POS-PROCESSADOR

/POST1

PLDISP,1 !Plota a geometria deformada e n~ao deformada

PRDIS !Imprime deslocamentos

PLNSOL,S,EQV !Plota tensao equivalente de von Mises

PLNSOL,S,X !Plota tensao na direcao x

PLNSOL,S,Y !Plota tensao na direcao y

PLNSOL,S,XY !Plota tensao de cisalhamento

PRNSOL,S,COMP !Imprime tensoes FINI

C.7 Multiplos Carregamentos

Objetivos : Algumas estruturas podem estar submetidas a varias condicoes de carrega-mentos. Ao inves de se gerar uma malha para cada caso de carregamento, pode-seaplicar todas as condicoes a um mesmo modelo. Para isso, considere a chapa circulardo exemplo anterior, onde se aplica como segundo caso de carregamento uma forcaconcentrada de 100Kgf e uma pressao interna de 30Kgf/cm2.

/PREP7

!

! Varios Casos de Carregamentos

!

! (baseado no exemplo: "Chapa Circular - Simetria (plane42)"

!

resume ! para ler o modelo ja gravado

eplot ! mostra o modelo e o carregamento

!

! Gravar o carregamento ja aplicado

!

/SOLU

lswrite ! carregamento 1

!

! Apagar todo o carregamento

!

sfdele,all,all ! apaga todas as pressoes

!

! Coloca outro carregamento e grava

! Carregamento 2

!

csys,1 ! ativa sistema de coordenada cilindrico

nsel,s,loc,x,2

sf,all,press,30 ! pressao de 30 kgf/cm^2 rm r=2cm

/psf,press,norm,2 ! plota simbolo de pressao na superficie

allsel ! seleciona tudo

f,24,fy,-100 ! forca de 100 kgf no no’ 24

lswrite ! carregamento 2

!

! Salva modelo para solucao

Page 191: Apostila MEF

178 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

!

save

! Solucao

!

lssolve,1,2 ! inicia solucao

fini

/POST1

!

! Pos-Processamento

!

!

set,1 ! le o 1o. caso

pldisp,0 ! plota a geometria deformada

plnsol,s,eqv

set,2 ! le o 2o. caso

pldisp,0 ! plota a geometria deformada

plnsol,s,eqv

fini

C.8 Geracao Automatica de Malhas em Areas

Objetivos : Ilustrar o processo de geracao de malha em problemas planos, considerandoo problema de estado plano de tensao da Figura C.8. A geometria e gerada com oscomandos do ANSYS para pontos, linhas e areas. A malha e obtida com o comandoAMESH.

As condicoes de contorno de deslocamentos e carregamentos sao aplicadas no mo-delo geometrico com os comandos DK e SFL. Posteriormente, sao transferidos para omodelo de elementos finitos com o comando SBCTRA.

Constantes do Problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf/cm2;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

• Espessura: t = 0, 7 cm.

/PREP7

/TITLE,GERACAO DE MALHA - CHAVE

!

!Keypoints

!

K,1,21

K,2,21.6,2.1

K,3,15.9,3.6

K,4,15.3,1.5

K,5,10.2.,5.1

K,6,9.6,3

/PNUM,KPOI,1

KPLO

K,7,7,6

Page 192: Apostila MEF

C.8. GERACAO AUTOMATICA DE MALHAS EM AREAS 179

Figura C.8: Geracao automatica de malha em problema plano.

K,8,6.5,3.8

K,9,3.5,6.5

K,10,5.75,6.6

K,11,3.9,3.1

K,12,2.5,3.3

K,13,1.4,4

K,14,1,4.6

K,15,2.8,4.6

K,16,3.5,5.1

KPLO

K,17,2.8,7

K,18,1,7

K,19,1.45,7.65

K,20,2.5,8.3

K,21,3.9,8.5

K,22,5,7.85

KPLO

!

!Areas

!

A,1,2,3,4

A,4,3,5,6

A,6,5,7,8

APLOT

!

!Linhas

!

L,8,16

L,16,9

L,9,10

L,10,7

L,8,11

L,11,12

L,12,13

L,13,14

L,14,15

L,15,16

LPLO

!

Page 193: Apostila MEF

180 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

L,9,17

L,17,18

L,18,19

L,19,20

L,20,21

L,21,22

L,22,10

LPLO

!

!Areas definidas por linhas

AL,9,11,12,13,14

AL,11,15,16,17,18,19,20

AL,13,21,22,23,24,25,26,27

/PNUM,AREA,1

APLO

!

!Tipo do elemento - triangulo com 6 nos

!

ET,1,PLANE2,0,0,3

!

!Espessura da chave

!

R,1,0.7

!

!Define tamanho do elemento

!

ESIZE,3,1 !Tamanho do elemento 3 cm com 1 divisao por linha

!

!Geracao de elementos nas areas

AMESH,ALL

!

!Transfere condicoes de contorno do modelo solido para malha

SBCTRAN

!

!Apresenta elementos

/PBC,ALL,1

/PBC,PRESS,2

/TYPE,1,4

/PNUM,ELEM,1

EPLO

!

!Propriedades do material

MP,EX,1,21E5

MP,NUXY,1,0.3

!

FINI

!SOLVER

/SOLU

!

!Aplica pressao numa linha

!

SFL,2,PRESS,10

! plota simbolo de pressao na superficie

/PSF,PRES,NORM,2

!

!

SBCLIS,ALL

!

Page 194: Apostila MEF

C.9. GERACAO AUTOMATICA DE MALHA EM VOLUMES 181

!Aplica restricoes em keypoints

!

DK,9,ALL,0

DK,14,ALL,0

DK,15,ALL,0

DK,16,ALL,0

DK,17,ALL,0

DK,17,ALL,0

SOLVE

FINI

!POS-PROCESSADOR

/POST1

PLDISP,1

PLNSOL,S,X

PLNSOL,S,EQV

FINI

C.9 Geracao Automatica de Malha em Volumes

Objetivos : A Figura C.9 ilustra o modelo discreto de uma viga de perfil I gerado demaneira automatica atraves do comando VMESH. O elemento empregado e o SOLID45,ou seja, um cubo com 8 nos.

Constantes do Problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21× 105 Kgf/cm2;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

/PREP7

/TITLE,Viga - Geracao Automatica - Volumes - Solid 45)

/PBC,ALL,2

/PNUM,volu,1

!

! Material

!

MP,EX,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2

MP,NUXY,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson

!

! Tipo Elemento

!

ET,1,solid45 ! Elemento Solid-45: 3D Isopara. Solid

!

! Kpoints

!

K, 1, 0, 0 ! base

K, 2, 0, 1

K, 3, 10, 0

K, 4, 10, 1

K, 5, 4.5, 1

K, 6, 5.5, 1

K, 7, 4.5, 0

K, 8, 5.5, 0

K, 9, 4.5, 9 ! alma

Page 195: Apostila MEF

182 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

Figura C.9: Viga analisada como problema espacial utilizando cubos de oito nos.

K,10, 5.5, 9

K,11, 4.5, 10 ! topo

K,12, 5.5, 10

K,13, 2, 9

K,14, 8, 9

K,15, 2, 10

K,16, 8, 10

!

! Linha para o Vdrag (numero 1)

!

K,17,0,0,40 ! kpoint

L,1,17 ! linha (no. 1)

!

! Areas

!

A,1,2,5,7 ! base

A,5,6,8,7

A,6,4,3,8

A,5,9,10,6 ! alma

A,13,15,11,9 ! topo

A,11,12,10,9

A,12,16,14,10

!

! Vdrag (gera volume por extrusao de areas)

!

VDRAG,ALL,,,,,,1 ! areas 1-7 ao longo da linha 1

!

!

! Ajusta o modelo gerado

!

Page 196: Apostila MEF

C.9. GERACAO AUTOMATICA DE MALHA EM VOLUMES 183

NUMM,ALL ! executa um merge das entidades

!

! Visualizacao

!

/PNUM,default ! volta numeracao ao ’default’

/VIEW,1,1,1,1 ! Observador em (1,1,1)

/TYPE,1,2 ! Hidden Lines (centroidal sort)

VPLOT

!

! Controle/Geracao Automatica

!

ESIZE,2

MSHAPE,0,3D ! gerac~ao com apenas cubos

VMESH,ALL

!

! Coerencia da malha

!

NUMMRG,ALL

!

FINI !Grava arquivos

!SOLVER

/SOLU

! Restricoes

!

NSEL,S,LOC,Z,0

D,ALL,ALL,0 ! Engastado em uma extremidade

!

! Carregamento

!

! (Carga distribuida de 40 kgf/cm no topo)

! (areas: 26, 30 e 33)

ASEL,S,AREA,,26,30 ! seleciona 26 e 30

ASEL,A,AREA,,33 ! adciona ao grupo a area 33

NSLA,S,1

SF,ALL,PRES,40 ! pressao nas areas selecionadas

/PSF,PRES,NORM,2 ! plota simbolo de pressao na superficie

ALLSEL ! seleciona todas as entidades

!

! Transporta B.C. para o mesh

!

sbctran

!

! Visualiza

!

EPLOT

SOLVE

!

FINI !Abandona SOLVER

! Pos-Processamento

!

/POST1

SET,1

/VIEW,1,1,1,1,1

/TYPE,1,2

PLDISP,1

PLNS,S,EQV

FINI

Page 197: Apostila MEF

184 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

C.10 Simetria em Volumes

Objetivos : Pode-se explorar a simetria do problema em casos espaciais. Como exemplo,toma-se o modelo discreto mostrado nas Figura C.10. Neste caso, gera-se a geometriae a malha apenas para um quarto do modelo e utiliza-se a simetria de volumes paracopiar nao apenas as entidades geometricas, assim como nos e elementos da malha.

Constantes do Problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21 × 105 Kgf/cm2;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3;

Figura C.10: Disco gerado utilizando a simetria do problema.

/PREP7

/TITLE,Disco - Geracao Automatica - Volumes - Solid95

/PBC,ALL,2

/PNUM,KPOI,1

/PNUM,LINE,1

/PNUM,AREA,1

/PNUM,VOLU,1

!

! Material

!

MP,EX,1,21e5 ! E = 21 x 10^5 kgf/cm^2

MP,NUXY,1,0.3 ! Coeficiente de Poisson

!

! Tipo Elemento

!

ET,1,solid95 ! Elemento Solid95: 3D 20 node Isopara. Solid

Page 198: Apostila MEF

C.10. SIMETRIA EM VOLUMES 185

!

! Sistema Cilindrico

!

CSYS,1

!

! Kpoints

!

K,1,1,0

K,2,1,90

K,3,10,0

K,4,13,0

K,5,10,90

K,6,13,90

KPLOT

!

! Linhas para o Vdrag (numero 1 e 2)

!

K,7,1,0,2

K,8,1,0,4

L,1,7 ! linha 1

L,7,8 ! linha 2

/VIEW,1,1,1,1

KPLOT

!

! Areas

!

A,1,3,5,2

A,3,4,6,5

APLOT

!

! Vdrag (gera volume por extrusao de areas)

!

VDRAG,1,0,0,0,0,0,1 ! area 1 ao longo da linha 1

VDRAG,2,0,0,0,0,0,1,2 ! area 2 - linhas 1 e 2

!

! Ajusta o modelo gerado

!

NUMM,ALL ! executa um merge das entidades

!

! Visualizacao

!

/PNUM,DEFAULT ! volta numeracao ao ’default’

/VIEW,1,-1,1,1 ! Observador em (1,1,1)

/TYPE,1,2 ! Hidden Lines (centroidal sort)

vplot

!

! Controle/Geracao Automatica

!

ESIZE,,3

VMESH,ALL

!

! Executa a simetria em x e y (cartesianos)

!

CSYS,0

VSYMM,1,all

VSYMM,2,all

CSYS,1

!

! Coerencia do modelo/malha

Page 199: Apostila MEF

186 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

!

NUMM,ALL

!

!

SAVE

!SOLVER

/SOLU

! Restricoes

!

NSEL,S,LOC,X,1

D,ALL,ALL,0 ! Engastado em uma extremidade

ALLSEL,ALL ! Seleciona todas entidades

!

! Carregamento

!

NSEL,S,LOC,Z,4 ! Seleciona nos na posicao z=4

!

SF,ALL,PRES,40 ! Pressao de 40 kgf/cm^2 em z=4

/PSF,PRES,NORM,2 ! Plota simbolo de pressao como seta

ALLSEL ! Seleciona todas as entidades

!

! Visualiza

!

EPLOT

SOLVE

FINI !Abandona SOLVER

!

!POS-PROCESSADOR

/POST1

/VIEW,1,1,1,1

PLDI,1 !Plot da geometria deformada

PRDIS,ALL !Imprime deslocamentos e rotacoes

PLNSOL,S,EQV !Plota tensao equivalente de von Mises

PLNSOL,S,X !Plota tensao na direcao x

PLNSOL,S,Y !Plota tensao na direcao y

PLNSOL,S,XY !Plota tensao de cisalhamento

PRNSOL,S,COMP !Imprime tensoes

FINI

C.11 Estrutura modelada por Elementos de Placa

Objetivos : ilustrar a aplicacao do elemento de placa (SHELL63), para a geracao damalha triangular numa estrutura espacial. A geometria e gerada pela rotacao delinhas em torno de um eixo de simetria. Utiliza-se o comando ldvs, permitindo

refinar a malha numa regi~ao da estrutura. Comandos de selec~ao s~ao utilizados

para a aplicac~ao das restric~oes e carregamentos.

Constantes do problema :

• Modulo de elasticidade: E = 21× 105 Kgf/cm2 = 21 × 109 Kgf/m2;

• Coeficiente de Poisson: µ = 0, 3.

Page 200: Apostila MEF

C.11. ESTRUTURA MODELADA POR ELEMENTOS DE PLACA 187

Figura C.11: Estrututa modelada por elementos de placa.

! Estrutura tridimensional com elementos de casca

!

! PREPROCESSAMENTO

!

/PREP7

/TITLE,Estrutura tridimensional com casca

!

! Configuracao

!

/VIEW,1,1,1,1

/TYPE,1,2

/PBC,ALL,2

!

! Tipos de Elementos/Constantes/Materiais

!

ET,1,shell63 ! shell63=ELASTIC QUADRILATERAL SHELL

R,1,3.15

MP,EX,1,21e6 ! E aco (kfg/cm2)

MP,NUXY,1,0.3 ! coef. poisson aco=0.3

!

! Pontos

!

! keypoints do modelo

K,1,40

K,2,20

K,3,20,100

/PNUM,KPOI,1

KPLOT

!

! keypoints usados na rotacao (veja arotate logo abaixo)

Page 201: Apostila MEF

188 APENDICE C. EXEMPLOS ANALISADOS PELO ANSYS

K,4,0

K,5,0,100

KPLOT

/PNUM,KPOI

!

! Linhas

!

L,1,2

L,2,3

LPLOT

!

! Areas

!

AROTATE,1,2,0,0,0,0,4,5,360,8

APLOT

!

! Seleciona as linhas do topo

!

KSEL,S,LOC,y,100 ! seleciona os pontos

KPLOT

LSLK,S,1 ! seleciona as linhas correspondentes

LPLOT

!

! Controla a geracao para 2 divisoes por linha

!

LDIV,ALL,0,2,2,0

LPLOT

!

! Reseleciona todos os pontos e linhas

ALLSEL

!

SAVE

!

! Gera a malha

!

MSHAPE,1,2D

ESIZE,15 ! Tamanho maximo do elemento=30cm (triangulos)

AMESH,ALL ! gera malha em todas as areas

NUMMRG,ALL ! elimina redundancias

EPLOT

!

! Grava arquivos e sai do PREP7

!

FINI

!

! SOLUCAO

/SOLU

! Aplica a pressao na base

!

ASEL,S,LOC,Y,0 !Seleciona regiao (areas) de restricao

APLOT

SFA,ALL,1,PRES,-100 !Aplica pressao na area selecionada

/PSF,PRES,NORM,2 !Plota simbolo de pressao na superficie

! Reseleciona tudo novamente

!

ALLSEL

! Transfere solido->malha

SBCTRAN

!

Page 202: Apostila MEF

C.11. ESTRUTURA MODELADA POR ELEMENTOS DE PLACA 189

!

! Aplica as restricoes no topo

NSEL,S,LOC,Y,100

NLIS

NPLOT

D,ALL,ALL

ALLSEL ! reseleciona todos nos

NPLOT

!

! Visualiza modelo !

/VIEW,1,1,-1,1

EPLOT

SOLVE

!

FINI

!

! POS-PROCESSAMENTO

!

/POST1

SET

/VIEW,1,1,1,1

PLDISP,1 ! plota a geometria deformada

PLNS,S,EQV ! plota a tensao equivalente de von-Mises

FINI