7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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Introduccin
Este presente trabajo se trata del mtodo de las lneas de influencia, para
establecer condiciones cuando actan una carga viva o variable de tal manera que
produzca efectos mximos de corte, flexin, reacciones y deflexiones tanto para
cargas puntuales como para cargas distribuidas.
La lnea de influencia es un grfico que define la variacin de un esfuerzo,
reaccin o deflexin en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una
carga unitaria sobre ella.
Este mtodo se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes gras,
bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas
mviles.
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Lneas de Influencia
Considerando la forma en que actan las cargas en una estructura vemos que se
pueden clasificar en cargas permanentes, cargas no permanentes o vivas y cargas
de construccin. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estar
presente en la vida til de la estructura y producir sobre esta efectos constantes;
la carga viva o no permanente flucta tanto en posicin sobre la estructura como
en su duracin produciendo efectos variables en ella. Podramos concluir, de una
manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura
produciramos los efectos mximos en ella, esta afirmacin no es cierta y requiere
de un estudio ms complejo.
Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con
voladizo a un lado. Si la carga viva acta sobre toda la viga, producir un
momento positivo en la luz menor que si acta solo en el tramo apoyado; en este
ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para
que produzca los efectos mximos y as cuando diseemos no corramos el peligro
de que nuestra estructura falle.
El concepto de lnea de influencia, fue utilizada por primera vez por el profesor E.Winkler de Berln, en 1876.
Estas nos muestran grficamente la forma en que el movimiento de una carga
unitaria a lo largo de una estructura, influye en cierto efecto mecnico en la misma.
Entre los efectos que pueden considerarse estn las reacciones, fuerzas
cortantes, momentos flexionantes, fuerzas axiales, deflexiones, etc.
La lnea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos delinealidad, proporcionalidad y superposicin se puede determinar la funcin
especfica simplemente multiplicando el valor de la lnea de influencia por el valor
de la carga real.
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La lnea de influencia puede definirse como una grfica cuyas ordenadas
representan la magnitud y el carcter o sentido de cierta funcin o efecto en una
estructura, a medida que una carga unitaria mvil se desplaza a lo largo de la
misma. Cada ordenada del diagrama define el valor de la funcin cuando la carga
mvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada.
Las lneas de influencia se utilizan primordialmente para calcular ciertas fuerzas y
determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas crticas o mximas.
El procedimiento para dibujar los diagramas de la lnea de influencia consiste
simplemente en la graficacin de los valores de la funcin en estudio, como
ordenadas correspondientes a diversas posiciones de la carga unitaria a lo largo
del claro y finalmente en unir por lneas los extremos de dichas coordenadas.
Por lo tanto se debe seguir mentalmente a la carga en su movimiento a lo largo del
claro, tratando de imaginar que sucede cuando se desplaza al efecto que se
considera. El anlisis por lneas de influencia puede aumentar inmejorablemente el
conocimiento de lo que sucede a una estructura en diferentes condiciones de
carga.
Una lnea de influencia representa la variacin de la magnitud de la reaccin,
fuerza cortante, del momento flector o de la deflexin de un punto especificado de
un miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre el mismo. Una vez
construida la lnea de influencia, puede verse claramente donde puede colocarse
una carga viva sobre la estructura par que se genere la mxima influencia en el
punto especificado. Adems la magnitud de la reaccin, fuerza cortante, momento
flector o deflexin asociada en el punto puede entonces calcularse a partir de las
ordenadas del diagrama de la lnea de influencia.
Este mtodo se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes gras,
bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas
mviles.
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En el caso de la figura, diremos que Mf(A) es la Lnea de Influencia del momento
flector en A, si se cumple que la ordenada i representa el valor del momento
flector en A para una carga P = 1 aplicada en el punto i. Mf (A) = i * (escala de L.
de I.) para P = 1 aplicada en i Si P 1 se cumplir: Mf (A) = P * i * (escala de L.
de I.) Esto mismo puede aplicarse para otros estados de carga y otras
solicitaciones, reacciones, deformaciones, etc.
Para su construccin se define el punto de estudio sobre la estructura, se
comienza a variar la posicin de la carga puntual y se encuentra el valor del
esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del
valor de la funcin vs la posicin de la carga y despus se grfica. Otro mtodo es
encontrando la ecuacin de la lnea de influencia y graficando.
Construyamos la lnea de influencia para la reaccin en A de la siguiente viga:
Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se
calcula RA.
Otro mtodo es encontrando la ecuacin de la variacin de la reaccin en A amedida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reaccin en
funcin de la posicin x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o
encontrando la reaccin por proporciones tenemos:
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Notemos que la ecuacin tiene pendiente negativa y con una variacin lineal para
RA.
Para obtener el valor de la reaccin en A para cualquier carga P, se multiplica la
ordenada de la lnea de influencia por el valor de la carga.
Si L=8m, P=5ton localizada a 3m del punto A el valor de la reaccin sera:
Lnea de influencia para el cortante en A: Se determina la variacin del cortante en
A por el mtodo de las secciones:
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En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las
reacciones en funcin de la posicin x y despus se aplica el mtodo de las
secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la lnea de
influencia:
Haciendo equilibrio en la seccin y localizando la carga en x>0 tenemos:
En este caso concluimos que la lnea de influencia del cortante en A es igual a la
de la reaccin en A
Note que la lnea de influencia se hacer para la convencin positiva de los
esfuerzos internos.
Lnea de influencia para la reaccin en B:
Lnea de influencia para el momento en A:
Para cualquier posicin de la carga unitaria el momento en A ser cero.
Lnea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2
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Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:
Para xL/2 se toma la seccin A-C para equilibrio:
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Lnea de influencia para el cortante en C:
Momento en C:
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Como hacer las lneas de influencia de una forma rpida?
Principio de Muller-Breslau
La de la lnea de influencia en un punto dado para la cortante o momento estadada por la deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto
determinado, retirando la capacidad de la viga para aguantar esa funcin.
Lnea de influencia para reaccin en A
Rodillo interno
Articulacin
Las ordenadas de la lnea de influencia de un esfuerzo cualquiera de una
estructura son proporcionales a las de la curva de deformacin que se obtiene al
suprimir la restriccin correspondiente a ese esfuerzo y aplicando en ese lugar el
esfuerzo especificado.
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Lneas de influencia en armaduras
Se usa para determinar fuerzas axiales mximas en un miembro determinado.
La forma sera expresando la fuerza en un miembro determinado en funcin de lacarga unitaria en cada uno de los nudos, otra es en funcin de la posicin de x de
la carga unitaria.
Pasos:
1. Expresar reacciones en funcin de la posicin de carga unitaria.
2. Dividir la armadura en regiones antes y despus del panel que contiene la
barra a analizar.3. Expresar la fuerza del miembro en funcin de las reacciones por el mtodo
de las secciones en las regiones no pertenecientes al panel.
4. Conectar las lneas de influencia en la regin de la barra.
LINEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES.
Consideramos una viga simplemente apoyada, como la mostrada en la figura 1.A;
procedemos a indicar el proceso de construccin de la lnea de influencia de la
reaccin en el apoyo M. Dispongamos con tal fin una carga unitaria en el apoyo M
de dicha viga (figura 1.B), notaremos entonces que en dicho punto se obtendr
una reaccin de igual valor y direccin, pero de sentido opuesto. Por otro lado, de
aplicarse esta carga en el apoyo N, la reaccin ocasionada en el apoyo M seria
cero. Con estos valores extremos, dispongamos una diagrama, tomando como
base una longitud L; coloquemos entonces los valores hallados y tracemos una
lnea recta uniendo los dos valores extremos, tal como se muestra en la figura 1C.
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Notemos que la lnea de influencia para vigas estticamente determinadas, se
compone de tramos rectos debido a que las reacciones son siempre lineales con
respecto a la posicin de la carga concentrada. La interpretacin del diagrama
obtenido, ser como sigue: Si colocamos una carga igual a la unidad en el punto
E de la viga mostrada, la reaccin a obtenerse en el apoyo M de ella, ser igual a
la longitud y medida sobre el diagrama de lneas de influencia mostrado
Consideramos ahora, que sobre la viga acta una carga P a una distancia x del
apoyo N de la viga simplemente apoyada de longitud L. (figura 2.A)Las lneas de
influencia para las reacciones en los apoyos M y N estn indicadas por los
diagramas mostradas en las figuras 2.B y 2.C respectivamente.
Cuando la fuerza P se halla a la izquierda de la seccin 2, el esfuerzo de corte endicha seccin es negativo y numricamente igual a la reaccin B que se producira
en el apoyo derecho N.
http://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKSkuh_r7I/AAAAAAAAAPQ/hSV6PLLfGC0/s1600-h/Dibujo7.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKPQlykQgI/AAAAAAAAAOg/F9dt9aUJ6Rw/s1600-h/1+analisis.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKSkuh_r7I/AAAAAAAAAPQ/hSV6PLLfGC0/s1600-h/Dibujo7.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKPQlykQgI/AAAAAAAAAOg/F9dt9aUJ6Rw/s1600-h/1+analisis.jpg7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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En la figura 2.B podemos por semejanza de tringulos plantear: Y= X/L Por ello la
reaccin en el apoyo M, debida a la carga P, estar dada como: RM = Py
=P(X/L)De manera similar, encontraremos para el otro apoyo que el valor de
reaccin es: RN = Py = P(L X)/L
De aumentar la cantidad de cargas puntuales dispuestas sobre la viga
simplemente apoyada (figura 3.A) tendremos que la reaccin en el apoyo M
debida a tales cargas, estar indicada como: RM = PA + PB + SQ Expresin en la
cual A, B, C son coeficientes numricamente menores que la unidad, calculables
por semejanza de tringulos o si no directamente como: A = a/LB = b/LC = c/LA
partir de todo lo expuesto, estamos en condiciones de generalizar los resultadosobtenidos como: R = Pi Yi Expresin en la cual podemos indicar: R = Reaccin
en uno de los apoyos de la viga simplemente apoyada. Pi = Carga aplicada sobre
un punto cualquiera de la viga. Yi = Coeficiente correspondiente a la carga dada,
obtenido del diagrama de lneas de influencia correspondiente. El valor numrico
del coeficiente puede calcularse.
http://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQibcF66I/AAAAAAAAAOw/o2d4IzmdmW0/s1600-h/Dibujo3.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQH1Z_DVI/AAAAAAAAAOo/4Syc8438W1A/s1600-h/2+analisis.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQibcF66I/AAAAAAAAAOw/o2d4IzmdmW0/s1600-h/Dibujo3.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQH1Z_DVI/AAAAAAAAAOo/4Syc8438W1A/s1600-h/2+analisis.jpg7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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GRAFICAMENTE: Realizando el diagrama de lneas de influencia a una escala
conveniente. De tal nodo que la lectura puede efectuarse por medicin directa en
el grfico. Se entiende como el cociente entre la distancia desde el punto de
aplicacin de la fuerza puntual considerada al otro apoyo y la longitud de la vida
simplemente apoyada. Este coeficiente de influencia puede ser interpretado
numricamente, como la reaccin que ocasionara en el apoyo considerado una
carga unitaria en lugar de la carga P.
LINEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES.
METODO 1:
Notemos que a partir de esta seccin y hacia los apoyos A y B, se han
determinado dos longitudes que denominaremos M y N. Rotemos entonces dichas
longitudesapoyndonos en A y B- hasta que se encuentren en posicin vertical;
hecho esto; unamos los extremos con los apoyos opuestos. El diagrama de
influencia de los momentos flectores en la seccin 2, estar indicado por la zona
determinada por la interseccin de las lneas mencionadas anteriormente.
http://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKRA07P-LI/AAAAAAAAAO4/cFIo1uvF4_I/s1600-h/Dibujo4.JPG7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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METODO 2:
Tracemos el diagrama de la lnea de influencia para la reaccin en uno de los
apoyos de la viga considerada; en la figura 9.B, mostramos la correspondiente al
apoyo A.A continuacin, determinamos la reaccin que ocasionara en A, el
colocar una carga unitaria puntual en la seccin a analizar; en la figura 9.A;
considerando una seccin 2, obtendremos que la reaccin mencionada est
indicada por el segmento de longitud G. Conocido el valor de la reaccin en el
apoyo, calcularemos el mximo momento en la seccin 2 multiplicando dicho valor
G por la magnitud de palanca M. Con el valor hallado, trazamos una vertical por la
seccin que se est estudiando, midiendo sobre ella el valor del momento
calculado; y a partir del extremo, trazamos lneas rectas hasta los extremos. El
diagrama as obtenido (figura 9.C), ser la lnea de influencia de momentos
flectores para la seccin 2.Nota 1: Por ser una viga de un solo tramo, simplemente
apoyada, las cargas que se coloquen sobre ella, ocasionaran en la seccin
momentos positivos. Aceptaremos por ello, como convencin, que los momentos
positivos se graficaran debajo de la lnea horizontal de referencia; en caso
contrario de ser el momento negativo- graficaremos sobre la lnea horizontal de
referencia.
http://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKWZ2R2S-I/AAAAAAAAAPo/U7M71mTdfwk/s1600-h/Dibujo5.JPG7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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Nota 2: Considerando la viga simplemente apoyada de la figura 10.A y su
diagrama de lneas de influencia para la seccin 2 (figura 10.B) notaremos:
C = Momento en la seccin 2, cuando se coloca una carga unitaria en la seccin
1.
D = Momento en la seccin 2, cuando se coloca una carga unitaria en la seccin
2.
E = Momento en la seccin 2, cuando la carga unitaria se coloca en la seccin 3.
F = Momento en la seccin 2, cuando la carga unitaria se encuentra en la seccin
4.
LINEAS DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE.
Consideramos una viga simplemente apoyada MN, en la cual deseamos conocer
los esfuerzos de corte que se originaran en una seccin tal como 2, bajo la accin
de una carga P. Cuando la fuerza P se halla a la derecha de la seccin 2, el
esfuerzo de corte en dicha seccin es positivo y numricamente igual a la reaccin
A que se producir en el apoyo izquierdo M.
http://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKR4TtpEmI/AAAAAAAAAPI/wnN66VVOqqk/s1600-h/Dibujo6.JPG7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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Como notamos, el esfuerzo de corte depender en unos casos de la reaccin en
el apoyo derecho y en otros del que se produzca en el izquierdo, estando ello en
funcin de la posicin de la carga respecto a la seccin sobre el cual se calcula el
esfuerzo de corte, se obtendr tomando las zonas sombreadas de los diagramas
de influencia de las reacciones en sus apoyos, tal como se muestra en la figura
19B.
http://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKTdOp9ohI/AAAAAAAAAPg/TzhxL3BT8B0/s1600-h/Dibujo9.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKS9FeGqPI/AAAAAAAAAPY/BTeay-MDHdA/s1600-h/Dibujo8.JPGhttp://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKTdOp9ohI/AAAAAAAAAPg/TzhxL3BT8B0/s1600-h/Dibujo9.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKS9FeGqPI/AAAAAAAAAPY/BTeay-MDHdA/s1600-h/Dibujo8.JPG7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia
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Conclusin
El estudio de las lneas de influencia es de gran importancia para las estructuras,
ya que con la aplicacin de este mtodo de clculo podremos determinar las
condiciones ms desfavorables de dicha estructura que generalmente presentan
un comportamiento lineal y soportan cargas mviles.
Gracias a la aplicacin del mtodo a la estructura nos permitir conocer la
variacin de las reacciones, momento flector y fuerza cortante que se genera en la
estructura permitindonos conocer el punto exacto donde se genera su
concentracin mxima.
Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas.
La posibilidad de cargas mviles implica la necesidad de obtener:
a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga para distintos
puntos de aplicacin de la misma.
b) El estado ms desfavorable de aplicacin de la carga, que trae aparejada las
mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluadauna seccin dada
Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la
viga, o por lo menos, en varias secciones caractersticas segn las circunstancias.
El trazado de diagramas o Lneas de Influencia nos permite una adecuada
respuesta a las dos necesidades y su utilizacin es casi imprescindible en el caso
de estudios de puentes, puentes gra, etc., donde las cargas mviles tienen unacierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes.
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Bibliografa
http://ahugomiguele.blogspot.com/2008/10/lineas-de-influencia.html
https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&b
iw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=im
g.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.
1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_
http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%
ADneas_de_influencia.htm
http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdf
http://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-
trabajo.html
http://ahugomiguele.blogspot.com/2008/10/lineas-de-influencia.htmlhttps://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdfhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdfhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttps://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_http://ahugomiguele.blogspot.com/2008/10/lineas-de-influencia.htmlTop Related