Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala

Eni Sumarminingsih Jurusan Matematika Fakultas MIPA UNIVERSITAS BRAWIJAYA

PENDAHULUANSecara umum masalah pemrograman nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut:Tentukan nilai variabel keputusan untuk permasalahanmax (atau min) dengan kendala

di mana f dan g adalah fungsi nonlinear

PENDAHULUANPemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah :max (atau min)

1.Tentukan semua maksimum (minimum) lokal2.Tentukan nilai f(x) untuk semua maksimum (minimum) lokal.3.Nilai f(x) terbesar (terkecil) merupakan solusi optimal

Mencari Ekstremum (Maksimum atau Minimum) Lokal Terdapat tiga kasus di mana calon titik optimal dapat ditemukan, yaitu Titik x* yang terletak pada [a,b] bila f(x*) = 0Titik x* ketika f(x*) tidak didefinisikan.Titik batas a dan b.Masalah akan muncul bila f(x*) = 0 sulit dievaluasi

Algoritma Golden Section Search (kasus maksimisasi)Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a,b], artinya jika x* adalah titik optimal pada [a,b] maka f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval [a,x*]f(x) adalah fungsi monoton turun pada interval [x*,b]

Algoritma Golden Section Search

Konsep Dasar :Penyempitan selanga x1 x3 x* x4 x2 b

Algoritma Golden Section SearchPanduan mempersempit selangJika ,persempit selang menjadi

Jika ,persempit selang menjadi [ ]Jika ,persempit selang menjadi [ ]Selang [ ] atau di mana x* mungkin berada dinamakan selang ketidakpastian (SK)

Algoritma Golden Section SearchAlgoritma :Tetapkan = Interval (selang ketidakpastian) pada iterasi k. selang ketidakpastian untuk iterasi 0 adalah [a,b]. Kemudian evaluasi dan di mana :Dengan = panjang selang ketidakpastian pada iterasi k. Untuk iterasi 0 , = |a b|. r adalah akar dari persamaan atau r = 0.618. a = batas bawah selang ketidakpastian b = batas atas selang ketidakpastian.

Algoritma Golden Section Search2. Tentukan Selang Ketidakpastian baru berdasar panduan yang telah dijelaskan sebelumnya.3. Kembali ke langkah 1 sampai didapat yang cukup kecil

Algoritma Golden Section SearchAlasan dipilihnya r yang merupakan akar dari persamaan adalah masalah efisiensi.BuktiJika , selang dipersempit menjadi sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari

Algoritma Golden Section SearchJika , selang dipersempit menjadi sehingga x3 dan x4 dapat diperoleh dari

Algoritma Golden Section Searchkeistimewaan lainnya adalah dapat diketahuinya banyak iterasi yang akan dilakukan bila diketahui nilai yang dikehendaki

Algoritma Golden Section Search

Iterasi akan berhenti bila

karena nilai ln r adalah negatif maka didapat

Contoh aplikasi Maxs.t -1 x 3Iterasi 0 = [-1,3] = |-1 3 | = 4 = 3 0.618 (4) = 0.528 = -1 + 0.618(4) = 1.472= [-1, 1.472]

Contoh aplikasiIterasi 1 = [-1, 1.472] =| -1 1.472 | = 2.472 = 1.472- 0.618(2.472) = -0.0557 = -1 + 0.618(2.472) = 0.5277

Penutup

Algoritma Golden Section Search dapat digunakan untuk mencari solusi optimal pada Pemrograman Nonlinear Tanpa Kendala dengan Satu Peubah. Algoritma ini efisien

TERIMA KASIH

*****************