Ali KarimpourAssociate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
ADVANCEDADVANCED CONTROL CONTROL
Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.I thank my students , Mahhmodi and Samadi, for their help in making slides of this lecture..
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2
Lecture 7
State feedback and state estimators
Topics to be covered include: Pole placement with state feedback. Tracking and regulator problem Robust tracking and disturbance rejection State estimation Reduced-Dimensional state estimator Feedback from estimated states
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
3
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
مفهوم فیدبک حالت•
امکان تعیین محل قطبها •
تنظیم خروجی بص,ورت مقاوم)ردیابی(• تخمین حالت•
تنظیم دقیق خروجی)ردیابی(•
چگونگی تخمین حالت•
تخمین حالت با مرتبه کاهش یافته •
روشهای تعیین محل قطب•
قضیه جداسازی•
• State feedback idea
• Pole placement possibility
• Robust output regulating
• State estimation
• Output regulating
• State estimation techniques
• Reduced order state estimation
• Pole placement techniques
• Separation theorem
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
4
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
ducxybuAxx
x x
c
A
u
y
b
d
k
State feedback ? kxru
vector1nconstantn 1
r
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
5
ducxybuAxx
What are the eigenvalues?
0A-sI of roots
Let u=r-kx where k is an 1×n vector
)()(
kxrdcxykxrbAxx
drxdkcybrxbkAx
)()(
0bkA-sI of roots New eigenvalues?
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
6
1-7قضیه کنترل پذیر است اگر و فقط اگر 1n با بعد k برای هر بردار (A-bk, b)زوج کنترل پذیر باشد.(A, b)زوج
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
ducxybuAxx
drxdkcybrxbkAx
)()(
باید نشان دهیم کنترل پذیری دو سیستم زیر معادل است.اثبات:
bbkAbbkAbbkAbC n
f
12 )(...)()(
1000100
)(10)()(1 2
32
kbbbkAkkbbbkAkbbkAkkb
bAbAAbbC f
C)()( CC
f
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
7
xy
uxx
]21[10
1321
xkkru ][ 21
State feedback xy
rxkk
x
]21[10
1321
21
0211
20
2
ff Ck
C The state feedback equation is controllable for any k.
21
21
21042427
21kkO
kkO ff
Observability depends on k.
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
1-7مثال حالت سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر مقابل را در نظر بگیرید.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
8
ducxybuAxx
Is it possible to assign the eigenvalues arbitrarily?
drxdkcybrxbkAx
)()(
state feedback
kxru )(I
کنترل پذیر باشد، (I)-بعدی nاگر معادالت حالت :2-7قضیه می 1nیک بردار ثابت k ، که u=r-kxآنگاه با فیدبک حالت
را بطور دلخواه تعیین نمود A-bkباشد، می توان مقادیر ویژه البته باید توجه نمود که مقادیر ویژه مختلط باید بصورت
مزدوج انتخاب شود.
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
اثبات در ادامه خواهد آمد.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
9
آیا می توان مقادیر ویژه سیستم زیر را : 2-7مثال بطور دلخواه جابجا کرد؟
uxx
021
7101401
800
132028121601
2bAAbbC
21132028121601
C System is controllable
.لذا می توان مقادیر ویژه را در مکانهای دلخواه قرار داد
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
10
s=2 is a fixed mode.
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در نقاط : 3-7مثال حالت دلخواه قرار دهید.
s=2 is not controllable.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
11
uxx
021
300020001
System is not controllableIمی توان مقادیر ویژه را در مکانهای ( آیا
واضح است که دلخواه قرار داد؟ خیر
IIواضح است که قرار داد؟4, -3, -2- می توان مقادیر ویژه را در ( آیابله
III3±2, -13- می توان مقادیر ویژه را در ( آیاj واضح است که قرار داد؟خیر
IV3+2, -3- می توان مقادیر ویژه را در ( آیاj, -2-6j قرار داد؟ واضح است که
خیر
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 4-7مثال حالت
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
12
1- Direct method. 1روش مستقیم -
2- Use of similarity transformation. 2 استفاده از تبدیالت -همانندی
3- Use of Lyapunov Equation 3 استفاده از معادله -لیاپانوف
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
13
bkA-sI:Find
- روش مستقیم تعیین محل قطبها1
= Desired characteristic equation
Then determine k1, k2, … , kn from above equation
ducxybuAxx
xkkkru n ]...[Let 21
Polynomial ofDegree n
Polynomial ofDegree n
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 201314
buAxx Pxw uw
aaaa
w
n
10..00
...1...000
...............................................0...1000...010
1210
?ˆˆˆ kbA
11221100ˆ...ˆˆˆ
1...000...............................................................................0...1000...010
nn kakakaka
012
21
1 ... :is system ofequation sticCharacteri asasasas nn
nn
n
012
21
1 ... :isequation sticcharacteri Desired bsbsbsbs nn
nn
n
2b 1 nb1b0b
1]100[ Cq 1 nT qAqAqP
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت )اثبات - استفاده از تبدیالت همانندی در تعیین محل قطبها 2 (2-7قضیه
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
15
11221100ˆ...ˆˆˆ
1...000...............................................................................0...1000...010
ˆˆˆ
nn kakakaka
kbA
2b 1 nb1b0b
11221100 ....ˆ nn ababababk
wkru ˆ Pkk ˆPxkr ˆ kxr
x x
c
A
u
y
b
d
Pw
k
k
r
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
16
uxx
11
1011
11
01C
01C
System is controllable
So it is possible to assign the poles on -2±j .
][11
1011
10 kkbkA
10
10
111
kkkk
10
10
111
kskkks
bkAsI
1102 1)( kskks
)2)(2(1)( 1102 jsjskskks 542 ss ]610[ k
روش :اول
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
j±2-در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در : 5-7مثال حالت قرار دهید.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
17
01CSystem is controllable
So it is possible to assign the poles on -2±j .
qAq
P 1]10[ Cq
0111
P
]46[]04)1(5[ˆ1100 ababk
System characteristic equation: s2+0s-1
Desired characteristic equation: (s+2+j)(s+2-j)=s2+4s+5
]610[ˆ Pkk
uxx
11
1011
11
01C
place(A,b,[-2+i -2-i])
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت
روش :دوم
j±2-در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در : 5-7مثال قرار دهید.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2) Select an arbitrary (n-1)1 vector such that is observable.)k(F,k
18
Consider controllable (A , b). Find a real k such that (A-bk) has any set of desired eigenvalues that contains no eigenvalues of A.
1) Select an nn orbitrary matrix F that has the set of desired eigenvalues.
3) Solve the unique T in the Lyapunov equation .kbTFAT
4) Compute the feedback gain .1 Tkk
n1
Theorem 7-3: If A and F have no eigenvalues in common, then the unique solution T of is nonsingular if and only if (A , b) is controllable and is observable.
kbTFAT ),( kF
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت - استفاده از معادله لیاپانوف در تعیین محل قطبها3
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
19
Selection of F and k
22
22
11
11
1
0 0 0
000
0000000000
F
If the desired eigenvalues are all distinct, we can use the modal form.
If n=5 and the five distinct desired eigenvalues are selected as
22111, jandj , then we can select F as
For example
For this F, if Has at least one nonzero entry associate with each diagonal block such as:
k]11111[],10011[,]01011[ korkk
Then is observable.),( kF
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
حالت - استفاده از معادله لیاپانوف در تعیین محل قطبها3
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
20
xy
uxx
]0001[2
010
0500100001000010
System is controllable
We select F in modal form as
5.15.0005.05.100
00110011
F ]0101[k,
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0];b=[0;1;0;-2];F=[-1 1 0 0;-1 -1 0 0;0 0 -1.5 0.5;0 0 -0.5 -1.5];k_bar=[1 0 1 0];T=lyap(A,-F,-b*k_bar)k=k_bar*inv(T)
010021002002012010
C 036 C
Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک
-در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در : 6-7مثال حالت 1.5±0.5j 1- و±j.قرار دهید
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
21
Tracking and regulator problemsمساله تنظیم و ردیابی
در صورت اعمال پله آیا سیستم در خروجی پله را دنبال خواهد کرد؟خطای سیستم به ورودی پله چند است؟
43
2
2
3
1
4
43
2
2
3
1
)()()(
ssss
ssssrsysg
فرض کنید تابع انتقال عبارتست از:
4
4)0()()(
gtystepunittuIft
پاسخ به ورودی پله عبارتست از:
برای رفع مشکل:)()()( tkxtprtu
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
22
Tracking and regulator problemsمساله تنظیم و ردیابی
در صورت استفاده از:
)()()(
)(43
2
2
3
1
4
43
2
2
3
1 spgssss
ssspsrsy
sg f
f
تابع انتقال عبارتست از:
)0()()(4
4 pgptystepunittuIft
پاسخ به ورودی پله عبارتست از:
حال:
)()()( tkxtprtu
)0(1
gp
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
23
Tracking and regulator problemsمساله تنظیم و ردیابی
خالصه: را بگونه ای u=r-kx کنترل پذیر باشد میتوان فیدبک حالت (A, b)اگر
انتخاب کرد که در نقاط دلخواه قرار گرفته و خروجی در مقدار (A-bk)مقادیر ویژه
خاصی تنظیم شود.
هیچ صفری c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اگر (A, b)و عالوه بر آن اگر در مبدا نداشته
را بگونه pباشد آنگاه عالوه بر فیدبک حالت می توان بهره پیش خور ای تعیین کرد که سیستم
منتجه هر مرجع پله ای را بطور مجانبی دنبال کند.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
24
)(0101
)(2111
)(
txy
utxtx
5714k
System is controllable
xru 5714
)(0101
)(215613
)(
txy
rtxtx
30112
)()(
2
ss
ssrsy 1
302
)()(
0
s
srsy
Tracking and regulator problemsمساله تنظیم و ردیابی
در صورت امکان قطب های در سیستم مقابل : 7-7مثال قرار دهید.6,-5-سیستم را در
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
25
xpru 5714
)(010
)(215613
)(
txy
rp
txtx
1302
)()(
0
psrsy
s
3011)2(
)()(
2
ss
spsrsy
15p
Tracking and regulator problemsمساله تنظیم و ردیابی
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
26
x x
c
A
u y
b
k
w
akaxr ax
Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش
cxybwbuAxx
cxryrxa
a
aa
xx
cy
wb
rub
xx
cA
xx
0
010
000
uv
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
27
)1(]0[
010
0
a
a
a
a
xx
cy
wb
rxx
cbkbkA
xx
aa x
xku ][k
cxybwbuAxx
state feedback
Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش
:3-7قضیه هیچ صفری در مبدا c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اگر (A, b)اگر
نداشته باشد آنگاه در می توان u=kx+kaxa( می توان با استفاده از فیدبک حالت1سیستم )
مقادیر ویژه سیستم منتجه را در نقاط دلخواه قرار داد.
a
aa
xx
cy
wb
rub
xx
cA
xx
0
010
000
برای اثبات باید نشان دهیم که سیستم ( A, b)مقابل در صورت کنترل پذیر بودن
کنترل پذیر است.قضیه داده شده را اثبات کنید.: 1-7تمرین
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
28
x x
c
A
v y
b
k
w
akaxr ax
uv
Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش
را در حالت دائم بدون rحال باید نشان داد سیستم زیر ورودی مرجع را دفع می کند.wخطا دنبال و ورودی اغتشاش
c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم فوق با فرض اینکه : 2-7تمرین هیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به ورودی
c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم فوق با فرض اینکه : 3-7تمرین خروجی در حالت دائم صفر می شود.wاغتشاش rهیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به ورودی مرجع
خروجی در حالت پله را دنبال می کند.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
29
)(0001)(0001
)(
0645.1717.00
)(
010004932.04168.1000129.0015164.00017.0
81.90861.30507.0
)(
txty
wtutxtx
معادله حرکت طولی یک هواپیما را می توان در حالت : 8-7مثال کلی به صورت زیر نوشت
که در آن
3
2
1
xx
vx تغییر در سرعتزاویه حملهبرای مدل هواپیمای داده شده یک کنترل انتگرالی طراحی کنید زاویه فراز
که مقادیر ویژه در- قرارگیرد2/5و -2 ،-1/6 ،-1 ، -0/9 .
Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش
uqx
E4 نرخ فراز
انحراف باالبر
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
30
Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش
u(t)پاسخ سیستم در صورت اعمال پله واحد به ورودی
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
31
Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش
و پله u(t)پاسخ سیستم در صورت اعمال همزمان پله واحد به ورودی w(t)واحد به اغتشاش
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
32
)(00
12 Iub
xx
A
AA
x
x c
c
c
c
c
c
c
c
c
xx
kkrkxru ][ 21
Stabilizationپایدارسازی
rb
xx
A
kbAkbA
x
x c
c
c
c
ccc
c
c
002121
)(I
buAxx :معادالت حالت مقابل را در نظر بگیرید
nn
qqqqP ....121
1
هستند که مستقل خطی باشند و C ستون از n1 ستون اول آن هر n1که ناویژه باشد پس Pستون های باقی مانده بگونه ای انتخاب میشوند که
از تبدیل سیستم ابتدایی بصورت زیر در می آید.
قبال دیدیم که اگر سیستم کنترل ناپذیر بوده و رتبه ماتریس کنترل باشد در اینصورت با تبدیل همانندی زیرn1پذیری
اگر مقادیر ویژه ماتریس پایدار باشد سیستم را پایدار پذیر گویند.c
A
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
33
Use of state estimation to use in feedback loopاستفاده از تخمین زن حالت برای استفاده در مسیر
فیدبک
x x
c
A
u
y
b
d
k
r
States are not available!
x Estate Estimator
x
Condition for xx ˆ
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
34
Open loop state estimatorتخمین زن حالت حلقه باز
x x
c
A
u
y
b
xx
A
b
cxybuAxx
)(ˆ)()( txtxte
buxAbuAxxxe
ˆ
)()( tAete
buxAx ˆ
0)( eete At
اشکاالت؟
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
35
Close loop state estimatorتخمین زن حالت حلقه بسته
x x
c
A
u
y
b
x
l
x
A
b
c
)ˆ(ˆˆ xcylbuxAx lybuxlcAx ˆ)(
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
36
Estimation errorخطای تخمین زن
)(ˆ)()( txtxte
)(ˆ)(ˆ cxlbuxlcAbuAxxxe
xlcAxlcA ˆ)()(
)ˆ)(( xxlcA
0)()()()()( eetetelcAte tlcA
در چه صورت می توان مقادیر ویژه را به طور دلخواه جابجا کرد؟
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
37
lecontrollab )c,A( observable c)(A,
kector constant v a selectingby ly aribitrari assigned becan k)c-A( of eigenvalue All lecontrollab )c,A(
kl kc-A)kc-A(
State estimatorتخمین زن حالت
:4-7قضیه را می توان با (A-lc) را در نظر بگیرید. تمام مقادیر ویژه (A, c)زوج
در نقاط مناسب قرار داد اگر و فقط lاستفاده از یک بردار حقیقی رویت پذیر باشد. (A, c)اگر زوج
:4-7اثبات قضیه می دانیم:
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
38
Use of state estimation to use in feedback loopاستفاده از تخمین زن حالت برای استفاده در مسیر
فیدبک
x x
c
A
u
y
b
k
r
x Estate Estimator
x
)ˆ(ˆˆ xccxlbuxAx
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
39
Use of state estimation to use in feedback loopاستفاده از تخمین زن حالت برای استفاده در مسیر
فیدبک
)ˆ(ˆˆ xcylbuxAx
x x
c
A
u
y
b
k
r
x
x
A
b
c
l
Estimator
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
40
Use of state estimation to use in feedback loopاستفاده از تخمین زن حالت برای استفاده در مسیر
فیدبک
lcxxkrbxlcAx
brxbkAxx
)ˆ(ˆ)(ˆ
ˆ
xx
cy
rbb
xx
bklcAlcbkA
xx
ˆ0
ˆ
ex
cy
rb
ex
lcAbkbkA
ex
0
00
خاصیت جداییبکارگیری تخمین زن حالت اثری
بر مقادیر ویژه فیدبک حالت اولیه نمیگذارد.
همچنین مقادیر ویژه تخمین زن حالت با این اتصال تغییری نمی
کند.
state feedback
xkru ˆ
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
41
M
y
v
xy
uxx
001
10000
100002080980010
Use of state estimation to use in feedback loopاستفاده از تخمین زن حالت برای استفاده در مسیر
معادالت فضای حالت سیستم تعلیق مقابل را در نظر بگیرید:: 4-7تمرین فیدبک
10- و 2j±2-الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.قرار گیرد.
ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت طراحی کنید.
د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین زن حالت رسم کنید.
ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
42
Reduced state estimation
با بعد کاهش یافته تخمین زن حالت باشد لذا y=x1در این قسمت فرض می شود که بعنوان مثال حالت را n-1تنها الزم است که تنها حالتهای باقیمانده یعنی
تخمین بزنیم. برای این کار دو روش وجود دارد.
1- Use of similarity transformation. 1 استفاده از تبدیالت -همانندی
2- Use of Lyapunov Equation 2 استفاده از معادله -لیاپانوف
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
43
Reduced state estimation
استفاده از معادله لیاپانوف در تخمین زن حالت با با بعد کاهش یافته تخمین زن حالت بعد کاهش یافته
آلگوریتم تعیین تخمین زن حالت با بعد کاهش یافته را بگونه ای تنظیم کنید که مقادیر F بعدی (n-1(×)n-1)- ماتریس 1
(A,l) را بگونه ای تنظیم کنید که زوج 1(×n-1) با بعد l- بردار 2 باشد. Aویژه آن پایدار دلخواه و متمایز از مقادیر ویژه -n) که دارای بعد TA-FT=lc- جواب منحصر بفرد معادله لیاپانوف 3کنترل پذیر باشد.
1×)n .است را بیابید بعدی زیر:n-1- تخمین حاالت عبارتست از حل معادله 4
zy
Tc
x
lyTbuFzz1
ˆ
مقدار ویژه A و Fوجود معکوس در رابطه فوق در صورت اینکه کنرل پذیر باشد طی (F,l) رویت پذیر و (A,c)مشترک نداشته و
قضیه ای تضمین می شود.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
44
Reduced Dimension estimation errorخطای تخمین زن دارای کاهش مرتبه
TbuTAxlyTbuFzxTze
TAxlcxFz
FTxFze
Fee
است کافی است که نشان دهیم: y=cxحال نظر به اینکه
zy
Tc
x
lyTbuFzz1
ˆ
zy
xTc
ˆ
Txz
Txze پس خطا عبارتست از:
با توجه به رابطه لیاپانوف
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
45
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
1068
1
10240100010
xxx
y
uxxx
xxx
Reduced state estimation
با بعد کاهش یافته تخمین زن حالت معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 5-7تمرین
الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم قرار گیرد.5- و 2j±1- منتجه در
ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.
ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت مرتبه کامل طراحی باشد.10- و 10- و 10-کنید که قطبهای تخمین زن در
د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.زن حالت رسم کنید.
و( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت با بعد کاهش یافته را نیز ”ه“ و ”د“ باشد. قسمت 10- و 10-طراحی کنید که قطبهای تخمین زن در
تکرار کنید.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
46
Exercisesتمرینها
را اثبات کنید.3-7قضیه : 1-7تمرین
x x
c
A
v y
b
k
w
akaxr ax
uv
کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم شکل زیر با فرض اینکه : 2-7تمرین c(sI-A)-1b هیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به
خروجی در حالت دائم صفر می شود.wورودی اغتشاش
کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم شکل فوقb با فرض اینکه : 3-7تمرین c(sI-A)-1b هیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به
خروجی در حالت پله را دنبال می کند.rورودی مرجع
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
47
Exercisesتمرینها
M
y
v
xy
xx
001
10000
100002080980010
معادالت فضای حالت سیستم تعلیق مقابل را در نظر بگیرید:: 4-7تمرین
10- و 2j±2-الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.قرار گیرد.
ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت طراحی کنید.
د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین زن حالت رسم کنید.
ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
48
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
1068
1
10240100010
xxx
y
uxxx
xxx
معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 5-7تمرین
الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم قرار گیرد.5- و 2j±1- منتجه در
ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.
ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت مرتبه کامل طراحی باشد.10- و 10- و 10-کنید که قطبهای تخمین زن در
د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.زن حالت رسم کنید.
و( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت با بعد کاهش یافته را نیز ”ه“ و ”د“ باشد. قسمت 10- و 10-طراحی کنید که قطبهای تخمین زن در
تکرار کنید.
Exercisesتمرینها
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
49
2
1
2
1
2
1
11
21
1112
xx
y
uxx
xx معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 6-7تمرین
-الف( بروش مستقیم فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در قرار گیرد.1- و 2
Exercisesتمرینها
ب( بروش تبدیل همانندی فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه ج( بروش معادله لیاپانوف فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه قرار گیرد.1- و 2-در معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 7-7تمرین قرار گیرد.1- و 2-در
uxxx
xxx
101
100110211
3
2
1
3
2
1
قرار گیرد.2- و 1j±1-فیدبک حالتی طراحی کbنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
50
معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 8-7تمرین
Exercisesتمرینها
xy
uxx
002
101
100110211
فیدبک حالت و بهره پیش خور بگونه ای طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه قرار گرفته و سیستم ورودی پله را بدون خطا دنبال کند.2- و 1j±1-در
معادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 9-7تمرین
uxx
1110
1000010000200012
-و 2-الف( آیا می توان فیدبک حالتی طراحی کرد که مقادیر ویژه سیستم منتجه در 2-و 2-ب( آیا می توان فیدبک حالتی طراحی کرد که مقادیر ویژه سیستم منتجه در قرار گیرد؟1- و 1- و 2 2-و 2-ج( آیا می توان فیدبک حالتی طراحی کرد که مقادیر ویژه سیستم منتجه در قرار گیرد؟1- و 2-و ( آیا سیستم داده شده پایدار پذیر است؟n قرار گbیرد؟2- و 2-و
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
51
معادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 10-7تمرین
Exercisesتمرینها
تخمین زن حالت مرتبه کامل و مرتبه کاهش یافته طراحی کنید بگونه ای که مقادیر انتخاب شود.{2j±2,-3}-ویژه تخمین زن از مجموعه
تابع انتقال سیستمی عبارتست از:: 11-7تمرین
)3)(2)(1()2)(1()(
ssssssg
آیا می توان با استفاده از فیدبک حالت تابع انتقال را بفرم زیر تبدیل کرد؟
است؟ پایدار مجانبی چطور؟BIBOآیا سیستم منتجه پایدار
2
1
2
1
2
1
11
21
1112
xx
y
uxx
xx
)3)(2(1)(
ssssg f
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
52
Exercisesتمرینها
تابع انتقال سیستمی عبارتست از:: 12-7تمرین
)3)(2)(1()2)(1()(
ssssssg
آیا می توان با استفاده از فیدبک حالت تابع انتقال را بفرم زیر تبدیل کرد؟
است؟ پایدار مجانبی چطور؟BIBOآیا سیستم منتجه پایدار 3
1)(
s
sg f
lecture 7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
53
Answers to selected problems
k=[4 1] : 6-7جواب
u=pr-kx, p=0.5, k=[15 47 -8]: 8-7جواب
2تخمین زن مرتبه : 10-7جواب
1تخمین زن مرتبه
بله،b بله و بله: 11-7جواب
zy
x
yuzz
zx
yuzz
215214
ˆ
)21/13(33219
5.2712ˆ
01
3105.06282.0
2222
Top Related