7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
1/24
Vibracin forzada amortiguada
)cos( tQkxxcxm f=++ &&&
)cos(2 2 tqxxnx fn =++ &&&
)cos()( 43 tCtsenCx ff +=
)()cos( 43 tsenCtCx fff =&
( ))cos()( 432 tCtsenCx fff +=&&
( ) ( )( ) )cos()cos()(
)()cos(2)cos()(
43
2
4343
2
tqtCtsenC
tsenCtCntCtsenC
fffn
ffffff
=+
+++
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
2/24
Vibracin forzada amortiguada
( ) ( )( ) )cos()cos()(
)()cos(2)cos()(
43
2
43432
tqtCtsenC
tsenCtCntCtsenC
fffn
ffffff
=++++
)cos()cos()cos(2)cos()()(2)(
4
2
34
2
3
2
43
2
tqtCtCntCtsenCtsenCntsenC
ffnffff
fnffff
=+++
0)cos(2)(24
2
34
2
3
2
43
2 =++++ tqCCnCtsenCCnCfnfffnff
( )
( ) 02
02
4
2
34
2
3
2
43
2
=++
=+
qCCnC
CCnC
nff
nff
( )22
4
3
2
fn
fCnC
= ( )
( )22222
22
4
4 fnf
fn
n
qC
+
=
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
3/24
Vibracin forzada amortiguada
)cos()( 43 tCtsenCx ff +=
( )222223
4
2
fnf
f
n
nqC
+=
( )( )22222
22
4
4 fnf
fn
n
qC
+
=
( )
( )
( )
)cos(
4
)(
4
222222
22
22222t
n
qtsen
n
nqx f
fnf
fn
f
fnf
f
+
+
+=
)cos( = tAx f
C4 C3
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
4/24
Vibracin forzada amortiguada
( )( )
( ) )cos(
4)(
4
222222
22
22222t
n
qtsenn
nqx ffnf
fn
f
fnf
f
++
+=
)cos( = tAx f
( )
( )
( )
2
22222
222
22222
2
44
2
+
+
+=
fnf
fn
fnf
f
n
q
n
nqA
( )222222
2
4 fnfn
qA
+=
( ) ( ) ( ) ( )( )2222
2
2222
2
22222
14144
1
+
=
+
=
+
= n
n
f
n
f
n
n
fnf
q
n
q
n
qA
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
5/24
Vibracin forzada amortiguada
)cos( =
tAx f
( )
=
=
=22
2
22 1
2
1
22
arctg
n
arctg
n
arctg
n
f
nf
fn
f
( ) ( ) ( )( )2222max
14
1
+=k
QA
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )2
222
2
2222
2
2
14
1
2cos
14
1
2cos
+
=
+
=
arctgt
k
Qarctgt
qx
ff
n
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
6/24
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 0.5 1 1.5 2
Wf/Wn
Beta
n/Wn=2n/Wn=1
n/Wn=0.5
n/Wn=0.25
n/Wn=0.15
n/Wn=0.01
Movimiento oscilatorio forzado amortiguado
Factor de amplificacin
( ) ( ) ( )( )2222 141
+=
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
7/24
Movimiento oscilatorio forzado amortiguado
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2
Wf/Wn
Angulod
efase
n/Wn=2
n/Wn=1
n/Wn=0.5
n/Wn=0.25
n/Wn=0.15
n/Wn=0.01
n/Wn=100
ngulo de fase de la respuesta
( )
=2
1
2
arctg
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
8/24
Movimiento oscilatorio forzado amortiguado
Amplitud de la fuerza, Q = 10 Frecuencia, f
= 1
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 5 10 15 20
tiempo
X
Fuerza, Wf=1
n/Wn=2
n/Wn=1
n/Wn=0.5n/Wn=0.25
n/Wn=0.15
n/Wn=0.001
n/Wn=100
Constante de restitucin k=2, Frecuencia natural n
= (g/Xest
)1/2 = 1.4
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
9/24
Movimiento oscilatorio forzado amortiguado
Amplitud de la fuerza, Q = 10 Frecuencia, f
= 2
Constante de restitucin k=2, Frecuencia natural n
= (g/Xest
)1/2 = 1.4
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 5 10 15 20
tiempo
X
Fuerza, Wf=2
n/Wn=2
n/Wn=1
n/Wn=0.5
n/Wn=0.25n/Wn=0.15
n/Wn=0.001
n/Wn=100
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
10/24
Movimiento oscilatorio forzado amortiguado
Amplitud de la fuerza, Q = 10 Frecuencia, f
= 1.4
Constante de restitucin k=2, Frecuencia natural n
= (g/Xest
)1/2 = 1.4
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
tiempo
X
Fuerza, Wf=1.4
n/Wn=2
n/Wn=1
n/Wn=0.5
n/Wn=0.25
n/Wn=0.15
n/Wn=100
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
11/24
Movimiento oscilatorio forzado amortiguado
Amplitud de la fuerza, Q = 10 Frecuencia, f
= 1.4
Constante de restitucin k=2, Frecuencia natural n
= (g/Xest
)1/2 = 1.4
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 5 10 15 20
tiempo
X
Fuerza, Wf=1.4
n/Wn=2
n/Wn=1
n/Wn=0.5
n/Wn=0.25
n/Wn=0.15
n/Wn=0.001
n/Wn=100
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
12/24
Vibracin forzada amortiguada
)cos( tQkxxcxm f=++ &&&
)cos( = tAx f
)2
cos()( +== tAtAsenx ffff&
xtAx fff22 )cos( ==&&
referencia
kA
cwfA
mwf2A
Q
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
13/24
Vibracin forzada amortiguada: anlisis transitorio
ph xxx +=
( )222223
4
2
fnf
f
n
nqC
+= ( )
( )2222222
4
4 fnf
fn
n
qC
+
=
)cos()()( 43 tCtsenCtx ffp +=
( ) )()cos( 21 tsenCtCetx ddtn
h +=
( ) 4100 CCxtx +===
( ) ( )fd CCnCxtx 32100 ++=== &&
( )
pd
CnC
d
tn
d
d
do
tn
xtsentCe
tsennxx
txetx
d
f +
+
++=
+
)()cos(
)()cos(
34
4
00
&
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
14/24
Vibracin forzada amortiguada, aplicacin: DESBALANCE ROTATORIO
( ) ( )[ ] xckxtext
mxmM &&& =++ cos
2
2
( ) xckxtemxM &&& = cos2
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
15/24
Vibracin forzada amortiguada
)cos()( 43 tCtsenCx ff +=
( )( )
( ) )cos(
4)(
4
222222
22
22222t
n
qtsen
n
nqx f
fnf
fn
f
fnf
f
+
+
+=
)cos( = tAx f
C4 C3
( ) ( ) ( ) ( )( )22222
22222 144
1
+=
+= n
fnf
q
n
qA
( )
=
=
2221
22
arctgnarctg
fn
f
( ) ( ) ( ) ( )( )22222
2
22222
2
144
1
+=+= n
fnfne
A
m
M
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
16/24
( ) ( ) ( )( )2
222
2
2
14
+
= n
e
A
m
M
( )
=2
1
2
arctg
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
17/24
Vibracin forzada amortiguada
)cos( tQkxxcxm f=++ &&&
)cos( = tAx f
)2
cos()( +== tAtAsenx ffff&
xtAx fff22 )cos( ==&&
referencia
kA
cwfA
mwf2A
Q
Ft
( ) ( ) ( )( )2
222 14
1
+
=
k
QA
( ) ( ) ( )( )222222
22222
1441
41
+
+
=+=+=
Q
kAAckF ft
( )
=
21
2
arctg
( ) ( ) ( )( )222222
14
41
+
+=Q
Ft
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
18/24
( ) ( ) ( )( )2222
22
14
41
+
+=
Q
Ft
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
19/24
Fuerza pulsante peridica generalizada: Introduccin
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
20/24
Fuerza pulsante peridica generalizada: Aplicacin de Series de Fourier
++=11
0 )()cos()( tnsenbtmaatF nm
mndttnsentmsen
= )()(
mn
dttntm
=
)cos()cos(
0)()cos( = dttnsentm
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
21/24
F(t) = Pwt/
para t perteneciente al intervalo [0, /w]
F(t) = Pwt/
2P
para t perteneciente al intervalo (/w,2/w]
Para describir la fuerza pulsante en funcin del tiempo se utiliza series deFourier.
Fuerza pulsante peridica generalizada: Aplicacin de Series de Fourier
/w
2/w
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
22/24
ao
= w/2
0/w
Pwt/
dt
+ w/2
/w2/w
(Pwt/
2P) dt
ao
= P w2/(22) 02/w
t dt
-
P w/
/w2/w
dt
= P w2/(22 ) (t2/2)02/w
-
P w/
(t)/w2/w
= P
P = 0
an
= w/
0/w
Pwt/
cos(nwt) dt
+ w/
/w2/w
(Pwt/
2P) cos(nwt) dt
= w/
0
2/w
Pwt/
cos(nwt) dt
-
2P w/
/w
2/w
cos(nwt)dt
an
= Pw/(n2 ) 02/w
nwt
cos(nwt) dt
-
2P w/
/(nw) /w2/w
nw
cos(nwt)dt
Si u = nwt
, du
= nw
dt
, lmites de integracin: u
= nwt
an
= Pw/(n2)/(nw) 02n
u cos(u) du
-
2P w/
/(nw) n2n
cos(u) du
= Pw/(n2)/(nw) |cos(u) + u sen(u)| 02n
- 2P w/
/(nw) |sen(u)| n2n
= 0
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
23/24
bn
= w/
0/w
Pwt/
sen(nwt) dt
+ w/
/w2/w
(Pwt/
2P) sen(nwt) dt
= w/
02/w
Pwt/
sen(nwt) dt
2P w/
/w2/w
sen(nwt) dt
= Pw/(n2)/(nw) 02n
u sen(u) du
-
2P w/
/(nw) n2n
sen(u) du
= Pw/(n2)/(nw) |sen(u) -
u cos(u)| 02n
+ 2P w/
/(nw) |cos(u)| n2n
= -
Pw/(n2)/(nw) 2n
+ 2P/(nw) w/
(1
(-1)n) =
bn
= -
2 P/(n) + 2P/(n) (1
(-1)n) = 2P(-1)n+1/(n )
Por lo tanto:
F(t) = 2P/
(-1)n+1
sen(nwt)/n
con: n = 1,2,3,
F(t) = 2P/
(sen(wt)
1/2sen(2wt) + ....)
Resultado idntico al reportado en Timoshenko
ejercicio 1.11-4.
7/24/2019 6 Movimiento Oscilatorio Forzado Amortiguado
24/24
Top Related