7/25/2019 2.-Optimizacion Lineal SIMPLEX
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Tema 2:Optimizacin lineal
Ezequiel Lpez Rubio
Departamento de Lenguajes y
Ciencias de la Computacin
Universidad de Mlaga
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Sumario
El modelo de programacin lineal
ormulacin de modelos
M!todo gr"icoM!todo del simple# Casos anmalos
M!todo de las dos "ases
Dualidad
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El modelo deprogramacin lineal
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Introduccin
Definicin:$e dice que una "uncin "% RnRes lineal sii
para alg&n conjunto de constantes 'c()c*)+++)cn, se tiene
que%
( ) nnn xcxcxcxxxf +++= ...,...,, 221121 Ejemplos:"-#)y./#0*y es lineal) pero "-#)y./#*1*y no es
lineal+
Definicin:$ea "% RnRuna "uncin lineal) y bRuna
constante+ Entonces se dice que las desigualdades"-#()+++)#n.b) "-#()+++)#n.b) son desigualdades lineales) y
que la igualdad "-#()+++)#n./b es una igualdad lineal+ En
general nos re"eriremos a las tres con el nombre de
restricciones lineales
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Concepto de problema de
programacin lineal
Definicin:Un problema de programacin lineal esun problema de optimizacin en el que% $e debe ma#imizar -o minimizar. una "uncin lineal de las
variables de decisin que se llama "uncin objetivo Los valores de las variables deben satis"acer un conjunto
de restricciones lineales
recuentemente nos encontraremos que en elproblema de programacin lineal aparecen tambi!n
restricciones de signo para las variables) del tipo#i2+ En realidad estas restricciones son un tipo de
restricciones lineales+
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orma general de un problema
de programacin lineal
La "orma ms general de un problema deprogramacin lineal ser%
no)oaparecerpueden(que0,...,~...
...
~...
:aSujeto
...minimizar)(oMaximizar
1
11
11111
11
++
++
++
n
mnmnm
nn
nn
xx
bxaxa
bxaxa
xcxc
donde el s3mbolo 4 puede denotar a ) o /+
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orma matricial
5 los coe"icientes de la "uncin objetivo -ci. se les llama
costes+ 5 los t!rminos independientes de lasrestricciones -bi.) recursos+ 5 los elementos de la matriz
de coe"icientes que de"ine las restricciones -aij.)
coeficientes tcnicos+ 6ara simpli"icar la notacin) sillamamos cal vector de costes) bal vector de recursos)y 5 a la matriz de coe"icientes t!cnicos) podemosescribir el problema en la llamada "orma matricial%
no)oaparecer(puede0
~
:aSujeto
minimizar)(oMaximizar
x
bx
xc
A
T
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Regin factible
Mientras no se indique lo contrario) consideraremos que
las restricciones del tipo #i2 se incluyen -si aparecen en
el problema. dentro del conjunto de restricciones 5! 4b)
con lo cual el problema quedar3a%
bx
xc
~aSujeto
minimizar)(oMaximizar
A
T
Definicin:Dado un problema de programacin lineal)
llamaremos regin "actible del problema y ladenotaremos por $ al conjunto de puntos que cumplen
todas las restricciones del problema) es decir%
}~|{ bxRx AS n=
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Soluciones ptimas
Definicin:Dado un problema de programacin lineal)
diremos que un punto !2$ es una solucin ptima sii
se cumple que "-!2."-!. !$ -para el caso de
minimizar. o bien "-!2."-!. !$ -para el caso dema#imizar.+ En tal caso) a "-!2. se le llamar valor
ptimode la "uncin objetivo+
$i e#iste una sola solucin ptima) diremos que el
problema tiene solucin &nica+ $i no e#iste solucinptima) pero $) diremos que el problema tiene
solucin ilimitada+ $i $/) diremos que el problema no
tiene solucin+
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ormulacin demodelos
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Introduccin
Cuando se desea resolver un problema delmundo real) se "ormula en primer lugar unmodelo
Un modelo es una simpli"icacin de larealidad que se intenta que sea losu"icientemente e#acta como para podere#traer de !l conclusiones &tiles
En particular nos interesan los modeloscuantitativos) en los que la realidad esmodelada mediante n&meros
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"odelos cuantitati#os
En los modelos cuantitativos para problemas deoptimizacin intervienen% 7ariables de decisin) cuyos valores num!ricos
"inales nos proporcionan la solucin La "uncin objetivo) que es una cantidad que sedesea ma#imizar -bene"icio) rendimiento) etc+. ominimizar -coste) tiempo)+++.+ En el caso de minimizarcostes) 8ay que tener en cuenta que los costos "ijos
no se incluyen) ya que no dependen de la decisinque se tome
Un conjunto de restricciones) las cuales de"inen qu!soluciones son posibles -"actibles.
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$u%a para la formulacin de
modelos
$eguiremos estos pasos% E#presar cada restriccin verbalmente) poniendo especial
cuidado en distinguir entre requerimientos -.) limitaciones
-. o e#igencias de igualdad -/.+
E#presar el objetivo verbalmente
9denti"icar verbalmente las variables de decisin
E#presar las restricciones mediante s3mbolos) es decir) en
t!rminos de las variables de decisin
E#presar la "uncin objetivo simblicamente
Comprobar la co8erencia de las unidades en las
restricciones y la "uncin objetivo
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Ejemplo
Ejemplo:Una empresa dedicada a la
"abricacin de juguetes de madera produce
dos tipos de juguetes% coc8es y trenes Los coc8es se venden a *: ; y usan (2 ; de
materiales+ 6or cada coc8e 8ay un coste de
mano de obra de (< ;
Los trenes se venden a *( ;) usan = ; dematerial y el coste de mano de obra es (2 ;
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Ejemplo
La produccin de ambos juguetes necesita dos
tipos de trabajo% carpinter3a y acabado Coc8e% * 8oras acabado) ( 8ora carpinter3a
>ren% ( 8ora acabado) ( 8ora carpinter3a La empresa dispone de un m#imo de ?2 8oras
semanales de carpinter3a y (22 8oras semanales de
acabado+
La demanda de trenes es ilimitada) pero la decoc8es est limitada a
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Ejemplo
Solucin:
7ariables de decisin -deben describir las
decisiones que se van a tomar.%
#C/n@ de coc8es producidos cada semana #>/n@ de trenes producidos cada semana
uncin objetivo% Aanancias semanales% *:#C1*(#> Costes semanales%
Materiales% (2#C1=#>
Mano de obra% (
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Ejemplo
uncin objetivo -8ay que ma#imizarla.%
( ) TCTCTCTC xxxxxxxxf 101!10212", +=
( ) TCTC xxxxf 2#, += Restricciones% Cada semana no se pueden usar ms de (22 8oras de
acabado% *#C1#>(22
Cada semana no se pueden usar ms de ?2 8oras decarpinter3a% #C1#>?2
La demanda de coc8es est limitada% #C2
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Ejemplo
Co8erencia de unidades% Las variables de decisin #c) #>estn en
8orasBsemana
La "uncin objetivo est en ;Bsemana
Las restricciones estn e#presadas en 8oras
$e observa que estamos usando co8erentemente
las unidades
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"&todo gr'fico
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Introduccin
Un primer intento de resolucin de los problemas de
programacin lineal es el m!todo gr"ico+ $u inter!s
es limitado) ya que con !l slo podemos resolver
problemas de dos variables -a lo sumo tres. Definicin:$ea una "uncin "% RnR+ Llamamos
contorno !simo de " y denotamos Cal conjunto
de puntos tales que "-!./) donde R
6ara el caso de una "uncin lineal de dos variables)los contornos que se generan variando "orman un
8az de rectas paralelas
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(lgoritmo
El m!todo gr"ico consta de los siguientes pasos% Dibujar la regin "actible) $
Dibujar un contorno de la "uncin objetivo
Determinar la direccin de crecimiento de los contornos Una vez determinada la direccin de crecimiento de
los contornos) la solucin estar en el <imo punto
de la regin "actible que toquen los contornos antes
de abandonarla) siguiendo la direccin y sentido decrecimiento o decrecimiento seg&n si nuestro
objetivo es ma#imizar o minimizar) respectivamente
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Determinacin del crecimiento
6ara determinar la direccin de crecimiento
de los contornos) lo podemos 8acer de dos
"ormas% Dibujando dos contornos
Dibujando el vector gradiente) que como
sabemos marca siempre la direccin y sentido de
crecimiento de la "uncin%
=
y
f
x
ffgrad ,
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Ejemplo
7amos a resolver este problema%
Ma#imizar "-#)y./#1 y sujeto a%
* #1 y#1 y 2
#) y 2
$i dibujamos la regin "actible $) el contorno2 y la direccin de crecimiento de la "uncin
objetivo obtenemos la siguiente gr"ica
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Ejemplo
0 1 2 # $0
1
2
#
$%
S
(2,2)
&0
'rad
x
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Ejemplo
En la gr"ica podemos ver que la "uncin objetivoaumenta su valor 8acia arriba+ La solucin delproblema de minimizar estar en el primer punto de$ que toquen los contornos al aumentar el valor -eneste caso) el origen de coordenadas.) mientras quela solucin del problema de ma#imizar estar en el<imo punto que toquen) en este caso el -*)*.+
6or tanto) la solucin ptima de este problema es el
punto -*)*. y el valor ptimo de la "uncin objetivoes "-*)*./(
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Solucin ilimitada) S no
acotado
S
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Solucin *nica) S no acotado
S
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Infinitas soluciones) S no
acotado
S
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Infinitas soluciones) S
acotado
S
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Sin solucin +S,
-
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Ejemplo
.roblema:
Ma#imizar #( 1 *#*sujeto a%
(B* #( 1 #* (#( 1 #* *
#() #*2
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Representacin gr'fica
0 1 2 # $0
1
2
#
$
x1
x2
&
*
+
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.untos e!tremos
-unto x1 x2 S1 S2
0.0 0.0 1.0 2.0 0.0
/ in in 0.0 in in
& 0.0 1.0 0.0 1.0 2.0
* 2.0 0.0 2.0 0.0 2.0
+ 0.0 2.0 1.0 0.0 .0
0." 1.# 0.0 0.0 #.#
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Ejemplo
.roblema:
Ma#imizar #( 1 #*sujeto a%
*#( 1 #* abla *
*2 *< 2 2 2
40 c0 bi 45 42 S5 S2 S6
$( 2 (* 2 2 ( 2 G
$* 2 ( G 2 2 ( (
O* *< ? (B* ( 2 2 (B*
(=* ? 2 2 2 (*Criterio de entrada% m3n ' ? , / ?) luego entra #(
Criterio de salida% m3n ' (BG) ( , / (BG) luego sale $*
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Ejemplos
>abla G
*2 *< 2 2 2
0ase c0 .3 45 42 S5 S2 S6
$( 2 (* 2 2 ( 2 G
O( *2 (BG ( 2 2 (BG (BG
O* *< (BG 2 ( 2 (B *BG
:2
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Casos anmalos
.roblemas con infinitas
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soluciones
En la tabla "inal 8ay alg&n valor nulo en la <ima "ila) quecorresponde a una variable que no est en la base+ Ental caso) podr3amos introducir dic8a variable en la base)y nos saldr3a otra base que dar3a tambi!n el valor
ptimo+ Esto quiere decir que el problema tiene infinitassoluciones) todas ellas con el mismo valor ptimo de la"uncin objetivo+ $ea el n&mero de vectores solucinobtenidos de esta manera -8abiendo 0( ceros e#tra.) ysean dic8os vectores !
1) !
2) +++) !
+ Entonces las in"initas
soluciones del problema sern%
[ ] 1,1,0donde,11
= ==
K
i
ii
K
i
ii x
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Ejemplos
.roblema:
Ma#imizar #( 1 G#*sujeto a%
#(
1 #*
(
*#( 1 #*
#() #*2
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Ejemplos
>abla (
G 2 2
40 c0 bi 45 42 S5 S2
$( 2 ( ( ( ( 2
$* 2 * ( 2 (
2 G 2 2
Criterio de entrada% m3n ' ) G , / ) luego entra #(
Criterio de salida% m3n ' G , / G) luego sale $*
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Ejemplos
>abla *
G 2 2
40 c0 bi 45 42 S5 S2
$( 2 < 2 GB* ( (B*
O( G ( (B* 2 (B*
(? 2 2 2 G
$e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% (?+
6rimera solucin ptima% !5/-G) 2)
En la <ima "ila) el cero que no est en la base indica otra
solucin ptima+ 6ara 8allarla) 8acemos entrar a #*
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Ejemplos
>abla G
G 2 2
40 c0 bi 45 42 S5 S2
O* G ?BG 2 ( *BG (BG
O( FBG ( 2 (BG (BG
(? 2 2 2 G
$egunda solucin ptima% !/-FBG) ?BG) 2) 2.>+ >ambi!n
son soluciones ptimas todos los puntos del segmento
5!51!) con 5) 2) 5 1 / (+
.roblemas con solucin
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ilimitada
5l intentar elegir la variable que sale) nospodemos encontrar con que la columna .
jde
lavariablejque ten3a que entrar tiene todos
sus elementos negativos o nulos+ En tal casoel problema tiene solucin ilimitada) es decir)se puede 8acer crecer el valor de la "uncinobjetivo tanto como se quiera sin violar
ninguna restriccin+ 6ara ello) bastar3a con8acer crecer ilimitadamente la variable queten3a que entrar en la base+
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Ejemplos
.roblema:
Ma#imizar #( 1 #*sujeto a%
F#(
#*
2
#( < #* 2
#() #*2
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Ejemplos
>abla (
( ( 2 2
40 c0 bi 45 42 S5 S2
$( 2 2 F ( ( 2
$* 2 2 ( < 2 (
2 ( ( 2 2
Criterio de entrada% m3n ' () ( , / () y elegimos queentre #(
Criterio de salida% m3n ' 2B( , / 2) luego sale $*
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Ejemplos
>abla *
( ( 2 2
40 c0 bi 45 42 S5 S2
$( 2 2 2 (= ( F
O( ( 2 ( < 2 (
2 2 F 2 (
Criterio de entrada% m3n ' F , / F) luego entra #*
Criterio de salida% Ho 8ay "racciones con denominador
estrictamente positivo) luego el problema tiene
solucin ilimitada
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"&todo de las dosfases
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Introduccin
$i al intentar aplicar el m!todo simple# nos
encontramos con que no es posible
encontrar una solucin bsica "actible -$.
inicial) es preciso usar el m!todo de las dos"ases+
6ara ello) usamos el siguiente algoritmo%
(+ 5Iadir variables arti"iciales al problema *+ ase 9+
G+ ase 99+
(dicin de #ariables
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artificiales
$e trata de aIadir al problema tantas
variables como sean necesarias para
construir una $+ $us coe"icientes en las
ecuaciones sern los que convengan paranuestro propsito+
6or consiguiente) tendremos que cada
variable arti"icial tendr coe"iciente ( en unaecuacin y coe"iciente 2 en todas las dems
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ase I
$e trata de aplicar el m!todo simple# para resolver unproblema au#iliar que consiste en minimizar la suma delas variables arti"iciales+ 6ara que la tabla ptimaaparezca lo antes posible conviene que) en caso de
empate en el criterio de salida y que una de las variablesempatadas sea arti"icial) saquemos la arti"icial+ Una vez resuelto este problema au#iliar) caben dos
posibilidades El valor ptimo de la "uncin objetivo es distinto de cero+ En tal
caso el problema original no ten3a solucin+ El valor ptimo de la "uncin objetivo es cero+ En tal caso
podemos pasar a la ase 99+
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ase II
Consiste en aplicar el m!todo simple#)usando la "uncin objetivo del problemaoriginal) pero empezando con una primera
tabla que se obtiene quitando de la <imatabla de la ase 9 las columnas de lasvariables arti"iciales
La solucin obtenida en la ase 99 ser la
solucin del problema original -t!ngase encuenta que en la ase 99 no aparecenvariables arti"iciales.
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Ejemplos
.roblema:
Ma#imizar #( 1 #*sujeto a%
#( 1 #* (
*#( 1 #*
#() #*2
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Ejemplos
>abla ( de la ase 9
2 2 2 2 (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8
6F ( ( ( ( ( 2 (
6< 2 * ( 2 ( 2
( ( ( ( 2 2Criterio de entrada% m3n ' ( , / () luego entra #*
Criterio de salida% m3n ' () , / () luego sale #F
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Ejemplos
>abla * de la ase 9
2 2 2 2 (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8
6* 2 ( ( ( ( 2 (
6< 2 F G 2 ( ( (
2 2 2 2 2 ($e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% 2 -el
problema tiene solucin.+Construimos la primera tabla de la ase 99 quitando la
variable arti"icial #F
Ej l
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Ejemplos
>abla ( de la ase 99
( 2 2
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7
6* ( ( ( ( ( 2
6< 2 F G 2 ( (
( : 2 ( 2
Criterio de entrada% m3n ' :) ( , / :) luego entra #(
Criterio de salida% m3n ' FBG , / FBG) luego sale #abla * de la ase 99
( 2 2
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7
6* ( ?BG 2 ( *BG (BG
6( FBG ( 2 (BG (BG
G?BG 2 2
Ej l
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Ejemplos
.roblema:
Ma#imizar
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Ejemplos
>abla ( de la ase 9
2 2 2 2 2 ( (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8 .9 .
6 ( ( * ( * ( 2 ( 2
6: ( ( ( ( 2 ( 2 (
: ( 2 G ( ( 2 2Criterio de entrada% m3n ' G , / G) luego entra #G
Criterio de salida% m3n ' (B*) , / (B*) luego sale #
Ej l
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Ejemplos
>abla * de la ase 9
2 2 2 2 2 ( (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8 .9 .
6G 2 (B* ( (B* ( (B* 2 (B* 2
6: ( ((B* * GB* 2 (B* ( (B* (
((B* * GB* 2 (B* ( GB* 2Criterio de entrada% m3n ' *) GB*) (B* , / *) luego
entra #(Criterio de salida% m3n ' ((BG , / ((BG) luego sale #:
Ej l
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Ejemplos
>abla G de la ase 9
2 2 2 2 2 ( (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8 .9 .
6G 2 (GB< 2 (B< ( (B< (B* (B< (B*
6( 2 ((B< ( GB< 2 (B< (B* (B< (B*
2 2 2 2 2 2 ( ($e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% 2 -elproblema tiene solucin.+
Construimos la primera tabla de la ase 99 quitando las
variables arti"iciales #y #:
Ej l
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Ejemplos
>abla ( de la ase 99
< ( 2 2
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8
6G (GB< 2 (B< ( (B< (B*
6( < ((B< ( GB< 2 (B< (B*
(B* 2 :B* 2 (B* F
Criterio de entrada% m3n ' (B*) F , / F) luego entra #F
Criterio de salida% Ho 8ay "racciones con denominador
estrictamente positivo) luego el problema tiene solucin
ilimitada
Ej l
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Ejemplos
.roblema:
Ma#imizar #( 1 #*sujeto a%
#( #*
*#( * #* (2
#() #*2
Ej l
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Ejemplos
>abla ( de la ase 9
2 2 2 2 (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8
6F ( ( ( ( 2 (
6< 2 (2 * * 2 ( 2
( ( ( 2 2
Criterio de entrada% m3n ' ( , / () luego entra #(
Criterio de salida% m3n ' ) F , / F) luego sale #abla * de la ase 9
2 2 2 2 (
0ase c0 .3 .5 .2 .6 .7 .8
6F ( ( 2 2 ( (B* (
6( 2 F ( ( 2 (B* 2
( 2 2 ( (B* 2
$e cumple la condicin de parada+ 7alor ptimo% (+
Como no resulta valor ptimo 2) el problema original
no tiene solucin+
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Dualidad
.roblemas primal ; dual
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.roblemas primal ; dual
$ea un problema de programacin lineal) quellamaremosproblema primal%
El correspondienteproblema duales%
Htese que el dual del dual coincide con el primal
0,
:aSujeto
Maximizar
xbx
xc
A
T
0,
:aSujeto
Minimizar
ycy
yb
T
T
A
Resultados
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Teorema d&bil de dualidad:El valor de la
"uncin objetivo del dual para cualquier solucin
"actible es siempre mayor o igual que el valor de
la "uncin objetivo del primal para cualquiersolucin "actible+
Teorema fuerte de dualidad:$i el primal tiene
una solucin ptima !P) entonces el dual
tambi!n tiene una solucin ptima ;P) tal quecT!P/bT;P+
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El teorema d!bil de dualidad implica que si el primaltiene solucin ilimitada) entonces el dual no tienesolucin+
Del mismo modo) si el dual tiene solucin ilimitada)
entonces el primal no tiene solucin+ Ho obstante) es posible que ni el primal ni el dual
tengan solucin+ Cada componente de !se corresponde con una
variable de e#ceso del dual+ Cada componente de ;se corresponde con una
variable de 8olgura del primal+
Complementariedad
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Complementariedad
Teorema de complementariedad:$ean !/ -#()
#*) +++) #n.) ;/ -y() y*) +++) ym. soluciones "actibles
del primal y el dual) respectivamente+ $ean -Q()
Q*) +++) Qm. las variables de 8olguracorrespondientes del primal) y sean -z() z*) +++)
zn. las variables de e#ceso correspondientes del
dual+ Entonces !e ;son ptimas para sus
respectivos problemas si y slo si #jzj/ 2) j /() *) + + + ) n) y adems Qiyi/ 2) i / () *) +++) m+
Complementariedad
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Complementariedad
El teorema de complementariedad nos permite
obtener rpidamente una solucin ptima del
problema dual si conocemos una solucin ptima
del problema primal+
6ara ello) si tenemos que en una solucin ptima
del primal #j2) entonces en el dual zj/2+ 5dems si
en la solucin ptima del primal Qi2) entonces en
el dual yi/2+ De esta manera slo quedarn por determinar los
valores ptimos de unas pocas variables del
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