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Sistemi Digitali
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Definizione
DEF Sistemi Digitali Sono tutti quegli apparati al cui interno le grandezze fisiche impiegate come segnali sono vincolate ad assumere solo valori discreti. DEF Sistemi Binari Sono quei sistemi digitali in cui i segnali sono limitati a due valori di regime.
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0
5 Analog Waveform
Time
Vol
tage
(V
)
0
5Digital Waveform
Time
Vol
tage
(V
)
1
0
1
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Analisi e Sintesi• Rispetto ai sistemi analogici, nei quali i segnali possono
assumere tutti i possibili valori in un continuo, i sistemi digitali consentono una minore complessità dei dispositivi che devono generare i segnali, ed una maggiore immunità ai disturbi.
• Un sistema digitale é un circuito costituito da componenti elementari e dai collegamenti che li interconnettono. I componenti elementari possonoL'obiettivo di questo corso é lo studio di problemi di analisi e sintesi di sistemi digitali..
• L'obiettivo di questo corso é lo studio di problemi di analisi e sintesi di sistemi digitali.• analisi dal circuito alla specifica formale• sintesi dalla specifica funzionale al circuito
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“Viste” della progettazione digitale.
• Vista comportamentale: descrive le funzioni indipendentemente dall’implementazione (es: progettare un circuito che esegua la somma aritmetica fra due numeri interi )
• Vista strutturale: descrive il modello di interconnessione dei componenti (es: disegno dei componenti digitali elementari e loro interconnessioni)
• Vista fisica: componenti fisici (es. transistors, layout su silicio, tecnologie di integrazione..)
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adderX
YX+Y
comportamentale (qualefunzione)
strutturale (collegamenti)
fisica (layout)
Esempio: sommatore aritmetico
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Campi di Applicazione• La progettazione digitale interessa tutti i campi di
applicazione dell'elettronica:• Calcolo Automatico• Telecomunicazioni• Controlli Automatici• Misure Elettriche • ....• In questo corso, oltre ad introdurre i principi generali di
progetto di sistemi digitali, siamo interessati a studiare applicazioni nel campo del Calcolo Automatico.
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Aspetti della progettazione digitale
• Come si rappresenta l’informazione (dati, istruzioni, comandi..) in un sistema digitale
• Analisi
• Sintesi
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Rappresentazione dell'Informazione
• I calcolatori elettronici sono macchine in grado di elaborare informazioni trasformandole in altre informazioni.
• Nel mondo dell'informatica, intendiamo in modo più restrittivo per informazione tutto ciò che può essere rappresentato tramite opportune sequenze di simboli in un alfabeto prefissato.
• La rappresentazione estensionale di un insieme I é un insieme di parole ognuna delle quali esprime un elemento di I.
Esempio: mela,pera,uva,arancia• Un codice C é un insieme di parole composte da simboli di un alfabeto
(detto alfabeto di supporto di C).
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Esempi di codici
Codice 1: linguaItaliana
Macchina
Razzo
Aereo
Codice 2:LinguaggioBinario
00
01
10
Codice 1 Codice 2Macchina 00Razzo 01Aereo 10
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Codifica e decodifica
• CODIFICA• La codifica di un insieme di informazioni I in un dato codice C é
una funzione f: I C
• Esempio:macchina 00, razzo 01, aereo 01 dove I è un sottoinsieme di parole della lingua italiana, e C è un
sottoinsieme delle parole composte da due simboli binariDECODIFICALa decodifica di una informazione codificata in precedenza é una
corrispondenza g : C I
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La funzione di co-decodifica
• La funzione f può essere descritta in modo estensionale, cioè ad ogni simbolo di I si fa corrispondere un simbolo di C (vedi esempio dei mezzi di locomozione)
• La funzione f può viceversa avere una rappresentazione intensiva, come ad esempio il cifrario di Cesare
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Cifrario di Cesare: codifica intensiva
• Il cifrario di Cesare, usato nei tempi dell'antica Roma, aveva la seguente funzione di codifica:f: i i+3(modulo 26) i=0,1..25dove al numero 0 corrisponde la lettera a, 1 a b ecc.
• Secondo tale codice, la parola "babbo" é codificata come "edeer" , perché b b+3=e
ecc;
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Criteri di valutazione di una codifica
• Economicità: sono considerate migliori rispetto a questa caratteristica le codifiche che utilizzano pochi simboli.
• Semplicità di codifica e decodifica: é auspicabile poter trasformare un linguaggio da un codice all'altro in modo efficiente
• Semplicità di elaborazione: sono preferibili le codifiche che consentono di eseguire le operazioni definite sui dati in modo agevole (ad esempio, sostituendo ai simboli arabi i simboli dei numeri romani, "saltano" il meccanismo del riporto e della posizionalità).
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Sistemi posizionali (def) Un sistema numerico posizionale in base b , ovvero basato su un alfabeto di b simboli distinti, consente di esprimere un qualsiasi numero naturale N di m cifre, mediante la: Ad esempio, nel sistema decimale (b=10,=0,1,..9), la sequenza N10= 284 può essere espressa come:
N cii0
m 1 bi , ci
2x102+8x101+4x100
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Riassumiamo:• b è la base, cioè il numero di simboli diversi nell’alfabeto (in
base 10 il numero di simboli è 10, e l’alfabeto dei simboli è ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• Nb indica un numero espresso in base b • Quindi ad esempio 1010 e 102 hanno significato diverso anche se
le sequenze di simboli sono le stesse (1 seguito da 0)!! • Ci dovremo dunque occupare di come tradurre una codifica in
un’altra codifica, o di come interpretare una stringa di simboli una volta che ci venga detto il codice utilizzato per generarla
• Esempio:
– caseIT
ENG
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Codice binario
• Codice binario: un codice posizionale costituito dai soli simboli 0 ed 1. Quindi, b=2, ={0,1}
• I simboli 0 ed 1 prendono il nome di bit, una contrazione per "binary digit".
• Perchè il codice binario viene utilizzato nel progetto di circuiti digitali?
• George Boole dimostrò come la logica possa essere ridotta ad un sistema algebrico molto semplice, che utilizza solo un codice binario (zero e uno, vero e falso).
• Il codice binario fu trovato particolarmente utile nella teoria della commutazione (Shannon) per descrivere il comportamento dei circuiti digitali (1=acceso, 0=spento).
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Rélais aperto (nonpassa segnale)
Rélais chiuso (ilsegnale passa)
x variabile che descrive lo stato del rélaisx assume valori in {0,1}
..ai tempi di Shannon i commutatori telefonici erano reti di rélais (interruttori)
Shannon introdusse l’alfabeto binario per descrivere lo stato dei rélais
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x y
x
y
xyIl segnale passa solo se sia x che y sono 1, cioè i due rélais sono chiusi
xy Il segnale passa se x o y sono “1” cioè, chiusi
Grazie all’algebra di Boole (che vedremo in seguito) non solo lo stato di un rélais, ma un intero circuito si può descrivere mediante una espressione algebrica
I moderni componenti digitali hanno un funzionamentoche approssima quello del rélais: il loro stato può esseredescritto da una variabile binaria, cioè che assume soloI valori 0 o 1 (variabile booleana, da Boole)
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Codici binari
• L’alfabeto binario può essere usato per rappresentare lo STATO di un circuito, e, come vedremo, anche le sue funzioni
• Inoltre l’alfabeto binario può essere utilizzato per codificare l’informazione che viene elaborata da un circuito
• Codici binari sono tutti quelli che usano un alfabeto binario per codificare l’informazione
• Informazione: numeri e simboli• Cominciamo con i numeri: i codici saranno diversi a
seconda che si vogliano rapprsentare numeri naturali, interi, reali..
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Riassumiamo• Un alfabeto binario può essere usato per
rappresentare lo stato di un componente digitale (aperto/chiuso, acceso/spento)
• Variabili binarie (booleane) ed un insieme di operatori algebrici possono essere usati per esprimere mediante espressioni algebriche la vista comportamentale di un circuito (xy)
• Infine, possiamo utilizzare codici binari per rappresentare le informazioni che entrano, vengono elaborate, ed escono in un circuito digitale (ad esempio gli addendi da sommare in un sommatore, ed il risultato della somma)
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1.Rappresentazione dell’informazione numerica
Rappresentzione dei numeri naturali (= interi non negativi)
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Rappresentazione binaria di numeri naturali
Un numero naturale booleano di n bit può essere rappresentata mediante la: Il bit c0 , viene detto LSB (less signifying bit) mentre cn-1 viene detto bit più significativo , o MSB.
1,01..0
,2
icni
iicN
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Cambiamenti di base e artimetica in base b
•Le regole di codifica, di cambiamento di base e di calcolo variano a seconda che si vogliano rappresentare:
–Numeri Naturali–Numeri Interi–Numeri decimali in virgola fissa e mobile
•Tuttavia tali regole restano le stesse indipendentemente dalla base!
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Per ogni insieme di numeri (naturali, interi e reali) vedremo:
• Modalità di rappresentazione in base b• Trasformazione da una base a ad una base b• Aritmetica nella base considerata• Perché ci occupiamo di basi diverse da 2, se i circuiti
digitali usano un alfabeto binario?• Perché le informazioni vengono manipolate da altri
dispositivi (es. tastiere e stampanti) che usano altri codici. Inoltre nei linguaggi di programmazione i numeri possono essere codificati in codici diversi (es. esadecimale), e vengono poi “tradotti” in binario
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Cambiamento di base per i numeri naturali
• Problema : convertire un numero N espresso in base a Na in un numero N’ espresso in base b: N’b
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Conversione di Base (2)
• Metodo polinomiale: usare l’espressione:
aician
iicaN
1
0
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Metodo polinomiale
Si esprime il numero Na come un polinomio, usando i numeri dell’alfabeto b nel polinomio
Si valuta il polinomio usando l’aritmetica in base b
1011128
02112122032121011
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Conversione di base• Metodo iterativo:1. Si divide N per b (b va espresso in base a e la divisione va fatta in
base a), sia Q il quoziente e r il resto. r è la cifra meno significativo di N’b, poiché r èb
2. (finché Q>0) ripeti: esegui Q/b : quoziente=Q’ resto=r’
Q’Q N’b r’ N’bEsempio: 2310=101112 (a=10 e b=2)
Nota: divido per 2 con l’aritmetica decimale. (2 espresso con codice binario è la stringa 10!!!)
MSBN=23 Q=
r=11 5 2 1 01 1 1 0 1
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Osservazioni• Il risultato si ottiene affiancando a sinistra le cifre che
rappresentano i resti delle divisioni per b in base a• Questi resti saranno sicuramente <b (ad esempio se b è 3, e
divido Na per 3, i resti possibili saranno 0,1 o 2)• Ma che succede se la base di arrivo è> di quella di partenza??
(ad esempio, a=10 e b=16)• La base sedici utilizza 16 simboli, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E
F, perciò “16” si rappresenta col simbolo F• Ma le divisioni vanno fatte in base 10, quindi F16=1610
• Inoltre i resti, pur essendo <16, risulteranno espressi in base 10• Quindi alla fine ogni singolo resto va ri-espresso nella base di
arrivo,cioè 16 (quindi se nell’ i-esimo passo r=11, devo trasformarlo in B)
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Esempio 2 (da base 10 a base 16)
NOTATE che, nell’algoritmo sopra descritto, ladivisione va eseguita in base a (cioè nella base delnumero di partenza). Se a10, questo può risultarecomplicato.
Dividere 31710 per 1610 notate che 1610= F16
La base di arrivo va convertitanella base di partenza!!
Quindi
31710=13D16
1) 317 : 16
Q=19 , r1=1310
1310=D16 (LSB)
2) 19:16Q=1 r2=3
310=316
3) 1:16 Q=0 r3=1 110=116
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Provate!!
• 52110 in base 12 = ???
• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B
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Esempio 3 (se la base dipartenza non è 10)
• Convertire il numero 102202 da base 3 a base 5• Due strade :a) eseguire 1022023 : 123 (Notate: 123=105=510)
Dovrei effettuare la divisione con aritmetica in base 3 DIFFICILE!!!
b) (più semplice) convertire 102202 in base 10 (metodo polinomiale) e poi convertire il risultato in base 5 (resti)
102202 3 = 35 + 233 + 232 + 2 = 317 10
col procedimento dell'esempio precedente 317 10 :5 ecc.Si ottiene 317 10 = 2232 5
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Conversioni da base b a base bn
• Prop. : lavorando in aritmetica in base b si ha che
1) nm-1 … n1 n0 DIV bi = nm-1 … ni r= ni-1 … n0
2) nm-1 … n1 n0 MOD bi = ni-1 … n0
(r = resto, MOD = modulo)
Es: 35310 DIV 100 (102)=35 (r=310) 10112 DIV 2(21) = 101 (r=1)
Da ciò :• Conversione da base 2 a base 2n : considera i bit a n-uple
partendo dal meno significativo e traducile in base 2n
Esempio 3 : convertire 100111101 da base 2 a base 4=22
1 00 11 11 01 2 = 1 0 3 3 1 4
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ARITMETICA IN BASE b PER I NATURALI
• Tutte le operazioni vengono eseguite come in base 10, ma modulo b ( Es.: ( 1 + 1 ) 2 = 10 2 ) e quindi anche i riporti e i prestiti agiscono modulo b.
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Somma
In base 2 si ha: 0+0=0, riporto=0 0+1=1+0=1. rip=0 1+1=0, rip=1 Esempio: sommare in base 2 i numeri 1001 e 111 1 0 0 1 + 1 1 1 = 1 0 0 0 0
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Sottrazione• Sottrazione: Differenza Prestito
0-0 0 0
0-1 1 1
1-0 1 0
1-1 0 0• Se c’è un prestito (borrow) e il bit adiacente è un 1, questo
viene modificato in uno zero• Se c’è un prestito (borrow) e il bit adiacente è uno 0, questo è
modificato in 1, e così tutti i bit successivi, finché non si incontra un bit=1. Questo viene posto=0, e si ripristina il processo di sottrazione
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Sottrazione (2)
• Esempio:
011 01011
11000 101000
-10001 - 011001
00111 001111
(24-17=7) (40-25=15)
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Moltiplicazione
• Complessa
• Funziona con prodotti parziali
• Slittamento dei prodotti parziali
• Somma prodotti parziali
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Esempio• 1011 Moltiplicando (11 dec)• x 1101 Moltiplicatore (13 dec)• 1011 Prodotti parziali• 0000 Nota: se il Mt=1 COPIA Md• 1011 (slittando il valore)• 1011 altrimenti prod_parz=0• 10001111 Prodotto (143 dec)• Nota: il risultato ha lunghezza doppia!
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Divisione
• Più complessa della moltiplicazione
• In particolare per numeri negativi
• In dettaglio nel corso di Arc. II
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001111
Divisione per Interi senza segno
1011
1101
100100111011001110
1011
1011100
Quoziente
Dividendo
Resto
Resti parziali
Divisore
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Lunghezza di parola: di quante cifrein base b abbiamo bisogno per rappresentare un numero Nb?
• Nota: Un elaboratore lavora con “parole” (stringhe binarie) di lunghezza fissa (diciamo W ). La dimensione massima e minima dei numeri rappresentabili dipende dalla lunghezza di parola. In base due, posso rappresentare numeri naturali fra 0 e 2W
Quindi:• se un numero è codificato con m <W bit dobbiamo inserire in
testa (W-m) zeri non significativi• se un numero è codificato con m> W bit : dobbiamo
considerare solo le W cifre meno significative del numero (situazione di errore detta overflow)
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Rappresentazione dell’informazione numerica
2) Rappresentazione dei numeri interi (positivi e
negativi)
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RAPPRESENTAZIONE DEGLI INTERI POS E
NEG• Rispetto ai naturali, il problema è la rappresentazionedel segno. • Esistono tre modalità di rappresentazione:
– in modulo e segno, – in complemento a uno e – in complemento a due.
• I primi due rendono le operazioni di somma e sottrazione delicate (sono necessari controlli preliminari sul segno e sui valori assoluti degli operandi)
• Col secondo, invece, la sottrazione si esegue semplicemente come somma dell’opposto (a patto di ignorare l’eventuale overflow derivante dalla somma di numeri negativi).
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Rappresentazione con modulo e segno
• Data una sequenza di simboli cn-1cn-2..c0,cn-1 rappresenta il SEGNO e non concorre a rappresentare
il valore assoluto del numero• 1011 - 011 -310
• Quindi se ho n bit, uno va “perso” per codificare il segno. In valore assoluto, con n bit, rappresento un range di numeri da –(bn-1 – 1) a +(bn-1-1)
• Es con n=4 min 1111= -111=-7 e max 0111=+7
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49
Rappresentazione in complemento a 2 (Ca2):
2N = -bn-1c n-1+
)1,0(,2
0
icic
n
i
ib
L’espressione per rappresentare col metodo polinomialeun intero N in Ca2 è:
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Esempi (in base 2 e con n=8)
• +3 = 00000011
• +2 = 00000010
• +1 = 00000001
• +0 = 00000000
• -1 = 11111111
• -2 = 11111110
• -3 = 11111101
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Verifica
• Il digit più significativo non ha valore i segno ma concorre al calcolo del numero!! Applicando la formula, si ha:
3125128021221
32142152162172-111111101
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Descrizione geometrica della rappresentazione di interi in Ca2
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Range dei Numeri in Ca2 (max e min interi rappresentabili con W cifre)
• 8 bit (Ca2)• +127 = 01111111 = 27 -1• -128 = 10000000 = -27
• 16 bit (Ca2)• +32767 = 011111111 11111111 = 215 - 1• -32768 = 100000000 00000000 = -215
• Il più grande numero positivo ha il primo bit 0 e tutti gli altri 1. Il più grande numero negativo (in valore assoluto) ha il primo bit 1 e tutti gli altri zero
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Range di rappresentazione
• In generale con n bit, il range va da
2n -1 a -2n
• E in base b2?
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Complemento a 2• Proprietà-benefici:
• Rappresenta i numeri da -2n-1 a +2n+1
• Una sola interpretazione per “0”
• Un numero negativo si esprime in complemento a 2 invertendo i bit del corrispondente numero positivo, e poi sommando 1 (segue dimostrazione)
• Regola della sottrazione in Ca2:
N1-N2=N1+not(N2)+1
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Artimetica dei numeri interi in Ca2
• Il vantaggio è che somma e sottrazione si eseguono (quasi) nello stesso modo (mentre con la rappresentazione col segno devo considerare separatamente la parte della stringa che rappresenta il numero, ed il bit di segno, ed eseguire i calcoli in modo diverso a seconda dei casi)
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Sottrazione in complemento a 2
• Sia A un intero binario espresso in complemento a 2:A=
Invertiamo tutti i bit di A e sommiamo 1:
Si dimostra che A’= - A !!!! Ne consegue:
2
121
12n
iici
ncn
icn
i
incnAA
2
0211
121'
2(N1 N2) 2 (N1 N2 1)
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Dimostrazione
• A=-A’A+A+1=0
A+A’=
( pn 1 pn 1)2n 1 1 2i
i0
n 2 (pi pi )
2n 1 1 2i
i0
n _ 1 2n 1 1 (2n 1 1) 0
( 2n 1 pn 1 2i pi )i1
n 2 ( 2n 1 pn 1 2i pi 1)
i1
n 2
1
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Sottrazione in Ca2
• Quindi, per eseguire una sottrazione in binario fra interi rappresentati in complemento a 2, basta sommare al minuendo il complemento del sottraendo e sommare 1
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3) Rappresentazione dei numeri Reali
Virgola fissa e mobile
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3.1) Numeri reali in virgola fissa
• Il problema aggiuntivo è la rappresentazione della parte intera e di quella frazionaria.
• Abbiamo sempre un sistema posizionale (in base b 2). I primi m bit rappresentano la parte intera, i successivi n la parte frazionaria.
• con ci { 0 , … , b-1 }
cm 1....c0parteintera c 1c 2...c n
parte frazionaria cib
i
im 1
n
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Precisione
NOTA: la precisione con cui i numeri frazionari possono essere espressi è finita e predeterminata perchè questi devono essere memorizzati in un determinato spazio di memoria
2 1.141421356
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Cambiamento di base
Trasformare <Ni, Nf >a in <Ni , Nf >b, Ni indica la Parte Intera, Nf indica la Parte Frazionaria.
Riserva m bit per la parte intera (P.I.) e n bit per la parte frazionaria (P.F.) ( m e n fissati)
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Conversione di base
• Metodo polinomiale
cm 1....c0parteintera c 1c 2...c n
parte frazionaria cib
i
im 1
n
Es: 1011,011 =
375,11125,025,011321221
120021121220321
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Conversione di base• Metodo iterativo, parte intera: come per i numeri interi• Metodo iterativo, parte frazionaria
1. Si moltiplica Nf per b (sempre con l’aritmetica di a!!) . Il prodotto sia p=pi,pf
(es 0,46)
pi è la cifra più significativa di N’f (in base b).
2. (finché pf=0) esegui:
pfb = p’i,p’f
N’f = N’fp’i (concatena la cifra p’i a destra di N’f)
p’fpf
• NOTA: Il processo può o meno terminare (pf può non essere mai zero!)
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Conversione di base (metodo iterativo, parte frazionaria)
• Esempio
(0,625)10=(0,N’f)8 0,6258=5,00 N’f=5
(0,23)10= (0,N’f)2 0,23 2=0,46 N’f=0
0,46 2=0,92 N’f=00
0,92 2=1,84 N’f=001
0,84 2=1,68 N’f=0011…
(N’f)2=0011
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Esempio 2 : convertire 17,416 in base 2 con 8 bit sia per P.I. che per P.F.1. converti parte intera : 17 10 = 10001 2
2. converti parte frazionaria
0,416 * 2 = 0,832 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,8320,832 * 2 = 1,664 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,6640,664 * 2 = 1,328 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,3280,328 * 2 = 0,656 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,6560,656 * 2 = 1,312 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,3120,312 * 2 = 0,624 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,6240,624 * 2 = 1,248 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,2480,248 * 2 = 0,496 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,49
Perciò 0,416 10 = 0,01101010 217,416 10 = 00010001 , 01101010 2
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Precisione in virgola fissaN.B.: nell’esercizio precedente la versione binaria è un'approssimazione del numero decimale originale. Infatti : 10001,0110101 2 = 24 + 1 + 2-2 + 2-3 + 2-5 + 2-7 = 17,4140625 10 (anziché 17,416) Problema: l'intervallo dei reali rappresentabile è piccolo e con approssimazioni grossolane Esempio 2 : avendo a disposizione 32 bit e assegnandone 20 per la P.I. e 12 per la P.F. si ha (in rappr. con segno) a) P.I. { 2-19 + 1 , … , 219 - 1 } = { -524287 , … , 524287 } b) per la P.F si hanno a disposizione solo 3 o 4 cifre frazionarie (infatti 212 = 4096 )
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3.2) Rappresentazione in virgola mobile
Un reale r è rappresentato dalla terna < s , m , e > dove
r = (–1)s · m · be e gli elementi della terna sono chiamati rispettivamente s= bit di segno , m= mantissa (o significante), espressa come un numero naturale in base b e = esponente , espresso in CaN (complemento a N).
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Forma Normalizzata
Tipicamente si adotta una forma normalizzata (tranne che per lo zero) in cui la mantissa è tale che : 1. la sua parte intera è nulla 2. la sua parte frazionaria inizia con una cifra non nulla (es 0,10112)
Banalmente < s , m , e > soddisfa ciò se e solo se b-1 m < 1 .
Es: Se b=10 m [0,1 1)
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Forma Normalizzata ((2)Quindi, adottando la rappresentazione normalizzata,
r = (–1)s · 0,m · be dove: s è il bit di segno della mantissa m ( m è un intero ) rappresenta la parte frazionaria del numero normalizzato (quindi la mantissa è un intero rappresentato con bit di segno) e è l'esponente, rappresentato in complemento a N (ad esempio, in complemento a 2)
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CAMBIAMENTO di BASE in virgola mobile
Trasformare Na: < s , ma , ea > in Nb: < s , mb , eb >
1. trasforma la tripla < s , ma , ea > in un numero in virgola fissa
2. applica il procedimento per numeri in virgola fissa: ( 0,ma × ae ) a ottenendo ( h , k) b
3. Passa dalla forma in virgola fissa a quella in virgola mobile. mb e eb sono la mantissa e l'esponente normalizzati di (h , k) b
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EsempioNel seguito assumeremo di avere 1 bit per il segno, 8 per la mantissa e 4 per l'esponente. Esempio 3: convertire in base 2 il numero <+,0,9375,-1>: 1. Trasformo Na in virgola fissa: <+,0,9375,-1>=0,9375x10-1=0,09375 10 2. applico il procedimento iterativo per la P.F., ottenendo: 0,09375 10 = 0,00011 2 3. Trasformo Nb in virgola mobile : 0,112-3 4. la rappresentazione cercata, in forma di tripla, è: < 0 , 11000000 2 ,
21101 > (nota: -3 in complemento a 2 è appunto 1101)
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“Range” della rappresentazione in v.m.
In base 2, intervallo rappresentato dando M bit alla mantissa ed E bit all'esponente :
1. i numeri positivi sono [0,12 2E1,0,1.....122E11 ]
M 2.i numeri negativi sono
[ 0,1......122E11,0,12E1]
M
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Esempio• Con 4 bit di mantissa, il range (in valore
assoluto) è:
[1000,1111] in decimale: [0.5, 0.875]
• Con 3 bit di esponente in Ca2, il range degli esponenti positivi è: [000,011] cioè [0,+3]
esponenti negativi [100,111] cioè [-4,-1]
0
2-42-4 2323
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Precisione e Ampiezza
Come si vede, all’aumentare del numero di bit della mantissa aumenta la precisione della rappresentazione (diminuiscono gli intervalli fra numeri adiacenti), mentre all’aumentare del numero di bit dell’esponente aumenta l’ampiezza del campo dei numeri rappresentabili. Occorre dunque trovare un compromesso.
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STANDARD IEEE 85Per uniformare la gestione della rappresentazione invirgola mobile nei vari sistemi digitali (ad evitare cioèche gli stessi dati elaborati su sistemi digitali diversidiano risultati diversi) l’IEEE ha emesso deglistandard di rappresentazione.
La rappresentazione utilizza una polarizzazione, obias, cioè un valore costante che viene sommatoall’esponente e, per ottenere un esponentepolarizzato.
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Standard IEEE
NaN è lo standard di rappresentazione di Not aNumber. Inoltre vengono mostrate le convenzioni dirappresentazione per 0 e per infinito.
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Conversione in virgola mobile• Conversione in virgola mobile del numero -11,0625 utilizzando una
rappresentazione con 1 bit di segno, 8 bit di mantissa e 4 di esponente in complemento a 2.
• Passo 1. Si converte il numero da decimale a binario
1.a) Conversione parte intera (divisioni successive per b(2) in base a(10)11: 25 12 1
1 00 1 Quindi (11)10 = (1011)2
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Conversione virgola mobile1b) Conversione parte decimale
0.0625 x 2 = 0.1250.125 x 2 = 0.250.25 x 2 = 0.50.5 x 2 = 1.0
Quindi (0.0625)10 = (0.0001)2
da cui (11.0625)10 = (1011.0001)2
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Conversione virgola mobile• Passo 2. Determinazione del segno-11.0625 è negativo quindi S=1• Passo 3. Determinazione della mantissaLa mantissa contiene tutte le cifre significative del numero, a partire dall’1
più significativo, eventualmente trascurando le meno significative se il loro numero è maggiore del numero di bit a disposizione
Quindi M = 10110001che, per definizione, rappresenta il valore 0.10110001 (si sottintende che
la virgola sia posizionata immediatamente a sinistra della cifra più significativa)
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Conversione virgola mobile
• Passo 4. Determinazione dell’esponente– Dalla definizione della rappresentazione in virgola mobile un
numero n è uguale a:
n = S x M x 2E – Poiché una moltiplicazione per una potenza positiva della base
equivale ad uno spostamento verso destra della virgola di un numero di posizioni pari all’esponente, e poiché il numero da rappresentare ha la virgola 4 posizioni più a destra rispetto al numero rappresentato dalla sola mantissa, l’esponente dovrà essere uguale a 4.
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Conversione virgola mobile
• In complemento a due su 4 bit, rappresentazione con cui posso rappresentare i numeri interi relativi da -8 a +7, 4 è rappresentato da 0100
• Infatti, poiché 4 un numero positivo, non lo devo complementare e lo rappresento come il corrispondente numero naturale.
• Quindi la rappresentazione di -11.0625 in virgola mobile, con 8 bit di mantissa, 4 di esponente e 1 di segno, è la seguente
S=1 M=10110001 E=0100
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Aritmetica in VMMoltiplicazione (in base b ) < s1 , m1 , e1 > * < s2 , m2 , e2 > = < s , m , e > dove 0 se s1 = s2 1. s = 1 altrimenti 2. m ed e sono la mantissa e l'esponente normalizzati di m1 · m2 · b
e1 + e2 N.B. : attenzione all'overflow degli esponenti!! Analoga è la formula per la divisione: m1m2b
e1 e2.
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Esempio
Eseguire in base 2 18 * -0,06640625 < 0 , 10010000 , 0101 > * < 1 , 10001000 , 1101 > = < 1 , 10011001 , 0001 > Il risultato, convertito in base 10, è correttamente – 1,1953125
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SommaSomma < s1 , m1 , e1 > + < s2 , m2 , e2 > = < s , m , e > -se e1 = e2 s1 se ( –1 ) s1 · m1 ( –1 ) s2 · m2 s = s2 altrimenti m ed e sono le normalizzazioni di m’ ed e’ definiti come : (i) e = e1 m1 + m2 se s1 = s2 (ii) m = | m1 – m2 | altrimenti
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Somma (2) altrimenti (sia e1 < e2 ) slitta a destra m1 di e2 – e1 posizioni (inserendo 0 a sinistra)
- porta così i numeri allo stesso esponente - procede come al punto precedente
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Esempio 1
• <+,1100,001> + <-,1111,011>1. s= - perché e1<e2 (+1<+3)2. Sposta mantissa m1 di due posizioni a destra e
aumenta l’esponente di due, poiché (e2-e1)=23. m=|m1-m2| = (1111-0011)=11004. Poiché m è normalizzata, non c’è altro da fare.
Il risultato è <-,1100,011>
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Esempio 2eseguire in base 2 18 – 100 1810=0001001020=0,1001000025
10010=0110010020=0,110010027 < 0 , 10010000 , 0101 > – < 1 , 11001000 , 0111 > =(e1=+5, e2=+7, e2 – e1=2) < 0 , 00100100 , 0111 > – < 1 , 11001000 , 0111 > =< 1 , 10100100 , 0111 > - 0,1010010027 = - 0101001020 = – 82 N.B. : nell'operazione di shift ci può essere perdita di cifre significative !!
1. Esprimi in formanormalizzata
2.Confronta esponenti
3.Allinea esponenti e slitta mantissa
4. Risultato
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