7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
1/67
Matematika
Tin Perkov, Mandi Orlic
ak. god. 2014/15.
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
2/67
Uvodne informacije
e-mail: [email protected], [email protected]
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
3/67
Uvodne informacije
e-mail: [email protected], [email protected]
konzultacije: cetvrtkom u 10:00, 1. kat, soba 202
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
4/67
Uvodne informacije
e-mail: [email protected], [email protected]
konzultacije: cetvrtkom u 10:00, 1. kat, soba 202 predavanja i vjezbe: subotom od 9:15 u VP
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
5/67
Pravila
nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
6/67
Pravila
nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
dva kolokvija (ukupno najvise 100 bodova)
http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
7/67
Pravila
nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
dva kolokvija (ukupno najvise 100 bodova)
oslobodenje od pismenog: najmanje 40 bodova
http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
8/67
Pravila
nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
dva kolokvija (ukupno najvise 100 bodova)
oslobodenje od pismenog: najmanje 40 bodova zavrsni ispit (usmeni)
http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
9/67
Pravila
nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
dva kolokvija (ukupno najvise 100 bodova)
oslobodenje od pismenog: najmanje 40 bodova zavrsni ispit (usmeni)
ispit: pismeni i usmeni
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
10/67
Pravila
nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
dva kolokvija (ukupno najvise 100 bodova)
oslobodenje od pismenog: najmanje 40 bodova zavrsni ispit (usmeni)
ispit: pismeni i usmeni
ne postoji mogucnost oslobodenja od usmenog
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
11/67
Literatura
Svi materijali su na internet-stranicama kolegija:https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematika
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
12/67
Literatura
Svi materijali su na internet-stranicama kolegija:https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematika
skripta: S. Suljagic Matematika II
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
13/67
Literatura
Svi materijali su na internet-stranicama kolegija:https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematika
skripta: S. Suljagic Matematika II
repetitorij: sadrzi formule i smije se koristiti na kolokvijima iispitima
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
14/67
Literatura
Svi materijali su na internet-stranicama kolegija:https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematika
skripta: S. Suljagic Matematika II
repetitorij: sadrzi formule i smije se koristiti na kolokvijima iispitima
zadaci za kolokvije i ispite
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
15/67
Literatura
Svi materijali su na internet-stranicama kolegija:https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematika
skripta: S. Suljagic Matematika II
repetitorij: sadrzi formule i smije se koristiti na kolokvijima iispitima
zadaci za kolokvije i ispite
Na istim stranicama objavljuju se i vazne obavijesti (rezultati
kolokvija i pismenih ispita, termini usmenih i sl.)
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
16/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
17/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije
S
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
18/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
S d j k l ij
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
19/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
S d j k l ij
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
20/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
S d j k l ij
http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
21/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15)
S d j k l ij
http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
22/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
S d j k l gij
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
23/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja.
Sadrzaj kolegija
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
24/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja. Nadan prvog kolokvija, poslije kolokvija i pauze nastavlja se s
nastavom.
Sadrzaj kolegija
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
25/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja. Nadan prvog kolokvija, poslije kolokvija i pauze nastavlja se s
nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima.
Sadrzaj kolegija
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
26/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja. Nadan prvog kolokvija, poslije kolokvija i pauze nastavlja se s
nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima. Ispit trebate navrijeme prijaviti na studomatu.
Sadrzaj kolegija
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
27/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja. Nadan prvog kolokvija, poslije kolokvija i pauze nastavlja se s
nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima. Ispit trebate navrijeme prijaviti na studomatu. Ispit trebate odjaviti akoodustanete prije isteka roka za odjavu.
Sadrzaj kolegija
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
28/67
Sadrzaj kolegija
funkcije vise varijabli
parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)
visestruki integrali
drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)
zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)
Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja. Nadan prvog kolokvija, poslije kolokvija i pauze nastavlja se s
nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima. Ispit trebate navrijeme prijaviti na studomatu. Ispit trebate odjaviti akoodustanete prije isteka roka za odjavu. Studenti koji poloze zavrsniispit trebaju prijaviti ispit na prvom roku kako bi im ocjena moglabiti unesena u sustav.
Plan za danas
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
29/67
Plan za danas
funkcije vise varijabli
Plan za danas
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
30/67
Plan za danas
funkcije vise varijabli
prirodna domena
Plan za danas
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
31/67
Plan za danas
funkcije vise varijabli
prirodna domena graf funkcije i nivo-linije
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
32/67
Funkcije vise varijabli
Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
33/67
j j b
Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S. Kazemo da je:
S domena,
S kodomena,
xvarijabla,
f(x) vrijednost funkcije.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
34/67
j j
Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S. Kazemo da je:
S domena,
S kodomena,
xvarijabla,
f(x) vrijednost funkcije.
Realna funkcija jedne realne varijable je f :S R, gdje je S R.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
35/67
j j
Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S. Kazemo da je:
S domena,
S kodomena,
xvarijabla,
f(x) vrijednost funkcije.
Realna funkcija jedne realne varijable je f :S R, gdje je S R.Umjesto toga cesto kratko kazemo funkcija jedne varijable,podrazumijevajuci da promatramo samo realne funkcije s realnimvarijablama.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
36/67
j j
Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S. Kazemo da je:
S domena,
S kodomena,
xvarijabla,
f(x) vrijednost funkcije.
Realna funkcija jedne realne varijable je f :S R, gdje je S R.Umjesto toga cesto kratko kazemo funkcija jedne varijable,podrazumijevajuci da promatramo samo realne funkcije s realnimvarijablama.
Primjeri
Funkcija f(x) =x2 je f : R R.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
37/67
Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S. Kazemo da je:
S domena,
S kodomena,
xvarijabla,
f(x) vrijednost funkcije.
Realna funkcija jedne realne varijable je f :S R, gdje je S R.Umjesto toga cesto kratko kazemo funkcija jedne varijable,podrazumijevajuci da promatramo samo realne funkcije s realnimvarijablama.
Primjeri
Funkcija f(x) =x2 je f : R R. Funkcija f(x) =
x je f : [0, R.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
38/67
Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
39/67
Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}, tj. R2 je skup svihuredenih parova realnih brojeva, koje prikazujemo u koordinatnomsustavu u ravnini.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
40/67
Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}, tj. R2 je skup svihuredenih parova realnih brojeva, koje prikazujemo u koordinatnomsustavu u ravnini.
Primjeri Funkcija f(x, y) =x+y je f : R2 R.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
41/67
Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}, tj. R2 je skup svihuredenih parova realnih brojeva, koje prikazujemo u koordinatnomsustavu u ravnini.
Primjeri Funkcija f(x, y) =x+y je f : R2 R. Funkcija f(x, y) =xy je f : R2 R.
Funkcije vise varijabli
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
42/67
Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}, tj. R2 je skup svihuredenih parova realnih brojeva, koje prikazujemo u koordinatnomsustavu u ravnini.
Primjeri Funkcija f(x, y) =x+y je f : R2 R. Funkcija f(x, y) =xy je f : R2 R. Funkcija f(x) =
xy je
f : {(x, y) R2 :x, y 0 ili x, y 0} R.
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
43/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj.
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
44/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
45/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
46/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
2. f(x, y) = ln(x2 +y)
Prirodna domena
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
47/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
2. f(x, y) = ln(x2 +y)
3. f(x, y) = arcsin(2x y)
Prirodna domena
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
48/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
2. f(x, y) = ln(x2 +y)
3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =
16 25y2 x2
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
49/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
2. f(x, y) = ln(x2 +y)
3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =
16 25y2 x2
5. f(x, y) =
(x2 +y2
4)(16
x2
y2)
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
50/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
2. f(x, y) = ln(x2 +y)
3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =
16 25y2 x2
5. f(x, y) =
(x2 +y2
4)(16
x2
y2)
6. f(x, y) = ln 5x
ln 2y
Prirodna domena
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
51/67
Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)
takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.
Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.
1. f(x, y) =
2x
y2
2. f(x, y) = ln(x2 +y)
3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =
16 25y2 x2
5. f(x, y) =
(x2 +y2
4)(16
x2
y2)
6. f(x, y) = ln 5x
ln 2y
7. f(x, y) = ln(7x+ 6y) +
4 y2
Graf funkcije i nivo-linije
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
52/67
Graf funkcijeod dvije varijable f :S R je skup{(x, y, f(x, y)) : (x, y) S}.
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
53/67
Graf funkcijeod dvije varijable f :S R je skup{(x, y, f(x, y)) : (x, y) S}. Njegovi elementi su uredene trojkerealnih brojeva, pa ga prikazujemo kao plohu u prostoru (dok je
graf funkcije jedne varijable krivulja u ravnini).
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
54/67
Graf funkcijeod dvije varijable f :S R je skup{(x, y, f(x, y)) : (x, y) S}. Njegovi elementi su uredene trojkerealnih brojeva, pa ga prikazujemo kao plohu u prostoru (dok je
graf funkcije jedne varijable krivulja u ravnini).Zadatak:
8. Skicirajte graf funkcije f(x, y) =x2 +y2.
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
55/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini.
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
56/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
57/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
58/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
59/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije, npr. izohipsa 100 je skup svihtocaka u kojima je nadmorska visina 100m.
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
60/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije, npr. izohipsa 100 je skup svihtocaka u kojima je nadmorska visina 100m.
Zadaci:Skicirajte nivo-linije za vrijednosti 0, 1, 2,1 i2 sljedecihfunkcija.
9. f(x, y) =x2
y2
Graf funkcije i nivo-linije
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
61/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije, npr. izohipsa 100 je skup svihtocaka u kojima je nadmorska visina 100m.
Zadaci:Skicirajte nivo-linije za vrijednosti 0, 1, 2,1 i2 sljedecihfunkcija.
9. f(x, y) =x2
y2
10. f(x, y) = 2x y
Graf funkcije i nivo-linije
fi f
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
62/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije, npr. izohipsa 100 je skup svihtocaka u kojima je nadmorska visina 100m.
Zadaci:Skicirajte nivo-linije za vrijednosti 0, 1, 2,1 i2 sljedecihfunkcija.
9. f(x, y) =x2
y2
10. f(x, y) = 2x y11. f(x, y) =x2 +y2
Graf funkcije i nivo-linije
D i i fik ik i j f k ij d d ij ij bl j
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
63/67
Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u
kojima funkcija ima istu vrijednost.
Primjer
Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije, npr. izohipsa 100 je skup svihtocaka u kojima je nadmorska visina 100m.
Zadaci:Skicirajte nivo-linije za vrijednosti 0, 1, 2,1 i2 sljedecihfunkcija.
9. f(x, y) =x2
y2
10. f(x, y) = 2x y11. f(x, y) =x2 +y2
12. f(x, y) =
4x2 + 25y2
Preporuke za samostalni rad
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
64/67
Procitati:
repetitorij, str. 35. o funkcijama vise varijabli, str. 17-19. ofunkcijama jedne varijable, na str. 13. pregled jednadzbi pravcai krivulja drugog reda, te na str. 15. pregled ploha drugog reda
Preporuke za samostalni rad
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
65/67
Procitati:
repetitorij, str. 35. o funkcijama vise varijabli, str. 17-19. ofunkcijama jedne varijable, na str. 13. pregled jednadzbi pravcai krivulja drugog reda, te na str. 15. pregled ploha drugog reda
skripta, podnaslov Funkcije vise varijabli, primjeri 1.6, 1.8. i
1.9, te rijeseni zadatak 4.
Preporuke za samostalni rad
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
66/67
Procitati:
repetitorij, str. 35. o funkcijama vise varijabli, str. 17-19. ofunkcijama jedne varijable, na str. 13. pregled jednadzbi pravcai krivulja drugog reda, te na str. 15. pregled ploha drugog reda
skripta, podnaslov Funkcije vise varijabli, primjeri 1.6, 1.8. i
1.9, te rijeseni zadatak 4.
Rijesiti:
zadaci za kolokvije i ispite, 1-14.
Preporuke za samostalni rad
http://find/7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli
67/67
Procitati:
repetitorij, str. 35. o funkcijama vise varijabli, str. 17-19. ofunkcijama jedne varijable, na str. 13. pregled jednadzbi pravcai krivulja drugog reda, te na str. 15. pregled ploha drugog reda
skripta, podnaslov Funkcije vise varijabli, primjeri 1.6, 1.8. i
1.9, te rijeseni zadatak 4.
Rijesiti:
zadaci za kolokvije i ispite, 1-14.
skripta, podnaslov Funkcije vise varijabli, primjer 1.7. i rijesenizadatak 3. Najprije ih pokusajte samostalno rijesiti, a tekonda procitajte rjesenja.
http://find/Top Related