คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
1
บทที่ 1 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม
เนื้อหา ตามหลักสูตรกระทรวง พ.ศ. 2544 และ เร่ิมใช หลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551 ใน ปการศึกษา พ.ศ. 2552 มี 9 หัวขอ 1.1 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม 1.2 รากที่ ในระบบจํานวนจริงและจํานวนจริงในรูปกรณฑ n
1.3 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ 1.4 ฟงกชันเอกซโพเนนเชยีล 1.5 ฟงกชันลอการิทึม 1.6 การหาคาลอการิทึม 1.7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 1.8 สมการเอกซโพเนนเชียลและสมการลอการิทึม 1.9 การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม
22 512 + = 2.....
22 724 + = 2.....
22 815 + = 2.....
22 2021 + = 2.....
1729 = 33
............ + =33
............ +
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
2
1.1 เลขยกกําลังท่ีมีเลขชี้กําลงัเปนจํานวนเต็มแบบฝกหัด 1.1
1. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนบวก
1.) 05
53
2332
−
−−
= 32−
วิธีทํา 05
53
2332
−
−−
= 1......
ตอบ
2.) )21)(12( 522 yxyx
วิธีทํา )21)(12( 522 yxyx = (......))(......)6( ⋅
ตอบ
3.) 3
49 )2(x
xx
วิธีทํา 3
49 )2(x
xx = )(......)16(
ตอบ
4.) )12)(1 834 −b3
( bb
วิธีทํา )12)(31( 834 −bbb = )(......)4(
ตอบ 5.) 7275 )(( −−− baba 0c )
วิธีทํา 7275 )(( −−− baba 0c ) = .....)(......)(.
ตอบ 6.) 221 ))(2( −− abab
วิธีทํา 221 ))(2( −− abab = ตอบ
7.) 4
23
21 −
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ yx
วิธีทํา 4
23
21 −
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ yx = (....)(....)(....) ⋅⋅
ตอบ
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
3
8.) 2
3231
−
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ba
วิธีทํา 2
3231
−
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ba =
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= (....)(....)(....) ⋅⋅ ตอบ
9.) yxxyyx
2
5432 )()( −
=
ตอบ
10.) 1
85
21 −
−−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
xzyzyx =
ตอบ 2. ถา และ เปนจํานวนเต็มบวก จงพิจารณาขอความตอไปนี้วา จริงหรือ ไม mxx ,1,0 ≠> n
1.) nm x1
⋅ = nmx −
x1
2.) n
m
xx− = nmx −
3.) nx−
1 = nx
4.) nm xx + = nmx +
5.) ก็ตอเมื่อ mx > 1 x 1 >
1.2 รากที่ n ในระบบจํานวนจริงและจํานวนจริงในรูปกรณฑ
รูปแบบรากที่ 2 2Δ = Δ เมื่อ Δ เปนจาํนวนจริงใดๆ
∴ 2Δ = , 0
, 0
Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
4
แบบฝกหัด 1.2 1. จงทําจํานวนเหลานี้ใหอยูในรูปอยางงาย
1.) 28x
วิธีทํา ใชรูปแบบ 2Δ = Δ เมื่อ Δ เปนจาํนวนจริงใดๆ
28x = 28 x
= 22 2 x⋅ ⋅
= 22 2 x⋅ ⋅ = 2 2 x⋅ ⋅
= 2 2 , 0
0, 02 2
x xxxx
⎧
0⋅ ⋅ >
⎪=⎨
⎪ <− ⋅ ⋅⎩
ตอบ
2.) 33 27−
3.) 4 256 4.) 3 64
5.) 6 1
64
2. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปที่สวนไมตดิกรณฑ
1.) 25
วิธีทํา ใชรูปแบบ Δ Δ = Δ และ ใชรูปแบบ Δ∇
= Δ∇
25 =
52
= 5 22 2⋅
= 5 22 2⋅⋅
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
5
= 5 2
22
⋅
= 5 2
2⋅
= 102
ตอบ
= 1 102⋅ ตอบ
2.) 1521
3.) 203
4.) 12296
5.) 12483
3. จงทําผลคูณตอไปนีใ้หอยูในรูปอยางงาย 1.) 75⋅12 วิธีทํา ใชรูปแบบ Δ ⋅∇ = Δ ⋅ ∇ 7512 ⋅ = 4 3 25 3⋅ ⋅ ⋅ = 4 3 25 3⋅ ⋅ ⋅ = 2 3 5 3⋅ ⋅ ⋅
= 210 3⋅
= 30 ตอบ 2.) 2 12⋅ 3.) 33 454 ⋅ 4.) 2793 ⋅⋅ 4. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1.) )5210(52 + วิธีทํา
)5210(52 + = 2( 5 10 2 5 5)+ = 2( 50 2 25)+
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
6
= 2 50 4 25+ = 2 25 2 4 25+ = 10 2 20+ = 20 10 2+ ตอบ 2.) )23)(23( −+ 3.) 2)32( + 4.) )152)(25( +− 5.) )732)(732( −+
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
7
1.3 เลขยกกําลังท่ีมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ สมบัติของเลขยกกําลัง
1. จะได ma = na m = n
2. m na a⋅ = m na +
3. mana
= m na −
4. m na a÷ = m na −
5. ( )m na = m na ⋅
6. na
b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= n
n
ba
7. ( ) m ma b⋅ = ma b⋅
8. na− =1na
ทบทวน
รูปแบบรากที่ 2 2Δ = Δ เมื่อ Δ เปนจาํนวนจริงใดๆ
∴ 2Δ = Δ = , 0
, 0
Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩
และ ∇ ∈ ( ),−∞ ∞ เมื่อ ∇ ≥ 0
เครื่องหมายรากเลขเลขชี้กําลัง
n a = na1
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
8
แบบฝกหัด 1.3
1. จงหาคาของ
1.) 32
27
วิธีทํา 32
27 = ( )2
3 33
=3
3
23
× = 23 = 9
∴ 32
27 = 9 ตอบ
2.) 41
16−
3.) 23
)25.0(
4.) 32
)027.0(
5.) 2
1 3125⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
6.) ( )13
125−
−
7.) 32
)27(−
8.) 32
169⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
8.) 3
9 216⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ขอนี้เสริม
9.) 2
1 38
−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
9
10.)
21 38⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2. ให x และ y เปนจํานวนจริงบวก จงทําใหอยูในรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนบวก
1.)
14 264
x
y
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
วิธีทํา
14 264
x
y
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
121
4 64 x y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
=( ) ( )
12
212 22 2 32 x y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
=
12 21
2 32 x y
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= 2
12 32 x y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
12
×
= 12 32
x y⋅ ⋅
14 264
x
y
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∴ 12 32
ตอบx y⋅ ⋅
2.)
23 327
6x
y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3.)
32332
X
X
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
4.)
21132
14
X Y
X
⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
5.)
13 4 3125627
x y
x y
⎛ ⎞⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎝ ⎠
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
10
5.)
13 4 3125627
x y
x y
⎛ ⎞⎜⎜⎝ ⎠
⎟⎟
ขอนี้เสริม
3. จงทําใหเปนรูปอยางงาย 1.) 183250 −+ วิธีทํา 183250 −+ = 25 2 16 2 9 2⋅ + ⋅ − ⋅
= 25 2 16 2 9 2⋅ + ⋅ − ⋅
= 5 2 4 2 3 2⋅ + ⋅ − ⋅ = ( )5 4 3 2+ − ⋅
= 6 2⋅ ∴ 183250 −+ = 6 2⋅ ตอบ 2.) 333 10832245 −⋅+⋅ 3.) 4 643223 −⋅+⋅ 4.) 333 19237581 −+
5.) 953 164 xxx +− 4. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหตัวสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ (ใหสวนเปนจํานวนตรรกยะ)
1.) 32
1+2
วิธีทํา ใชรูปแบบ ( ) ( ) = 2 2Δ −∇ Δ +∇ Δ −∇
322
1+
= ( )
( )( )2 2 3
2 2 3 2 2 3
−
+ −
= ( )
( ) ( )2 2 3
2 22 2 3
−
−
= 2 2 38 3−−
= 2 2 35−
∴ 322
1+
= 2 2 35− ตอบ
2.) 322
1−
3.) 726372610
+−
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
11
4.) 5645367
++
5.) 7559
40−
5. จงทําใหเปนรูปอยางงาย
1.) 1313
1313
−+
++−
วิธีทํา ใชรูปแบบ ( ) ( ) = 2 2Δ −∇ Δ +∇ Δ −∇
และ ( )2Δ +∇ = 2 22Δ + Δ∇+∇
1313
1313
−+
++− =
( ) ( )2 23 1 3 12 22 23 1 3 1
− ++
− −
=( ) ( )2 2
3 1 3 12 23 1
− + +
−
=( ) ( )3 1 2 3 3 1 2 3
3 1
+ − + + +
−
( ) ( ) =
4 2 3 4 2 3
2
− + +
=
82
∴ 1313
1313
−+
++− = 4 ตอบ
2.) 23
1223
18−
++
3.) ( )4 3 1 2 3
3 1 2 3
+ ++
− −
6. จงหาคากําลังสองของจํานวนตอไปนี ้ 1.) กําลังสองของ qpqp −++
วิธีทํา ใชรูปแบบ ( ) ( ) = 2 2Δ −∇ Δ +∇ Δ −∇
และ ( )2Δ +∇ = 2 22Δ + Δ∇+∇ ตองกําหนดให p q+ ≥ 0 และ p q− ≥ 0
( )2p q p q+ + − = 2 22p q p q p q p q+ + + ⋅ − + −
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
12
= 2p q p q p q p q+ + + ⋅ − + −
= 2 2p p q p q+ + ⋅ −
= ( ) ( )2 2p p q p q+ + ⋅ −
= 2 22 2p p q+ −
∴ ( )2p q p q+ + − = 2 22 2p p q+ − = 2 22 p p q⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
ตอบ
2.) กําลังสองของ 2222 23 baba −−+ 3.) กําลังสองของ 3212 ++− xx 7. กําหนดให 41421.12 ≈ , 73205.13 ≈ , 23607.25 ≈ และ 44949.26 ≈ จงหาคาประมาณของจํานวนตอไปนี้ ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 4
1.) 325335
+−
( ) ( )( ) วิธีทํา
( )5 3 3
5 2 3
−
+=
( )( )5 3 3 5 2 3
5 2 3 5 2 3
− −
+ −
( )( ) =
( ) ( )
5 3 3 5 2 32 25 2 3
− −
−
=( )( )5 3 3 5 2 3
50 9
− −
−
=( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5 3 5 2 5 3 3 3 5 2 3 3
50 9
+ − + − + − −
−
=( ) ( ) ( )25 6 15 3 15 2 9
41
+ − + − +
≈( ) ( ) ( )25 2.44949 15 1.73205 15 1.41421 9
41× + − × + − × +
≈ ( ) ( ) ( )61.23725 25.98075 21.21315 941
− − +
≈ 23.0433541
≈ 0.56203
∴ 325335
+− ≈ 0.56203 ตอบ
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
13
2.) 5 29 4 5
−−
2.) 54925
+− ขอนี้เสริม
3.) 347325
−+
8. จงหาเซตคาํตอบของสมการตอไปนี ้ 1.) 8−m = 0
วิธีทํา เมื่อ เปนจาํนวนจริงใดๆ Δ
∴ 2Δ = Δ = , 0
, 0
Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩
8−m = 0
m = 8
m = 64 = เปนจริง ตรวจสอบ คําตอบ 064 8−
∴ เซตคําตอบของสมการดังกลาว คือ { }64 ตอบ 2.) 615 ++x 10 =
วิธีทํา อยางละเอียด นักเรียนสามารถขามขั้นตอนบางบรรทัดไดเอง ขอหลังจะรวบรัดมากขึ้น กําหนด เปนจํานวนจริงใดๆ Δ
∴ 2Δ = Δ = , 0
, 0
Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩
และ ∇ ∈ ( ),−∞ ∞ เมื่อ ∇ ≥ 0
615 ++x = 10 5 1x + = 10 6− = 4
25 1x + = 24 5 1x + = 16 5 1x + = 16 , 16− แยกคดิเปน สวน 2
5 1x + 16 =
5x 15 =
5 1x + = 16− 5x = 17−
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
14
x 3 = x = 175
−
∴ x = 3 , 175
−
ตรวจสอบ คําตอบ x = 3
( )5 3 1 6+ + = 10
16 6+ = 10
4 6+ = 10
ตรวจสอบ คําตอบ x = 175
−
175 15
⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
6 = 10
คาในรากที่สอง ตองมีคามากกวา 0
175 15
⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
6 = 10 ไมเปนจริง
∴ เซตคําตอบของสมการดังกลาว คือ { }3 ตอบ
3.) 52 + =r r 4.) 7+x = 5−x
5.) 7+x = 13 +x 6.) xx −+1 = 2
7.) 3−x = 3−x 7.) 3−x = 3x − ขอนี้เสริม 8.) xx ++12 = 2
9.) 212 +− x = 3x + 10.) 3 4 3 5x x+ + − 9 =
คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม
15
11.) 214 −−+ xx = 3+x 12.) 27 +++ xx = 136 +x
Top Related