PRIMITIVAS

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ka

u arcsec

a

1

auu

du12)

ka

u arctg

a

1

ua

du11)

ka

uarcsen

ua

du10)

ku cscdu u cotg u csc9)

ku secdu u tgu sec8)

ku cotgdu ucsc7)

ku tgdu usec6)

kusen du u cos5)

ku cosdu usen 4)

k edue3)

kulnu

du2)

1p,k1p

uduu1)

22

22

22

2

2

uu

1pp

+

=−

+

=+

+

=−

+−=

+=

+−=

+=

+=

+−=

+=

+=

−≠++

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫+

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULOTeorema Fundamental do Cálculo:

Seja f contínua no intervalo [a, b] e F uma primitiva de f

DERIVADAS IDENTIDADES TRIGONOM

( )

( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) '

'

'2

'2

'

'

'

'uu

'1pp

u ucotgucscucscdx

d10)

u utgusecusecdx

d9)

u ucscucotgdx

d8)

u usecutgdx

d7)

u usenucosdx

d6)

u ucosusendx

d5)

u

u uln

dx

d4)

u e edx

d3)

u u pudx

d2)

IRk,0kdx

d1)

−=

=

−=

=

−=

=

=

=

=

∈∀=

−

(

csc 11)

sec 10)

cotg 9)

tg8)

cos 7)

sen 6)

sen 5)

cos 4)

csc 3)

sec 2)

sen 1)

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Seja f contínua no intervalo [a, b] e F uma primitiva de f ( ) ( )( )xfxF:éisto ' = . Então: ( ) ( )[ ] (FxF dx xf b a

b

a

==∫

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )xsen

1xcsc

xcos

1xsec

xsen

xcosxcotg

xcos

xsenx

xsenxcos2xcos

xcos xsen 22xsen2

2xcos1xsen

2

2xcos1xcos

xcotg1xcsc

xtg1xsec

1xcosxsen

2

2

2

22

22

22

=

=

=

=

−==

−=

+=

+=+=

=+

( ) ( )aFb −

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0) du = u + c

dx'

'

'

'

'

'

'

'

'

sen

seccsc

cos

sen

sencos 2

(

cotg

sec

csc

|| |

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Integração por partes: ∫ ∫= duv-vudvu

Integração por decomposição em frações parciais: dx q(x)p(x)

∫ ● Fator linear de q(x): bax

A

+ ● Fator quadrático de q(x):

cbxax

BAx

2 +++

Integração por substituição trigonométrica: Para integrais contendo um único radical no integrando da forma ( 0a > constante):

22 xa − ➪ ( )tsenax = 22 xa + ➪ ( )ttgax = 22 ax − ➪ ( )tsecax =

EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR

Equação Diferencial Linear de 1ª ordem: ( ) ( )xqy xpy ' =+ Fator Integrante: ( ) ( )∫= dx xpe xI Solução:( ) ( ) ( )∫= dxxqxIxI

1y

SÉRIES

Séries Geométricas: ∑∞

=

−

1n

1nar ● Converge para r1

a

− se 1r < ; ● Divergente se 1r ≥ .

Série p: ∑∞

= 1n pn

1 com p > 0 é : ● Convergente se 1p > ; ● Divergente se 1p0 ≤< .

Teste da Divergência (Critério do Termo Geral): Se 0alim nn

≠∞→

então a série ∑∞

= 1n na é divergente.

Teste da Integral: Seja f uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [ )∞+;1 e ( )nfan = .

● Se ( )∫+∞

1

dxxf é convergente, então ∑∞

=1nna é convergente. ● Se ( )∫

+∞

1

dxxf é divergente, então ∑∞

=1nna é divergente.

Teste da Comparação por Limites: Sejam ∑∞

= 1n na e ∑

∞

= 1n nb séries de termos positivos. Se 0L

b

alim

n

n

n>=

∞+→, então ambas convergem ou ambas divergem.

Teste da Série Alternada: ( )∑∞

=1nn

n a1- é Convergente se 0alim nn

=∞+→

e 1n n aa +≥ para todo 1n ≥ .

Teste da Razão: Seja ∑∞

= 1n na uma série de termos não nulos e L

a

alim

n

1n

n=+

∞→ ( ou ∞+ ).

● Se 1L < então a série é convergente; ● Se 1L > (ou ∞+ ) então a série é divergente; ● Se 1L = nada se conclui .

Série de Taylor: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) LL +−++−+−+= nn

2' ''

cxn!

cfcx

2!

cfcx

1!

cfcfxf Série de Maclaurin: Centro c = 0 .