Θεωρία ΓράφωνΘεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-ΕφαρμογέςΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα
1Data Engineering Lab
Σχετικά με το μάθημα Ώρες γραφείου: ποτέ Ώρες επικοινωνίας: πάντα email: [email protected] Δικτυακός Τόπος Μαθήματος:
http://delab.csd.auth.gr/~manolopo/graph Ώρες Μαθήματος:
Τρίτη 14:00-16:00 (Αίθουσα Α) Πέμπτη 12:00-14:00 (Αίθουσα Α)
Τρόπος Εξέτασης: Περίοδος Ιουνίου-Σεπτεμβρίου ή Απαλλακτικά Θέματα
2Data Engineering Lab
Το Königsberg της Πρωσσίας ιδρύθηκε το 1255 από Τεύτονες ιππότες και ήταν η πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσίας μέχρι το 1945.
Σήμερα είναι το Ρωσικό Kaliningrad (μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας στη Βαλτική)
Ήταν μεγάλο κέντρο για αιώνες και πατρίδα των Goldbach, Hilbert, Kant και Wagner.
Η απαρχή της Θεωρίας Γράφων
Data Engineering Lab 3
Γεννήθηκε στη Βασιλεία και θα γίνοταν πάστορας, όπως ο πατέρας του.
Σπούδασε Εβραϊκά και Θεολογία αλλά πήρε και μαθήματα από τον Bernoulli.
Το 1727 έπιασε δουλειά στο Ιατρικό τμήμα του Πανεπιστημ. της Α.Πετρούπολης αλλά μετά το θάνατο της Αικατερίνης Ι ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά.
Leonhard Euler (1707-1783)
Data Engineering Lab 4
Παντρεύτηκε το 1733, είχε 13 παιδιά, ενηλικιώθηκαν τα 5.
Το 1741 μετακόμισε στο Βερολίνο και έμεινε 25 χρόνια.
Δημοσίευσε >500 βιβλία και εργασίες εν ζωή και 400 μετά θάνατο.
Εφηύρε τους συμβολισμούς i, π, e, sin, cos, f(x) και άλλους!
Έχασε την όραση του αλλά έγινε παραγωγικότερος. Είπε:“now I have fewer distractions”
Leonhard Euler (1707-1783)
Data Engineering Lab 5
Data Engineering Lab
Οι 7 γέφυρες τουΟι 7 γέφυρες του KönigsbergKönigsberg
6
Data Engineering Lab
Ο γράφοςκορυφή
ακμή
7
Data Engineering Lab
Μη κατευθυνόμενος γράφος
2
4
31
8
Data Engineering Lab
Περίπατος και Μονοπάτι
Περίπατος: ακολουθία συνδεδέμενων κορυφών Μονοπάτι: περίπατος χωρίς επανάληψη κορυφών
V5V4
V3V2
V1V6
9
Data Engineering Lab
Λύση Euler Συνθήκη για να υπάρχει μονοπάτι που
περνά από όλες τις κορυφές: όλες οι κορυφές να έχουν άρτιο βαθμό
Μονοκοντυλιάtraversability
10
Thomas P. Kirkman William R. Hamilton
Hamiltonian κύκλοι σε πλατωνικούς γράφους
Εύρεση κύκλων σε πολύεδρα
Data Engineering Lab 11
Gustav Kirchhoff
Δένδρα σε ηλεκτρικά κυκλώματα
Data Engineering Lab 12
Arthur Cayley James J. Sylvester George Polya
Απαρίθμηση σε χημικά ισομερή
Data Engineering Lab 13
Francis Guthrie Auguste DeMorgan
Χρωματισμός χαρτών
Data Engineering Lab 14
Παράδειγμα 4-Χρωματισμού
Η Εικασία των 4 χρωμάτων Το 1976, οι Kenneth Appel και Wolfgang
Haken ανακοίνωσαν την απόδειξη (με τη βοήθεια υπολογιστή) της Εικασία των 4 χρωμάτων, ένα άλυτο πρόβλημα επί αιώνες.
Data Engineering Lab 16
Data Engineering Lab
Εφαρμογές γράφωνΕφαρμογή Κορυφές Ακμές Ροή
Communications Telephones exchanges, computers, satellites
Cables, fiber optics, microwave relays
Voice, video, packets
Circuits Gates, registers, processors Wires Current
Mechanical Joints Rods, beams, springs Heat, energy
Hydraulic Reservoirs, pumping stations, lakes Pipelines Fluid, oil
Financial Stocks, currency Transactions Money
Transportation Airports, rail yards, street intersections
Highways, railbeds, airway routes
Freight, vehicles, passengers
17
Data Engineering Lab
Κατευθυνόμενος γράφος
2
4
31
18
Data Engineering Lab
Συνδεσμικότητα
• Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία;
• Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της;
19
Data Engineering Lab
Λειτουργία δικτύων
A B
C D
Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε
άλλον;
A B
C D
Βλάβη
20
Data Engineering Lab
Ζυγισμένος γράφος (weighted)
2
4
31
1.2
2.1
0.2
0.5
2
4
31
4
8
6
2
9
21
Data Engineering Lab
Συντομότερη διαδρομή
• Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία;
• Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος;
22
Data Engineering Lab
GPS – Πλοήγηση
Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών …
23
Data Engineering Lab
Routing in Internet (TCP/IP)
V1
1
43
3
6
44
1 2
5
2
V2V3
V7V6
V5V4
D3=2D2=1
D7=3
D6=6
D5=7
24
Data Engineering Lab
Γρίφος (3 utilities)
ΔΕΗ ΟΤΕ ΕΥΑΘΣύνδεσε τα 3 σπίτια με τις 3 παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις
25
Data Engineering Lab
Προσπαθήστε…
Σπίτι 2 με ΟΤΕ;
26
Data Engineering Lab
Επιπεδικότητα Μπορεί ένας γράφος να σχεδιασθεί ώστε να μην
υπάρχουν τεμνόμενες ακμές;
27
Data Engineering Lab
Ωκεανία
Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα)
28
Data Engineering Lab
Ελάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα
1 2
2 2
3
4
4
5
3
3
2
1
A
B
C
D
E
F
G10
63
76
12
6
9
10
29
Data Engineering Lab
Λύση
1 2
2 2
2
1
A
B
C
D
E
F
30
Data Engineering Lab
Σκάκι (πρόβλημα κυριαρχίας)
Πως να τοποθετήσω τις 8 βασίλισσες χωρίς να απειλούνται;
31
Data Engineering Lab
Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (Hamiltonian περίπατος)
32
Data Engineering Lab
Χάρτες (χρωματισμός)
Πως να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό), ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα;
Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο;
Η απόδειξη του 4
33
Data Engineering Lab
Ανάλυση συνδέσμων
Ποιοι κόμβοι είναι κεντρικοί;
34
Δίκτυο metro (Λονδίνο)
Data Engineering Lab 35
Data Engineering Lab
Χάρτης επιστήμης (science map)
36
Δίκτυα συν-συγγραφέων
Data Engineering Lab 37
Δίκτυα αναφορών (citations)
Data Engineering Lab 38
Data Engineering Lab
Κοινωνικά δίκτυα
small-world6 hops
39
Το Φαινόμενο του Μικρού Το Φαινόμενο του Μικρού ΚόσμουΚόσμου
http://mathforum.org/mam/04/poster.html
Ο Stanley Milgram έστειλε ένα σύνολο επιστολών από τις Μεσοδυτικές πολιτείες των ΗΠΑ προς τη Βοστώνη. Κάθε φορά, οι επιστολές μπορούσαν να αποσταλούν μόνο προς γνωστούς αποστολείς. Ο Milgram κράτησε τα ίχνη των επιστολών και βρήκε ότι η μέση τιμή του μήκους των ιχνών ήταν περίπου 6, διατυπώνοντας έτσι την αρχή του «6 degrees of separation."
Data Engineering Lab 40
Το Παιχνίδι τουΤο Παιχνίδι του Kevin Bacon Kevin BaconBacon
Number# of
People
0 1
1 1766
2 141840
3 385670
4 93598
5 7304
6 920
7 115
8 61
Average Bacon number: 2.947
Connery Number
# of people
0 1
1 2216
2 204269
3 330591
4 32857
5 2948
6 409
7 46
8 8
Average Connery Number: 2.706 Ο Bacon είναι ο 1222ος πλέον
συνδεδεμένος ηθοποιός του Hollywood.
Το παιχνίδι συνίσταται στην εύρεση μονοπατιού προς τον Bacon από τυχόν άτομο του Hollywood με <=6 βήματα.
Data Engineering Lab 41
Δίκτυο χρέους
Data Engineering Lab 42
Δίκτυο επιστημονικής συνεργασίας
Data Engineering Lab 43
Δίκτυο γενετικής αλληλεπίδρασης
Data Engineering Lab 44
Σχέσεις μεταξύ επιχειρήσεων βιοτεχνολογίας των ΗΠΑ
Data Engineering Lab 45
Δίκτυο αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών
Data Engineering Lab 46
νέες κατευθύνσεις στη Θεωρία Γράφων
Όλο και μεγαλύτεροι γράφοι
Top Related