Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Спящие эксперты и их применение впредсказании
Юрий Калнишкан
Department of Computer Scienceand Computer Learning Research CentreRoyal Holloway, University of London
Декабрь 2013
Спящие эксперты, 1, Slide 1/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Содержание
1. Формирование инвестиционного портфеля
2. Агрегирующий алгоритм Вовка
3. Эксперты-поправляльщики
4. Спящие эксперты
5. Применение к оценке неявной волатильности
Спящие эксперты, 1, Slide 2/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
1. Формирование инвестиционного портфеля
2. Агрегирующий алгоритм Вовка
3. Эксперты-поправляльщики
4. Спящие эксперты
5. Применение к оценке неявной волатильности
Спящие эксперты, 1, Slide 3/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестирование
сегодня завтра
капитал W W S1S0
цена акции S0 S1
количество акций WS0
WS0
• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0
Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестирование
сегодня завтра
капитал W W S1S0
цена акции S0 S1
количество акций WS0
WS0
• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0
Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестирование
сегодня завтра
капитал W W S1S0
цена акции S0 S1
количество акций WS0
WS0
• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0
Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестирование
сегодня завтра
капитал W W S1S0
цена акции S0 S1
количество акций WS0
WS0
• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0
Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестирование
сегодня завтра
капитал W W S1S0
цена акции S0 S1
количество акций WS0
WS0
• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0
Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестирование
сегодня завтра
капитал W W S1S0
цена акции S0 S1
количество акций WS0
WS0
• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0
Спящие эксперты, 1, Slide 4/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестиционный портфель
• пусть имеется M акций 0, 1, 2, . . . , M − 1• вкладываем в акцию i долю γ1,i капитала W• пусть между днём 0 и днём 1 цена акции i изменяется в
ω1,i раз• тогда
— сумма денег W γ1,i , вложенная в акцию i , превращаетсяв W γ1,iω1,i— капитал W превращается в W 〈γ1, ω1〉, гдеγ1 = (γ1,0, γ1,1, . . . , γ1,M−1) и ω1 = (ω1,0, ω1,1, . . . , ω1,M−1)
Спящие эксперты, 1, Slide 5/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестиционный портфель
• пусть имеется M акций 0, 1, 2, . . . , M − 1• вкладываем в акцию i долю γ1,i капитала W• пусть между днём 0 и днём 1 цена акции i изменяется в
ω1,i раз• тогда
— сумма денег W γ1,i , вложенная в акцию i , превращаетсяв W γ1,iω1,i— капитал W превращается в W 〈γ1, ω1〉, гдеγ1 = (γ1,0, γ1,1, . . . , γ1,M−1) и ω1 = (ω1,0, ω1,1, . . . , ω1,M−1)
Спящие эксперты, 1, Slide 5/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестиционный портфель
• пусть имеется M акций 0, 1, 2, . . . , M − 1• вкладываем в акцию i долю γ1,i капитала W• пусть между днём 0 и днём 1 цена акции i изменяется в
ω1,i раз• тогда
— сумма денег W γ1,i , вложенная в акцию i , превращаетсяв W γ1,iω1,i— капитал W превращается в W 〈γ1, ω1〉, гдеγ1 = (γ1,0, γ1,1, . . . , γ1,M−1) и ω1 = (ω1,0, ω1,1, . . . , ω1,M−1)
Спящие эксперты, 1, Slide 5/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Инвестиционный портфель
• пусть имеется M акций 0, 1, 2, . . . , M − 1• вкладываем в акцию i долю γ1,i капитала W• пусть между днём 0 и днём 1 цена акции i изменяется в
ω1,i раз• тогда
— сумма денег W γ1,i , вложенная в акцию i , превращаетсяв W γ1,iω1,i— капитал W превращается в W 〈γ1, ω1〉, гдеγ1 = (γ1,0, γ1,1, . . . , γ1,M−1) и ω1 = (ω1,0, ω1,1, . . . , ω1,M−1)
Спящие эксперты, 1, Slide 5/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Перекладываем деньги
• на следующий день мы продаём все акции, консолидируемнаш капитал и снова распределям его по акциям
• протокол:(1) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .
(2) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(3) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(4) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉
END FOR
— через PM обозначен симплекс в RM (т.е., множествораспределений на 0, 1, . . . , M − 1)
• наш капитал через T дней составляет WT =∏T
t=1〈γt , ωt〉
Спящие эксперты, 1, Slide 6/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Перекладываем деньги
• на следующий день мы продаём все акции, консолидируемнаш капитал и снова распределям его по акциям
• протокол:(1) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .
(2) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(3) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(4) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉
END FOR
— через PM обозначен симплекс в RM (т.е., множествораспределений на 0, 1, . . . , M − 1)
• наш капитал через T дней составляет WT =∏T
t=1〈γt , ωt〉
Спящие эксперты, 1, Slide 6/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Перекладываем деньги
• на следующий день мы продаём все акции, консолидируемнаш капитал и снова распределям его по акциям
• протокол:(1) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .
(2) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(3) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(4) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉
END FOR
— через PM обозначен симплекс в RM (т.е., множествораспределений на 0, 1, . . . , M − 1)
• наш капитал через T дней составляет WT =∏T
t=1〈γt , ωt〉
Спящие эксперты, 1, Slide 6/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты
• пусть имеется N экспертов E1, E2, . . . , EN ; мы видим ихинвестиционные решения
• протокол:(1) эксперты начинают с капиталов W n
0 = 1, n = 1, 2, . . . , N(2) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .
(3) эксперты выдают распределения γnt ∈ PM , n = 1, 2, . . . , N
(4) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(5) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(6) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉(7) капиталы экспертов изменяются как W n
t = W nt−1 · 〈γn
t , ωt〉,n = 1, 2, . . . , N
END FOR
Спящие эксперты, 1, Slide 7/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты
• пусть имеется N экспертов E1, E2, . . . , EN ; мы видим ихинвестиционные решения
• протокол:(1) эксперты начинают с капиталов W n
0 = 1, n = 1, 2, . . . , N(2) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .
(3) эксперты выдают распределения γnt ∈ PM , n = 1, 2, . . . , N
(4) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(5) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(6) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉(7) капиталы экспертов изменяются как W n
t = W nt−1 · 〈γn
t , ωt〉,n = 1, 2, . . . , N
END FOR
Спящие эксперты, 1, Slide 7/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Использование советов экспертов
• мы хотим добиться, чтобы наш капитал был бы не(намного) меньше, чем у каждого из экспертов: WT & W n
T ,n = 1, 2, . . . , N— что такое &?— то чего удастся добиться...
Спящие эксперты, 1, Slide 8/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Раздаём деньги• идея: к успешным экспертам надо прислушиваться больше
— успешный эксперт это тот, который заработал большеденег
• разделим наши деньги между экспертами поровну, и пустьдальше каждый эксперт вкладывает от нашего именистолько денег, сколько сумел заработать— после шага эксперт n управляет суммой 1
N W nT наших
денег— наш суммарный капитал составляет WT =
∑Nn=1
1N Wn
• выбрасывая все члены кроме n-го, получаем оценку
WT ≥ 1N
W nT
для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . .
Спящие эксперты, 1, Slide 9/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Раздаём деньги• идея: к успешным экспертам надо прислушиваться больше
— успешный эксперт это тот, который заработал большеденег
• разделим наши деньги между экспертами поровну, и пустьдальше каждый эксперт вкладывает от нашего именистолько денег, сколько сумел заработать— после шага эксперт n управляет суммой 1
N W nT наших
денег— наш суммарный капитал составляет WT =
∑Nn=1
1N Wn
• выбрасывая все члены кроме n-го, получаем оценку
WT ≥ 1N
W nT
для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . .
Спящие эксперты, 1, Slide 9/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Раздаём деньги• идея: к успешным экспертам надо прислушиваться больше
— успешный эксперт это тот, который заработал большеденег
• разделим наши деньги между экспертами поровну, и пустьдальше каждый эксперт вкладывает от нашего именистолько денег, сколько сумел заработать— после шага эксперт n управляет суммой 1
N W nT наших
денег— наш суммарный капитал составляет WT =
∑Nn=1
1N Wn
• выбрасывая все члены кроме n-го, получаем оценку
WT ≥ 1N
W nT
для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . .
Спящие эксперты, 1, Slide 9/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1
N W nT нельзя понизить
• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1
M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N
Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1
N W nT нельзя понизить
• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1
M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N
Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1
N W nT нельзя понизить
• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1
M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N
Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1
N W nT нельзя понизить
• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1
M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N
Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1
N W nT нельзя понизить
• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1
M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N
Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1
N W nT нельзя понизить
• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1
M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N
Спящие эксперты, 1, Slide 10/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение
• гарантия WT ≥ 1N W n
T может оказаться бесполезной— например, пусть все эксперты вкладывают деньгиодинаково; можно сказать, что у нас один настоящийэксперт, а не N— наш алгоритм обрабатывает эту ситуацию корректно идостигает WT = W n
T— величина N в знаменателе это плата за смешивание;плата взимается по “эффективному”, а не “формальному”числу экспертов
• если мы изначально поделим деньги между экспертами непоровну, а в соответствии с распределениемq = (q1, q2, . . . , qN) ∈ PN , то получим гарантиюWT ≥ qnW n
T
Спящие эксперты, 1, Slide 11/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение
• гарантия WT ≥ 1N W n
T может оказаться бесполезной— например, пусть все эксперты вкладывают деньгиодинаково; можно сказать, что у нас один настоящийэксперт, а не N— наш алгоритм обрабатывает эту ситуацию корректно идостигает WT = W n
T— величина N в знаменателе это плата за смешивание;плата взимается по “эффективному”, а не “формальному”числу экспертов
• если мы изначально поделим деньги между экспертами непоровну, а в соответствии с распределениемq = (q1, q2, . . . , qN) ∈ PN , то получим гарантиюWT ≥ qnW n
T
Спящие эксперты, 1, Slide 11/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
1. Формирование инвестиционного портфеля
2. Агрегирующий алгоритм Вовка
3. Эксперты-поправляльщики
4. Спящие эксперты
5. Применение к оценке неявной волатильности
Спящие эксперты, 1, Slide 12/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Задача предсказания
• в дискретном времени последовательно случаются исходыω1, ω2, . . ., ωt ∈ Ω
• перед каждым исходом ωt мы выдаём предсказание γt ∈ Γ
• уклонение предсказания от исхода измеряется функциейпотерь λ : Γ× Ω → [0,+∞]— мы хотим минимизировать суммарные накопленныепотери Loss(T ) =
∑Tt=1 λ(γt , ωt)
• тройка 〈Ω, Γ, λ〉 (пространство исходов / пространствопредсказаний / функция потерь) называется игрой
Спящие эксперты, 1, Slide 13/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Задача предсказания
• в дискретном времени последовательно случаются исходыω1, ω2, . . ., ωt ∈ Ω
• перед каждым исходом ωt мы выдаём предсказание γt ∈ Γ
• уклонение предсказания от исхода измеряется функциейпотерь λ : Γ× Ω → [0,+∞]— мы хотим минимизировать суммарные накопленныепотери Loss(T ) =
∑Tt=1 λ(γt , ωt)
• тройка 〈Ω, Γ, λ〉 (пространство исходов / пространствопредсказаний / функция потерь) называется игрой
Спящие эксперты, 1, Slide 13/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Задача предсказания
• в дискретном времени последовательно случаются исходыω1, ω2, . . ., ωt ∈ Ω
• перед каждым исходом ωt мы выдаём предсказание γt ∈ Γ
• уклонение предсказания от исхода измеряется функциейпотерь λ : Γ× Ω → [0,+∞]— мы хотим минимизировать суммарные накопленныепотери Loss(T ) =
∑Tt=1 λ(γt , ωt)
• тройка 〈Ω, Γ, λ〉 (пространство исходов / пространствопредсказаний / функция потерь) называется игрой
Спящие эксперты, 1, Slide 13/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Задача предсказания
• в дискретном времени последовательно случаются исходыω1, ω2, . . ., ωt ∈ Ω
• перед каждым исходом ωt мы выдаём предсказание γt ∈ Γ
• уклонение предсказания от исхода измеряется функциейпотерь λ : Γ× Ω → [0,+∞]— мы хотим минимизировать суммарные накопленныепотери Loss(T ) =
∑Tt=1 λ(γt , ωt)
• тройка 〈Ω, Γ, λ〉 (пространство исходов / пространствопредсказаний / функция потерь) называется игрой
Спящие эксперты, 1, Slide 13/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Бинарные игры• у бинарных игр два исхода Ω = 0, 1, а предсказания
можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1]• квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2
• абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ|• логарифмическая игра
λ(γ, ω) =
− log2 γ, если ω = 1;− log2(1− γ), если ω = 0
• простая предсказательная игра: Γ = 0, 1 и
λ(γ, ω) =
0, если ω = γ;1, иначе
Спящие эксперты, 1, Slide 14/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Бинарные игры• у бинарных игр два исхода Ω = 0, 1, а предсказания
можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1]• квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2
• абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ|• логарифмическая игра
λ(γ, ω) =
− log2 γ, если ω = 1;− log2(1− γ), если ω = 0
• простая предсказательная игра: Γ = 0, 1 и
λ(γ, ω) =
0, если ω = γ;1, иначе
Спящие эксперты, 1, Slide 14/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Бинарные игры• у бинарных игр два исхода Ω = 0, 1, а предсказания
можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1]• квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2
• абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ|• логарифмическая игра
λ(γ, ω) =
− log2 γ, если ω = 1;− log2(1− γ), если ω = 0
• простая предсказательная игра: Γ = 0, 1 и
λ(γ, ω) =
0, если ω = γ;1, иначе
Спящие эксперты, 1, Slide 14/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Бинарные игры• у бинарных игр два исхода Ω = 0, 1, а предсказания
можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1]• квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2
• абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ|• логарифмическая игра
λ(γ, ω) =
− log2 γ, если ω = 1;− log2(1− γ), если ω = 0
• простая предсказательная игра: Γ = 0, 1 и
λ(γ, ω) =
0, если ω = γ;1, иначе
Спящие эксперты, 1, Slide 14/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Бинарные игры• у бинарных игр два исхода Ω = 0, 1, а предсказания
можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1]• квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2
• абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ|• логарифмическая игра
λ(γ, ω) =
− log2 γ, если ω = 1;− log2(1− γ), если ω = 0
• простая предсказательная игра: Γ = 0, 1 и
λ(γ, ω) =
0, если ω = γ;1, иначе
Спящие эксперты, 1, Slide 14/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты• вместе с нами исходы предсказывают N экспертов
E1, E2, . . . , EN
FOR t = 1, 2, . . .(1) эксперты выдают предсказания γn
t ∈ Γ, n = 1, . . . , N(2) предсказатель выдаёт γt ∈ Γ(3) случается исход ωt ∈ Ω(4) предсказатель несёт потери λ(γt , ωt)(5) эксперты несут потери λ(γn
t , ωt), n = 1, 2, . . . , NEND FOR
• мы хотим, чтобы наши потери были не (намного) хуже,чем у любого эксперта— т.е., мы хотим гарантий вида Loss(T ) . LossEn(T ) длявсех n и T
Спящие эксперты, 1, Slide 15/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты• вместе с нами исходы предсказывают N экспертов
E1, E2, . . . , EN
FOR t = 1, 2, . . .(1) эксперты выдают предсказания γn
t ∈ Γ, n = 1, . . . , N(2) предсказатель выдаёт γt ∈ Γ(3) случается исход ωt ∈ Ω(4) предсказатель несёт потери λ(γt , ωt)(5) эксперты несут потери λ(γn
t , ωt), n = 1, 2, . . . , NEND FOR
• мы хотим, чтобы наши потери были не (намного) хуже,чем у любого эксперта— т.е., мы хотим гарантий вида Loss(T ) . LossEn(T ) длявсех n и T
Спящие эксперты, 1, Slide 15/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Потери и капитал• превратим потери в “капитал”: W n
t = e−η LossEn (t)
— на шаге t к потерям добавляется λ(γnt , ωt), а капитал
умножается на e−ηλ(γnt ,ωt)
— параметр η называется скоростью обучения (learningrate)
• мы хотели бы на шаге t добиться выполнения равенства
WT ≈ 1N
N∑n=1
W nT
• в задаче инвестирования мы добивались этого выдавая
γt =N∑
n=1
1N W n
t−1∑Nn=1
1N W n
t−1
γnt =
N∑n=1
(доля нашего капитала вуправлении эксперта n
)γn
t
Спящие эксперты, 1, Slide 16/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Потери и капитал• превратим потери в “капитал”: W n
t = e−η LossEn (t)
— на шаге t к потерям добавляется λ(γnt , ωt), а капитал
умножается на e−ηλ(γnt ,ωt)
— параметр η называется скоростью обучения (learningrate)
• мы хотели бы на шаге t добиться выполнения равенства
WT ≈ 1N
N∑n=1
W nT
• в задаче инвестирования мы добивались этого выдавая
γt =N∑
n=1
1N W n
t−1∑Nn=1
1N W n
t−1
γnt =
N∑n=1
(доля нашего капитала вуправлении эксперта n
)γn
t
Спящие эксперты, 1, Slide 16/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Потери и капитал• превратим потери в “капитал”: W n
t = e−η LossEn (t)
— на шаге t к потерям добавляется λ(γnt , ωt), а капитал
умножается на e−ηλ(γnt ,ωt)
— параметр η называется скоростью обучения (learningrate)
• мы хотели бы на шаге t добиться выполнения равенства
WT ≈ 1N
N∑n=1
W nT
• в задаче инвестирования мы добивались этого выдавая
γt =N∑
n=1
1N W n
t−1∑Nn=1
1N W n
t−1
γnt =
N∑n=1
(доля нашего капитала вуправлении эксперта n
)γn
t
Спящие эксперты, 1, Slide 16/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Борьба за равенство капитала (1)
• достаточно добиться выполнения неравенства
Wt
Wt−1&
∑Nn=1
1N W n
t∑Nn=1
1N W n
t−1
на каждом шаге• то есть, найти предсказание γt , такое что
e−ηλ(γt ,ωt) &
∑Nn=1
1N e−η LossEn (t)∑N
n=11N e−η LossEn (t−1)
• имеем LossEn(t) = LossEn(t − 1) + λ(γnt , ωt)
— величину LossEn(t − 1) мы знаем, а ωt пока нет— значит, этого надо добиться для любого ωt
Спящие эксперты, 1, Slide 17/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Борьба за равенство капитала (1)
• достаточно добиться выполнения неравенства
Wt
Wt−1&
∑Nn=1
1N W n
t∑Nn=1
1N W n
t−1
на каждом шаге• то есть, найти предсказание γt , такое что
e−ηλ(γt ,ωt) &
∑Nn=1
1N e−η LossEn (t)∑N
n=11N e−η LossEn (t−1)
• имеем LossEn(t) = LossEn(t − 1) + λ(γnt , ωt)
— величину LossEn(t − 1) мы знаем, а ωt пока нет— значит, этого надо добиться для любого ωt
Спящие эксперты, 1, Slide 17/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Борьба за равенство капитала (1)
• достаточно добиться выполнения неравенства
Wt
Wt−1&
∑Nn=1
1N W n
t∑Nn=1
1N W n
t−1
на каждом шаге• то есть, найти предсказание γt , такое что
e−ηλ(γt ,ωt) &
∑Nn=1
1N e−η LossEn (t)∑N
n=11N e−η LossEn (t−1)
• имеем LossEn(t) = LossEn(t − 1) + λ(γnt , ωt)
— величину LossEn(t − 1) мы знаем, а ωt пока нет— значит, этого надо добиться для любого ωt
Спящие эксперты, 1, Slide 17/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Борьба за равенство капитала (2)
• итак, на шаге t мы хотим найти предсказание γt , такое чтодля любого ω выполняются неравенства
e−ηλ(γt ,ω) &N∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
или
λ(γt , ω) . −1η
lnN∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
где
pnt =
1N e−η LossEn (t−1)∑N
n=11N e−η LossEn (t−1)
Спящие эксперты, 1, Slide 18/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Смешиваемые игры (1)
• можно ли найти γt?• ответ зависит от геометрических свойств λ
• для смешиваемых игр найдутся η, такие что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN
найдётся γ, такая что для всех ω
λ(γ, ω) ≤ −1η
lnN∑
n=1
pne−ηλ(γn,ω)
Спящие эксперты, 1, Slide 19/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Смешиваемые игры (1)
• можно ли найти γt?• ответ зависит от геометрических свойств λ
• для смешиваемых игр найдутся η, такие что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN
найдётся γ, такая что для всех ω
λ(γ, ω) ≤ −1η
lnN∑
n=1
pne−ηλ(γn,ω)
Спящие эксперты, 1, Slide 19/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Смешиваемые игры (1)
• можно ли найти γt?• ответ зависит от геометрических свойств λ
• для смешиваемых игр найдутся η, такие что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN
найдётся γ, такая что для всех ω
λ(γ, ω) ≤ −1η
lnN∑
n=1
pne−ηλ(γn,ω)
Спящие эксперты, 1, Slide 19/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Смешиваемые игры (2)
• для смешиваемых игр достигаем неравенства капиталов
WT ≥N∑
n=1
1N
W nT
— напомню, что WT = e−η Loss(T )
• выбрасывая все члены кроме одного и логарифмируя,получаем гарантию
Loss(t) ≤ LossEn(t) +1η
ln N
— обычно есть наибольшая η, для которой гарантия верна
Спящие эксперты, 1, Slide 20/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Смешиваемые игры (2)
• для смешиваемых игр достигаем неравенства капиталов
WT ≥N∑
n=1
1N
W nT
— напомню, что WT = e−η Loss(T )
• выбрасывая все члены кроме одного и логарифмируя,получаем гарантию
Loss(t) ≤ LossEn(t) +1η
ln N
— обычно есть наибольшая η, для которой гарантия верна
Спящие эксперты, 1, Slide 20/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Несмешиваемые игры
• для несмешиваемых игр для каждого η > 0 можемрассмотреть минимальное C = C (η), такое что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN
найдётся γ, такая что для всех ω
λ(γ, ω) ≤ −C1η
lnN∑
n=1
pne−ηλ(γn,ω)
• мы достигаем гарантии
Loss(t) ≤ C (η) LossEn(t) +C (η)
ηln N
— бывает, что эту гарантию нельзя оптимизировать по η
Спящие эксперты, 1, Slide 21/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Несмешиваемые игры
• для несмешиваемых игр для каждого η > 0 можемрассмотреть минимальное C = C (η), такое что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN
найдётся γ, такая что для всех ω
λ(γ, ω) ≤ −C1η
lnN∑
n=1
pne−ηλ(γn,ω)
• мы достигаем гарантии
Loss(t) ≤ C (η) LossEn(t) +C (η)
ηln N
— бывает, что эту гарантию нельзя оптимизировать по η
Спящие эксперты, 1, Slide 21/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Примеры
• квадратичная игра смешиваема при 0 < η ≤ 2• логарифмическая игра смешиваема при 0 < η ≤ 1• абсолютная и простая игра не смешиваемы
— у абсолютной игры C (η) бывает сколь угодно близко к 1— у простой игры C (η) > 2
• для несмешиваемых игр существуют другие алгоритмы сдругими оценками
Спящие эксперты, 1, Slide 22/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Примеры
• квадратичная игра смешиваема при 0 < η ≤ 2• логарифмическая игра смешиваема при 0 < η ≤ 1• абсолютная и простая игра не смешиваемы
— у абсолютной игры C (η) бывает сколь угодно близко к 1— у простой игры C (η) > 2
• для несмешиваемых игр существуют другие алгоритмы сдругими оценками
Спящие эксперты, 1, Slide 22/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Примеры
• квадратичная игра смешиваема при 0 < η ≤ 2• логарифмическая игра смешиваема при 0 < η ≤ 1• абсолютная и простая игра не смешиваемы
— у абсолютной игры C (η) бывает сколь угодно близко к 1— у простой игры C (η) > 2
• для несмешиваемых игр существуют другие алгоритмы сдругими оценками
Спящие эксперты, 1, Slide 22/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Примеры
• квадратичная игра смешиваема при 0 < η ≤ 2• логарифмическая игра смешиваема при 0 < η ≤ 1• абсолютная и простая игра не смешиваемы
— у абсолютной игры C (η) бывает сколь угодно близко к 1— у простой игры C (η) > 2
• для несмешиваемых игр существуют другие алгоритмы сдругими оценками
Спящие эксперты, 1, Slide 22/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• константы a и b в гарантиях вида
Loss(t) ≤ a LossEn(t) + b ln N,
достигаемых агрегирующим алгоритмом, не улучшаются• доказательство весьма сложно: [Vovk, A Game of Prediction
with Expert Advice, 1998]
Спящие эксперты, 1, Slide 23/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оптимальность
• константы a и b в гарантиях вида
Loss(t) ≤ a LossEn(t) + b ln N,
достигаемых агрегирующим алгоритмом, не улучшаются• доказательство весьма сложно: [Vovk, A Game of Prediction
with Expert Advice, 1998]
Спящие эксперты, 1, Slide 23/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Начальные веса
• вместо WT ≈∑N
n=11N W n
T мы можем добиватьсясоотношения WT ≈
∑Nn=1 qnW n
T— где qn это произвольные веса, приписанные экспертамвместо 1/N
• получаем гарантию
Loss(t) ≤ C (η) LossEn(t) +C (η)
ηln
1qn
Спящие эксперты, 1, Slide 24/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Начальные веса
• вместо WT ≈∑N
n=11N W n
T мы можем добиватьсясоотношения WT ≈
∑Nn=1 qnW n
T— где qn это произвольные веса, приписанные экспертамвместо 1/N
• получаем гарантию
Loss(t) ≤ C (η) LossEn(t) +C (η)
ηln
1qn
Спящие эксперты, 1, Slide 24/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Алгоритм
параметры: η и распределение на экспертах q1, q2, . . . , qN
(1) инициализируем веса wn1 = qn, n = 1, 2, . . . , N
FOR t = 1, 2, . . .(2) считываем предсказания экспертов γn
t , n = 1, 2, . . . , N(3) нормируем веса pn
t = wnt /
∑Nn=1 wn
t(4) решаем систему (ω ∈ Ω):
λ(γ, ω) ≤ C (η)∑N
n=1 pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
относительно γ и выдаём решение γt(5) наблюдаем исход ωt
(6) обновляем веса экспертов wnt+1 = wn
t e−ηλ(γnt ,ω), n = 1, 2, . . . , N
END FOR
Спящие эксперты, 1, Slide 25/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
1. Формирование инвестиционного портфеля
2. Агрегирующий алгоритм Вовка
3. Эксперты-поправляльщики
4. Спящие эксперты
5. Применение к оценке неявной волатильности
Спящие эксперты, 1, Slide 26/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Определение
• позволим экспертам выдавать не предсказания, а функцииγn
t : Γ → Γ— потери такого эксперта подсчитываются задним числомкак λ(γn
t (γt), ωt)— эксперт-поправляльщик (second-guessing expert) выдаётне предсказание, а совет, как надо поправить итоговоепредсказание— обычный эксперт это частный случай поправляльщика:для него γn
t это константа• как использовать мнения поправляльщиков?
Спящие эксперты, 1, Slide 27/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Определение
• позволим экспертам выдавать не предсказания, а функцииγn
t : Γ → Γ— потери такого эксперта подсчитываются задним числомкак λ(γn
t (γt), ωt)— эксперт-поправляльщик (second-guessing expert) выдаётне предсказание, а совет, как надо поправить итоговоепредсказание— обычный эксперт это частный случай поправляльщика:для него γn
t это константа• как использовать мнения поправляльщиков?
Спящие эксперты, 1, Slide 27/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Выбор предсказания (повтор)• для смешиваемых игр на шаге t мы ищем γt из системы
уравнений где ω ∈ Ω:
λ(γt , ω) ≤ −1η
lnN∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
• например, для бинарной квадратичной игры системасостоит из двух уравнений
(γt)2 ≤ −1
2ln
N∑n=1
pnt e−η(γn
t )2
(1− γt)2 ≤ −1
2ln
N∑n=1
pnt e−η(1−γn
t )2
Спящие эксперты, 1, Slide 28/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Выбор предсказания (повтор)• для смешиваемых игр на шаге t мы ищем γt из системы
уравнений где ω ∈ Ω:
λ(γt , ω) ≤ −1η
lnN∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
• например, для бинарной квадратичной игры системасостоит из двух уравнений
(γt)2 ≤ −1
2ln
N∑n=1
pnt e−η(γn
t )2
(1− γt)2 ≤ −1
2ln
N∑n=1
pnt e−η(1−γn
t )2
Спящие эксперты, 1, Slide 28/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Выбор предсказания (повтор)• можно подобрать непрерывную функцию γ = σ(g0, g1),
выдающую решение системы
(γ)2 ≤ g0
(1− γ)2 ≤ g1
(при условии, что решение есть, а для смешиваемыхфункций потерь оно есть всегда)— такая функция называется функцией подстановки (и ихобычно много разных)
• коэффициенты g0 и g1 это непрерывные функции отпредсказаний экспертов γ1
t , . . . , γNt
• для всех разумных функций потерь ситуация устроенааналогично
Спящие эксперты, 1, Slide 29/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Выбор предсказания (повтор)• можно подобрать непрерывную функцию γ = σ(g0, g1),
выдающую решение системы
(γ)2 ≤ g0
(1− γ)2 ≤ g1
(при условии, что решение есть, а для смешиваемыхфункций потерь оно есть всегда)— такая функция называется функцией подстановки (и ихобычно много разных)
• коэффициенты g0 и g1 это непрерывные функции отпредсказаний экспертов γ1
t , . . . , γNt
• для всех разумных функций потерь ситуация устроенааналогично
Спящие эксперты, 1, Slide 29/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Выбор предсказания (повтор)• можно подобрать непрерывную функцию γ = σ(g0, g1),
выдающую решение системы
(γ)2 ≤ g0
(1− γ)2 ≤ g1
(при условии, что решение есть, а для смешиваемыхфункций потерь оно есть всегда)— такая функция называется функцией подстановки (и ихобычно много разных)
• коэффициенты g0 и g1 это непрерывные функции отпредсказаний экспертов γ1
t , . . . , γNt
• для всех разумных функций потерь ситуация устроенааналогично
Спящие эксперты, 1, Slide 29/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неподвижная точка
• разрешим экспертам быть поправляльщиками• чтобы сохранить все оценки, нам надо выдать
предсказание, являющееся неподвижной точкой функции
f (γt) = σ(g0(γ1t (γt), . . . , γ
Nt (γt)), g1(γ
1t (γt), . . . , γ
Nt (γt)))
• пространство предсказаний [0, 1] это компактное выпуклоеподмножество R
Спящие эксперты, 1, Slide 30/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неподвижная точка
• разрешим экспертам быть поправляльщиками• чтобы сохранить все оценки, нам надо выдать
предсказание, являющееся неподвижной точкой функции
f (γt) = σ(g0(γ1t (γt), . . . , γ
Nt (γt)), g1(γ
1t (γt), . . . , γ
Nt (γt)))
• пространство предсказаний [0, 1] это компактное выпуклоеподмножество R
Спящие эксперты, 1, Slide 30/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неподвижная точка
• разрешим экспертам быть поправляльщиками• чтобы сохранить все оценки, нам надо выдать
предсказание, являющееся неподвижной точкой функции
f (γt) = σ(g0(γ1t (γt), . . . , γ
Nt (γt)), g1(γ
1t (γt), . . . , γ
Nt (γt)))
• пространство предсказаний [0, 1] это компактное выпуклоеподмножество R
Спящие эксперты, 1, Slide 30/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Теорема Брауэра• непрерывное отображение компактного выпуклого
подмножества евклидова пространства в себя имеетнеподвижную точку.
• итак, получаем, что если— существует непрерывная функция подстановки— пространство предсказаний Γ является компактнымвыпуклым подмножеством евклидова пространства— эксперты-поправляльщики выдают непрерывныефункции из Γ в Γ
• тогда мы можем добиться для них тех же гарантий, что идля обычных экспертов
• ссылка [A. Chernov et al, Supermartingales in Prediction withExpert Advice, 2010]
Спящие эксперты, 1, Slide 31/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Теорема Брауэра• непрерывное отображение компактного выпуклого
подмножества евклидова пространства в себя имеетнеподвижную точку.
• итак, получаем, что если— существует непрерывная функция подстановки— пространство предсказаний Γ является компактнымвыпуклым подмножеством евклидова пространства— эксперты-поправляльщики выдают непрерывныефункции из Γ в Γ
• тогда мы можем добиться для них тех же гарантий, что идля обычных экспертов
• ссылка [A. Chernov et al, Supermartingales in Prediction withExpert Advice, 2010]
Спящие эксперты, 1, Slide 31/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Теорема Брауэра• непрерывное отображение компактного выпуклого
подмножества евклидова пространства в себя имеетнеподвижную точку.
• итак, получаем, что если— существует непрерывная функция подстановки— пространство предсказаний Γ является компактнымвыпуклым подмножеством евклидова пространства— эксперты-поправляльщики выдают непрерывныефункции из Γ в Γ
• тогда мы можем добиться для них тех же гарантий, что идля обычных экспертов
• ссылка [A. Chernov et al, Supermartingales in Prediction withExpert Advice, 2010]
Спящие эксперты, 1, Slide 31/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Теорема Брауэра• непрерывное отображение компактного выпуклого
подмножества евклидова пространства в себя имеетнеподвижную точку.
• итак, получаем, что если— существует непрерывная функция подстановки— пространство предсказаний Γ является компактнымвыпуклым подмножеством евклидова пространства— эксперты-поправляльщики выдают непрерывныефункции из Γ в Γ
• тогда мы можем добиться для них тех же гарантий, что идля обычных экспертов
• ссылка [A. Chernov et al, Supermartingales in Prediction withExpert Advice, 2010]
Спящие эксперты, 1, Slide 31/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
1. Формирование инвестиционного портфеля
2. Агрегирующий алгоритм Вовка
3. Эксперты-поправляльщики
4. Спящие эксперты
5. Применение к оценке неявной волатильности
Спящие эксперты, 1, Slide 32/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Определение
• разрешим экспертам пропускать ходы• эксперт-специалист (specialist expert) может отказаться
выдавать предсказания на шаге t— тогда мы говорим, что эксперт спит— удобно говорить о специалистах, которые могут спать, испящих экспертах, которые спят сейчас
• что можно сделать с такими экспертами?• идея: считаем, что спящий эксперт присоединяется к
мнению неспящих
Спящие эксперты, 1, Slide 33/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Определение
• разрешим экспертам пропускать ходы• эксперт-специалист (specialist expert) может отказаться
выдавать предсказания на шаге t— тогда мы говорим, что эксперт спит— удобно говорить о специалистах, которые могут спать, испящих экспертах, которые спят сейчас
• что можно сделать с такими экспертами?• идея: считаем, что спящий эксперт присоединяется к
мнению неспящих
Спящие эксперты, 1, Slide 33/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Определение
• разрешим экспертам пропускать ходы• эксперт-специалист (specialist expert) может отказаться
выдавать предсказания на шаге t— тогда мы говорим, что эксперт спит— удобно говорить о специалистах, которые могут спать, испящих экспертах, которые спят сейчас
• что можно сделать с такими экспертами?• идея: считаем, что спящий эксперт присоединяется к
мнению неспящих
Спящие эксперты, 1, Slide 33/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Определение
• разрешим экспертам пропускать ходы• эксперт-специалист (specialist expert) может отказаться
выдавать предсказания на шаге t— тогда мы говорим, что эксперт спит— удобно говорить о специалистах, которые могут спать, испящих экспертах, которые спят сейчас
• что можно сделать с такими экспертами?• идея: считаем, что спящий эксперт присоединяется к
мнению неспящих
Спящие эксперты, 1, Slide 33/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Алгоритм (1)• спящего эксперта можно считать
экспертом-поправляльщиком, выдающим тождественнуюфункцию (отказывающимся от поправки)— но есть способ лучше
• посмотрим на неравенство
e−ηλ(γt ,ω) ≥N∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
• отделим члены, соответствующие спящим экспертам
e−ηλ(γt ,ω) ≥∑
n:En не спит
pnt e−ηλ(γn
t ,ω) +∑
n:En спит
pnt e−ηλ(γt ,ω)
Спящие эксперты, 1, Slide 34/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Алгоритм (1)• спящего эксперта можно считать
экспертом-поправляльщиком, выдающим тождественнуюфункцию (отказывающимся от поправки)— но есть способ лучше
• посмотрим на неравенство
e−ηλ(γt ,ω) ≥N∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
• отделим члены, соответствующие спящим экспертам
e−ηλ(γt ,ω) ≥∑
n:En не спит
pnt e−ηλ(γn
t ,ω) +∑
n:En спит
pnt e−ηλ(γt ,ω)
Спящие эксперты, 1, Slide 34/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Алгоритм (1)• спящего эксперта можно считать
экспертом-поправляльщиком, выдающим тождественнуюфункцию (отказывающимся от поправки)— но есть способ лучше
• посмотрим на неравенство
e−ηλ(γt ,ω) ≥N∑
n=1
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
• отделим члены, соответствующие спящим экспертам
e−ηλ(γt ,ω) ≥∑
n:En не спит
pnt e−ηλ(γn
t ,ω) +∑
n:En спит
pnt e−ηλ(γt ,ω)
Спящие эксперты, 1, Slide 34/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Алгоритм (2)
• сумму по спящим экспертам можем вычесть; останется
e−ηλ(γt ,ω) ≥ 1Zt
∑n:En не спит
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
где Zt это суммарный вес экспертов, не спящих на шаге t• учёт спящих экспертов требуют минимальной
модификации агрегирующего алгоритма:— сумма берётся только по неспящим экспертам, причёмих веса нормируются к 1— спящие эксперты выдают “наше” предсказание γt ,поэтому их веса обновляются по формулеwn
t+1 = wnt e−ηλ(γt ,ωt) с помощью нашего предсказания γt
Спящие эксперты, 1, Slide 35/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Алгоритм (2)
• сумму по спящим экспертам можем вычесть; останется
e−ηλ(γt ,ω) ≥ 1Zt
∑n:En не спит
pnt e−ηλ(γn
t ,ω)
где Zt это суммарный вес экспертов, не спящих на шаге t• учёт спящих экспертов требуют минимальной
модификации агрегирующего алгоритма:— сумма берётся только по неспящим экспертам, причёмих веса нормируются к 1— спящие эксперты выдают “наше” предсказание γt ,поэтому их веса обновляются по формулеwn
t+1 = wnt e−ηλ(γt ,ωt) с помощью нашего предсказания γt
Спящие эксперты, 1, Slide 35/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оценка
• в неравенстве
Loss(T ) ≤ LossEn(T ) +1η
ln N
можно выбросить члены, соответствующие шагам, когдаэксперт En спал
• получаем
Lossn(T ) ≤ LossnEn(T ) +1η
ln N
где сумма в Lossn берётся по шагам, когда En не спал
Спящие эксперты, 1, Slide 36/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Оценка
• в неравенстве
Loss(T ) ≤ LossEn(T ) +1η
ln N
можно выбросить члены, соответствующие шагам, когдаэксперт En спал
• получаем
Lossn(T ) ≤ LossnEn(T ) +1η
ln N
где сумма в Lossn берётся по шагам, когда En не спал
Спящие эксперты, 1, Slide 36/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение
• новых экспертов можно добавлять во время работы— например, новый эксперт может появиться оттого, чтопредсказательный алгоритм просмотрел достаточнобольшой сегмент данных и натренировался на нём
• вес нового эксперта, подключившегося в момент времениT , можно расчитать через наши потери Loss(T − 1), т.к.пока он не существовал, он “предсказывал” как мы
Спящие эксперты, 1, Slide 37/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение
• новых экспертов можно добавлять во время работы— например, новый эксперт может появиться оттого, чтопредсказательный алгоритм просмотрел достаточнобольшой сегмент данных и натренировался на нём
• вес нового эксперта, подключившегося в момент времениT , можно расчитать через наши потери Loss(T − 1), т.к.пока он не существовал, он “предсказывал” как мы
Спящие эксперты, 1, Slide 37/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
1. Формирование инвестиционного портфеля
2. Агрегирующий алгоритм Вовка
3. Эксперты-поправляльщики
4. Спящие эксперты
5. Применение к оценке неявной волатильности
Спящие эксперты, 1, Slide 38/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Опцион• опцион на акцию это контракт такого вида:
Податель сего может купить акцию ABCltd в декабре 2014 года по цене 10$.
купить: опцион на покупку называется колл, а на продажу – путакцию: финансовый инструмент, с которым проводится сделка,
называется базовым активом; им может быть акция,фьючерс, индекс и т.д.
декабрь: опцион содержит дату исполнения/погашения опциона;владелец опциона может решить, использовать его или нет(данный опцион будет исполнен, если цена акции вдекабре 2014 года превысит 10$)— биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашенияв году и допускает опционы только с этими датами
10$: цена, записанная в контракте, называется страйком
Спящие эксперты, 1, Slide 39/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Опцион• опцион на акцию это контракт такого вида:
Податель сего может купить акцию ABCltd в декабре 2014 года по цене 10$.
купить: опцион на покупку называется колл, а на продажу – путакцию: финансовый инструмент, с которым проводится сделка,
называется базовым активом; им может быть акция,фьючерс, индекс и т.д.
декабрь: опцион содержит дату исполнения/погашения опциона;владелец опциона может решить, использовать его или нет(данный опцион будет исполнен, если цена акции вдекабре 2014 года превысит 10$)— биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашенияв году и допускает опционы только с этими датами
10$: цена, записанная в контракте, называется страйком
Спящие эксперты, 1, Slide 39/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Опцион• опцион на акцию это контракт такого вида:
Податель сего может купить акцию ABCltd в декабре 2014 года по цене 10$.
купить: опцион на покупку называется колл, а на продажу – путакцию: финансовый инструмент, с которым проводится сделка,
называется базовым активом; им может быть акция,фьючерс, индекс и т.д.
декабрь: опцион содержит дату исполнения/погашения опциона;владелец опциона может решить, использовать его или нет(данный опцион будет исполнен, если цена акции вдекабре 2014 года превысит 10$)— биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашенияв году и допускает опционы только с этими датами
10$: цена, записанная в контракте, называется страйком
Спящие эксперты, 1, Slide 39/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Опцион• опцион на акцию это контракт такого вида:
Податель сего может купить акцию ABCltd в декабре 2014 года по цене 10$.
купить: опцион на покупку называется колл, а на продажу – путакцию: финансовый инструмент, с которым проводится сделка,
называется базовым активом; им может быть акция,фьючерс, индекс и т.д.
декабрь: опцион содержит дату исполнения/погашения опциона;владелец опциона может решить, использовать его или нет(данный опцион будет исполнен, если цена акции вдекабре 2014 года превысит 10$)— биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашенияв году и допускает опционы только с этими датами
10$: цена, записанная в контракте, называется страйком
Спящие эксперты, 1, Slide 39/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Опцион• опцион на акцию это контракт такого вида:
Податель сего может купить акцию ABCltd в декабре 2014 года по цене 10$.
купить: опцион на покупку называется колл, а на продажу – путакцию: финансовый инструмент, с которым проводится сделка,
называется базовым активом; им может быть акция,фьючерс, индекс и т.д.
декабрь: опцион содержит дату исполнения/погашения опциона;владелец опциона может решить, использовать его или нет(данный опцион будет исполнен, если цена акции вдекабре 2014 года превысит 10$)— биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашенияв году и допускает опционы только с этими датами
10$: цена, записанная в контракте, называется страйком
Спящие эксперты, 1, Slide 39/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Математическая формулировка
• опцион колл:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(ST − X , 0).
• опцион пут:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(X − ST , 0).
• здесь:T – момент исполнения опционаST – цена базового актива в момент TX – страйк
Спящие эксперты, 1, Slide 40/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Математическая формулировка
• опцион колл:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(ST − X , 0).
• опцион пут:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(X − ST , 0).
• здесь:T – момент исполнения опционаST – цена базового актива в момент TX – страйк
Спящие эксперты, 1, Slide 40/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Математическая формулировка
• опцион колл:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(ST − X , 0).
• опцион пут:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(X − ST , 0).
• здесь:T – момент исполнения опционаST – цена базового актива в момент TX – страйк
Спящие эксперты, 1, Slide 40/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Формулы Блэка-Шоулза• сколько должен стоить опцион?• колл: c = SΦ(d1)− Xe−rTΦ(d2)• пут: p = Xe−rTΦ(−d2)− SΦ(−d1)
d1 = (ln(S/X ) + (r + σ2/2)T )/(σ√
T )
d2 = (ln(S/X ) + (r − σ2/2)T )/(σ√
T )
где:X – страйкT – время до исполнения опционаS – текущая цена базового активаr – процентная ставка (часто принимается нулевой)σ – волатильностьΦ – функция распределения для нормальногораспределения
Спящие эксперты, 1, Slide 41/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Формулы Блэка-Шоулза• сколько должен стоить опцион?• колл: c = SΦ(d1)− Xe−rTΦ(d2)• пут: p = Xe−rTΦ(−d2)− SΦ(−d1)
d1 = (ln(S/X ) + (r + σ2/2)T )/(σ√
T )
d2 = (ln(S/X ) + (r − σ2/2)T )/(σ√
T )
где:X – страйкT – время до исполнения опционаS – текущая цена базового активаr – процентная ставка (часто принимается нулевой)σ – волатильностьΦ – функция распределения для нормальногораспределения
Спящие эксперты, 1, Slide 41/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Формулы Блэка-Шоулза• сколько должен стоить опцион?• колл: c = SΦ(d1)− Xe−rTΦ(d2)• пут: p = Xe−rTΦ(−d2)− SΦ(−d1)
d1 = (ln(S/X ) + (r + σ2/2)T )/(σ√
T )
d2 = (ln(S/X ) + (r − σ2/2)T )/(σ√
T )
где:X – страйкT – время до исполнения опционаS – текущая цена базового активаr – процентная ставка (часто принимается нулевой)σ – волатильностьΦ – функция распределения для нормальногораспределения
Спящие эксперты, 1, Slide 41/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность
• волатильность – единственный ненаблюдаемый параметр• по теории Блэка-Шоулза(-Мёртона) логарифм цены акции
ln St совершает обобщённое броуновское движение, так чтовариация изменения логарифма цены за время ∆tсоставляет σ2∆t
• волатильность σ оценивается статистически понаблюдениям над ценой акции
Спящие эксперты, 1, Slide 42/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность
• волатильность – единственный ненаблюдаемый параметр• по теории Блэка-Шоулза(-Мёртона) логарифм цены акции
ln St совершает обобщённое броуновское движение, так чтовариация изменения логарифма цены за время ∆tсоставляет σ2∆t
• волатильность σ оценивается статистически понаблюдениям над ценой акции
Спящие эксперты, 1, Slide 42/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность
• волатильность – единственный ненаблюдаемый параметр• по теории Блэка-Шоулза(-Мёртона) логарифм цены акции
ln St совершает обобщённое броуновское движение, так чтовариация изменения логарифма цены за время ∆tсоставляет σ2∆t
• волатильность σ оценивается статистически понаблюдениям над ценой акции
Спящие эксперты, 1, Slide 42/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• цена опциона – тоже наблюдаемая величина (можемпосмотреть котировку на бирже)
• используем формулы Б-Ш наоборот: подставим ценуопциона и рассчитаем волатильность
• такая волатильность называется неявной (ожидаемой,implied)
Спящие эксперты, 1, Slide 43/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• цена опциона – тоже наблюдаемая величина (можемпосмотреть котировку на бирже)
• используем формулы Б-Ш наоборот: подставим ценуопциона и рассчитаем волатильность
• такая волатильность называется неявной (ожидаемой,implied)
Спящие эксперты, 1, Slide 43/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• цена опциона – тоже наблюдаемая величина (можемпосмотреть котировку на бирже)
• используем формулы Б-Ш наоборот: подставим ценуопциона и рассчитаем волатильность
• такая волатильность называется неявной (ожидаемой,implied)
Спящие эксперты, 1, Slide 43/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• по теории Б-Ш волатильность определяется акцией ипотому неявная волатильность одинакова для всехопционов на данную акцию
• на практике получаем функцию σ(X , T )— единого общепризнанного объяснения этого феноменанет
• график σ(X ) при фиксированном T называется улыбкойволатильности
• неявная волатильность является распространённым иинтуитивно понятным (для трейдеров) параметром
Спящие эксперты, 1, Slide 44/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• по теории Б-Ш волатильность определяется акцией ипотому неявная волатильность одинакова для всехопционов на данную акцию
• на практике получаем функцию σ(X , T )— единого общепризнанного объяснения этого феноменанет
• график σ(X ) при фиксированном T называется улыбкойволатильности
• неявная волатильность является распространённым иинтуитивно понятным (для трейдеров) параметром
Спящие эксперты, 1, Slide 44/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• по теории Б-Ш волатильность определяется акцией ипотому неявная волатильность одинакова для всехопционов на данную акцию
• на практике получаем функцию σ(X , T )— единого общепризнанного объяснения этого феноменанет
• график σ(X ) при фиксированном T называется улыбкойволатильности
• неявная волатильность является распространённым иинтуитивно понятным (для трейдеров) параметром
Спящие эксперты, 1, Slide 44/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Неявная волатильность (1)
• по теории Б-Ш волатильность определяется акцией ипотому неявная волатильность одинакова для всехопционов на данную акцию
• на практике получаем функцию σ(X , T )— единого общепризнанного объяснения этого феноменанет
• график σ(X ) при фиксированном T называется улыбкойволатильности
• неявная волатильность является распространённым иинтуитивно понятным (для трейдеров) параметром
Спящие эксперты, 1, Slide 44/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Предсказание неявной волатильности• имеется последовательность записей о сделках с
опционами на фиксированную акцию с фиксированнойдатой исполнения— данные предоставила биржа РТС
• требуется предсказать неявную волатильность дляследующей сделки— мы можем пользоваться всеми параметрами сделкикроме цены опциона, т.к. по ней неявную волатильностьможно просто подсчитать
• уклонение предсказания от исхода меняем квадратичнымипотерями— это не бинарная игра, но тоже смешиваемая
• посмотрим на опционы на акции РАО ЕЭС с исполнениемв декабре 2006 года; всего 13000 сделок
Спящие эксперты, 1, Slide 45/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Предсказание неявной волатильности• имеется последовательность записей о сделках с
опционами на фиксированную акцию с фиксированнойдатой исполнения— данные предоставила биржа РТС
• требуется предсказать неявную волатильность дляследующей сделки— мы можем пользоваться всеми параметрами сделкикроме цены опциона, т.к. по ней неявную волатильностьможно просто подсчитать
• уклонение предсказания от исхода меняем квадратичнымипотерями— это не бинарная игра, но тоже смешиваемая
• посмотрим на опционы на акции РАО ЕЭС с исполнениемв декабре 2006 года; всего 13000 сделок
Спящие эксперты, 1, Slide 45/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Предсказание неявной волатильности• имеется последовательность записей о сделках с
опционами на фиксированную акцию с фиксированнойдатой исполнения— данные предоставила биржа РТС
• требуется предсказать неявную волатильность дляследующей сделки— мы можем пользоваться всеми параметрами сделкикроме цены опциона, т.к. по ней неявную волатильностьможно просто подсчитать
• уклонение предсказания от исхода меняем квадратичнымипотерями— это не бинарная игра, но тоже смешиваемая
• посмотрим на опционы на акции РАО ЕЭС с исполнениемв декабре 2006 года; всего 13000 сделок
Спящие эксперты, 1, Slide 45/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Предсказание неявной волатильности• имеется последовательность записей о сделках с
опционами на фиксированную акцию с фиксированнойдатой исполнения— данные предоставила биржа РТС
• требуется предсказать неявную волатильность дляследующей сделки— мы можем пользоваться всеми параметрами сделкикроме цены опциона, т.к. по ней неявную волатильностьможно просто подсчитать
• уклонение предсказания от исхода меняем квадратичнымипотерями— это не бинарная игра, но тоже смешиваемая
• посмотрим на опционы на акции РАО ЕЭС с исполнениемв декабре 2006 года; всего 13000 сделок
Спящие эксперты, 1, Slide 45/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность и номер сделки, 1000-2000
1000 1200 1400 1600 1800 2000 1000 1200 1400 1600 1800 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Transactions from 1000 to 2000
Спящие эксперты, 1, Slide 46/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность и номер сделки, 10000-11000
10000 10200 10400 10600 10800 11000 10000 10200 10400 10600 10800 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Transactions from 10000 to 11000
Спящие эксперты, 1, Slide 47/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность и страйк, 1000-2000
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
x 104
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Transactions from 1000 to 2000
Спящие эксперты, 1, Slide 48/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Волатильность и страйк, 10000-11000
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
x 104
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Transactions from 10000 to 11000
Спящие эксперты, 1, Slide 49/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Базовый алгоритм
• рассмотрим элементарный метод предсказания: будемпредсказывать неявную волатильность сделки как неявнуюволатильность из предыдущей сделки по опциону с тем жестрайком— поток транзакций расслаивается на временные ряды— в каждом ряде применяем что-то вроде ближайшегососеда
• применялось простое сглаживание по времени: скользящеесреднее с экспоненциальными весами— достигается небольшое улучшение
• более сложные методы из теории временных рядов недали существенного улучшения
Спящие эксперты, 1, Slide 50/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Базовый алгоритм
• рассмотрим элементарный метод предсказания: будемпредсказывать неявную волатильность сделки как неявнуюволатильность из предыдущей сделки по опциону с тем жестрайком— поток транзакций расслаивается на временные ряды— в каждом ряде применяем что-то вроде ближайшегососеда
• применялось простое сглаживание по времени: скользящеесреднее с экспоненциальными весами— достигается небольшое улучшение
• более сложные методы из теории временных рядов недали существенного улучшения
Спящие эксперты, 1, Slide 50/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Базовый алгоритм
• рассмотрим элементарный метод предсказания: будемпредсказывать неявную волатильность сделки как неявнуюволатильность из предыдущей сделки по опциону с тем жестрайком— поток транзакций расслаивается на временные ряды— в каждом ряде применяем что-то вроде ближайшегососеда
• применялось простое сглаживание по времени: скользящеесреднее с экспоненциальными весами— достигается небольшое улучшение
• более сложные методы из теории временных рядов недали существенного улучшения
Спящие эксперты, 1, Slide 50/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Попытка улучшения• на краях графика транзакций мало
— предыдущая транзакция с данным страйком можетотстоять по времени довольно сильно— не лучше ли взять недавнюю транзакцию из соседнегострайка?
• будем рассматривать окрестности из страйков— предсказываем неявную волатильность при помощипоследней транзакции из окрестности
• каким должен быть размер окрестности?— в середине графика разумно использовать маленькиеокрестности, а с краю – большие
• но как конкретно подобрать размеры?— какой сосед ближе, во времени или в пространстве?
Спящие эксперты, 1, Slide 51/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Попытка улучшения• на краях графика транзакций мало
— предыдущая транзакция с данным страйком можетотстоять по времени довольно сильно— не лучше ли взять недавнюю транзакцию из соседнегострайка?
• будем рассматривать окрестности из страйков— предсказываем неявную волатильность при помощипоследней транзакции из окрестности
• каким должен быть размер окрестности?— в середине графика разумно использовать маленькиеокрестности, а с краю – большие
• но как конкретно подобрать размеры?— какой сосед ближе, во времени или в пространстве?
Спящие эксперты, 1, Slide 51/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Попытка улучшения• на краях графика транзакций мало
— предыдущая транзакция с данным страйком можетотстоять по времени довольно сильно— не лучше ли взять недавнюю транзакцию из соседнегострайка?
• будем рассматривать окрестности из страйков— предсказываем неявную волатильность при помощипоследней транзакции из окрестности
• каким должен быть размер окрестности?— в середине графика разумно использовать маленькиеокрестности, а с краю – большие
• но как конкретно подобрать размеры?— какой сосед ближе, во времени или в пространстве?
Спящие эксперты, 1, Slide 51/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Попытка улучшения• на краях графика транзакций мало
— предыдущая транзакция с данным страйком можетотстоять по времени довольно сильно— не лучше ли взять недавнюю транзакцию из соседнегострайка?
• будем рассматривать окрестности из страйков— предсказываем неявную волатильность при помощипоследней транзакции из окрестности
• каким должен быть размер окрестности?— в середине графика разумно использовать маленькиеокрестности, а с краю – большие
• но как конкретно подобрать размеры?— какой сосед ближе, во времени или в пространстве?
Спящие эксперты, 1, Slide 51/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты-специалисты• рассмотрим все окрестности – подмножества X состоящие
из последовательных страйков X1, X2, . . . , Xk где k ≤ d(d – максимальный диаметр окрестности)
• с каждой окрестностью свяжем трёх экспертов:1. эксперт, работающий на транзакциях с опционами сострайками из данной окрестности— получив транзакцию со страйком из своей окрестности,эксперт выдаёт волатильность из предыдущей транзакциисо страйком из этой окрестности— если страйк не попадает в окрестность, эксперт спит2. эксперт, работающий с опционами колл со страйками изданной окрестности3. эксперт, работающий с опционами пут со страйками изданной окрестности
Спящие эксперты, 1, Slide 52/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты-специалисты• рассмотрим все окрестности – подмножества X состоящие
из последовательных страйков X1, X2, . . . , Xk где k ≤ d(d – максимальный диаметр окрестности)
• с каждой окрестностью свяжем трёх экспертов:1. эксперт, работающий на транзакциях с опционами сострайками из данной окрестности— получив транзакцию со страйком из своей окрестности,эксперт выдаёт волатильность из предыдущей транзакциисо страйком из этой окрестности— если страйк не попадает в окрестность, эксперт спит2. эксперт, работающий с опционами колл со страйками изданной окрестности3. эксперт, работающий с опционами пут со страйками изданной окрестности
Спящие эксперты, 1, Slide 52/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты-специалисты• рассмотрим все окрестности – подмножества X состоящие
из последовательных страйков X1, X2, . . . , Xk где k ≤ d(d – максимальный диаметр окрестности)
• с каждой окрестностью свяжем трёх экспертов:1. эксперт, работающий на транзакциях с опционами сострайками из данной окрестности— получив транзакцию со страйком из своей окрестности,эксперт выдаёт волатильность из предыдущей транзакциисо страйком из этой окрестности— если страйк не попадает в окрестность, эксперт спит2. эксперт, работающий с опционами колл со страйками изданной окрестности3. эксперт, работающий с опционами пут со страйками изданной окрестности
Спящие эксперты, 1, Slide 52/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Эксперты-специалисты• рассмотрим все окрестности – подмножества X состоящие
из последовательных страйков X1, X2, . . . , Xk где k ≤ d(d – максимальный диаметр окрестности)
• с каждой окрестностью свяжем трёх экспертов:1. эксперт, работающий на транзакциях с опционами сострайками из данной окрестности— получив транзакцию со страйком из своей окрестности,эксперт выдаёт волатильность из предыдущей транзакциисо страйком из этой окрестности— если страйк не попадает в окрестность, эксперт спит2. эксперт, работающий с опционами колл со страйками изданной окрестности3. эксперт, работающий с опционами пут со страйками изданной окрестности
Спящие эксперты, 1, Slide 52/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Результаты• рассматривались три опциона:
1. опционы на акции РАО ЕЭС с исполнением в декабре2006 года, 13 тысяч сделок2. опционы на акции Газпрома с исполнением в марте 2007года, 11 тысяч сделок3. опционы на индекс РТС (т.е., портфель акцийспециального вида) с исполнением в марте 2007 года, 8,5тысяч сделок
• на графиках показаны величины
Loss(T )− LossРТС(T )
где LossРТС(T ) это квадратичные потери проприетарногометода РТС (метод основан на подборе параметров ввыражении определённого вида для кривой σ(X ))
Спящие эксперты, 1, Slide 53/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Результаты• рассматривались три опциона:
1. опционы на акции РАО ЕЭС с исполнением в декабре2006 года, 13 тысяч сделок2. опционы на акции Газпрома с исполнением в марте 2007года, 11 тысяч сделок3. опционы на индекс РТС (т.е., портфель акцийспециального вида) с исполнением в марте 2007 года, 8,5тысяч сделок
• на графиках показаны величины
Loss(T )− LossРТС(T )
где LossРТС(T ) это квадратичные потери проприетарногометода РТС (метод основан на подборе параметров ввыражении определённого вида для кривой σ(X ))
Спящие эксперты, 1, Slide 53/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
РАО ЕЭС
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
diameters 1 to 5naive algorithm
Спящие эксперты, 1, Slide 54/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Газпром
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
−6
−4
−2
0
2
4
6
diameters 1 to 5naive algorithm
Спящие эксперты, 1, Slide 55/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Индекс РТС
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
diameters 1 to 5naive algorithm
Спящие эксперты, 1, Slide 56/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение (1)
• результаты в целом сравнимы с результатами регрессии соскользящим окном— это стандартный метод в предсказании неявнойволатильности
• с увеличением максимального диаметра окрестностирезультат улучшается, а потом начинает очень медленопадать— добавочный член в гарантии имеет порядокln(числа экспертов) и растёт с ростом числа экспертовмедленно— не следует бояться взять слишком много экспертов:агрегирующий алгоритм отберёт правильныx
Спящие эксперты, 1, Slide 57/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение (1)
• результаты в целом сравнимы с результатами регрессии соскользящим окном— это стандартный метод в предсказании неявнойволатильности
• с увеличением максимального диаметра окрестностирезультат улучшается, а потом начинает очень медленопадать— добавочный член в гарантии имеет порядокln(числа экспертов) и растёт с ростом числа экспертовмедленно— не следует бояться взять слишком много экспертов:агрегирующий алгоритм отберёт правильныx
Спящие эксперты, 1, Slide 57/58 Department of Computer Science, RHUL
Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность
Обсуждение (2)
• одни только окрестности диаметра 5 дают очень плохойрезультат; но добавление их к окрестностям диаметров 1-4улучшает результат— плохие в целом предсказатели где-то работают хорошо,и агрегирующему алгоритму удаётся этим воспользоваться
Спящие эксперты, 1, Slide 58/58 Department of Computer Science, RHUL
Top Related