Zorica Mladenovi ć - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza...

Profesor Zorica Mladenovic 5/30/2016

Ekonomski fakultet Beograd, 2016. 1

VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI

VAR MODELI

Zorica Mladenović

Literatura

•Ključne reference

•Enders (2015), Applied Econometric Time Series, Wiley.

• Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.

•Lutkepohl (2005), New Introduction to Multiple Time Series

Analysis , Springer.

•Juselius (2006), The Cointegrated VAR Model, Oxford University Press.

•Pomoćna referenca

•Mladenović i Nojković (2014), Primenjena analiza

vremenskih serija, EF, Beograd.



Neophodni termini analizeNeophodni termini analize

•Vremenska serija

•Stacionarnost

•Beli šum

•Autoregresioni modeli (AR) i

modeli pokretnih proseka (MA)

•Linearni proces

•Operator docnje L

•Vektorska vremenska serija

UvodUvod

•Cilj ekonometrijske analize:

•ocena strukturnih odnosa u ekonomiji

•Strukturni odnosi se uobičajeno modeliraju prema:

• Sistemu simultanih jednačina

• VAR modelu

•Postoje dva tipa VAR modela:

•Standardni (klasični) VAR model

•Strukturni VAR model

•Podela odgovara distinkciji na redukovanu i strukturnu formu sistema simultanih jednačina.



Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela

(standardni model)(standardni model)

( ) ×=Ω

=

×−ΦΦΦ

×−

×−

ostalo,0

matrica onakovarijaci ,nn,ts,'sataE

nn parametara matricep,...,2,1

modela greska slucajna1,n šum, beli vektorskita

1,n serija, vremenska vektorskatY

Ovo je VAR model reda p i dimenzije n.

taptYp...2tY21tY1tY +−Φ++−Φ+−Φ=

Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela: : osnovno ograniosnovno ograničenječenje

•Opterećenost modela parametrima

•Često je neophodno uvesti određene pretpostavke o parametrima modela:

p21 ΦΦΦΩ ,...,,,



PPočeočetaktak

Sims(1980) “Macroeconomics and Reality” Econometrica, 48

Uopštenje jednodimenzione analize na vektorsku vremensku seriju

...

dohodak V stopa, kamatna novca, ponuda

2211

t

tptpttt

t

t

t

t

tt

aYYYcY

V

X

Z

Y

XZ

+Φ++Φ+Φ+=

=

===

−−−

≠

=Ω==

τ

ττ

t

taaEaE tt

0)'(0)(

iΦ su matrice)1(

333231

232221

131211

1

=Φ

φφφ

φφφ

φφφ

Jedna od jednačina sistema

tpt

p

pt

p

pt

p

tttt

aVXZ

VXZcZ

1

)(

13

)(

12

)(

11

113)1(

112)1(

111)1(

1 ...

+++

+++++=

−−−

−−−

φφφ

φφφ

Svaka jednačina ima isti broj parametara

Strukturni Strukturni VAR(1VAR(1))

t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt

t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 xt

y b b x y x

x b b y y x

− −

− −

= − + γ + γ + ε

= − + γ + γ + ε

• Slučajne greške modela (strukturni šokovi) εyt i εxt su procesi beli šum sa standardnim devijacijama redom σy and σx i korelacijom 0.

• Promenljive y i x su endogene.• Šok εyt utiče na y direktno a na x indirektno.• Model ima 10 parametara za ocenjivanje.

Neka je dat strukturni VAR dimenzije 2: Yt=(yt, xt)’, reda 1:



Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modelamodela

• Strukturni VAR model nije u redukovanoj formi.• Podsećanje: u redukovanoj formi y i x su funkcije isključivo od

prethodnih vrednosti y i x.• Da bi se iz strukturne dobila redukovana forma VAR model

zapisujemo u matričnom obliku:

10 112 11 12

20 121 21 22

0 1 1

1

1

t t yt

t t xt

t t t

y b yb

x b xb

BY Y

εγ γ

εγ γ

ε

−

−

−

= + +

= Γ + Γ +

Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modela IImodela II

• Množenje sa B-1 omogućava dobijanje standardnog VAR(1)modela:

• Došli smo do redukovane forme koja je spremna za ocenjivanje.

0 1 1

1 1 1

0 1 1

0 1 1

t t t

t t t

t t t

BY Y

Y B B Y B

Y Y a

ε

ε

−

− − −−

−

= Γ + Γ +

= Γ + Γ +

= Φ + Φ +



Teme:Teme:

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Određivanje reda VAR modela i testovi specifikacije

4. Uzročnost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja

7. Strukturni VAR model

TemTemaa::



3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost






Uslov stabilnosti sistemaUslov stabilnosti sistema

Uslov stacionarnosti Uslov stacionarnosti YYtt

≠

==−−−−

+=

+=−−−−

+=−−−− −−−

ji

ji]L....LL

ij

L)L(

acY)L(

acY)L...LLI(

acY...YYY

ijp)p(

ij)(

ij)(

ij

tt

ttp

p

tptpttt

0

1221

221

2211

δφφφδ

Φ

Φ

Φ

ΦΦΦ

ΦΦΦ

ij[

je (L) odElement

docnje operatoru po polinom matricni nxn je

VAR(p) za je stabilan ako su svih pxn korena (rešenja) donje jednačine strogo veći od jedan po modulu:

tY

c)...I(

.0x...xxI

1p21n

pp

221n

−−−−−=

=−−−−

ΦΦΦµ

ΦΦΦ

Uslov stabilnosti IIUslov stabilnosti II

( )

( )

( ) ∑−

=−

−

−

−

++++++=

++++=

++++=++==

++==

++=

+=−

1t

0iit

i10

t1

1t1

211nt

2110211n

210112112

1011

t1t1t

t1t1t

aYc...IYt

aaYcI

aaYccaYcY,2t

aYcY,1t

aYcY

acYY

ΦΦΦΦΦ

ΦΦΦ

ΦΦΦ

Φ

Φ

Φ

M

Članovi kompletno su određeni sa tYY ,...,1 .,...,1,0 taaY



Uslov stabilnosti IIIUslov stabilnosti III

( ) ∑=

−−−+

−

Φ+Φ+Φ++Φ+Φ+=

+=Φ−

+=

j

iit

i

jt

jj

nt

ttt

aYcIY

acYY

jt

011

1

11

2

11

11

...

1 je Neka

Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, tada je niz apsolutno sumirajući. To znači da beskonačna suma konvergira ka:

Dodatno, element konvergira ka nuli dovoljno brzo, što znači da se može ignorisati.

1Φ

,...,,iΦi 101 =

∑∝

= 0i

i1Φ

∞→Φ −−+

jY jtj

,11

1

( ) .j,I...I 11n

j1

211n ∞→−→

++++ −ΦΦΦΦ

Uslov stabilnosti IVUslov stabilnosti IV

( )( )

( ) ,...3,2,1t,c...I,aY

ac...IY

acYY

211n

0iit

i1t

0iit

i1

I

211nt

t1t1t

11n

=+++=+=

++++=

+=−

∑∞

=−

∑∞

=−

−

−

−

ΦΦµΦµ

ΦΦΦ

Φ

Φ

444 3444 21

Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, proces iskazan kroz VAR(1) model je precizno definisan kao stohastički.

Zaključak: uslov stabilnosti Karakteristične vrednosti matrice po modulu su

strogo manje od 1.

1Φ

1Φ



U tom slučaju postoji odgovarajuća vektorska reprezentacija pokretnih sredina beskonačnog reda

Ovo je fundamentalna reprezentacija za analizu reakcije vremenske serije na uticaj slučajnog šoka.

)(MA ∞

...]LLI[)L(

a)L(...aaaY

221n

t2t21t1tt

21

1

+++=

+=++++= −−

ΨΨΨ

ΨµΨΨµ

ΦΦ

Uslov stabilnosti VUslov stabilnosti V

Uslov stabilnosti VIUslov stabilnosti VI

Matrična algebra: svih n karakterističnih vrednosti kvadratne matrice su strogo manje od jedan ako i samo ako je ispunjen uslov:

1Φ

44 344 21

jedan. od veca strogo modulu po su ,,..., jednacine, Resenja

:Sledi

svako za

nxx

n

n

xI

xxI

1

0

10

1

1

=−

≤≠−

Φ

Φ



Zapisujemo model u formi odstupanja od srednje vrednosti

tptp2t21t1t a)Y(...)Y()Y(Y +µ−Φ++µ−Φ+µ−Φ=µ− −−−

Grupišemo članove kao:

( )npnp

'tt1tt

1np

t

t

npnpn

n

n

p1p21

1np1pt

1t

t

t

0......0

0......0

0...0

H,,0

t,HuuE,uF

0

0

a

u

0I...00

00...I0

00...0I

...

F

Y

Y

Y

×

−

××

−

×+−

−

= =

=+=

=

=

−

−

−

=

Ωτ

ηη

ΦΦΦΦ

µ

µ

µ

η

τ ostalo

MMMMM

M

STABILAN PROCES:SVE KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI MATRICE F SU MANJE OD JEDAN PO MODULU

Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti

VAR(pVAR(p)) VAR(1)VAR(1)

Uslov stabilnosti: primer 1Uslov stabilnosti: primer 1

( )

stabilan. je proces dati 1 od vecastrogomodulu po resenja svasu Kako

4858.153x,1525.22x,21x02x03.0x4.010.5x-1

:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost

x3.01x2.00

x3.0x1.01x1.0

00x5.01

x

3.02.00

3.01.01.0

005.0

100

010

001

odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam

ta1tY

3.02.00

3.01.01.0

005.0

ctY

:1 reda a 3, dimenzije VARdat je Neka

−===⇒=

−−

−−

−−−

−

=

−

+−

+=



Primer 1: grafički prikaz

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

X

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

Y

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

Z

Uslov stabilnosti: primer 2Uslov stabilnosti: primer 2

stabilan. je model :jedan od vecastrogomodulu posu resenja triSva

.545.5226.4255.3:3x i 2x od Moduo ,1i

i26.455.33x,i26.455.32x,3.11x03x025.02x21.0x1

:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost

2x025.0

00x

5.04.0

1.05.0

10

01

odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam

ta2tY025.0

001tY

5.04.0

1.05.0ctY

:2 reda a 2, dimenzije VARdat je Neka

=+−=

−=+==⇒=

−+−

−

−

+−

+−

+=



Primer 2: grafički prikaz

-2

0

2

4

6

8

10

50 100 150 200 250 300

X

-4

-2

0

2

4

6

50 100 150 200 250 300

Y

Primer 3: nestabilan VAROba rešenja su jedan

-200

0

200

400

600

800

50 100 150 200 250 300

X

-4

0

4

8

12

16

20

24

50 100 150 200 250 300

Y

( ) .12x1x02x10x11.0

01

10

01det

:nulom sa amoizjednacavtu Determinan

ta1tY11.0

01ctY

==⇒=−⇒=

−

+−

+=



TemTemaa::



3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost




Ocena parametara Ocena parametara VARVAR modelamodelaMetod običnih najmanjih kvadrata Metod običnih najmanjih kvadrata

Metod maksimalne verodostojnostiMetod maksimalne verodostojnosti

( )

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

1

11

111

1

101

21

2211

1

111

1

0

−

==

×+×

−−

+

−−−

=

+=

×+=

+

×

+×=

+++++=

∑∑

+×

T

t

'tt

T

t

'tt

t)np

tn

t

'pttt

tT-p

p

ttptpttt

XXXY

aXY

)npY...YX

YnY,...,Y,Y,...,YpT

?nn,

)npn,c

,Ω:N,aaYΦ...YΦYΦcY

)npn

A':ocena ONK

A'

:formi nojkondenzova uVAR

(vektor :je Neka

clanova od svaki za : vrednosti Poznato

matrica onaKovarijaci

( ... A':nagiba parametara Matrica

, ONK kvadrata, najmanjih obicnih metoda Primena

((

Ω

ΦΦΦ



( )

( ) ( )

∑

∑

=

−

=

−

−−−=

−−−−−=

=

+=

T

t

tt

T

t

tttt

ttt

a'alnT

)ln(Tn

XY'XYlnT

)ln(Tn

parametril

aXY

1

1

1

1

2

1

22

2

2

1

22

2

ΩΩπ

ΩΩπ

A'A'

:uzorka nostiverodostoj funkcije Log.

A' :formi nojkondenzova uVAR

:MMV (uslovni), nostiverodostoj maksimalne Metod

Odnos dva metoda: ocene su identične

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

2

11

11

111

1

1

1

1

1

1

1

11

=

−=

−=

=

−=−

−

−+−−+=

=−+−+=

=−+−−+−=

−−

=

∑∑

∑∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑∑

−−

−−

−−−

=

−

=

−

=

−

−

==

t

ttt

t

t

t

tt

t

tt

t t t

tttttt

T

t

tttt

T

t

tttttttt

T

t

tttt

T

t

'tt

T

t

'tt

'aX)ˆ(tr'aX)'ˆ(tr

X)'ˆ('atrX)'ˆ('a

:Napomena

X)'ˆ('aX)'ˆ()ˆ('Xa'a

X)'ˆ(a'X)'ˆ(a

XX'ˆX'ˆY'XX'ˆX'ˆY

XY'XY

XXXYˆ

AAAA

AAAA

nuli jednak iskalar jeelement poslednji

AAAAAA

AAAA

A'AAA'AA

A'A'

:vrednost minimizira koja Ocena :MMV

A :ONK

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩ

Ω

Ω

Ω



( ) ( )

A.A zarednost najmanju v ima izraz Gornji

definitna. pozitivno takodjeje 1-matrica definitna pozitivno je Kako

t ttX)'AA(1)AA(t'Xta1

t'amin

T

1ttX'AtY1'tX'AtYmin

=

Ω→Ω

−−Ω−+−Ω

=

=−−Ω−

∑ ∑

∑

Ocena kovarijacione matrice Ω izvedena za dato A

∑

∑

=

=

−

=⇒=∂

∂

−−−=

T

t

tt

T

t

tt

'aaT

ˆ)ˆ,(

a'alnT

)ln(Tn

)ˆ,(

1

1

1

10

2

1

22

2

ΩΩ

Ω

ΩΩπΩ

A

izraz. gornji amaksimizir

koja matricu definitnu pozitivno simetricnu naci :Cilj

A

l

l

Ocena kovarijacione matrice

T

.ji,n,...,1j,i,aaT

1ˆ

ˆ

Ti

.n,...,1i,aT

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ...ˆ

ˆ...ˆˆ

'aaT

1ˆ

T

1tjtitij

T

1t

2itii

T

1t

nn

n222

n11211

tt

uzorka obimompodeljen jednacine dve svake iz reziduala proizvodaZbir

:dijagonale glavne van matrice onekovarijaci Elementi

uzorka obimom podeljena jednacine iz kvadrata suma Rezidualna

:dijagonali glavnoj na matrice onekovarijaci Elementi

2

2

2

2

≠==

==

==

∑=

∑=

∑=

σ

Ω

σ

Ω

σ

σσ

σσσ

ΩMO



TemTemaa::



3. Određivanje reda VAR modela i specifikacija

4. Uzročnost




Određivanje reda VAR modelaOdređivanje reda VAR modela

1. Testiranje značajnosti parametara

• Test količnika verodostojnosti• Direktna provera značajnosti pojedinih parametara

2. Informacioni kriterijumi

3. Testovi autokorelacije

4. Testovi normalnosti



TestTest količnika verodostojnosti količnika verodostojnosti

Maksimum log funkcije verodostojnosti za dobijene ocene

[ ] [ ]

( ) ΩπΩπΩ

ΩΩ

ΩΩΩ

ΩΩπΩ

ˆlnT

)ln(TnTnˆln

T)ln(

Tn)ˆ,ˆ(

TnTItrˆTˆtr

'aaˆtraˆ'atraˆ'a

aˆ'aˆlnT

)ln(Tn

)ˆ,ˆ(

n

T

t

tt

T

t

tt

T

t

tt

T

t

tt

212

2222

2

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

−+−=−−−=

===

=

=

=

−−−=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

∑∑∑

∑

A

A

l

l

0p od veceje 1p

)1p(VAR:1H

)0p(VAR:0H

Postavljamo sledeće hipoteze

( )

( ) 111

11

000

0

212

2

212

2

ΩπΩ

ΩπΩ

ˆlnT

lnTn

,ˆ,ˆ

pH

ˆlnT

lnTn

,ˆ,ˆ

pH

*

*

o

−+−=

−+−=

l

l

A

: redaVAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako

A

: redaVAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako

1

0

)pp(nbrojm:LR

ˆlnˆlnT

)(H

HlnLR

m

**

0122

10

01

1

0 22

−=−

−=

−=−=

aogranicenj

) pod verod. (f.

) pod verod. (f.

:nostiverodostoj kolicnikaTest

χ

ΩΩ

ll

modelu.VAR celom u ukupno

jednacini svakoj u ukupno

upromenljiv svaku na aogranicenj :jednacini svakoj U

)pp(n

)pp(n

pp

012

01

01

−

−

−

TestTest količnika verodostojnosti II količnika verodostojnosti II



( ) ( )

hipoteza. nulta odbacuje

put prvi po se kojoj u fazom zavrsava se Testiranje 3.

itd. docnje, 3H docnje, 2H

docnje, 4H docnje, 3H :primer Na

unazad lnosekvencija sprovodi se Testiranje 2

vrednosti apriorne od se Polazi 1.

:TESTIRANJA ALGORITAM

jednacini svakoj u parametara broj

: Simsa jaModifikaci

:nostiverodostoj kolicnikaTest

10

10

::

::

.

p

npk

ˆlnˆlnkTLR

ˆlnˆlnTLR

ˆlnˆlnTLR

1

1

10

10

10

1+=

−−=

−−=

−=

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

TestTest količnika verodostojnosti IIIkoličnika verodostojnosti III

TestTest količnika verodostojnosti: primer količnika verodostojnosti: primer VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3Period: 2002:1Period: 2002:1--2007:12 (72 podatka)2007:12 (72 podatka)

H0: VAR(1) H1:VAR(2)

Napomene:

1. Efektivni uzorak korišćen za ocenu VAR(2), pa zato i VAR(1) je 70.

2. Kako VAR(2) model ima ukupno 4 parametra više za ocenjivanje od

VAR(1) modela, to je broj stepeni slobode u primeni testa 4.

Rezultat: Uz nivo značajnosti od 10% prihvata se značajnost

druge docnje u VAR modelu i opravdanost VAR(2) specifikacije.

1Ω 2Ω

810*8677522.4 − 810*3193651.4 −

( ) 3781031936514108677522470 8824 .)*.ln()*.ln(*LR =−== −−χ

78710049905024

24 .).(.).( == χχ



Test značajnosti pojedinih parametara

•U slučaju kada je VAR model stabilan, a slučajna komponenta vektorski proces beli šum sa višedimenzionom normalnom raspodelom metodom ONK dobijaju se nepristrasne i konzistentne ocene parametara koje su normalno raspodeljene.

•Moguće je primeniti standardnu teoriju statističkog zaključivanja.

•Možemo koristiti standardnu t i F statistiku.

InformaInformacioni kriterijumi u cioni kriterijumi u VARVAR modelu modelu

• Kao i kod jednodimenzionog AR modela, i kod višedimenzionog VAR modela, funkcija informacionog kriterijuma (IC) se koristi za izbor optimalnog broja docnji.

• Optimalan broj docnji jeste ona vrednost p kojom se minimizira funkcija IC(p)

• Akaikeov, Švarcov i Hana-Kvinov

•Primena ima smisla jedino ako su reziduali VAR modela neautokorelisani sa aproksimativno normalnom raspodelom.

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )T

npnlnˆlnHQC

T

npnˆlnSC

T

npnˆlnAIC

++=

++=

++=

2

2

2

2

2

Tln

Tln

sistema parametara broj ukupan

Ω

Ω

Ω

48476



• Pojedinačna analiza reziduala svake jednačine

• Analiza korelacionih koeficijenata reziduala svake jednačine

• Analiza unakrsnih korelacionih koeficijenata iz svake dve jednačine

• Obe analize sprovode se za rastuće docnje

• Zbirna analiza reziduala u celom VAR modelu

• Višedimenzioni BG (Brojš-Godfrijev) test

• Višedimenzioni BLj (Boks-Ljungov) test

Testiranje postojanja autokorelacije

• Nulta hipoteza: ne postoji, kako autokorelacija kod individualnih

komponenti vektorske vremenske serije, tako i unakrsna korelacija

između tih komponenti. Alternativnom hipotezom se sugeriše

suprotno.

• Oznaka statistike za testiranje zbirne autokorelacije i unakrsne

korelacije reda h u VAR modelu sa n jednačina: Qn(h)

• Ako je tačna nulta hipoteza Qn(h) poseduje asimptotski χ2

raspodelu sa n2(h-p) stepeni slobode.

Višedimenzioni BLj test

( ) ( )

( )'jttj

j

j'j

h

j

jnn

aaE

j

ˆ

,ˆˆˆˆtrT)h(Q

−

−−

=−

=

−

= ∑

Γ

Γ

ΓΓΓΓ

docnji na reziduala

vektora matrice onekovarijaci ocena

10

10

1

12



•Postoji više testova čijom primenom se proverava da li je slučajna

greška VAR modela normalno raspodeljena:

• Lutkepolov (engl. Lutkepohl) test

• Dornik-Hansenov (engl. Doornik-Hansen) test.

•Oba testa zasnivaju se na JB testu normalnosti, kojim se ispituje da

li treći i četvrti centalni moment date serije reziduala odgovaraju

korespondirajućim momentima normalne raspodele.

• U okviru VAR modela neophodno je obrazovati međusobno

nekorelisane serije reziduala.

•Za tako transformisane serije reziduala računa se, prvo,

jednodimenziona JB test-statistika. Potom se dobijene individualne

vrednosti sabiraju, što daje višedimenzionu verziju test-statistike

normalnosti.

Testiranje normalnosti slučajne greške modela I

•Pri tačnoj nultoj hipoteze o normalnosti obe višedimenzione test-

statistike normalnosti poseduju asimptotski χ2 raspodelu sa brojem

stepeni slobode 2*n, gde je n broj jednačina VAR modela , budući da

se dobijaju kao zbir od n slučajnih promenljivih, od kojih svaka ima

χ2 raspodelu sa 2 stepena slobode.

• Lutkepolov test je osetljiv na promenu redosleda jednačina VAR

modela, dok je Dornik-Hansenov test invarijantan u odnosu na taj

redosled.

• U praksi se ostvaruje dodatna korekcija Dornik-Hansenove test-

statistike kako bi se obezbedila preciznija aproksimacija χ2

raspodelom. Ova korekcija prisutna je i u programskom paketu

EVIEWS, s tim što različite verzije paketa ne daju istovetne

rezultate.

Testiranje normalnosti slučajne greške modela II

Zorica Mladenovi ć - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza...

Documents

Transcript of Zorica Mladenovi ć - University of Belgradeavs.ekof.bg.ac.rs/master - primenjena analiza...