Zlati rez - MaRSmars.dmfa.si/mars2008/pdf/cl-08-02-zlatirez.pdfVrtnica, Taj Mahal, ... The golden...
4
1 Zlati rez Nives Naraglav, Saša Dreme, Urša Pertot Mentor: Dejan Širaj Vrtnica, Taj Mahal, ˇ clovek, pravilni petkotnik in rene- sansa morda na videz nimajo skupnih toˇ ck. Vendar ˇ ce združimo moˇ c narave, ˇ clovekov obˇ cutek za estetiko ter matematiˇ cni um, kmalu dobimo popolno razmerje zla- tega reza, ki povezuje na videz nepovezane pojme. Definicija in osnovne lastnosti Zlati rez je razmerje, ki ga ponazorimo z razdeli- tvijo daljice na dva neenaka dela, tako da je raz- merje med celoto in daljšim delom enako razmer- ju med daljšim in krajšim delom. Število zlatega reza, ki ga ponavadi oznaˇ cimo s Φ, izraˇ cunamo neposredno iz definicije: m + M M = M m m M + 1 = M m Φ −1 + 1 =Φ Φ 2 − Φ − 1 = 0 Φ 1,2 = 1 ± √ 5 2 Φ= 1 + √ 5 2 Φ= 1, 61803 ... Iz izraˇ cuna je oˇ citno, da je Φ algebraiˇ cno število, saj je rešitev neke enaˇ cbe z racionalnimi koefici- enti. Poleg tega je tudi iracionalno število, kar je razvidno iz naslednjega premisleka. Denimo, da je Φ element množice racionalnih števil. Φ= 1 + √ 5 2 2Φ − 1 = √ 5 Ker velja, da množenje racionalnega števila z 2 in odštevanje 1 od racionalnega števila spet da raci- onalno število, √ 5 pa je iracionalno število, smo prišli do protislovja in tako dokazali, da je Φ res iracionalno. Povezanost s Fibonaccijevim zaporedjem Fibonaccijevo zaporedje je zaporedje števil, ki so vsota dveh svojih predhodnikov. F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n−1 + F n−2 Tako dobimo števila: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Iz formule za splošni ˇ clen Fibonaccijevega zapo- redja, ki jo dobimo s pomoˇ cjo linearnih rekurziv- nih enaˇ cb, je lepo razvidna zveza med Fibonacci- jevim zaporedjem in številom zlatega reza: F n = √ 5 5 · 1 + √ 5 2 !n − √ 5 5 · 1 − √ 5 2 !n F n = √ 5 5 · (Φ n + (1 − Φ) n ) Kvocient dveh zaporednih Fibonaccijevih števil vedno bolj stremi k številu zlatega reza. To trdi- tev bolj formalno napišemo na naslednji naˇ cin: lim n→∞ F n+1 F n =Φ Konstrukcija zlate toˇ cke Na zaˇ cetku imamo dano daljico AB z razpolovi- šˇ cem v toˇ cki C. Skozi toˇ cko B narišemo pravoko- tnico in na njej toˇ cko D tako, da je |BC| = |BD|. Na daljici AD oznaˇ cimo toˇ cko E tako, da je |DB| = |DE|. Na daljici AB oznaˇ cimo toˇ cko F tako, da je |AF| = |AE|. Toˇ cka F je zlata toˇ cka daljice AB.
Transcript of Zlati rez - MaRSmars.dmfa.si/mars2008/pdf/cl-08-02-zlatirez.pdfVrtnica, Taj Mahal, ... The golden...
1
Zlati rezNives Naraglav, Saša Dreme, Urša Pertot
Mentor: Dejan Širaj
Vrtnica, Taj Mahal, clovek, pravilni petkotnik in rene-sansa morda na videz nimajo skupnih tock. Vendar cezdružimo moc narave, clovekov obcutek za estetiko termatematicni um, kmalu dobimo popolno razmerje zla-tega reza, ki povezuje na videz nepovezane pojme.
Definicija in osnovne lastnosti
Zlati rez je razmerje, ki ga ponazorimo z razdeli-tvijo daljice na dva neenaka dela, tako da je raz-merje med celoto in daljšim delom enako razmer-ju med daljšim in krajšim delom.
Število zlatega reza, ki ga ponavadi oznacimo sΦ, izracunamo neposredno iz definicije:
m +MM
=Mm
mM+ 1 =
Mm
Φ−1 + 1 = Φ
Φ2−Φ − 1 = 0
Φ1,2 =1 ±√
52
Φ =1 +√
52
Φ = 1, 61803 . . .
Iz izracuna je ocitno, da je Φ algebraicno število,saj je rešitev neke enacbe z racionalnimi koefici-enti. Poleg tega je tudi iracionalno število, kar jerazvidno iz naslednjega premisleka. Denimo, daje Φ element množice racionalnih števil.
Φ =1 +√
52
2Φ − 1 =√
5
Ker velja, da množenje racionalnega števila z 2 inodštevanje 1 od racionalnega števila spet da raci-onalno število,
√5 pa je iracionalno število, smo
prišli do protislovja in tako dokazali, da je Φ resiracionalno.
Povezanost s Fibonaccijevimzaporedjem
Fibonaccijevo zaporedje je zaporedje števil, ki sovsota dveh svojih predhodnikov.
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2
Tako dobimo števila: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
Iz formule za splošni clen Fibonaccijevega zapo-redja, ki jo dobimo s pomocjo linearnih rekurziv-nih enacb, je lepo razvidna zveza med Fibonacci-jevim zaporedjem in številom zlatega reza:
Fn =
√5
5·
(1 +√
52
)n
−
√5
5·
(1 −√
52
)n
Fn =
√5
5· (Φn + (1 −Φ)n)
Kvocient dveh zaporednih Fibonaccijevih številvedno bolj stremi k številu zlatega reza. To trdi-tev bolj formalno napišemo na naslednji nacin:
limn→∞
Fn+1
Fn= Φ
Konstrukcija zlate tocke
Na zacetku imamo dano daljico AB z razpolovi-šcem v tocki C. Skozi tocko B narišemo pravoko-tnico in na njej tocko D tako, da je |BC| = |BD|.Na daljici AD oznacimo tocko E tako, da je |DB| =|DE|. Na daljici AB oznacimo tocko F tako, da je|AF| = |AE|. Tocka F je zlata tocka daljice AB.
Zlati rez 2
Dokaz, da je F res zlata tocka daljice AB, prepro-sto izvedemo s Pitagorovim izrekom za trikotnikABD: (M +m
2
)2
+ (M +m)2 =(M +
M +m2
)2
m2 + 2Mm +M2
4+m2 + 2Mm +M2 =
9M2 + 6Mm +m2
4
M2−Mm −m2 = 0(M
m
)2
−Mm− 1 = 0
Φ2−Φ − 1 = 0
Konstrukcija drugega krajišcadaljice ob znanem enem krajišcuin zlati tocki
Dano je krajišce A daljice AE in zlata tocka T nanjej. Na nosilki daljice AT oznacimo tocko A′ ta-ko, da velja |AT| = |A′T|. Po prej opisanem po-stopku skonstruiramo zlato tocko E za daljicoTA′.
Spodnji racun pokaže, da je tocka E iskano drugokrajišce dane daljice:
|AT| = |TA′| = aa
a − c=
a − cc
|AE| = ea
e − a=
e − a2a − e
|EA′| = c e2− ae − a2 = 0
c = 2a − ea
e − a=
ea
Zlati petkotnik
V petkotniku zlatih rezov kar mrgoli. Najpo-membnejše je tisto med diagonalo in stranico, kiga bomo v naslednjih vrsticah tudi dokazali.
Petkotnik je pravilen, zato je štirikotnik BCDEenakokrak trapez, od koder sledi, da sta daljici BEin CD vzporedni. Trikotnika BFE in CDF imata to-rej vse pare stranic vzporedne, zato sta podobna.Ni težko videti, da sta kota ∠BCF in ∠CFB enaka,iz cesar sledi, da je trikotnik FBC enakokrak. Pre-ko zgoraj omenjenih podobnih trikotnikov lahkodokažemo, da je razmerje med stranico in diago-nalo pravilnega petkotnika enako Φ, na naslednjinacin:
ba=
ab − a
b2− ab − a2 = 0 z =
ba
z2− z − 1 = 0
z =1 ±√
52
= Φ
Konstrukcija pravilnegapetkotnika
Na zacetku imamo dano stranico AB pravilnegapetkotnika ABCDE. Nato po prejšnjem postopkuskonstruiramo tocko T tako, da je B zlata tockadaljice AT. Ker sta diagonala in stranica pravilne-ga petkotnika v razmerju zlatega reza, je dolžinadaljice AT enaka dolžini diagonale. Zato samo vtocki A narišemo krožnico z radijem |AT|, v toc-ki B pa krožnico z radijem |AB|, in presecišce tehdveh krožnic predstavlja tretje oglišce C. Ostalitocki narišemo po istem postopku.
3
Zlati rez v umetnosti in naravi
Zlati rez naj bi bilo najboljše možno vodilo vseh,ki poskušajo lepoto skladno ujeti v sliki ali iz-klesati v kamnu. Tako ljudje že tisocletja upora-bljajo zlati rez v arhitekturi (egipcanske pirami-de, grški Partenon, Notre Dame, Taj Mahal, CNTower,...), slikarstvu (predvsem renesancni ume-tniki), kiparstvu,...
Clovek je dobil navdih za zlati rez z opazova-njem narave in samega sebe. Pri cloveku ga lahkomed drugim najdemo v razmerju med podlahtjoin dlanjo.
Pri rastlinah in živalih gre predvsem za ucinko-vito izkorišcanje potenciala. Biologi so ugotovili,da rastlina absorbira najvec svetlobe, ce ima listeokoli stebla razporejene tako, da je med vsakimnaslednjim kot Φ, to pomeni, da na en obrat pri-de Φ listov. Podobno velja za razporeditev semen
v cvetu in cvetnih listov, kar prikazuje spodnja fo-tografija.
Viri
• Dunlap, R. (1997). The golden ratio and Fibo-nacci numbers. New Jersey: World Scientific
• WIKIPEDIA. Online. Citirano 29. avgusta2008 na naslovuhttp://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
• Špenko, Š., Kovac, B., Širaj, D. (2004). Zlatirez (raziskovalna naloga). Ljubljana: Gimna-zija Bežigrad
