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2. ANALISIS MATEMTICO I PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA (TERCERA EDICION) SISTEMA DE NUMEROS REALES RELACIONES Y FUNCIONES LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVADAS APLICACIONES DE LA DERIVADA DIFERENCIALES EDUARDO ESPINOZA RAMOS 3. IMPRESO EN EL PER 20 - 03 - 2002 39EDICIN DERECHOS RESERVADOS W -jtr *>'* >- '*t wjr.-tfjr a-*r-'jr/*r'&seir/jir.-.tv'jr.'jr.-jer*r'*rsr'jr/jir/*r.-m'jartr.*y ) i i I t Estelibro no puedereproducirsetotal parcialm ente porningn m todo I grfico, electrnico o m ecnico,incluyendo lossistemas d e fotocopia, f| . ' ... sni..< An j. registros m agnticos o d e alim entacin de datos, sin expreso consentimiento f *f i del autor y Editor. I * *- II f RUC N9 10070440607 t i i Ley de Derechos del Autor N9 13714 Registro com ercial Ne 10716 Escritura Publica N24484 4. PRESENTACION Eduardo Espinoza Ramos, catedrtico en la especialidad de matemtica pura, me hace el honor de pedirme la presentacin de su obra Anlisis Matemtico I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniera. El objeto principal de la presente obra Anlisis Matemtico I, es precisamente llenar el vaco que existe para su fcil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los conceptos bsicos necesarios y su aplicacin hacia las especialidades de Ingeniera, de tal manera que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo prctico y comprensible. El mtodo didctico empleado en todo el libro consta de cinco captulos: Sistema de Nmeros Reales; Relaciones y Funciones; Lmites y Continuidad; Derivadas y sus Aplicaciones y Diferenciales. Para orientacin del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de sus aos de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde el punto de vista cientfico en forma didctica y amena. Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los propsitos y mtodos empleados en la teora. Finalmente, expreso mi felicitacin al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA RAMOS, quien ya se suma a la legin de autores nacionales que tienen ms conocimiento de nuestra realidad Universitaria. ING. EDUARDO BULNES SAMAME JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA, iA-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA 5. PROLOGO En la presente obra Intitulada Anlisis Matemtico I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniera en su 3ra. Edicin, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, motivo por el cual se ha ampliado la demostracin de propiedades as como los conceptos bsicos tericos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al igual que su 2da edicin se expone en forma terica y prctica, los conceptos de sistemas de nmeros reales, relaciones y funciones, lmites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, as como la regla de LHospital, las funciones hiperblicas y la diferencial con sus aplicaciones, as mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, tambin se han incluido mas ejercicios desarrollados y propuestos en las practicas y exmenes de las diversas universidades de la capital proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de rea acadmica. La parte terica se desarrolla de manera metdica y con especial cuidado, tratando de noperder el rigor matemtico pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector. La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del lgebra elemental, geometra plana y trigonometra. La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemticas, fsica, ingeniera, economa y para toda persona interesada en fundamentar slidamente sus conocimientos matemticos del anlisis real. Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias. 6. DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemtica Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrtico Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemtica Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnologa del Per. Catedrtico de la Universidad Particular Ricardo Palma. DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA Doctor en matemtica Pura, Universidad Federal de Ro de Janeiro Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrtico de la Universidad Nacional del Callao. LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO Ex-Jefe de Departamento Acadmico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Acadmico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemtica de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemtica en la Facultad de Ingeniera de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SERGIO LEYVA HARO Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniera Qumica de la Universidad Nacional del Callao. Catedrtico en la Facultad de Ingeniera Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUAN BERNUI BARROS Director del Instituto de Investigacin de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemtica de la Universidad Nacional del Callao. Catedrtico de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERMO SOTO SOTO Catedrtico de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrtico de la Universidad Particular Ricardo Palma. Mg. JOSE QUIKE BRONCANO Catedrtico de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del rea de matemtica en la Facultad de Ciencias Matemticas Puras. Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE Catedrtico de la Universidad Nacional del Callao Catedrtico de la Universidad Nacional de Ingeniera. Catedrtico de la Universidad Ricardo Palma. E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S 7. DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D , JO R G E y D IA N A , que Dios ilumine sus caminos para que 8. INDICE CAPITULO I [* S .-T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S 1.1 Introduccin 1 1.2 Definicin 2 1.3 Axiomas de Sustitucin 4 1.4 Axiomas Distributivas 4 1.5 Teorema de Igualdad para la Adicin 4 1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicacin 4 1.7 Teorema de Cancelacin para la Adicin 4 1.8 Teorema de Cancelacin para la Multiplicacin 5 1.9 Sustraccin de Nmeros Reales 5 1.10 Divisin de Nmeros Reales 5 1.11 Ejercicios Desarrollados- 6 1.12 Representacin de los Nmeros Reales 10 1.13 Desigualdades 11 1.14 Axioma de la Relacin de orden 12 1.15 Definicin 12 1.16 Teorema 12 1.17 Teorema 13 1.18 Teorema 13 1.19 Teorema 14 1.20 Teorema 14 9. 1.21 Teorema 15 1.22 Ejercicios Desarrollados 15 1.23 Ejercicios Propuestos 23 1.24 Inecuaciones 29 1.25 Conjuntos solucin de una Inecuacin 31 1.26 Resolucin de una Inecuacin 31 1.27 Inecuacin de Primer Grado en una Incgnita 31 1.28 Inecuacin de Segundo Grado en unaIncgnita 33 1.29 Inecuaciones Polinmicas 38 1.30 Inecuaciones Fraccionarias 42 1.31 Inecuaciones Exponenciales 45 1.32 Inecuaciones Irracionales 47 1.33 Ejercicios Desarrollados 58 1.34 Ejercicios Propuestos 84 1.35 Valor Absoluto 101 1.36 Propiedades Bsicas para resolverEcuaciones e Inecuaciones donde interviene Valor Absoluto 102 1.37 Mximo Entero 104 1.38 Propiedades del Mximo Entero 106 1.39 Inecuaciones Logartmicas 111 1.40 Ejercicios Desarrollados 116 1.41 Ejercicios Propuestos 155 1.42 Conjuntos Acotados 176 1.43 Axiomas del Supremo o Axiomasde la mnima cota superior 177 1.44 Principio Arquimediano 178 1.45 Ejercicios Propuestos 180 10. CAPITULO II 2.1 Introduccin 182 2.2 Relaciones Binarias 191 2.3 Grfica de una Relacin de R en R 198 2.4 Ejercicios Desarrollados 202 2.5 Ejercicios Propuestos 212 2.6 Funciones 215 2.7 Dominio y Rango de una Funcin 216 2.8 Criterio para el Calculo del Dominio yRango de una Funcin 217 2.9 Aplicaciones de A en B 218 2.10 Funciones Especiales 219 2.11 Evaluacin de una Funcin 224 2.12 Funcin definida con Varias Reglas deCorrespondencia 224 2.13 Trazado de Grficas Especiales 225 2.14 Ejercicios Desarrollados 229 2.15 Ejercicios Propuestos 247 2.16 Operaciones con Funciones 258 2.17 Composicin de Funciones 264 2.18 Propiedades de la Comprensin de Funciones 270 2.19 Ejercicios Desarrollados 270 2.20 Ejercicios Propuestos 282 2.21 Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas 293 2.22 Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas 295 2.23 Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas 297 2.24 Funcin Inversa 298 2.25 Funcin Inversa de una Composicin 300 2.26 Ejercicios Desarrollados 300 2.26 Ejercicios Propuestos 313 11. CAPITULO III 3. LIMITES Y CONTINUIDAD 3.1 Introduccin 325 3.2 Definicin 326 3.3 Ejercicios Propuestos 334 3.4 Proposicin 337 3.5 Proposicin 337 3.6 Teorema (Unicidad de Limite) 338 3.7 Teorema 339 3.8 Teorema 339 3.9 Propiedades sobre Limite de Funciones 340 3.10 Ejercicios Desarrollados 343 3.11 Ejercicios Propuestos 354 3.12 Limites Laterales 365 3.13 Ejercicios Propuestos 370 3.14 Limites al Infinito 375 3.15 Ejercicios Propuestos 381 3.16 Limites Infinitos 386 3.17 Ejercicios Propuestos 389 3.18 Teorema de Sndwich 390 3.19 Limites Trigonomtricos 391 3.20 Ejercicios Propuestos 399 3.21 Funcin Exponencial y Logartmica 404 3.22 El Numero e 408 3.23 Calculo de Limites de la forma Un (/(.v))?' ' X->a ' 409 3.24 Ejercicios Desarrollados 410 3.25 Ejercicios Propuestos 413 12. 418 424 426 427 433 440 446 499 451 453 453 454 455 457 462 464 468 471 474 477 482 484 486 487 Asntota de una Curva Ejercicios Propuestos Continuidad de una Funcin Tipos de Continuidad Ejercicios Propuestos Problemas Sobre Limite Problemas Propuestos CAPITULO IV L A D E R I V A D A Definicin Inierpretacin Geomtrica de la Derivada Definicin Definicin Derivadas Laterales Derivabilidad y Continuidad Algunas Reglas de Derivacin Derivadas de una Funcin Compuesto (Regla de la Cadena) Derivacin de la Funcin Exponencial y Logartmica Teorema Derivacin de las Funciones Trigonomtricas Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonomtricas) Derivacin de las Funciones Trigonomtricas Regla de Derivacin para las Funciones Trigonomtricas Inversas Derivacin Implcita Derivada de la Funcin de la Forma y = (f ( x ) ) s(r) Ejercicios Desarrollados 13. 4.18 Ejercicios Propuestos 511 4.19 Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva 526 4.20 Ecuaciones Paramtricas 529 4.21 Derivadas de Orden Superior 533 4.22 Ejercicios Desarrollados 538 4.23 Ejercicios Propuestos 555 CAPITULO V 5 . A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A 5.1 Valores Mximos y Mnimos de una Funcin 565 5.2 Teorema 566 5.3 Extremos de una Funcin 566 5.4 Teorema (de los valores intermedios) 569 5.5 Teorema de Rolle 570 5.6 Teorema del Valor Medio 573 5.7 Teorema (de la funcin constante) 574 5.8 Teorema (de la diferencia constante) 575 5.9 Funcin Creciente y Decreciente 574 5.10 Teorema 580 5.11 Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos 581 5.12 Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos 582 5.13 Concavidad y Punto de Inflexin 583 5.14 Ejercicios Desarrollados 587 5.15 Ejercicios Propuestos 626 5.16 Razn de Cambio Promedio y Razn de Cambio Constante 639 5.17 Formula que Relaciona dos Variables cuya Razn de Cambio es Constante 640 5.18 Razn de Cambio Promedio 641 14. 5.19 Razones Instantneas 641 5.20 Velocidad y Aceleracin Rectilnea 642 5.21 Razones de Cambio Relacionadas 642 5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables Relacionadas 642 5.23 Problemas Desarrollados 643 5.24 Problemas Propuestos 651 5.25 Aplicacin a la Econmica 658 5.26 Ejercicios Desarrollados 661 5.27 Problemas Propuestos 673 5.28 La Regla de LHospital 678 5.29 Ejercicios Desarrollados 680 5.30 Ejercicios Propuestos 684 5.31 Funciones Hiperblicas 687 5.32 Ejercicios Propuestos 693 5.33 Derivadas de las Funciones Hiperblicas 694 5.34 Ejercicios Propuestos 698 5.35 Funciones Hiperblicas Inversas 701 5.36 Derivacin de las Funciones Hiperblicas Inversas 704 5.37 Ejercicios Propuestos 706 5.38 Diferenciales 708 5.39 Diferenciales como una Aproximacin 710 5.40 Diferenciales de Orden Superior 711 5.41 Ejercicios Propuestos 717 BIBLIOGRAFIA 722 15. Sistema de Nmeros Reales 1 CAPITULO I 1. SISTEMA DE NMEROS REALES.- 1.1 flSTROPUCClON.- E1 sistema de los nmeros reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de una enorme cantidad de relexin por parte del hombre. Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilizacin. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan tempranas como es 300 A.C. Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmtica con los enteros positivos con los cuales podan efectuarse las operaciones de adicin y multiplicacin, aunque la divisin no se desarroll por completo. Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los nmeros racionales aparecieron tambin en una temprana etapa de nuestra civilizacin (un nmero racional es cociente de dos enteros). Los Babilonios fueron los que ms xito tuvieron en el desarrollo del aritmtica y el lgebra por que tenan una notacin para los nmeros muy superior a la de los Egipcios. Esta notacin en principio, anloga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notacin es el pre-requisito para el desarrollo de los matemticos. Nuestro sistema decimal con los nmeros llamados arbigos fue inventado por los Hindes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a travs de las traducciones de textos Arabes. Sin embargo, la aceptacin generalizada de esta notacin demor mucho en llegar. 16. Eduardo Espinoza Ramos La espera fue aun mayor para la aceptacin de los nmeros negativos, incluso hasta finales del siglo XVI se descartaban las races negativas de las ecuaciones. La aritmtica y el lgebra se desarrollaron bajo l estimulo de problemas prcticos en contradiccin de la'geometra que desarrollaron los griegos solamente para su satisfaccin intelectual y en un modelo del sistema lgico. Sin embargo, con el desarrollo del clculo, los nmeros reales especialmente los nmeros irracionales tales como ~Jl, n, V 5. tuvieron que sustentarse sobre una firme fundamentacin lgica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX. Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los nmeros reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los nmeros reales. Esto es el mtodo usado en la geometra Euclidiana, se acepta un cierto nmero de proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hiptesis y basndose en esas axiomas se prueban todos los teoremas de la geometra. 1.2 DEFlNClQNv- Llamaremos sistema de los nmeros reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones adicin (+) y multiplicacin (.) (leyes de composicin interna) y una relacin de orden denotado por R (a,b) --> +(a,b) = a + b Adems debe cumplirse los axiomas siguientes: Af, Cerradura: Va, b e R => a + b e R Ax Conmutatividad: a + b = b + a , V a . b e R A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R 17. Sistema de Nmeros Reales 3 Aj Identidad aditiva: V a e R , 3 0 e R / a + 0 = 0 + a = a A4 Opuesto Aditivo: V a e R , 3 - a e R, y es nico, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0 2o LEY DE COMPOSICIN INTERNA: : R x R - ^ R Adems debe cumplirse los axiomas siguientes: A/ Cerradura: V a, b e R => a.b e R M l Conmutativa: a.b = b.a,V a,b e R M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R M 3 Identidad Multiplicativa: V a e R, 3 1* 0, 1e R, tal que: 1.a = a M4 Inverso Multiplicativo: V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1.a = 1 3o RELACIN DE ORDEN: Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a a + c < b+ c, V a,b,c e R. 0 4 S a < b, c > 0 entonces a.c < b.c OBSERVACIN: i) A los nmeros a_ y b los llamaremos sumando, y al nmero a + b suma de a y b. i) En a.b; a los nmeros a y b los llamaremos factores y al nmero a.b producto de a y b. i) El opuesto es nico, as mismo cuando existe el inverso es nico. 18. 4 Eduardo Espinoza Ramos 1,3 AXIOMA DE SI STITCION.- Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relacin se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relacin. a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda b) (a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R distributiva a derecha 1.5 TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA APICION~ Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R Demostracin Ioa = b. por hiptesis. 2o a + c = a + c, propiedad reflexiva. 3o a + c = b+c , Io. 2 y axioma 1.3 S a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R Demostracin Io a = b por hiptesis. 2 a.c = a.c. propiedad reflexiva. 3 a.c = b.c, Io, 2 y axioma 1.3 j ,7 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA APICFON.- Sean a,b,c e R ; Sa + c = b + c entonces a = b Demostracin Io a + c = b + c . por hiptesis. 2o a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4? 19. Sistema de Nmeros Reales 5 3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2 y A2 4 a + O= b + U, 3 axioma A4 5 a = b. 4o, axioma A J.8 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION.- Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b Demostracin Io a.c = b.c, ... por hiptesis. 2 o c * 0, ... por hiptesis 3o 3 e R / (a.c). = (b.c). , ...2 o, Io y axioma M A c c c 4o a.(c.) =b.(c.), ...3 o y axioma M-, c c 5o a .l= b .l, ...4 o y axioma M 4 6 a = b, ... 5o y axioma M 3 1.9 DEFINICION.- Para cualquier nmeros reales a,b e R, definiremos a la sustraccin de nmeros reales por: a - b = a + (-b) 1.10 DIVISION DE NMEROS REALES.- DEFINICION.- Para cualquier nmeros reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al cociente de nmeros reales por: 20. 6 Eduardo Espinoza Ramos 1.11 EJERCICIOS DESARROLLADOS.- Para cada nmero real a e R, demostrar que a + a = 2a Demostracin 1 a = a.l ... Por 2o a + a = a.l + a.l ... 1 y axioma 1.4 3o a + a = a.(l+l) ... 2o y axioma 1J.a 4 a + a = a.2 ... 3o y por M , 5o a + a = 2a ... 4o y por M , Para cada nmero real a e R, demostrar que a.0 = 0 Demostracin 1 a.0 = a.0 + 0 ... Por Aj 2o a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1 y por A4 3o a.0 = (a.0 + a) + (-a) ... 2o y por A2 4 a.0 = (a.0 + a.l) + (-a) ... 3o y por M 3 5o a.0 = a(0 + l) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a 6 a.0 = a.l + (-a) ... 5o y por A} 7 0 a.0 = a + (-a) ... 6 y por M 3 8o a.0 = 0 ... 7o y por A4 ( 3) Para cada nmero real a e R, demostrar que: -a = (-l).a Demostracin Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-l).a, y -a son inversos aditivos de a por A4 21. Sistema de Nmeros Reales 7 Luego a + (-1 )a = 1.a + (-l)a, ... por axioma 1.3 a + (-l)a = (1 + (-1))a, ... por axioma vfy.b. a + (-l)a = 0.a, ... por A4 a + (-l)a = 0, ... por ejercicio 2. .-. -a = (-l)a ( 4) Para cada nmero real a e R, demostrar que -(-a) = a Demostracin Io a + (-a) = 0 ... por A4 2 (-a) + (-(-a)) = 0 ... por A4 3 0 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... Io , 2o 4o -(-a) = a ... 3o y por teorema 1.6 ( 5) Para cada nmero real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b Demostracin 1 (-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b] ... por el ejercicio 3 2o (-a).(-b) = (-1 )[a((-1)b)] ... 1 y M 2 3o (-a).(-b) = (-1)[(-1>a].b ... 2o y M x, M 2 40 (-a).(-b) = (-1)[(-a)].b ... 3o y ejercicio3 5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2 6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4 ( ) V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b) Demostracin Io a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3 22. 8 Eduardo Espinoza Ramos 2 a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1 y porM , 3o a.(-b) = ((-1 )a).b ... 2o y por M x 4 a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3o y por M 2 5o a.(-b) = -(a.b) ... 4o y ejercicio3 6o -(a-b) = (-1)(a.b) ... Por el ejercicio 3 ?o -(ab) = ((-l)a).b ... 6o y por M 2 8o -(ab) = (-a).b ... T y ejercicio 3. 9 a(-b) = -(ab) = (-a).b O OC O V a,b g R, demostrar que a.(b - c) = a.b-a.c Demostracin 1 a.(b - c) = a.(b + (-c)) ... definicin de sustraccin 2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 10 y axioma 1.3.a 3o a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2o ejercicio 6 40 a.(b - c) = a.b -a.c ... 3o definicin de sustraccin Para a e R, demostrar s a * 0, entonces a "1 = Demostracin Io a 1 = (a _l).l ... por M-, 2o a~l = l.(a _l) ... Io y 3o a "1= ... 2o definicin de divisin 23. Sistema de Nmeros Reales 9 ( 9) V a,b e R, a.b* O, demostrar que (a.b) 1 =a 1.b Demostracin Io (a.b). = 1 {ab) 2 (ab).{aJb)~l =1 por A/4 y definicin de divisin 3 (a.b).(a 1b 1) = (a).(a)1.(b).(b 1) por M 2 u 1, * 1 . - 1.4(a.b).(a .h ' ) = (a.-).(b.-) a b 3, M 2 y definicin de divisin. 5 (a.b).(a [.b ) = (1)(!) = ! 6 (a.b).(a l.b l ) = 1 4 y M4 de 5 7 (a.b).(a.b) 1= (a./>)(a 1i> 1) 8 (ai?) 1 1 ... de 2 y 6 ... 7 y teorema 1.7 10J V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: + = +- ^'c ^ b d b.d Demostracin Io - +- = a.b 1+ c . d x b d por definicin de divisin 2 T + 7 = (a .b ).{d.-) +{c.d-x).(b.-) b d d b Io y por M a 3 + = (a .b l ).(d.d x) +(c.d 1).(b.b ') ... 2o y definicin por divisin. b d 24. 10 Eduardo Espinoza Ramos 4o - +- = (a.d).(b]. d l )+(b.c).(b1. d l ) ... 3o, A/, b d ' 50 + = (a.d).(b.d) 1+(b.c).(b.d)~x ... 4 y ejercicio9 h d 6" + -(aM + bx;).(bd) 1 ... de 5 y axioma 1.3.b. b d 1 + = + ... 6o y definicin de divisin h d hd U 2 REPRESENTACION PE LOS NMEROS R EALEsT Entre los nmeros reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir: 51 sobre una recta se fija su origen O, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un nmero real y reciprocamente, a cada nmero real le corresponde un nico punto de la recta, al nmero real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto. ------ 1-------- 1--------1------- 1------- 1------- 1--------1--------1---------1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NMEROS.- N: Conjunto de los: nmeros naturales. Z: Conjunto do los nmeros enteros. Q: Conjunto de ios nmeros racionales, : Conjunto de los nmeros irracionales. R: Conjun o de los nmeros reales. C: Conjunto de los nmeros complejos.; 25. Sistema de Nmeros Reales 11 CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES R 0 racionales entero positivo N0 = {0,1,2,...,,...} Z enteros negativos Decimales peridicos = 0.abe = 999 Decimales peridico mixto = 0.abede - abede - ab 99900 Decimales exactos = 0.abe = abe 1000 Q = { - l a . b e Z , b * 0} b I f propios: a/2 , -73 ,... V Irracionales! trascendentes = {e, 7t,...} 1.13 DESIGUALDADES., La correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretacin geomtrica de la relacin de orden entre los nmeros reales. La relacin a < b significa que sobre una recta numrica el punto A corresponde al nmero a, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al nmero b. A B ------------ 1----------------------1----------- a b El smbolo < se lee "Es menor que. Tambin usaremos los smbolos siguientes: 26. 12 Eduardo Espinoza Ramos 1.13.a DEFINICIN.- i) Un nmero real a es positivo s, a > 0. i) Un nmero real a es negativo s, a < 0. 1.13.b DEFINICIN.- Llamaremos desigualdad a una expresin que indica que un nmero es mayor menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9. V a,b,c e R., se tiene: Ox Orden de tricotoma: una y slo una de las siguientes posibilidades se cumple: a = b v a b O, Orden transitivo: s a a < c 0 3 Orden de adicin: s a a + c 0 => a.c < b.c En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones: U 4 AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.- L15 DEF1N1CJON.- i) a b - a e s positivo. ii) a > b a b es positivo. iii) a b a > b v a = b 1.16 TEOREMA.- V a,b,c,d eR ; S a < c A b < d a + b < c + d Demostracin O a < c por hiptesis 2 a + b -a > -b Demostracin 1 a 0 1 y definicin 1.1$ i. 3o (b -a ) + (-b) > 0 + (-b) 2oy 0, 4 -a + (b + (-b))>-b 3o, a2 y A 5o -a + 0 > -b 4o y A4 6o -a > -b 5 y a3 1.18 TEQREMA.- S a, b, c e R, donde a a.c > b.c Demostracin 1 a () 2o y definicin 1.14.i) 4o - a.c < -b.c Io, 3o y 0 4 y ejercicio 6 5o a.c > b.c 4o y teorema 1.bfa 28. 14 Eduardo Espinoza Ramos 1.19 11LUKIUMA.- Para a e R, a * 0 => a 2 > 0 Demostracin 1 a * 0 por hiptesis 2o a> 0 v a< 0 l y 0 , 3o s a > 0 => a.a > 0.a 2 y 0 4 4o O A N 3o y ejercicio 2 5o s a < 0 => -a > 0 2o y definicin 1.15i 6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o 4 T a 2 > 0 6o, ejercicio 2 y 5M TEOREMA.- Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que a es decir: i) S a > 0 => a~x >0 i) S a < 0 => a~l < 0 Demostracin i) Io a > 0 por hiptesis 2o T ' c O hiptesis auxiliar 3o 7.a1 < 0 Io, 2o y teorema 1.18 4o 1 < 0 3o y M 4 es absurdo 5o T ' > 0, por 2oy 4o 6o S a > 0 => a~x >0 Io y 5o ) Su demostracin es en forma similar. 29. Sistema de Nmeros Reales 15 /< T C A D C M A Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, s a a 1 > d 1 Demostracin Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos: i) a > 0 a b > 0 i) a < 0 a b < 0 i) 1 a 0 a b > 0 por hiptesis T a 1 >0 a b x >0 2o, teorema 1.20 4o a.a~ < b.a~l 3o y 1; 0 4 5o (a.a~l )b~l < (b.a x)b~x 3o y 4o; 0 4 6o (a.a~1)b~1 b > 0, Demostrar que: a 1 > b 2, donde a,b e R. Demostracin Por hiptesis se tiene a > b > 0 => a > 0 a b > 0 Como a > b => a + b > 2b > 0 => a + b > 0 a > b => a - b > 0 ...(a ) .. () 30. 16 Eduardo Espinoza Ramos de (a) y (f) se tiene: (a + b)(a b) > 0.(a b) de donde a 1 - b 1 > 0 => a 2 > b 2 S a > b > 0 =s> a 2 > b 2 Sa, b>0 y a 2 > b 2 = > a > b Demostracin Por hiptesis se tiene a 2 > b 2 => a 2 - b 2 > 0 de donde (a + b )(a-b ) > 0 ... (a) como a > 0 a b > 0 => a + b > 0, de donde > o ...

a+b de (a) y (P) se tiene ^ + > 0 , de donde a - b > 0 entonces a>b. a +b S i b > a > 0 y c > 0. Demostrar: > 3 h-Lr- hb+c b Demostracin Como b > a > 0 => a. b>0 ...(1 ) b > a y c >0 => b.c>a.c ...( 2) en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c , . v .. . i t 1 d + C Cl b.(a + c) > a.(b + c) , de donde: ------ > b+c b a c a+c c > Si a,b,c,d > 0 y > Demostrar r /ib d b+d d Demostracin a c Como > , donde b,d> 0 => a.d >b.c ... (1) b d Adems c > 0, d > 0 entonces c.d > 0 Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d 31. Sistema de Nmeros Reales 17 d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a + > b +d d (^ ) Para a,b,c nmeros reales. Demostrar que a 2 +b1 +c2 >a.b +a +b.c Demostracin V a.b e R, ( a - b ) 2 > 0 V a.c e R, (a - c )2 > 0 V b,c e R, (b - c ) 2 >0 a 2 +b2 - 2a.b > 0 a 2 +c2 - 2 a r >0 b2 +c2 - 2b.c > 0 2(a2 +b2 +c 2)-2(a.b +a.c +b.c) > 0 de donde a 2 +b2 +c2 >a.b +a.c +b.c (7 ) V a,b e R ' , demostrar que +^ > -Jali Solucin Como a,b e R + => -Ja - 4 b e R S 4a 4b e R => (4a ~ 4 b ) 2 > 0, de donde a + b - 2 4 a 4 b > 0 => a +b>24ab a +b -> 4 a h ( l ) Demostrar que s a < b, Entonces a < a + a < a + b => 2 a < a + b ...(1 ) a a + b a.c + b.d, para a,b,c,d e R 32. 18 Eduardo Espinoza Ramos Demostracin V a,c e R, (cr-c)2 >0 => a 2 +c2 >2a ...(1) V b,d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b2 + d 2 >lb.d ...(2 ) sumando (1) y (2) se tiene: a 2 +b2 +c2 + d 2 >2(a +b.d) 2 > 2(a.c +b.d) 1> a.c + b.d V a,b,c,d e R + yn e Z + , demostrar que: a 2" +b2n +c2n + d 2" > 4 (abcd)"12 Demostracin a,b e R + => a ",bn e /?+,pero a - b n e R, entonces: (an - b n)2 > 0 => a 2n +b2n >2anb . . . ( 1) c,d e R^ => c " , d n e R +, pero c " - d " e R, entonces: (c" - d " ) 2 > 0 => c 2" + 2n >2cnd" ...(2 ) Sumando (1) y (2) se tiene: a 2" + >2n + c2" + d 2n>2(anb" +c"d") ...(3 ) (Ja"bn - a /c V ")2 > 0 => a nb" +cnd n>2^anb nc nd n ...(4 ) a 2" + />2 + c 2" + 2n >4-Janbnc nd n ... a 2" + 62 + c 2" + /2n 4(a>c 0, Demostrar que (1 a)(l -b )(l - c ) > 8abc Demostracin Como a,b,c>0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces: 33. Sistema de Nmeros Reales 19 -Je e R b +c> 2-Jbc -Je e R => a+ c> 2-Jac -Jb e R a +b> 2-Jab (b + e)(a + c)(a + b )> 8abe Pero s a + b + c = 1 1- a = b +c- b - a +c- c + a + b ..( 2) Reemplazando (2) en (1) se tiene:(1 a)( 1b)( 1- c) > 8abc Si a.b.c.d e R" , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd Demostracin Como a,b,c,d e R + => ab > 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0 De donde -Jai) -~Jcd e R, y -Jac--Jbd e R. entonces: (-fabJcd)2 > 0 ab +cd > 2-Jabcd (4ac- - J b d ) 1 >0 Iac +bd > 2-Jabcd multiplicando se tiene: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd a c , a a+c c Sean a,b,c,d e R tal que < . demostrar que: < ------- a.d < b.c por que b,d e R 1 a.d < b.c, sumando a.b, a ambos b d miembros ad + ab < be + ab, factorizando a(b + d) < b(a + c), de donde ~ . . . ( 1) En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd, 34. 20 Eduardo Espinoza Ramos Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde: < b+d d ...( 2) ^ . a a+c a +c c De (1) y (2) se tiene: < ---------- a ----------Aabcd Demostracin Como a,b,c,d e R => a 2,b 2,c 2, d 2 e R, adems:a 2 - b 2 e R c~ d~ e R (a2 - b 2)2 > 0 (c2 - d 2) 2 > 0 de donde al efectuar se tiene: a 4 +b4 > l a 2b2 cA+ d A> l c 2d 2 ... (2) Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene: a 4 +b4 + c 4 + d A> l( a 2b2 + c2d 2) ...(3 ) Como ab. cd e R => ab - cd s R, entonces: a~b2 +c2d 2 >2abcd => 2(a2b2 +c2d 2)> 4abcd ( a b - c d ) ' > 0 de donde ...(4 ) de (3) y (4) por transitividad se tiene: a 4 +bA+c4 + d 4 > 4abcd Si a > 0, a e R, demostrar que: a +> 2 a Demostracin Como a > 0 => -Ja > 0 , de donde 4 a e R por lo tanto 35. Sistema de Nmeros Reales 21 (Va 7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: a - 2 + > 0 de donde a + > 2 Va a a , + , bc ac ab , Si a,b,c, e , demostrar que: + ------1- >a +b +c a b c Demostracin Por hiptesis se tiene que a,b,c > 0, entonces > 0 , > 0 , >0 entonces aplicando el ejercicio 14). b c c Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente. ac bc ^ _ + >2c b a ab a c . - - a c bc -a b + >2 a => 2 + 2 + 2 >2c +2a +2b c b b a c ab + > 2 b c a . h e ac ab s -, , , 2(-----h + ) > 2(a +b +c) a b c bc ac ab , + + >a +b +c a b c r.- ^ i ^ rv j a +b _ a b Si a > 0, b > 0, demostrar que: -----: - < - - + - a + b + 1 6+1 a + l Demostracin Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene: a + l > 1 Z>+ 1 > 1 a + + 1> + 1 a +b +> a +l ahora inviniendo cada una de las desigualdades: ----- ---- < y ----- ----- < a+b + 1 >+ 1 a +b + 1 a +l 36. 22 Eduardo Espinoza Ramos multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente. a a b _ b ---------- < ------ y ---------- < ------- o + b +1 b +1 7+ >+ l +1 a +b ^ a b Sumado estas dos desigualdades se tie n e :---------- < ------ + a + b +1 b +1 a +1 1 4 17) Si a,b e R, b * 0, demostrar que: a 2 +ab +b2 3b2 Demostracin Completando cuadrado en a +ab +b se tiene: cr+ab +b = (a + (1) Como a.b e R => a + e R, de donde (a + )2 > 0 2 2 o J 3t>2 , b , 3b2 3b2 Sumando ------ se tiene: (a + ) ' + -------> ------ ...(2 ) 4 2 4 4 Ahora de (1) y (2) se tiene. 2 . , t 3b2 , . . 1 4 a ' +ab +b~ como b * 0 invertimos ------ a 2 +ab +b2 3b2 18) Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: < ' a a Demostracin Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando a a ambos miembros se tiene: a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... (1) Como a > 0 => -X- > 0, ahora multiplicamos a (1) por -- a~ a~ . . . a(b + l) a . , + 1 1 Obtenendose ----- < r- simplificando .'. ----- < a a a a 37. Sistema de Nmeros Reales 23 19j Si a>0. b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: a^ - ~ Demostracin Como a > 0, b > 0 => a - b e R, de donde: ( a - b ) 2 > 0 => a 2 -2ab +b 2 >0 sumando 4ab. a 2 +2ab +b 2 > 4 ab de donde: (a +b)2 > 4 ab pero como a + b = l , se tiene l>4ab, por lo tanto a^>-~ 20j Si a >0, b >0, 3a * 5b, demostrar que: + >2 5b 3a Demostracin Como 3a* 5 b => 3 a - 5 b * 0 y 3 a - 5 b e R entonces (3 a-5 6 )2 >0 Desarrollando se tiene: 9a 2 -30ab +25b2 > 0 Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a 2 +25b2 >30ab multiplicando por 9a2+25Z>2 30ab . . . 3a 5b , -------------- > ------- , de donde: + >2 15ab 15ab 5b 3a 15ab i. 23 EJERCICIOS PROPUESTOS.- Si a y b son nmeros reales positivos, demostrar que: (+ )(a + b) > 4 a b (T ) Si a,b,c son nmeros reales positivos, demostrar que: (+ + -)(a + b + c) > 9 a b e Si a,b,c,d son nmeros reales positivos, demostrar ( - + + - + )(a +b +c +d)> 16 a b c d que: 38. 24 Eduardo Espinoza Ramos ( 4) Si a y b dos nmeros reales positivos tal que a > b, demostrar que: + > + 3 b a a 2 ( J ) V a e R. a * 0, demostrar que: a 2 + > 6 Si a,b,c e R* , demostrar que: (b + c)(a + c)(a + b) > 8abc (T ) Si a,b e R, demostrar que: a^b +ab*< a 4 +bA Si a,b,c e R, demostrar que: a 2 +b2 +c2 +3 > 2(a +b +c) Si 0 < a < 1, demostrar que a 2 9abc Si a.b.c son nmeros positivos y no iguales entre si. Demostrar que: (a +b +c)(a~l + _1 + c_1) >9 13J Si a y b son nmeros reales diferentes de cero. Demostrar que: a 2 16Z>2 8a 32b + +24> +---- b~ a b a 4) Si a 2 +b2 = 1. Demostrar que: -^2 < a +b < 4 l Sug. ( x - y ) 2 > 0 => 2(x2 +>2) > (x +y ) 2 15)Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: a 2,i +b2,3 > c 2li Si a + b > c > 0, demostrar que: + l + o+b 1+c 39. Sistema de Nmeros Reales 25 Si a,b,c > O, demostrar que: 3abe < a 3 + 63 + c3 Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que: > 1 3c 4d (?) Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que: 2 4b -Ja (20) Si a,b,c e R, demostrar que: b2c 2 +c2a 2 +a2b 2 > abc(a +h +c) 2l) Sea a + b = 2, donde a y b son nmeros reales, demostrar que: a 4 + b 4 > 2 ^7 7 ? 9 9 9 221 Si a~ +b~ +c~ = 1 y x +>> +z =1, demostrar que: ax + b y + c z < l b 1 1 " 23) Si a > 0, b >0, demostrar que: + > + J 4 b2 a 2 a b 24) Si 0 < a < l , demostrar que: a 2 < a 25) Si a,b > 0, demostrar que: -Jab > a +b 26) Si a > 0, b > 0, demostrar que: > (^ ) 3 (27) Si a >0, a * 1, demostrar que: a l +^ > a 2 + ~ a a~ 28) S i a > 0 y b > 0, demostrar que: 4(a +b )>(a +b) 29) Si a y b son nmeros reales, demostrar que: ~J(a~+c)2 +(b +d )2 + c)3 >21abc (31) Si a,b,c y d son nmeros reales cualesquiera. Demostrar (ab +cd)2 (a +b)4 8 33)Si a > 0 y b>0, demostrar que: (g+ )2 +(b +)2 ++*)2 a h 2 a + b 1 1 25 ^ Si a>0, b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: (a +)2 +(b +)2 >-^- (35) Si a,b.td e R,demostrar que: ac+bd < ^ ( a 2 +b 2)(c2 + d 2) (3) Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a 4 +bA > ^ 8j Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a 4 +b 4 > 38) Si a,b.c,d e R +, demostrar que: ~ (a +b +c +d)>^Jabed 9) Si a:,a2,...,a. bx,b2,...,b eR tal que: a 2 +a2 +...+a2 =, b 2 +b2 +...+b2 =1 demostrar que: axbx +a2b2 +...+ab a Si - a > 0 y ( a - b ) 2 > {a +b)2, entonces b >0 (42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: a2 + b2 > .43) Si a > 0. b > 0 =? a 3 +bl > a 2b +ab2 X1+x2 +X1 ++xn44) Si jc,,x,,...,jcn e R y si p =^Jxxj c2..jc y a = -2----- demostrar ^ - V n que: p < a. ) Si a,b,c,m,n,p e R / m > 0 , n >0 , p>0: < < entonces: < ^+a +c < ^ m n p m m + n + p p 41. Sistema de Nmeros Reales 27 _ , . Qi + di +...+ a Probar que si al + b2 a 2 a b 54) Consideremos x, y, z, w nmeros reales, demostrar que: > 2 2 ' > ^ 2 x + y + z + w > (xy + xz + xw + yz + yw + zw) a2 b2 55) Si a y b son nmeros desiguales positivos demostrar que: a +b< + b a 56) Si a,b y c son nmeros positivos distintos. Demostrar que: (a +b +c) 2 (a2 +b2)2 ,58)Si x,y son nmeros distintos, demostrar que: (x4 +y 4)(x2 +>2) > (x 3 +>'3)2 59) Si x,y,z son nmeros positivos distintos, demostrar que: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz 42. 28 Eduardo Espinoza Ramos a - 2 b - 2 (0) Demostrar que: a ---- < a - 1 b - 1 61J Sean a,b,c,x,y,z nmeros positivos distintos, demostrar que: (a2 +b2 +c2)(x2 +y 2 +z 2) > (ax +by +cz)2 (62) Demostrar que: 0 < d < c => ^ ^ - > d 2(c - d ) _ 4 .3 @ Si 0< d< c => d 3( c - d ) < - < c2( c - d ) (64) Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que: a) xyz = 1 => x + y + z > 3 b) xyz =1 a x + y + z = 3 o x = y = z = 1 x y z x y z Demostrar que: x>0, y > 0 , z > 0 = > + + >3 (su g :----- = 1 y ejercicio 64) y z x y z x () Demostrar para todo a y b real [ab |x + y| (68) Si x 1, x 2,...,x e R~ tal que x = 1. Entonces x x+ x2>1 (69^ Si a,b e R, demostrar que: (a +b)4 0, probar que: X . + +a > a + 1 x +a J i) Si a,b,c ei?* ,y si a 2 +b2 +c2 =8 . demostrar que: a 3 +b3 + c 3 > 1 6 ^ 72) Si a >0, b > 0, demostrar que: (-^- + -^-)(a2 +Z>2) > 4 43. Sistema de Nmeros Reates 29 73) Demostrar que s a,b,c nos nmeros reales positivos entonces a+ +C > Ifabc ^ 4) S V a,be R talque a > 0 A b > 0 y a < x 2 - J a < x < 4 b v --Jb < x < Ja ^ 5) Si JC], x 2, , x e R, talque x jc2...jc =1. Demostrar que xx + x2 +...+x > n Si a,h e. R ' , Demostrar que (a2 +b2)(a +b)2 >&a2b 2 77) Si a + b + c = 0, Demostrar que: (+ +)2 = + -- + ^ a b c a - b2 c2 1 1 78)Si a,b g R , Demostrar que + > a 2 b2 (a +b)2 1.24 JNECUACONES.- 1.24.1 DEFINICION.- Una inecuacin es una desigualdad en las que hay una o ms cantidades desconocidas (incgnita) y que slo se verifica para determinados valores de la incgnita o incgnitas. Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuacin por que tiene una incgnita x que se verifica para valores mayores que 4. 1.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los nmeros reales que sirven para expresar la solucin de las inecuaciones, estos intervalos s representan grficamente en la recta numrica real. Consideremos los siguientes tipos de intervalos: a) Intervalo cerrado.- a = {x e R / a < x a } a = {x e R / x > a} < OHHmHHiHHMtHtttttt * a 2 < x < 4, multiplicando por 2 4 < 2x < 8, sumando 3 7 < 2x + 3 < 11 S 7 2x + 3 e [7,11] Por lo tanto, s x e [2,4] => 2x + 3 g [7,11] 45. Sistema de Nmeros Reales 31 I S j Q g L & -4 < 2x 6 < 4, sumando 6 2 < 2x < 10 dividiendo entre 2 l < x < 5 , entonces x e Por lo tanto, s 2x - 6 x e < 1,5> 1,25 CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION.-: Se llama conjunto solucin de una inecuacin a todos los nmeros reales que la verifiquen, es decir, que dichos nmeros reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. 1.26 RESOLUCION DE UNA INECUACION.: El resolver una inecuacin consiste en hallar un conjunto solucin; es decir, encontrar el intervalo donde estn los valores que puede tomar la incgnita para que verifique la inecuacin. 1.27 INECUACION DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.- Las inecuaciones de primer grado en una incgnita, son de la forma: Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, s a > 0, entonces: b . b X > ------ O X < a a Su representacin grfica es O M M tM H H M H m tm tHMtm tHftHHHtHtHiO ax + b>0 ax + b < 0 , a=Q b X X b a a 46. 32 Eduardo Espinoza Ramos Luego la solucin es dado en la forma: x e < ,+oo> x e < -oo, > a a Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones. 0 3x 4 < x + 6 Solucin Las inecuaciones de primer grado en una incgnita, se resuelve, expresando la inecuacin en la forma: En un slo miembro se pone la incgnita, en el otro miembro los nmeros, es decir: 3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e m m H H M H tM m m tO ------ La solucin es: x e 5 0 3(x 4) + 4x < 7x + 2 Solucin Poniendo en un slo miembrola incgnita y en el otro miembrolos nmeros: 3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12simplificando 0 < 14 esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solucin de la inecuacin dada , es el conjunto de todos los nmeros reales (x e R). 0 5x 4(x + 5) < x 24 Solucin En forma anloga a los ejemplos anteriores en un slo miembro ponemos las incgnitas y en el otro miembro los nmeros: 5x 4x x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4 Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningn valor de x, que verifique que la inecuacin dada. Por lo tanto la solucin es el vaco (). 0 2 < 5 3x < 11 Solucin Aplicando la propiedad de transitividad: a < b < c o a < b A b < c 47. Sistema de Nmeros Reales 33 2 < 5 - 3 x < 11 2 < 5 - 3 x a 5 - 3 x < 11 3 x < 5 2 a5 l l < 3 x o x < 1 a -2 < x -- O/////////////////////////////! -2 1 La solucin es: x e0 aje2 +e 0, entonces hay dos valores diferentes rx < r2 que anulan el trinomio ax1 +bx +c = 0 . Es decir: a(x - rx)(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta: i) Cuando x toma valores menores que r ,, los factores (x-r) y ( x - r 2) son negativos,luego el trinomio ax2 +bx +c , tiene el mismo signo del coeficiente de a. i) Cuando x toma valores intermedio entre i y r2; entonces el factor (x ) es positivo yel factor ( x - r 2) es negativo, luego el trinomio ax2 +bx+c , tiene signo opuesto del coeficiente de a. 48. 34 Eduardo Espinoza Ramos iii) Cuando x toma valores mayores que r2, entonces los factores (x -r ) , ( x - r 2) son positivos, luego el trinomio ax1 + bx + c , tiene el mismo signo del coeficiente de a. 2o Caso.- Si A = b2 -Aac = 0 , entonces hay un solo valor real > =r2 = r , que anulan el trinomio ax2 + bx +c , luego como ( x - r ) 1 es positivo, el signo del trinomio ax2 + bx + c es el mismo del coeficiente de a. 3o Caso.- Si A = b 2 - 4ac < 0 , entonces se tiene dos valores no reales - r = a +fi y r2 = a - fii que anulan el trinomio ax1 + bx + c , y para i / J* ' ' - cualquier valor de x, el trinomio: ax2 + bx +c tiene el mismo signo del coeficiente de a. NOTA.- S ax2 + bx + c = 0 entonces x = ------ ------ 2a b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.- Para resolver una inecuacin cuadrtica de las formas ax1 +bx +c > 0 ax2 + bx + c < 0 , donde a,b,c e R , a # 0 , por medio de la naturaleza de las races primero se resuelve la ecuacin ax2 +bx+c = 0 , y de acuerdo a la naturaleza de las races se presenta tres casos: Io Caso.- Si la ecuacin ax2 +bx+c = 0 , tiene dos races reales diferentes < ri ' " + v 7 v ~ *--------------- : e ------------- i) Si la inecuacin es de la forma ax2 +bx +c > 0 , con a > 0, la solucin es todos los valores de x que pertenecen al intervalo < - o o , > U. i) Si la inecuacin es de la forma ax2 + bx +c 0, la solucin es todos lo valores de x que pertenece al intervalo < r,r2 > . 49. Sistema de Nmeros Reales 35 2 Caso.- Si la ecuacin ax2 +bx+c = 0 , tiene una raz real nica rx =r2 = r . + 1 6 ' > r i) Si la inecuacin es de la forma: ax2 +bx +c> 0 , con a > 0. La solucin es todos los valores de x * r, es decir: x e U ii) Si la inecuacin es de la forma: ax2 +bx + c < 0 , con a > 0. No se verifica para ningn valor real de x. 3o Caso.- Si la ecuacin ax2 +bx+c = 0 , tiene dos races no reales. i) Si la inecuacin es de la forma: ax2 +bx +c >0, con a > 0. La solucin es todos los valores reales de x. ii) Si la inecuacin es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a> 0. No se verifica para ningn valor real de x. RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO. Forma de la Inecuacin Races de la Ecuacin ax2 +bx +c = 0 Conjunto Solucin ax2 +bx +c> 0 , a > 0 Races diferentes r U Raz Real Unica r R {r} Races no reales R ax2 +bx +c < 0 , a > 0 Races diferentes r 0 Solucin Resolveremos la inecuacin usando propiedades de los nmeros reales: a,b > 0 o Ca>A b > 0 ) v {a< 0 a b < 0) 2;t -;t- 1 0 > 0 => (x + 2)(2x 5)> 0 (x + 2)(2x- 5 ) > 0 (x + 2 > 0 a 2 x 5 > 0 ) v ( x + 2 < 0 a 2 x 5 -2 a x > 5/2) v (x < -2 a x < 5/2) ----------------- ---------------- O -2 O--------------- Q//////////A 5 2 -O ///////////O -2 -6 5 2 La solucin es: x e < oo,2 >U 2 Otra forma de resolver esta inecuacin, es por la-naturaleza de sus races de la ecuacin , 5 , 2x~ - jc- 1 0 = 0 , de donde = -2 , r2 = , luego < r2 y como 2x je: 10 > 0 , de acuerdo al cuadro la solucin es: 7 x e < - 00,-2 >U > 2 ;t2 +8jc-6 5 < O Solucin Usando propiedades de los nmeros reales. s r < > , b > f l O -^ h < a < -4 b completando cuadrados en x 2 + 8x-6 5 < O, se tiene: 51. Sistema de Nmeros Reales 37 x 2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4)2 0 entonces: V x e R; x *-10, (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solucin es; x s R -{-1 0 Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las races: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10, multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solucin es: x g R {-10} , 3 9 x ~+ jc+ < 0 inn Solucin Aplicando la propiedad de los nmeros reales: V x e R , x 2 > 0 3 9 3 'i 3 luego x 2 + x + ----- (x + )2 0 , entonces no existe 5 100 10 F 10 ningn valor real para x que verifique a la inecuacin, es decir: . 52. 3 9 Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las races de la ecuacin x~ +x +-- = 0 , 5 100 3 9 3 9 de donde r = ----- de multiplicidad dos, pero se tiene que x~ +x +-------- 0 '. P{x) ~ axn + < 0 donde o0, s o n constantes y a * 0, n e Z 4 . a) RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS.- Una inecuacin polinmicas de la forma P(x) > 0 P(x) < 0, se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus races de la ecuacin polinmica P(x) = 0, en una forma sencilla y rpida, considerando a> 0 . Para esto hallaremos primero las races del polinomio P(x) = axn +...+7lx + a 0 = 0, y como ste polinomio es de grado n entonces tiene n races, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales. I o Caso.- Cuando las races de la ecuacin polinmica p(x) = 0, son reales diferentes. Es decir: rx < r, < ...< rn_x < rn a) En los intervalos consecutivos determinados por las races del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos + y reemplazando por asignar el signo (+) al intervalo < rn,> . ^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ r rn-3 rn-2 rn-l rn 53. Sistema de Nmeros Reales 39 b) Si la inecuacin polinmica es de la forma: P(x) = anx n +...+alx +a0 > 0 , an > 0; al conjunto solucin ser la unin de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo c) Si la inecuacin polinmica es de la forma: P(x) = anx" +...+axx +a0 < 0 , a > 0 ; el conjunto solucin, ser la unin de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo NOTA.- Explicar el mtodo de Ruffini Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes: jc5 +3x4 - 5 x 3 -15x2 +4jc+ 12>0 Solucin Expresamos el Io miembro de la inecuacin en forma factorizada (x + 3)(x + 2)(xl)(x + 1)(x 2) = 0 1 3 -5 -15 4 12 1 1 4 -1 -16 -12 1 4 -1 -16 -12 0 2 2 12 22 12 1 6 11 6 0 -1 -1 -5 -6 1 5 6 0 -2 -2 -6 1 3 0 -3 -3 1 0 54. 40 Eduardo Espinoza Ramos Luego las races son: /, = -3 , r2 = - 2 , r3 = - l , rA = 1, /-5 = 2 -3 - 2 - 1 1 2 Como P(x) > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+). Es decir: x e U < -l,l> U 2x3 -3 jr2 -1 l.v + 6 < 0 Solucin Hallaremos las races de la ecuacin 2x3 - 3x2 -1 Le+ 6 = 0 2 -3 -11 6 -2 -4 14 -6 2 -7 3 0 3 6 -3 2 -1 0 '/2 1 2 0 Luego las races del polinomio son: r, = -2 , r2 = , r, = 3 Como la inecuacin es de la forma P(x) < 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,-2 > { / < ,3 > 2 2 Caso.- Si algunas de las races del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene: 55. Sistema de Nmeros Reales 41 a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las races del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raz no se considera para la determinacin de los intervalos y para dar la solucin se sigue el mismo proceso del Io caso. b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las races del polinomio P(x) = 0, es impar, en este caso a la raz se considera para la determinacin de los intervalos y para dar la solucin se sigue el mismo proceso del Io caso. Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes. 0 ( x - l ) 2(x + 2)(x + 4) > 0 Solucin Resolviendo la ecuacin (x -1 )2(x + 2)(x + 4) = 0, de donde rx = - 4 , r, = -2 , y = 1, de multiplicidad 2. -4 -2 1 Como la inecuacin es de la forma P(x) > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: x e U - {1} (2x +1)(3x - 2)3(2x - 5) < 0 Solucin 1 2 Resolviendo la ecuacin (2x + l)(3x-2)3(2x-5) = 0, de donde ri = y de multiplicidad 3, r, = -1/2 2/3 5/2 Como la inecuacin es de la forma P(x) < 0, la solucin es la unin de los intervalos 1 2 5 donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,- > U 3o Caso.- Cuando alguna de las races del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas races no se consideran en la determinacin de los intervalos y para dar la solucin se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores. 56. 42 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones. (.v2 -7 )(x 2 +16)(.v2 16)(jc2 + 1) < 0 Solucin Resolviendo la ecuacin: (x 2 - l ) ( x 2 + 16)(x2 -16)(x2 +1) = 0, de donde rx = -4 , r2 =j 7 , i =^ 7 , r4 =4, r =-4/, r6 =4i , r- =/, + A A T - i -4 -V7 V7 4 Como la inecuacin es de la forma P(x) < 0, la solucin es de la unin de losintervalos donde aparecen el signo (-), es decir:x e < - 4 - - J l >U ( ? ) (1+x + x 2)(2- x - x 2) > 0 Solucin La inecuacin la expresaremos as: (x2+x + 1)(jc2 + x - 2) < 0 ahora resolviendo la ecuacin (x1 +x +){x2 + x - 2 ) = 0 de donde: r= - 2 , r2 =1, -1 + V3i -1 -V 3 ; ----- r3 = ----r ----, # 4 = ---- ----- AA~rA/' + -2 1 Como la inecuacin es de la forma P(x) < 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1] L30 INECUACIONES FRACCIONAR! AS.- Una inecuacin fraccionaria en una incgnita es de la forma: donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero. 57. Sistema de Nmeros Reates 43 Para resolver una inecuacin fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: P(x) . . P(x) _ . , , ----- - > 0 o ------- < 0, son equivalentes a las inecuaciones Q(x) Q(x) M P(x).Q(x)>0 P(x).Q(x) Q 2(x)> 0, de donde se tiene: Si ^ > 0 =* P(x)n f ' ( x ) >0.Q2(x) => P(x).Q(x) > 0 Q(x) O(x) Si ^ > < 0 => P(X)Q (X)< 0 .Q2(x) => P(x).Q(x)< 0 Q(x) Q(x) V w v w Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes: (.t2 -1)(x + 3)(jc-2 ) ;>u Solucin / ^(-Y- -1)(jc+3)(* -2 ) ^ Q ^ (x5)(x +7) , (*2 -l)(* + 3)(*-2) , La inecuacin----------- ---------- > 0 , es equivalente a la siguiente inecuacin. (x-5)(x +7) H B (jc2 1)(jc+3)(jc2)(jc5)(jc--7) > 0, para x * -7 ,5 ahora hallaremos las races de la ecuacin (x 2 1)(jc -i-3)(jc 2)(jc 5)(jch- 7) = 0 . De donde r, = -7 , r2 -3 , = -1 , r4 = 1, rs =2 , r6 = 5, que son reales diferentes. - 7 - 3 - 1 1 2 5 P(x) Como la inecuacin es de la forma ------ > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+) es decir: x e U U U x - 2 jc+ 1 0 , que es equivalente a: x(x + 3) a'(x + 3) x(2x + 1)(x + 3)x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las races de la ecuacin. (2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = -3 , r2 = , r3 =0 -3 -1/2 0 Como la inecuacin es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: x e < 3,>U < 0.+ > 2 x x -2x -+ ----- gx) Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones: 60. 46 Eduardo Espinoza Ramos 0 3/3(S,-l>/3 Solucin 5jr-t-l 3(x +l) 5x+l 6x+6 La inecuacin dada es equivalente a: 3 9 < 9 10 => 3 9 < 3 10 , ^ , 5jr+ l 6.v+ 6 como a = 3 > 1 entonces ------- < --------- 9 10 50.y+ 1 0 < 54.r + 54 =?> 44 x > - l l => xe La solucin es: x e 0 [(0,2>tv^1K' 2)]A3>(0,12^ 3jr-l Solucin La inecuacin dada se puede escribir en la forma: (jr-j-'Xjr -2) . (x+l)(.r-2) (0 ,2 ) * - 3 > ( u - ^ z o )3x-i d e d o n d e : (0 ( 0 , 2 ) 12a- 4 , 8 , . (x + )(x-2) (jc + 1)(jc2) como a = 0.2 < 1, se tiene:--------------- < 1 2 - 4 => ------- --------1 2 * + 4 0, esta inecuacin es x -3 equivalente a: (1 be2 -39x + 14)(jc - 3) > 0 parax*3. Ahora hallando las races de : (1lx2 -39x + 14)0c-3) = 0 , de donde: 39-^905 , 39+^905 r, = ------------- , r7 = 3 , =------------- 1 22 2 3 22 39-V905 3 39+^905 22 22 61. Sistema de Nmeros Reales 47 P(x) Como la inecuacin es de la forma ------ > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) , . 39-^905 , 39 + ^905 donde aparece el signo (+) es decir: x e < -------------- j > U 22 22 1.32 INECUACIONES IRRACIONALES. Las inecuaciones irracionales en una incgnita son de la forma: ..... .............................0 donde P2(x),P- (x),...,P (x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Para que la solucin de la inecuacin sea valida debe resolverse antes la condicin P(x)> 0, i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solucin constituir el universo o dentro del cual se resuelve la inecuacin dada.Debe observarse que quiere decir, (+^P(x)) y si se desea la raz negativa se escribir expresamente como (--JPfx)); es decir: i) V P(x) > 0 , ^P(x) > 0 ii) -JP(x) = 0 < P(x) = 0 para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades: O 0 < x < y 0 < 4 x < 0 < x < y o 0 < 4 x < J y 0 < x < y 0 < 4 x < ^ y Si n es un entero positivo par. ax) V P(x) > 0 !{P(x) > 0 P(x)>() a2) HP(x)= 0 P(x) = 0 3) 0 < P(x) < Q(x) 62. 48 Eduardo Espinoza Ramos J ii) Si n es entero positivo impar. bx) ^jP(x) > 0 P(x) > 0 b2) '-{]P(x) < 0 o P(x) < 0 bi) !{[PM x5 =0 =>x = 5e U,luego el conjunto solucin es {5}. @ 0 Solucin Como a/- + 9 >0 es verdadero V x e U: x + 9 > 0 es decir U = [-9,+o>, luego el conjunto solucin es x e [-9,+oo>. V8-2.v 0 => x < 4 de donde U = de donde j c g [ - ^ , + o o > . Luego el conjunto solucin es: U n [ ^-,+>>=[-,4] -VAT3"-4- >-3 Solucin Calculando los universos relativos. L : x + 3 > 0 => x> -3 => x e [-3,+oo> U2'. 4 x > 0 x < 4 x e n -3 es valido V x g U = [-3,4], 64. 50 Eduardo Espinoza Ramos - J x ^ 7 >3 Solucin Sea U: x 7 > 0 => x > 7 = > x e [7,+*> -Jx7 >3 o x - 7 > 9 = > x > 1 6 => x e el conjunto solucin es x e U n < 16,+oo> = < 16,+*> ( ? ) -V -v-5 >0 Solucin - V-v-5 > 0 o -Jx-5 < 0 el conjunto solucin es . V-2 - x - 1 2 0 => (x 4)(x + 3) > 0 +/ ./ + -3 4 Ul =< -oo,-3] U [4,+x> > U2 ' x 2 - 6 x + 5 > 0 => (x 5)(x 1)> 0 + + U2 =< -oo,l] U [5,+*> 1 5 U = Ul n U 2 = < - - 3 ] U [5,+co > Vx2 - x 12 x e< - 00, ] 5 5 17 Luego el conjunto solucin es: x e V A < - 00, ] = < -oo,-3] Vx2 - 4 (x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) ^ ^ (x + 4)3(x3 + 8 x 2 + 4x-48) 65. Sistema de Nmeros Reales 51 Solucin Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x 2 - 4 y (x + 4)3 tiene el mismo signo que x + 4 entonces la inecuacin dada es equivalente. x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) (x2 -4 )(x -2 )2(x3 -13x + 12) _ --------- U ---------------:------------------------ > U (x + 4)3(x3 + 8x 2 + 4x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 + 4 x - 48) Como V x e R, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces (x2 4)(.v 2)2(r 1 -13,v + 12) (x2 -4 )(x 3 -13x + 12) U O ----------- ;-------;-------------- U (x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48) (x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48) (x + 2)(x -2 )(x - l)(x2 + x-12) (x + 4)(x-2)(x + 6)(x + 4) > 0, para x * 2, - 4 (x + 2)(x-l)(x + 4)(x-3) (x + 6) > 0, para x * 2, - 4 -6 -4 -2 Luego el conjunto solucin es: x e Vx + 7(x + 2)4(.v+ 3);lx2^ 7x + 12 Vh T I fyx + 9 (x - 8 ) 3(x 3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48) 0 A x + 9 > 0 => x < 1 0 A x > -9 x e U = 3(jc3 -27 )(x2 -14x+48) ~ como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales entonces: (x + 7)(x + 2)4(x + 3)(x2 -7 x + 12) , _ . 4 -< 0 , como para todo x e R (x +2) > 0 (or8)3( x 3)(x') + 3 x + 9 )(x -6 )(x -8 ) (x + 7)(x + 3)(x-3)(x-4) . - , -------------------< 0, para x * 3,8 simplificando tenemos (x 8) (x3)(x-6)(x-8) (x + 7)(x + 3)(x-4) ^ A + A ~ ^ ~ ~ V + _ --------- ---------< 0 , x * 3,8 - 7 - 3 4 6 x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solucin es: x e U n ([-7,-3] U [4,6>) /. x e [-7,-3] U [4,6> ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuacin con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuacin irracional. 1 Para las inecuaciones irracionales de las formas: a) J P M > Q(x). La solucin se obtiene as: J P j >Q(x) o (P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q 2(x))]) b) sJP(x) >O(x) ; la solucin se obtiene as: J P M >Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) >Q2(x)])] 2o Para las inecuaciones irracionales de las formas: a) -JP(x) < Q(x); la solucin se obtiene as: J pc) < Q(x) [(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(x ))] 67. Sistema de Nmeros Reales 53 b) -JP(x) < Q(x) ; la solucin se obtiene as: / JP(x) < Q(x) P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q 2(x)] 3o Para las inecuacionesirracionales de la forma: a) -JP(x) +^Q(x) > 0; La solucin se obtiene as: 4P(x)+4Q(x) >0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0 b) ,JP(x) + ~JQ(x) > 0 ; La solucin se obtiene as: ^P (x )+ ^Q (x)> 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0 4o Para la inecuacin irracional de la forma: sP(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solucin se obtiene as: -FV)+4Q(x )> K ^ [(PU )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > ( k ~ 4 0 M ) 2] 5o Para las inecuaciones irracionales de la forma: -JP(x) +^Q(x) < 0; La solucin se obtiene as: ^ P ( X ) + ^ Q ^ j < 0 => P(x) = 0 A Q(x) = 0 OBSERVACION.- Consderemos otros casos ms generales. Io Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno. P ) # w >0 o f w . e w >0 R(x) R(x) b) _ < 0 Q (x )o(P (x) > 0 A [Q(x) 0 A Q(x) > 0 A P(x) > Q" (*))] f) !{fP) < Q(x) o P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A P(x) < Qn(jc)] Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones (7) -n/.v214jc-i-13 > x - 3 Solucin V-v2 -14.V + 13 > .v -3 x~ -14.v+ 13> 0 A [jt 3 < 0 V (a-2 -14.V + 13 > 0 A .v2 -14.V + 13 > (jc- 3 ) 2)] o jc2 - 1 4 .V + 13 > 0 A [x 0 A x< ~)] o jc2 - 1 4 a + 1 3 > 0 A [ j[ : < 3 v x g < * ,1 ] U [1 3 ,oo> A x 0 A [jc 0 A x 0 A x < 3 x x e A x < 3 x e 0 A [jc +1 > 0) A (x2 - 1 4 * +13 < (x + l )2]) ((jc 13)(jc 1>> 0 A [ . v > -1 ) A ((jc -1 3 )(.v -1 )< (.y + 1)2 ]) ((jc-13)(x-1) > 0 A [x > l) A jc> ] 4 x e - ] 4 o x e < .1] U[13.+oo> 4 2x - 8 5-.v il Solucin Aplicando la parte b), del 3o caso: -JP(x) +s]Q(x) > 0 P(x)>0 A Q (x )> 0 5 ^ > 0 0 A 2 0 i x - i ]x + 3 -v-1x+3 o ( x - 4 ) ( x - 1) > 0, x * 1 A (5-x)(x + 3) > 0, x * 3 (x 4)(x1) > 0, x * 1 A (x 5)(x + 3) < 0, x * -3 ~ +/ - V + yV ____~IA / - , 1 4 -3 5 70. 56 Eduardo Espinoza Ramos x e U [4,oo> A x e Q(x) 3j 2 _ j. Ejemplo.- Resolver la inecuacin __*------------> 0 Solucin El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de cero: x 2 -1 > 0 , d donde x 2 > 1 => x > 1 v x < -1 x e u luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuacin > 0 , que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el x + 5 mismo signo - > 0 , de donde - < 0 ------ - .....^ .................. x +5 .v+ 5 .5 3 x e Luego la solucin de la inecuacin es: x e n ( u ) .-. x e u < l,3 > n i i V A -A .(x 3+8x2 + 4x-48) Ejemplo.- Resolver la inecuacin-------------- ------------------- >0 (* + 4)5(x -13jc+ 12) 71. Sistema de Nmeros Reales 57 Solucin De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ^ x 2 - 9 tiene el mismo signo que x 2 - 9 y que (x + 4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuacin dada resulta equivalente a la inecuacin: (x2 -9)(x3 +8x2 + 4x-48) . ------------------------------------ > 0 factorizando el numerador y el denominador (x +4)(x -13x + 12) (.v+ 3)(x - 3)(x - 2)(x + 6)(a + 4) (a + 3)(a-2)(a + 6)(a + 4) -------------------------------- >0 o ---------------- -----------------> 0 , x * 3 (;-9 ) (r + 7) = 0, dedonde z = 9, z = -7, entonces: Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 3jc9 = 0 , dedonde: r, = . r-, =3i 2 . 75. Sistema de Nmeros Reales 61 Para z = -7 => --7 = 2x 3jc => 2 jr-3 jc + 7 = 0, dedonde: r = 3 + V47i + -3/2 3 Como la inecuacin es de la forma P(x) > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: I ! X > U x < x - 3 1- x 2 - x Solucin La inecuacin dada se escribe en la forma: .v x - 3 1x 2 - x -2x +3 ( l - x ) ( 2 - x ) 2 x - 3 0 , entonces la inecuacin ( x - l) ( x - 2 ) (2x 3)(x 1)(x -2 ) > 0 para x ^ 1,2 encontrando las races de la ecuacin (2 x -3 )(x -l)(x 2) = 0, se tiene: r, = 1, r, = , r-, =21 . 23 3/2 como la inecuacin es de la forma ------ > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: XC< !,-} / < > 76. 62 Eduardo Espinoza Ramos x - 2 x + 1 < ---- x + 3 Solucin La inecuacin dada se escribe en la forma: x - 2 x + 1 A x(x - 2) - (x + )(x + 3) . -------- ----------;------------------- 0 , entonces la inecuacin -----------> 0 es equivalente a la x(x + 3) x(x + 3) x(x+3) inecuacin (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahoraencontraremos las raices de la ecuacin: (2x + 1)(x + 3)x = 0, de donde rx = -3 , r2 = ~ , r3=0. -3 -1/2 0 Como la inecuacin P(x) > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+) es decir: i ______ 2_______ x 1 -5 x + 6 u Solucin 0 * ;- 5 + 6 > o ^ x + x -4 2 x -5 x + 6 (x -2 )(x -3 ) , >0 ------------------> 0 , esta inecuacin es equivalente a: x + x -4 2 (x + 7)(x - 6) (x2)(x3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x * -7,6, ahora encontraremos las races de la ecuacin, (x 2)(x 3)(x + 7)(x 6) = 0, donde i = -7 , r2 = 2 , r3 = 3 , r4 = 6. -7 2 3 6 77. Sistema de Nmeros Reales 63 P(x) Como la ecuacin es de la forma ------>0 la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: x -7> U [2,3 - x 3 + J 2 +22.V--40 x(x +7) >0 Solucin La inecuacin dada escribiremos en la forma: x 1 -.v 2 - 22x + 40 (x -2 )(x -4 )(x + 5) ------- :----------------- < 0 x{x +7) x{x + 7) , -, (x-2 )(x-4 )(a:+ 5) . , La inecuacin --------- - ......... < 0, es equivalente a: x(x +7) (x 2)(x 4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * -7,0 ahora encontramos las races de la ecuacin (x -2)(x -4)(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = - 7 , r2 = -5 , r3 = 0, r4 =2 , r5 = 4 P(x ) Como la inecuacin es de la forma ------ < 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (-), es decir: x 6 t U [2,4] i 24~ 4x n1+ ------------- > 0 x 2 2jc15 Solucin La inecuacin dada escribiremos en la forma: 6x +9 ^ ^ ^ a-2 - 2a--15 (x -3 y (,r-5)(.r + 3) > 0 78. 64 Eduardo Espinoza Ramos i ( t 3) pero (x -3 )2 > 0 , x * 3 , entonces: > 0 1 (x-5Kor+3) U-5KX+3) > 0 para 3 1 (.r-5)(.t + 3) > 0 . x * -3,5 (x 5)(x + 3) > 0. para x * -3, 5, ahora encontraremos las races de (x 5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 . A A ~ ^ A A -3 PiJr) Como la inecuacin es de la forma > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: | x 6 U >- f$f 3.V+ 5 --------->0 Z t + 1 2x +1 2x+l > 0 o (3x 2)(2x + 1) = > 0 , para x * 2 x + 1 2 I 2 ahora encontramos las races de: (;3x2> (2x + I) = 0, donde ri =*r2 = y -1/2 2/3 P{x} Como la inecuacin es de la forras > 0 , la solucin es la unin de los intervalos Qix) donde aparecen el signo (+>, es decir 79. Sistema de Nmeros Reales 65 (2.v2 -8 x + 8)(x + 3) x + 6 (2x2 -8 x + 8)(x + 3) x + 6 x + 3 >0 Solucin x + 6 > 0 , (x -2 ) > 0 , V x e R x + 6 > 0 (x + 3)(x + 6) > 0, para x * -6 Luego las races de (x + 3)(x + 6) = 0 son rx = - 6 , r2 = -3 -6 -3 P{x) Como la inecuacin es de la forma ------ > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: X, e U ( l- x - x ~ ) ( 2 - x - x ) (3 -x )(2 -x ) ( l - x - x 2)(2 -x --x 2) (3 -x )(2 -x ) (x2 + x -l)(x 2 + x -2 ) >0 >0 Solucin (x + x -l)(x ~ + x -2 ) >0 (x-3)(x -2 ) >0(x2 + x -l)(x 2 + x -2 )(x -3 )(x -2 )> 0 , parax*2,3 (x -3 )(x -2 ) ahora encontramos las races de: (x2 + x -l)(x 2 + x -2 )(x -3 )(x -2 ) = 0 , d donde -1 -V 5 -1 + ^ 5 , 0 , rx = -2 , r2 = ---- ----- , r3 = - , r4 =1, /-5 =2 , r6 =3 -21v/5 -1 + V5 1 2 3 80. 66 Eduardo Espinoza Ramos Como la inecuacin es de la forma P(x) Q(x) > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: 2 lili 5 i 5 -> x -1 x - 2 x 4 + l x +2 Solucin V x e R, x 4 + l > 0 , x 4 + 2 > 0 , entonces la inecuacin dada se puede escribir en la forma: (x5 -l)(x 4 + 2 )< (x 5 -2 )(x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se tiene: x 4(x + l ) < 0 , luego encontrando las races de x 4(x + l)= 0 se tiene / = -1 , r2 = 0 , multiplicidad 4. -i punto critico de multiplicidad par. Como la inecuacin es de la forma p(x) < 0, la solucin es: (x - 2x + 4)(x-1) (2x + l)(x + 4) x +5 x -1 x 6 x - 3 Solucin x + 5 x 1 x + 5 x 1 ------ < ------- c? ----- -------- - < 0 , efectuando operaciones se tiene: x - 6 x -3 3x - 7 x - 6 x -3 ,-] V 3 82. 68 Eduardo Espinoza Ramos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^ ----------------- Solucin (x + 2)2 > 0 , para x * -2, la inecuacin dada es equivalente. (x-3)(x + l)(x + 4) , ---------------------- =----p - > 0 , la cual es equivalente a: (jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3)(x-V 3) (x-3)(x + l)(x-4)x(x + 3)(x + -j3)(x--j3)(x +2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , 73 ahora encontramos las races de la ecuacin, (x + 2)(x - 3)(x +1)(x - 4)x(x + 3)(x + V3)(x - V3) = 0 , de donde /, = -3 , r2 = - 2 , /-3 = s/3 , r4 = -1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3, r8 = 4 -3 -2 -V3 -1 0 -73 3 4 P(x) Como la inecuacin es de la forma - - > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: x e < > U < -2,-73 > l/< - ! , > t/ < a/3,3> / < 4,+^o> 17) * x + 2 x" + 2 Solucin ^ 2 2 X- 2 X x - 2 X n j j ------ < ------- --------------------------------------- --< 0 , de donde x+ 2 x + 2 x+2 x '+ 2 - 4 x 2 + 2 x -4 2x2 - x + 2 a ----------- ------0 (x + 2)(x +2) (x + 2)(x +2) V xeR, 2x2 -x-t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuacin------ > 0 x + 2 83. Sistema de Nmeros Reales 69 Luego------ >0 o x + 2 > 0, para x * -2. La solucin es: x+ 2 x + 4 x >- x - 7 x+l Solucin x+ 4 xx+ 4 x . , , , > ----- - ---r > 0, de donde x - 7 x + l 12x + 4 x - 7 x + l >0 o (3x + l)(x-7)(x + 1) > 0, para x *-1,7 (x-7)(x + l) ahora encontramos las races de la ecuacin (3x + l)(x 7)(x + 1) = 0, de donde r2 r . r3 - 7 -3 -1/3 P(x) Como la solucin es de la forma ------ > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(X) donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: x < < 7,+G > 2 x ' -6 x + 3 x 2 -5 x + 4 2x2 -6 x + 3 x 2 -5 x + 4 x 2 x 1 Solucin > 1 2x - 6x + 3 x 2 -5 x + 4 -1 > 0 , de donde >0 (x 2 x 1)(x2 5x + 4) > 0 p a r a x * l,4 ; x 2 - 5x + 4 ahora hallaremos las races de la ecuacin. (x2 - x - l) ( x 2 -5 x + 4) = 0, dedonde r2 =1, r3 = ~ , r4 = 4 84. 70 Eduardo Espinoza Ramos i + SI- V5 P(x) Como la inecuacin es de la forma ------ > 0, la solucin es la unin de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: 2jc-1 x x + < ------ U U a : 2 2 x +4x +4 x +4 Solucin 2 x -l x x + 1 2 x - l x < - - < x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 - 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las ecuaciones, (x 2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t= - 4, r2 = 1 A r3 = 4 A + -4 de acuerdo a la forma de la inecuacin la solucin es: x e A x e [-4,+to> 4 x 2 - x - 2 < 5 - x Solucin Aplicando la propiedad: ^jP(x) < Q(x) (P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q 2(x)]) 4 x 2 - x - 2 < 5 - x (x2 - x - 2 > 0 A [5 -x > 0 A x 2 - x - 2 < (5 -x )2]) 85. Sistema de Nmeros Reales 71 (x2 - x - 2 ) >0 A [5 -x > 0 A j:2 jc2 < 2 5 1Ojc-hjc2]) (jc- 2)(x +1) > 0 A (x ----------b-------- 12x-8 2 x -3 10x-10 . 2x + 2 2 x -3 8x + 8+ 6 x -9 ---------+ - > -------------------------------------------------------------------- , simplificando:-----------+ 3 4 3 3 4 12 1 4 x - l> 0 => x > ; la solucin es: 14 32-^2**^ > (42A.8Jr~3)2/5 Solucin jr+l La inecuacin dada es equivalente a: 25.2 2 > (24a.23a~9)2' 5, de donde 87. Sistema de Nmeros Reales 73 A-+U 14.V-18 2 2 > 2 5 , como a = 2 > 0, entonces: x + 11 14jc18 ------- > ----------- 5 x + 5 5 > 2 8 x -3 6 => x< 91_ 23 La solucin o- 1 i * 3 x + 2 ^Si < x < 1, Demostrar que: < ------ < 2 8 jc+ 3 7 x +2 x +3 = 1 x + 3 Solucin (se obtiene dividiendo) , 1 1 A1 1-< jc< 1 => < x + 3 < 4 => < 4 x + 3 < 7 _ 2 7 x + 3 1 1 < 4 1- - < 1- 7 ----------------- 23 V T A V s + I ( l- x > 0 A x + 5> 0) A (V T A )2 -5 ) A ( l- x < ~Jx + 5) -Jx +5 > 1 -x o [x + 5 > 0 A (1- x < 0 v (x + 5 > OAx+ 5 > (1x 2))] [x > -5 A(x > 1v (x > -5Ax + 5 > 1- 2x + x 2))] o [x > -5A(x > 1v (x > -5Ax2 -3 x -4 < 0 ))] ...(1 ) 88. 74 Eduardo Espinoza Ramos (2) o [jc > - 5 A (je > 1 v (jc > - 5 A jc e[-1 ,4 ]))] [jc > -5 A (x >1 v x e [-1,4])] [x > -5 A x > -1 ] => x > - l => x e[-l,o o > ahora (2) en (1) se tiene: (x < 1 A x > -5) Ax e [-l,+oo> x e [-5, 1] A x e [-l,+oo> V3jc + 7 -V * r 2 >9 Solucin 7 C alculando el campo de existencia 3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0 o x > A x > 2 por lo tanto x e [2,+oo> es el cam po de existencia ~j3x +l > 9 + V * -2 jce[2,+oo> A [3jc+ 7 A (jc-3 6 < 9 V * -2 ) jte[2,+oo> A x 2 -153jc + 1458 A (jc -------) ' < ------ 2 4 153-^17577 153 + Vi 7577 jc e [2 ,+oo > a --------------------------< jc < ------------------------ 2 2 1S3-V17577 153+V7577 m -Jx +1+V*-2 V9-JC2 -Vjc >0 Solucin Calculando el campo de existencia 89. Sistema de Nmeros Reales 75 (x 1 > 0 A x - 2 > 0) A ( 9 - x > 0 A x > 0) (x > 1 a x > 2 ) a ( x 2 0) (x > 1 a x > 2) a (-3 < x < 3 a x > 0) x > 2 a 0 < x < 3 , de donde x e [2,3] es el campo de existencia. Como -J x-l + V x -2 > 0 , V x e [2,3] a/x - 1 + ylx-2 J9-X2 - 4 x : 0 -s/x-l +ylx~ 2 l -J9 - X 2 s[x V x-1 + V x -2 V x-1 + V x -2 >0.- simplificando , .-------> 0 - j 9 - x 2 ~ 4 x > 0 -J9 - X 2 sjx de donde Vx < ^9-x2 => x < 9 x 2 x + x - 9 1, n e N Solucin Para x * 9, (x -9 )2" > 0 . (1 -x 3)2" > 0 , parax* 1. Entonces a la inecuacin dado se puede simplificar, es decir: (1- x 3)(x4 -9 ) < 0 98. 84 Eduardo Espinoza Ramos Factorizando ( x - l) ( x 2 +x +)(x -^J3)(x +43)(x 2 +3)> 0, x * l,9 como V x e R , x2 +jc + 1 > 0 , jr + 3 > 0 entonces (x -)(x--j3)(x +-J) > 0, x * l,9 ahora encontrando las races de: (x -I)(x ~ j3 )(x +-J) = 0 de donde: t= -^3 , r2 = 1, r3 =-3 *_____/ ^/ ^ 73 143 Como la inecuacin es de la forma P(x) > 0, la solucin es la unin de los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: X < -~V-U >U -**j 1.34 EJERCICIOS PROPUESTOS. I. Resolver las siguientes inecuaciones -1 3 3 - i > 2 + i 2 4 3 Rpta. < -oo,----- > 18 -3x + 4 < 4x +5 Rpta. [-y ,+ o o > 2x +6 x , ------------- +2x, a > b > 0 3a 6b _ 6 - 3 x . 2x + --------< 4 X X . X , + > 1+ , c > b > a > 0 a h c Rpta. 2(7 x) 3 (x - 5) Resolver las inecuaciones siguientes: 2x2 - 6jc+ 3 < 0 2.v2 + 6.v- 9 < 0 9.y2 + 54.y > -76 - 4 x 2 +4x +3 >0 4x~ + 9.y+ 9 < 0 4x2 - 4.y+ 7 > 0 x 4 - 2 x 2 -8 < 0 -4.V2 - 8 < -12.Y .y2 - 2-j3x- 2 > 0 5a +2ab-4b Rpta. < -oo,2 > Rpta. < ahe ac + bc - ab -.+00 > 38 Rpta. < oo, > Rpta. , 3 -^ 3 3 +^3 Rpta. < -------- .--------- > _ . - 3 - 3V3 - 3 + 3V3 Rpta. < ------------ ,-------------> . 9+V5 V 5 -9 Rpta. < - 00,-----------> U Rpta. (|> Rpta. Vx e R - { Rpta. Rpta. U Rpta. < -oc.^3 s/5 > U 100. Eduardo Espinoza Ramos 10) 3x~ -S.v+11 > 4 12) x(3x + 2) < (x + 2) Rpta. U 13) 4a -8 x + l < O _ , 2 -^ 3 2 + ^3 Rpta. < -------- ,--------- > 5a - 14x + 9 < O Rpta. [1.] 15) .v2 + 3a + 2 > O Rpta. U -2x-3x >0 Rpta. [ - 1 , - ] 17) 3x2 -5 x 2 > O Rpta. < oo, >U < 2,+oo> 3 18) (x2 +2x)(x2 1)24 > O 19) x(x 3)(x l)(x +2)> 16 Rpta. U 1-^33 - 1+ ^33 Rpta. U < -----------,+oc> ( j y x 4 + 2x3- x 2 + 4x 6 < O (x" + x - 6 ) ( 4 x - 4 - x _) < O Rpta. Rpta. 22) 2x3 +3x2 1lx -6 > O Rpta. [-3,-y]/[2,+oo > 23) x 3 -3 x 2 -13x + 15>0 Rpta. IJ (24) x 4 - 4 x- x 2r+ 16x-12> 0 Rpta. U U 25) x 5 + 3x4 5x3 - 1 5x2 + 4x +12 > O Rpta. U < -U > U 101. Sistema de Nmeros Reales ) 87 @ x 5 - 6 x 4 - x 3 + 2 9 x 2 + 8 x - 1 5 < 0 R p ta . < -oc,z l z j l > [ / < - i , ~ 1+ ^5 > < 3 > 2 2 @ ( x 2 - 2 x - 5 ) ( x 2 - 2 x - 7 ) ( x 2 - 2 x - 4 ) > 0 R p ta . < -oo, 1 -2 V2 > t / < l - V , 1 - 0 /5 > t / @ x 5 - 2 x 4 - 1 5 x 3 > 0 R p ta . U @ ( x 3 - 5 x 2 + 7 x - 3 ) ( 2 - x ) > 0 R p ta . [2,3] ^ 0 ) ( x - a ) ( x b ) ( x - c ) ( x d ) < 0, si a 0 R p ta . UUU (32 ) ( 6 x + 3 )2 (x J - 1 ) j (3x - 5 )7 < 0 R p ta . < - o o ,- l > /< 1, - > (33) ( 3 - x ) 3( x 2 - l ) 2( l - x ) 5x > 0 R p ta . U (34 ) x 4 - 2 x 2 - 3 x - 2 > 0 R p ta . (3 5 ) x4- 3x3+5x2- 27x- 36< 0 R p ta . < -1 ,4> @ x 4 < x 2 R p ta . < - l , l > - {0 } (37 ) (2 x 2 - 4 x - l ) ( 3 x 2 - 6x + 4 )(x 2 + 4 x - 2 ) > 0 R p ta . < - 00,-2 - 0/6 > V < 2- - 2 + 0/6 > U < -2- - - ,+00 > (38 ) x 5 + 8x 4 + 1 2 x 3 - x 2 - 8 x - 1 2 > 0 R p ta . < -6,-2> U (3^ ( X 2 1)(x2+9)(x +4)(x-5)> 0 R p ta . U U 102. 88 Eduardo Espinoza Ramos (4iy (43) {46 III. O (x + 2)(x + 3)(x - 4)(x 5) > 44 x6 +6.v4 +9x2 + 4 > 0 x 4 ~3x2 - 6 x - 2 < 0 x 5 -6 x 4 - 1 7x3 + 17x2 + 6 x -l > 0 3 -Js 3+ -5 ... Rpta. < -------- ,------- >U< 4 2 2 x 4 - 2 x 2 + 8 x -3 > 0 x 4 - 2x3 - 5 x 2 +10x-3 < 0 (x 7)(x 3)(x + 5)(x + 1) > 1680 (x + 9)(x 3)(x -7)(x + 5) x 2 +4x +4 x 2 4 1 2 < x+1 3 x - 2x2 - 3 x +3 < . 2 (x-2)(2x +3) jc + 1 x +2 jc 1 x x - 3 x 2 + 4 x 2 +x +4 {x2 - 2)(x + 5)(x- 3) >0 x(x- +2K.V + 3) (6.y + 3)2(.t2 +1)3(3jc 5)7 Rpta. V x R Rpta. Rpta. U Rpta. [ / < - 3 > (.y+ 6)-(2 a-+ 3) 17 3 7 Rpta. < -oo, > /< (),>U 2 6 Rpta. < -2 , > u < Rpta. (fi Rpta. < -oo,-5 > U U U 3 5 > 0 Rpta. U < -6 , >U < ,+oo> 2 3 (4.Y+ 2)2(.r2 + 2 )5(2.y - 8 ) 9 (.v+ 1)2(2,v+ 5)13 x+ 4 x - 2____ < ____ x 5 x+3 - { - l ,- - } 2 2 104. 90 Eduardo Espinoza Ramos 20) -J + A L < - 2 Rpta. U " J x - 4 x +2 U 2 + ! ~ 6)(J:; ~ J:~ 6) > 0 Rpta. < -to,-3 > U < - J l M > U < 3.4* (v 4)(x - 2) _ -y 2 22) < ------ Rpta. ^ x +2 x +2 23) -A _ +- i - > 2 Rpta.U J jc+ 3 x - l 24) 2 > > -L Rpta. [ - 1 ,0 > y~?v4-3 3 25) > -3 Rpta. < -oo,l >U< ,2>U < 3,+ > " x~ 4*+3 2 , 2jc4 7jc3 + 8x 2 + 6 x + 1 26) - - -------- ---------- >0 6x + 17x + 23x + 18x + lx + _ - 5 yry . . . i i -5 + V n Rpta. < ------------ ,-1 > / < -----, >U 2 2 3 2 7 f. "2 2 7 ) < 5Rpta. < -oo,-l >(J < ,1 > {/ < 2,+oo > ^ x - l x l 5 2g> 12x5 -3 5 x 4 -5 3 x 3+ 53x2 + 35x-12 x 6 +15x5 +78x4 +155x3 +78x2 +15x + l < Rpta. / < - l , - 2 > t / < - -5 ^ A -.2 -7 3 > /< l,2 + V3 > 2 3 4 2 2x ~1 A'+ 2 A'l 29) h---- > -------- Rpta. U ^ x + 4 3 - x . + 3 (30) .......> +9 ( l- x - ) d - x ) (l-x )-(l + x) Rpta. < -o o -l - V3 > U 1/ < 1,2 > / < 2,+oc > 105. Sistema de Nmeros Reales 91 4x-----20jc2 + 8 U < 1,1 > t/ < 2 ,-J > W x 5x + 4 ( x - l) 2(x2 1)(a 4 -1) A ------------------ ----------> 0 Rpta. (x + )(x-2) / ^(x2 + 5x + 6)(x4 -16)(x2 - 4x -1 2) ^ Q (1 3jc)3(.v1)(j:2 +1) Rpta. < -oo,-3 > U < -2, j > U < 1,2 > U < 6,+oo > 34) -------- X- ^ - U < - l - ~ - , - 2 y j [ - l , ~ j 6 + 2 > U < ^ j U > U [ 2 , ^ f > U x 12 x +1 5 12 < < Rpta. < , > x + l 19 x + 2 P 7 7 / > (x - 3)(x + 2)2(x +1)(x - 4) ; 0 ^ x(x + 2)(x2 -3)(x + 3)(x2 +4) Rpta. < -00,-3}U t/[-l,0 >U 40) A+ ~ > X * ~ Rpta. 106. 92 Eduardo Espinoza Ramos 2 3 a + 5 -+ ------> A+ l X 1 1 -X 2 x 2 2a c2 - 5 a + 6 2 - x (3 -x )(l-x ) Rpta. Rpta. 29 (jJ~,)83j;+1.2565( 729A243A' 2436.275jr_6 812x 3A.32v>27 x-5 x-9 2 ~ > 8 ~ 5^+3 27 2x+l Rpta. V x g R Rpta. V x e R Rpta. U Rpta. XM6, u , . 42293 +33 a/2293-33 Rpta. < -------- ------,------- > 86 Rpta. U Rpta. Rpta. o * 131Rpta. 217 86 (16) (42) "-1>(64)-'~1 17; [(0.3)v1)(a:~2)]v"3 >[(0.09)vi-4]r2~9 18) ^/(0.00032)5' 2 0 A a = b v a = -b)J ^3 ) |a| = |b) a = b v a = -b Si b > 0, entonces: i) |a| b a > b v a < -b ) |a| > b a > b v a < -b La demostracin de estas propiedades dejamos paira el lector. Ejemplo.- Resolver la ecuacin |4x + 3| = 7 Solucin |4x + 3{=7 4x + 3 = 7 v 4x + 3 = -7 . 5 O X = l V X = ------ 2 Luego para x = 1, .1= - son soluciones para la ecuacin dada. 117. Sistema de Nmeros Reales 103 Ejemplo.- Resolver la ecuacin |2x + 2| = 6x -1 8 Solucin |2x + 2| = 6x 18 o [6x 18 > 0 A (2x + 2 = 6x18 v 2x + 2 = -6x + 18)] [x > 3 A (x = 5 v x = 2)] Luego la solucin de la ecuacin es x = 5. Ejemplo.- Resolver la ecuacin |x 2| = |3 2x| Solucin |x -2 | = |3 -2 x | x 2= 3 2x v x 2 = -3 + 2x x = v x = l , la solucin es: {1,} 3 3 . t ,, , , j , . |4x + l| | jc-1 | , . , Ejemplo.- Hallar el valor de la expresin:---------------------, si x e > 2 3 5 X Solucin 4x +1 , x > 4 1 14x + 11 = - 4 x - l , x < 4 si x e => |4x + 11= 4x + 1 , |x 11= 1x Luego: 14x +11| x 11_ 4x + l (1-x) _ 5x = 5 x X X |4x + l | - | x - l | 5 , para x e x 118. 104 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Resolver la inecuacin |2x 5| < 3 Solucin |2x - 5| < 3 -3 < 2x - 5 < 3 2 < 2 x < 8 1 < x < 4 x e Luego la solucin es x e 2 x - 5 Ejemplo.- Resolver la inecuacin: |--------1 9, x * 6 23/5 6 6 13 23 xe< -o o , >U< 6,+oo> A < ,6>/ 5 4wMMHmHHMtmmQ------------ ---------(ywmHwmmim 23/5 6 13 ----------------------------O O----------- 23 La solucin es: x e < -oo, > U < 13,+oc > 5 Si x es un nmero real, el mximo entero de x representaremos por [| x |] y es el mayor de todo los entero menores o iguales a x. es decir: 119. Sistema de Nmeros Reales 105 [| x |] = mx {n e Z / x > n | Para calcular el mximo entero de un nmero real x, se observa todos los enteros que se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el mximo entero[| x |], por ejemplo: -------1-------1-------1-------1-------1-------1--------h * -1 0 1 2 x 3 De donde [| x |] = 2 Ejemplo.- Hallar [| 3.7 |] De donde [| 3.71] =3 ^ Q 1 2 3 3 7 4 Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma: 4------ n x n+1 Entonces: f[jk|]=n , n e Z Ejemplo.-[| x |] = -4 -4 < x < -3 => x g [-4,-3> Ejemplo v H ?.. '.; absurda-, puesip que todo mximo entero.es un numero entero. 120. 106 Eduardo Espinoza Ramos 1.38. PROPIEDADES DEL MAXIMO ENTERO.- [| x |] e Z, por definicin [| x |] = x o x e Z ( 3) V x e R, [| x |] < x, por definicin ( 4) [| x |] < x < [| x |] + 1, V xeR 0 < x [| x |] < 1, V x e R [ |[ |x |] |] = [|x |], V x e R 0 [| x + n |] = ti x |] + n, n e Z En efecto: Sea [| x |] = k, k e Z, entonces k < x < k + 1 => k + n < x + n [|x + n|] = k + n = [ | x | ] + n [| x |] < n o x < n + 1, n e Z [| x |] < n x < n , n e Z ^ 0) [| x |] > n x > n, n e Z , x e R ^ l ) S yeZ [| x |] [| x |]+ [| y |] En efecto: Sean [| x |] = m ni < x < m +1 [| y |] = n n< y < n + 1 m + n < x + y < ( m + n) + 2 entonces [|x + y|] = m + n o m + n+ 1 por lo tanto [| x + y |] > m + n [| x + y |] > [| x |] + [| y |] Si 11 e Z + => [| nx |] > n [| x |] 1 efecto: Sea [|x|] = m => m < x < m + l => nm < nx < nui + n => [| nx |] > nm [| nx |] > n [| x |] 121. Sistema de Nmeros Reales 15) Si x e R y a?e Z +, entonces [| |] = [| |] n n (16) Si a y b e Z , x e R , entonces se cumple: i) a < [ | x | ] a < x a < x a + l < x 2 < 3 x + l < 3 => < x < entonces x e [ > 3 3 3 3 Resolver la inecuacin [| 5x |] < 3 Solucin 3 3 [| 5x |] < 3 => 5x x < j g < oo,> 5 5 [| 2x |] < x Solucin Si x < 0 => 2x < x => [| 2x |] < 2x < x Es decir [| 2x |] < x =< -*>,0 > S 0 < x < y => 0 < 2x < 1 => [| 2x |] = 0 < x Es decir [| 2x|] < x S2- Si x >y => 2x> 1 => [| 2x |] > 1 es decir: [| 2x |] * x S3- S =< -oo.O > u < 0, > 2 122. Eduardo Espinoza Ramos [I 2x |] < [| 4x I] Solucin 1 f[l 2jc|] = 0 S i O < x < =>{ => 0 < 0 falso 4 [[| 4x |] = 0 , , 1 Ahora si x > 4 2 x > [| 2jc|]> 0 2 => 4x>Entonces [| 2x |] < [| 4x |] 5 = [ i [| -5x |] < [| x |] Solucin 1 0 < 5jc< 1 S 0 < x < =>=> -1 < -5x < 0 => [| -5x |] = -1 y -1 5 [[|x|] = 0 11 U ^ /. =< 0, j > S x >y => -5x < x => [| -5x |] < [| x |] S2 = [-j ,+ > S = [I x - 1|] < [| x |] Solucin S x > 1; supongamos que: [| x |] = k => [| x 11]= k 1< k = [| x |] de donde = [l,+oo > Si x < 1, entonces [| x 1 |] S=R ([I x |] 2)(x 2)(x + 1) > 0 Solucin ,+oo > 0 es decir - 2 ) ( x + l ) < 0 de donde 5, = [| x |] 2 > 0 luego resolveremos (x 2 ) ( x + l ) > 0 Sy = [3.+ > n(< --,-1 > i^>{2,+*>) /. Sj =[3,+oc > S = o [3,+x> (.*'-)( x 2 + )J [x ]-x> 0 Solucin [| x |] x > 0, entonces [| x |] > x, pero por definicin se tiene: [| x |] < x, V x e R => [| x |] = x e Z Luego resolveremos (x ' -1)(jc2 +1) > 0 => x > 1 S = Z (7 ) ([| x 2 [| x |]) (x 1)(x + 1) > 0 Solucin [| x 2[| x |] |] = [Ix |] 2[| x |] = [| -x |] i) Si x -[| x |] > 0. entonces resolveremos (x l ) ( x + l ) > 0 5 ,= < oo.-l] ii) Si 0 < x < l ^ [| x |] = 0 entonces S =[0,I> iii) Si x > l => [| x |] > 0, entonces resolveremos (xl ) ( x + l ) < 0 S 3 = {H ... s = 4 Solucin Aplicando la propiedad siguiente: Si y e Z, [|a |]>_v x > y 4 e Z. r i* h L X - > 4 ji > 4 |x|-1>20 5 |x| > 21 x > 21 V x < -21 La solucin es: x e 0 - x , x < 0 Io Si x > 0 => |x| = x reemplazando en (1 ) se tiene: 2x < 0 A x < 1+ 2x = > x < 0 A x > - l :=> x e A x = 0 2 x < 0 => |x| = -x reemplazando en (1) se tiene: 2x < -x A-x < 1 + 2x => x < 0 A jc> => x e < - ,01 3 3 la segunda parte de la solucin es: x e A < ,0] => jc < ~ ,0> 3 3 Por lo tanto la solucin de [||jc|-2 x |] = 0 es: .re < -y ,0 > t/{ 0 [= < - ,0 ] 1.39 INECUACIONES LOGARITMICAS., Para el estudio de las inecuaciones logartmicas es necesario recordar lo siguiente: En primer lugar la definicin de logaritmo es decir: N**x o A N > 0 a b > 0 En segundo lugar las propiedades del logaritmo a) log/, AB = log/, A + log6 B b) log,, = logfc A -log* B D 126. 112 Eduardo Espinoza Ramos c) log* A" =u log* A e) log,, 1= 0 d) ogh '4a = -o g h A ti f) log* b = 1 g) log N : log/, N log* a En tercer lugar se observa la grfica y = log/, x cuando b > 1 y 0 < b < 1. Tambin dentro del campo de los nmeros reales, solo tiene logaritmo los nmeros reales positivo: ahora gratificamos la ecuacin y = log* x . Al observar la grfica se tiene los siguientes casos: Io Caso.- Cuando la base es b > 1, en la grfica podemos observar: i) Los nmeros mayores que 1 tiene logaritmo positivo. ii) Los nmeros entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces para cualquier A,,x2 e R se tiene S b > 1 y 0 < x x 1; N e R => log* x > N x > b" b) Si x > 0, b > 1; N e R => log* x < N x < b" 127. Sistema de Nmeros Reales 113 2o Caso.- Cuando la base es 0 < b < 1. en la grfica podemos observar: i) Los nmeros mayores que 1 tiene logaritmo negativo. ii) Los nmeros entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier xx, x 2 de R+se tiene: S 0 0, 0 log/, x > N o 0 < x 0, 0 log6 x< N x > b N OBSERVACION.- Resumiendo, para la solucin de las inecuacioneslogartmicas se obtiene de la siguiente manera: a > c si b > 1 a 1 a log2(5x + 3) Solucin Calculando el campo de existencia de los logartmicos dados 3 2x + 4 > 0 a 5 x + 3 > 0 de donde x > -2 a x > 5 como la base es 2 > 1, entonces se tiene: 128. 114 Eduardo Espinoza Ramos , , 3 1 3 1 3 1 La solucion es: a e< ,+oo> n < -oo,>=< ,> S =< ,> 5 3 5 3 5 3 log, (2x + 5 )< -2 3 Solucin Calculando el campo de existencia del logaritmo 2x + 5 > 0, entonces * > - de donde U =< ,+oo> 2 2 , , 1 , como la base es < 1, entonces se tiene: 3 log, (2,r+5) < -2 o (2x + 5 > (y 2 => 2x + 5 > 9 = > x > 2 => x e 3 3 Luego la solucin es: x e< ,+oo > n < 2,+oo >=< 2,+ > S= log2(| -v2 1-1) > 1 Solucin Calculando el campo de existencia del logaritmo | x 2 | - 1> 0 => | x 2 | > 1 => x 2 > 1 v x 2 < - 1 => x > 3 v x < l de donde U = u x = -2 v x =, por lo tanto la solucin es x = 3 3 136. 122 Eduardo Espinoza Ramos @ |-v4 12 - 5 1JC-41+6 = O Solucin Factorizando se tiene: (|x - 4| - 3)(|x - 4| - 2) = 0 |x 4| 3 = 0 v |x 4| 2 = 0 |x 4| = 3 v |x 4| = 2 (x - 4 = 3 v x - 4 = -3) v ( x - 4 = 2 v x - 4 = -2) x = 7 v x = l v x = 6 v x = 2,las soluciones son: {1,2,6,7 Hallar el valor de la expresin:+^ Zi si x x Solucin Por la definicin de valor absoluto se tiene: 14x + 7 | = x l si A >7 1 - x si X < 1 - 4 a - 7 si x < 4 ahora para x e |4x + 7| = 4x + 7, |x 7| = 7 x como x e o | 4a + 7 | - 1a - 7 1_ 4a + 7 - (7 - a ) _ 5a = 5 A A A | 4a + 7 1| a 7 1 = 5 si x e A Hallar el valor de la expresin: | 5a + 4 1- 14 + 3a I si x e Solucin Aplicando la definicin de valor absoluto 137. Sistema de Nmeros Reales 123 15.V+ 4 1= 5x4 4 si x > 5 c 4- 5 x - 4 s i x < 5 ; |4 + 3;c| = 4 + 3x si x > 3 4 -4 -3 x si x< ahora para x e |5x + 4| = 5x + 4, |4 + 3x| = 4 + 3x | 5jc+ 4 114 3jc I 5x + 4 -(4 + 3x) 2x corno x e ----------11 ------- = ---------- ---------- = = 2 15x + 4 1- 14 + 3x | -2 si x e rr li l i j i | 5jc20113x 201 . Hallar el valor de la expresin: ----- ------1--------------1 si x e Solucin Aplicando la definicin de valor absoluto 5x-20 si x > 4 |5 x -2 0 | = ; 13x-201 20 - 5x si x 3 ln , . 20 20- 3 x si x< 3 ahora para x e |5x 20| = 20-5 x , |3x 20| = 20-3 x , . 15.v- 201- 13x - 201 2 0 -5 x -(2 0 -3 x ) 2x corno x e ' ---------------------------------------------------!= ----------- ---------- = - 15x - 201- 13x - 201 = -2 si x e 17) Resolver la inecuacin | x 2 - 4 1 0 IX2 4 1 - 1 < a 2 A x 2 -3 < x < 3, Luego la solucin es |9 -x | >3 Solucin Por la propiedad |a| > b a > b V a < -b 19 - ,v2 | >3 9 - a2 >3 v 9 - a2 A x e < -l,5 > 5 -1 o- 1HHHM 15 / 5 -o Luego la solucin es X S Resolver: ! e [,1] x + 4 3 Solucin e [ - ,l] => 1 < x + 4 < 3 x+ 4 3 3 x + 4 => -3 < x < -l, luego la solucin es x e [-3,-1 ] 21) Resolver *1 r l 2 x - l x - 2 Solucin 2 x -l 1 , 5 1 1 , ------ o ----------> --------- para x * ,2 se tien

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