Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization

7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization

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8 S a m p l i n g P r o c e s s

W e h a v e a l r e a d y t a l k e d a b o u t t h e t r a n s m i s s i o n o f a d i s c r e t e s o u r c e o v e r a d i s c r e t e c h a n -

n e l i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s . H o w e v e r , i f t h e m e s s a g e s i g n a l h a p p e n s t o b e a n a l o g i n

n a t u r e , a s i n s p e e c h s i g n a l o r v i d e o s i g n a l , t h e n i t h a s t o b e c o n v e r t e d i n t o d i g i t a l f o r m

b e f o r e i t c a n b e t r a n s m i t t e d b y d i g i t a l m e a n s . T h e s a m p l i n g p r o c e s s i s t h e r s t s t e p

i n a n a l o g - t o - d i g i t a l c o n v e r s i o n . T w o o t h e r p r o c e s s e s , q u a n t i z i n g a n d e n c o d i n g , a r e a l s o

i n v o l v e d i n t h e c o n v e r s i o n . T h e s e o p e r a t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s .

S a m p l i n g a l s o p r o v i d e s t h e b a s i s f o r t h e t i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g o f s i g n a l s w h i c h i s a

m e t h o d f o r s i m u l t a n e o u s t r a n s m i s s i o n o f s e v e r a l s i g n a l s t h r o u g h t h e s a m e c o m m u n i c a t i o n

c h a n n e l w i t h o u t m u t u a l i n t e r f e r e n c e . T h i s i s e x p l a i n e d i n t h e f o l l o w i n g :

8 . 1 T i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g v e r s u s f r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t i -

p l e x i n g

A s w e s a w b e f o r e , a m o d u l a t e d s i g n a l u s i n g a s i n u s o i d a l c a r r i e r h a s t h e f o l l o w i n g g e n e r a l

f o r m :

( t ) = a ( t ) c o s ( t ) = a ( t ) c o s !

c

t + ( t ) ] ( 4 6 2 )

w h e r e !

c

i s c a l l e d t h e c a r r i e r f r e q u e n c y .

I n a m p l i t u d e m o d u l a t i o n , t h e p h a s e ( t ) i n ( 4 6 2 ) i s c o n s t a n t a n d t h e a m p l i t u d e a ( t ) i s

c h a n g e d i n p r o p o r t i o n t o t h e i n p u t s i g n a l . I n a n g l e m o d u l a t i o n , t h e a m p l i t u d e a ( t ) i n

( 4 6 2 ) i s c o n s t a n t a n d t h e p h a s e ( t ) i s c h a n g e d i n p r o p o r t i o n t o t h e i n p u t s i g n a l .

M o d u l a t i o n r e s u l t s i n a t r a n s l a t i o n o f t h e f r e q u e n c y c o m p o n e n t s o f t h e i n p u t s i g n a l t o

h i g h e r f r e q u e n c i e s a r o u n d !

c

. T h e f r e q u e n c y t r a n s l a t i n g p r o p e r t y o f m o d u l a t i o n c a n b e

u s e d t o t r a n s m i t a l a r g e n u m b e r o f s i g n a l s a t t h e s a m e t i m e w i t h o u t m u t u a l i n t e r f e r e n c e .

T h i s i s c a l l e d t h e f r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g a n d i s b a s e d o n u s i n g d i e r e n t c a r r i e r

f r e q u e n c i e s f o r d i e r e n t s i g n a l s ( r e f e r t o F i g . ( 5 6 ) ) . I f t h e b a n d w i d t h o f t h e s i g n a l s i s !

m

,

t h e n t w o s u b s e q u e n t m o d u l a t i n g f r e q u e n c y s h o u l d b e a t l e a s t 2 !

m

a p a r t . I n t h e r e c e i v e r

s i d e , d e p e n d i n g o f t h e a p p l i c a t i o n , o n e c a n d e m o d u l a t e a l l t h e s i g n a l s s i m u l t a n e o u s l y o r

u s e a t u n a b l e b a n d p a s s l t e r t o s e p a r a t e o n e o f t h e s i g n a l s .

1 1 7


2/36

F

1

( ! )

!

0

!

0; !

m

!

0; !

m

+

+

+

T r a n s m i t t e r

A n t e n n a

B P F

@ !

1

B P F

B P F

f

1

( t )

f

2

( t )

B P F

f

3

( t )

T u n n a b l e

F

2

( ! ) F

3

( ! )

; !

m

!

m

!

m

!

m

@ !

2

f

3

( t )

f

1

( t )

o r

f

2

( t )

o r

A n t e n n a

D e m o d u l a t o r

f

2

( t )

f

1

( t )

0

( c )

!

2

f

3

( t )

!

1

!

3

A n t e n n a D e m o d u l a t o r s

2 !

m

2 !

m

2 !

m

c o s ( !

1

t )

c o s ( !

2

t )

c o s ( !

3

t )

@ !

3

F i g u r e 5 6 : F r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g ( F D M ) .

1 1 8


3/36

T i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g i s a n a l t e r n a t i v e m e t h o d f o r t h e s i m u l t a n e o u s t r a n s m i s s i o n o f

d i e r e n t s i g n a l s . I t i s b a s e d o n d i v i d i n g t h e t i m e a x i s i n t o n o n o v e r l a p p i n g s e g m e n t s a n d

a s s i g n i n g e a c h s e g m e n t t o a d i e r e n t i n p u t s i g n a l . T h i s i s e x p l a i n e d i n F i g . ( 5 7 ) . T h e

r s t s t e p i n T D M p r o c e s s i s s a m p l i n g .

L P F

L P F

L P F

C o m m u t a t o r

1

2

N

1

2

N

M e s s a g e

i n p u t s

m o d u l a t o r

C o m m u n i c a t i o n

P r e - a l i a s

l t e r s

T i m i n g p u l s e s

a m p l i t u d e

P u l s e

d e m o d u l a t o r

a m p l i t u d e

P u l s e

c h a n n e l

M e s s a g e

o u t p u t s

L P F

L P F

L P F

T i m i n g p u l s e s

S y n c h r o n i z a t i o n o f t h e M o d u l a t o r a n d D e m o d u l a t o r

D e m o d u l a t o

F i g u r e 5 7 : T i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g ( T D M )

8 . 2 S a m p l i n g t h e o r y

I n t h e s a m p l i n g p r o c e s s , a c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l i s c o n v e r t e d i n t o a d i s c r e t e - t i m e s i g n a l

b y m e a s u r i n g t h e s i g n a l a t p e r i o d i c i n s t a n t s o f t i m e . F o r t h e s a m p l i n g p r o c e s s t o b e o f

p r a c t i c a l u t i l i t y , i t i s n e c e s s a r y t h a t w e c h o o s e t h e s a m p l i n g r a t e p r o p e r l y , s o t h a t t h e

d i s c r e t e t i m e s i g n a l r e s u l t i n g f r o m t h e p r o c e s s u n i q u e l y d e n e s t h e o r i g i n a l c o n t i n u o u s -

t i m e s i g n a l i n a n e c i e n t w a y ( u s i n g a s m a l l n u m b e r o f s a m p l e s ) .

C o n s i d e r a n a n a l o g s i g n a l g ( t ) t h a t i s c o n t i n u o u s i n b o t h t i m e a n d a m p l i t u d e . W e a s s u m e

t h a t g ( t ) h a s i n n i t e d u r a t i o n b u t n i t e e n e r g y . A s e g m e n t o f t h e s i g n a l g ( t ) i s d e p i c t e d

1 1 9


4/36

i n F i g . ( 5 8 ) . L e t t h e s a m p l e v a l u e s o f t h e s i g n a l g ( t ) a t t i m e s t = 0 T

s

2 T

s

: : : b e

d e n o t e d b y t h e s e r i e s f g ( n T

s

) n = 0 1 2 : : : g . W e r e f e r t o T

s

a s t h e s a m p l i n g p e r i o d

a n d t o f

s

= 1 = T

s

a s t h e s a m p l i n g r a t e

t

g ( t )

0

g

( t )

0

T

s

( a )

( b )

F i g u r e 5 8 : I l l u s t r a t i o n o f t h e i d e a l s a m p l i n g p r o c e s s . ( a ) A n a l o g s i g n a l . ( b ) D i s c r e t e - t i m e

s i g n a l .

W e d e n e t h e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l , g

( t ) , t h a t r e s u l t s f r o m t h e s a m p l i n g p r o c e s s a s

g

( t ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) ( t ; n T

s

) ( 4 6 3 )

w h e r e ( t ; n T

s

) i s a D i r a c d e l t a f u n c t i o n l o c a t e d a t t i m e t = n T

s

W e h a v e

1 2 0


5/36

g ( t ) ( t ; n T

s

) = g ( n T

s

) ( t ; n T

s

) ( 4 6 4 )

g

( t ) = g ( t )

1

X

n = ; 1

( t ; n T

s

)

= g ( t )

T

s

( t ) ( 4 6 5 )

w h e r e

T

s

( t ) =

P

1

n = ; 1

( t ; n T

s

) i s t h e D i r a c C o m b o r i d e a l s a m p l i n g f u n c t i o n

F r o m t h e p r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w e k n o w t h a t t h e m u l t i p l i c a t i o n o f t h e t w o

t i m e f u n c t i o n s i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n v o l u t i o n o f t h e i r r e s p e c t i v e F o u r i e r t r a n s f o r m s . l e t

G ( f ) a n d G

( f ) d e n o t e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m s o f g ( t ) a n d g

( t ) , r e s p e c t i v e l y .

I t i s k n o w n t h a t f o r t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f

T

s

( t ) , w e h a v e

F

T

s

( t ) = f

s

1

X

m = ; 1

( f ; m f

s

) ( 4 6 6 )

w h e r e f

s

= 1 = T

s

T r a n s f o r m i n g e q u a t i o n ( 4 6 5 ) i n t o t h e f r e q u e n c y d o m a i n , w e o b t a i n

G

( f ) = G ( f )

"

f

s

1

X

m = ; 1

( f ; m f

s

)

#

( 4 6 7 )

w h e r e d e n o t e s c o n v o l u t i o n . I n t e r c h a n g i n g t h e o r d e r o f s u m m a t i o n a n d c o n v o l u t i o n

y i e l d s

G

( f ) = f

s

1

X

m = ; 1

G ( f ) ( f ; m f

s

) ( 4 6 8 )

G

( f ) = f

s

1

X

m = ; 1

G ( f ; m f

s

) ( 4 6 9 )

N o t e t h a t G

( f ) r e p r e s e n t s a p e r i o d i c e x t e n s i o n o f t h e o r i g i n a l s p e c t r u m G ( f ) . T h i s

m e a n s t h a t t h e p r o c e s s o f u n i f o r m l y s a m p l i n g a s i g n a l i n t h e t i m e d o m a i n r e s u l t s i n a

p e r i o d i c s p e c t r u m i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n w i t h a p e r i o d e q u a l t o t h e s a m p l i n g r a t e .

T a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f b o t h s i d e s o f e q u a t i o n ( 4 6 3 ) a n d n o t i n g t h a t t h e F o u r i e r

t r a n s f o r m o f t h e d e l t a f u n c t i o n ( t ; n T

s

) i s e q u a l t o e x p ( ; j 2 n f T

s

) r e s u l t s i n

1 2 1


6/36

G

( f ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) e x p ( ; j 2 n f T

s

) ( 4 7 0 )

T h i s r e l a t i o n m a y b e v i e w e d a s a c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p e r i o d i c

f r e q u e n c y f u n c t i o n G

( f ) , w i t h t h e s e q u e n c e o f s a m p l e s f g ( n T

s

) g , d e n i n g t h e c o e c i e n t s

o f t h e e x p a n s i o n .

S u p p o s e t h a t t h e s i g n a l i s s t r i c t l y b a n d - l i m i t e d , w i t h n o f r e q u e n c y c o m p o n e n t s h i g h e r

t h a n W h e r t z , a s i l l u s t r a t e d i n F i g . 5 9 .

S u p p o s e a l s o t h a t w e c h o o s e t h e s a m p l i n g p e r i o d T

s

= 1 = 2 W . T h e n t h e c o r r e s p o n d i n g

s p e c t r u m G

( f ) o f t h e s a m p l e d s i g n a l g

( t ) i s a s s h o w n i n F i g . 5 9 b . P u t t i n g T

s

= 1 = 2 W

i n e q u a t i o n ( 4 7 0 ) y i e l d s

G

( f ) =

1

X

n = ; 1

g

n

2 W

e x p

;

j n f

W

!

( 4 7 1 )

P u t t i n g f

s

= 2 W i n E q . 4 6 9 , w e h a v e

G

( f ) = 2 W G ( f ) ; W f W ( 4 7 2 )

o r ,

G ( f ) =

1

2 W

G

( f ) ; W f W ( 4 7 3 )

I t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 4 7 1 ) t h a t w e m a y a l s o w r i t e

G ( f ) =

1

2 W

1

X

n = ; 1

g

n

2 W

e x p

;

j n f

W

!

; W f W ( 4 7 4 )

T h e r e f o r e i f t h e s a m p l e v a l u e s g ( n = 2 W ) o f t h e s i g n a l g ( t ) a r e s p e c i e d f o r a l l t i m e , t h e n

t h e F o u r i e r t r a n s f o r m G ( f ) o f t h e s i g n a l i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y u s i n g t h e F o u r i e r s e r i e s

o f e q u a t i o n ( 4 7 4 ) . I n o t h e r w o r d s , t h e s e q u e n c e f g ( n = 2 W ) g c o n t a i n s a l l t h e i n f o r m a t i o n

o f g ( t )

C o n s i d e r n e x t t h e p r o b l e m o f r e c o n s t r u c t i n g t h e s i g n a l g ( t ) f r o m t h e s e q u e n c e o f s a m p l e

v a l u e s f g ( n = 2 W ) g . W e g e t

g ( t ) =

Z

1

; 1

G ( f ) e x p ( j 2 f t ) d f

1 2 2


7/36

(b)

(a)

(c)

G ( f )

; 2 f

s

f

s

2 f

s

0

0

W

; f

s

W

; W

; W

; W

G ( 0 )

2 W G ( f )

G

( f )

H ( f )

f

f

f

W

F i g u r e 5 9 : ( a ) S p e c t r u m o f s i g n a l g ( t ) . ( b ) S p e c t r u m o f s a m p l e d s i g n a l g

( t ) f o r a s a m p l i n g

r a t e f

s

= 2 W . ( c ) I d e a l a m p l i t u d e r e s p o n s e o f r e c o n s t r u c t i o n l t e r .

1 2 3


8/36

=

Z

W

; W

1

2 W

1

X

n = ; 1

g

n

2 W

e x p

;

j n f

W

!

e x p ( j 2 f t ) d f

I n t e r c h a n g i n g t h e o r d e r o f t h e s u m m a t i o n a n d i n t e g r a t i o n , w e o b t a i n ,

g ( t ) =

1

X

n = ; 1

g

n

2 W

1

2 W

Z

W

; W

e x p

j 2 f

t ;

n

2 W

d f ( 4 7 5 )

T h e i n t e g r a l t e r m i n E q . ( 4 7 5 ) m a y b e r e a d i l y e v a l u a t e d , y i e l d i n g

g ( t ) =

1

X

n = ; 1

g

n

2 W

s i n ( 2 W t ; n )

( 2 W t ; n )

( 4 7 6 )

U s i n g t h e n o t a t i o n ,

s i n c x =

s i n ( x )

x

( 4 7 7 )

w e o b t a i n ,

g ( t ) =

1

X

n = ; 1

g

n

2 W

s i n c ( 2 W t ; n ) ( 4 7 8 )

T h e s i n c f u n c t i o n e x h i b i t s a n i m p o r t a n t p r o p e r t y k n o w n a s t h e i n t e r p o l a t o r y p r o p e r t y ,

w h i c h i s d e s c r i b e d a s f o l l o w s :

s i n c x =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1 x = 0

0 x = 1 2 : : :

( 4 7 9 )

C o n s i d e r i n g t h i s p r o p e r t y , i t i s s e e n t h a t e q u a t i o n ( 4 7 8 ) p r o v i d e s a n i n t e r p o l a t i o n f o r m u l a

f o r r e c o n s t r u c t i n g t h e o r i g i n a l s i g n a l g ( t ) f r o m t h e s e q u e n c e o f s a m p l e v a l u e s f g ( n = 2 W ) g ,

w i t h t h e s i n c f u n c t i o n s i n c ( 2 W t ) p l a y i n g t h e r o l e o f a n i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n .

A p r a c t i c a l m e t h o d f o r t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e t i m e s i g n a l g ( t ) f r o m i t s s a m p l e s i s a s

f o l l o w s : B y i n s p e c t i o n o f t h e s p e c t r u m o f F i g . ( 5 9 b ) , w e s e e t h a t t h e o r i g i n a l s i g n a l

g ( t ) m a y b e r e c o v e r e d e x a c t l y f r o m t h e s e q u e n c e o f s a m p l e s f g ( n = 2 W ) g b y p a s s i n g i t

t h r o u g h a n i d e a l l o w - p a s s l t e r o f b a n d w i d t h W . T h e i d e a l a m p l i t u d e r e s p o n s e o f t h e

r e c o n s t r u c t i o n l t e r i s s h o w n i n F i g . ( 5 9 c ) .

8 . 3 S i g n a l s p a c e i n t e r p o l a t i o n

T h e f u n c t i o n s i n c ( 2 W t ; n ) , w h e r e n i s a n i n t e g e r , i s o n e o f a f a m i l y o f s h i f t e d s i n c

f u n c t i o n s t h a t a r e m u t u a l l y o r t h o g o n a l . T o p r o v e t h i s , w e u s e t h e f o r m u l a

1 2 4


9/36

Z

1

; 1

g

1

( t ) g

2

( t ) d t =

Z

1

; 1

G

1

( f ) G

2

( f ) d f ( 4 8 0 )

P u t

g

1

( t ) = s i n c ( 2 W t ; n ) = s i n c

2 W ( t ;

n

2 W

)

( 4 8 1 )

a n d

g

2

( t ) = s i n c ( 2 W t ; m ) = s i n c

2 W ( t ;

m

2 W

)

( 4 8 2 )

w e h a v e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m p a i r :

s i n c ( 2 W t )

*

)

1

2 W

r e c t

f

2 W

!

( 4 8 3 )

r e c t ( x ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1 ;

1

2

< x

1

2

( 4 8 4 )

R e c a l l t h a t i f x ( t )

*

)

X ( f ) t h e n , x ( t ; t

0

)

*

)

e

; j 2 f t

0

X ( f ) . U s i n g t h i s f a c t w e o b t a i n ,

G

1

( f ) =

1

2 W

r e c t

f

2 W

!

e x p

;

j n f

W

!

( 4 8 5 )

a n d

G

2

( f ) =

1

2 W

r e c t

f

2 W

!

e x p

;

j m f

W

!

( 4 8 6 )

H e n c e ,

Z

1

; 1

s i n c ( 2 W t ; n ) s i n c ( 2 W t ; m ) d t =

1

2 W

2

Z

W

; W

e x p

"

;

j f

W

( n ; m )

#

d f

=

s i n ( n ; m )

2 W ( n ; m )

=

1

2 W

s i n c ( n ; m )

T h i s r e s u l t e q u a l s 1 / 2 W w h e n n = m , a n d z e r o w h e n n 6= m . W e t h e r e f o r e h a v e

1 2 5


10/36

Z

1

; 1

s i n c ( 2 W t ; n ) s i n c ( 2 W t ; m ) d t =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1

2 W

n = m

0 n 6= m

( 4 8 7 )

T h i s p r o v e s t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e s i n c f u n c t i o n s .

E q u a t i o n ( 4 7 8 ) r e p r e s e n t s t h e e x p a n s i o n o f t h e s i g n a l g ( t ) a s a n i n n i t e s u m o f o r t h o g o n a l

f u n c t i o n s w i t h t h e c o e c i e n t s o f t h e e x p a n s i o n , g ( n = 2 W ) , d e n e d b y

g

n

2 W

= 2 W

Z

1

; 1

g ( t ) s i n c ( 2 W t ; n ) d t ( 4 8 8 )

T h e m i n i m u m s a m p l i n g r a t e o f 2 W s a m p l e s p e r s e c o n d , f o r a s i g n a l b a n d - w i d t h o f W

h e r t z , i s c a l l e d t h e N y q u i s t r a t e . C o r r e s p o n d i n g l y , t h e r e c i p r o c a l 1 = 2 W i s c a l l e d t h e

N y q u i s t i n t e r v a l

8 . 4 Q u a d r a t u r e s a m p l i n g o f b a n d - p a s s s i g n a l s

C o n s i d e r a b a n d - p a s s s i g n a l g ( t ) ( l i m i t e d t o t h e f r e q u e n c y b a n d f

c

; W f

c

+ W ] a n d i t s

n e g a t i v e ) w h o s e s p e c t r u m i s i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 6 0 a ) .

L e t g

I

( t ) d e n o t e t h e i n - p h a s e c o m p o n e n t o f t h e b a n d - p a s s s i g n a l g ( t ) a n d g

Q

( t ) d e n o t e i t s

q u a d r a t u r e c o m p o n e n t . W e m a y t h e n e x p r e s s g ( t ) i n t e r m s o f g

I

( t ) a n d g

Q

( t ) a s f o l l o w s :

g ( t ) = g

I

( t ) c o s ( 2 f

c

t ) ; g

Q

( t ) s i n ( 2 f

c

t ) ( 4 8 9 )

W e k n o w t h a t t h e t w o s i g n a l s g

I

( t ) , g

Q

( t ) a r e l o w p a s s a n d l i m i t e d t o a f r e q u e n c y b a n d o f

; W W ] . T h i s m e a n s t h a t w e c a n r e p r e s e n t e a c h o f t h e s e t w o s i g n a l s u s i n g 2 W s a m p l e s

p e r s e c o n d . T h i s r e s u l t s i n a t o t a l o f 4 W s a m p l e s p e r s e c o n d f o r t h e b a n d p a s s s i g n a l

g ( t ) w h i c h h a s a b a n d w i d t h o f 2 W . T o r e c o n s t r u c t t h e o r i g i n a l b a n d - p a s s s i g n a l f r o m

i t s q u a d r a t u r e - s a m p l e d v e r s i o n , w e r s t r e c o n s t r u c t g

I

( t ) , g

Q

( t ) a n d t h e n c o m b i n e t h e m

u s i n g ( 4 8 9 ) .

1 2 6


11/36

0

0

; f

c

G

I

( f ) G

Q

( f )

f

c

; W ; W

2 W

2 W

; W

W W

W

G ( f )

f

F i g u r e 6 0 : ( a ) S p e c t r u m o f b a n d - p a s s s i g n a l g ( t ) . ( b ) S p e c t r u m o f l o w - p a s s i n - p h a s e

c o m p o n e n t g

I

( t ) a n d q u a d r a t u r e c o m p o n e n t g

Q

( t )

1 2 7


12/36

8 . 5 S a m p l i n g p r o c e d u r e

W e k n o w t h a t a s i g n a l c a n n o t b e n i t e i n b o t h t i m e a n d f r e q u e n c y . I n p r a c t i c e w e

h a v e t o w o r k w i t h a n i t e s e g m e n t o f t h e s i g n a l , i n w h i c h c a s e t h e s p e c t r u m c a n n o t

b e s t r i c t l y b a n d - l i m i t e d . c o n s e q u e n t l y w h e n a s i g n a l o f n i t e d u r a t i o n i s s a m p l e d , a n

e r r o r i n t h e r e c o n s t r u c t i o n o c c u r s a s a r e s u l t o f t h e s a m p l i n g p r o c e s s .

T h e s p e c t r u m G

( f ) o f t h e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l g

( t ) , r e s u l t i n g f r o m t h e u s e o f t h e i d e a l i z e d

s a m p l i n g , i s t h e s u m o f G ( f ) a n d a n i n n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c y - s h i f t e d r e p l i c a o f i t . I f

G ( f ) i s n o t b a n d l i m i t e d , w e n d t h a t p o i n t s o f t h e f r e q u e n c y - s h i f t e d r e p l i c a a r e f o l d e d o v e r

i n s i d e t h e d e s i r e d s p e c t r u m . T h i s i s c a l l e d a l i a s i n g o r f o l d o v e r

P r i o r t o s a m p l i n g , a l o w - p a s s p r e - a l i a s l t e r i s u s e d t o a t t e n u a t e t h o s e h i g h f r e q u e n c y

c o m p o n e n t s o f t h e s i g n a l . T h e l t e r e d s i g n a l i s s a m p l e d a t a r a t e s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h e

N y q u i s t r a t e 2 W , w h e r e W i s t h e c u t o f r e q u e n c y o f t h e p r e - a l i a s l t e r .

T h e u s e o f a s a m p l i n g r a t e f

s

h i g h e r t h a n t h e N y q u i s t r a t e 2 W h a s t h e d e s i r a b l e e e c t

o f m a k i n g i t s o m e w h a t e a s i e r t o d e s i g n t h e l o w - p a s s r e c o n s t r u c t i o n l t e r s o a s t o r e c o v e r

t h e o r i g i n a l a n a l o g s i g n a l f r o m i t s s a m p l e d v e r s i o n . W i t h s u c h a s a m p l i n g r a t e , w e n d

t h a t t h e r e a r e g a p s , e a c h o f w i d t h f

s

; 2 W b e t w e e n t h e f r e q u e n t s h i f t e d r e p l i c a o f G ( f )

A c c o r d i n g l y , w e m a y d e s i g n t h e r e c o n s t r u c t i o n l t e r w i t h a h i g h e r d e g r e e o f e x i b i l i t y .

8 . 6 P r a c t i c a l a s p e c t s o f s a m p l i n g a n d s i g n a l r e c o v e r y

8 . 6 . 1 O r d i n a r y s a m p l e s o f n i t e d u r a t i o n

C o n s i d e r t h e w a v e f o r m s g ( t ) , c ( t ) , a n d s ( t ) i l l u s t r a t e d i n p a r t s ( a ) , ( b ) a n d ( c ) o f F i g .

( 6 1 ) r e s p e c t i v e l y .

W e h a v e

s ( t ) = c ( t ) g ( t ) ( 4 9 2 )

H o w e v e r , c ( t ) m a y b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f a c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s a s

c ( t ) = f

s

T A

1

X

n = ; 1

s i n c ( n f

s

T ) e x p ( j 2 n f

s

t ) ( 4 9 3 )

1 2 8


13/36

t

t

0

0

0

g ( t )

( a )

9 b )

( c )

s ( t )

c ( t )

A

T

T

s

F i g u r e 6 1 : ( a ) A n a l o g s i g n a l . ( b ) S a m p l i n g f u n c t i o n . ( c ) S a m p l e d s i g n a l .

1 2 9


14/36

w h e r e T

s

f

s

= 1 d e n e s t h e s a m p l i n g r a t e f

s

s ( t ) = f

s

T A

1

X

n = ; 1

s i n c ( n f

s

T ) e x p ( j 2 n f

s

t ) g ( t ) ( 4 9 4 )

T a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w e g e t

S ( f ) = f

s

T A

1

X

m = ; 1

s i n c ( m f

s

T ) G ( f ; m f

s

) ( 4 9 5 )

W h e r e S ( f ) = F s ( t ) ] a n d G ( f ) = F g ( t )

T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s p e c t r a G ( f ) a n d S ( f ) i s i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 6 2 ) .

2 W

f

S ( f )

s i n c ( n f

s

T )

0

2 f

s

3 f

s

f

s

; 3 f

s

; 2 f

s

; f

s

F i g u r e 6 2 : I l l u s t r a t i n g t h e e e c t o f u s i n g o r d i n a r y p u l s e s o f n i t e d u r a t i o n o n t h e s p e c t r u m

o f a s a m p l e d s i g n a l

S i g n a l g ( t ) c a n b e r e c o v e r e d f r o m s ( t ) w i t h n o d i s t o r t i o n b y p a s s i n g s ( t ) t h r o u g h a n i d e a l

l o w - p a s s l t e r .

8 . 6 . 2 F l a t - t o p s a m p l e s

C o n s i d e r t h e s i t u a t i o n i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 6 3 ) , w e m a y w r i t e

s ( t ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) h ( t ; n T

s

) ( 4 9 6 )

1 3 0


15/36

0

T

T

s

s ( t )

g ( t )

t

F i g u r e 6 3 : F l a t - t o p S a m p l e s

h ( t ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1 0 < t < T

0 t T

= r e c t

t

T

;

1

2

( 4 9 7 )

g

( t ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) ( t ; n T

s

) ( 4 9 8 )

g

( t ) h ( t ) =

Z

1

; 1

g

( ) h ( t ; ) d

=

Z

1

; 1

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) ( ; n T

s

) h ( t ; ) d

=

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

)

Z

1

; 1

( ; n T

s

) h ( t ; ) d ( 4 9 9 )

g

( t ) h ( t ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) h ( t ; n T

s

) ( 5 0 0 )

1 3 1


16/36

T h e r e f o r e ,

s ( t ) = g

( t ) h ( t ) ( 5 0 1 )

T a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w e g e t

S ( f ) = G

( f ) H ( f ) ( 5 0 2 )

S u b s t i t u t i n g o f E q . ( 4 6 9 ) i n t o E q . ( 5 0 2 ) y i e l d s

S ( f ) = f

s

1

X

m = ; 1

G ( f ; m f

s

) H ( f ) ( 5 0 3 )

S u p p o s e t h a t g ( t ) i s s t r i c t l y b a n d - l i m i t e d a n d t h a t t h e s a m p l i n g r a t e f

s

i s g r e a t e r t h a n

t h e N y q u i s t r a t e . T h e n p a s s i n g s ( t ) t h r o u g h a l o w - p a s s r e c o n s t r u c t i o n l t e r , w e n d t h a t

t h e s p e c t r u m o f t h e r e s u l t i n g l t e r o u t p u t i s e q u a l t o G ( f ) H ( f )

F r o m E q . ( 4 9 7 ) w e n d t h a t

H ( f ) = T s i n c ( f T ) e x p ( ; j f T ) ( 5 0 4 )

w h i c h i s p l o t t e d i n F i g ( 6 4 b ) . H e n c e w e s e e t h a t b y u s i n g t h e a t - t o p s a m p l e s , w e h a v e

i n t r o d u c e d a m p l i t u d e d i s t o r t i o n a s w e l l a s t h e d e l a y o f T = 2

T h e d i s t o r t i o n c a u s e d b y l e n g t h e n i n g t h e s a m p l e s i s r e f e r r e d t o a s t h e a p e r t u r e e e c t

T h i s d i s t o r t i o n m a y b e c o r r e c t e d b y c o n n e c t i n g a n e q u a l i z e r i n c a s c a d e w i t h t h e l o w - p a s s

r e c o n s t r u c t i o n l t e r . I d e a l l y , t h e a m p l i t u d e r e s p o n s e o f t h e e q u a l i z e r i s g i v e n b y

1

H ( f )

=

1

T s i n c ( f T )

=

1

T

f T

s i n ( f T )

( 5 0 5 )

8 . 7 S a m p l e - a n d - h o l d C i r c u i t f o r S i g n a l R e c o v e r y

T h e o u t p u t o f t h e s a m p l e - a n d - h o l d c i r c u i t i s g i v e n b y

u ( t ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) h ( t ; n T

s

) ( 5 0 6 )

1 3 2


17/36

0

0 T

1 0

t

h ( t )

f

f

a r g H ( f ) ]

0

1

T

;

( a )

( b )

1

T

;

3

T

;

1

T

2

T

3

T

T

;

2

T

H ( f )

F i g u r e 6 4 : ( a ) R e c t a n g u l a r p u l s e h ( t ) . ( b ) S p e c t r u m H ( f ) .

1 3 3


18/36

I n p u t

g ( t )

A m p l i e r

O u t p u t

u ( t )

O u t p u t u ( t )

I n p u t g ( t )

( a )

( b )

t

F i g u r e 6 5 : ( a ) S a m p l e - a n d - h o l d c i r c u i t . ( b ) I d e a l i z e d o u t p u t w a v e f o r m o f t h e c i r c u i t .

w h e r e

h ( t ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1 0 < t < T

s

0 t T

s

( 5 0 7 )

U ( f ) = f

s

1

X

m = ; 1

H ( f ) G ( f ; m f

s

) ( 5 0 8 )

w h e r e

H ( f ) = T

s

s i n c ( f T

s

) e x p ( ; j f T

s

) ( 5 0 9 )

T h e s e o p e r a t i o n s a r e i l l u s t r a t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n i n F i g . ( 6 6 ) .

8 . 8 P u l s e - A m p l i t u d e M o d u l a t i o n

I n p u l s e a m p l i t u d e m o d u l a t i o n ( P A M ) , t h e a m p l i t u d e o f a c a r r i e r c o n s i s t i n g o f a p e r i o d i c

t r a i n o f r e c t a n g u l a r p u l s e s i s v a r i e d i n p r o p o r t i o n t o s a m p l e v a l u e s o f a m e s s a g e s i g n a l .

1 3 4


19/36

S a m p l e d

w a v e f o r m

c i r c u i t

L o w - p a s s

l t e r

E q u a l i z e r

A n a l o g

w a v e f o r m

s a m p l e a n d h o l d

F i g u r e 6 6 : C o m p o n e n t s o f a s c h e m e f o r s i g n a l r e c o n s t r u c t i o n

W e n d t h a t t h e P A M s o d e n e d i s e x a c t l y t h e s a m e a s a t - t o p s a m p l i n g .

A c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n o f g i v e n b e f o r e i n t e r m s o f r e c t a n g u l a r p u l s e s , w e w o u l d r e q u i r e

a v e r y w i d e b a n d o f f r e q u e n c i e s t o t r a n s m i t P A M . H o w e v e r t h i s n e e d n o t b e s o i f w e w e r e

t o f o r m u l a t e t h e d e n i t i o n o f P A M i n t e r m s o f a s t a n d a r d p u l s e , w h i c h t h e s y s t e m i s

c a p a b l e o f t r a n s m i t t i n g . L e t ( t ) d e n o t e s u c h a p u l s e . W e t h e n d e n e a P A M w a v e , s ( t )

a s f o l l o w s

s ( t ) =

1

X

n = ; 1

g ( n T

s

) ( t ; n T

s

) ( 5 1 0 )

8 . 9 T i m e - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ( T D M )

T h e c o n c e p t o f T D M i s i l l u s t r a t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n i n F i g . ( 5 7 ) .

T h e f u n c t i o n o f t h e c o m m u t a t o r i s t w o - f o l d : ( 1 ) t o t a k e a n a r r o w s a m p l e o f e a c h o f t h e N

i n p u t m e s s a g e s a t a r a t e f

s

( 2 ) t o s e q u e n t i a l l y i n t e r l e a v e t h e s e N s a m p l e s i n s i d e a s a m p l i n g

i n t e r v a l T

s

= 1 = f

s

T h e u s e o f t i m e - d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g i n t r o d u c e s a b a n d w i d t h e x p a n s i o n f a c t o r N , b e c a u s e

t h e s c h e m e m u s t s q u e e z e N s a m p l e s d e r i v e d f r o m N i n d e p e n d e n t m e s s a g e s i g n a l s i n t o a

t i m e s l o t e q u a l t o o n e s a m p l i n g i n t e r v a l .

1 3 5


20/36

9 W a v e f o r m C o d i n g T e c h n i q u e s

C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f t r a n s m i t t i n g a n a n a l o g s o u r c e o v e r a d i g i t a l c h a n n e l . T h e r e

a r e t h r e e m a j o r o p e r a t i o n s i n v o l v e d i n t h i s t r a n s m i s s i o n . T h e s e a r e t h e o p e r a t i o n s o f

( i ) s a m p l i n g ( i i ) q u a n t i z a t i o n ( a n a l o g - t o - d i g i t a l c o n v e r s i o n ) , a n d ( i i i ) e n c o d i n g . S a m p l i n g

c h a n g e s t h e a n a l o g s i g n a l ( w h i c h i s a c o n t i n u o u s t i m e , c o n t i n u o u s a m p l i t u d e p r o c e s s ) i n t o

a d i s c r e t e t i m e , c o n t i n u o u s a m p l i t u d e p r o c e s s . T h e n , q u a n t i z a t i o n i s a c h i e v e d o n t h i s

d i s c r e t e t i m e , c o n t i n u o u s a m p l i t u d e p r o c e s s t o p r o d u c e a d i s c r e t e t i m e , d i s c r e t e a m p l i t u d e

p r o c e s s . W e a l r e a d y t a l k e d a b o u t t h e s a m p l i n g p r o c e s s . I n t h i s s e c t i o n , w e a d d r e s s t h e

p r o b l e m o f q u a n t i z a t i o n . T h e e n c o d i n g p r o c e s s w i l l b e d i s c u s s e d i n a s u b s e q u e n t s e c t i o n .

9 . 1 Q u a n t i z i n g

I n a l i n e a r s y s t e m , t h e t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s b e t w e e n t h e i n p u t a n d t h e o u t p u t i s i n t h e

f o r m o f a s t r a i g h t l i n e .

A q u a n t i z e r i s a n o n l i n e a r s y s t e m b a s e d o n a t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s l o o k s l i k e a s t a i r c a s e .

A n e x a m p l e i s g i v e n i n F i g . 6 7 ( a ) . I n a q u a n t i z e r , t h e r a n g e o f t h e i n p u t s a m p l e v a l u e s

i s d i v i d e d i n t o a n i t e s e t o f d e c i s i o n l e v e l s o r d e c i s i o n t h r e s h o l d s t h a t a r e a l i g n e d w i t h

t h e r i s e r s o f t h e s t a i r c a s e . T h e s e g m e n t o f t h e i n p u t a x i s l o c a t e d b e t w e e n t w o c o n s e q u e -

t i v e d e c i s i o n l e v e l s i s d e n o t e d a s a q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l . I f t h e i n p u t i s l o c a t e d i n a

g i v e n q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l , t h e o u t p u t i s a s s i g n e d a d i s c r e t e v a l u e w h i c h i s a l i g n e d w i t h

t h e t r e a d o f t h e s t a i r c a s e . T h i s d i s c r e t e v a l u e i s c a l l e d t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l o r r e c o n -

s t r u c t i o n v a l u e c o r r e s p o n d i n g t o t h e g i v e n q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l . I n t r a n s f e r c h a r a c t e r i s -

t i c s h o w n i n F i g . 6 7 ( a ) , t h e d e c i s i o n t h r e s h o l d s a r e a t p o i n t s = 2 3 = 2 5 = 2 : : :

a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s a r e l o c a t e d a t p o i n t s 0 2 : : : . T h i s i s c a l l e d a

m i d t r e a d t y p e q u a n t i z e r . I n t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s h o w n i n F i g . 6 8 ( a ) , t h e d e c i s i o n

t h r e s h o l d s a r e a t p o i n t s 0 2 : : : a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s a r e l o c a t e d a t p o i n t s

= 2 3 = 2 5 = 2 : : : . T h i s i s c a l l e d a m i d r i s e r t y p e q u a n t i z e r .

F o r a n a n a l o g i n p u t s a m p l e t h a t l i e s a n y w h e r e i n s i d e a n i n t e r v a l o f e i t h e r t r a n s f e r c h a r -

a c t e r i s t i c s , t h e q u a n t i z e r p r o d u c e s a d i s c r e t e o u t p u t e q u a l t o t h e m i d v a l u e o f t h e p a i r

o f d e c i s i o n t h r e s h o l d s . A q u a n t i z a t i o n e r r o r i s i n t r o d u c e d , t h e v a l u e o f w h i c h e q u a l s t h e

1 3 6


21/36

d i e r e n c e b e t w e e n t h e o u t p u t a n d i n p u t v a l u e s o f t h e q u a n t i z e r . F i g u r e s 6 7 ( b ) , 6 8 ( b )

s h o w e x a m p l e s o f s u c h a q u a n t i z a t i o n e r r o r .

D e n i t i o n : A q u a n t i z e r i s c a l l e d s y m m e t r i c i f i t s t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c i s s y m m e t r i c a l

f o r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n p u t v a l u e s . Q u a n t i z e r s s h o w n i n F i g s . 6 7 ( a ) , 6 8 ( a ) a r e b o t h

s y m m e t r i c a l .

D e n i t i o n : A q u a n t i z e r i s c a l l e d u n i f o r m i f t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n i t s r e p r e s e n t a t i o n

l e v e l s a r e t h e s a m e w i t h a c o m m o n v a l u e i s c a l l e d t h e s t e p s i z e . Q u a n t i z e r s s h o w n i n

F i g s . 6 7 ( a ) , 6 8 ( a ) a r e b o t h u n i f o r m .

D e n i t i o n : A q u a n t i z e r i s c a l l e d m e m o r y l e s s i n t h a t t h e q u a n t i z e r o u t p u t i s d e t e r m i n e d

o n l y b y t h e v a l u e o f a c o r r e s p o n d i n g i n p u t s a m p l e , i n d e p e n d e n t o f t h e e a r l i e r a n a l o g

s a m p l e s .

9 . 2 I d l e C h a n n e l N o i s e

I n a q u a n t i z e r o f t h e m i d r i s e t y p e , a s i n F i g . 6 8 ( a ) , z e r o i n p u t a m p l i t u d e i s e n c o d e d

i n t o o n e o f t h e t w o i n n e r m o s t r e p r e s e n t a t i o n s l e v e l s = 2 . T h i s r e s u l t s i n a q u a n t i z a t i o n

e r r o r e v e n i f t h e i n p u t t o t h e q u a n t i z e r i s e q u a l t o z e r o . T h i s e r r o r i s d e n o t e d a s t h e

i d l e c h a n n e l n o i s e . A s s u m i n g t h a t t h e t w o r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s = 2 a r e e q u i p r o b a b l e ,

t h e i d l e c h a n n e l n o i s e f o r m i d r i s e r q u a n t i z e r h a s z e r o m e a n a n d a v a r i a n c e o f

2

= 4 . I n a

q u a n t i z e r o f t h e m i d t r e a d t y p e , a s i n F i g . 6 7 ( a ) , t h e o u t p u t i s z e r o f o r z e r o i n p u t a n d t h e

i d l e c h a n n e l n o i s e i s c o r r e s p o n d i n g l y z e r o .

9 . 3 Q u a n t i z a t i o n N o i s e a n d S i g n a l - t o - N o i s e R a t i o ( S N R )

C o n s i d e r a s y m m e t r i c , u n i f o r m , m e m o r y l e s s q u a n t i z e r w i t h a t o t a l o f L r e p r e s e n t a t i o n

l e v e l s . L e t x d e n o t e t h e q u a n t i z e r i n p u t , a n d y d e n o t e t h e q u a n t i z e r o u t p u t . T h e t r a n s f e r

c h a r a c t e r i s t i c o f t h e q u a n t i z e r i s s h o w n b y ,

y = Q ( x ) ( 5 1 1 )

w h i c h i s a s t a i r c a s e f u n c t i o n . S u p p o s e t h a t w e u s e t h e n o t a t i o n J

k

, k = 1 2 : : : L ,

t o s h o w n t h e q u a t i z a t i o n i n t e r v a l s . T h e d e c i s i o n t h r e s h o l d s c o r r e s p o n d i n g t o t h e k t h

1 3 7


22/36

I n p u t

O u t p u t

I n p u t

2

3

;

; 3

; 5

( a )

( b )

Q u a n t i z a t i o n

e r r o r

e x c u r s i o n

; 7 = 2

= 2

P e a k ; t o ; p e a k

O v e r l o a d l e v e l

; = 2

= 2

; 3 = 2

3 = 2

5 = 2 7 = 2

; 5 = 2

; = 2

F i g u r e 6 7 : ( a ) T r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s o f q u a n t i z e r o f m i d t r e a d t y p e . ( b ) V a r i a t i o n o f t h e

q u a n t i z a t i o n e r r o r w i t h i n p u t

1 3 8


23/36

I n p u t

I n p u t

Q u a n t i z a t i o n e r r o r

= 2

; = 2

- - 2 - 3

2 3 4

- 3 = 2

- 5 = 2

- 7 = 2

O u t p u t

( a )

( b )

O v e r l o a d l e v e l

- 4

7 = 2

5 = 2

3 = 2

= 2

- = 2

F i g u r e 6 8 : ( a ) t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s o f q u a n t i z e r o f m i d r i s e t y p e . ( b ) V a r i a t i o n o f t h e

q u a n t i z a t i o n e r r o r w i t h i n p u t

1 3 9


24/36

q u a t i z a t i o n i n t e r v a l a r e d e n o t e d a s x

k

a n d x

k + 1

. W e h a v e ,

J

k

= f x

k

< x < x

k + 1

g k = 1 2 : : : L ( 5 1 2 )

I f t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l c o r r e s p o n d i n g t o t h e k t h q u a t i z a t i o n i n t e r v a l i s d e n o t e d a s y

k

,

w e h a v e ,

y = y

k

i f x l i e s i n t h e i n t e r v a l J

k

( 5 1 3 )

L e t q d e n o t e t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r , ; = 2 q = 2 . W e m a y w r i t e

y

k

= x + q i f x l i e s i n t h e i n t e r v a l J

k

( 5 1 4 )

I f t h e q u a n t i z e r i s n e e n o u g h ( s m a l l ) , t h e n t h e d i s t o r t i o n p r o d u c e d b y t h e q u a n t i z a t i o n

o p e r a t i o n a e c t s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e t r a n s m i s s i o n a s i f i t w e r e a n i n d e p e n d e n t s o u r c e

o f a d d i t i v e n o i s e . I t i s a l s o f o u n d t h a t t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e q u a n t i z a t i o n n o i s e

h a s a l a r g e b a n d w i d t h c o m p a r e d w i t h t h e s i g n a l b a n d w i d t h . T h u s , w i t h t h e q u a n t i z a t i o n

n o i s e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e s i g n a l b a n d , i t s i n t e r f e r i n g e e c t o n a s i g n a l

i s s i m i l a r t o t h a t o f a w h i t e n o i s e

A s s u m e t h a t t h e q u a t i z a t i o n e r r o r ( r a n d o m v a r i a b l e q ) i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e

p o s s i b l e r a n g e ; = 2 t o = 2 . W e h a v e ,

f

Q

( q ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1

;

2

q

2

0 o t h e r w i s e

( 5 1 5 )

w h e r e f

Q

( q ) i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r . T h e n , t h e m e a n

o f t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r i s z e r o , a n d i t s v a r i a n c e

2

Q

i s e q u a l t o ,

2

Q

= E Q

2

] ( 5 1 6 )

=

Z

1

; 1

q

2

f

Q

( q ) d q

=

1

Z

= 2

; = 2

q

2

d q

1 4 0


25/36

=

2

1 2

( 5 1 7 )

N o t e t h a t

2

= 1 2 c a n b e v i e w e d a s t h e v a r i a n c e o f q u a n t i z a t i o n e r r o r c o n d i t i o n e d o n t h e

i n t e r v a l J

k

L e t t h e v a r i a n c e o f t h e b a s e b a n d s i g n a l x ( t ) a t t h e q u a n t i z e r i n p u t b e d e n o t e d b y

2

X

W e

d e n e a n o u t p u t s i g n a l - t o - n o i s e q u a n t i z a t i o n n o i s e r a t i o ( S N R ) a s

( S N R ) =

2

X

2

Q

=

2

X

2

= 1 2

( 5 1 8 )

I t i s s e e n t h a t t h e q u a n t i z a t i o n S N R d e p e n d s o n t h e v a r i a n c e ( p o w e r ) o f t h e i n p u t s i g n a l .

I t w o u l d b e h i g h l y d e s i r a b l e f r o m a p r a c t i c a l v i e w p o i n t f o r t h e q u a n t i z a t i o n S N R t o

r e m a i n c o n s t a n t f o r a w i d e r a n g e o f i n p u t p o w e r l e v e l s . S u c h a q u a n t i z e r i s c a l l e d a r o b u s t

q u a n t i z e r . T h i s i s d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g .

9 . 4 R o b u s t Q u a n t i z a t i o n

T h e p r o v i s i o n f o r a r o b u s t p e r f o r m a n c e n e c e s s i t a t e s t h e u s e o f a n o n u n i f o r m q u a n t i z e r

I n t h i s c a s e , t h e r a n g e o f t h e s m a l l e r i n p u t v a l u e s a r e a s s i g n e d m o r e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s .

T h i s s e l e c t i o n i s j u s t i e d b y c o n s i d e r i n g t h e f o l l o w i n g t w o f a c t s ( i ) g e n e r a l l y , s m a l l e r i n p u t

v a l u e s o c c u r w i t h h i g h e r p r o b a b i l i t y a n d t h e r e f o r e s h o u l d b e r e p r e s e n t e d w i t h a h i g h e r

p r e c i s i o n , ( i i ) t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f h u m a n h e a r i n g h a s a s p e c i a l c h a r a c t e r i s t i c s t h a t l a r g e

s i g n a l a m p l i t u d e s m a s k q u a n t i z a t i o n n o i s e t o s o m e e x t e n t .

N o n u n i f o r m q u a n t i z a t i o n c a n b e a c h i e v e d b y u s i n g a c o m p r e s s o r f o l l o w e d b y a u n i f o r m

q u a n t i z e r . B y c a s c a d i n g t h i s c o m b i n a t i o n w i t h a n e x p a n d e r w h i c h a c t s a s a n i n v e r s e t o

t h e c o m p r e s s o r , t h e o r i g i n a l s i g n a l s a m p l e s a r e r e s t o r e d t o t h e i r c o r r e c t v a l u e s e x c e p t f o r

t h e e e c t o f t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r . T h e s e o p e r a t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e s 7 0 , 6 9 . T h e

c o m b i n a t i o n o f a c o m p r e s s o r a n d a n e x p a n d e r i s c a l l e d a c o m p a n d e r

A s w e a r e c o n c e r n e d w i t h s y m m e t r i c , m e m o r y l e s s q u a n t i z e r s , t h e n t h e t r a n s f e r c h a r a c t e r -

i s t i c s o f t h e c o m p r e s s o r i s r e p r e s e n t e d b y a m e m o r y l e s s n o n l i n e a r i t y c ( x ) , t h a t h a s o d d

s y m m e t r y , i . e . ,

c ( ; x ) = ; c ( x ) ( 5 1 9 )

1 4 1


26/36

I n p u t O u t p u t

E x p a n d e r

U n i f o r m

Q u a n t i z e r

C o m p r e s s o r

F i g u r e 6 9 : M o d e l o f n o n u n i f o r m q u a n t i z e r .

W e a l s o a s s u m e t h a t ,

c ( x ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

x

m a x

x = x

m a x

0 x = 0

; x

m a x

x = ; x

m a x

( 5 2 0 )

T h e c o m p r e s s i o n c h a r a c t e r i s t i c c ( x ) r e l a t e s n o n u n i f o r m i n t e r v a l s a t t h e c o m p r e s s o r i n p u t

t o t h e u n i f o r m i n t e r v a l s a t t h e c o m p r e s s o r o u t p u t .

T h e u n i f o r m i n t e r v a l s a r e o f w i d t h 2 x

m a x

= L e a c h , w h e r e L i s t h e n u m b e r o f r e p r e s e n t a t i o n

l e v e l s o f t h e q u a n t i z e r . I t i s a s s u m e d t h a t L i s a l a r g e n u m b e r ( n e q u a n t i z e r ) . U n d e r t h e s e

c o n d i t i o n s , t h e c o m p r e s s i o n c h a r a c t e r i s t i c c ( x ) i n t h e k t h i n t e r v a l , J

k

, i n a p p r o x i m a t e d

b y a s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t w i t h a s l o p e e q u a l t o 2 x

m a x

= L

k

, w h e r e

k

i s t h e w i d t h o f t h e

i n t e r v a l J

k

. T h i s m e a n s t h a t

d c ( x )

d x

'

2 x

m a x

L

k

k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 2 1 )

T w o o t h e r a s s u m p t i o n s a r e a l s o m a d e :

1 T h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f i n p u t f

X

( x ) i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o x

2 I n e a c h i n t e r v a l J

k

, k = 1 2 : : : L , t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f

X

( x ) i s a p -

p r o x i m a t e l y c o n s t a n t . T h i s a s s u m p t i o n i s e x p r e s s e d a s ,

f

X

( x ) ' f

X

( y

k

) x

k

X x

k + 1

( 5 2 2 )

W e a s s u m e t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l y

k

c o r r e s p o n d i n g t o t h e k t h q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l

J

k

l i e s i n t h e m i d d l e o f J

k

, i . e . ,

1 4 2


27/36

I n t e r v a l I

k

C

o

m

p

r

e

s

s

o

r

n

p

u

t

q u a n t i z a t i o n o u t p u t

C o m p r e s s o r i n p u t

C

o

m

p

r

e

s

s

o

r

o

u

t

p

u

t

E

x

p

a

n

d

e

d

o

u

t

p

u

t

k

t

h

r

e

p

r

e

s

e

n

t

a

t

o

n

e

v

e

E x p a n d e r i n p u t

F i g u r e 7 0 : T r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s o f c o m p r e s s o r , u n i f o r m q u a n t i z e r , a n d e x p a n d e r ( s h o w n

f o r p o s i t i v e a m p l i t u d e s o n l y )

1 4 3


28/36

y

k

=

1

2

( x

k

+ x

k + 1

) k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 2 3 )

T h e w i d t h o f t h e i n t e r v a l J

k

e q u a l s ,

k

= x

k + 1

; x

k

x

k

X x

k + 1

( 5 2 4 )

U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e i n p u t s i g n a l l i e s i n t h e i n t e r v a l J

k

i s

e q u a l t o ,

p

k

= P ( x

k

X x

k + 1

)

= f

X

( y

k

)

k

k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 2 5 )

L e t t h e r a n d o m v a r i a b l e Q d e n o t e t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r

Q = y

k

; X x

k

X x

k + 1

( 5 2 6 )

W e h a v e ,

2

Q

= E Q

2

= E ( X ; y

k

)

2

=

Z

x

m a x

; x

m a x

( y ; x

k

)

2

f

X

( x ) d x ( 5 2 7 )

2

Q

=

L ; 1

X

k = 0

p

k

k

Z

x

k + 1

x

k

( x ; y

k

)

2

d x ( 5 2 8 )

S u b s t i t u t i n g E q . 5 2 3 , w e g e t t h e r e s u l t

2

Q

=

1

1 2

L ; 1

X

k = 0

p

k

2

k

( 5 2 9 )

A s w e s a w i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e q u a n t i t y

2

k

= 1 2 c a n b e v i e w e d a s t h e v a r i a n c e o f

q u a n t i z a t i o n e r r o r c o n d i t i o n e d o n t h e i n t e r v a l J

k

F r o m ( 5 2 1 ) , w e o b t a i n ,

k

'

2 x

m a x

L

"

d c ( x )

d x

#

; 1

k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 3 0 )

1 4 4


29/36

S u b s t i t u t i n g E q . 5 3 0 i n E q . 5 2 9 , w e g e t t h e r e s u l t

2

Q

'

x

2

m a x

3 L

2

L ; 1

X

k = 0

p

k

"

d c ( x )

d x

#

; 2

( 5 3 1 )

R e p l a c i n g f o r p

k

f r o m E q . 5 2 5 a n d u s i n g i n t e g r a t i o n i n s t e a d o f t h e s u m m a t i o n o v e r k , w e

o b t a i n

2

Q

'

x

2

m a x

3 L

2

Z

x

m a x

; x

m a x

f

X

( x )

"

d c ( x )

d x

#

; 2

d x ( 5 3 2 )

T h e o u t p u t s i g n a l - t o - q u a n t i z a t i o n r a t i o i s d e n e d b y

( S N R ) =

2

X

2

Q

( 5 3 3 )

w h e r e ,

2

X

=

Z

x

m a x

; x

m a x

x

2

f

X

( x ) d x

T h i s r e s u l t s i n ,

( S N R ) =

3 L

2

x

2

m a x

Z

x

m a x

; x

m a x

x

2

f

X

( x ) d x

Z

x

m a x

; x

m a x

f

X

( x )

"

d c ( x )

d x

#

; 2

d x

( 5 3 4 )

F o r a r o b u s t p e r f o r m a n c e , t h e o u t p u t s i g n a l - t o - n o i s e r a t i o s h o u l d i d e a l l y b e i n d e p e n d e n t

o f t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e i n p u t r a n d o m v a r i a b l e X . T h i s r e q u i r e m e n t i s

m e t i f

d c ( x )

d x

=

K

x

; x

m a x

x x

m a x

( 5 3 5 )

r e s u l t i n g i n ,

c ( x ) = x

m a x

+ K l n

x

x

m a x

x > 0 ( 5 3 6 )

U n f o r t u n a t e l y , t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i n ( 5 3 6 ) i s u n r e a l i z a b l e s i n c e c ( 0 ) i s n o t n i t e .

I n s t e a d , w e h a v e t o u s e a n a p p r o x i m a t i o n t o ( 5 3 6 ) . T w o w i d e l y u s e d s o l u t i o n s t o t h i s

p r o b l e m a r e a s f o l l o w s :

- l a w c o m p a n d i n g

c ( x )

x

x m a x

=

l n ( 1 + x = x

m a x

)

l n ( 1 + )

0

x

x

m a x

1 ( 5 3 7 )

1 4 5


30/36

A p r a c t i c a l v a l u e f o r i s 2 5 5 . T h e ; l a w i s u s e d f o r P C M t e l e p h o n e s y s t e m s i n t h e

U n i t e d S t a t e s , C a n a d a , a n d J a p a n .

A - l a w c o m p a n d i n g

c ( x )

x

x m a x

=

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

A x = x

m a x

1 + l n A

0

x

x

m a x

1

A

1 + l n ( A x = x

m a x

)

1 + l n A

1

A

x

x

m a x

1

( 5 3 8 )

A p r a c t i c a l v a l u e f o r A i s 8 7 . 5 6 . T h e A - l a w c o m p a n d i n g i s u s e d f o r P C M t e l e p h o n e

s y s t e m s i n E u r o p e .

1 0 D i e r e n t i a l P u l s e - C o d e M o d u l a t i o n

I n t h e u s e o f P C M f o r t h e d i g i t i z a t i o n o f v o i c e a n d v i d e o s i g n a l , t h e s i g n a l d o e s n o t

c h a n g e r a p i d l y f r o m o n e s a m p l e t o t h e n e x t w i t h t h e r e s u l t t h a t t h e d i e r e n c e b e t w e e n

a d j a c e n t s a m p l e s h a s a v a r i a n c e t h a t i s s m a l l e r t h a n t h e v a r i a n c e o f t h e s i g n a l i t s e l f .

I n p a r t i c u l a r , i f w e k n o w t h e p a s t b e h a v i o r o f a s i g n a l u p t o a c e r t a i n p o i n t i n t i m e , i t i s

p o s s i b l e t o m a k e s o m e i n f e r e n c e a b o u t i t s f u t u r e v a l u e s . T h i s p r o v i d e s m o t i v a t i o n f o r t h e

d i e r e n t i a l q u a n t i z a t i o n s c h e m e s h o w n i n F i g . 7 1 ( a ) .

T h e d i e r e n c e s i g n a l e ( n T

s

) i s c a l l e d a p r e d i c t i o n e r r o r , i t i s t h e a m o u n t b y w h i c h t h e

p r e d i c t o r f a i l s t o p r e d i c t t h e i n p u t e x a c t l y .

v ( n T

s

) = Q e ( n T

s

)

= e ( n T

s

) + q ( n T

s

) ( 5 3 9 )

w h e r e q ( n T

s

) i s t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r .

F o r t h e s y s t e m i n F i g . 7 1 , w e m a y w r i t e ,

u ( n T

s

) = ^x ( n T

s

) + v ( n T

s

) ( 5 4 0 )

u ( n T

s

) = ^x ( n T

s

) + e ( n T

s

) + q ( n T

s

) ( 5 4 1 )

1 4 6


31/36

S a m p l e d

i n p u t

x ( n T

s

)

+

-

e ( n T

s

)

Q u a n t i z e r

D e c o d e r

O u t p u t

+

+

I n p u t

( a )

( b )

+

+

^x ( n T

s

)

u ( n T

s

)

D P C M

W a v e

P r e d i c t o r

E n c o d e r

v ( n T

s

)

P r e d i c t o r

F i g u r e 7 1 : D P C M s y s t e m . ( a ) T r a n s m i t t e r . ( b ) R e c e i v e r

1 4 7


32/36

F i n a l l y , r e p l a c i n g x ( n T

s

) = ^x ( n T

s

) + e ( n T

s

) , w e o b t a i n ,

u ( n T

s

) = x ( n T

s

) + q ( n T

s

) ( 5 4 2 )

T h i s m e a n s t h a t i r r e s p e c t i v e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e p r e d i c t o r , t h e q u a n t i z e d s i g n a l u ( n T

s

)

a t t h e p r e d i c t o r i n p u t d i e r s f r o m t h e i n p u t s i g n a l x ( n T

s

) b y t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r .

I n t h e a b s e n c e o f t h e c h a n n e l n o i s e t h e c o r r e s p o n d i n g r e c e i v e r o u t p u t i s e q u a l t o u ( n T

s

)

O b v i o u s l y , t h e p o w e r o f t h e p r o c e s s E i s s m a l l e r t h a n t h e p o w e r o f t h e o r i g i n a l s i g n a l X

T h e c o r r e s p o n d i n g r e d u c t i o n i n p o w e r i s m e a s u r e s b y t h e p r e d i c t i o n g a i n w h i c h i s d e n e d

a s ,

G

P

=

2

X

2

E

W e h a v e ,

( S N R )

0

=

2

X

2

Q

!

=

2

X

2

E

!

2

E

2

Q

!

= G

P

( S N R )

P

w h e r e ( S N R )

P

i s t h e S N R o f t h e q u a n t i z e r i n F i g . 7 1 . T h i s m e a n s t h a t w e h a v e a n

i m p r o v e m e n t i n t h e o v e r a l l S N R w i t h a f a c t o r e q u a l t o G

P

1 1 D e l t a M o d u l a t i o n

T h e u s e o f D P C M s u g g e s t t h e f o l l o w i n g p o s s i b i l i t y : O v e r s a m p l i n g a s i g n a l ( a t a r a t e h i g h e r

t h a n t h e N y q u i s t r a t e ) p u r p o s e l y t o i n c r e a s e t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n a d j a c e n t s a m p l e s o f

t h e s i g n a l , s o a s t o p e r m i t t h e u s e o f a s i m p l e q u a n t i z i n g s t r a t e g y .

T h i s s t r a t e g y r e s u l t s i n a h i g h e r n u m b e r o f s a m p l e s p e r s e c o n d , h o w e v e r , e x p l o i t i n g t h e

l a r g e d e p e n d e n c y b e t w e e n s u c c e s s i v e s a m p l e s , w e a r e a b l e t o q u a n t i z e t h e s a m p l e s u s i n g

a s m a l l e r n u m b e r o f q u a n t i z a t i o n s y m b o l s . O n t h e o t h e r h a n d , a s w e a l r e a d y d i s c u s s e d i n

t h e s e c t i o n o n s i g n a l c o n s t e l l a t i o n s , f o r a g i v e n c h a n n e l b a n d w i d t h , h a v i n g a l a r g e r n u m b e r

o f s y m b o l s p e r s e c o n d r e q u i r e s a h i g h e r a v e r a g e e n e r g y f o r t r a n s m i s s i o n . T h e o b j e c t i v e i s

t o n d a n i n t e r m e d i a t e s o l u t i o n w h i c h p r o v i d e s a c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e s a m p l i n g r a t e

a n d t h e n u m b e r o f t h e q u a t i z a t i o n s y m b o l s r e s u l t i n g i n a g o o d o v e r a l l p e r f o r m a n c e . I n

t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , w e d i s c u s s a n e x a m p l e o f s u c h a m e t h o d a c t i n g i n a n e x t r e m e c a s e

o f u s i n g a q u a n t i z e r w i t h o n l y t w o l e v e l s .

1 4 8


33/36

x ( t )

S t a i r c a s e

0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0

( a )

( b )

B i n a r y

s e q u e n c e

a t m o d u l a t o r

o u t p u t

a p p r o x i m a t i o n

T

s

u ( t )

F i g u r e 7 2 : I l l u s t r a t i o n o f d e l t a m o d u l a t i o n

D e l t a m o d u l a t i o n ( D M ) i s t h e o n e - b i t ( o r t w o l e v e l ) v e r s i o n o f D P C M . D M p r o v i d e s a

s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n t o t h e o v e r s a m p l e d v e r s i o n o f t h e i n p u t s i g n a l . T h e d i e r e n c e

b e t w e e n t h e i n p u t a n d t h e a p p r o x i m a t i o n i s q u a n t i z e d i n t o o n l y t w o l e v e l s , n a m e l y ,

T h e s t e p s i z e o f t h e q u a n t i z e r i s

= 2 ( 5 4 3 )

D e n o t e t h e i n p u t s i g n a l a s x ( t ) a n d t h e s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n t o i t a s u ( t ) . T h e n

e ( n t

s

) = x ( n T

s

) ; ^x ( n T

s

)

= x ( n T

s

) ; u ( n T

s

; T

s

) ( 5 4 4 )

1 4 9


34/36

I n p u t

O u t p u t

0

;

+

F i g u r e 7 3 : I n p u t - o u t p u t c h a r a c t e r i s t i c o f t w o - l e v e l q u a n t i z e r

b ( n T

s

) = s g n e ( n T

s

) ] ( 5 4 5 )

u ( n T

s

) = u ( n T

s

; T

s

) + b ( n T

s

) ( 5 4 6 )

W e a s s u m e t h a t t h e a c c u m u l a t o r i s i n i t i a l l y s e t t o z e r o . T h e n

u ( n T

s

) =

n

X

i = 1

s g n e ( i T

s

)

=

n

X

i = 1

b ( i T

s

) ( 5 4 7 )

1 1 . 1 Q u a n t i z a t i o n N o i s e i n D e l t a M o d u l a t i o n

D e l t a m o d u l a t i o n s y s t e m s a r e s u b j e c t t o t w o t y p e s o f q u a n t i z a t i o n e r r o r s : s l o p e - o v e r h e a d

d i s t o r t i o n , a n d g r a n u l a r n o i s e

L e t q ( n T

s

) d e n o t e t h e q u a n t i z i n g e r r o r . W e h a v e ,

u ( n T

s

) = x ( n T

s

) + q ( n T

s

) ( 5 4 8 )

1 5 0


35/36

S a m p l e d

i n p u t

x ( n T

s

)

-

+

e ( n T

s

)

o n e - b i t

q u a n t i z e r

b ( n T

s

)

+

+

u ( n T

s

)

D e l a y

T

s

^x ( n T

s

)

I n p u t

+

+

D e l a y

T

s

l o w - p a s s

l t e r

O u t p u t

A c c u m u l a t o r

( a )

A c c u m u l a t o r

( b )

F i g u r e 7 4 : D M s y s t e m . ( a ) T r a n s m i t t e r . ( b ) R e c e i v e r

1 5 1


36/36

S t a i r c a s e

S l p e - o v e r l o a d

x ( t )

T

s

u ( t )

a p p r o x i m a t i o n

d i s t o r t i o n

G r a n u l a r n o i s e

F i g u r e 7 5 : I l l u s t r a t i o n o f q u a n t i z a t i o n e r r o r i n d e l t a m o d u l a t i o n

A c c o r d i n g l y , u s i n g E q . 5 4 8 t o e l i m i n a t e u ( n T

s

; T

s

) f r o m E q . 5 4 4 , w e m a y e x p r e s s t h e

p r e d i c t i o n e r r o r e ( n T

s

) a s

e ( n T

s

) = x ( n T

s

) ; x ( n T

s

; T

s

) ; q ( n T

s

; T

s

) ( 5 4 9 )

E x c e p t f o r t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r q ( n T

s

; T

s

) , t h e q u a n t i z e r i n p u t m a y b e v i e w e d a s a

d i g i t a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e d e r i v a t i v e o f t h e i n p u t s i g n a l . I n o r d e r f o r t h e s e q u e n c e o f

s a m p l e s f u ( n T

s

) g t o i n c r e a s e a s f a s t a s t h e i n p u t s e q u e n c e o f s a m p l e s f x ( n T

s

) g i n a r e g i o n

o f m a x i m u m s l o p e o f x ( t ) , w e r e q u i r e t h a t t h e c o n d i t i o n

T

s

m a x

d x ( t )

d t

( 5 5 0 )

O t h e r w i s e t h e s t e p s i z e = 2 i s t o o s m a l l w i t h t h e r e s u l t t h a t u ( t ) f a l l s b e h i n d x ( t ) , a s

i l l u s t r a t e d i n F i g . 7 5 . T h i s c o n d i t i o n i s c a l l e d s l o p e - o v e r h e a d

G r a n u l a r n o i s e o c c u r s w h e n t h e s t e p s i z e i s t o o l a r g e r e l a t i v e t o t h e l o c a l s l o p e

c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i n p u t w a v e f o r m x ( t )

T h e c h o i c e o f t h e o p t i m u m s t e p s i z e t h a t m i n i m i z e s t h e m e a n - s q u a r e v a l u e o f t h e q u a n -

t i z i n g e r r o r i n a l i n e a r d e l t a m o d u l a t o r w i l l b e t h e r e s u l t o f a c o m p r o m i s e b e t w e e n s l o p e

o v e r h e a d d i s t o r t i o n a n d g r a n u l a r n o i s e

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