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Wim Van DoorenCenter for Instructional Psychology and TechnologyUniversidad Católica de Lovaina, Bélgica
Entendiendo los obstáculosEntendiendo los obstáculos
en el razonamiento matemático
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Understanding Obstacles Quito 2014
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Agradecimientos
Lieven Verschaffel, Dirk Janssens, Dirk De Bock, Fien Depaepe, Xenia Vamvakoussi, Mirjam Ebersbach, An Hessels, Ellen Gillard, Marleen Evers, Jo Van Hoof, Stephanie Lem, Tinne Dewolf, Ana Acevedo Nistal, Lore Saenen, …
Understanding Obstacles Quito 2014
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“Para dibujar un cuadrado que duplique su área es necesario duplicar sus lados.” (El esclavo)
Understanding obstacles Leuven 2012
Del Menón, Diálogos de Platón
Understanding Obstacles Quito 2014
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Understanding obstacles Leuven 2012
NCTM (1989)
“… la mayoría de los estudiantes entre 5º y 8º grados cree errónamente que si los lados de una figura se duplican para producir una figura similar, el área y el volumen de la figura también se duplicarán.”
Understanding Obstacles Quito 2014
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Geometría
“Si se agranda una figura k veces, el área y volumen se agranda k veces también.”
11
k2k k3k
El área se agranda k² vecesEl volumen k³ veces
x
Understanding obstacles Leuven 2012Understanding Obstacles Quito 2014
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Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hierba en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200m.
¿Cuántas bolsas de semilas de hierba necesita aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600m?
Geometría
Understanding obstacles Leuven 2012Understanding Obstacles Quito 2014
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Understanding obstacles Leuven 2012
Geometría
Casi todos los niños de 12 años: 200x3 = 600 m 8x3 = 24 bolsas
Más del 80% de los chicos de 16 años.
De Bock et al., 2002, 2003, 2007, Van Dooren et al., 2003, 2004
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hirba en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200 m.
¿Cuántas bolsas de semilas de hierba necesita
aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600 m?
The linear imperative Oxford 2012Understanding Obstacles Quito 2014
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Understanding obstacles Leuven 2012
Según estudios de seguimiento, no hay casi ninguna acción para:
• enseñar a hacer dibujos.
• proveer dibujos de figuras pequeñas y grandes.
• proveer dibujos en un papel cuadrado.
• alertar al comienzo de la prueba.
Geometría
Understanding Obstacles Quito 2014
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Proportional Correct
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
+ 25
+ 10
30
40 15 + 25
+ 10
5
6
3
30
90 15 6
3
5
0102030405060708090
100
3th 4th 5th 6th 7th 8th
correct proportional
Problema de adición en palabras
Van Dooren et al. 2005
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Cardano (1501-1576)
Para un 50% de probabilidad de sacar un “doble seis”, se necesita lanzar dos dados por lo menos 18 veces.
Cf. Székely (1986)
Probabilidad
Understanding obstacles Leuven 2012Understanding Obstacles Quito 2014
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Cardano (1501-1576)
Para un 50% de probabilidad de sacar un “doble seis”, se necesita lanzar dos dados por lo menos 18 veces.
Un lanzamiento: 1/36 probabilidades para un “doble seis”
18 x 1/36 = 18/36 = 50% Cf. Székely (1986)
Probabilidad
Understanding Obstacles Quito 2014
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Probabilidad
La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5 lanzamientos de moneda es
mayor que / igual a / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500 lanzamientos de moneda.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)Van Dooren et al. (2003)
Understanding obstacles Leuven 2012Understanding Obstacles Quito 2014
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La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5 lanzamientos de moneda es
mayor que / igual a / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500 lanzamientos de moneda.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)Van Dooren et al. (2003)
Más del 80% de chicos de 16 años.La mayoría de adultos que ha recibido educación.
Probabilidad
Understanding Obstacles Quito 2014
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Casos de razonamiento lineal / proporcional
K veces A, K veces B
aplicaciones de f(x) = ax
¿Explicaciones?
10 600
× 8 × 8
80 ?
Understanding Obstacles Quito 2014
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La linealidad es una propiedad de las relaciones tan sugestiva, que uno se rinde fácilmente a la seducción de tratar cada relación numérica como si fuese lineal.
(Freudenthal, 1983)
Sobre utilización de la linealidad
Understanding Obstacles Quito 2014
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Sobre utilización de la linealidad
Understanding Obstacles Quito 2014
¡Aquí hay otra pelota de hilo!
Doblemente divertido
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MATEMÁTICAS
EDUCACIÓN
MENTE
¿Explicaciones?
Understanding Obstacles Quito 2014
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MATE carencia de conocimiento
matemático
EDUCACIÓN
MENTE
¿Explicaciones?
Understanding Obstacles Quito 2014
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- Problemas de área:
Deficiencias en el conocimiento matemático
Se necesitan 6 ml de pintura
Altura:56 cm
Altura:168 cm
¿Cuánta pintura se necesita?
Understanding Obstacles Quito 2014
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- Problemas de área: :
-“Las figuras irregulares no tienen área.”
-“El aumento es diferente para los cuadrados, etc.”
-“Este es un problema de pintura. Tiene que ver con mililitros, es decir, con volumen.”
De Bock et al. 2002
Se necesitan 6ml de pintura
Altura:56 cm
Altura:168 cm
¿Cuánta pintura?
Understanding Obstacles Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
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La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5 lanzamientos de moneda es
mayor que / igual que / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500 lanzamientos de moneda.
Existe dificultad para calcular probabilidades exactas.
Se requiere agudeza para la ley de los números mayores.
E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)Van Dooren et al. (2003)
Understanding Obstacles Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
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Probabilidad
- Relaciones matemáticas muy complejas- Comprobación concreta difícil- Razonamiento abstracto
Bien conocido por su aparición de errores, falsas ideas e intuicionesHistorial de mucha gente haciendo errores, incluso matemáticos.
(Shaughnessy, 1992; Tversky & Kahneman, 1972)
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Deficiencias en el conocimiento matemático
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•China: crecimiento económico del 14% anual
• Príncipe Filip: “Sus habitantes han doblado sus ingresos en 7 años.”
(14 % x 7 = 98 %)
Understanding Obstacles Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
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• China: crecimiento económico del 14% anual
• Príncipe Filip: “Sus habitantes han doblado sus ingresos en 7 años.”
(14 % x 7 = 98 %)
•Suponga que el ingreso anual en el año 1 = 50.000 EUR
• 50.000 x 1.14n = 100.000 EUR
cuando n = 5.2935
Understanding Obstacles Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
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Pero NO se puede explicar
- por qué se cometen los errores LINEALES
Understanding Obstacles Quito 2014
Deficiencias en el conocimiento matemático
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MATE carencia de conocimientos
matemáticos
conceptos matemáticos en sí mismos
EDUCACIÓN
MENTE
¿Explicaciones?
Understanding Obstacles Quito 2014
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“A nivel muy básico intuitivo, los dos esquemas comparten la misma raíz, es decir, una intuición que llamamos intuición de frecuencia relativa.”
Fischbein (1975)
La materia de Matemáticas
Probabilidad y proporciones
Understanding Obstacles Quito 2014
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2
5
4
10
!
Probabilidad y proporciones
La materia de Matemáticas
Understanding Obstacles Quito 2014
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E.g., Kahneman & Tversky (1972); Fischbein & Schnarch (1997)Van Dooren et al. (2003)
Understanding Obstacles Quito 2014
La materia de Matemáticas
La probabilidad de obtener por lo menos 3 caras en 5 lanzamientos de moneda es
mayor que / igual que / menor que
la probabilidad de obtener por lo menos 300 caras en 500 lanzamientos de moneda.
![Page 31: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/31.jpg)
El área es un concepto de dos dimensionespero es tratado como un concepto unidimensional.
La materia de Matemáticas
Geometría
Understanding Obstacles Quito 2014
![Page 32: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/32.jpg)
Geometríax 3
X 3x 3?
Understanding Obstacles Quito 2014
La materia de Matemáticas
![Page 33: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/33.jpg)
“El principio que gobierna la ampliación (o reducción) de las figuras geométricas es altamente fundamental en matemáticas y ciencia, por lo que merece nuestra mayor atención, tanto desde el punto de vista fenomenológico como didáctico.”
Freudenthal, 1983
Geometría ¡Ampliación lineal!
Understanding Obstacles Quito 2014
La materia de Matemáticas
![Page 34: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/34.jpg)
“Las fórmulas para el perímetro y el área del círculo, así como para el área y volumen de la esfera son didácticamente y prácticamente eclipsadas por el conocimiento de su comportamiento en la ampliación y la reducción, que se aplica en un gran campo no cubierto por las fórmulas.”
Freudenthal, 1983
Geometría ¡Ampliación lineal!
Understanding Obstacles Quito 2014
La materia de Matemáticas
![Page 35: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/35.jpg)
Las deficiencias en el conocimiento matemático y en la materia de Matemáticas NO pueden explicar:
- por qué los estudiantes dan más soluciones complejas a problemas simples.
- por qué el número de respuestas lineales aumenta con la edad.
PERO
Understanding Obstacles Quito 2014
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Proportional Correct
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
+ 25
+ 10
30
40 15 + 25
+ 10
5
6
3
30
90 15 6
3
5
0102030405060708090
100
3th 4th 5th 6th 7th 8th
correct proportional
Problema de adición en palabras
Van Dooren et al. 2005
![Page 37: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/37.jpg)
MATE carencia de conocimientos
matemáticos
conceptos matemáticos en sí mismos
EDUCACIÓN mal enfoque didáctico
MENTE
¿Explicaciones?
Understanding Obstacles Quito 2014
![Page 38: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/38.jpg)
El rol de la educación
• Amplia atención al razonamiento proporcional
• Mayor enfoque en ciertos momentos
• Numerosas aplicaciones
Inevitable
Understanding Obstacles Quito 2014
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Correct
4 cajas de lápices cuestan 8 euros. Nuestro profe quiere comprar una caja para cada alumno. Tiene que comprar 24 cajas. ¿Cuánto tiene que pagar?
0102030405060708090
100
3rd 4th 5th 6th 7th 8th
correct other
Problema de proporciones
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Proportional Correct
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
+ 25
+ 10
30
40 15 + 25
+ 10
5
6
3
30
90 15 6
3
5
0102030405060708090
100
3th 4th 5th 6th 7th 8th
correct proportional
Problema de adición en palabras
Van Dooren et al. 2005
![Page 41: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/41.jpg)
El rol de la educación
• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.
inevitable
Understanding Obstacles Quito 2014
![Page 42: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/42.jpg)
Enseñar a discriminar
• 74 alumnos en 6º grado
• Convirtieron un ejercicio de resolución en un ejercicio de clasificación
Van Dooren et al., 2011
Understanding Obstacles Quito 2014
Grupo SC Resolver Clasificar
Grupo CS Clasificar Resolver
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¿Por qué?
Understanding Obstacles Quito 2014
![Page 44: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/44.jpg)
¿Por qué?
Understanding Obstacles Quito 2014
![Page 45: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/45.jpg)
• Ejercicio de resolución
Clasificar primero ayuda a resolver después
Grupo SC Resolver
Grupo CS Resolver
Van Dooren et al., 2011
Enseñar a discriminar
Understanding Obstacles Quito 2014
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• Ejercicio de clasificación
Resolver primero dificulta la clasificación después.
Grupo SC Clasificar
Grupo CS Clasificar
Van Dooren et al., 2011
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Enseñar a discriminar
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El rol de la educación
• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.
• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso
• Formulación del valor faltante
Inevitable
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Problema de valor faltante
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner césped en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200m.
¿Cuántas bolsas de semilas de césped necesita aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600m?
Geometría
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Problema de valor faltante
Carl necesita 8 bolsas de semillas para poner hierba en un cuadrado de césped cuyos lados miden 200 m.
¿Cuántas bolsas de semilas necesita aproximadamente para un cuadrado de césped cuyos lados miden 600 m?
Problema de comparación
Carl puso hierba en un cuadrado de césped.
Mañana, él pondrá hierba en un cuadrado de césped cuyos lados son tres veces más grandes.
¿Cuántas semillas de hierba más necesitará para hacer eso?
Geometría
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CONDICIÓNÍtems
proporcionalesÍtems
proporcionales
Comparación 68% 41%
Valor a encontrar 87% 23%
Geometría
De Bock et al. 2002
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El rol de la educación
• “Enseñar a discriminar” nunca ocurre.
• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso
• Formulación del valor faltante
• Números en los problemas
Inevitable
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Manipulación de números:
16
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
32
48 ?
x3
x2
Integer version
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Manipulación de números
16
Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
24
36 ?
x2.25
x1.5
Non-integer version
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THE LINEAR IMPERATIVE Turku 2007
Resultados
0
20
40
60
80
100
General 4th 5th 6th0
20
40
60
80
100
General 4th 5th 6th
integer version non-integer version
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El rol de la educación
• “La “enseñanza en discriminación” nunca ocurre.
• Utilizar indicaciones superficiales es exitoso
• Formulación de valor faltante
• Números en los problemas
Inevitable
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La consecuencia
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Η Έλεν και ο Kim τρέχουν γύρω από ένα κομμάτι. Τρέχουν εξίσου γρήγορα, αλλά η Ellen ξεκίνησε αργότερα. Όταν η Έλεν έχει τρέξει 4 γύρους, ο Kim έχει τρέξει 8 γύρους.
Όταν η Έλεν έχει τρέξει 16 γύρους, πόσα έχει Κιμ τρέξει?
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Η Έλεν και ο Kim τρέχουν γύρω από ένα κομμάτι. Τρέχουν εξίσου γρήγορα, αλλά η Ellen ξεκίνησε αργότερα. Όταν η Έλεν έχει τρέξει 4 γύρους, ο Kim έχει τρέξει 8 γύρους.
Όταν η Έλεν έχει τρέξει 16 γύρους, πόσα έχει Κιμ τρέξει?
20% de alumnos de 5º grado y 39% de 6º responde “32”
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La atención que se le da al tema de la proporcionalidad en la educación NO puede explicar:
- por qué la sobre utilización de la linealidad es extremadamente persistente y resistente a la ayuda.
-por qué los errores ocurren mucho menos en la vida real.
PERO
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El problema del pescado de Piaget
A
B
C
« Tres pescados de 5, 10 y 15 cm de largo. Puesto que es necesario tener en cuenta solo una dimensión (…), el pescado B comerá el doble de lo que come el pescado A, y el pescado C tres veces esa cantidad. » Piaget, 1951
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Lave (1992)
“ El ejercicio de resolver problemas textuales y problemas de contenidos textuales en la escuela no es igual a los ‘mismos’ ejercicios o contenidos implícitos en otros tipos de ejercicios en otras partes de la vida.”
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Ejemplos
« Falta de sentido »
- Una tienda vende 312 tarjetas de Navidad en diciembre. ¿Cuántas venderá en enero, febrero y marzo?
- El mejor tiempo que John hace corriendo es de 100 m en 17 segundos. ¿Cuánto le tomará correr 1 km?
(Greer, 1993, Verschaffel et al., 1994, 2000)
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Proportional Correct
Mamá cuelga 3 toallas en el tendedero. Después de 12 hours están secas. Los vecinos tienen 6 toallas en su tendedero. ¿Después de cuántas horas estarán secas?
2
4
6
24 12 2
4
3
6
12 12
Cte
3
Cte 0102030405060708090
100
2nd 3th 4th 5th 6th 7th 8th
other correct proportional
Un problema constante
Van Dooren et al. 2005
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y… otro problema constante
Un grupo de 5 músicos tocan una pieza de música en 10 minutos. Otro grupo de 35 músicos tocarán la misma pieza de música. ¿Cuánto tiempo les tomará a este grupo tocarla?
0102030405060708090
100
3th 4th 5th 6th 7th 8th
correct proportional “1.4 minutes”
Van Dooren et al. 2005
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Influencia del contexto
Problema típico escolar
Traditional school problem
+ drawing
Tarea auténtica
24 24
Problema típico escolar
+ dibujo
24
Van Dooren et al., 2006
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Necesité 4 baldosas para cubrir un piso cuadrado de una casa de muñecas, cuyos lados miden 12 cm.
¿Cuántas baldosas necesité para cubrir otro piso cuadrado de una casa de muñecas cuyos lados miden 36 cm?
12 cm 36 cmVan Dooren et al., 2006
Influencia del contexto
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Problema
típico escolar
Problema
típico escolar
+ dibujo
Authentic task
24 24
Tarea
Auténtica
24
Van Dooren et al., 2006
Influencia del contexto
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12 cm
36 cmVan Dooren et al., 2006
Influencia del contexto
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Problema
típico escolar
21 prop
Problema
típico escolar
+ dibujo
8 prop
Tarea
auténtica
2 prop
24 24 24
Van Dooren et al., 2006
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Influencia del contexto
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Problema típico
+ dibujo
Tarea auténtica
Más errores proporcionales
Mucho tiempo para encontrar la respuesta correcta
Duda acerca de la respuesta correcta
Menos errores proporcionales
Respuesta correcta encontrada rápidamente / inmediatamente
Firme convicción de la respuesta correcta
Van Dooren et al., 2006
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Influencia del contexto
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Problema
típico escolar
21 prop
Problema
típico escolar
+ dibujo
8 prop
Tarea auténtica
2 prop
24 24 24
Test posterior
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Influencia del contexto
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Problema
típico escolar
21 prop
Problema
típico escolar
+ dibujo
8 prop
Tarea auténtica
2 prop
24 24 24
Test posterior 20 prop 22 prop 19 prop
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Influencia del contexto
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MATE carencia de conocimientos
matemáticos
conceptos matemáticos en sí mismos
EDUCACIÓN mal enfoque didáctico
contexto educativo
MENTE
¿Explicaciones?
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MATE carencia de conocimientos
matemáticos
conceptos matemáticos en sí mismos
EDUCACIÓN mal enfoque didáctico
contexto educativo
MENTE razonamiento “descuidado”
¿Explicaciones?
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La mente como explicación
• El razonamiento humano (también en mate) a menudo es dirigido por la heurística / intuiciones.
• Inconsciente, casi automático, evidente en sí mismo
• A menudo correcto (= origen)
• Escondiendo errores profundamente arraigados
Work on intuitions by Fischbein (1987,1999)
Intuitive rules theory (e.g. Tirosh & Stavy, 2000)
Dual process theories of reasoning (Evans, 2003; Kahneman, 2002)
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La teoría del proceso dual(Dual process theory - DPT)
Sistema 1 o ‘sistema heurístico’Sistema 1 o ‘sistema heurístico’
- Automático, inconsciente
- Asociativo
- Poca exigencia de esfuerzo / demanda de la capacidad de memoria de trabajo
- Rápido
- Respuestas basadas en similaridad con prototipos almacenados
Sistema 2 o ‘sistema analítico’Sistema 2 o ‘sistema analítico’
- Conscientemente controlado
- Deliberado
- Total esfuerzo/ demanda de la capacidad de memoria de trabajo
- Utilización de tiempo
- Opera en representaciones ‘decontextualizadas’
S1 S2
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Ejercicio de selección de Wason
Si una carta tiene una E en un lado, tiene un 5 en el otro lado.’
¿Cuáles cartas hay que voltear para determinar si esto es cierto o no?
E C 5 2
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La teoría del proceso dual
• Conformidad S1-S2: S1 (rápido y poco exigente) provee respuestas correctas.
• Conflicto S1-S2 : S1 y S2 inducen a diferentes respuestas
S2 necesita invalidar la respuesta S1
Error al proveer la respuesta normativamente correcta: omnipresencia de S1 y no intervención de S2 (Stanovich & West, 2000)
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![Page 81: Wim Van Dooren Center for Instructional Psychology and Technology Universidad Católica de Lovaina, Bélgica Entendiendo los obstáculos en el razonamiento.](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062305/5665b4dc1a28abb57c945993/html5/thumbnails/81.jpg)
DPT y el sobre uso de la proporcionalidad
• El razonamiento proporcional se vuelve S1 heurístico
• Provocado por características contextuales salientes
• Contexto / entorno: solución de problemas de palabras
• Tarea: problemas de valor faltante
• provee respuestas proporcionales de una manera rápida, casi sin esfuerzo
• Predicciones
• Respuestas proporcionales que se dan de manera más rápida
• Respuestas proporcionales que se dan más a menudo bajo la memoria de trabajo limitada.
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Estudio de tiempo de reacción
(Gillard et al., 2009)
Correcto Incorrecto
Problema de adición en palabras
34 764 ms 21 456 ms
Problema de proporcionalidad en palabras
22 908 ms
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Carga de la memoria de trabajo
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Condición de carga
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Ellen y Kim corren alrededor de una pista. Los dos corren igualmente rápido, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen ha corrido 5 vueltas, Kim ha corrido 15 vueltas. Cuando Ellen ha corrido 30 vueltas, ¿cuántas ha corrido Kim?
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Condición de carga
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Condición de carga
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Condición de carga
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Condición de carga
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Condición de carga
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Estudio de la carga de la memoria de trabajo
(Gillard et al., 2009)
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¿No se supone que los estudiantes deben pensar analíticamente en clases de Matemáticas?
• Un acercamiento superficial funcionará muy a menudo.
• Además de la exactitud, se valora la velocidad.
• Los estudiantes no suelen estar cognitivamente comprometidos del todo con las tareas que deben realizar.
El proceso intuitivo es inherentemente adaptado.
“racionalidad ecológica” (Todd & Gigerenzer, 2000)
Razonamiento intuitivo
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MATE carencia de conocimientos matemáticos
conceptos matemáticos en sí mismos
EDUCACIÓN mal enfoque didáctico
contexto educativo
MENTE razonamiento “descuidado”
interferencia del conocimiento previo
¿Explicaciones?
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Conexión con la teoría del cambio conceptual
La linealidad es experimentada desde muy temprana edad
+ continuamente confirmada todos los días de la vidaAprendizaje en el aula: Ideas fortalecidas y enriquecidas
Nuevos contextos y representaciones, procedimientos abreviados
Panacea para una variedad de ejercicios matemáticos
« teoría marco » / presuposición atrincherada :
« las relaciones son proporcionales »
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Stacey (1989)
“Los estudiantes están, desde muy temprana edad, intuitivamente familiarizados con las relaciones que se dan en proporción directa.”
Conexión con la teoría del cambio conceptual
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De Bock et al. (2002)
- Método elegido de manera muy rápida
- Convicción MUY fuerte (incluso en equivocaciones)
- Incapaz de justificar, explicar.
Uso de la linealidad insconsciente y obvia
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Conexión con la teoría del cambio conceptual
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• Los alumnos pueden asimilarla con estructuras conceptuales existentes
• El viejo conocimiento continuará teniendo influencia, incluso en adultos instruidos.
Cuando nueva (incompatible) información se encuentra con conocimientos previos
Lo que fue aprendido anteriormente puede estar en la vía del conocimiento adquirido que vendrá.
Conexión con la teoría del cambio conceptual
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• La comprensión temprana del número como “número de conteo”
• el número sigue una línea de manera individual
• cada número tiene un sucesor
• entre más dígitos, mayor es el número
• la multiplicación lo hace mayor
Analogía al concepto de número
• El concepto que se adquiere del número racional
•La línea de números es densa
• La noción de la sucesión no tiene sentido
• 0.25698 < 0.3
• la multiplicación puede reducirlo (Vamvakoussi et al, 2004)
Conexión con la teoría del cambio conceptual
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• La interpretación a primera vista es muy poco suficiente.
• Entre más profundo se busca, más explicaciones saltan a la superficie.
• Pero buscar explicaciones también está cambiando el fenómeno.
Los errores lineales como un microcosmos para investigar el pensamiento y el aprendizaje matemático.
Conclusiones
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• Tomar el concepto matemático elegido para la investigación de manera seria.
•Algunos conceptos matemáticos pueden parecer lógicos para un experto, pero no para los estudiantes.
•Tomar en cuenta el conocimiento previo (a veces obstructivo) de los estudiantes.
Lecciones de investigación aprendidas (1)
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• Tomar en cuenta cuántos estudiantes fueron capacitados
• (y cuidarse a veces de efectos muy sutiles de la formulación de problemas y su contexto)
• El pensamiento y la resolución de problemas se dan en un contexto sociocultural con reglas, expectativas …
(¡Esto también aplica para la recolección de datos!)
Lecciones de investigación aprendidas (2)
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• Tener en cuenta que no somos muy buenos en el racionamiento analítico.
• y que los estudiantes no lo harán siempre bien cuando usted espera que lo hagan.
Lecciones de investigación aprendidas (3)
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Entonces, como investigadores en educación de las matemáticas, debemos ser:
• Matemáticos
• Psicólogos cognitivos y del desarrollo
• Maestros
• …
Para evitar que termine en
Lecciones de investigación aprendidas (4)
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¡Gracias!
Pueden encontrar mis artículos en:
https://lirias.kuleuven.be/cv?u=U0034796
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