MOVIMIENTO GENERAL EN DOS DIMENSIONES (COORDENADAS CILÍNDRICAS/POLARES)

 La localización de una partícula en el plano bidimensional, se puede describir mediante coordenadas cartesianas ó coordenadas polares.El movimiento de una partícula, en el plano cartesiano, es equivalente a un movimiento realizado en coordenadas cilíndricas con z = 0, transformándose en un movimiento en dos dimensiones, descrito con las llamadas coordenadas polares. 

          

. 

                 De las relaciones, entre un punto (x, y) en el plano, con el módulo

radial   y el ángulo polar q  ; [coordenadas polares (r ,q)],  

, se tiene: 

, 

                        

, 

donde   ,?vector unitario “radial”  (con dirección cambiante en el tiempo, es

decir, es variable), dirigido en la dirección del vector  , entonces:

          

.Con esta expresión se puede determinar ahora la velocidad de la partícula, con las nuevas coordenadas (polares); de la cinemática sabemos que:

,

,

,efectuando las siguientes identificaciones, 

  

y      ,se tiene:

 

, 

,           

en esta expresión se tiene que:   y 

. 

Donde, al vector unitario “transversal”,  se le identifica como  :

.Los vectores   y   , cumplen las propiedades de ser unitarios y ortogonales entre sí, en todo instante del tiempo, es decir:

,        &      .

De acuerdo con estos resultados,  a la velocidad  se le puede interpretar como formada de dos partes: una velocidad a lo largo del vector unitario  , llamada velocidad radial más otra velocidad a lo largo del vector transversal  , llamada velocidad  transversal. 

. 

Así que la velocidad radial es  , y

la velocidad transversal  . Con este resultado, se puede encontrar  la aceleración de la partícula, y con estas coordenadas  resulta ser: 

,

,

,             

, con la finalidad de simplificación, se han realizando las siguientes identificaciones: 

  

y      ,así se tiene que: 

, 

donde las derivadas, respecto al tiempo, de los vectores unitarios son: 

,

.Sustituyendo estos resultados en  la expresión de la aceleración se tiene: 

. 

, 

. Este resultado muestra que la aceleración está formada de dos contribuciones, una en la dirección del vector unitario radial y otra en la dirección transversal. 

,donde:

 ,      es la aceleración radial.

,    es la aceleración transversal.

 En la siguiente figura se representan estas cantidades, de manera grafica.

 

 Como un caso particular, del movimiento general, anteriormente descrito se tiene al Movimiento Circular. Movimiento Circular. 

De la geometría analítica, sabemos que, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos en el plano, que cumplen la condición de que: todos equidistan una  distancia constante, desde un punto llamado el centro de la circunferencia. Por lo tanto, para un movimiento circular, se cumple que:                                               

,a la cantidad r se le llama el radio de la circunferencia.En consecuencia el vector de localización de una partícula que experimenta dicho movimiento, estará dado por:

.Este vector nos indica que, única y exclusivamente cambia su dirección, pero su magnitud permanece constante a través del tiempo.Inmediatamente, se concluye que:

              &

,Por lo tanto, en el movimiento circular, la velocidad de la partícula resulta ser:

,es decir, la velocidad siempre es tangente a la circunferencia, es decir, en el movimiento circular no existe componente radial de la velocidad   (a lo largo del radio vector de posición).Si se identifica a   con la velocidad angular, (de la partícula) entonces,

.

Ésta es la velocidad con que se traslada la partícula, en el espacio (2 dimensiones), y se le llama su velocidad tangencial.Cuya magnitud está dada como:

.De forma inmediata se puede determinar la aceleración que experimenta una partícula que realiza un movimiento circular.

,Obsérvese que, ésta sí tiene contribuciones en las dos direcciones (radial y tangencial).

Identificando a  , con la aceleración angular de la partícula, se tiene que la aceleración de traslación de la partícula es:

,por lo cual, ahora pueden darse fácilmente las componentes de la aceleración (radial y tangencial):

                                        cuya

magnitud es,       .

         cuya magnitud es,        .

También, obsérvese que, la componente radial de la aceleración  siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia, por este motivo se le llama aceleración centrípeta.Adicionalmente, la otra componente de la aceleración siempre es tangente a la circunferencia por lo que se le llama aceleración tangencial.  Movimiento Circular ( variables angulares). 

                                        Movimiento Circular Uniforme. Este movimiento resulta cuando la aceleración angular es nula, es decir; 

. 

Por lo tanto la velocidad angular es: 

, 

y la correspondiente posición angular es: 

. 

Donde las condiciones iniciales de movimiento angular son: 

,      

. Movimiento Circular Uniformemente Acelerado.  

Este movimiento resulta cuando la aceleración angular es constante, es decir; 

. 

Por lo tanto la velocidad angular es: 

, 

y la correspondiente posición angular es: 

.  

Movimiento Circular con Aceleración Variable.  Este movimiento resulta cuando la aceleración angular es función del tiempo, es decir; 

. 

Por lo tanto la velocidad angular es: 

, 

y la correspondiente posición angular es: 

. 

Estas ecuaciones describen el movimiento circular, más general posible, en la situación en que la aceleración angular cambia de manera arbitraria con el tiempo, siempre y cuando se conozca la función

aceleración angular  . Cinemática Angular. En la descripción, anteriormente realizada, se supuso que la posición angular dada por

 se conocía en todo instante; así como sus derivadas; primera

y segunda respecto al tiempo,   &   ,  identificando estas como la velocidad y aceleración angular.Estos resultados conducen a establecer que existe un esquema para la cinemática de movimientos (variables) angulares; de manera similar al esquema, de la cinemática del movimiento de traslación, estudiado anteriormente. El esquema angular ahora se establece de la siguiente manera: Esquema de Derivación:

ó Esquema de Integración: 

. 

Dichos esquemas se aplican dependiendo de la situación particular que se este analizando.Usando el esquema de integración, podemos encontrar resultados muy importantes de acuerdo al valor de la aceleración angular dada, como se vio anteriormente.    Movimiento Parabólico. Este movimiento ocurre  cuando una partícula se lanza con una velocidad inicial Vo en una dirección arbitraria, y se le somete  a una fuerza constante, por ejemplo en la vecindad de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad no varía con la altura y despreciando la fricción con el aire, el movimiento descrito por la partícula será de tipo parabólico, como se muestra en la siguiente figura.

                    

,           .

.En la siguiente descripción, elegimos el instante inicial como to = 0. Entonces, para cualquier instante t, la velocidad estará dada como: 

                ,

Donde, sus componentes cartesianas son:

,

,

.Y para la posición de la partícula, en cualquier instante, se tiene:

                

                           ,

por lo cual, las componentes cartesianas de la  posición son:

,

.Restringiendo la descripción, únicamente al plano de movimiento descrito por la parábola, sólo son necesarias dos coordenadas cartesianas x, y. 

                         En estas condiciones, para el sistema de referencia mostrado, se tiene:

               ,         

                                , 

              .

En componentes, el movimiento está descrito por: 

          ,

        

.

,

             .Estas ecuaciones  demuestran que el movimiento del proyectil en la dirección Horizontal-x, es uniforme (velocidad constante), mientras que en la dirección Vertical-y es uniformemente acelerado.El movimiento del proyectil, puede describirse o interpretarse; como la superposición de dos movimientos,  independientes uno del otro.Demostraremos que la trayectoria, como una relación entre las coordenadas x, y; es una curva de tipo parabólico.Suponiendo que las condiciones iniciales del movimiento son:

       &           ; ,        &          ,

y además se elige (el instante inicial como)  to = 0.Para la posición horizontal, se tiene que:

,Por lo tanto, la posición vertical resulta ser:                                               

 , 

, 

, 

, 

Donde se han realizado las siguientes identificaciones: 

. 

Lo cual demuestra que el lugar geométrico  ciertamente es una parábola (la trayectoria) en el plano x,y.Un caso muy simple ocurre cuando el movimiento se inicia en el origen del sistema de referencia, es decir:En  ,

,        &        .,        &          .

Entonces, la ecuación de la parábola,   se simplifica, ya que en este caso se tiene que:

, 

,            .Por lo tanto, la nueva ecuación de la parábola es:

.

Con esta ecuación, fácilmente se encuentra que; el punto de impacto donde la partícula llega a la tierra, llamado el alcance R, está dado por la condición:

,    (en t = tv)            &              ,  (en t = tv).

es decir;

         

           

,donde se uso el hecho de que,   

.De la posición horizontal, en el instante tv se tiene que R ≡ x(tv), está dada por:

      

,Ahora, se puede determinar el tiempo de vuelo tv, que tarda la partícula en llegar y tocar al piso; es decir, el punto donde se impacta con el piso.Por lo tanto,

           .

También es posible determinar la velocidad final  ; con la cual la partícula hace impacto, en el punto sobre la tierra, (R,0). Para lo cual,

hacemos la siguiente identificación   .

            ,

 ,sustituyendo el tiempo de vuelo, en la expresión anterior, se obtiene: 

.Por lo tanto:

,.

En consecuencia, se observa que, la velocidad inicial y final tienen exactamente la misma magnitud y la dirección solo se modifica por: q™- q.Otra cantidad importante, que puede determinarse, es la máxima altura alcanzada por la partícula en el movimiento parabólico.En el punto de máxima altura, se tiene que:  , pero  , y si t ≡ t* es el tiempo que le toma a la partícula, en alcanzar la máxima altura.

Entonces:

             

,          

.En la componente x, la localización de la partícula para  este instante  t*, se encuentra que es:

,     

,

.En la componente y, para la localización de la partícula en ese instante t*, que corresponde a la Máxima altura es (si se hace la identificación ymáx ≡ y(t*)):

,

                   

. 

Todos estos resultados fueron encontrados a partir del movimiento parabólico de una partícula sujeta a la acción de la gravedad.Otras características del movimiento pueden encontrarse también usando la simetría de la curva parabólica.