VOLUME4 Asservissements digitaux
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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asservisSystmes
Volume 4
Asservissements digitaux
J.-M. Allenbach
Ecole dIngnieurs de Genve
Laboratoire dAutomati ueN 8
Edition 2006
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach i 15-08-2003
TABLE DES MATIRES
11 RGLAGE DIGITAL
11.1 PRINCIPE11.1.1 Conduite de processus discontinue 111.1.2 Echantillonnage et quantification 211.1.3 Boucle de rglage 411.1.4 Cycles limites 6
11.2 RGLAGE PSEUDO-CONTINU11.2.1 Rglage de processus rel: dimensionnements analytiques 911.2.2 Rglage de processus rel: dimensionnements exprimentaux 1311.2.3 Rgulateurs programms 1411.2.4 Rglage en simulation 16
11.3 SYSTMES CHANTILLONNS11.3.1 Fonction de transfert et ples 1911.3.2 Rponse harmonique 2311.3.3 Rponse indicielle 24
11.4 STABILIT11.4.1 Dfinition 2511.4.2 Critres 26
11.5 RGULATEURS DISCRETS11.5.1 Rgulateurs classiques 3011.5.2 Autres rgulateurs 30
11.6 DIMENSIONNEMENT11.6.1 Choix d'un rgulateur classique 3111.6.2 Critre de Nyquist 3311.6.3 Critre de Bode 3411.6.4 Critre d'Evans 3511.6.5 Calcul des coefficients 3611.6.6 Rglage en simulation 3611.6.7 Autre imposition des zros 3611.6.8 Imposition des ples en boucle ferme 3711.6.9 Filtre de consigne et RST 38
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Jean-Marc Allenbach ii 15-08-2003
11.7 EXEMPLES 39
Annexes
11.A TRANSFORME EN Z11.A.1 Motivation 4911.A.2 Dfinition 4911.A.3 Transformation en z inverse 5311.A.4 Rgles de calcul en z 5511.A.5 Passage direct de s z 5511.A.6 Ples dans s et z 57
11.B CHOIX DE LA MTHODE11.B.1 Procdure 59
11.C RATIONALISATION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE11.C.1 But 6111.C.2 Taylor 6111.C.3 Pad 62
11.D EFFET FRQUENTIEL DE L'CHANTILONNAGE
11.D.1 Expos du problme 6311.D.2 Mesure corrective 65
11.E RAPPEL DE LA RGLAGE ANALOGIQUE11.E.1 Expos du principe 6711.E.2 Stabilit 6811.E.3 Dimensionnement de rgulateur 7011.E.4 Exemples 76
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach iii 15-08-2003
BIBLIOGRAPHIE
[1] H.BHLER: Conception de systmes automatiques, PPUR, Lausanne.[2] H.BHLER:Electronique de rglage et commande, PPUR, Lausanne.[3] L.MARET:Rgulation automatique, PPUR, Lausanne.[4] H.BHLER: Systmes chantillonns I, PPUR, Lausanne.[5] H.BHLER: Systmes chantillonns II, PPUR, Lausanne.[6] J.NEYRINCK: Thorie des circuits et systmes, PPUR, Lausanne.[7] GILLE,DECAULNE ET PELEGRIN: Thorie et calcul des asservissements linaires,
Dunod, Paris.[8] M.ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne.[9] O.FLLINGER:Regelungstechnik, Hthig.
[10] B.C.KUO:Automatic Control Systems , Prentice-Hall.[11] E.JUCKER:Equations fondamentales des micromoteurs courant continu avec rotor
sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds.
[12] L.POVY:Identification de processus, Dunod, Paris.[13] L.MARET:Rgulation automatique 2, Eivd, Yverdon.[14] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme retard pur, EIG/LAE, Genve.[15] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme instable, EIG/LAE, Genve.[16] C.T.CHEN:Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ.[17] W.A.WOLOWICH:Automatic Control Systems, Saunders HBJ.[18] B.C.KUO:Digital Control Systems, Saunders HBJ.[19] M.RIVOIRE,J.-L.FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris.[20] R.LONGCHAMP: Commande numrique de systmes dynamiques , PPUR, Lausanne.[21] F. DE CARFORT,C.FOULARD:Asservissements linaires continus, Dunod, Paris.[22] P.NASLIN:Les rgimes variables dans les systmes linaires et non linaires, Dunod,
Paris.[23] W.OPPELT:Kleines Handbuch technischer Regelvorgnge, Verlag Chemie GMBH.[24] E.GROSCHEL:Regelungstechnik, R. Oldenburg, Mnchen et Wien.[25] F.MILSANT:Asservissements linaires analyse et synthse, Dunod, Paris.[26] H.GASSMANN:Einfhrung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun[27] M.KUNT: Traitement numrique des signaux, PPUR, Lausanne.[28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathmatique, EIG, Genve.[29] DIVERS PROFESSEURS:Electronique, EIG, Genve.
GLOSSAIRE
Symbole Description Page
ai Coefficient dezi du polynme dnominateur 21
bj Coefficient dezj du polynme numrateur 21
ci Rsidu ni 20e Ecart de rglage 8
e* Ecart de rglage discret (chantillonn et quantifi) 5D1max Dpassement maximal accept sur la rponse indicielle 29
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Jean-Marc Allenbach iv 15-08-2003
G0(z) Fonction de transfert chantillonne en boucle ouverte 31Geb(s) Fonction de transfert approxime continue du convertisseur D/A 10GR(s) Fonction de transfert continue du rgulateur analogique 11GR*(s) Fonction de transfert approxime continue du rgulateur
numrique11
GR*(z) Fonction de transfert chantillonne du rgulateur numrique 4Gs(s) Fonction de transfert continue du systme rgler 4Gs'(z) Fonction de transfert chantillonne du systme rgler travers
le convertisseur D/A
Kd Facteur de drivation discrte 10kd Facteur de drivation continue 10
Ki Facteur d'intgration discrte 10ki Facteur d'intgration continue 10
Kp Facteur de proportionnalit 10trmax Temps de rponse maximal accept 55T Priode d'chantillonnage 9Tc Temps de calcul du rgulateur 11TD Constante de temps de drivation (formesomme-produit) 13TDAC Petite constante de temps due la conversion D/A 10Ti Constante de temps d'intgration (formesomme ou quotient) 11TJ Constante de temps d'intgration (formesomme-produit) 13Tn Temps de corrlation d'intgrale 11TpR Petite constante de temps due l'algorithme de calcul du
rgulateur numrique11
Tv Temps de corrlation de drive 11
ucm Signal de commande 5ucm' Signal de commande en peigne de Dirac 5ucm* Valeur numrique du signal de commande 5uid Signal de commande idal (non limit) 15v Grandeur de perturbation 9w Grandeur de consigne 5
xR Intgrale discrte de l'cart de rglage 10y Grandeur de sortie (rgle) 5y* Grandeur de sortie quantifie et chantillonne 5z Variable discrte 5zpi ple chantillonn ni 19
zzj zro chantillonn nj 19M Marge de phase 27 Marge de stabilit relative 28 Marge de stabilit absolue 27 Partie relle d'un ple 25 Pulsation (partie imaginaire d'un ple) 231=1/T Pulsation pour laquelle la rponse harmonique a un module unit 34c=c/T Pulsation qui limite la pente de 1 et celle de 2 sur la rponse
harmonique en boucle ouverte34
Pulsation rduite 23
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 111 31-10-2003
CHAPITRE 11: RGLAGE DIGITAL
11.1 PRINCIPE
11.2.1 Conduite discontinue de processus
On a trait jusqu'ici des systmes conduite continue, particulirement des systmes
dont on ne rgle qu'une seule grandeur physique avec une seule commande. Dans le cas de
systmes multiples, la structure se complexifie.
Fig. 11.1 Reprsentation schmatique d'une conduite continue de processus.
On reconnat dans le schma le processus, ses organes de commande analogiques
(OCM) ou binaires (AB) et ses organes de mesure analogiques (OM) ou binaires (CB). La
conduite est opre depuis les rgulateurs (R) et la logique de commande squentielle (LCS).
Le mme systme peut faire l'objet d'une conduite discontinue de processus (fig. 11.2).
Les fonctions de commande squentielle et de rglage sont assures par un calculateur de
processus qui accde aux organes de commande et de mesure via des interfaces d'entre et de
sortie et des convertisseurs digitalanalogique ou analogiquedigital. Que le calculateur soit
implant su un microcontrleur, un ordinateur personnel, un gros ordinateur ou processeur de
signal, les oprations de conduite sont ralises par traitement numrique. Pour des raisons de
prix, on n'implante parfois qu'un seul convertisseur analogiquedigital, accdant aux
grandeurs mesures par multiplexage. Le pupitre de commande (PC) permet l'oprateur de
modifier les valeurs de consigne, voire les paramtres des rgulateurs.
Les fonctions de commande et de rglage sont labores par des algorithmes
programms. L'excution du calcul a lieu des instants fixs: les instants d'chantillonnage.
On doit tenir compte des temps de slection de mesure, de conversion analogiquedigital,
d'excution de l'algorithme et de conversion digitalanalogique. Pareillement, un changementde variable logique ne sera pris en compte qu'au prochain instant d'chantillonnage.
OC1
M
OCM1 OM1
OB1
M MM
OCk
OBm
Signaux
analogiques
Signaux
logiquesM
OCMk
LCS
AB1
ABn
Rk
R1
CB1
OMk
CBj
M
M M
+
+
PROCESSUS
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 112 31-10-2003
Le temps qui spare deux instants d'chantillonnage successifs est appel priode
d'chantillonnage. Les diffrentes boucles de rglage peuvent avoir des priodes
d'chantillonnage diffrentes.
Fig. 11.2 Reprsentation schmatique d'une conduite discontinue de processus.
11.1.2 Echantillonnage et quantification
On peut reprsenter un chantillonneur par un contact qui s'ouvre et se ferme. Le
signal chantillonn est gal au signal continu pendant que le contact est ferm et nul le reste
du temps. Pour ne pas alourdir exagrment le traitement mathmatique, on s'arrangera pour
maintenir constante la priode d'chantillonnage.
Fig. 11.3 Echantillonnage.
M
OCM1OM1
OB1
M
OBm
Signaux
analogiques
Signaux
logiques
OCMk
AB1
ABn
CB1
OMk
CBj
M
M M
ADC
MUX
DAC1 DACk
unit d'entressorties
Calculateur de
processus
MMIProgramme
PROCESSUS
xe
t
xs
t
xe xs
-
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 113 31-10-2003
Dans un calculateur de processus, un signal ne varie pas de manire continue, il est
reprsent par un nombre fini de chiffres (p. ex. 16 bit, 3 digit, ...). La quantification peut tre
reprsente par un dispositif non linaire gradins.
Fig. 11.4 Quantification
Une conversion analogiquedigital combine les deux oprations.
Fig. 11.5 Conversion analogiquedigital: chantillonnage et quantification.
La quantification, par la non-linarit qu'elle introduit, rend difficile le traitement
mathmatique. Cependant, avec un choix de quantification suffisamment fine (< 5), on
pourra ngliger son effet dans les calculs. On pourra toutefois observer des oscillations entre
deux niveaux conscutifs: les cycles limites ( 11.1.4).
L'chantillonneur de la figure 11.3 ne peut pas tre trait simplement sur le plan
mathmatique: le temps de fermeture est non nul et le signal a le temps de varier. Pour pallier
cet inconvnient, on dfinit deux chantillonneurs qui reprsentent assez bien la ralit et
dont le traitement mathmatique ne rencontre pas d'obstacle majeur.
L'chantillonneur idal se ferme pendant un temps infiniment court. Le signal de sortie
est discret, sans nergie, et ne peut pas agir sur un systme concret. Ce modle convient bienpour dcrire l'acquisition d'une mesure par le calculateur de processus.
Fig. 11.6 Echantillonneur idal.
xe
t
xs
t
xe xs
xe
t
xs
t
xe xs
xe
t
xs
t
xe xs
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 114 31-10-2003
L'chantillonneur pulsations s'obtient partir de l'chantillonneur rel en faisant
tendre la largeur des impulsions vers zro en maintenant leur surface. On obtient en sortie une
suite d'impulsions de Dirac, dont la surface est gale la valeur du signal d'entre divise par
la priode d'chantillonnage.
Fig. 11.7 Echantillonneur pulsations.
Ce modle convient pour un signal d'entre continu ou discret, il convient bien pour
exprimer la sortie du calculateur de processus.
Entre deux rafrachissements du contenu du registre d'un convertisseur digital
analogique, la sortie analogique reste constante. Pour exprimer cette proprit, on dfinit
l'lment de maintien, dont la valeur pendant une priode d'chantillonnage est gale la
surface de l'impulsion de Dirac reue en dbut de priode.
Fig. 11.8 Elment de maintien.
La mise en cascade d'un chantillonneur pulsations et d'un lment de maintien estun bon modle d'un convertisseur digitalanalogique, appel aussi chantillonneur-bloqueur.
11.1.3 Boucle de rglage
Les modles dvelopps au paragraphe prcdent permettent d'expliciter tous les
lments d'une boucle de rglage assure par calculateur de processus (fig. 11.9). Le systme
rgler, dont les signaux sont des fonctions continues du temps, est modlis par une fonction
de transfert continue Gs(s) (bloc 5). L'algorithme de calcul du rgulateur, est modlis par une
fonction de transfert discrte G*R(z) (bloc 2). Le convertisseur analogiquedigital (bloc 1) est
modlis par un chantillonneur idal et le convertisseur digitalanalogique (blocs 3 & 4) est
modlis par un chantillonneur-bloqueur.
xe xs
xe
t
xs
t
xe
t
xe xs
xs
t
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 115 31-10-2003
Fig.
11.9
Bouclederglagechant
illonn
w
y
ucm
u*cm
u'cm
e*
#
GR*(z)
Gs(s)
w*
y*
1
2
3
4
5
w
t
w
*
t
y
*
t
u*cm
tucm
t
ucm
t
y
t
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 116 31-10-2003
Dans la boucle de rglage apparaissent deux variables abstraites: s pour l'expression de la
fonction de transfert du systme rgler et zpour celle du rgulateur digital. Pour dimen-
sionner le rgulateur ou analyser le comportement dynamique du systme, il faut choisir
(annexe 11B) une des variables abstraites pour effectuer les calculs, puis revenir le cas
chant dans la variable concrte temps.
Ou bien on calcule tout dans l'espace s, considrant que les instants d'chantillonnage sontsuffisamment rapproch pour qu'on puisse assimiler les signaux chantillonns des
signaux continus (section 11.2). Dans ce cas, il faudra tablir des fonctions de transfert
approches pour les blocs 2 4. On pourra alors largement appliquer les mthodes de
dimensionnement et de calculs vues au chapitres 6 8.
Ou bien on calcule tout dans l'espace z, aprs avoir traduit dans l'espace zla fonction detransfert du bloc 5. Il faudra transporter dans l'espace zles critres de dimensionnement
tablis dans l'espace s (sections 11.3 11.6).
11.1.4 Cycles limites
La dimension finie des grandeurs digitales provoque une quantification ( 11.1.2) qui
intervient chaque point d'un circuit de rglage o se produit une conversion. Dans un
schma de rglage, on peut reprsenter la quantification par un bloc "fonction non linaire
gradins"(fig. 11.4).
Fig. 11.10 Circuit de rglage avec quantifications explicites.
Souvent, c'est la quantification est la plus grossire dans la conversion analogique-
digital, ce qui permet de ngliger l'effet de la quantification dans la conversion digital-
analogique. On se propose sans dmonstration mathmatique rigoureuse de mettre en
vidence les effets de la quantification et de l'chantillonnage sur le comportement dynamique
d'un systme rgl comme celui reprsent la figure 11.11. Pour faciliter le raisonnement,
on a choisi un simple rgulateurRproportionnel ainsi qu'un organe de commande OCM idalqui n'introduit pas de constante de temps, mais se content d'amplifier le signal reu. Le
systme rgler S est d'ordre 3 ou 4 sans qu'on le prcise explicitement. On tudiera lecomportement dynamique de ce systme pour une consigne constante avec comme condition
initiale une cart de rglage non nul. Pour une description plus approfondie de ces phno-
mnes, on se reportera des ouvrages spcialiss [1].
w
v
R OCM S
D/A
A/D
#
+u#cm ucm u
-
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Jean-Marc Allenbach EIG 117 31-10-2003
Fig. 11.11 Circuit de rglage avec la quantification la plus critique.
Fig. 11.12 Comportement dynamique et formation des cycles limites. (Pourassister au dveloppement de ce dia-
gramme temporel, une animation pas--pas PowerPointest accessible depuis la page htmlprcdente)
w
v
R OCM S
A/D
#
+ ucm u
y
y#
w
u
yq
TTc
t
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Asservissement digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 118 31-10-2003
Le quadrillage de la figure 11.12 exprime horizontalement les intervalles TE entre ins-
tants d'chantillonnage et verticalement les pas de quantification yq correspondant la varia-tion du bit le moins significatif de la conversion. A l'instant zro, la valeur initiale de la sortie
y est arrondie au niveau de quantification le plus proche donne la grandeur de sortie chantil-
lonney#[0]. On constate que l'cart de rglage initial vaut un pas de quantification. Le coef-
ficient de proportionnalit du rgulateur et celui de l'organe de commande dfinissent la va-leur de commande u[0+Tc] dont le changement intervient un temps de calcul plus tard. Le
systme ragit cette nouvelle valeur de commande selon son comportement dynamique
propre qu'on observe par la grandeury(t). A l'instant d'chantillonnage, cette grandeur est de
nouveau mesure et quantifie:y#[1]. On constate que l'cart de rglage nul. Le systme ragit
la va-leur de commande nulle selon son comportement dynamique. Et ainsi de suite pour
les ins-tants d'chantillonnage suivants. On observe des oscillations autour de la valeur de
consigne qu'on appelle cycles limites ou encore bruit de quantification. On peut citer deux
causes:
Des variations de la grandeur de sortiey(t) plus faibles qu'un pas de quantification ne sontpas rpercutes sur la valeur chantillonne y#[k]. Pour des variations de l'ordre de
grandeur du pas de quantification, le systme rgl se comporte comme un rglage tout-ou-
rien au niveau microscopique du bit.
Entre deux instants d'chantillonnage, les variations de la grandeur de sortie y(t) ne sontpas prises en compte et la grandeur de commande reste constante. Le systme rgl se
comporte comme un systme en boucle ouverte.
Souvent, le calcul se fait sur un nombre de bits plus importants que la conversion. La
valeur de consigne peut se superposer exactement un niveau de quantification comme dans
l'exemple tudi (fig. 11.13b). Elle peut aussi se trouver mi-distance entre deux niveaux
(fig. 11.13c) ou en un point quelconque (fig. 11.13a). Selon le cas de figure, les oscillations
pourront porter sur deux voire trois niveaux de quantification, et leur priodicit sur unnombre diffrent de priodes d'chantillonnage.
a b c
Fig. 11.13 Ecart de rglage et cart de rglage quantifi.
e# e# e#
e e e
yq
e#0
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Jean-Marc Allenbach EIG 119 15082003
11.2 RGLAGE PSEUDO-CONTINU
11.2.1 Rglage de processus rel: dimensionnements analytiques
Le dimensionnement pseudo-continu d'un rgulateur discret a ceci d'intressant qu'on
peut lui appliquer moyennant certaines adaptations les rgles de dimensionnement tabliespour les rgulateurs continus (chap. 8). On se doute bien qu'un tel calcul ne peut tre valable
que si l'chantillonnage est suffisamment rapide par rapport au systme pour qu'on puisse
ngliger ses effets. On a vu au chapitre 8 qu'il est judicieux de classer les constantes de temps
du systme rgler en constantes de temps dominantes qu'on cherche compenser par le
numrateur du rgulateur et petites constantes de temps qui sont de faible influence sur le
comportement dynamique du systme. On peut dfinir la priode d'chantillonnage T
maximale en fonction de TDoMin la plus petite des constantes de temps dominantes.
TT
DoMin
2
(11.01)
Par cette approche, on obtient partir du circuit de rglage de la figure 11.9 un circuit
approxim par un modle purement continu dont tous les blocs sont exprims en fonction de
la variable s.
Fig. 11.14 Systme chantillonn boucl dans un modle pseudo-continu.
Si le systme rgler est connu par sa fonction de transfert continue Gs(s), il faut
tablir une fonction de transfert continue pour chacun des autres blocs de manire
reprsenter au mieux la ralit. L'chantillonneur bloqueur est un bon modle de la
conversion digitale-analogique. On procdera par tape en calculant d'abord la fonction de
transfert de l'lment de maintien recevant une impulsion de Dirac de surface u0.
ucm'(t) = u0(t) (11.02)
Selon la dfinition ( 11.1.3), le signal de sortie est une fonction crneau.
ucm(t) = u0(t) u0(t T) (11.03)
6 74444 84444
1 24444444444 34444444444
G so ( )
G zR ( )
G ssv( )
G ss ( )
w
yyu
yv
ucmu*cm u'cme+
v
+
+
#
-
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1110 15082003
Le quotient de la sortie sur l'entre, exprim dans l'espace s, dfinit la fonction de transfert.
( )G se
s
sT
m = 1
(11.04)
On obtient une fonction non rationnelle, ce qui nous empche d'appliquer un certain nombre
de mthodes de calcul bien pratiques tel le dimensionnement de Bode. On va doncl'approximer par une fonction rationnelle. Au dveloppement limit d'ordre 1 de la fonction
exponentielle, on lui prfrera l'approximation de Pad dont la validit s'tend sur une plus
large plage de pulsation (Annexe 11.C).
ex
xx
+
1 05
1 05
.
.(11.05)
On peut injecter cette approximation dans (11.04).
( )G s
sT
sT
sm
+1
1 0 5
1 0 5
.
.(11.06)
( )G sT
sTm
+1 0 5.(11.07)
On ne dmontrera pas ici la fonction de transfert qu'il faut attribuer l'chantillonneur
pour qu'il sorte le signal ucm' de la relation (11.02) lorsqu'il est excit par un nombre u0 [4].
( )G sTe
1
(11.08)
On en dduit que l'chantillonneur-bloqueur, ou si on prfre le convertisseur D/A,
introduit simplement une petite constante de temps supplmentaire dans le circuit de rglage.
( )G s G s G ssT
T T
eb e mDAC
DACavec
( ) ( )
.
= +
=
1
1
0 5
(11.09)
Pour que le circuit de rglage soit entirement dtermin, il faut encore calculer la
fonction de transfert du rgulateur. On va le faire pour un PID sur la base de son quation
temporelle (7.32) dans laquelle les constantes sont dsignes de faon lgrement diffrente.
( )u t k e t k e d k de t
dt
t
cm p i d= + +( ) ( )( )
0
(11.10)
Traduite dans le temps discret, l'intgration temporelle devient somme et la drive
diffrence. Pour allger l'criture, on omet l'exposant *.
u k K e k K e j K e k e k
j
k
cm p i d[ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ])= + + =
1
1 (11.11)
Pour viter de calculer chaque instant d'chantillonnage une somme de ktermes, avec pour
corollaire la rservation de kplaces mmoire, on prfre avoir recours au calcul rcursif en
dfinissant une variable auxiliaire xR, qui est la composante intgrale du rgulateur. Cela
permet d'crire diffremment (11.11).
x k K e j x k K e kj
k
R i R i[ ] [ ] [ ] [ ]= = +=1 1 (11.12)
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1111 15082003
u k K e k x k K e k e k cm p R d[ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ])= + + 1 (11.13)
Si on traduit dans l'espace de Laplace les relations (11.12) et (11.13), on peut calculer la
fonction de transfert.
R s e R s K E ssT( ) ( ) ( )= + i (11.14)
U s K E s R s K E s e E ssT( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))= + + p d (11.15)
R sK
eE s
sT( ) ( )=
i
1(11.16)
U s K E sK
eE s K e E s
sTsT( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +
+
pi
d1
1 (11.17)
Le quotient de la sortie sur l'entre donne la fonction de transfert.
G s KK
eK e
sTsT
R pi
d* ( ) ( )= +
+
11 (11.18)
La fonction n'est pas rationnelle, on a ici encore recours l'approximation de Pad.
G s K s T Ks T
K s Ts TR p
id* ( )
( . ).
+ + ++
1 0 51 0 5
(11.19)
Plutt que qu'une somme de terme, on prfre la fonction de transfert en quotient de
polynmes.
G s
s TK K
Ks T
K K K
K
sT
Ks T
R
p i
i
d p i
i
i
* ( )
. .
( . )
=
++
++ +
+
10 5 0 25
1 0 5
2 2
(11.20)
En ralit, le calcul de ucm[k] par un processeur ncessite un temps de calcul Tc, qu'on peut
traduire par un retard pur.
G s
s TK K
Ks T
K K K
K
sT
Ks T
e sTR
p i
i
d p i
i
i
c* ( )
. .
( . )
=
++
++ +
+
1
0 5 0 25
1 0 5
2 2
(11.21)
On approxime par une fonction rationnelle; Tc tant trs petit, on se contente du dvelop-
pement limit d'ordre 1.
G s
s TK K
Ks T
K K K
K
sT
Ks T s T
R
p i
i
d p i
i
ic
* ( )
. .
( . )( )
++
++ +
+ +
10 5 0 25
1 0 5 1
2 2
(11.22)
On a tabli au chapitre 7 la fonction de transfert d'un rgulateur analogique.
G ss T s T
s T
s T T s T T
s TRn v
i
n v n v
i( )
( )( ) ( )=
+ +=
+ + +1 1 1 2(11.23)
Si les numrateurs des deux rgulateurs de construction diffrente sont du mme ordre, le
numrateur du systme discret est plus lev: il y a bien intgration pure, mais multiplie par
deux cellules du premier ordre petites constantes de temps: celle introduite par l'algorithme
de calcul TpR (qui vaut 0.5 Tpour le PID) et le temps de calcul Tc proprement dit. On peut
construire GR*(s) la fonction de transfert du rgulateur discret partir de GR(s) celle durgulateur analogique.
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
18/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1112 15082003
G s G ss T s TR R pR c
* ( ) ( )=+ +
1
1
1
1(11.24)
En comparant (11.22) et (11.23) la lumire de (11.24), on peut identifier les termes.
TT
K
T T TK K
K
T T TK K K
K
i
i
n vp i
i
n vd p i
i
=
+ =+
=+ +
20 5 0 25. .
} (11.25)
On peut tablir la fonction de transfert en boucle ouverte.
G s G s G s G s G ss T s T s T
G s01
1 1
1
1( ) * ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )= =
+ + +R eb s R pR c DACs (11.26)
La relation (11.26) montre que pour un rglage pseudo-continu tout se passe
comme si on avait un rgulateur continu GR(s) qui agisse sur un systme rgler qui est le
processus proprement dit Gs(s) multipli par trois cellules du premier ordre. Si on
dimensionne un rgulateur continu l'aide d'une petite constante de temps quivalente Tpe, on
utilise une autre petite constante de temps quivalente TpE pour dimensionner un rgulateur
discret par mthode pseudo-continue.
T T T T T pE pe pR DAC c= + + + (11.27)
On peut donc dimensionnerTn et Tv en compensant les constantes de temps dominantes et Ti
d'aprs TpE et le critre de la marge de phase (Nyquist) du rapport de pulsation (Bode) ou de la
marge de stabilit relative (Evans) (sect. 8.3). On peut aussi dimensionnerTn , Tv et Ti par lamthode d'Evans (sect. 8.4). On calcule alors Kp, Kd et Ki de la relation (11.28), tablie
partir de (11.25).
KT
T
KT T T
T
T T
TK
KT T
T T
T T T
T
T T
T T
T T
T
T
T
T TT T
K K
ii
pn v
i
n v
ii
dn v
i
n v
i
n v
i
n v
i i
n v
i
p i
=
=+
=+
= +
= +
+
=
2
4 2 4
2 4
( ) } (11.28)
La constante de temps TpRdpend du type de rgulateur utilis.
Rgulateur P PI PD PID
TpR 0 0 0.5 T 0.5 T
Fig. 11.15 Petite constante de temps due l'algorithme de calcul du rgulateur.
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
19/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1113 15082003
Pour les autres types de rgulateurs, on peut faire le mme calcul qu'avec les quations
(11.11) (11.22). Le rsultat de ces calculs est rsum au tableau 11.16.
Rgulateur GR*(s) Ki Kp Kd
P kp kp
I1 0 5+ s T
sT
.
i
T
Ti
PI1 + s T
sT
n
i
T
Ti
T T
T
n
i
05.
PD k
s T
s Tpv1
1 0 5
+
+ . kp k
T T
Tpv
i
05.
PID( )( )
( . )
1 1
1 0 5
+ +
+
s T s T
sT s T
n v
i
T
Ti
T T T
T
n v
i
+
T T
T T
T T T
T
n v
i
n v
i
+ 2
4
( )
Fig. 11.16 Principaux rgulateurs discrets et leur approximation pseudo-continue.
11.2.2 Rglage de processus rel: dimensionnements exprimentaux
Lorsqu'on ne connat pas la fonction de transfert du systme rgler, on dimensionne
le rgulateur sur la base d'une mesure typique (section 8.2).
Pour les critres de Ziegler-Nichols ou Chien-Hroner-Reswick, on corrige le tableau
de dimensionnement sans changer le type de mesure sur l'installation relle.
G s Ks T
s TR PJ
D( ) ( )= + +11
(11.29)
Rgulateur KP TJ TD
A B A B A&B
PT
T T
g
u +
TT
T
+u
g3,0 0
PITT
T
+u
g9,0
TT
T
+u
g35,0 33 05. ( . )T Tu + g2,1 T 0
PIDTT
T
+u
g2,1
TT
T
+u
g6,0 2 05( . )T Tu + gT 05 05. ( . )T Tu +
Fig. 11.17 Dimensionnement pseudo-continu, A : Ziegler-Nichols, B : Chien-Hroner-Reswick.
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
20/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1114 15082003
De la relation (11.29), on tire la valeur du signal de commande l'instant t= kT.
( )u kT K e kT K
Te d K T
de kT
dt
kT
cm PP
JP D= + +( ) ( )
( )
0
(11.30)
On dduit le signal discret en approximant explicitement l'intgrale par une somme de
rectangle de largeurTet la drive par la diffrence entre deux points successifs divise parT.
u k K e k K
TT e j K T
e k e k
Tj
k
cm PP
JP D[ ] [ ] [ ]
( [ ] [ ])= + +
=
1
1(11.31)
Fig. 11.18 Signal avec approximation de son intgrale et de sa drive en k.
En identifiant avec (11.11), on dduit comment calculerKp, Kd et Ki d'aprs lesrsultats du tableau 11.17.
K K
K KT
T
K KT
T
p P
i PJ
d PD
=
=
=
(11.32)
11.2.3 Rgulateurs programms
Sur la base de (11.12) et (11.13), on peut crire une forme qui se programme mieux.
u k K K K e k x k K e k cm p i d R d[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]= + + + 1 1 (11.33)
On en tire un algorithme de programmation en notation simplifie.
1 lire y2 e = w y calcul de l'cart de rglage3 ucm =xR + (Kp + Ki + Kd)e Kd e1 calcul du signal de commande4 sortirucm5 xR =xR + Kie mise jour de la composante intgrale prcdente
6 e1 = e mise jour de l'cart de rglage prcdent7 fin
e(t)
d
d
e kT
t
( )
t
ekT
( )d 0
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
21/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1115 15082003
Cet algorithme sera parcouru chaque instant d'chantillonnage. Les constantes Kp,Kd et Ki
devront tre stockes en mmoire non volatile et les variables e1 etxRdevront tre initialises
zro l'enclenchement de l'installation.
On peut traduire cet algorithme sous forme de schma-bloc, dans lequel le retard d'une
priode d'chantillonnage est reprsente par l'oprateur z1
(Voir Annexe 11.A); on adsign parKpid la somme de coefficientsKp +Ki +Kd.
{ }x k z x k[ ] [ ] = 1 1 (11.34)
Comme un rgulateur continu, un rgulateur discret peut tre muni d'une limitation du signal
de commande. Comme en continu, on prendra garde viter que la composant intgrale ne
sature pendant le temps de limitation, ce qui provoquerait un retard d'action au moment du
changement de signe de l'cart de rglage: blocage la composante intgrale pendant ce temps
par dispositifantiwindup.
S6
S5S4
S3S2
S1
Limitation
1/Kpid
G4
KdG3
KpidG2
Ki
G1z
1
D2
z
1
D1
Fig. 11.19 Diagramme structurel d'un rgulateur PID discret avec limitation et correction dela composante intgrale.
On doit encore complter l'algorithme par la limitation du signal de commande idal.
1 lire y2 e = w y calcul de l'cart de rglage3 uid =xR + (Kp + Ki + Kd)e Kd e1 calcul du signal de commande idal4 si uid > umax calcul de la limitation5 alors ucm = umax6 sinon si uid < umin7 alors ucm = umin8 sinon ucm =uid9 sortirucm10 elim = e (uid ucm )/(Kp + Ki + Kd) dispositifantiwindup11 xR =xR + Kielim mise jour de la composante intgrale prcdente
12 e1 = e mise jour de l'cart de rglage prcdent13 fin
elim[k]
e[k]
e[k-1]
w[k]
y[k]
uid[k] ucm[k]
xR[k]
xR[k+1]
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
22/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1116 15082003
On peut se demander s'il est vraiment lgitime de calculer de manire continue un
systme chantillonn. Pour vrifier la validit de la mthode, on a compar sur la figure
11.20 les valeurs des coefficients d'un rgulateur PI discret obtenues par dimensionnement
chantillonn trait continu (voir section 11.6) et par dimensionnement pseudo-continu
trait interrompu avec un systme rgler du second ordre.
Fig. 11.20 Coefficients d'un rgulateur PI discret en fonction de T la prioded'chantillonnage rapporte T1 la constante de temps dominante du systme rgler. [4]
Mthode: pseudo-continue chantillonne.
11.2.4 Rgulateurs en simulation numrique
Avant d'appliquer un rglage sur une installation, il est bon de vrifier le
dimensionnement en simulation. Le langage MATLAB, et son diteur de schma-blocs
SIMULINK se prtent trs bien cet usage. Sous SIMULINK, on peut crer un rgulateur en
copiant simplement le schma de la figure 11.19. On peut aussi utiliser des blocs tout faits eny injectant les coefficients du rgulateurs. Ces blocs sont de deux types, qui correspondent
aux deux formes d'criture des fonctions de transfert sous MATLAB: Zero-Pole et TransferFcn.
Du schma de la figure 11.19, on peut exprimer la fonction de transfert en zd'unrgulateur PID discret.
G z KK
z
K
zPID pidi d
* ( ) = +
1
(11.35)
On peut aussi l'crire comme quotient de polynmes (voir aussi 11.5.1).
G z K z K K z Kz zPID
pid p d d* ( ) ( )
( )= + + +
2
21
(11.36)
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
23/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1117 15082003
Il s'agit donc d'un quotient de deux polynmes, chacun de degr deux.
Etudions les deux manires d'crire un quotient de polynmes de degr deux. Sous
SIMULINK le bloc Transfer Fcn correspond des polynmes dvelopps.
G zb z b z b
z z
PID2 1 0
* ( ) =+ +
2
2(11.37)
En MATLAB, on peut dfinir cette fonction de transfert par deux vecteurs des coefficients des
polynmes.
num=[b2 b1 b0];den=[1 -1 0]; (11.38)Gpid=(num,den) (11.39)
Sous SIMULINK le bloc Zero-Pole correspond des polynmes factoriss.
G z Kz z z z
z zPID R 2
* ( )( )( )
( )=
+
1
1(11.40)
En MATLAB, on peut dfinir cette fonction de transfert par deux vecteurs des coefficients des
polynmes.
zro=[z1 z2];ple=[0 1];gain=Kr; (11.41)Gpid=(zro,ple,gain] (11.42)
Si on a calcul le rgulateur de manire analytique (11.23), on peut directement
calculer la forme Transfer Fcn (11.43) ou la forme Zero-Pole (11.44).
num
den
n v n v
i
n v
i
n v n v
i=
+ + + + +
=
[( ) ( )
]
[ ]
T T T T T T
T T
T T T
T T
T T T T T T
T T
2 2 22 4
4
4
2
2 4
4
1 1 0
(11.43)
zros
poles
gain
n v n v
i
n v n v
i
n v n v
i
=+
=
=+ + +
[( ) ( )
]
[ ]
( )
4 4
4
4 4
4
1 0
4 2
4
2 2
2
T T T T T T
T T
T T T T T T
T T
T T T T T T
T T
(11.44)
Si on a calcul le rgulateur de manire exprimentale (11.29), on peut directement
calculer la forme Transfer Fcn (11.45) ou la forme Zero-Pole (11.46).
num
den
PJ
DP
DP
D= + + +
=
[ ( ) ( ) ]
[ ]
KT
T
T
TK
T
TK
T
T1 1 2
1 1 0
(11.45)
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
24/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1118 15082003
zros
poles
gain
D D
J
D
D D
J
D
PJ
D
=+
+ +
+ +
+ +
=
= + +
[
( ) ( )
]
[ ]
( )
1 4 1 4
2 1
1 4 1 4
2 1
1 0
1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
KT
T
T
T
(11.46)
Enfin, si on a dj calcul les coefficientsKp,Kd etKi , les expressions sont beaucoup
plus immdiates, en particulier pour la forme Transfer Fcn. Pour la forme Zero-Pole, lesexpressions sont peine moins simples. On lit en (11.47) les valeurs insrer dans (11.38).
b K
b K K
b K K K K
0
1
2
2
=
= +
= + + =
d
p d
p d i pid
( ) (11.47)
On lit en (11.48) les valeurs insrer dans (11.41).
z
gain
1
p d p i d
pid
p d p i d
pid
pid
=+
=+ +
=
K K K K K
K
zK K K K K
K
K
2 4
2
2 4
2
2
2
2
(11.48)
On prendra garde bien respecter la syntaxe MATLAB, en particulier utiliser le point
dcimal et non la virgule qui sert de signe de sparation pour des variables diffrentes. Par
ailleurs, la forme requiert un nombre de chiffres significatifs assez lev (4) sous peine decomportement surprenant du l'apparition de zros conjugus complexes l o on attendait
des zros rels.
1.573(z-0.741)(z-0.472)
z(z-1)
Discrete
Zero-Pole
1.573z -1.908z+0.552
z -z2
Discrete
Transfer Fcn
Fig 11.21 Blocs SIMULINKpour rgulateur PID:Kp = 0.81 Ki = 0.55 Kd = 0.22 T= 0.15 [s].
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
25/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1119 2005-03-15
11.3 SYSTMES CHANTILLONNS
11.3.1 Rglage de processus rel: dimensionnements analytiques
Lorsqu'on est en prsence d'un systme continu rgl par un rgulateur digital, on peut
dcrire l'ensemble du problme par l'outil mathmatique spcifique au temps discret: la trans-forme
en z(annexe 11.A). Comme on avait pour des systmes continus tabli des rela-tions en s sur la
base des quations diffrentielles, on tablira pour des systmes chan-tillonns des relations en
zsur la base des quations aux diffrences. Comme en continu, on tablira des fonctions de transfert
exprimant la relation entre signal de sortie et signal d'entre d'un bloc fonctionnel.
On se limite ici tudier deux cas:
La fonction de transfert chantillonne Gs'(z) pour un systme Gs(s) excit travers un
chantillonneur - bloqueur.
La fonction de transfert discrte Gs*(z) pour un rgulateur numrique excit travers un
chantillonneur idal.
Pour tous les autres cas dont le besoin ne se fait pas ressentir pour la suite de l'expos, on se
reportera des ouvrages plus fouills [4]. La fonction de transfert chantillonne se dfinit par
analogie avec la fonction de transfert continue.
S z G z E z ( ) ( ) ( )= (11.49)
Fig. 11.22 Systme continu avec chantillonneur pulsation.
Dans le cas d'un systme physique, sa fonction de transfert continue Gs(s) est souvent
connue. Pour calculer la fonction de transfert chantillonne, on veut viter de rechercher la fonction
du temps correspondante, de la discrtiser, puis d'en chercher la transforme en z. On lui prfre le
passage direct de s ztabli au 11.A.6. Les ples et zros continus tant des valeurs particulires
de s , on peut leur appliquer la dfinition (11.A09) pour dfinir les ples chantillonns zpi et les
zros chantillonnszzj .
z ep Tpi i= (11.50)
z ezTzjj= (11.51)
On se propose d'illustrer notre propos par l'exemple d'un filtre du deuxime ordre qu'on veut
chantillonner.
G ss T s T
( )( )( )
=+ +
1
1 11 2(11.52)
Pour pouvoir appliquer la rgle de calcul (11.A30), il faut d'abord crire la fonction de
transfert continue dans sa forme somme, aprs avoir mis en vidence les plespi = Ti-1.
G sT T s p s p
( )( )( )
=
1 1
1 2 1 2(11.53)
G ss ( )yu* u'
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
26/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1120 2005-03-15
G sT T p p s p p p s p
( ) ( )=
1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 2 2(11.54)
On peut maintenant passer en z.
G z
T T p p
z
z z p p
z
z z
( ) ( )=
1 1 1
1 2 1 2 1 1 2p p2
(11.55)
avec z e z ep T p Tp p211 2= = (11.56)
On en tire la forme quotient.
))(()(
p21p21
p21p
zzzz
z
TT
zzzG
= (11.57)
Dans la pratique, on n'excite pas un systme concret par une suite d'impulsions de Dirac,
mais par une fonction escalier (11.1.2).
Fig. 11.23 Systme continu chantillonn travers un chantillonneur bloqueur (DAC).
La fonction du systme qui tient compte de l'lment de maintien peut tre calcule partir
de (11.04).
G s G s G se
sG s
sT
s m s s'( ) ( ) ( ) ( )= =
1
(11.58)
Le calcul n'est pas trivial, le produit n'tant pas conserv dans le passage de s z.
G z G z G z ( ) ( ) ( ) m s (11.59)
Pour faciliter le calcul, on dfinit Gi(s) l'intgrale de la fonction de transfert du systme, qu'on peut
aussi crire sous forme de somme.
G ss
G si s( ) ( )=1
G zi ( ) (11.60)
G sc
s pi
n
si
i( ) =
=
1
(11.61)
G ss
c
s p
c
p s s pi
n
i
ni
i
i
i
i i
( ) ( )=
=
= = 1 1 1
1 1
(11.62)
On applique le tableau des transformes (fig. 11.A03) pour calculer la fonction de transfert
chantillonne.
G zc
p
z
z
z
z z
c
p
z z
z z zi
n
i
n
ii
i pi
i
i
pi
pi( ) ( )
( )
( )( )=
=
= =
1 11
1
1(11.63)
On applique le thorme du retard cette fonction pour en tirerGs'(z).
( ) ( ) '( )1 =e G s G ssT i s G z zz
G zs i'( ) ( )= 1 (11.64)
G s' ( )s
1 24444 34444
G ss ( )yuu* u'
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
27/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach EIG 1121 2005-03-15
On peut tirer la rgle de calcul pour un systme command travers un convertisseur DAC modlis
par un chantillonneur bloqueur en injectant (11.63) dans (11.64).
G zz
z
c
p
z
z
z
z z
c
p
z
z zi
n
i
n
si
i pi
i
i pi
'( ) ( ) ( )=
=
= =
1
1
11
1 1
(11.65)
G zc
p
z
z zi
n
si
i
pi
pi'( )
( )
( )=
=
1
1(11.66)
Il faut relever que, pour une constante de temps Tk de Gs(s) infrieure T/5, le ple
chantillonn correspondant zpk est infrieur 10-2. On peut dans ce cas se simplifier le calcul de
Gs'(z) en ngligeant le terme "(1 + s Tk)" dans l'expression de Gs(s); cela est particuli-rement utile
lors d'un dimensionnement sans assistance d'ordinateur.
Fig. 11.24 Systme discret
Pour un systme purement numrique, on part de l'quation caractristique aux diffrences.
][*...]1[*
][*...]1[*][*][*
01n
01nn
nkyakya
nkubkubkubky
+++=
(11.67)
Ici encore le thorme du retard permet le passage dans l'espace z.
)(*...)(*
)(*...)(*)(*)(*
n0
11n
n0
11nn
zYzazYza
zUzbzUzbzUbzY
+++=(11.68)
On exprime la fonction de transfert discrte en appliquant (11.49).
)(*
)(*)(*
zU
zYzG = (11.69)
G zb b z b z
a z a z
* ( )...
...
=+ + +
+ + +
n n 11 n
n 1 n
0
1 01
(11.70)
Plutt que la forme dveloppe avec exposants ngatifs de z, on lui prfre souvent la forme
dveloppe avec exposants positifs.
G zb z b z b
z a z a* ( )
...
...=
+ + +
+ + +
nn
n 1n 1
nn
n 10
1 0
(11.71)
On ne signalera que les principales combinaisons de fonctions de transfert chantillonnes,
sans les dmontrer.
La fonction de transfert de deux systmes en srie, chantillonns par deux chantillonneurs
synchroniss, est le produit des fonctions de transfert de chaque systme.
G z( ) y*u*
-
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Jean-Marc Allenbach EIG 1122 2005-03-15
Fig. 11.25 Systme continu chantillonn en srie avec un systme discret.
G z G z G z ( ) * ( ) ( )= a b (11.72)
La fonction de transfert d'un systme boucl se calcule comme en continu.
Fig. 11.26 Circuit de rglage chantillonn.
G zG z G z
G z G z cfR s
R s( )
* ( ) ' ( )
* ( ) '( )=
+1(11.73)
Pour calculer l'effet d'une perturbation, on calcule d'abord la sortie dans l'espace continu. La
fonction de transfert de perturbation a t obtenue par manipulation de blocs selon le chapitre 3.
Y s G s W s Y s G s V s( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )= +0 sv (11.74)
Fig. 11.27 Circuit de rglage chantillonn avec perturbation.
On note Yv(z) la traduction en z du signal de sortie de Gsv(s).
Yv(z) Gsv(s)V(s) (11.75)
Y zG z G z W z Y z
G z G z ( )
* ( ) '( ) ( ) ( )
* ( ) '( )=
+
+R s v
R s
1(11.76)
G s' ( )
s
1 24444 34444
G zR ( )
G ssv( )
G ss ( )
w
y
w*
y*
yuyv
ucmu*cm u'cme*+
v
+
+
y* G s' ( )s
1 24444 34444
G zR ( ) G ss ( )
w
y
w*
ucmu*cm u'cme*+
G za( ) G sb( )
u yy*a y'au*
-
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Jean-Marc Allenbach EIG 1123 2005-03-15
11.3.2 Rponse harmonique chantillonne
La rponse harmonique continue a t dfinie comme la fonction de transfert continue dans
laquelle la variable s est purement imaginaire:j. On remplace donc s parj dans la dfinition de z
(11.A09).
z = ejT= ej (11.77)
z j= +cos sin (11.78)
Fig. 11.28 Variable ej dans le plan z.
On a introduit lapulsation rduite qui inclut la priode d'chantillonnage. Si, dans le plan
s, j dcrit l'axe imaginaire, on s'est content des valeurs positives pour le calcul de la rponse
harmonique en raison de la symtrie par rapport l'axe rel. Dans le plan zl'axe imaginaire est
envoy sur le cercle unit selon par la fonction complexe (11.77). En raison de la priodicit de cette
fonction, on a pas besoin de calculer jusqu' , mais on peut se limiter . Pour la mme raison
de symtrie des fonctions rationnelles en z, on se contente de calculer la rponse harmonique
chantillonne pour 0 .
G j G z z e
j( ) lim ( )
=
(11.79)
A titre d'exemple, on peut calculer la rponse harmonique chantillonne Tpour un filtre
RC continu actif du premier ordre.
G zz
z e T RC( )
/=
(11.80)
On obtient, en appliquant la dfinition, l'expression analytique de la rponse harmonique
chantillonne de ce filtre.
+
+=
sincos
sincos)(
/ je
jjG
RCT(11.81)
Il s'agit d'un demi-cercle suspendu l'axe rel. On relvera contrairement au cas continu que la
rponse harmonique chantillonne ne se termine pas l'origine, mais une valeur finie non nulle.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Plan z
-
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Jean-Marc Allenbach EIG 1124 2005-03-15
Fig. 11.29 Rponse harmonique chantillonne d'un filtre pour T/RC = 0,3.
On peut aussi prendre comme exemple un filtre numrique du deuxime ordre.
G zb z b z
z a z a* ( ) =
+
+ +
2 2 12
1 0
(11.82)
G jb b j b b
a a j a* ( )
cos cos ( sin sin )
cos cos (sin sin )
=
+ + +
+ + + +2 1 2 1
1 0 1
2 2
2 2(11.83)
Fig. 11.30 Rponse harmonique discrte de (11.83): a0 = 0,75 a1 = 1 b1 = 1 et b2 = 0,25.
11.3.3 Rponse indicielle chantillonne
La rponse indicielle chantillonne H(z) est le produit de la fonction de transfert avec un
saut unit chantillonn.
H z E z G z( ) ( ) ( )= (11.84)
[k] H zz
zG z( ) ( )=
1(11.85)
-3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0.5
0.8
=0
0.90.95
1
1.1
1.5
G*(j)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
G (j) =0
0.1
0.40.2
0.6
1
1.6
2
-
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Jean-Marc Allenbach 1125 22-03-2005
11.4 STABILIT
11.4.1 Dfinition
Lorsqu'on a un systme chantillonn boucl, il est ncessaire de pouvoir valuer sa stabilit,
comme on sait le faire pour un systme continu. On va donc partir de ce qu'on connat en continu
pour le traduire en chantillonn.
Fig. 11.31 Circuit de rglage chantillonn.
On peut dterminer la stabilit d'un systme continu en boucle ferme par l'tude de sa
fonction de transfert Gf(s). On a vu au chapitre 6 qu'il est ncessaire que tous les ples pi de Gf(s)
soient partie relle ngative.
p ji i i iavec=
-
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Jean-Marc Allenbach 1126 22-03-2005
Fig. 11.33 Domaine de stabilit pour les ples continus et chantillonns.
11.4.2 Critres
On peut aussi, comme en continu, tablir des critres portant sur la rponse harmonique en
boucle ouverte G0(j) pour dterminer le comportement du systme asservi.
Fig. 11.34 Systme chantillonn en boucle ferme.
Critre de Nyquist: On trace dans le plan complexe la rponse harmonique chantillonneen boucle ouverte et on applique comme en continu le critre du revers par rapport au point
1 pour dterminer le comportement en boucle ferme.
Fig. 11.35 Diagramme de Nyquist chantillonn.
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Go(j)
= 0 =
1
abc
Im Im
Re Re
stable instable
instable
stable
plans planz
1
G0(z)w k y[k]e* k
+
-
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Jean-Marc Allenbach 1127 22-03-2005
Dans la figure 11.35, le trac a correspond un systme stable en boucle ferme, le trac b
un systme en limite de stabilit et le trac c un systme instable. Un systme est stable si, en
parcourant la rponse harmonique pour des pulsations de 0 , le point 1 est laiss sur la
gauche.
Comme en continu, la marge de phase permettra de dterminer le dpassement D1 sur la
rponse indicielle.
M
M
M
=
=
45 16%
63 5%
76 0%
1
1
1
D
D
D
(11.90)
On prendra encore garde respecter une marge de gain AM assez confortable. (on rappelle
qu'il s'agit du nombre par lequel il faut multiplierG0 pour amener le systme en limite de stabilit).
AM > 2 5... (11.91)
Critre de Bode: par extension, on peut aussi appliquer ce critre en jouant sur le rapportde pulsations entre celle dfinie par un module unit de la rponse harmonique en boucle ouverte et
celle dfinie par la cassure entre la pente de 1 et celle de 2.
On dsire par rapport la stabilit dfinie ( 11.4.1) pouvoir tre plus prcis sur le
comportement dynamique.
Critre d'Evans: Dans le plan s, on a dfini des marges de stabilit absolue et relative. Ils'agit de les traduire dans le plan z.
Le temps de rponse maximal accept impose que tous les ples du systme asservi se
trouvent gauche d'une verticale dfinie par i.
p j yiy = (11.92)
Dans le plan z, cela correspond un cercle de rayon e Ti centr l'origine.
z e eT jyT yi= (11.93)
Ces deux limites sont dessines en traitill sur les figures 11.36 et 11.37. Les tronons
renforcs en trait gras (bleu) sont correspondantes dans les plan s et z.
Un dpassement de 5 % sur la rponse indicielle correspond une marge de stabilit relative
de = 45 dfinissant deux droites affines dans le plan s.
p jx = (11.94)
-
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Jean-Marc Allenbach 1128 22-03-2005
Dans le plan z, cela correspond une cardiode, ou plutt deux spirales symtriques par
rapport laxe rel (Figure 11.A.9).
z e xT jx = ( )1 (11.95)
Ces deux limites sont dessines en trait mixte sur la figure 11.36. Les parties renforces en trait gras
(rouge) sont correspondantes dans les plan s et z.
Fig. 11.36 Critre d'Evans dans les plans s et zpour un comportement optimal.
Un dpassement de 16 % sur la rponse indicielle correspond une marge de stabilit
relative de = 30 dfinissant deux droites affines dans le plan s.
zx
j xx = 3
(11.96)
Dans le plan z, cela correspond une cardiode.
z exT j
x = ( )
1
3 (11.97)
Ces deux limites sont dessines en trait gras sur la figure 11.37.
Tous les ples du systme devront donc se trouver dans la zone trame (jaune) limite parzx
et zy pour respecter les exigences de temps de rponse et de dpassement prescrites par le cahier
des charges.
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Z
ecliT
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
j/T
S
cli
cli
-
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Jean-Marc Allenbach 1129 22-03-2005
Fig. 11.37 Critre d'Evans dans les plans s et zpour un comportement unipriodique.
Pour viter tout dpassement, les ples continus doivent tre rels.
px = (11.98)
Dans le plan, cela correspond des nombres rels positifs infrieurs 1.
z e xTx = (11.99)
Plus gnralement, pour un dpassement maximal 0 % < D1max < 100 %, on a aussi des
droites affines.
pD
j xx = (ln[ max]
)1
(11.100)
z exT
Dj
x = (
ln)
max1
(11.101)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Z
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
j/T
S
cli
cli
-
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11. 5 REGULATEURS DISCRETS
11.5.1 Rgulateurs classiques
Les rgulateurs peuvent tre reprsents par une fonction de transfert chantillonne:
quotient de polynmes en z de degr 0 2. Leur expression dans le temps discret avait dj
t exprime au paragraphe 11.2.1, de mme que leurs algorithmes de calcul.
G zS z
R z
K z z
z z
zkk
p
phh
qR
R
* ( )( )
( )
( )
( )
= =
=
=
1
1
(11.102)
Pour les rgulateurs classiques, tantp que q ne peuvent prendre que les valeurs 0, 1 ou
2. Les valeurs dezph ne peuvent tre que 0 ou 1. On a rsum les rgulateurs classiques dans
un tableau, dans lequel on constate queR(z) est entirement dfini ds qu'on a choisi le type
de rgulateur.
Rgulateur R(z) S(z) b2 b1 b0
P 1 b0 KpI z1 b1z Ki PI z1 b1z+b0 Ki+Kp KpPID z(z1) b2z
2+b1z+b0 Ki+Kp+Kd (Kp+2Kd) Kd
PD z b1z+b0 Kp+Kd KdPD
2z b2z
2+b1z+b0 Kp+Kd+Kd2 (Kp+2Kd2) Kd2
Fig. 11.38 Rgulateurs classiques.
11.5.2 Autres rgulateurs
D'autres rgulateurs auront galement une fonction de transfert sous forme de quotient
de polynmes de degr non limit 2. Les rgulateurs RST sont de plus quips d'un filtre de
consigne Gfl.
G z
T z
S zfl *( )
( )
( )= (11.103)
-
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11. 6 DIMENSIONNEMENT
11.6.1 Choix d'un rgulateur classique
Comme pour les rgulateurs continus, on choisit un rgulateur chantillonn d'aprs la
fonction de transfert du systme rgler, qui sera ici chantillonne avec lment de
maintien.
G zN z
D z
K z z
z zs
s
s
zjj
m
pii
n' ( )
( )
( )
( )
( )
= =
=
=
s1
1
(11.104)
L'ide matresse comme en continu est de compenser certains ples du systme
rglerzpi par les zroszzk du rgulateur classique. On observera un certain nombre de rgles:
on ne compense pas un ple dcrivant une intgration pure (1), on ne compense que les
ples dominants, et pas ceux de faible influence. Qu'entend-on parples dominants? On les
mettra en relation avec les ples continus. On peut ajouter encore le cas les trs petits ples,
qu'on peut simplifier dans le calcul manuel: on diviseNs(z) etDs(z) par (z zpi), en ngligeantle reste du numrateur.
Ples dominants compenser: 1 >zpi > 0,82 < = > 1/pi > 5T
Ples ne pas compenser: zpi < 0,82 < = > 1/pi < 5T
Ples simplifier: zpi < 6,7 10-3 < = > 1/pi < T/5
Ayant choisi les ples compenser, on a entirement dtermin le rgulateur,
l'exception deKR. D'aprs les relations (11.102) et (11.104), on peut exprimer la fonction detransfert en boucle ouverte et y appliquer les critres de stabilit vus la section 11.4. Les
tableaux 11.39 et 11.40 guident le bon choix du rgulateur.
G z G z G z K N z
D zR s00
0
( ) * ( ) ' ( )( )
( )= = R (11.105)
Systme rgler
sanscomportement intgral
aveccomportement intgral
plus petite constante detemps non compense
S(z) K D zR s ( ) KD z
zRs ( )
1 K
D z
z zR
s
pn
( )
ns = 1 PI P I
ns = 2 PID PD PI
ns = 3 PD2 PID
Fig. 11.39 Guide de choix de rgulateurs classiques.
-
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G zN z
D zss
s
' ( )( )
( )=
deg[Ds(z)] = n
zpi>0,82 i = 0...k< n
k = 0 k =1 k= 2 k 3
zp1 1 zp1 1 zp2
zp1 = 1 zp2 = 1 zp3 = 1
P PD PD2
S(z) =KR S(z) = KR(zzp1) S(z) =KR(zzp1)(zzp2)
I PI PID
S(z) =KR S(z) = KR(zzp1) S(z) =KR(zzp1)(zzp2)
G0(z) = GR*(z) Gs(z)
choix de la
mthode
Rponse harmonique chantillonne Lieu des ples chantillonn
calcul deKR
Fig. 11.40 Dimensionnement dun rgulateur chantillonn.
Aprs avoir dtermin, G0(j), il ne reste donc qu' dterminerKR.
-
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11.6.2 Critre de Nyquist
Comme dans le cas continu, le critre porte sur la rponse harmonique en boucle
ouverte pour dterminer la stabilit du systme rgl Gcf(z). Pour appliquer ce critre on
dfinit une fonctionF(j):
RKjGjF )()( 0 = (11.106)
On traceF() et on cherche son intersection la pulsationx avec la demi-droite
dfinie par la marge de phase M =x + 180, d'o on dtermineKR.
[ ] [ ]=
=
xjF
jFKR
)(argavec
)(1
x
x } (11.107)
On vrifie encore que, pour cette valeur de KR, on observe une marge de gain AM
suprieure 6 [dB] (facteur 2).
[ ] =
180)(argavec
5,0)(
1800
1800
jG
jG} (11.108)
On rappelle les valeurs de phase:
x 104 pour une rponse indicielle sans dpassement (D1 = 0 %)
x = 116,5 (~120) pour une rponse indicielle optimale (D1 = 5 %)
x = 135 pour une rponse indicielle unipriodique (D1 = 17 %)
Fig. 11.41 Exemple du critre de Nyquist pour comportement optimal (x = 120).
-1 -0.5 0 0.5-1
-0.5
0
0.5
arg(F(jx))
M
F(j)
G0(j)
|F(jx)|
AM
-
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11.6.3 Critre de Bode
Comme dans le cas continu, il existe une relation entre le rapport c/1 et ledpassementD1 sur la rponse indicielle de Gcf(z).
Fig. 11.42 Rponse harmonique continue (module).
Dans le cas prsent, la forme de la rponse harmonique chantillonne compose de
nombres complexes de la forme coszpi + j sin ne permet pas un trac manuel simplepar segments de droites. On aura recours une aide informatique. La difficult est de
dterminerc. On sait que la phase peut tre approxime 90 lorsque la pente du module
vaut 1 et 180 lorsqu'elle vaut 2; c, on peut l'admettre 135 (voir vol. 1, chap. 3 et
4). On lirac sur le graphe de phase lorsque celle-ci vaut 135. On dtermine1 alorsd'aprs le comportement dynamique recherch:
c/1 =c/1 4 pour une rponse indicielle sans dpassement (D1 = 0%)
c/1 =c/1 = 2 pour une rponse indicielle optimale (D1 = 5%)
c/1 =c/1 = 1 pour une rponse indicielle unipriodique (D1 = 17%).
Il reste lire la valeur du module pour 1, ce qui permet de calculerKR.
KFR
= 1( )1
(11.109)
100
101
102
103
104
-300
-200
-100
0
Fr uence rad/s
Phase[]
( 73.7846 , -135 )Wc
100
101
102
103
10410
-10
100
Fr quence [rad/s]
Amplitude
Diagramme de Bode : Go(z)= ----------------------------------------------------------------------2*5.0337e-005*(z+0.98842)(z-0.96923)*(z-0.9963)
( 36.8924 , 0.29678 )W1
Fig. 11.43 Exemple du critre de Bode pour comportement optimal.
log|G(j)|
1 =1
Tc
c
T=
log
|Go(j)|
-
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11.6.4 Critre d'Evans
Comme dans le cas continu, on peut exprimer l'quation (11.110) des ples en boucle
ferme partir de la fonction de transfert en boucle ouverte (11.105).
0 0 0= +K N z D zR ( ) ( ) (11.110)
On doit tracer le lieu des ples et le superposer la zone du plan complexe limite
par le contour d'Evans dans laquelle tous les ples doivent se trouver pour que le cahier des
charges soit respect (fig.11.36 et 11.37). Les intersections du lieu des ples avec le contour
d'Evans donnent les valeurs extrmes de KR permettant le respect du cahier des charges. Le
trac du lieu et la recherche des intersections sont toutefois plus ardus que dans le plan
continu, ce qui impose l'aide de mthodes numriques programmes. On choisira ensuite
librement une valeur deKRcomprise entre les extrmas calculs.
Fig. 11.44 Critre d'Evans.
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
KRmax
KRmin
KR
-
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Jean-Marc Allenbach 1136 01-03-2006
11.6.5 Calcul des coefficients du rgulateur
Le dimensionnement des paragraphes prcdents donne le rgulateur sous forme de
zros de ples et de gain. L'algorithme programm l'exprime par des coef-ficients (sect.
11.2), mis en vidence au tableau 11.38. L'exemple pour un PID est prsent ci-dessous, pour
les autres rgulateurs, on procdera de la mme manire:
S z K K K z K K z K K z z z z p p( ) ( ) ( ) ( )( )= + + + + = i p d p d d R 2
1 22 (11.111)
K K z z
K K z z K K z z z z
K K K K K z z z z
p p
p p p p p p
p p p p
d R
p R d R
i R p d R
=
= + = +
= = +
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1
( ) ( )
( )
} (11.112)
11.6.6 Rgulateurs en simulation
On peut introduire les rgulateurs dans une simulation MATLAB. Pour la forme Zero-Pole, c'est immdiat.
zros
poles
gain
p1 p2
R
=
=
=
[ ]
[ ]
z z
K
0 1 (11.113)
Pour la forme Transfer Fcn , le calcul reste simple.
num
den
R R p1 p2 R p1 p2= +
=
[ * ( ) * * )]
[ ]
K K z z K z z
1 1 0(11.114)
11.6.7 Autre imposition des zros
Plutt que de compenser les ples dominants diffrents de 1 du systme rgler,
on peut aussi imposer selon d'autre critres les zros du rgulateur, par exemple en
privilgiant le comportement dynamique face en une perturbation en s'inspirant des rflexions
des paragraphes 8.3.4 et 8.4.5 . On se base sur le petit ple quivalent zppE.
4ppEzR1 zz = (11.115)
Il faut toutefois rappeler que, dans ce cas, ce zro se retrouve parmi les zros du
systme global, provoquant un dpassement accru sur la rponse indicielle par rapport celui
qu'on obtiendrait avec les ples seuls ( 6.6.5 et 8.3.4).Il faut donc ajouter un filtre de
consigne qui admet un ple gal au zro subsistant dans le systme en boucle ferme. Cette
structure de rgulateur avec filtre de consigne peut tre considr comme un rgulateur RST
minimal.
Il se peut qu'on ne trouve pas de valeur de gain KR qui permette le respect simultan
des conditions du cahier des charges: certains ples demeurent hors du contour d'Evans. On
-
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Jean-Marc Allenbach 1137 01-03-2006
peut alors ajouter au rgulateur une paire zrople (diple) de manire rapprocher du
centre du disque de rayon eT le lieu des ples en boucle ferme. L'effet de contraction du
lieu des ples est obtenu si le zro occupe l'extrmit droite du diple [20].
11.6.8 Imposition des ples en boucle ferme
On peut aussi s'inspirer des mthodes dveloppes la section 8.4 en choisissant unepaire de ples dominants en boucle ferme l'intersection du cercle et de la cardiode dfinis
par le cahier des charges. Le rgulateur peut ensuite tre construit l'aide des conditions des
angles et des modules. On se souvient qu'un rgulateur PI admet un ple 1 et un PID deux
ples 1 et 0. Les zros du rgulateur se construisent alors par la condition des angles et son
gain se calcule par la condition des modules. Seul un zro du rgulateur est effectivement
calcul, le deuxime d'un PID doit tre choisi par l'utilisateur, par exemple pour compenser
celui des ple qui est le plus proche de 1.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.40.45
zpf1
Fig. 11.45 Ples (x) et zros (o) en boucle ouverte et ple impos (+) en boucle ferme.
Lorsque le cahier des charges ne peut pas tre atteint avec seulement deux zros du
rgulateur situs entre 0 et 1, il faut faire appel un rgulateur polynomial pour lequel il faut
choisir un troisime ple, l'origine ou en tout cas tout proche de zro, comme dj
mentionn au paragraphe prcdent. Le choix d'un deuxime zro permet de contracter le lieudes ples en boucle ferme et ainsi d'obtenir par calcul un troisime zro infrieur 1.
L'exprience professionnelle peut conduire d'autres choix que la compensation du
ple dominant, en particulier lorsqu'on veut la fois obtenir de bonnes performances face aux
variations de consigne et face aux variations de perturbation.
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1138 01-03-2006
11.6.9 Filtre de consigne et RST
Si on dimensionne le rgulateur polynmes R(z) et S(z) pour privilgier le
comportement dynamique lors de l'intervention d'une perturbation, comme cela est voqu
aux deux paragraphes prcdents, on peut tre conduit adjoindre un filtre de consigne pour
que le comportement face une variation de consigne soit convenable. En effet, un
dimensionnement privilgiant un bon rattrapage de consigne aboutit souvent une rponse
indicielle de consigne apriodique fort dpassement, d la subsistance d'un zro en boucleferme par le rgulateur. L'ide est de compenser ce zro de transmission par un ple au filtre
de consigne qui admet un zro l'origine, en veillant prserver un gain unit. Pour un
rgulateur RST, les ples du filtre sont identiques aux zros du rgulateur, dont certains ne
sont peut-tre pas gnants en boucle ferme, les ples du filtre qui ne compensent pas des
zros en boucle ouverte ont pour effet un ralentissement malvenu du rglage. L'astuce
consiste placer des zros dans T(z) pour annuler les ples qu'on ne veut pas introduire dans
le filtre de consigne. La rgle du gain unit du filtre doit en tout cas tre observe. Les
ouvrages de rgulation proposent d'autres stratgies plus sophistiques de
dimensionnement de rgulateur RST, mais qui ne donnent pas un rsultat unique et requirent
aussi des choix arbitraires du concepteur [20].
Cette stratgie du filtre de consigne peut aussi tre applique lorsque le systme
rgler n'est pas connu de manire analytique et qu'on a dimensionn le rgulateur par Chien-
Hroner-Reswick ou Ziegler-Nichols (sect. 8.2) puis converti dans le plan chantillonn (
11.2.2). Le choix du filtre peut tre ici un peu plus laborieux, par notre mconnaissance du
processus, mais l'ide reste de compenser le zro du rgulateur qui subsiste en boucle
ferme, en particulier avec Chien-Hroner-Reswick par un ple du filtre de consigne.
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1139 02-07-2003
11. 7 EXEMPLES DE DIMENSIONNEMENT DE RGULATEURS DISCRETS
11.7.1 Systme rgler et spcifications pour le systme rgl.On prend un exemple de systme rgler.
Fig. 11.701 Systme rgler.
On exprime les exigences du cahier des charges pour:
La consigne: temps de rponse infrieur tr= 40 [ms] et dpassement
infrieur D1 = 5 %.
Une perturbation de 0,1: cart de rglage infrieur e = 0,25 et temps de correction
infrieur tcp = 100 [ms].
On veut assurer le rglage avec un microcontrleur dont la priode d'chantillonnage
est fixe 2 [ms] et qui excute un calcul signal de sortie en 50 [s]On tablit la fonction de transfert du systme rgler travers le convertisseur DA.
G zz z
z z zs' ( )
, ( . )( , )
( , )( , )( , )=
+ +
2 1712 10 3104 0 2190
0 5134 0 9048 0 9941
3
(11.701)
11.7.2 Compensation des ples dominants du systme rgler.On applique la compensation dcrite au paragraphe 11.6.1.
G z Kz z
z zR R*( )
( , )( , )
( )
=
0 9048 0 9941
1
(11.702)
On fait calculer le lieu des ples en boucle ferme, en partant de la fonction de
transfert en boucle ouverte G0(z) =GR*(z)Gs'(z), selon la mthode dcrite au paragraphe
11.6.4 pourKR [4,5 ; 9].
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Diagramme de Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)/(z*(z-1)*(z-0.5134))
Fig. 11.702 Lieu des ples avec rgulateur (11.702).
5
1 0 02+ s , 8
1 0 34+ s ,1
1 0 003+ s ,
v
u y
++
-
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1140 02-07-2003
Tout choix l'intrieur de l'intervalle permet de respecter le cahier des charges. On
choisit la valeur suprieure.
G zz z
z zR* ( )
( , )( , )
( )=
90 9048 0 9941
1(11.703)
On vrifie le comportement dynamique, avec une perturbation qui intervient 100 [ms]aprs la variation de consigne.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2( 0.12332 , 1.2346 )
( 0.026108 , 1.0452 )
( 0.017592 , 0.95 )
Fig. 11.703 Comportement dynamique avec rgulateur (11.703).
Si le comportement dynamique face une perturbation donne satisfaction (D1 = 4,5 %
et tr = 17,6 [ms]), le comportement dynamique face une perturbation est insuffisant. Certes
l'erreur maximale n'est pas dpasse, mais sa correction met beaucoup trop de temps.
A partir de (11.702), on peut aussi faire tracer la rponse harmonique selon la mthode
dcrite au paragraphe 11.6.3 pour KR = 1. On applique ensuite le critre du rapport de
pulsation.
100
101
102
103
104
-400
-300
-200
-100
0
Phase []
( 164.6203 , -135 )
100
101
102
103
104
10-10
100
Frquence [rad/s]
Amplitude
Diagramme de Bode : Go(z)= -----------------------------------------------------------------------2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)(z*(z-1)*(z-0.5134))
( 82.3102 , 0.1313 )
Fig. 11.704 Rponse harmonique avec rgulateur (11.702).
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1141 02-07-2003
Pour la moiti de la pulsation de cassure c = 164 [s1], on observe un module de
0,1313. On adopte donc KR = 1/0,1313 = 7,6.
G zz z
z zR* ( ) ,
( , )( , )
( )=
7 60 9048 0 9941
1 (11.704)
A partir de (11.702), on peut aussi faire tracer la rponse harmonique selon la mthodedcrite au paragraphe 11.6.2 pourKR = 1. On applique ensuite le critre de la marge de phase.
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Diagramme de Nyquist chantillonn: Go = -----------------------------------------------. e- z+ . z+ .
(z*(z-1)*(z-0.5134))
( 0.11358 , -116.5 )
Fig. 11.705 Rponse harmonique avec rgulateur (11.702).
Pour une marge de phase M = 63,5 [], on observe un module de 0,1136. On adoptedonc KR = 1/0,1136 = 8,8.
G zz z
z zR* ( ) ,
( , )( , )
( )=
8 80 9048 0 9941
1(11.705)
Avec ces rgulateurs, on obtient quasiment le mme comportement qu' la figure
11.703, avec un dpassement un tout petit peu plus faible par le dimensionnement de Bode.
11.7.3 Calcul pseudocontinuOn part de la fonction de transfert de la figure 11.701. On compense les deuxconstantes de temps dominantes du systme rgler par celles du rgulateur.
G ss s
s TR i( )
( , )( , )=
+ +1 0 02 1 0 34(11.706)
On calcule la constante de temps d'intgration selon le critre de Bode optimal.
T K Ti s pE s= = + + =2 2 40 0 003 0 001 0 001 0 4( , , , ) , [ ] (11.707)
De l on peut calculer la fonction de transfert chantillonne.
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1142 02-07-2003
K K
K
i
d
p= = =+
=
= =
0 002
0 40 005
0 34 0 02
0 40 025 0 895
0 34 0 02
0 002 0 4
0 895
2
0 005
48 05
,
,,
, ,
,, ,
, * ,
, * ,
, ,,
(11.708)
G z z zz zR
* ( ) , ( , )( , )( )=
8 95 0 9941 0 90471
(11.709)
Le rgulateur obtenu est extrmement proche de ceux obtenus par les
dimensionnement d'Evans et de Nyquist. Le comportement dynamique ne prsente pas de
diffrence perceptible par rapport celui obtenu par Evans (fig. 11.703).
11.7.4 Imposition de zro diffrent d'un ple du systme rglerOn essaye un choix de zro selon 11.6.7.
zzR1 = =0 5134 0 84354 , , (11.710)
On compense le deuxime ple par l'autre zro du rgulateur.
G z Kz z
z zR R*( )
( , )( , )
( )=
0 9048 0 8435
1(11.711)
On fait tracer les lieu des ples pourKR [4,5; 20].
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Diagramme de Evans de2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.8465)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9941))
Fig. 11.706 Lieu des ples avec rgulateur (11.711).
On choisit KR= 9 qui correspond la valeur la plus proche du cahier des charges, mais
on s'attend des valeurs plus leves que requises, tant pour le dpassement que pour le
temps de rponse.
G zz z
z zR*( )
( , )( , )
( )=
9
0 9048 0 8435
1(11.712)
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1143 02-07-2003
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 ( 0.025775 , 1.5721 )
( 0.071672 , 0.95 )
Fig. 11.707 Comportement dynamique avec rgulateur (11.712).
Comme prvu, on observe un trs fort dpassement (57 %) et un long temps de
rponse (72 [ms]): aux ples complexes forte composante imaginaire s'ajoute l'effet du zro
voisin. On ajoute donc un filtre de consigne pour compenser ce zro.
G zz
zlc*( )
,
,=
0135
0 8435(11.713)
0 0 .0 5 0 .1 0 .15 0 .2 0 .2 5 0 .3
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
( 0 . 037903 , 1 . 2321 )
Fig. 11.708 Comportement dynamique avec rgulateur (11.712) et filtre de consigne (11.713).
Le filtre de consigne a certes contribu rduire le dpassement, mais la forte
partie imaginaire des ples reste prpondrante. On essaye un nouveau choix de zro, plus
droite, donc plus actif.
)1(
)9048,0)(8920,0()(* RR
=
zz
zzKzG (11.714)
On fait tracer le lieu des ples en boucle ferme pourKR [4,5 ;12].
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1144 02-07-2003
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Diagramme de Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.892)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9941))
Fig. 11.709 Lieu des ples avec rgulateur (11.714).
On exprime les ples en boucle ferme pour la valeurKR=12.
polebf = 0.8460+0.2244i 0.84600.2244i 0.8147 0.0253(11.715)
Le zro 0,8435 subsiste en boucle ferme. On prvoit d'emble un filtre de consigne.
G zz
zlc*( )
,
,=
0135
0 8435(11.716)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
( 0.036192 , 1.0461 )
( 0.026958 , 0.95 )
( 0.11531 , 1.1739 )
( 0.15017 , 0.99 )
Fig. 11.710 Comportement dynamique avec rgulateur (11.714) pourKR= 12, avec filtre (11.716).
On a obtenu cette fois le comportement dsir: l'effet du zro est compens par le ple
du filtre de consigne et celui des ples complexes forte partie imaginaire est contrecarr parle ple rel voisin 0,8147.
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
51/84
Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1145 02-07-2003
11.7.5 Imposition des ples en boucle fermeOn dfinit les ples et zros du systme rgler selon (11.701) On fixe le ple
dominant en boucle ferme selon le cahier des charges pour la rponse indicielle de consigne.
D
t p
1
r f1ms
=
= = =
5% 45
402 1
0 04 52 5
[ ] PE( ),
, , = p jf1 52 5 52 5, , (11.717)
On en dduit le ple dominant dans le plan z.
z e jp Tpf1 = = +1 0 8954 0 0944, , (11.718)
A priori, on choisit un rgulateur PID, ce qui impose deux ples 0 et 1 en boucle
ouverte.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Diagramme d'Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9048)*(z-0.9941))
0,8954+0,0944j
Fig. 11.711 Ples (x) et zros (o) en boucle ouverte et ple impos (+) en boucle ferme.
On calcule l'angle total d aux zros du rgulateur par la condition des angles.
tot R1= + + + + + = 180 203 61 2 3 2 1 2R , (11.719)
On choisit de compenser le ple dominant parzn, ce qui dtermine zv.
zn = 0 9941, (11.720)zv = 0 8560, (11.721)
On calcule le gain par la condition des modules. Le rgulateur est alors entirement
dfini.
G zz z
z zR* ( ) ,
( , )( , )
( )=
4 7560 9941 0 8560
1(11.722)
On vrifie si le comportement dynamique est conforme aux attentes.
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7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1146 02-07-2003
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
( 0.044797 , 1.0937 )
( 0.13196 , 1.3328 )
Fig. 11.712 Comportement dynamique avec rgulateur (11.722) sans filtre de consigne.
Le cahier des charges n'est respect ni pour le dpassement face la variation de
consigne ni pour le comportement face une variation de perturbation. Pour expliquer, on fait
tracer le lieu des ples en boucle ferme.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.856)*(z-0.9941)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9048)*(z-0.9941))
Fig. 11.713 Ples (+) et zros (o) en boucle ferme avec rgulateur (11.722).
Outre la paire de ples qu'on a impose, on observe le zro non ngligeable en 0,856
d au rgulateur qui est responsable du dpassement et un ple issu de 0,5134 en 0,63
dont l'effet est insuffisant pour limiter le dpassement. On pourrait placer un filtre de
consigne, mais cela ne rglerait pas le problme de la lenteur de correction de l'cart d la
perturbation. On prfre donc choisir un zro de manire obtenir en boucle ferme un diple
dont le ple est gauche. On place le zro entre 0,9941 et 0,9048, d'o on calcule l'autre.
zn = 0 92, (11.723)zv = 0 9103, (11.724)
KR = 7 1409, (11.725)
On en tire le rgulateur.
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
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Asservissements digitaux
Jean-Marc Allenbach 1147 02-07-2003
G zz z
z zR* ( ) ,
( , )( , )
( )=
7 1410 92 0 9103
1(11.726)
On place encore un filtre de consigne estim sans trop d'investigation pour compenser
l'effet des zros en garantissant un gain unit.
G zzlc
* ( ),
,=
0 075
0 925(11.727)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
( 0.12144 , 1.2417 )
( 0.046164 , 0.95 )
Fig. 11.714 Comportement dynamique avec rgulateur (11.726) avec filtre de consigne (11.727).
Cette fois, le cahier des charges est respect pour la consigne et pour une perturbation.
Par cet exemple trait par diffrentes mthodes, on a pu dmontrer que chacune d'entre
elles peut tre applique, sous rserve d'une approche soigneusement rflchie si on veut
obtenir de bonnes performances tant pour le comportement dynamique en prsence de
perturbation que pour le comportement face un changement de consigne.
On peut, pour le filtre de consigne, entrer compltement dans la conception de
rgulateur RST en choisissant S(z) pour le dnominateur du filtre. On a choisi ensuite un zrovoisin pour garantir un dpassement de consigne infrieur 5 % et un gain unit du filtre.
Ce choix s'est fait de manire pragmatique.
G zz
z zlc* ( )
, ( , )
, ( , )( , )=
0 51 0 9
7 141 0 92 0 9103(11.728)
-
7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux
54/84
Asservissements digitaux