VJEZBE-1,2,3,4,5,6

BETONSKE KONSTRUKCIJEBETONSKE KONSTRUKCIJE

VEVEŽŽBA br. 1BA br. 1

-- UvodUvod-- Pravila za armiranjePravila za armiranje-- Sidrenje i nastavljanje armatureSidrenje i nastavljanje armature

UVODUVOD

CILJ PROJEKTOVANJACILJ PROJEKTOVANJASA SA ZADOVOLJAVAJUZADOVOLJAVAJUĆĆIM STEPENOM SIGURNOSTI IM STEPENOM SIGURNOSTI KONSTRUKCIJA TREBA DA IZDRKONSTRUKCIJA TREBA DA IZDRŽŽI OPTEREI OPTEREĆĆENJA I ENJA I DEFORMACIJE TOKOM IZGRADNJE I UPOTREBE, DA IMA DEFORMACIJE TOKOM IZGRADNJE I UPOTREBE, DA IMA ADEKVATNU TRAJNOST I OTPORNOST NA SPOLJAADEKVATNU TRAJNOST I OTPORNOST NA SPOLJAŠŠNJE NJE UTICAJE.UTICAJE.SAM PRORASAM PRORAČČUN NE GARANTUJE SIGURNOST I TRAJNOST. UN NE GARANTUJE SIGURNOST I TRAJNOST. PODJEDNAKO VAPODJEDNAKO VAŽŽNI SU I KVALITET MATERIJALA, KONTROLA I NI SU I KVALITET MATERIJALA, KONTROLA I NADZOR TOKOM IZGRADNJENADZOR TOKOM IZGRADNJEKONSTRUKCIJA TREBA DA JE EKONOMIKONSTRUKCIJA TREBA DA JE EKONOMIČČNA ZA IZGRADNJU, NA ZA IZGRADNJU, ODRODRŽŽAVANJE I SANACIJEAVANJE I SANACIJE

PonaPonaššanje nearmiranog betona pri optereanje nearmiranog betona pri optereććenjuenjuKako spreKako spreččiti lom nakon otvaranja prsline?

NEARMIRANI BETONNEARMIRANI BETON

iti lom nakon otvaranja prsline?

ARMATURAARMATURAStatička armatura – podužna,kosa i poprečnaKonstruktivna armaturaKonstruktivna armatura

ARMIRANI BETONARMIRANI BETONPoPoččetak primene sredina 19 vekaetak primene sredina 19 vekaŠŠta ta ““nosinosi”” beton, a beton, a ššta armatura?ta armatura?Kako se obezbeđuje zajedniKako se obezbeđuje zajedniččki rad betona i ki rad betona i ččelika?elika?

Prirodna hrapavost Prirodna hrapavost ččelikaelikaHemijska adhezijaHemijska adhezijaTermiTermiččki koeficijent ki koeficijent šširenja pribliirenja približžno istino istiZaZašštita od korozijetita od korozije

PREDNOSTIPREDNOSTIVelika primena u svim oblastima građenjaVelika primena u svim oblastima građenjaOblikovanje, ugrOblikovanje, ugrađivanjeađivanje, monta, montažžaaTrajnost, odrTrajnost, održžavanje, sanacijeavanje, sanacijeDinamiDinamiččka optereka optereććenjaenjaPrednaprezanjePrednaprezanjePoPožžar ar –– otpornost na kratkotrajne visoke temp.otpornost na kratkotrajne visoke temp.

NEDOSTACINEDOSTACI

Velika sopstvena teVelika sopstvena težžinainaOteOtežžana gradnja u zimskim mesecimaana gradnja u zimskim mesecimaPrslinePrslinePoPožžararIzolaciona svojstvaIzolaciona svojstva

PRAVILA ZA ARMIRANJEPRAVILA ZA ARMIRANJE

VRSTE VRSTE ČČELIKA ZA ARMIRANJEELIKA ZA ARMIRANJEGA 240/360 (GA 240/360 (ØØ55→→ ØØ32) 32) RA 400/500RA 400/500--1(R1(RØØ66→→ RRØØ40)40)RA 400/500RA 400/500--2(R2(RØØ66→→ RRØØ40)40)MAG 500/560MAG 500/560MAR 500/560MAR 500/560BI 680/800BI 680/800


ZaZašštitni sloj betona do armature obezbeđuje titni sloj betona do armature obezbeđuje ::ZaZašštitu armature od korozijetitu armature od korozijeNeophodnu adheziju između betona i Neophodnu adheziju između betona i ččelikaelika

Tip sredine u kojoj se nalazi AB:Tip sredine u kojoj se nalazi AB:Slabo agresivne Slabo agresivne

aaoo=1.5cm =1.5cm –– plopločče, zidovie, zidoviaaoo=2.0cm =2.0cm –– grede, stubovigrede, stubovi

Srednje agrersivne (aSrednje agrersivne (ao o + 0.5cm)+ 0.5cm)Jako agresivne (aJako agresivne (ao o + 1.5cm)+ 1.5cm)


RASPORED ARMATURERASPORED ARMATUREČČIST RAZMAK IST RAZMAK ŠŠIPKIIPKISIMETRIJASIMETRIJA

8.8

30

7.67.6

7.6

14.8

5.3

6.4 6.4

30

8.6

5.4

9.7

30

5.3

7.6

8.8

9.7 5.3

5.3

3.2

3.2

10.44.4

3.2

4.4

4.4

6.43.2

5.4

4.4

4.4

8.6 8.6 8.6

30

6.46.4

4.23.2

5.3

5.4

5.4

3.2

3.2

4.6

7.1

30

7.9

3.9

68.

3

7.1 7.9

3.9

3.9

4.73

4.6

30

20.8

2.5

3x5.

24.

6

4.6

2.5

3

RASPOREÐIVANJE ARMATURE U PRESEKUVARIJANTE SA POJEDINACNIM I GRUPISANIM ŠIPKAMA

6.4

5.8

5.8 9.2 5.8

30

14.4

6.8

6.4

7.8 7.8

30

8.6

7.1

5.85 5.85

30

9.15 9.15

3.6

3.6

6.653.6

44

4 8.8 3.2 6

3.2

3.2

6.46.8

9.2

5.8

5.8

5.2

30

4.33

20.5 4.75

114.

75

4.75

2.52.

53

30

3.73

19.6 5.25.2

2.8

3

2.8

4.15

7.9

30

7.1

6.1

5.85

7.97.1

3.6

3.6

3.6

6.1

5.85

30

6.1

8.6

7.1

3.6

5.85

3.6

3.6

3.6

5.85

8.6

5.85

6.1 5.85

3.6

30

3.6

3.6

6.1 6.1

3.6

6.1 6.1

RASPOREÐIVANJE ARMATURE U PRESEKUVARIJANTE SA POJEDINACNIM I GRUPISANIM ŠIPKAMA

RASPORED ARMATURE U PRESECIMA RAZLICITE ŠIRINE


OBLIKOVANJE ARMATUREOBLIKOVANJE ARMATUREPRAVE PRAVE ŠŠIPKEIPKEŠŠIPKE SA KUKAMAIPKE SA KUKAMAPRAVILA ZA POVIJANJE PRAVILA ZA POVIJANJE

SIDRENJE ARMATURESIDRENJE ARMATURE

ŠŠTA JE SIDRENJE ARMATURE?TA JE SIDRENJE ARMATURE?Sila zatezanja iz armature se postepeno prenosi na Sila zatezanja iz armature se postepeno prenosi na okolni betonokolni beton

OD KOJIH FAKTORA ZAVISI DUOD KOJIH FAKTORA ZAVISI DUŽŽINA SIDRENJA ?INA SIDRENJA ?PoloPoložžaj aj ššipke u elementu, vrsta ipke u elementu, vrsta ččelikaelikaMarka betona i preMarka betona i preččnik nik ššipke armatureipke armature

ŠŠTA SU NAPONI PRIJANJANJA ?TA SU NAPONI PRIJANJANJA ?AdhezijaAdhezijaTrenjeTrenje

SIDRENJESIDRENJE ARMATUREARMATURE

Iz uslova ravnoteIz uslova ravnotežžee ::

pu

vsl τγ

σ⋅

⋅=4Ø

SIDRENJE ARMATURESIDRENJE ARMATURE

sa

efasefs lll ≥⋅⋅=

σσ

α ,,

321

=

=

α

α

cmll ss 15105.0,min ≥≥= φ

NASTAVLJANJE ARMATURENASTAVLJANJE ARMATURE

NA PREKLOPNA PREKLOP

ZAVARIVANJEMZAVARIVANJEM

SUSUČČEONOEONO

NA PREKLOPNA PREKLOP

PODVEZICEPODVEZICE

NASTAVLJANJE ARMATURENASTAVLJANJE ARMATURE

cmlll sefsp 20,15,

2,1 φα ≥⋅=

MAKSIMALNI PROCENTI MAKSIMALNI PROCENTI NASTAVLJANJA NASTAVLJANJA ZATEGNUTE ZATEGNUTE

ARMATUREARMATURE

100% za RA, 100% za RA, ØØ<16; <16; 5050% za % za RRA, A, ØØ≥≥16;16;

5050% za % za GGA, A, ØØ<16; <16; 2525% za % za GGA, A, ØØ≥≥16;16;

Betonske konstrukcijeBetonske konstrukcije

VeVežžba br.ba br.22

-- CentriCentriččni pritisakni pritisak-- CentriCentriččno zatezanjeno zatezanje-- Mali ekcentricitet Mali ekcentricitet -- zatezanjezatezanje

KONCEPTPRORAČUNAAB PRESEKA

TEORIJA DOPUŠTENIH

NAPONA

TEORIJAGRANIČNIH

STANJA

PREDAVANJAPREDAVANJA !!

GRANIČNA STANJA

NOSIVOST UPOTREBLJIVOST

PRSLINE DEFORMACIJE

PREDAVANJA !

Teorija graniTeorija graniččnih stanjanih stanjaPREDAVANJAPREDAVANJA !!

CENTRICENTRIČČNO PRITISNUTI ELEMENTINO PRITISNUTI ELEMENTI

d

b

h - a

a 1a 2

2‰

d2

d2

0 2

d2

d2

Da2u

Nu

Aa1

Aa2

Gb

σb=fB

εa1

εa2

Da1u

Dbu

σa2

σa1

PREDAVANJA !

CENTRICENTRIČČNO PRITISNUTI ELEMENTINO PRITISNUTI ELEMENTI

ΣNu=0 :

Nu = Dbu + Dau1 + Dau2

Nu= Ab · fB + Aa · σv

ili

Nu= fB · Ab · (1+ )

B

V

fσµµ ⋅=

Dau= σau‧Aa (σau = σv)

Mehanički koef. armiranja

µ

MINIMALNI PROCENTI ARMIRANJAMINIMALNI PROCENTI ARMIRANJA

◦ CENTRIČNI PRITISAK:

◦ za σb= fb → µmin= 0.6 % µmax= 6 %

dodatni uslovi :◦ min 4Ø12 → pravougaoni stub◦ min 6Ø12 → kružni stub

Uzengije

(%)13.0100min ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅=

B

b

b

a

fAA σµ

,max.

15min . min ( , )

30u

Øe b d

cm

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

4

50

144

4

22

30

2Ø12

4

1414

2Ø12

2Ø12

2Ø12

UØ6/15

UØ6/15

PRIMER PRIMER 11

Dimenzionisati centrično pritisnuti stub pravougaonog poprečnog preseka (ne uvodeći u proračun izvijanje),zadate širine b = 30 cm, opterećen silama Ng i Np.

Ng = 630 kN Np = 398 kN MB 25 GA 240/360

MB 25 ⇒ fB = 17.25 MPa = 1.725 kN/cm2

GA 240/360 ⇒ σv = 240 MPa = 24 kN/cm2

RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI:

Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np = 1.9‧630 + 2.1‧398 = 2032.8 kNusv. µ = µmin = 0.6%

%35.825.17

2406.0 =×=µ

Pritisak Zatezanje

PRIMER PRIMER 11

POTREBNA POVRŠINA BETONA:

22., 6.1087)1035.81(725.1

8.2032)1(

cmf

NAB

upotrb =

×+×=

+×= −µ

cmb

Ad potrb

potr 3.3630

6.1087.,. ===

usvaja se : b/d = 30/40 cm

Nu= fB · Ab · (1+ )µ

PRIMER PRIMER 11

PRIMER PRIMER 11

Aa,potr = 0.6‧10-2×1087.6 = 6.53 cm2

⇒ usvojeno: 4Ø16 (8.04 cm2)

cmcm

cmdbcmØ

eu 2430

30),(min246.11515

.min.max, =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

=×==

⇒ usvojeno: UØ8/20

Ab,potr

PRIMER PRIMER 22

Dimenzionisati centrično pritisnuti stub pravougaonog poprečnog preseka (ne uvodeći u proračun izvijanje),zadatih dimenzija b/d = 30/50 cm, opterećen silama Ng i Np

Ng = 500 kN Np = 700 kN MB 30 RA 400/500

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

PRIMER PRIMER 22


Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np = 1.9‧450 + 2.1‧600 = 2420 kNAb‧fB = 30 ‧ 50 ‧ 2.05 = 3075 > NuNije potrebna računska armatura usv. µ = µmin = 0.6% tj. Aa=3075 ‧ 0.006 = 18,45cm2

PRIMER PRIMER 2a2a(Razlika u odnosu na predhodni primer su dimenzije stuba)(Razlika u odnosu na predhodni primer su dimenzije stuba)Dimenzionisati centrično pritisnuti stub pravougaonog poprečnog preseka (ne uvodeći u proračun izvijanje),zadatih dimenzija b/d = 30/30 cm, opterećen silama Ng i Np

Ng = 500 kN Np = 700 kN MB 30 RA 400/500

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI:Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np = 1.9‧450 + 2.1‧600 = 2420 kNAb‧fB = 30 ‧ 30 ‧ 2.05 = 1845 < NuPotrebna je računska armatura !!!

PRIMER PRIMER 22aa

312.0105.200

24201 =−×

=−×

=9BfA

N

b

uµNu= fB · Ab · (1+ )µ

v B

B v

ffσµ µ µ µ

σ= × → = ⋅ 016.0

4005.2312.0 =×=µ

aa b

b

A A AA

µ µ= → = ⋅ 24.14900016.0 cmAa =×=

usvojeno:usvojeno: 88RRØØ16 (16.08cm16 (16.08cm2))

,max.

15 15 2.2 33min. min ( , ) 30 30

30u

Ø cme b d cm cm

cm

= × =⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

PRIMER PRIMER 33

Odrediti koliku silu od povremenog opterećenja može da prihvati stub napravljen od betona MB 30 armiran kao na slici. Sila od stalnog opterećenja je Ng = 1000 kN

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

PRIMER PRIMER 33

◦ Nu= Ab · fB + Aa · σv

◦ Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np

( ) ( )40 60 2.05 10 2.84 40 4920 1136 6056uN kN= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + =

1.9 6056 1.9 1000 1979.12.1 2.1

u gp

N NN kN

− ⋅ − ⋅= = =

CENTRICENTRIČČNO ZATEZANJENO ZATEZANJE

LUK SA ZATEGOMZATENUT POJAS REŠETKI

UKUPNU SILU ZATEZANJA PRIHVATA ARMATURA !

2ua

v

ZA 45 6cm

24 01094.6 .

.= = =

σ

PRIMER PRIMER 44

Odrediti potrebnu površinu armature i oblikovatipravougaoni poprečni presek centrično zategnutog

elementa

Zg = 305 kN Zp = 337 kN MB 30 GA 240/360

GA 240/360 ⇒ σv = 24 MPa = 24 kN/cm2

PRIMER PRIMER 44


Zu= 1.6·Zg + 1.8·Zp =1.6·305 + 1.8·337=1094.6 kN

usvojeno: 15Ø20 (47.12 cm2)

2ua

v

ZA 45 6cm

24 01094.6 .

.= = =

σ

CENTRICENTRIČČNO ZATEZANJENO ZATEZANJE◦ OBLIKOVANJE PRESEKA

◦ RASPORED ARMATURE

3)1(22 0 ⋅−+⋅++= mmad u φφ

7.52x8=16

5.5

40

4.5

4.5

5.5

4.5

20

4.57.5

UØ8/305Ø20

5Ø20

5Ø20

5)1(22 0 ⋅−+⋅++= nnab u φφb ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 5×2.0 + (5-1)×5.0 = 36.6 cm b = 40

cm

d ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 3×2.0 + (3-1)×3.0 = 18.6 cm d = 20 cm

MALI EKSCENTRICITETMALI EKSCENTRICITETSILA ZATEZANJASILA ZATEZANJA

b

y a1

a 1a 2

d2

d2

εb2

εb1 0

NEUTRALNALINIJA

Zu

Mu

Aa1

Aa2

Gb

εa1Zu

e

εa2

σa1=σv Za1u

Za2u

e

Zu

σa2=σv

y a2

MALI EKSCENTRICITETMALI EKSCENTRICITETSILA ZATEZANJASILA ZATEZANJA

e < d/2-a1e = Mu/Zu

Σ M(Aa1) = 0

Σ Nu = 0

u a 2a1

v a1 a 2

Z y eA

y y+

= ⋅σ +

u a1a 2

v a1 a 2

Z y eA

y y−

= ⋅σ +

au1 au2 uZ Z Z+ = ua1 a 2 a

v

ZA A A+ = =

σ

Mu=γug· Mg+ γup· MpZu=γug· Zg+ γup· Zp

PRIMER PRIMER 55

Odrediti potrebnu površinu armature za pravougaonipoprečni presek b/d=30x25 opeterćen

silom zatezanja i momentom savijanja

Zg = 305 kN Zp = 337 kN MB 30 GA 240/360

Mg = 6.6 kNm

GA 240/360 ⇒ σv = 240 MPa = 24 kN/cm2

PRIMER PRIMER 55


Zu= 1.6·Zg + 1.8·Zp = 1.6·305 + 1.8·337=1094.6 kNMu = 1.6·Mg = 1.6·6.6 = 10.56 kNm

pretp. a1 = a2 = 4.5 cm

u

u

Me 0 96cm

Z

210.56 10 .1094.6

×= = =

a1 a 2 1d 25y y a 4 5 8cm2 2

.= = − = − =

PRIMER PRIMER 55

usvojeno: 5Ø25 (Aa1 )4Ø25 (Aa2 )

2u a 2a1

v a1 a 2

Z y e 8 0 0 96A 25 55cmy y 8 0 8 0

1094.6 . . .24.0 . .

+ += × = × =

σ + +

2u a1a 2

v a1 a 2

Z y e 8 0 0 96A 20 05cmy y 8 0 8 0

1094.6 . . .24.0 . .

− −= × = × =

σ + +

Vežba br.3

- Čisto savijanje

Slobodno dimenzionisanje

Vezano dimenzionisanje

Dvojno armiranje

PREDAVANJA:h

ad

x

Mu

Aa1

Lom po betonu Lom po armaturi

Slobodno dimenzionisanje:Poznato:

Statički uticaji za pojedina opterećenja

Kvalitet materijala (fB, σv)Širina poprečnog preseka (b)

Nepoznato:Visina poprečnog preseka (d)Površina armature (Aa)

1) Računski statički uticaji:

Su= γug· Sg+ γup· Sp Mu=γug· Mg+ γup· Mp

2) Usvajanje dilatacija (εa , εb) k,

3) Sračunavanje potrebne statičke visine:

i potrebne površine armature :V

Ba σ

f100hbµA ⋅⋅

⋅=

b

u

fbMkh⋅

=

µ

4) Usvaja se broj i prečnik šipki armature

5) Sračunava se položaj težišta (a1) usvojene armature i ukupna visina preseka (d): d=h+a1

6) Konstruiše se poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran odgovarajućom armaturom, prikazan u odgovarajućoj razmeri, sa svim potrebnim kotama i oznakama

Odrediti visinu d i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Podaci za proračun:

Mg = 60 kNm b = 25 cm MB 30Mp = 80 kNm GA 240/360

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

GA 240/360 ⇒ σv = 24 kN/cm2

Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240.0 kNmusvojeno: εb / εa = 2.6/10‰ ⇒

k= 2.663 µ= 15.344%


2240 10h 2 663 57 6cm25 2 05

. ..

×= × =

×b

u

fbMkh⋅

=

V

Ba σ

f100hbµA ⋅⋅

⋅= 2a

25 576 205A 15344 1889cm100 24

. .. .×= × × =

RASPORED ARMATURE U PRESECIMA RAZLICITE ŠIRINE

13x4.5 + 2x10 = = 6.7cma 5

d = 57.6 + 6.7 = 64.3 cm ⇒usvojeno: d=65 cm

εb s αb η ζ µ1M % k2.625 0.208 0.746 0.395 0.918 15.512 2.6502.6 0.206 0.744 0.394 0.919 15.344 2.663

2.575 0.205 0.741 0.393 0.919 15.176 2.6772.55 0.203 0.739 0.392 0.920 15.007 2.6912.525 0.202 0.736 0.392 0.921 14.837 2.7052.5 0.200 0.733 0.391 0.922 14.667 2.720

2.475 0.198 0.731 0.390 0.923 14.496 2.7342.45 0.197 0.728 0.389 0.923 14.324 2.750

hkbε

aAµ

Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240.0 kNmusvojeno: εb / εa = 3.5/10‰ ⇒

k = 2.311 µ= 20.988%


d = 50 + 7.25 = 57.25 cm ⇒ usvojeno: d=60 cm

2240 10h 2 311 50 0cm25 2 05

. ..

×= × =

×b

u

fbMkh⋅

=

V

Ba σ

f100hbµA ⋅⋅

⋅= 2a

25 50 205A 20988 2241cm100 24

.. .×= × × =

( )1

3x 4.5 +10 = = 7 25cma 6

.

εb / / εa= = 2.62.6/10/10‰‰ εb / / εa= = 3.53.5/10/10‰‰

Vezano dimenzionisanje:Poznato:

Statični uticaji za pojedina opterećenja

Kvalitet materijala (fB, σv)Dimenzije poprečnog preseka (b, d)

Nepoznato:Površina armature (Aa)

1) Računski statički uticaji: Su= γug· Sg+ γup· Sp Mu=γug· Mg+ γup· Mp

2) Pretpostavlja se a1 hpr=d- a1

3) Računa se koeficijent k:

i potrebna površine armature :

Ukoliko je εa< 3‰ dvojno armiranje!

b

pr

fbMh

k

⋅

=u

V

Ba σ

f100hbµA ⋅⋅

⋅=

4) Usvaja se broj i prečnik šipki armature

5) Sračunava se položaj težišta (a1) usvojene armature i statička visina preseka (h): hstv=d-a1

Ukoliko postoji znatno odstupanje od pretpostavljene vrednosti, postupak se ponavlja

6) Konstruiše se poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran odgovarajućom armaturom, prikazan u odgovarajućoj razmeri, sa svim potrebnim kotama i oznakama

Odrediti potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, poznatih dimenzija, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Podaci za proračun:

Mg = 29.6 kNm b = 20 cm MB 30Mp = 26 kNm d = 40 cm GA 240/360

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

GA 240/360 ⇒ σv = 24kN/cm2

Mu = 1.6×29.6 + 1.8×26 = 94.2 kNm

PRETPOSTAVKA: a1=6.5 cm hpr=40-6.5=33.5 cm

RAČUNAMO:

εb / εa = 3.5/8.692‰µ= 23.239%


b

pr

fbMh

k

⋅

=u

2 211.=2

33.5k =94.2 × 1020 × 2.05

2a

20 335 205A 23239 133cm100 24

. .. .⋅= ⋅ ⋅ =

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

2Ø20

13 4.5 + 2 9 5 = = 6.5cma 5

.⋅ ⋅

hstv=40-6.5=33.5=33.5=hpr

Definicija: Preseci koji kojih se proračunska armatura osim u zategnutom, nalazi i u pritisnutom delu preseka

Uslov: εa1< 3‰Moment nosivosti jednostruko armiranog preseka Mabu:

εa1* k*,

Preostali deo momenta savijanja:∆Mu=Mau-Mabu

∗

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2

abu BhM b fkµ

ha1

x

d

a2

Pretpostavlja se a2 i određuju se površine zategnute i pritisnute armature u preseku:

= =− ⋅

ua2 a1

2 V

∆MA ∆A

(h a ) σ

2

*

aA+⋅⋅

⋅=V

Ba1 σ

f100hbµA

∆Mu

b

∆Aa1 ∆Zau

Dau

h-a 2

a 1d

Aa2

ε*a1 = 3‰

εb = 3.5‰

a 2

+εa2

ηx

ha 1

d

Mbu

ε*a1 = 3‰b

A*a1

εb = 3.5‰

x=s*

×h

Z*au

Dbu

z=ζ

*×h

Odrediti potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, poznatih dimenzija, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Podaci za proračun:

Mg = 29.6 kNm b = 20 cm MB 30Mp = 107 kNm d = 40 cm RA 400/500

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 40kN/cm2

Mu = 1.6×29.6 + 1.8×107 = 240.0 kNm

PRETPOSTAVKA: a1=7.0 cm hpr=40-7.0=33 cm

εa< 3‰ !!!DVOJNO ARMIRANJE ! ! !b

pr

fbMh

k

⋅

=u

Usvojeno: εa* =3 ‰ k*=1.719 µ *=43.59 %

∆Mu=Mu-Mabu ∆Mu = 240 - 151.1 = 88.9 kNm

∗

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2

abu BhM b fk

364.1

05.010240 2

=

××

=

22

33k

kNmkNcmbu 1.1511510905.220719.133 2

==××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=M

PRETPOSTAVKA: a2=5 cm

USVOJENO: 3RØ22 (11.4cm2)

USVOJENO: 6RØ22 (22.80 cm2)

hstv=40-7=33 =hpr !

V2

ua2 σ)a(h

∆MA⋅−

=

2

*

aA+⋅⋅

⋅=V

Ba1 σ

f100hbµA

( )2

2 94.740533

cma =×−

×=

21088.9A

21 69.2294.7

4005.2

100332059.43 cma =+×

××=A

2 3RO22

2 3RO22

2 3RO22

1 RUO8/20

cm25.761 =

×+×=

1034.53a


Vežba br.4

- Složeno savijanje

Slobodno dimenzionisanje

Vezano dimenzionisanje

Dvojno armiranje

Vezano dimenzionisanjeVezano dimenzionisanje-- slosložženo savijanjeeno savijanjePREDAVANJA:

ha

d/2-

a

x

d

Aa1

Lom po betonu Lom po armaturi

Nu

Mu

Vezano dimenzionisanjeVezano dimenzionisanje-- slosložženo savijanjeeno savijanjeRačunski statički uticaji:Mu=γug· Mg+ γup· Mp Su=γug· Sg+ γup· Sp

Pretpostavlja se a1 hpr=d- a1SA SILOM ZATEZANJA : SA SILOM PRITISKA :

Računa se koeficijent k:

i potrebna površine armature : SA SILOM ZATEZANJA : SA SILOM PRITISKA :

Ukoliko je εa< 3‰ dvojno armiranje!

b

pr

fbMh

k

⋅

=au

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−= 1uuau a2dZMM

V

u

V

Ba σ

Zσf

100hbµA +⋅⋅

⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+= 1uuau a2dNMM

V

u

V

Ba σ

Zσf

100hbµA +⋅⋅

⋅=

Vezano dimenzionisanjeVezano dimenzionisanje-- slosložženo savijanjeeno savijanje

- Usvaja se broj i prečnik šipki armature

- Sračunava se položaj težišta (a1) usvojene armature i statička visina preseka (h): hstv=d-a1

Ukoliko postoji znatno odstupanje od pretpostavljene vrednosti, postupak se ponavlja

- Konstruiše se poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran odgovarajućom armaturom, prikazan u odgovarajućoj razmeri, sa svim potrebnim kotama i oznakama

PPRIMERRIMER 11Odrediti potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, poznatih dimenzija, opterećen momentima savijanja i normalnim silama zatezanjausled stalnog i povremenog opterećenja. Podaci za proračun

Mg = 29.6 kNm Zg = -48.3 kNMp = 26 kNm Zp = -42.6 kN

b = 20 cm MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

d = 40 cm GA 240/360 ⇒ σv = 24kN/cm2

Mu = 1.6×29.6 + 1.8×26 = 94.2 kNm Zu = 1.6×48.3 + 1.8×42.6= 153.96 kN

0 494 2 153 96 0 065 73 4kNm2.. . . .⎛ ⎞= − ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠auM

⎟⎠⎞


a1=6.5 cm hpr=40-6.5=33.5 cm

PRIMER 1PRIMER 1

εb / εa = 2.938/10 ‰= 17.554 %


b

pr

fbMh

k

⋅

=u

2 504.=2

33.5k =73.4 × 1020 × 2.05

2a

20 335 205 15396A 17554 1004 642 1646cm100 24 24

. . .. . . .⋅= ⋅ ⋅ + = + =

V

u

V

Ba σ

Zσf

100hbµA +⋅⋅

⋅=

µ

PRIMER PRIMER 11

3Ø20

3Ø20

UØ8/30

2Ø12

2Ø12 hstv=40-7=33 ≈ hpr=33.5

13 4.5 + 3 9 5= = 7cma 6

.⋅ ⋅

20

PPRIMERRIMER 22..Odrediti potrebnu površinu armature za presekpravougaonog oblika, poznatih dimenzija, opterećenmomentima savijanja i normalnim silama pritiska usled stalnog i povremenog opterećenja. Podaci za proračun:

Mg = 29.6 kNm Ng = 64.4 kN Mp = 26 kNm Np = 56.9 kN

b = 20 cm MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

d = 40 cm GA 240/360 ⇒ σv = 24kN/cm2

Mu = 1.6×29.6 + 1.8×26 = 94.2 kNm Nu = 1.6×64.4 + 1.8×56.9 = 205.46 kN

a1=5 cm hpr=40-5=35 cm

⎟⎠⎞


0 494 2 205 46 0 05 125kNm2.. . .⎛ ⎞= + ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠auM

PRIMER 2PRIMER 2

εb / εa = 3.5/6.173‰= 29.292%

usvojeno : 3Ø20 (9.42 cm2)

µ

b

pr

fbMh

k

⋅

=u

2 005.=2

35k =125 × 1020 × 2.05

2a

20 35 2 05 205 46A 29 292 17 51 8 56 8 95cm100 24 24

. .. . . .⋅= ⋅ ⋅ − = − =

V

u

V

Ba σ

Nσf

100hbµA −⋅⋅

⋅=

PRIMER PRIMER 2 2

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

a1=4.5 cmhstv=40-4.5=35.5>hpr=35cm

20

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

2Ø20

3Ø20

3Ø20

UØ8/30

2Ø12

2Ø12

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12202φ 202φ 202φ

Slobodno dimenzionisanjeSlobodno dimenzionisanje-- slosložženo savijanjeeno savijanje

Računski statički uticaji:

Mu=γug· Mg+ γup· Mp Su=γug· Sg+ γup· Sp

SA SILOM ZATEZANJA : SA SILOM PRITISKA :

Usvajanje dilatacija (εa , εb) k, µSračunavanje potrebne statičke visine:i potrebna površine armature : SA SILOM ZATEZANJA : SA SILOM PRITISKA :

b

ua

fbM

kh⋅

=

⎟⎠⎞


V

u

V

Ba σ

Nσf

100hbµA −⋅⋅

⋅=

⎟⎠⎞


V

u

V

Ba σ

Zσf

100hbµA +⋅⋅

⋅=

Slobodno dimenzionisanjeSlobodno dimenzionisanje-- slosložženo savijanjeeno savijanje

Usvaja se broj i prečnik šipki armature

Sračunava se položaj težišta (a1) usvojene armature i ukupna visina preseka (d): d=h+a1

Konstruiše se poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran odgovarajućom armaturom, prikazan u odgovarajućoj razmeri, sa svim potrebnim kotama i oznakama

PPRIMERRIMER 33

Odrediti visinu i potrebnu površinu armature zapresek pravougaonog oblika, opterećen momentima savijanja i silama pritiska. Podaci za proračun:

Mg = 60 kNm Ng = 125 kNMp = 80 kNm Np = 100 kNb = 25 cmMB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

GA 240/360 ⇒ σv = 24kN/cm2

Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240.0 kNmNu = 1.6×125+ 1.8×100 = 380.0 kN

PRIMER 3PRIMER 3usvojeno: εb / εa = 3.5/7‰ ⇒k = 2.074 = 26.984%Pretpostavka:

dI = 52 cm

2I 240 10h 2 074 44 9cm

25 2 05. .

.×

= × =×b

u

fbMkh⋅

=

µ

Iau uM M 240kNm= =

I1a 7cm d 44 9 7 51 9cm. .= → = + =

IIau

052M 240 380 007 3122kNm2. . .⎛ ⎞= + ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2

II 312 2 10h 2 074 51 2cm25 2 05

.. ..×

= × =×

PRIMER 3PRIMER 3

dII = 60 cm

IIIau

0 6M 240 380 0 07 327 4kNm2. . .⎛ ⎞= + ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2II 327 4 10h 2 074 52 3cm

25 2 05.. .

.×

= × =×

II1a 7cm d 51 2 7 58 2cm. .= → = + =

III II1a 7cm d 52 3 7 59 3cm d. .= → = + = ≈

2a

25 52 3 2 05 380A 26 984 14 38cm100 24 24

. .. .×= ⋅ ⋅ − =

13 4.5 + 9 5 = = 7cma 6

( . )⋅ usvojeno: 6Ø18 (15.27 cm2) d = 50 + 7.0 = 57 cm ⇒usvojeno: d=60 cm

Dvojno armirani preseci Dvojno armirani preseci –– SLOSLOŽŽENO SAVIJANJEENO SAVIJANJE

Definicija: Preseci koji kojih se proračunska armatura osim u zategnutom, nalazi i u pritisnutom delu presekaUslov: εa1< 3‰Moment nosivosti jednostruko armiranog preseka:

εa1* k*,µ

Preostali deo momenta savijanja: ∆Mu=Mau-Mabu

Pretpostavlja se a2 i određuju se površine zategnute i pritisnute armature u preseku:

SA SILOM ZATEZANJA : SA SILOM PRITISKA :

∗

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2

abu BhM b fk

= =− ⋅

aua2 a1

2 V

∆MA ∆A(h a ) σ

** uBa1

V V

Nfb× hA = µ × × -100 σ σ

2*

1 aAA a +=a1AV

u

V

Ba1 σ

Zσf

100hbµA +⋅⋅

⋅=**

∆Mu

b

∆Aa1 ∆Zau

Dau

h-a 2

a 1d

Aa2

ε*a1 = 3‰

εb = 3.5‰

a 2

+εa2

ηx

ha 1

d

Mbu

ε*a1 = 3‰b

A*a1

εb = 3.5‰

x=s*

×h

Z*au

Dbu

z=ζ

*×h

Mabu

∆Mau

DVOJNO ARMIRANI PRESECIDVOJNO ARMIRANI PRESECI

Ukoliko je:Aa2 ≤ Aa1

Zategnuta i pritisnuta zona se armiraju sračunatim površinama armature;

Aa1 ≤ Aa2 ≤ 1,5*Aa1Obe zone se armiraju simetrično, srednjom vrednošću sračunatih površina;

Aa2 ≥ 1,5*Aa1Presek se armira simetrično, ali se potrebna površina armature određuje pomoćudijagrama interakcije, o čemu će u nastavku kursa biti reči. Primena dijagrama interakcije je moguća i u slučaju (b).

PPRIMERRIMER 4a4aOdrediti potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, poznatih dimenzija, opterećen graničnim momentom savijanja i graničnomnormalnom silom pritiska. Podaci za proračun:

Mu = 580 kNm Nu = 1000 kN

b = 30 cm MB 30d = 60 cm RA 400/500MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 40 kN/cm2

PRIMER 4a

a1=7 cm hpr=60-7=53 cm

εa < 3.0 ‰ DVOJNO ARMIRANJE

USVOJENO: εa* =3 ‰

k*=1.719 µ *=43.59 %

⎟⎠⎞


0 6580 1000 0 07 810kNm2. .⎛ ⎞= + ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠auM

u

=

⋅

pr

a

b

hk

Mb f

2

53k 1 460810 1030 2 05

.

.

= =⋅⋅

∆Mu=Mau-Mabu

ΔMu=810-584.4=225.6 kNm

a2=5 cm

usvojeno: 4RØ22 (15.21 cm2)

∗

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2

abu BhM b fk

30 2 05 58440kNcm 584 4kNm. .⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

abu53M1.719

PRIMER 4a

211 75cm.⋅= =

⋅

2

a2225.6 10A(53 - 5) 40

V2

ua2 σ)a(h

∆MA⋅−

=

PRIMER 4a

* uBa1 a2

V V

Nfb× hA = µ × × - + A100 σ σ

⋅ ⋅ 2a1

30 × 53 2.05 1000A = 43.59 - + 11.75 = 22.27cm100 40 40


PRIMER 4a

PRIMER 4b

εa < 3.0 ‰ DVOJNO ARMIRANJE

USVOJENO: εa* =5.75 ‰

k*=1.968 µ *=30.63 %

b

pr

fbMh

k

⋅

=u

460.1

05.23010810

532=

××

=k

PRIMER 4b

∆Mu=Mau-Mabu

ΔMau=810-445.9=364.1 kNm

∗

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2

abu BhM b fk

kNm9.44505.230968.153 2

=××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=abuM

a2=5 cm



* uBa1 a2

V V

Nfb× hA = µ × × - + A100 σ σ

PRIMER 4b

V2

ua2 σ)a(h

∆MA⋅−

= ( ) 97.1840553

101.364 2

=×−

×=a2A

2* 93.1897.180063.30 cm=+−⋅⋅

⋅=401000

402.05

10053Aa1

PRIMER 4b

εa* = 3.0 = 3.0 ‰‰ εa

* = 5.75 = 5.75 ‰‰

3 4 5 6 7 8 9 10

Aa1+Aa2

Aa1

Aa2

Aa

ε*a1 [‰]


Vežba br.5

“T” – preseciMoment lomaDijagrami interakcije

““TT”” PRESECIPRESECI- NOSAČ “T” PRESEKA JE AB GREDA (REBRO) KOJA JE U SVOM

PRITISNUTOM DELU MONOLITNO VEZANA SA PLOČOM.- NORMALNE NAPONE PRITISKA PRIHVATAJU REBRO I

SADEJSTVUJUĆI DEO PLOČE NA IZVESNOJ ŠIRINI, KOJU NAZIVAMO RAČUNSKA AKTIVNA ŠIRINA PLOČE (B).

- AKTIVNA ŠIRINA PLOČE KOJA SE KORISTI ZA DIMENZIONISANJE JE PRAVILNIKOM BAB 87 ODREĐENA KAO MINIMALNA OD SLEDEĆIH VREDNOSTI:

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

0

p

b + 0.25 × lB = min. b + 20 × d

e

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1 0

1 p

0.25b + b + × l3

B = min. b + b + 8× d

e/2

PRORAPRORAČČUN "T" PRESEKA SA UN "T" PRESEKA SA ZANEMARENJEM NOSIVOSTI REBRAZANEMARENJEM NOSIVOSTI REBRAB/b > 5 ΣMa1 = 0: ⇒Dbu × zb + Dau × (h-a2) = Mau = Mu + Nu×(yb1-a1)

d

y b1

a 1

b

B>5b

h

y b2

h - x

xd p

z b=

h-d p

/2

Gb

x - d

p

Aa1

Dbpu

Zau

εb σbp

Mu

Nu

a 1

εa1

d p/2

a 1

N.L.S.L.

εbp

x 0d p

/2

Dbu × zb + Dau × (h-a2) = Mau = Mu + Nu×(yb1-a1)

h -x

xd p

z b=h

-dp/2x -

d pa 1

x 0d p

/2

d p/2

a 1

Dbu = Dbpu = B×dp×σbpzb = h-dp/2

(uprosečavanje napona pritisaka u ploči)

ΣMa1 = 0: ⇒

(sila u pritisnutoj armaturi je računski nepotrebna)

B×dp×σbp×(h-dp/2)=Mau=Mu+Nu×(yb1-a1)

Dbu × zb + Dau × (h-a2) = Mau = Mu + Nu×(yb1-a1)

Dimenzionisanje Dimenzionisanje ““TT”” presekapreseka

Vezano dimenzionisanje:Poznato:- Statični uticaji za pojedina opterećenja- Kvalitet materijala (fB, σv)- Širina rebra (b), aktivna širina preseka (B),

debljina ploče (dp), visina preseka (d)Nepoznato:- Površina armature (Aa)


RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI: Mu=γug· Mg+ γup· MpNu=γug· Ng+ γup· Np

PRETPOSTAVLJA SE a1 h=d-a1

RAČUNA SE NAPON U BETONU U NIVOU SREDNJE RAVNI PLOČE:

aubp

pp

Md

B d h2

σ =⎛ ⎞

⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+= 1uuau a

2dNMM


RAČUNA SE DILATACIJA:

ODREĐUJE SE POLOŽAJ NEUTRALNE LINIJE:

UPOREĐUJE SA POLOVINOM DEBLJINE PLOČE (dp/2)

bpbp

B

2 1 1f

⎛ ⎞σ⎜ ⎟ε = × − −⎜ ⎟⎝ ⎠

εa = 10 ‰

bp p0

bp a

dx h

2ε ⎛ ⎞

= × −⎜ ⎟ε + ε ⎝ ⎠

MOGUĆI SLUČAJEVI:1) xx00>>ddpp/2/2

1) armatura se dobija iz

2) xx00≤≤ddpp/2/2 ***RAČUNA SE KAO PRAVOUGAONI PRESEK ŠIRINE (B)

pr

u

b

hk

MB f

=

×

uBa

V v

NfB hA100×

= µ× × −σ σ

a u ua

p vv

M NA

dh

2-

= −σ⎛ ⎞

× σ⎜ ⎟⎝ ⎠

ΣN= 0:b



- Sračunava se položaj težišta (a1) i stvarna statička visina preseka (hstv) koja se upoređuje sa hpr



PRIMER 1PRIMER 1

Odrediti potrebnu površinu armature za T presek zadatih geometrijskih karakteristika, opterećen uticajima usled stalnog (Mg,Ng) i povremenog (Mp,Np) opterećenja.

Mg = 300 kNm Mp = 250 kNmNg = 500 kN Np = 400 kNB = 180 cm d = 60 cmb = 30 cm dp = 10 cm

MB 25 fB = 1.725 kN/cm2

RA 400/500 σv = 40 kN/cm2

PRIMER 1

Mu = 1.6 × 300 + 1.8 × 250 = 930 kNmNu = 1.6 × 500 + 1.8 × 400 = 1520 kNma1 = 7 cm ⇒ h = 60 - 7 = 53 cm

au0 6M 930 1520 0 07 1279 6kNm2. . .⎛ ⎞= + × − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

aubp

pp

Md

B d h2

σ =⎛ ⎞

⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

22

bp1279 6 10 1 67kN cm

10180 10 532

. . /⋅σ = =

⎛ ⎞⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

PRIMER 1

bpbp

B

2 1 1f

⎛ ⎞σ⎜ ⎟ε = × − −⎜ ⎟⎝ ⎠

bp1 672 1 1 1 6311 725

. ..

⎛ ⎞ε = × − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

bp p0

bp a

dx h

2ε ⎛ ⎞

= × −⎜ ⎟ε + ε ⎝ ⎠

p0

d1 631 10x 53 6 73cm 5cm1 631 10 2 2

. ..

⎛ ⎞= × − = =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠>

neutralna linija je u rebru !

PRIMER 1

B/b>5 UPROŠĆEN POSTUPAK


22

a1279 6 10 1520A 28 65cm

10 4053 402

. .-

⋅= − =⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠

a u ua

p vv

M NA

dh

2-

= −σ⎛ ⎞

× σ⎜ ⎟⎝ ⎠

14 4.5 + 2 10 = = 6 33cma 6

.⋅ ⋅

PRIMER 1hstv= 60 - 6.33 = 53.67 cm > hrač= 53 cm

PRIMER 2

Odrediti potrebnu površinu armature za T presek zadatih geometrijskih karakteristika, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja.

Mg = 200 kNmMp = 250 kNm B = 180 cm dp = 10 cmb = 30 cm d = 60 cm

MB 30: fB = 2.05 kN/cm2 fbk = 3 kN/cm2

GA 240/360: σv = 24 kN/cm2

PRIMER 2

Mu = 1.6 × 200 + 1.8 × 250 = 770 kNma1 = 9 cm ⇒ h = 60 - 9 = 51 cm

PRETPOSTAVIMO DA SE n-n LINIJA NALAZI U PLOČI !

εb/εa = 1.65 / 10 ‰ ; s = 0.142

x = 0.142× 51 = 7.24 cm > dp = 10 cm

2

51k 3 531770 10

180 2 05

= =⋅⋅

.

.

PRIMER 2

Pretpostavka o položaju n-n linije je tačna!Računamo pravougaoni presek širine B!µ =8,282 %Potrebna armatura:

usvojeno: 8RØ25 (39,28 cm2)Sračunavanje stvarne statičke visine, konstruisanje preseka...

2a

180 51 2 05A 8 282 39cm100 24⋅

= ⋅ ⋅ =..

Dimenzionisanje Dimenzionisanje ““TT”” presekapreseka

Slobodno dimenzionisanje:Poznato:- Statični uticaji za pojedina opterećenja- Kvalitet materijala (fB, σv)- Širina rebra (b), aktivna širina preseka (B),

debljina ploče (dp)Nepoznato:- Visina poprečnog preseka (d)- Površina armature (Aa)

Slobodno dimenzionisanjeSlobodno dimenzionisanje-- ččisto savijanjeisto savijanje

RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI: Mu=γug· Mg+ γup· Mp

(može i složeno savijanje ali onda se rade iteracije)USVAJA SE NAPON U NIVOU SREDNJE RAVNI PLOČE: σbp=(0.2—0.5)fbk

(veće usvojene vrednosti daju preseke manje visine armirane sa većom količinom armature)

IZ USLOVA: ΣMa1 = 0: ⇒ pu

p bp

dMh = +B × d ×σ 2


RAČUNA SE DILATACIJA:

ODREĐUJE SE POLOŽAJ NEUTRALNE LINIJE:

UPOREĐUJE SA POLOVINOM DEBLJINE PLOČE (dp/2)

bpbp

B

2 1 1f

⎛ ⎞σ⎜ ⎟ε = × − −⎜ ⎟⎝ ⎠

εa = 10 ‰

bp p0

bp a

dx h

2ε ⎛ ⎞

= × −⎜ ⎟ε + ε ⎝ ⎠


MOGUĆI SLUČAJEVI:1) x0>dp/2

2) x0≤dp/2PRAVOUGAONI PRESEK ŠIRINE (B)

pr

u

b

hk =

MB × f

Ba

V

fB × hA = µ × ×100 σ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ua

pv

MA =d

h - ×σ2

ΣN= 0:


- Sračunava se položaj težišta (a1) i visina preseka d=h+a1



PRIMER 3

Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za T- presek zadatih geometrijskih karakteristika, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja.

Mg = 200 kNmMp = 250 kNm B = 180 cm dp = 10 cm b = 30 cmMB 30: fB = 2.05 kN/cm2 fbk = 3 kN/cm2

RA 400/500: σv = 40 kN/cm2

Usvaja se : σbp = 9 MPa = 0.9 kN/cm2

PRIMER 3

Mu = 1.6 × 200 + 1.8 × 250 = 770 kNm

pu

p bp

dMh

B d 2= +

× ×σ

2770 10 10h 52 53cm180 10 0 9 2

..

⋅= + =

⋅ ⋅

bpbp

B

2 1 1f

⎛ ⎞σ⎜ ⎟ε = × − −⎜ ⎟⎝ ⎠

bp0 92 1 1 0 5022 05

. ..

⎛ ⎞ε = × − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

bp p0

bp a

dx h

2ε ⎛ ⎞

= × −⎜ ⎟ε + ε ⎝ ⎠

p0

d0 502 10x 52 53 2 27 5cm0 502 10 2 2

. . ..

⎛ ⎞= × − = =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠<

NEUTRALNA LINIJA SE NALAZI U PLOČIPRESEK SE DIMENZIONIŠE KAO PRAVOUGAONI ŠIRINE (B)

USVOJENO: 8RØ25 (39.27 cm2)

52 53k 3 636770 10

180 2 05

. .

.

= =⋅⋅

7 903.µ =

b a 1 575 10/ . /ε ε =

s 0 136.=

2a

180 52 53 2 05A 7 903 38 3cm100 40

. .. .×= × × =

PRIMER 3

PRIMER 3

14 4.5 +10 = = 7 25cma 8

( ) .⋅

d=52.53+7.25=59.78 cm

USVOJENO: d=60 cm

PRORAPRORAČČUN "T" PRESEKA SA UN "T" PRESEKA SA UZIMANJEM U UZIMANJEM U OBZIROBZIR NOSIVOSTI REBRANOSIVOSTI REBRA

B/b ≤ 5

◦ PRIBLIŽNI POSTUPAK

◦ TAČAN POSTUPAK

d

y b1

a 1

b

B

h

y b2

h - x

x d p

z b1

Gb

x - d

p

z b2

Aa1

Dbu1Dbu2

Zau

εbd

εb σb

Mu

Nu

a 1

εa1

η 2(x

-dp) η 1

x

d p

Dbu = Dbu1 - Dbu2

b

B

h - x

x d p

z b1Gb

x - d

p

Aa1

Dbu1

Zau

εbd

εb σb

a 1εa1

η 1x

Dbu1 = αb1 · B ∙ x ∙ fB = αb1 ∙ s ∙ B ∙ h ∙ fB ; s = x / h

b

B

h - x

x d p

z b1

Gbx

- dp

z b2

Aa1

Dbu1 Dbu2

Zau

εbd

εb σb

a 1

εa1

η 2(x

-dp)η 1

x

d p

Dbu2 = αb2 ∙ (B-b) ∙ (x-dp) ∙ fB = αb2 ∙ (B/b-1) ∙ (s-δ) ∙ b ∙ h ∙ fBd = dp/h

da 1

b

Bh

h - x

xd p

z b1

Gb

x - d

p

z b2

Aa1

Dbu1Dbu2

Zau

εbd

εb σb

a 1

εa1

η 2(x

-dp) η 1

x

bi=κ×B

d p

PRIBLIPRIBLIŽŽNI POSTUPAKNI POSTUPAK

Dbu,i = αb1 ∙ bi ∙ x ∙ fB = αb1 ∙ s ∙ k ∙ B ∙ h ∙ fB = Dbu= Dbu1 - Dbu2

ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA

=

⋅au

b

hkMb f2

au Bh = bM fk

⎛ ⎞ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

a v ub

B

+ NA= s b h f×σµ = ×α× ×

k

uBa

V V

Nfb× hA = µ× × -100 σ σ

tablice

⎛ ⎞= − ⋅ −⎜⎝ ⎠

u au u 1dM M N a2

⎟⎠⎞


PPRIMERRIMER 44Odrediti moment loma datog AB preseka (ne uvodeći pritisnutu armaturu u proračun), opterećenog graničnom normalnom silom pritiska. Podaci za proračun:

Mu = ? Nu = 500 kNMB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

GA 240/300 ⇒ σv = 24 kN/cm2

k= 1.794

Mu=329.4kNm

%77.3805.275.5225

500248.22=

××+×

=××+×

=b

uva

fhbNA σµ

2

au Bh = bM fk

⎛ ⎞ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

u au u 1dM M N a2

MOGUĆA STANJA DILATACIJE U PRESEKU

u,i

Aa1

Aa2

bvb1

a1

a2b2

Cb

h

f

g

ec da'a

PRORAČUNSKI MODEL- MALI EKSCENTRICITET SA SILOM PRITISKA

d

b

h - a

a 1a 2

4 7 d3 7 d

2‰

C

d2

d2

εb1

εb2 0 2 3.5

xd

x - d

y d

d2

d2 -

yd

NEUTRALNALINIJA

Da2u

εb=2‰

Nu

Mu

Aa1

Aa2

Gb

σb=fB

σb=fB

εa1

εa2

Da1u

Dbu

PRIMER 5Za stub pravougaonog poprečnog preseka za koji su date tri kombinacije uticaja usled stalnog i povremenog opterećenja, odrediti potrebnu površinu armature. Uticaj izvijanja zanemariti.

a. Ng = 1385,8 kN Mp = ±826,3 kNmb. Ng = 3682,9 kN Mp = ±637,7 kNmc. Ng = 4820,8 kN Mp = ±238,9 kNm

b = 40 cm MB 40d = 85 cm RA 400/500

PRIMER 5

pretp. a1 = 6.5 cm ⇒ a1/d = 6.5/85 = 0.076 ≈ 0.075

kombinacija uticaja a. :pretpostavljeno εa1 > 3‰ (zatezanje) ⇒γu,g = 1.6 ; γu,p = 1.8Mu = 1.8×826.3 = 1487.3 kNmNu = 1.6×1385.8 = 2217.3 kNRAČUNANJE BEZDIMENZIONALNIH VELIČINA:

256.055.28540

3.22172 =⋅⋅

=⋅⋅

=B

uu fdb

Nn

202.055.28540

103.14872

2

2 =⋅⋅⋅

=××

=B

uu fdb

Mm

0.255

0.202

0.256

PRIMER 5“POVOLJNO” DEJSTVO STALNOG OPTEREĆENJA !

Mu = 1.8×826.3 = 1487.3 kNmNu = 1.0×1385.8 = 1385.8 kN

RAČUNANJE BEZDIMENZIONALNIH VELIČINA:

160.055.28540

1385=

⋅⋅=

⋅⋅=

B

uu fdb

Nn

202.055.28540

103.14872

2

2 =⋅⋅⋅

=××

=B

uu fdb

Mm

0.2550.320

0.2560.16

0.202

PRIMER 5

kombinacija uticaja b.:pretpostavljeno εa1 < 0‰ (pritisak) ⇒

γu,g = 1.9 ; γu,p = 2.1

Mu = 2.1×637.7 = 1339.2 kNmNu = 1.9×3682.9 = 6997.5 kN

182.05528540

10213392

2

=×××

=.

.mu

80705528540

56997 ..

.nu =××

=

0.2550.320

0.2560.16

0.202

0.807

0.182

0.315

PRIMER 5

0 ‰ < εa1 < 0.5 ‰

γu,g= 1,862

γu,p= 2,062

PRIMER 5

kombinacija uticaja b. : - sa korigovanim koef.

Mu = 2.062×637.7 = 1314.9 kNmNu = 1.862×3682.9 = 6857.6 kN

2

u 2

1314 9 10m 0 17840 85 2.55

. .×= =

× ×

u6857 6n 0.791

40 85 2.55.

= =× ×

0.2550.320

0.2560.16

0.202

0.807

0.182

0.315

0.791

0.178

0.290

PRIMER 2kombinacija uticaja c.:pretpostavljeno εa1 < 0‰ (pritisak) ⇒

γu,g = 1.9 ; γu,p = 2.1

Mu = 2.1×238.9 = 501.7 kNmNu = 1.9×4820.8 = 9159.5 kN

2

u 2

501 7 10m 0 06840 85 2.55

. .×= =

× ×

u9159 5n 1 056

40 85 2.55. .= =

× ×

0.2550.320

0.2560.16

0.202

0.807

0.182

0.315

0.791

0.178

0.290

1.056

0.068

0.230

PRIMER 5

Rezultati:- kombinacija a: ≈ 0.32- kombinacija b: ≈ 0.29- kombinacija c: ≈ 0.23

Ba

v

fA b d= µ× × ×

σ

2a

2 55A 0 32 40 85 69 36cm40.. .= × × × =

usvojeno: ±7RØ25 (±34.37 cm2)

PRIMER 5

2x7.5=15

40

20

85

5.5

4.5

84.5

2025

5.5

4.5

4.58

5RØ25

2RØ25

2RØ25

URØ8/30

2RØ12

2RØ12

5RØ25

1 25 4 5 2 10a a 6 07cm

7. .× + ×

= = =

a1/d = 6.07/85 = 0.071 ≈ 0.075

Betonske konstrukcije

Vežba br.6

OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA- PRORAČUN PRESEKA NA UTICAJ OD GRANIČNIHTRANSVERZALNIH SILA

- TORZIJA

PRORAČUN PRESEKA ZA GRANIČNE UTICAJE TRANSVERZALNIH SILA

PRORAČUN PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA

SAVIJANJE AB PRESEKA POPREČNIM SILAMAKONTROLA GLAVNIH NAPONA

ZATEZANJA

22b b

1 2 2 4,σ σ

σ = ± + τ

d

y b1

a 1b

h

y b2

h - x

x

z b1

Gb

Aa1

Dbu1

Zau

εbd

εb σb

Mu

a 1

εa1

η 1x

22b b

1 2 2 4,σ σ

σ = ± + τ 1 2,σ = ±τ

2T

b z,max maxmin

−σ = τ =⋅

i2

i

T Sb I,max max

min

⋅−σ = τ =

⋅

Nominalni napon smicanja: [kN/cm2]

- krak silab – širina preseka (uvek malo b !!!)Tmu – granična normalna silaRačunska čvrstoća betona pri smicanju, τr:

Mogući slučajevi:1) - konstruktivna poprečna armatura2) - deo uticaja nosi beton a ostalo

se prihvata proračunskom poprečnom armaturom.

3) - beton ne učestvuje u prijemu uticaja od transverzalnih sila -proračunska armatura i kosa gvožđa

n rτ ≤ τ

r n r3τ < τ < τ

r n r3 5τ < τ < τ

MB 15 20 30 40 50 60τr [MPa] 0.6 0.8 1.1 1.3 1.5 1.6

zbTmu

n ×=τ

hz ×≈ 9.0

KADA JE :

Potrebna površina armature se određuje na osnovuTRu(redukovana T-sila)

(deo sile koju prima beton)

(deo sile koju treba da primi armatura)

(redukovani napon smicanja)

r n r3τ < τ < τ

Ru mu buT T T= −

( )bu r n1T 3 b z2

= ⋅ τ − τ ⋅ ⋅

zbTru

ru ×=τ

r n r3 5τ < τ < τ

Ru muT T=buT 0=

KADA JE :

Beton NE učestvuje u prijemu uticaja od transverzalnih sila

zbTmu

n ×=τ (NEMA redukcije T-sile!!!)

Ruku

TZ

sin=

αku Ru

kuZ T

Zs z ctg ctg( )sin

′ = =θ + α α

s z ctg ctg( )sin= θ + α α

Zatezanje u dijagonali :

MODEL REŠETKE:

Redukovana sila smicanja na jedinicu dužine nosača:

Potrebna površina preseka poprečne armature na jedinicu dužine nosača:

Kada se predhodni izraz napiše preko napona:

konačno, potrebno rastojanje eu na kome treba postavitiuzengije prečnika au (φ6, φ8, φ10, φ12)

m - sečnost uzengija

ku Ruak

v v

Z TA

ctg ctg( )sin

′′ = =

σ σ θ + α α

RuRu n

TT b

z= = τ ⋅

( ) uv

Ru)1(u e

ctgsincos1

mba ×

θ×α+α×

σ×τ×

=

( ) vRu

)1(u

u ctgsincosb

ame σ×θ×α+α×τ×

×=

Za α=90o i θ=45o dobija se :

vru

uu b

ame στ

×××

≤

za rastojanja se usvajaju najčešće 7.5,10,12.5,15,20cmali :

OVO SVE VAŽI NA DELU NOSAČA GDE JE POTREBNO IZVRŠITI OSIGURANJE (λ−dužina na kojoj se vrši osiguranje)

NA OSTATKU NOSAČA , TAMO GDE NIJE PREKORAČENA RAČUNSKA ČVRSTOĆA NA SMICANJE τr USVAJAJU SE KONSTRUKTIVNE UZENGIJE na rastojanju 20,25 ili 30cm i NE proverava se uslov za emin

minmin μ×

×≤

bame u

252hb

e u ≤

%2.0

Dodatna zategnuta armatura

(vrši se provera da li ima dovoljno armature nad krajnjim osloncima)

( )au mua1

v v

Z TA ctg ctg 0

2Δ

Δ = = ⋅ θ − α ≥σ σ

KOSO POVIJANJE Ukupna redukovana merodavna sila smicanja na dužini osiguranja (horizontalna sila veze):

(Aτ – površina dijagrama T sila gde se vrši osiguranje povijanjem armature)

Ukupna potrebna površina preseka poprečne armature:

(potrebna armatura za osiguranje kosim profilima)

x b x bRu

vu Rux a x a

TH T dx dx

z

= =

= =

= =∫ ∫

x bRu vu

akv vx a

T H1A dxctg ctg z ctg( )sin (cos sin )

=

=

= =σ θ + α α σ θ + α ⋅ α∫

( )θαασ ctgH

Akkv

kvuka ×+×

=sincos

,,

bAH k,vu ×= τ

g=40kN/m

P=240kN

Primer 1:Dimenzionisati nosač sistema proste grede,čiji su opterećenje i poprečni presek prikazani naskici.MB 30, RA 400/500.

120

120

80

160

200

80336

352

480

832

Mu

Tumax

.Mu=

832

2RØ12

2RØ25URØ10/25

3RØ25

3RØ25

2RØ25

λ=308.4 91.6

88.5 88

τ(1)

u,u=

2.51

[MPa]

τAn =2.67

τARu=2.35

τCn=0.63

τr=1.1

400

τ

τ(2)

u,u=

1.68

τ(3)

u,u=

1.01

131.9

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 1: Dimenzionisati nosač siste-ma proste grede, čiji su op-terećenje i poprečni presek prikazani na skici. MB 30, RA 400/500.

STATIČKI UTICAJI a. stalno opterećenje b. povremeno opterećenje

Ag = Bg = 40.0 × 6.0 / 2 = 120 kN Ap = 2.0 × 240.0 / 6.0 = 80 kN

Mg,max = 40.0 × 6.02 / 8 = 180 kNm Bp = 4.0 × 240.0 / 6.0 = 160 kN

Mp,max = 160 × 2.0 = 320 kNm (x = 4.0 m) g=40kN/m

A B A

P=240kN

B

Ag=120 Bg=120 Ap=80 Bp=160

160

320

120

40 120

80

160

80

160m

ax.M

g=18

0 kN

m

max

.Mp=

320

kNm

Mg

Tg

Mp

Tp

DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 40 kN/cm2

Maksimalni moment savijanja Mu, merodavan za di-menzionisanje, je u preseku u kome je za odgovarajuću kombinaciju uticaja Tu=0. Sa dijagrama desno jasno je da je to presek na x = 4.0 m od oslonca A, gde je:

Mg = 80×4.0 - 40×4.02/2 = 160 kNm

Mp= 80×4.0 = 320 kNm = Mp,max.

Mu = 1.6×160 + 1.8×320 = 832 kNm 80336

352

480

832

Mu

Tumax

.Mu=

832

g=40kN/m

P=240kN


PRIMERI ZA VEŽBE

2RØ25

2RØ12

2RØ25URØ10/25

3RØ25

3RØ25

Pritisnuta je gornja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine B, ili, za slučaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči:

B = min.

=×+=×+=×+=×+

cm17560025.025l25.0bcm325152025d20b

0

p = 175 cm

pretp. a1 = 9 cm ⇒ h = 65 - 9 = 56 cm

05.217510832

56k2

××

= = 3.677

εb/εa = 1.558/10‰ ; µ = 7.775% ; s = 0.135

x = s×h = 0.135×56 = 7.55 cm < 15 cm = dp

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se potrebna površina zategnute armature određuje iz izraza:

4005.2

10056175775.7A .potr,a ×

××= = 39.05 cm2

usvojeno: 8 RØ 25 (39.27 cm2)

85.1521035.43a1

×+×+×= = 9.3 cm ⇒ hstv. = 65 - 9.3 = 55.7 cm ≈ 56 cm = hpretp.

DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA

MB 30 ⇒ τr = 1.1 MPa (član 89. Pravilnika BAB 87)

Usvojeno je za sve preseke zb = 0.9×h = 0.9×56 = 50.4 cm.

a. levi deo nosača (A-C)

TuA = 1.6×120 + 1.8×80 = 336 kN

4.5025336A

n ×=τ = 0.267 kN/cm2 > τr

TuC,levo = 1.6×(-40) + 1.8×80 = 80 kN

4.502580levo,C

n ×=τ = 0.063 kN/cm2 < τr

levo,Cn

An

rAn

CA1 Lτ−τ

τ−τ×=λ −

63.067.21.167.24001 −

−×=λ = 308.4 cm

Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama, a prema dijagramu τRu.

τnA = 2.67 MPa < 3τr ⇒ τRu

A = ( )1.167.223

−× = 2.35 MPa

λ=308.4 91.6

88.5 88

τ(1)

u,u=

2.51

[MPa]

τAn =2.67

τARu=2.35

τCn=0.63

τr=1.1

400

τ

τ(2)

u,u=

1.68

τ(3)

u,u=

1.01

131.9


PRIMERI ZA VEŽBE

usvojeno: m = 2 ; θ = 45° ; α = 90° ; URØ10 (au(1)=0.785 cm2)

( )10140235.025785.02eu ×+××

××

= =13.62×au(1) = 10.69 cm ⇒ usvojeno eu = 10 cm

Odgovarajući napon koji nose ove uzengije je:

( ) ( )101401025785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u)1(

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.251 kN/cm2 > τRu,max.

Više kao prikaz praktičnog postupka nego stvarne potrebe za uštedom armature, izvršeno je proređivanje uzengija na pojedinim delovima dužine osiguranja. Za usvojene uzengije Ø10 maksimalno rastojanje, određeno iz zadovoljenja µuz,min.= 0.2% je:

2.min,uz

)1(u

u 102.025785.02

bame −××

×=

µ××

≤ = 31.4 cm ;

=

=≤

cm25cm282h

cm25b.mineu ⇒ usv. eu,max. = 25 cm

Odgovarajući napon koji nose ove uzengije je:

( ) ( )101402525785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u)3(

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.101 kN/cm2

Deo nosača na kome su potrebne uzengije gušće od minimalih određuje se iz dijagrama τRu:

−×=

ττ

−×λ=235.0101.014.3081x

.max,Ru

)3(u,u

13 = 176.5 cm

Dodatno proređivanje je učinjeno usvajanjem uzengija URØ10/15:

( ) ( )101401525785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u)2(

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.168 kN/cm2

Deo nosača na kome su potrebne uzengije gušće od ovih određuje se iz dijagrama τRu:

−×=

ττ

−×λ=235.0168.014.3081x

.max,Ru

)2(u,u

12 = 88.5 cm

Konačno, usvojeno je: usvojeno: UØ 10/10 (m=2) na dužini 90 cm > x2 UØ 10/15 (m=2) na dužini 90 cm > x3-x2 UØ 10/25 (m=2) na ostalom delu dužine λ1 dodatna zategnuta armatura:

( ) ( )∆AT

ctg ctgamu

v

= × − =×

× −2

3362 40

1 0σ

θ α = 4.20 cm2

usvojeno: 3 Ø 25 (14.73 cm2)1

1 Usvojene su 3RØ25 kao MINIMALNO TREĆINA šipki iz polja koje se moraju prevesti preko slobodnog oslonca (član 168. Pravilnika BAB 87)


PRIMERI ZA VEŽBE

b. desni deo nosača (deo C-B) BuT = 1.6×120 + 1.8×160 = 480 kN

4.5025480B

n ×=τ = 0.381 kN/cm2 > τr

desno,CuT = 1.6×40 + 1.8×160 = 352 kN

4.5025352desno,C

n ×=τ = 0.279 kN/cm2 > τr

Kako je na čitavom delu nosača prekoračena vrednost τr, to je dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i koso povijenim profilima, a prema dijagramu τRu.

Bnτ > 3τr ⇒ B

buT = 0 ⇒ BRuτ = B

nτ = 0.381 kN/cm2

Napon 3τr je prekoračen na delu nosača dužine 79.281.33.381.32003 −

−×=λ = 100.3 cm

desno,Cnτ < 3τr ⇒ ( )11.0279.0

23desno,C

Ru −×=τ = 0.254 kN/cm2

Usvojene su na čitavoj dužini osiguranja vertikalne uzengije URØ10/15:

( ) ( )101401525785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.168 kN/cm2

Na dijagramu τRu u prilogu je deo napona koji prihvataju uzengije šrafiran vertikalnom, a deo koji je potrebno prihvatiti koso povijenim profilima ukrštenom šrafurom. Sledi:

25200168.07.992

254.033.03.1002

33.0381.0H k,vu ×

×−

×

++×

+= = 781.5 kN

usvojeno: θ = 45° ; αk = 45° (ugao pod kojim se povijaju profili)

( ) ( )0.1707.0707.0405.781

ctgsincosH

Akkv

k,vuk,a ×+×

=θ×α+α×σ

= = 13.81 cm2

usvojeno: 3 RØ 25 (14.73 cm2)

Tačna mesta povijanja kosih profila određuju se grafički, konstrukcijom integralne krive.

dodatna zategnuta armatura:

Tu,u = τu,u×b×z = 0.168×25×50.4 = 211.1 kN

Tmured. = Tu,u + Tbu = 211.1 + 0 = 211.1 kN

( ) ( )014021.211ctgctg

2TA

v

.redmu

a −××

=α−θ×σ

=∆ = 2.64 cm2

usvojeno: 3 Ø 25 (14.73 cm2)2

2 Videti napomenu za deo A-B (član 168. Pravilnika BAB 87)

[MPa]

τBn=τB

Ru=3.81 τ

λ=200

τCn =2.79

τCRu=2.54Aτ

100.3 99.7

3τr

τ(1)

u,u=

1.68

TORZIJA

a2dd;a2bb 00 −=−=

000b dbA ×=

( )000b db2O +×=

( )8

d,b.min8

d 00m0 ==δ

TpTgi,Ti

i,uTu M8.1M6.1MM ×+×=×γ= ∑

0 0 52rTu

nrb

MA

ττ

τδ>⎧

= ⎨<× × ⎩

( ) 00bnrTburn A2321M3 δ×××τ−τ×=⇒τ≤τ

( ) 0 03Tbu r n bM Aτ τ δ= − × ×

TbuTuTRu MMM −=

uv0b

TRu)1(u etg

A2Ma ×θ×

σ××=

002Tu

bab v

MA ctg OA

θσ

= × ×× ×∑

pv0b

Tu)1(p ectg

A2Ma ×θ×

σ××=

TuTbuTuTRu

Tburn

MMMM0M3

=−==⇒τ≥τ

kNm109258.1406.1MTu =×+×=

cm424250a2bb0 =×−=−=

cm524260a2dd0 =×−=−=2

000b cm21845242dbA =×=×=

( ) cm25.5842

8d,b.min

8d 00m

0 ====δ

⎪⎩

⎪⎨⎧

τ<

=τ>=××

×=τ

r

2r2

2

n5

cmkN11.0

cmkN475.0

25.52184210109

TuTbuTuTRuTburn MMMM;0M3 =−==⇒τ>τ

uv0b

TRu)1(u etg

A2Ma ×θ×

σ××=

uu

2)1(

u e104.0e0.12421842

10109a ×=××××

×=

cm5.7/10UØ.usv

cm88.10104.013.1e12UØ

cm55.7104.0785.0e10UØ

cm83.4104.0503.0e8UØ

u

u

u

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==⇒

==⇒

==⇒

0bv0b

Tua

OctgA2MA ×θ×

σ××=∑

( ) ( ) cm18852422db2O 000b =+×=+×=

22

acm55.191880.1

242184210109A =××××

×=∑

u

2)1(

u e35tg2421842

10109a ×°×××

×=

UØ10/10.usvcm79.10073.0785.0ee073.0a uu

)1(u ⇒==⇒×=

14Ø16.usvcm92.2718835ctg2421842

10109A 22

a⇒=×°×

×××

=∑

VJEZBE-1,2,3,4,5,6

Documents

Transcript of VJEZBE-1,2,3,4,5,6