Vistas in Astronomy Volume 13 Issue None 1972 [Doi 10.1016%2F0083-6656%2872%2990018-9] D. Layzer --...

8/12/2019 Vistas in Astronomy Volume 13 Issue None 1972 [Doi 10.1016%2F0083-6656%2872%2990018-9] D. Layzer -- Cosmology and the Arrow of Time

1/9

Cosmology and the rrow of Time

D . L A Y Z E R

H arv ard C ollege Obs ervatory, Cambridge, Massachusetts, USA

T H E a r r o w o f t i m e m a n i f e s ts i ts e l f i n t h r e e d i s t in c t w a y s : t h r o u g h t h e a p p r o a c h t o e q u i-

l i b ri u m i n c l o s e d sy s t e m s c o n t a i n in g a l a rg e n u m b e r o f in t e r a c t in g p a r t i c le s ; t h r o u g h t h e

p h e n o m e n o n o f m e m o r y in c e r t a in o p e n s y s t e m s ; a n d t h r o u g h t h e e x p a n s i o n o f t h e o b s e r v -

a b l e U n i v e r s e . T h e a p p r o a c h t o e q u i li b r iu m i n c l o se d s y s t e m s c a n o c c u r t h r o u g h a w i d e

v a r i e t y o f p h y s i c a l p r o c e s s es , in c l u d i n g n o t o n l y m o l e c u l a r t r a n s p o r t p r o c e s s e s l i k e d i f fu s i o n

a n d c o n d u c t i o n b u t a ls o m a c r o s c o p ic p r oc e s se s li k e t u r b u l e n c e w h i c h c o n v e r t o r d e r e d

f ie l ds a n d m o t i o n s i n t o l e s s h i g h l y o r d e r e d o n e s a n d u l t i m a t e l y i n t o h e a t . A l l s u c h p r o c e s s e s

g e n e r a t e e n t r o p y . B y c o n t r a s t, t h e a c c u m u l a t i o n a n d p r e s e r v a t i o n o f i n f o r m a t i o n a b o u t

p r e v i o u s s t a t e s o f a s y s t e m d e p e n d u p o n p r o c e s s es t h a t g e n e r a t e i n f o r m a t i o n n e g a ti v e

e n t r o p y ) . A s f o r t h e e n t r o p y c h a n g e s a s s o c i a te d w i t h c o sm i c e v o lu t i o n , i t c a n b e a r g u e d

t h a t t h e s e t o o m u s t b e n e g a t i v e - - i n s p i te o f t h e f a c t t h a t t h e U n i v e r s e is , b y d e f in i ti o n , a

c l o s ed s y s t e m , l ~o r, a s w il l b e e x p l a i n e d b e l o w , t h e r e a r e r e a s o n s f o r b e l i e v in g t h a t t h e s t r u c -

t u r e o f t h e U n i v e r s e w a s s i m p l e r in t h e p a s t t h a n i t is n ow . T h u s i t i s c le a r t h a t t h e s e c o n d

l a w o f t h e r m o d y n a m i c s d o e s n o t a f f o r d a s u ff ic i en t ly b r o a d f r a m e w o r k f o r a n u n d e r s t a n d i n g

o f t h e a r r o w o f t i m e i n a l l i t s a s p e c t s .

I t i s e q u a l l y c l e ar , h o w e v e r , t h a t t h e s e a s p e c t s m u s t b e r e l a t e d , f o r i r re v e r s i b l e p r o c e s s es

i n c l o s ed s y s t em s , m e m o r y i n c e r t a i n o p e n s y s t e m s , a n d t h e e v o l u t i o n o f c o s m ic s t r u c t u r e

a l l d e f i n e t h e s a m e a r r o w . A n d t h e r e a r e i n d i c a t io n s t h a t t h e t h r e e k i n d s o f p r o c e s s ar e

p h y s i c a l l y c o n n e c t e d . F o r e x a m p l e , i t i s o b v i o u s t h a t w e c a n n o t h o p e t o u n d e r s t a n d w h y

d i f f e r e n t s y s t e m s s h o w t h e s a m e a r r o w s o l o n g a s w e c o n f i n e o u r a t t e n t i o n t o i s o l a t e d sy s -

t e m s . I n t e r a c t i o n s w i t h t h e e n v i r o n m e n t p l a y a n e s s en t ia l p a r t i n d e t e r m i n i n g t h e i n i t ia l

c o n d i t io n s f o r c l os e d s y s t e m s , a n d s o m e a u t h o r s h a v e s u g g e s te d t h a t t h e y c o n t i n u e t o p l a y

a n e s s e n t ia l p a r t i n t h e s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t o f w h a t a r e re g a r d e d n o m i n a l ly a s c lo s ed

s y s t e m s .

T h e p r e s e n t c o m m u n i c a t i o n o u t l in e s a u n i fi e d t h e o r y o f t h e a r r o w o f t i m e . A l t h o u g h i t

r e q u i r e s a r a t h e r d r a s t i c d e p a r t u r e f r o m c u r r e n t l y a c c e p t e d c o s m o l o g i c a l i d e a s, th i s t h e o r y

i s c o n s i s t e n t w i t h t h e o r i e s o f t h e k i n d t h a t h a v e b e e n d e v e l o p e d b y v a n H o v e : ) a n d P r i -

g o g i n e 2) t o d e s c r i b e t h e a p p r o a c h t o e q u i l i b r i u m i n c l o s e d s y s t e m s . I n f a c t , i t c l ar if ie s c e rt a i n

a s s u m p t i o n s i n t h e s e t h e o r i e s t h a t h a v e p r e v i o u s ly b e e n r e g a r d e d a s a m b i g u o u s o r o b s c ur e .

T o f ix id e a s , l e t u s re c a l l h o w t h e t r a n s i t i o n f r o m a r e v e r s i b l e m i c r o s c o p i c d e s c r i p t i o n t o a n

i r r e v e r s i b l e m a c r o s c o p i c d e s c r i p t i o n i s a c c o m p l i s h e d i n n o n - e q u i l i b r i u m s t a t i s t i c a l m e -

c h a n i c s . I n t h e f i rs t p l a c e , i t is n e c e s s a r y t o s u p p o s e t h a t t h e m i c r o s c o p i c s t a t e o f t h e s y s t e m

u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s s p e c i f ie d b y a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n {10k} o r , m o r e g e n e r a l l y , b y

a d e n s i t y m a t r i x ~ . T h e i n f o r m a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h i s d e s c r i p t i o n is d e fi n e d b y

I =

S m . - S

1)

10~* 2 /9


2/9

2 8 0 C o s m o l o g y a n d t h e A r r o w o f T i m e

w h e r e t h e e n t r o p y ~ i s d e f in e d b y

S

= - - ~ V p k

In Pk or S - -- - Tr{ o In ~}.

~ )

Sm ax s t h e m a x i m u m v a l u e o f S c o n s i s t e n t w i t h t h e m a c r o s c o p ic c o n s t r a in t s o n t h e s y s t e m .

L i o u v i ll e s th e o r e m , w h i c h i s v a l id w h e n e v e r t h e r e e x i s ts a w e l l- d ef in e d H a m i l t o n i a n f o r t h e

s y s t e m , i m p l ie s t h a t S i s a c o n s t a n t o f t h e m o t i o n ; t h e d y n a m i c a l e v o l u t i o n o f a c l os e d

s y s t e m n e i t h e r c r e a t e s n o r d e s t r o y s i n f o r m a t i o n a b o u t i t s m i c r o sc o p i c s t a t e . T h u s i f t h e

a p p r o a c h t o e q u i l i b r i u m is t o b e c h a r a c t e r i z e d b y a l o ss o f i n f o r m a t i o n ( g a in o f e n t r o p y ) a t

s o m e l e v e l o f d e s c r ip t i o n , t h e r e m u s t o c c u r a c o r r e s p o n d i n g in c r e as e o f i n f o r m a t i o n a t

o t h e r l e v el s . I t i s es s e n t ia l , t h e r e f o r e , t o i n t r o d u c e a c o a r s e - g r ai n e d p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n

{ Pk } o r d e n s i t y m a t r i x 0 . T h e p r o b a b i l i t i e s P k ( = ~k~ ) r e f e r t o a g g r e g a t e s o f m i c r o s c o p ic

s t a t e s o r o f e i g e n s t a te s o f t h e d e n s i t y m a t r i x . T h e y m u s t b e c h o s e n in s u c h a w a y t h a t t h e

m a c r o s c o p i c v a r i a b l e s t h a t f ig u r e i n a t h e r m o d y n a m i c d e s c r i p t i o n o f t h e s y s t e m ( e. g. t h e

e n e r g y ) d o n o t v a r y a p p r e c i a b l y w i t h i n a n a g g r e g a t e. I s h a l l g iv e th e n a m e m a c r o s c o p i c

i n f o r m a t i o n t o t h e q u a n t i t y i a s s o c i a t e d w i t h { Pk } o r ~, a n d t h e n a m e m i c r o s c o p i c i n f o r m a -

t i o n t o t h e r e s i d u a l i n f o r m a t i o n Y = I i . I t c a n b e s h o w n (a) t h a t i s t h e e x p e c t a t i o n

v a l u e w i t h r e s p e c t t o t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t io n { Pk } o f th e i n f o r m a t i o n a s s o c ia t e d w i t h

t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f o r m i cr o s c o p i c s t a t e s i n a g i v e n a g g r e g a t e .

T h e u s e o f a s t o c h a s t i c d e s c r i p t i o n a n d t h e i n t r o d u c t i o n o f co a r s e - g ra i n i n g d o n o t i n

t h e m s e l v e s d i s tu r b t h e s y m m e t r y b e t w e e n p a s t a n d f u t u r e t h a t i s i n h e r e n t m t h e u n d e r -

l y i n g m ic r o sc o p i c d e s c r ip t i o n T o p r o v e t h a t t h e m a c r o s c o p ic m f o r m a t i o n d e c r e as e s w i t h

t i m e , o n e m u s t m a k e a n a s s u m p t i o n t h a t e x p l i ci t ly d i s ti n g u is h e s b e t w e e n t h e p a s t a n d t h e

f u t u r e V a n H o v e (1) h a s s h o w n t h a t i f t h e t t a m i l t o n i a n h a s c e r t a i n g e n e r a l p r o p e r ti e s

i t is s u ff i c ie n t t o p o s t u l a t e t h a t t h e n o n d i a g o n a l e l e m e n t s o f t h e c o a r s e - g r a in e d d e n s i t y

m a t r i x v a n i s h i n i ti a ll y ; t h e s y s t e m t h e n e x h i b i t s ir r ev e r s ib l e b e h a v i o r a t a l l l a t e r t im e s .

S i m i l ar t h e o r e m s h a v e b e e n e s t a b l is h e d i n d i f f e re n t f o r m a l c o n t e x t s b y a n u m b e r o f o t h e r

a u t h o r s . (2 .4 -6 ) A l l t h e s e t h e o r e m s s t a t e t h a t t h e m a c r o s c o p i c i n f o r m a t i o n w i ll d e c r e a s e

m o n o t o n i c a l l y w i t h t i m e i f t h e m i c r o s c o p i c i n f o r m a t i o n v a n i s h e s i n i ti a l ly . T h e p r e c is e

d e f i n i ti o n s o f m a c r o s c o p i c a n d m i c r o s c o p i c i n f o r m a t i o n d e p e n d , o f c o u r s e , o n t h e f o r m a l

c o n t e x t .

T h e r m a l e q m l i b r i u m m a y b e d e f in e d as t h e s t a t e i n w h i c h n o m a c r o s c o p ic in f o r m a t i o n

a t a l l i s p r e s e n t , i . e . t h e s t a t e f o r w h i c h t h e c o a r s e - g r a i n e d e n t r o p y a s s u m e s i t s m a x i -

m u m v a lu e s u b j e c t t o t h e m a c r o s c o p ic c o n s t ra i n t s. T h e c o n s t r a in t s ( N ~ = c o n s t, a n d

( E ~ - - e o n s t , a r e a p p r o p r i a t e t o t h e g r a n d c a n o n i c a l d i s t r i b u t i o n o f G i b b s ~ ) ( N a n d E a r e

r e s p e c t i v e l y t h e n u m b e r o f p a r t ic l e s a n d t h e t o t a l e n e r g y , a n d t h e b r a c k e t s d e n o t e a v e r a g e s

o v e r t h e c o a r s e- g r a in e d p r o b a b i l i t y d m t r i b u t io n . )

M o d e r n t h e o r i e s o f i rr e v e rs i b le p r o c e ss e s m m a n y - b o d y s y s t e m s p r o v i d e i n s ig h t in t o t h e

d e t a i l e d m e c h a n i s m s r e s p o n s i b l e f o r t h e a p p r o a c h t o e q u i l i b r iu m , a s w e l l a s p o w e r f u l

m e t h o d s f o r c a l c u l a t in g t r a n s p o r t c o e f f ic i e n ts . M o r e o v e r , t h e i r u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s a r e

p h y s i c a l l y v e r y p l a u s ib l e, e s p e c ia l ly a s t h e y a p p l y t o s y s t e m s p r e p a r e d i n t h e l a b o r a t o r y .

T h e i n i t i a l a b s e n c e o f m i c ro s c o p i c i n f o r m a t i o n , f o r e x a m p l e , c a n u s u a l l y b e a t t r J b u t e d t o

t h e w a y i n w h i ch t h e s y s t e m h a s b e e n p r e p a r e d . W h e n t h e y a r e a p p l ie d t o n a t u r a l l y

o c c u r r i n g s y s t e m s , h o w e v e r , t h e s e t h e o r i e s e n c o u n t e r c e r t a i n c o n c e p t u a l d i f f i c u l t m s ,

s t e m m i n g f r o m t h e l a c k o f a n y p r e s c r ip t i o n f o r d is t in g u i s hi n g b e t w e e n m a c r o sc o p i c a n d

m i c r o s c o p i c i n f o r m a t i o n o r f o r i d e n t i f y i n g t h e m a c r o s c o p i c v a r i a b l e s t h a t o u g h t t o f i g u re i n a

m a c r o s c o p i c d e s c r ip t i o n . I n d e e d t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e m a c r o s c o p i c a n d m i c r o s c o p ic

l e v el s o f d e s c r ip t i o n h a s b e e n h e l d b y m a n y w r i t e rs t o b e p u r e l y s u b j e c t i v e . I t i s w i d e l y

a c c e p t e d t h a t , a l t h o u g h i n f o r m a t i o n a b o u t t h e d e t a i le d s t a t e o f a c o m p l e x p h y s ic a l s y s t e m


3/9

D ~ v ~ I ~Y z ~R 2 8

m a y b e u n i n t e r e s t i n g o r h a r d t o g e t , i n p ri n c ip l e it c a n a l w a y s b e o b t a i n e d . B u t i f t h i s v i e w

i s c o r r e c t , h o w c a n s t a t i s t i c a l c o n s i d e r a t io n s t e a c h u s a n y t h i n g a b o u t t h e a r r o w o f t i m e i n

n a t u r a l l y o c c u r r i n g s y s te m s~ .

A t t e m p t s t o r e s o l v e th i s d i f f i cu l t y h a v e i n t h e p a s t p r o c e e d e d a l o n g t w o d i f fe r e n t li ne s .

G o l d a n d o t h e r s a d m i t t h e p o s s i b i l i ty o f a c o m p l e t e m i e r6 s c o p i c d e s c r i p t i o n o f a n y f i n i te

s y s t e m a n d o f t h e U n i v e r s e a s a w h o l e. T h e y s e e k t o r e l a t e t h e a r r o w o f t i m e t o t h e c o s m ic

e x p a n s i o n , b e c a u s e o f w h i c h t h e U n i v e r s e a c t s a s a s i n k f o r r a d i a t i o n . ~s~ C o n s e q u e n t l y a

s y s t e m t h a t i s o p e n t o t h e U n i v e r s e c a n n o t b e i n a s t a te o f t h e r m o d y n a m i c e q u il ib r iu m , a n d

t h i s i s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r i t t o s h o w t h e a r r o w o f ti m e . G o l d a r g u e s Cs~ t h a t o u r s u b -

i e c ti v e c e r t a i n t y t h a t t i m e r e a l l y g o e s i n o n e s e n s e a n d n o t t h e o t h e r re s u l t s f r o m o u r

b e i n g a b l e t o p r e d i c t t h e p a s t w i t h m u c h g r e a t e r c e r t a i n t y t h a n t h e f u t u r e , g i v e n a k n o w -

l e d g e o f t h e p r e s e n t c o n f i g u r a t i o n . H e i n t e r p r e t s t h i s a s y m m e t r y a s a s t a t i s ti c a l e f fe c t

r e l a t e d t o t h e c o s m i c e x p a n s i o n : t h e w o r l d l i n e s o f t h e p a r t i c l e s ( i n c lu d i n g p h o t o n s ) t h a t

m a k e u p a c o m p l e x s y s t e m o p e n t o t h e U n i v e r s e t e n d t o d i v e r g e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e

e x p a n s i o n , c h i ef l y b e c a u s e p h o t o n s a r e g e t t i n g o u t b u t n o t i n .

T h e s e c o n d l in e o f a r g u m e n t , w h i c h h a s b e e n d e v e l o p e d b y B l a t t a n d o t h e r s , (9~ a l so a t t r i -

b u t e s m a c r o s c o p i c i r r e v e r s i b i l i ty t o i n t e r a c t i o n s b e t w e e n o s t e n s i b l y c l o s ed s y s t e m s a n d

t h e i r e n v i r o n m e n t , b u t d e n i e s t h e p o s s i b i h t y o f a c o m p l e t e m i c ro s c o p ic d e s c ri p t io n o f

a n y f in i te s y s t e m . B l a t t a r g u e s t h a t i n t e r a c ti o n s b e t w e e n a f in i te s y s t e m a n d i t s e n v i r o n -

m e n t , w h i c h c a n n e v e r b e e l i m i n a t e d e n t i re l y , g iv e ri s e t o a s t o c h a s ti c c o n t r i b u t i o n t o t h e

H a m i l t o n i a n o f t h e s y s t e m . T h e s t o c h a s t ic n a t u r e o f t h e i n t e r a c ti o n s i s i m p l ic i t i n t h e

d e f i n it io n o f a f in i te s y s t e m ; t h e o n l y p u r e l y m e c h a n i c a l s y s t e m t h a t e x i st s is t h e w h o l e

U m v e r s e . O n ce a s t o c h a s t ic c o n t r i b u t i o n t o t h e H a m i l t o n i a n o f a s y s t e m i s a d m i t t e d , t h e

a p p r o a c h t o e q u i l i b r m m c a n b e d e m o n s t r a t e d w i t h o u t r e c o u rs e t o c o a r s e- g ra i n in g ,

T h e p r i n c ip a l o b j e c ti o n s t h a t h a v e b e e n r a i s e d to t h e a r g u m e n t s o f B l a t t a n d G o l d s te m

f r o m t h e b e l ie f t h a t t h e a p p r o a c h t o e q u i l i b ri u m d o e s n o t d e p e n d u p o n a c o n t/ n u /n g in t e r -

a c t i o n b e t w e e n a s y s t e m a n d i t s e n v i r o n m e n t . I t i s n o t e w o r t h y t h a t B l a t t a n d G o l d b o t h

r e g a r d t h e a r r o w o f t i m e a s a p r o p e r t y p e c u l i a r t o p r o p e r s u b s y s t e m s o f t h e U n i v e r s e .

A c c o r d i n g t o b o t h t h e s e v ~e ws t h e U n i v e r s e a s a w h o l e a d m i t s a c o m p l e t e l y r e v e r s i b l e

m i c r o s c o p i c d e s c r i p t i o n . A c c o r d i n g t o t h e c o n v e n t i o n a l v i ew , o n t h e o t h e r h a n d , a n i n ~ n i t e

U n i v e r s e r e p r e s e n t s t h e 1 d e al i r r ev e r s i b l e s y s t e m , f o r t h e P o i n c a r ~ r e c u r r e n c e t i m e a s s o c i a t ed

w i t h i t i s in f in i te , w h il e t h a t a s s o c ia t ed w i t h a n y f ~ t e s y s t e m i s fi n it e. T h e t h e o r y o u t l in e d

b e l o w a c c e p t s c o n v e n t i o n a l v e r s i o n s o f n o n - e q u i l i b r i u m s t a t i s ti c a l m e c h a n i c s , b u t s e e k s

t o r e s o l v e t h e a m b i g u i t i e s i n h e r e n t i n t h e i r u n d e r l y i n g s t a t i s ti c a l a s s u m p t i o n s b y e s t a b l i s h -

i n g o b j e c t i v e c r i t e r i a f o r t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e m a c r o s c o p i c a n d m i c r o s c o p i c l e v e ls o f

d e s c r i p t i o n . T h e s e c r i t e r i a a r e s u p p l i e d b y a p i c t u r e o f t h e U n i v e r s e a n d i t s t e m p o r a l

d e v e l o p m e n t t h a t d i ff e rs f r o m t h e o n e o b t a i n e d t h r o u g h e x t r a p o l a t i o n o f n o n - e q u i li b r iu m

s t a t i s ti c a l m e c h a n i c s (1~ ( t h e U n i v e r s e a s a n i d e a l i s o l a t e d s y s t e m t e n d i n g t o w a r d e q u il i-

b r i u m ) a n d f r o m t h e c l a s s ic a l p i c t u r e o f t h e U n i v e r s e a s a p e r f e c t r e v e r s ib l e m a c h i n e

I n s t e a d o f t r y i n g t o d e v e l o p a p i c t u r e o f c o s m ic e v o l u t i o n b y e x t r a p o l a t i n g m a c r o s c o p ic

l aw s , w e s h a ll f o ll o w t h e o p p o s i t e a p p r o a c h a n d b e g i n a t t h e c o s m o l o g i c al l e v e l. P e r h a p s

t h e m o s t f u n d a m e n t a l d i f f e re n c e b e t w e e n c o s m o l o g y a n d m a c r o s c o p ic p h y s i c s i s t h a t t h e

l a t t e r m u s t c o n c e r n i t s e lf w i t h a n i n f in i t e v a r i e t y o f p h y s i c a l s y s t e m s a n d p h y s i c a l c o n d i-

t i o n s , w h i le t h e f o r m e r t r e a t s a s i ng l e s y s t e m a n d i t s e v o l u t i o n . T h u s i n m i c r o s c o p ic p h y s i c s

i t is n a t u r a l, i n d e e d u n a v o i d a b l e , t o s p l i t u p t h e m a t h e m a t i c a l d e s c r ip t i o n in t o a s e t o f

l a w s , w h i c h a r e t h e s a m e f o r al l s y s t e m s u n d e r a l l c o n d i t i o n s , a n d a s e t o f a u x i l i a r y s t a t e -

m e n t s t h a t s e r v e t o d e f in e p a r t i c u l a r s t a t e s o f p a r t i c u l a r p h y s i c a l s y s t e m s . (n~ B e c a u s e t h e

l aw s d o n o t m a k e e x p l ic i t r e f e re n c e to m i c ro s c o p ic s y s te m s , t h e y m a y b e p r e s u m e d t o b e

v a l i d al s o a t t h e c o s m o l o g i c a l l e v e l t h o u g h o f c o u r s e t h e p o s s i b i l i ty c a n n o t b e e x c l u d e d


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282 Cosmology and the Arrow of T ime

t h a t s o m e m o d i f i c at io n s m a y p r o v e t o b e n e c e ss a r y . ( F o r e x a m p l e , N e w t o n ' s l a w o f g r a v i -

t a t i o n d o e s n o t a p p l y t o a n i nf in i te d i s t ri b u t i o n o f m a t t e r o f c o n s t a n t m e a n d e n s i t y , b u t

E i n s t e i n ' s d o e s . ) O n t h e o t h e r h a n d , t h e a u x i l i a r y c o n d i t i o n s t h a t s e r v e t o d e f in e t h e U n i -

v e r s e m u s t b e r e g a r d e d a s b e i n g o n a n e n t i r e ly d i f f er e n t f o o t in g f r o m t h o s e t h a t s e r v e t o

d e fi ne m a c r o s c o p ic s y s t e m s . B e c a u s e t h e U n i v e r s e i s a u n i q u e s y s t e m , t h e a u x i h a r y c o n -

d i ti o n s t h a t d e fi ne it m u s t b e a c c o r d e d t h e s a m e s t a t u s a s th e p h y s i c a l la w s E v e n i f t h e r e

e x i st e d , m s o m e se n se , a n u m b e r o f p o s s i b l e m o d e l s o f t h e U n i v e r s e , t h e r e w o u l d b e n o

r e a s o n t o s u p p o s e t h a t t h e p h y s i c a l la w s t h a t p r e v a i l i n t h e U n i v e r s e w e i n h a b i t w o u ld a ls o

p r e v a i l i n t h e o t h e r s .

T h e r e i s a n o t h e r r e a s o n f o r a c c o r d i n g t h e c o s m o l o g i c a l a u x i l i a r y c o n d i t i o n s t h e s t a t u s

o f l a w s . T h e i n f i n it e v a r i e t y o f a u x i l i a r y c o n d i t io n s t h a t c a n b e a p p l i e d t o m a c r o s c o p i c

s y s t e m s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e p r o p e r t i e s o f i n d i v i d u a l

s y s t e m s . A s so o n a s w e s h i f t o u r a t t e n t i o n f r o m i n d i v i d u a l s t o c l a s s e s ( f o r e x a m p l e , f r o m

i n d i v i d u a l s t a r s t o t h e w h o l e c l a s s o f s t a r s) , t h e c h o i c e o f s u i t a b l e c o n d i t i o n s b e c o m e s m u c h

n a r r o w e r . T h u s i f w e c o n s i d e r t h e s t a r s a s a w h o le , w e m u s t r e g a r d t h e d i s t r i b u t i o n o f s u c h

p a r a m e t e r s a s m a s s , a g e a n d c h e m i c a l c o m p o s it io n , w h i c h a r e f r e e l y d i s po s a b le w h e n w e t r e a t

i n d i v i d u a l s t a r s , a s s u b j e c t t o d e f i n i t e s ta t i s t i c a l la w s w h i c h w o u l d b e s u p p l i e d b y a t h e o r y

o f s ta r f o r m a t i o n . T t u s t h e o r y m t u r n w o u l d c o n t a i n s o m e d is p o s a b le p a r a m e t e r s , f o r

e x a m p l e p a r a m e t e r s s p e c if y i ng t h e p r o p e r t i e s o f p r o t og a l a x i e s, w h o s e s t a t is t ic a l d i s t r i b u ti o n

w o u l d b e d e t e r m i n e d b y a t h e o r y f o r t h e f o r m a t i o n o f g a l ax i e s. U l t i m a t e l y , s t a t i st i c a l la w s

g o v e r n i n g t h e d i s tr i b u ti o n s o f a n d c o r r e ia t lo n s a m o n g t h e p a r a m e t e r s t h a t s p e c i fy al l t h e

m a c r o s c o p i c p r o p e r t i e s o f a s t r o n o m i c a l s y s t e m s s h o u l d e m e r g e f r o m a s u ff i ci e n tl y c o m p l e t e

t h e o r y o f c o s m i c s t r u c t u r e a n d e v o l u t io n . B u t t h e r e i s n o r e a s o n w h y s u c h a t h e o r y s h o u l d

i t se l f c o n t a i n d i s p o s a b le p a r a m e t e r s .

I f w e r e g a r d t h e a u x i l i a r y c o n d i ti o n s t h a t d e f in e th e U m v e r s e a s b e in g o n a p a r w i t h t h e

o r d i n a r y l a w s o f p h y s ic s , w e m a y e m p l o y t h e u s u a l e m p i r i c a l c r it e r ia o f si m p l i c it y a n d

e c o n o m y a s g u id e s to t h e i r f o r m u l a t io n .

T h e s i m p l e s t a s s u m p t i o n a b o u t t h e U n i v e r s e t h a t i s c o n s i s te n t w i t h c u r r e n t p h y s i c a l

t h e o r i e s i s t h e s o - c a l le d c o s m o l o g i c a l p r i n c ip l e , w h i c h s t a t e s t h a t t h e s p a t i a l s t r u c t u r e o f t h e

U n i v e r s e i s s t a t is t i c a ll y h o m o g e n e o u s a n d i s o tr o p ic : n o a v e r a g e p r o p e r t y o f t h e

sp t i l

d i s t r i b u t i o n o f m a t t e r a n d m o t i o n s e r v e s t o d e f in e a p r e f e r r e d p o s i t i o n o r a p r e f e r r e d d i r e c -

t i o n i n s p a c e . T h e c o s m o l o g i c a l p r i n c i p le h a s t w o w e l l - k n o w n c o n s e q u e n c e s . I n t h e f i r s t p l a c e ,

i t l ea d s t o a u n i q u e d e c o m p o s i t i o n o f s p a c e - t i m e i n to s p a c e a n d t im e . ( l ~ T h u s t h e c o s m o lo g i-

c a l p r in c i p l e r e - e s ta b l is h e s a b s o l u t e s i m u l t a n e i ty . T h e r e a s o n i s t h a t t h e p r o p e r t i e s o f h o m o .

g e n e l t y a n d l s o t r o p y ( a n d th e m e t r i c t h a t e x p r e s s e s t h e s e p r o p e r t ie s ) a r e n o t i n v a r i a n t u n d e r

G a h l e a n t r a n s f o r m a t i o n s . I n t h e s e c o n d p l ac e , t h e c o s m o lo g ic a l p r in c ip l e, t o g e t h e r w i t h

E m s t e i n ' s t h e o r y o f g r a w t a t i o n , i m p l ie s t h a t t h e U n i v e r s e is e x p a n d i n g f r o m o r c o n t r a c t in g

t o w a r d a s i n g u l a r s t a t e o f ( f o r m a l l y ) i n f i n it e d e n s i t y . (18~ T h u s t h e c o s m o l o g i c a l p r i n c i p l e

i m p l i e s t h a t t h e t e m p o r a l s t r u c t u r e o f th e U n i v e r s e i s a n is o tr o p ic . C o s m i c ti m e is b o t h

a b s o l u t e a n d d i r e c te d .

I n t h e p a s t i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t , e v e n t h o u g h t h e s p a t i a l s t r u c t u r e o f t h e U m v e r s e

m a y b e h o m o g e n e o u s a n d i s o t r o p l c i n a s ta t i s t i c a l s e ns e , a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e c o n -

t e n t s ( or g e o m e t r y ) o f s p a c e a t a g i v e n i n s t a n t o f co s m i c t i m e w o u l d d i s ti n g u is h b e t w e e n

d i f f e r e n t p o s i ti o n s a n d d i f f e r e n t d ir e c t io n s , o r a n g t o t h e p r e s e n c e o f lo c a l i r re g u l a r it i e s. F o r a

d i s t r i b u t i o n t h a t i s e i t h e r f i n i t e o r b o u n d e d , t h i s s t a t e m e n t i s b o t h o b w o u s a n d t r i v i a l . F o r

a n i n fi n it e a n d u n b o u n d e d

c l ~ s i c t

( a s o p p o s e d t o q u a n t u m m e c h a n i c a l ) d i s t ri b u t i o n , i t i s

l e s s o b v i o u s b u t s ti ll t r u e . F o r a n i nf i n it e a n d u n b o u n d e d d i s t r i b u t i o n t h a t c a n b e c h a r a c -

t e r i z e d b y a c o u n t a b l y i n f in i te s e t o f o c c u p a t i o n n u m b e r s i t n e e d n o t , I s u g g e s t, b e t r u e

a t a l l .


5/9

D A v m I ~Y z E ~ 2 83

C o n s i d e r, f o r e x a m p l e , a s t a t i s t i c a l l y h o m o g e n e o u s d i s t r i b u t i o n o f p o i n t s a l o n g a n i n f in i te

s t r a i g h t l in e t h a t h a s b e e n d i v i d e d i n t o c e l l s o f e q u a l l e n g t h . T h e d i s t r i b u t io n i s s p e c if i ed

b y a n i nf i n it e b u t c o u n t a b l e s e q u e n c e o f o c c u p a t i o n n u m b e r s , w h i c h a r e in t e g e r s . B e c a u s e

t h e d i s t r i b u t i o n i s i n fi n it e , w e i n f e r f r o m t h e e r g o d i c t h e o r e m o f B i r k h o f f a n d K h i n c h i n t h a t

a n y o f i t s s ta t i s t ic a l p r o p e r t i e s c a n b e a s c e r t a i n e d t o a n y d e s i r e d d e g r e e o f a c c u r a c y

t h r o u g h s u f f ic i e nt ly e x t e n s i v e m e a s u r e m e n t s , p r o v i d e d o n l y t h a t t h e c o r r e la t i on d i s t a n ce

i s fin ite .C 14 ) S u p p o s e t h a t w e a r e n o w g i v e n a s e c o n d s t a t i s t i c a l l y h o m o g e n e o u s c h s t r i b u t i o n

o f p o i n t s a l o n g a li n e d i v i d e d i n t h e s a m e w a y , a n d a r e a s k e d t o d e c i d e w h e t h e r o r n o t t h e

t w o d i s t r i b u t i o n s a r e i d e n t ic a l . L e t u s a s s u m e t h a t w e a r e al l o w e d t o c a r r y o u t a c o u n t a b l y

i n fi n it e s e r ie s o f o p e r a t i o n s . T h i s w i l l e n a b l e u s t o d e c i d e w h e t h e r t h e t w o d i s t r ib u t i o n s h a v e

t h e s a m e s t a t is t i c a l p r o p e r t i e s , b e c a u s e a c o m p l e t e s e t o f m o m e n t s a n d c o r r e l a t io n s o f t h e

o c c u p a t i o n n u m b e r s i s c o u n t a h l y i n f in i te , a n d t h e v a l u e o f ea c h s u c h p r o p e r t y c a n b e f o u n d

t h r o u g h a c o u n t a b l y i n fi n it e s e r ie s o f m e a s u r e m e n t s . S u p p o s e t h a t t h e t w o d i s t r i b u t i o n s

t u r n o u t t o h a v e t h e s a m e s t a t i s ti c a l p r o p e r t i e s . C a n w e d is c o v e r a n y n o n - s t a t i s t i c a l

d i f fe r e n c e s b e t w e e n t h em e .

B e c a u s e t h e h s t r i b u ti o n s a r e u n b o u n d e d , t h e y c a n b e m a t c h e d i n a c o u n t a b l y i n f in i te

n u m b e r o f w a y s . N o w i t is c le a r t h a t a n y f i n it e s t r e t c h o f t h e f i r st d i st r i b u ti o n c a n b e

m a t c h e d i n t h e s e c o n d d i s t r ib u t i o n , b e c a u s e e v e r y fi n it e s e q u e n c e o f o c c u p a t i o n n u m b e r s

h a s a f i n it e p r o b a b i l i t y o f o c c u rr e n ce . W h e t h e r t h e t w o d i s t r ib u t io n s c a n a l w a y s b e m a t c h e d

a l o n g t h e i r e n t i r e l e n g t h s , I h a v e n o t b e e n a b l e t o d e t e r m i n e . I n t h e p r e s e n t c o n t e x t ,

h o w e v e r , t h i s q u e s t i o n i s n o t o f c r u c i a l i m p o r t a n c e , f o r i n a n e x p a n d i n g U n i v e r s e o f t h e

F r i e d m a n n t y p e t h e v i s ib l e U n i v e r s e i s a l w a y s fi n it e . T h u s i t a p p e a r s t o b e p o s s ib l e to

c o n s t r u c t i n f in i t e a n d u n b o u n d e d d i s t r ib u t i o n s w h o s e s t a t is t i c a l d e s c r i p t i o n i s a l so a

c o m p l e t e d e s c r ip t i o n , i n t h e s e n s e t h a t i t c o n t a i n s a ll t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e d i s t r i b u t i o n

t h a t c a n b e g a i n e d t h r o u g h m e a s u r e m e n t s w i t h i n a f in it e v o lu m e . N o t a l l d i s tr i b u ti o n s

s a t i s f y i n g t h e c o s m o l o g i c a l p r i n c i p le h a v e t h i s p r o p e r t y , h o w e v e r . F o r t h e s a k e o f d e f i-

n i t e n e s s I s h a l l d e s i g n a t e a s t h e

strong cosmologic l pm nciple

t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e

U n i v e r s e a d m i t s a completes t a t m t i c a l d e s c r ip t i o n t h a t d o e s n o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n d i f f e r e n t

p o s i t i o n s a n d d i f f e r e n t d i r e c ti o n s i n s p a c e .

T h e s t r o n g c o s m o l o g i c a l p r i n c ip l e s e e m s a t f i rs t s i g h t n o t t o b e a p p l i c a b l e t o a F n e d m a n n

U n i v e r s e o f f i m t e v o l u m e . S u c h a U n i v e r s e , h o w e v e r , i s a ls o fi n it e in t i m e , i t e x p a n d s t o

a s t a t e o f f in it e m i n i m u m m e a n d e n s i t y a n d t h e n c o n t r a c t s to w a r d t h e s i ng u l a r s t a t e o f

i n f in i te d e n s i t y . M o d e l U n i v e r s e s o f t h i s k i n d a r e u s u a l l y p m t u r e d a s g o i n g t h r o u g h a n

e n d l e s s s u c c e s s i o n o f e x p a n s i o n - c o n t r a c t i o n c y c l e s , b u t t h i s p i c t u r e h a s t w o u n p h y s i c a l

f e a t u r e s . I n t h e f i r st p l a c e , t h e r e d o e s n o t y e t e x i s t a n y c o n v i n c i n g w a y o f c o n n e c t i n g

s o l u t io n s o f t h e g r a v i t a t i o n a l f i e ld e q u a t i o n s o n t h e t w o s i d e s o f a s i n g u l a ri t y , n o r d o e s

t h e r e s e e m t o b e a n y w a y o f a v o i d in g t h e s i n g u l a ri t y t h r o u g h r e a s o n a b le a s s u m p t i o n s

a b o u t t h e f o r m o f t h e m a t t e r - e n e r g y t e n s o r a t h i g h d e n s it ie s . is) I n t h e s e c o n d pl a c e, i t

w i ll b e a r g u e d b e l o w t h a t i n t h e i n i t ia l p h a s e s o f t h e e x p a n s i o n t h e U n i v e r s e i s i n a s t a t e o f

t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m a n d t h a t t h e i n i t i a l a n d f i n a l s t a t e s a r e i d e n t i c a l . T h i s w o u l d

m a k e i t p h y s i c a ll y m e a n i n g le s s to a r r a n g e e x p a n s m n - c o n t r a c t i o n c y c le s i n a n y s o r t o f

l i n e a r s e q u e n c e . T h u s , i n s t e a d o f a si n gl e c y c li c U n i v e r s e , w e m u s t e n v i s a g e s o m e t h i n g h k e a

G l b b s e n s e m b l e o f U n i v e r s e s t h a t a r e f in it e in b o t h s p a c e a n d t i m e , e a c h o n e c o r r e s po n d i n g

t o a p a r t i c u l a r r e a l i z a t m n o f a s t a t is t i c a l d e s c r i p t io n s a t i s f y i n g t h e s t r o n g c o s m o l o g i c a l

p r in c i pl e . T h e f a c t t h a t w e c a n c a r r y o u t o b s e r v a t i o n s t h a t p e r t a i n t o o n l y on e m e m b e r o f

t h i s e n s e m b l e is a n a l og o u s t o t h e f a c t t h a t i n a n i n f in i te F r i e d m a n n U n i v e r s e w e c a n o n l y

m a k e o b s e r v a t i o n s w i t h i n a f i n i t e r e g i o n . T h e s e c o n s i d e r a t i o n s s u g g e s t t h a t t h e s t r o n g

c o s m o l o g i c a l p r i n c i p le d o e s n o t e x c l u d e t h e p o s s i b i li t y o f a f i n it e U n i v e r s e ; b u t t h i s q u e s t i o n

n e e d s f u r t h e r a t t e n t io n .


6/9

84

Cosmology and the Arrow of T im e

T h e s t r o n g c o s m o l o g ic a l p r in c i p le i m p h e s t h a t a c e r t a i n k i n d o f i n f o r m a t i o n , w h i c h w e

n o w i d e n t i f y w i t h m i c r o s c o p ic i n f o r m a t i o n , i s n o t p r e s e n t i n a c o m p l e t e d e sc r i p ti o n o f t h e

U n i v e r s e . L e t u s n o w t r y t o o b t a i n a m o r e p r e c i se i d e a o f w h a t c o n s t i t u t e s m i c ro s c o p ic

i n f o r m a t i o n .

W e fi rs t n o t e t h a t t h e t e m p o r a l d e v e l o p m e n t o f a s y s t e m u n d e r k n o w n d y n a m i c a l la w s

d o e s n o t a l t e r t h e q u a n t i t y o f i n f o r m a t i o n a s s o c ia t e d w ~ th it . N o w c o n s i d e r t h e s t a t e o f t h e

U n i v e r s e a t e p o c h s v e r y n e a r t h e b e g i n n in g o f t h e e x p a n s i o n w h e n t h e m e a n d e n s i t y is

v e r y h i g h . B e c a u s e t h e r e l a x a t i o n t i m e v a r ie s r e v e r s e l y a s t h e s q u a r e o f t h e d e n s i t y , w h il e

t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e a s s o c i a t e d v ~ t h t h e c o s m i c d e n s i t y v a r i e s a s ~-1 /2 o r ~-2 /a , d e p e n d i n g

o n w h e t h e r m a t t e r o r r a d i a t i o n d o m i n a t e s , (la) t h e r e m u s t b e a r a n g e o f d e n s it ie s f o r w h i c h

l o ca l t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b ri u m p r e v a i ls t o a h i g h d e g r e e o f a p p r o x i m a t i o n . N u m e r i c a l

e s t i m a t e s p l a c e t h e l o w e r l i m i t o f t h e d e n s i t y w e l l b e lo w t h a t o f n u c l e a r m a t t e r f o r a w i d e

r a n g e o f a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t e m p e r a t u r e a n d c o m p o s i t io n . I n t h i s p h a s e o f t h e e x -

p a n s i o n , a c o m p l e t e s t a t i st i c a l d e s c r i p ti o n o f t h e U m v e r s e r e q u i r e s a c o m p a r a t i v e l y s m a l l

n u m b e r o f p a r a m e t e r s , i n c lu d i n g t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e , t h e t e m p e r a t u r e a t s o m e e p o c h ,

a n d t h e l e p t o n - b a r y o n r at i o . O t h e r r e f o r m a t i o n a b o u t t h e l o c al p h y s i c a l s ta t e c o m e s m t h e

u s u a l w a y f r o m e q u i h b r i n m s t a ti s t ic a l m e c h a m c s .

I n p r i n c i p l e i t i s n o w p o s s i b l e , i f t h e r e l e v a n t p h y s i c a l l a w s a r e k n o w n , t o c a l c u l a t e a

t e m p o r a l s e q u e n c e o f c o sm i c s t a t e s i n t h e d i r e c ti o n o f d e c re a s in g m e a n d e n s i t y . A t s u f-

f i ci e n tl y l o w d e n s i ti e s t h e c o n d i t io n s n e c e s s a r y f o r t h e m a i n t e n a n c e o f th e r m o d y n a m i c

e q u i l ib r i u m c a n n o l o n g e r b e m e t a n d t h e d i s t r ib u t i o n w i ll t a k e o n a n o n - e q u i h b r i n m

c h a r a c t e r . T h u s a s t h e U n i v e r s e e x p a n d s i t b e c o m e s in c r e a si n g l y co m p l e x , m o r e a n d m o r e

p a r a m e t e r s a r e n e e d e d t o d e s c r i b e i t s c u r r e n t s t a te , t h o u g h t h e i n f o r m a t i o n a s s o c i at e d w i t h

t h e d e s c m p t l o n s t a y s c o n s t a n t . C a l c u l a t io n s o f n u c l e o g e n c s i s 17) i n t h e e a r l y s t a g e s o f t h e

e x p a n s i o n a f f o r d a n e x c e l l e n t i ll u s t r a t i o n o f th ~ s p r o c e s s . T h e a p p a r e n t f a i l u r e o f t h e s e c o n d

l a w o f t h e r m o d y n a m i c s i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e c o s m ic e x p a n s i o n , w h i c h a l so l e ad s t o

o t h e r d e p a r t u r e s f r o m p h y s i c a l l aw s r e l e v a n t t o m a c r o s c o p i c sy s t e m s , s u c h a s t h e l a w s o f

c o n s e r v a ti o n o f e n e r g y a n d m o m e n t u m .

T h e r e d o e s n o t a s y e t e x i s t a d e t a i l ed t h e o r y f o r t h e f o r m a t m n o f g al a x ie s a n d o t h e r a s t r o -

n o m i c a l s y s t e m s t h r o u g h t h e g r o w t h o f d e n s i t y f l u ct u a ti o n s . ( is ) H o w e v e r , t h e o r e t i c a l

a r g u m e n t s h a v e b e e n a d v a n c e d t h a t t h i s p ro c e s s is p o s s ib l e u n d e r c o n d i t io n s h k e t h o s e

p o s t u l a t e d h e r e . (19) T h u s a t t h e p r e s e n t t i m e i t w o u l d a p p e a r t o b e a t e n a b l e h y p o t h e s i s t h a t

t h e U n i v e r s e h a s e v o l v e d f r o m a n ~ m ti al s t a te o f t h e r m o d y n a m i c e q u i l ib r i u m a n d t h a t t h e

c o m p l e x s t r u c t u r e w e o b s e r v e t o d a y h a s d e v e l o p e d g r a d u a l l y t h r o u g h p r o c e ss e s g o v e r n e d b y

e x i s ti n g p h y s i c a l t h e o r ie s . T h i s h y p o t h e s r s f u r m s h e s t h e p r e se m p t i o n w e h a v e b e e n s e e k i n g

f o r d i s t in g u i s h i n g b e t w e e n t h e m a c r o s c o p i c a n d m i c r o s c o p i c l e v e ls o f d e s c r i p t i o n : t h e v a r i -

a b l e s t h a t f i g u r e i n a c o m p l e t e s t a t i s t ic a l d e s c r i p t i o n o f t h e U n i v e r s e a n d i t s e v o l u t i o n a r e

t o b e r e g a r d e d a s m a c ro s c o p i c M i c ro s c op i c r e f o r m a t i o n is a c c o r d i n g l y a l w a y s a b s e n t , t h e

s p ec if ic e n t r o p y o f t h e U n i v e r s e a t a n y g i v e n i n s t a n t h a s t h e m a x i m u m v a l u e c o n s i s t e n t

w i t h t h e m a c r o s c o p i c d e s c r i p t i o n .

T h i s d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e m a c r o s c o p i c a n d m i c r o s c o p i c l e v e ls o f d e s c r i p t i o n d o e s n o t

c o r r e s p o n d t o a n y f i x ed d is t i n c ti o n b e t w e e n l e v e ls o f, sa y , t h e B B G K h i e r a rc h y . I n s o m e

c a se s t h e l i n e m a y b e d r a w n b e t w e e n t h e h y d r o d y n a m i c a n d t h e k i n e t ic le v e ls ; m o t h e r s, i t

m a y h e d e e p e r . F o r a n y g i v e n p h y s i c a l s y s t e m t h e d e c is i on d e p e n d s o n t h e r e l a t i v e r a t e s

o f t h e p r o c e ss e s t h a t h a v e f i g u re d m t h e f o r m a t i o n o r p r e p a r a t i o n o f t h a t s y s t e m a s c o m -

p a r e d w i t h t h e r a t e s o f r e l a x a t i o n a s s o c ia t e d w i t h v a r io u s l e v el s o f t h e h i e r a r c h y F o r

e x a m p l e , i f B o g o l i u b o v s c o n j e c t u r e (e) i s c o r r e c t , t h e m a c r o s c o p i c l e v e l o f d e s c r i p t io n f o r a

d i l u t e g as s h o u l d n o r m a l l y c o r r e s p o n d t o e i t h e r t h e h y d r o d y n a m i c o r th e k i n e t i c le v e l. B u t

t o s e t t le t h e q u e s t i o n f o r a p a r t i c u l a r s y s t e m o n e w o u l d n e e d t o k n o w i t s p r o v e n a n c e a n d


7/9

DAvra LAyzz~ 285

history. Thus it is always possible, in principle, to prepare a sys tem in such a way t h a t t h e

macroscopic level contains detailed information about microscopic properties of a system, as

in the well-known spin-echo experiment . (2)

h e

preceding considerations supplement the arguments given by Bol tzmann and Gibbs

to explain the approach to equilibrium in isolated systems. They provide an objective basis

for such assumptions as the

~tossz hl n~ tz

and the assumption of equal a ~r/ori probabilities

in phase space. Moreover, the y provide a formal prescription for determiniug the conditions

under which such assumptions are vahd. ~inally, t hey explain why irreversible processes in

different isolated systems define the same direction m time and why this direction coincides

with the direction of cosmic evolution. ~or in a given system the arrow of time, as defined

by irreversible processes taking place in the system, points away from the in iti al state.

The initial state of a system may be defined as the one that separates the history of the

system into a part during which it is effectively isolated from its environment and a pa rt

during which it interacts strongly with its environment. Because cosmic evolution is a

branching process---a process of increasing local differentia tion--the arrow of time as

defined by na turally occurring systems coincides with tha t defined by cosmic evolution.

Although the anisotropy of tempora l processes in isolated systems is a consequence of the

amsotropy of cosmic evolution, the nature of the anisotropy is fundamentally different in

the two cases. Macroscopic systems tend toward a state of thermal equilibrium, which is

essentially a sta te of timelessness Cosmic evolution, on the other hand, is essentially a

historical process, fashioning the present configuration from materials supphed by the past.

It is a consequence of the strong cosmological principle that a given configuration of the

Universe contains precisely enough information to determine succeeding configurations. It

does not, however, contain enough information to de termine configurations through which

it has al ready passed, though i t contains actual traces of such configurations. That a com-

plete description of the present configuration of theUniverse does not enable us,in principle,

to calculate past configurations is an immediate consequence of the statistical character of

the descraption. For example, from a knowledge of its present configuratmn, it is impossible

to reconstruct the h istory of a system th at has undergone irreversible changes. Thus, a t the

cosmological level, the future is uniquely characterized by its predictability and the past is

uniquely characterized by the fact that a partial record of it is contained in the present

configuration.

Bergson pointed out th at no absolute significance can be attached to the passage of time

in the Newtonian world picture (~1) A reversible microscopm descript ion of the Universe

does not in fact describe a temporal succession of spatial configurations, but rather a four-

dimensional world in which certain necessary relations obtain among distinct spatial (or

space-like) hypersurfaces. In th e present world picture the passage of time does have an

absolute character. Cosmic evolution generates a uniquely defined temporal sequence of

eonfigurat ions of increasing complexity . There is no way of arriving at a complete descrip-

tmn of a given configuration except by travers ing the sequence of preceding configurations.

The present configuration contains traces of the past but none of the future. Although the

future is determined by the present, i t cannot be said to exist until it actually becomes the

present. For by virtue of the ever-increasing complexity of the cosmic distribution, more

reformat ion is needed to specify any given future sta te than is needed to specify the present

state. Thus it is impossible for future configurations to be m any sense prefigured in the

present configuration; the additional information is generated by the process of cosmic

evolution itself.

These aspects of cosmic evolution have obvious parallels in biological evolution and in

the experience of time in individual biological systems. These parallels suggest th at the


8/9

86

Cosmology and the Arrow of T ime

p r o p e r t i e s o f b io l og i ca l t i m e a r e m o s t d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e g r o w t h o f in f o r m a t i o n i n s o m e

p a r t o f t h e s y s t e m r a t h e r t h a n t o t h e i r r e v e r si b le p r o c e ss e s c o n t e m p l a t e d i n s ta t i st ic a l

m e c h a n i c s , t h o u g h t h e s e , o f c o u r s e , m u s t a l so b e g o in g o n i n t h e s y s t e m . S c h r o e d i n g e r h a s

s u g g e s t e d t h a t t h i s g r o w t h o f i n f o r m a t i o n i s t h e e s s e n t i a l f e a t u r e o f li fe . (~2) O f c o u r s e , t h e

t o t a l e n t r o p y o f a b i o lo g ic a l s y s t e m n e e d n o t b e c o n s t a n t l y d e c r e a s in g , i t i s o n ly n e c e s s a r y

t h a t i n f o r m a t i o n s h o u l d b e g e n e r a t e d i n s o m e p a r t o f t h e s y s t e m . E s s e n t i a ll y t h e s a m e id e a

w a s e x p r e s s e d b y B e r g s o n . (~1) W h e r e v e r s o m e t h i n g i s a h v e , t h e r e i s o p e n , s o m e w h e r e , a

r e g i s t e r i n w h i c h t i m e i s b e i n g i n s c r i b e d .

A l t h o u g h t h e c o n t i n u a l g e n e r a t i o n o f n e w i n f o r m a t i o n i s c h a r a c t e r i s t i c o f b o t h b i o l o g ic a l

a n d c o s m i c p r o c e s s es , t h e u n d e r l y i n g c a u s e s a r e c o m p l e t e l y d if f e r e n t. C o s m i c e v o l u t i o n is a

c o n s e q u e n c e o f t h e c o s m i c e x p a n s i o n ; b i o lo g i c a l e v o l u t i o n a n d t h e p h e n o m e n o n o f l if e

d e p e n d o n in t e r a c t io n s b e t w e e n b m l o g i c al s y s t e m s a n d t h e i r e n v i r o n m e n t - - i n p a r t ic u l a r , o n

t h e a b i l it y o f b i ol og i ca l s y s t e m s to e x t r a c t r e f o r m a t i o n f r o m t h e i r e n v i r o n m e n t . T h a t

i n f o r m a t i o n i s t h e r e , h o w e v e r , b e c a u s e i t h a s b e e n g e n e r a t e d b y c o s m m e v o l ut io n , T h u s t h e

t w o k i n d s o f p r o c e s s a r e i n f a c t c l o s e l y l i n k e d .

I t h a n k P r o f e s s o r O. K l e i n f o r s t i m u l a t i n g c o n v e r s a t m n s d u r i n g t h e f in a l s t a g e s o f t h e

p r e p a r a t i o n o f t h i s c o m m u n i c a t i o n , w h i c h w a s c o m p l e t e d a t S t o c k h o l m U n i v e r s i t y d u ri n g

a s t a y s p o n s o re d b y N O R D I T A a n d b y t h e l ~ a ti o n a l S c ie n c e F o u n d a t i o n .

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Vistas in Astronomy Volume 13 Issue None 1972 [Doi 10.1016%2F0083-6656%2872%2990018-9] D. Layzer --...

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