MTODO DE LA RIGIDEZ MATRICIAL APLICADO A UNA VIGA QUE SI EST

SOMETIDA A CARGA AXIAL Y SU PROGRAMACIN EN MATLAB

Ortiz David, Molina Marcos, Martnez Hugo, J. Bernal Elan, Hernndez Daniel,

Garca Pascual, Berruecos Sergio, Palomino Alex Henrry, Anchapuri Hernan M.

PROBLEMARIO

2D Y 3D

Ortiz DavidMolina MarcosMartnez HugoJ. Bernal Elan

Hernndez DanielGarca Pascual

Berruecos Sergio

AN

LI

SIS

DE

EST

RU

CT

UR

AS

Se ha escrito este libro con la finalidad primor-dial de apoyar a pro-fesores y estudiantes en la enseanza y el aprendizaje del anlisis estructural. Esta discipli-na es trascendental en las li-cenciaturas de Ingeniera Civil, Ingeniera Mecnica, Ingeniera Aeronutica, Arquitectura, entre otras. Su dominio es fundamental para todo aquel profesionista cuya ocupacin sea el diseo de obras, tales como naves industriales, rascacielos, puentes, presas, plantas industriales, plataformas martimas, etc.

En el libro se ofrece inicialmente conceptos bsicos sobre la teora del anlisis estructural y finalmente la aplicacin de ello a travs de un problemario consistente en una gran variedad de ejercicios resueltos minuciosa-mente sobre estructuras isostticas e hiperestticas, en el pla-no y en el espacio, particularmente vigas, marcos y armaduras, los cuales son comunes encontrarlos en las tareas y exmenes de varias asignaturas del rea de Estructuras en los cursos de Licenci-atura, Propedutico y Maestra.

Se les recomienda a los lectores tener conocimientos acerca de mecnica de materiales, esttica, estructuras isostticas, algebra, al-gebra matricial, clculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales y si es posible, programacin con matlab.

Los autores consideramos que el dominio de los principios bsicos es indispensable para el uso de los programas de cmputo disponibles hoy en da, debido a que una vez desarrollada en el lector la habilidad de analizar a mano las estructuras, este comprender el modo de funcionamiento de los softwares y poseer un mejor criterio. Con-trariamente, si se hace uso de programas sin dicho conocimiento, es muy riesgoso.

MTODO DE LA RIGIDEZ MATRICIAL APLICADO A UNA VIGA QUE SI EST

SOMETIDA A CARGA AXIAL Y SU PROGRAMACIN EN MATLAB.

Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, Hernndez Daniel1,

Garca Pascual2, Berruecos Sergio1, Palomino Alex Henrry3, Anchapuri Hernan M.4

1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco, Instituto Politcnico

Nacional, Distrito Federal, Mxico.

2. Facultad de Estudios Superiores Aragn, Universidad Nacional Autnoma de Mxico,

Nezahualcyotl, Estado de Mxico.

3. Universidad Nacional de Cajamarca, Per.

4. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann, Per.

Viga propuesta a resolver

Use el anlisis matricial de la rigidez para calcular las reacciones en los apoyos de

la viga de tres claros que se muestra en la figura. De igual forma, determine las

funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal, de pendiente y de

deflexin, y detalle los resultados.

Considere el mdulo de elasticidad del acero y una seccin transversal tipo con

las siguientes dimensiones

SOLUCIN

Notacin

Se divide la viga en elementos finitos. Por conveniencia, se opta porque cada

elemento se extienda entre apoyos. Los elementos se identifican arbitrariamente

usando un nmero inscrito en un cuadrado. Sin importar que los nodos estn o no

predeterminados en el problema, de manera opcional se puede identificar cada uno

de ellos usando un nmero dentro de un crculo. Para esta viga continua en

particular, se tienen tres elementos y cuatro nodos que desde el inicio han sido

definidos por , , y .

Los extremos cercano y lejano de cada elemento se especifican simblicamente

con una flecha a lo largo del elemento cuya punta se dirige hacia el extremo alejado.

El sistema de coordenadas globales , , tiene su origen en con la finalidad de

que los nodos restantes tengan coordenadas positivas. Tales ejes tienen su

direccin positiva hacia la derecha, hacia arriba y en el sentido antihorario.

Dado que la viga est sometida a al menos una carga horizontal (es obvio que la

carga puntual de 5 tiene componentes horizontal y vertical), tienen que tomarse en

cuenta los efectos de la flexin, la fuerza cortante y la fuerza axial. En consecuencia,

en cada nodo hay tres grados de libertad, los cuales corresponden a un

desplazamiento horizontal, un desplazamiento vertical y una rotacin, y que deben

ser codificados numricamente de tal forma que los nmeros ms bajos de cdigo

representen los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no restringidos),

mientras que los nmeros ms altos indiquen desplazamientos conocidos (grados

de libertad restringidos).

Como recordatorio, un empotramiento restringe los tres grados de libertad

mencionados, un soporte articulado slo permite la rotacin y un apoyo simple

nicamente impide el desplazamiento vertical, en sus correspondientes puntos de

ubicacin. Si en algn nodo hay ausencia de soporte, entonces los tres grados de

libertad son incgnitas.

De los doce grados de libertad en la viga, los codificados del 1 al 5 representan

desplazamientos cuyo su valor se desconoce, en tanto, los nmeros de cdigo del

8 al 10 referencian desplazamientos conocidos, que en este caso son todos iguales

a cero.

Las coordenadas de los nodos ya no se identifican por una razn que ms adelante

se explicar.

Vector de desplazamientos

Al igual que en las armaduras, para las vigas se formula un vector de

desplazamientos que se secciona dando origen a dos vectores: el de

desplazamientos desconocidos y el de desplazamientos conocidos . Por las

condiciones de apoyo en el problema se tiene

= () =

(

123456789101112)

=

(

0000000 )

123456789101112

Vector de Cargas

Obsrvese que sobre la longitud del elemento 1 se extiende una carga distribuida

tipo parablica, y que los elementos 2 y 3 soportan a la mitad de su claro y de forma

respectiva, una carga puntual inclinada y un momento de par. El anlisis matricial

de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los nodos debido a que la

matriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas aplicadas en sus

extremos.

Para atender esta situacin, se usa el principio de superposicin. Suponemos que

cada nodo est restringido de movimiento, motivo por el cual se les impone un

empotramiento.

A continuacin se calculan las fuerzas de fijacin y momentos de empotramiento

perfecto asociadas a cada elemento. Para ello remtase al tema 4.1 y note como los

elementos 1 y 3 corresponden a vigas del tipo 4 y 7; adems, el caso general para

el elemento 2 ya fue resuelto en el tema 3.1.

Elemento 1.

= =

3=(3/)(2)

3= 2

= =2

15=(3/)(2)2

15= 0.8 .

Elemento 2.

= =sin

2=(5)(sin(50))

2= 1.9151

= =cos

2=(5)(cos(50))

2= 1.6070

= =sin

8=(5)(2)(sin(50))

8= 0.9576 .

Elemento 3.

= =3

2=(3)(2/)

(2)(2)= 1.5

= =

4=2.

4= 0.5 .

Las fuerzas de fijacin y momentos de empotramiento calculados existiran si

restringiramos de movimiento a todos los nodos, algo que en no ocurre. En

consecuencia, las fuerzas y momentos elsticos o efectivos actan sobre los nodos

en sentido contrario al que definimos, por lo que para fines de anlisis estas son las

fuerzas que aparecen

Al hacer la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada nodo se obtiene la

viga cargada que se analizar con el mtodo de la rigidez.

Haga un cotejo entre sta figura y el esquema efectuado en la parte de notacin

para plantear el vector de cargas , el cual debe dividirse en un vector de cargas

conocidas y un vector de cargas desconocidas .

= () =

(

123456789101112)

=

(

0.50

1.45760.15761.6070 1.5

0.4151 1.6070 3.9151 2

0.8 )

123456789101112

Por la superposicin, los resultados del anlisis matricial para las cargas de la ltima

figura se modificarn posteriormente con la viga sujeta a la carga real y a las

reacciones fijamente apoyadas.

Matriz de rigidez global para cada elemento

El sistema de coordenadas globales ya ha sido identificado con los ejes , , .

Luego hacemos que las coordenadas locales , , tengan su origen en el extremo

cercano de cada elemento, y que el eje positivo se dirija hacia el extremo lejano.

Bajo esas circunstancias, para cada componente de la viga los ejes y sern

colineales dado que las coordenadas globales y del elemento sern todas paralelas.

Por esta razn, a diferencia del caso de las armaduras, no es necesario desarrollar

matrices de transformacin entre estos dos sistemas de coordenadas. En resumen,

las matrices de rigidez global y local para un elemento de viga sern las mismas;

ello explica que las coordenadas de los nodos no fueran identificadas al inicio del

problema, puesto que lgicamente, el clculo de los cosenos directores ya no es

necesario. Para determinar el momento de inercia con respecto al eje neutro

(pasando a travs del centroide de la seccin transversal), usamos la tabla

mostrada. Por la simetra del perfil , el centroide est a 11.5 de la parte inferior.

Bloque (4) (2) d (cm) 2 (4)

1

(1

12) (20)(43)

= 106.6667

(20)(4) = 80

9.5

7220

2 (1

12) (4)(153)

= 1125

(4)(15) = 60

0

0

3

(1

12) (20)(43)

= 106.6667

(20)(4) = 80

9.5

7220

1338.3334 220 14440

Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene

= +2 = 1338.3334 + 14440 = 15778.3334 4 = 0.000157783 4

El rea de la seccin transversal y el mdulo de elasticidad del acero son

= 2202 = 0.0222 = 2.1 107 2

Se calcula la matriz de rigidez global para cada elemento aplicando la ecuacin ().

Los nmeros de cdigo para cada columna y fila de estas matrices, que tienen la

peculiaridad de ser siempre simtricas, deben establecerse apropiadamente.

Elemento 1.

1 =

(

0 0

0 0

012

36

20

12

36

2

06

24

0

6

22

0 0

0 0

0 12

36

20

12

36

2

06

22

0

6

24

)

11 10 12 5 9 4

= 105

(

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0331 0 0.0497 0.0663 )

111012594

Elemento 2.

5 9 4 8 7 3

2 = 105

(

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0331 0 0.0497 0.0663 )

594873

Elemento 3.

8 7 3 2 6 1

3 = 105

(

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0331 0 0.0497 0.0663 )

873261

Matriz de rigidez de la estructura

Ya que las matrices de rigidez de todos los elementos fueron determinadas, se

ensamblan para calcular , la cual tambin debe ser simtrica y tiene un orden de

12X12 debido a que doce grados de libertad fueron designados para la viga.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

= 105

(

0.0663 0 0.0331 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0 0 0 0

0.0331 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31 0

0.0497 0 0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 00 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0994 0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663 )

123456789101112

Ya que hay cinco incgnitas de desplazamiento, la matriz de rigidez de la estructura

se secciona de tal forma que en la parte izquierda haya 5 columnas y en la porcin

superior haya 5 filas. Se sigue usando la misma nomenclatura que en las armaduras

para cada una de las submatrices.

= (11 1221 22

)

Clculo de las incgnitas

Al hacer = se tiene

(

0.50

1.45760.15761.6070 1.5

0.4151 1.6070 3.9151 2

0.8 )

= 105

(

0.0663 0 0.0331 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0 0 0 0

0.0331 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31 0

0.0497 0 0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 00 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0994 0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663 )

(

0000000 )

El sistema matricial anterior es equivalente a

() = (

11 1221 22

) ()

Se calculan los desplazamientos desconocidos al extraer y resolver un primer

subsistema que corresponde a

= 11 + 12

Como vale cero, la ecuacin anterior pasa a ser

= 11

Por lo tanto,

(

0.50

1.45760.15761.6070)

= 105

(

0.0663 0 0.0331 0 00 2.31 0 0 0

0.0331 0 0.1325 0.0331 00 0 0.0331 0.1325 00 0 0 0 4.62)

(

)

(

)

=

(

0.0000176 0

0.0001158 0.0000408 0.0000035 )

Se puede hacer un anlisis de los resultados; por ejemplo, note como el nodo

experimenta una rotacin antihoraria de 0.0000176 y en realidad no se desplaza

horizontalmente.

Las reacciones se obtienen de resolver un segundo subsistema que es

= 21 + 22

Como ya se mencion, = 0, as que

= 21

Al usar los desplazamientos calculados se tiene

(

1.5 0.4151 1.6070 3.9151 2

0.8 )

= 105

(

0.0497 0 0.0497 0 00.0497 0 0 0.0497 00 2.31 0 0 2.310 0 0.0497 0 00 0 0 0.0497 00 0 0 0 2.310 0 0 0.0331 0 )

(

0.0000176 0

0.0001158 0.0000408 0.0000035 )

=

(

0.66280.29020.80350.57550.20300.80350.1353)

En consecuencia,

1.5 = 0.6628 = 0.6628 + 1.5 = 0.8372 = 0.8372

0.4151 = 0.2902 = 0.2902 + 0.4151 = 0.7053 = 0.7053

1.6070 = 0.8035 = 0.8035 + 1.6070 = 2.4105 = 2.4105

3.9151 = 0.5755 = 0.5755 + 3.9151 = 4.4906 = 4.4906

2 = 0.2030 = 0.2030 + 2 = 1.7970 = 1.7970

= 0.8035 = 0.8035

0.8 = 0.1353 = 0.1353 + 0.8 = 0.6647 . = 0.6647.

Se muestran los resultados obtenidos en el siguiente diagrama

Se comprueba el equilibrio externo de la viga. Al resolver la fuerza de 5 en sus

componentes y resulta

1 = 5 sin 50 = 3.8302 1 = 5 cos 50 = 3.2139

La fuerza resultante de la carga distribuida y su punto de aplicacin son

= (2

3) (3 )(2) = 4 = 1

+ =1.7970 4 + 4.4906 3.8302 + 0.7053 + 0.8372 = 0

+ =0.8035 3.2139 + 2.4105 0

+ =

0.6647 + 4(1) 4.4906(2) + 3.8302(3) 0.7053(4) + 2 0.8372(6) 0

Funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal

Al aplicar el mtodo de las secciones tenemos

0 2

La carga concentrada equivalente de la carga distribuida seccionada es

= 4

323 +

2

2 =

4 3

3 223 +

2 3

22 = 3 + 32

y su lnea de accin se localiza a una distancia de

= 24 +

43

3

=3224 +

4 33 2

3

3 + 32=34

4 + 23

3 + 32

+ = 0

1 0.6647 + 1.7970 (3 + 32) (

34

4 + 23

3 + 32) = 0

1 =4

4 3 + 1.7970 0.6647 1 =

1

= 3 32 + 1.7970

+ = 0 1 + 0.8035 = 0 1 = 0.8035

2 3

+ = 0 2 0.6647 + 1.7970 4( 1) + 4.4906( 2) = 0

2 = 2.2876 5.6459 2 =2

= 2.2876

+ = 0 2 = 0.8035

3 4

+ = 0

3 0.6647 + 1.7970 4( 1) + 4.4906( 2) 3.8302( 3) = 0

3 = 5.8447 1.5426 3 =3

= 1.5426

+ = 0 0.8035 3.2139 + 3 = 0 3 = 2.4104

4 5

+ = 0 4 0.6647 + 1.7970 4( 1)

+4.4906( 2) 3.8302( 3) + 0.7053( 4) = 0

4 = 3.0235 0.8373 4 =4

= 0.8373

+ = 0 0.8035 3.2139 + 2.4105 + 4 = 0 4 0

5 6

+ = 0 5 0.6647 + 1.7970 4( 1)

+4.4906( 2) 3.8302( 3) + 0.7053( 4) + 2

5 = 5.0235 0.8373 5 =5

= 0.8373

+ = 0 5 0

Funciones de pendiente y de deflexin

Se aplica el mtodo de la doble integracin. Al Aplicar la ecuacin diferencial

2

2=

e integrarla dos veces en cada tramo se obtiene

0 2

2

2=4

4 3 + 1.7970 0.6647

()

= (

4

4 3 + 1.7970 0.6647)

= 0.055 0.254 + 0.89852 0.6647 + 1

1 = 0.055 0.254 + 0.89852 0.6647 + 1 (1)

= (0.055 0.254 + 0.89852 0.6647 + 1)

1 = 0.0083336 0.055 + 0.29953 0.332352 + 1 + 2 (2)

2 3

2

2= 2.2876 5.6459

()

= (2.2876 5.6459)

2 = 1.14382 5.6459 + 3 (3)

= (1.14382 5.6459 + 3)

2 = 0.381273 2.822952 + 3 + 4 (4)

3 4

2

2= 5.8447 1.5426

()

= (5.8447 1.5426)

3 = 5.8447 0.77132 + 5 (5)

= (5.8447 0.77132 + 5)

3 = 2.922352 0.25713 + 5 + 6 (6)

4 5

2

2= 3.0235 0.8373

()

= (3.0235 0.8373)

4 = 3.0235 0.418652 + 7 (7)

= (3.0235 0.418652 + 7)

4 = 1.511752 0.139553 + 7 + 8 (8)

5 6

2

2= 5.0235 0.8373

()

= (5.0235 0.8373)

5 = 5.0235 0.418652 + 9 (9)

= (5.0235 0.418652 + 9)

5 = 2.511752 0.139553 + 9 + 10 (10)

Se plantean diez condiciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones. Se

sabe que en el empotre no hay rotacin ni deflexin, as que se tienen las

siguientes dos condiciones de frontera

1) = 0 = 0 y 2) = 0 = 0.

Sustituyendo las condiciones 1) y 2) en (1) y (2) respectivamente, da

(0) = 0.05 05 0.25 04 + 0.8985 02 0.6647 0 + 1 1 = 0

(0) = 0.008333 06 0.05 05 + 0.2995 03 0.33235 02 + 0 0 + 2 2 = 0

Las otras ocho constantes se pueden conocer a partir de establecer un mismo

nmero de condiciones de continuidad, tal y como se efecta a continuacin

Si 3)1 = 2 = 2, entonces

0.05 25 0.25 24 + 0.8985 22 0.6647 2 = 1.1438 22 5.6459 2 + 3

3 = 6.5812

Dado que 4)1 = 2 = 2, tenemos

0.008333 26 0.05 25 + 0.2995 23 0.33235 22

= 0.38127 23 2.82295 22 + 6.5812 2 + 4 4 = 4.920848

Al hacer 5)2 = 3 = 3 resulta

1.1438 32 5.6459 3 + 6.5812 = 5.8447 3 0.7713 32 + 5

5 = 10.6547

Al plantear 6)2 = 3 = 3 obtenemos

0.38127 33 2.82295 32 + 6.5812 3 4.920848

= 2.92235 32 0.2751 33 10.6547 3 + 6 6 = 12.3151

Como 7)3 = 4 = 4, se tiene

5.8447 4 0.7713 42 10.6547 = 3.0235 4 0.41865 42 + 7

7 = 5.0123

Si 8)3 = 4 = 4, entonces

2.92235 42 0.2571 43 10.6547 4 + 12.3151

= 1.51175 42 0.13955 43 5.0123 4 + 8 8 = 4.7919

Puesto que 9)4 = 5 = 5, tenemos

3.0235 5 0.41865 52 5.0123 = 5.0235 5 0.41865 52 + 9

9 = 15.0123

Al efectuar 4 = 5 = 5 se obtiene

1.51175 52 0.13955 53 5.0123 5 + 4.7919

= 2.51175 52 0.13955 53 15.0123 5 + 10 10 = 29.7919

Las funciones de la pendiente y la deflexin de la viga se obtienen al sustituir las

constantes de integracin en las ecuaciones correspondientes, adems de hacer

= (2.1 107 2 )(0.0001577834) = 3313.443 .2

0 2

1 = (1

3313.443 ) (0.055 0.254 + 0.89852 0.6647)

1 = (1

3313.443 ) (0.0083336 0.055 + 0.29953 0.332352)

2 3

2 = (1

3313.443 ) (1.14382 5.6459 + 6.5812)

2 = (1

3313.443 ) (0.381273 2.822952 + 6.5812 4.920848)

3 4

3 = (1

3313.443 ) (5.8447 0.77132 10.6547)

3 = (1

3313.443 ) (2.922352 0.25713 10.6547 + 12.3151)

4 5

4 = (1

3313.443 ) (3.0235 0.418652 5.0123)

4 = (1

3313.443 ) (1.511752 0.139553 5.0123 + 4.7919)

5 6

5 = (1

3313.443 ) (5.0235 0.418652 15.0123)

5 = (1

3313.443 ) (2.51175 0.139553 15.0123 + 29.7919)

Diagramas de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal, de pendiente y

de deflexin

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6 7

V (

Ton

)

x (m)

DIAGRAMA DE CORTANTE

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

M (

Ton

*m)

x (m)

DIAGRAMA DE MOMENTO

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

0.00005

0.0001

0.00015

0 1 2 3 4 5 6 7 (

rad

)

x (m)

DIAGRAMA DE ROTACIN

-0.0001

-0.00008

-0.00006

-0.00004

-0.00002

0

0.00002

0.00004

0 1 2 3 4 5 6 7

Y (

m)

X (m)

DIAGRAMA DE FLECHAMIENTO

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6 7

N (

Ton

)

x (m)

DIAGRAMA DE NORMAL

Cdigo en Matlab

A continuacin se presenta la codificacin en matlab para el mtodo de la rigidez

matricial aplicado a vigas con carga axial.

%PROGRAMA PARA CALCULAR LAS REACCIONES DE UNA VIGA EN LA QUE SE PRESENTAN

%CARGAS AXIALES CON EL MTODO DE LA RIGIDEZ MATRICIAL clear; clc; k=zeros(6); disp('------------------- DATOS PARA EL ANALISIS ------------------------

') GL=input('DAME EL NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD GL ='); KT=zeros(GL); n=input('DAME EL NUMERO DE ELEMENTOS n ='); disp('-------------------------------------------------------------------

') for i=1:n fprintf('ELMENTO %i.\n\n',i) E=input('DAME EL MODULO DE ELASTICIDAD = '); A=input('DAME EL AREA DE LA SECCIN = '); I=input('DAME LA INERCIA DE LA SECCIN = '); L=input('DAME LA LONGITUD DEL ELEMENTO= '); disp('NODO N-------------------------------------------------------------

') Nx=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Nx='); Ny=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Ny='); Nz=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Nz='); disp('NODO F-------------------------------------------------------------

') Fx=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Fx='); Fy=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Fy='); Fz=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Fz='); disp('-------------------------------------------------------------------

') k(1,1)=(A*E)/L; k(1,2)=0; k(1,3)=0; k(1,4)=-(A*E)/L; k(1,5)=0; k(1,6)=0; k(2,1)=0; k(2,2)=(12*E*I)/(L^3); k(2,3)=(6*E*I)/(L^2); k(2,4)=0; k(2,5)=-(12*E*I)/(L^3); k(2,6)=(6*E*I)/(L^2); k(3,1)=0; k(3,2)=(6*E*I)/(L^2); k(3,3)=(4*E*I)/L; k(3,4)=0; k(3,5)=-(6*E*I)/(L^2); k(3,6)=(2*E*I)/L; k(4,1)=-(A*E)/L; k(4,2)=0;

k(4,3)=0; k(4,4)=(A*E)/L; k(4,5)=0; k(4,6)=0; k(5,1)=0; k(5,2)=-(12*E*I)/(L^3); k(5,3)=-(6*E*I)/(L^2); k(5,4)=0; k(5,5)=(12*E*I)/(L^3); k(5,6)=-(6*E*I)/(L^2); k(6,1)=0; k(6,2)=(6*E*I)/(L^2); k(6,3)=(2*E*I)/L; k(6,4)=0; k(6,5)=-(6*E*I)/(L^2); k(6,6)=(4*E*I)/L; fprintf('MATRRIZ K%i.',i) k disp('-------------------------------------------------------------------

') K=zeros(GL); K(Nx,Nx)=k(1,1); K(Nx,Ny)=k(1,2); K(Nx,Nz)=k(1,3); K(Nx,Fx)=k(1,4); K(Nx,Fy)=k(1,5); K(Nx,Fz)=k(1,6); K(Ny,Nx)=k(2,1); K(Ny,Ny)=k(2,2); K(Ny,Nz)=k(2,3); K(Ny,Fx)=k(2,4); K(Ny,Fy)=k(2,5); K(Ny,Fz)=k(2,6); K(Nz,Nx)=k(3,1); K(Nz,Ny)=k(3,2); K(Nz,Nz)=k(3,3); K(Nz,Fx)=k(3,4); K(Nz,Fy)=k(3,5); K(Nz,Fz)=k(3,6); K(Fx,Nx)=k(4,1); K(Fx,Ny)=k(4,2); K(Fx,Nz)=k(4,3); K(Fx,Fx)=k(4,4); K(Fx,Fy)=k(4,5); K(Fx,Fz)=k(4,6); K(Fy,Nx)=k(5,1); K(Fy,Ny)=k(5,2); K(Fy,Nz)=k(5,3); K(Fy,Fx)=k(5,4); K(Fy,Fy)=k(5,5); K(Fy,Fz)=k(5,6); K(Fz,Nx)=k(6,1); K(Fz,Ny)=k(6,2); K(Fz,Nz)=k(6,3); K(Fz,Fx)=k(6,4); K(Fz,Fy)=k(6,5); K(Fz,Fz)=k(6,6);

KT=K+KT; end disp('---------------- MATRIZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA -------------------

') KT disp('-------------------------------------------------------------------

') v=input('DAME EL VECTOR DE FUERZAS CONOCIDAS=') V=length(v); K=KT(1:V,1:V) d1=(inv(K))*v d2=zeros((length(KT))-(length(d1)),1) ' VECTOR TOTAL DE DESPLAZAMIENTOS' D=[d1;d2] ' VECTOR TOTAL DE FUERZAS' F=KT*D

Manual para el usuario

Ahora se muestra la forma de utilizar el programa expuesto previamente tomando

como ejemplo la viga propuesta a resolver al inicio. Una vez que se corre el

programa, se sigue el siguiente procedimiento

1.- Inserte el nmero de grados de libertad y de elementos identificados en la viga.

2.- Digitalice las propiedades y la codificacin numrica de los grados de libertad

del elemento 1.

En automtico aparecer la matriz de rigidez global del elemento 1.

3.- Digitalice las propiedades y la codificacin numrica de los grados de libertad

del elemento 2.

Instantneamente aparecer la matriz de rigidez global del elemento 2.

4.- Digitalice las propiedades y la codificacin numrica de los grados de libertad

del elemento 3.

De inmediato aparecer la matriz de rigidez global del elemento 3.

Luego de obtener la matriz de rigidez global de cada elemento, el programa

ensambla tales matrices y nos arroja la matriz de rigidez global la estructura.

5.-Capture el vector de Fuerzas Conocidas.

Se imprimir el vector anterior:

Se imprimir la submatriz K11:

El programa nos proporciona los valores de los desplazamientos desconocidos:

Se imprime el vector de desplazamientos conocidos:

Se imprime el vector total de desplazamientos:

Se imprime el vector total de fuerzas, es decir, aquel vector que contiene al vector

de fuerzas conocidas y al vector de fuerzas desconocidas:

Referencias

1. R. C. Hibbeler. Anlisis estructural. Editorial Pearson.

2. Gonzlez Cuevas. Anlisis estructural. Editorial Limusa.

3. Selva Colindres Rafael. Dinmica de suelos y estructuras aplicadas a la

ingeniera ssmica. Editorial Limusa.

4. Magdaleno Carlos. Anlisis matricial de estructuras reticulares. Independiente.

5. James Stewart. Clculo de una variable: Conceptos y contextos. Editorial

CENGAGE Learning.